eng
Содержание
От автора ............................................................................................. 8
Используемые символы и обозначения................................................... 11
Введение ............................................................................................. 16
ГлаВа 1. Теоретические основы ............................................................ 19
1.1.
Линейные четырехполюсники.............................................................. 19
1.1.1.
комплексная частота .......................................................................... 19
1.1.2.
Передаточная функция ....................................................................... 23
1.1.3.
системная функция ............................................................................ 25
1.1.4.
Линейные цепи во временной и частотной области.......................... 26
1.1.5.
распределение полюсов и устойчивость ............................................ 30
1.2.
Характеристики фильтров второго порядка............................................... 33
1.2.1.
Биквадратная системная функция ..................................................... 34
1.2.2.
классификация фильтров................................................................... 35
1.2.3.
Характеристики полюсов.................................................................... 36
1.3.
Фильтр-прототип нижних частот ........................................................... 41
1.3.1.
Фильтр нижних частот второго порядка ............................................ 41
1.3.2.
схема допусков (технические требования) ........................................ 44
1.3.3.
Принцип аппроксимации характеристики фильтра нижних
частот ................................................................................................... 46
1.3.4.
Фильтр нижних частот n-го порядка .................................................. 47
1.4.
Аппроксимации характеристик фильтра нижних частот .......................... 49
1.4.1.
Фильтры Баттерворта....................................................................... 50
1.4.2.
Фильтры чебышева............................................................................. 55
1.4.3.
инверсные фильтры чебышева.......................................................... 58
1.4.4.
Эллиптические фильтры..................................................................... 64
1.4.5.
Фильтры Томпсона-Бесселя............................................................... 67
1.4.6.
сравнение стандартных аппроксимаций........................................... 78
1.4.7.
Другие методы аппроксимации .......................................................... 82
1.5.
частотные преобразования..................................................................... 86
1.5.1.
Преобразование типа нч → нч......................................................... 86
1.5.2.
Преобразование типа нч → вч ......................................................... 88
1.5.3.
Преобразование типа нч → ПП ........................................................ 90
1.5.4.
Преобразование типа нч → ПЗ ........................................................100
1.5.5.
Преобразование типа нч → вП........................................................101
1.5.6.
Преобразование нормированных нч-элементов.............................1024 Содержание
Глава 2. основные методы реализации активныХ
ФиЛьТров ......................................................................................... 108
2.1.
каскадная реализация..........................................................................109
2.1.1.
модель обратной связи и передаточная функция ............................109
2.1.2.
Получение комплексно-сопряженных полюсов...............................112
2.1.3.
Получение конечных нулей передачи ...............................................115
2.1.4.
каскадная реализация на элементах окс ........................................115
2.1.5.
Параллельные структуры ...................................................................116
2.2.
моделирование двухполюсника с помощью конвертора полного
сопротивления.......................................................................................116
2.2.1.
конвертор полного сопротивления...................................................116
2.2.2.
Электронное моделирование индуктивности...................................118
2.2.3.
метод проектирования на основе чЗос ..........................................119
2.2.4.
метод внедрения ................................................................................124
2.2.5.
Правила разработки для метода на основе окс...............................126
2.3.
разработка фильтров с использованием многопетлевой обратной связи...126
2.3.1.
реализация методом переменных состояния....................................127
2.3.2.
структура второго порядка, полученная методом переменных
состояния ...........................................................................................131
2.3.3.
реализация методом FLF-структур ...................................................134
2.4.
выводы..................................................................................................137
ГлаВа 3. Активные базовые элементы.............................................. 140
3.1.
операционный усилитель.....................................................................141
3.1.1.
свойства и характеристики................................................................141
3.1.2.
неинвертирующий усилитель ...........................................................151
3.1.3.
инвертирующий усилитель ...............................................................152
3.1.4.
суммирующий усилитель ..................................................................154
3.1.5.
инвертирующий интегратор..............................................................155
3.1.6.
неинвертирующий интегратор..........................................................157
3.1.7.
Фильтр нижних частот первого порядка (демпфированный
интегратор).........................................................................................160
3.1.8.
отрицательный конвертор полного сопротивления (NIC)..............161
3.2.
обобщенный конвертор полного сопротивления (окс) ........................164
3.2.1.
Принцип действия и свойства ...........................................................164
3.2.2.
окс как двухполюсник для моделирования индуктивности ..........166
3.2.3.
окс как двухполюсник для реализации чЗос................................166
3.2.4.
окс в качестве согласующего двухполюсника (метод внедрения)...168
3.2.5.
окс в качестве реализуемого каскадным методом фильтрующего
четырехполюсника.............................................................................169
3.3.
Усилитель напряжения, управляемый током (УнУТ)..............................170
3.3.1.
свойства и характеристики................................................................170
3.3.2.
основные схемы.................................................................................175
3.4.
Усилитель тока, управляемый напряжением (УТУн) ..............................176
3.4.1.
свойства и характеристики................................................................176
3.4.2.
схемы на УТУн..................................................................................179
3.5.
Преобразователь тока (Current Conveyor) .................................................182
3.5.1.
Принцип действия и свойства ...........................................................182
3.5.2.
основные схемы.................................................................................184
Глава 4.Каскадная реализация .................................................................186
4.1.
обзор..............................................................................................186
4.2.
Фильтрующие звенья с одинарной обратной связью ...............................187
4.2.1.
общая структура.................................................................................187
4.2.2.
Фильтр нижних частот .......................................................................191
4.2.3.
Фильтр верхних частот.......................................................................202
4.2.4.
Полосно-пропускающий фильтр ......................................................208
4.3.
Фильтрующие звенья с двойной обратной связью ...................................217
4.3.1.
общая структура.................................................................................217
4.3.2.
Фильтр нижних частот .......................................................................220
4.3.3.
Фильтр верхних частот.......................................................................224
4.3.4.
Полосно-пропускающий фильтр ......................................................225
4.4.
Фильтрующие звенья с конвертором полного сопротивления ................232
4.4.1.
Фильтр нижних частот .......................................................................233
4.4.2.
Фильтр верхних частот.......................................................................234
4.4.3.
Полосно-пропускающий фильтр ......................................................234
4.4.4.
влияние реальных свойств усилителя ...............................................236
4.5.
Фильтрующие звенья с конечными нулями..............................................237
4.5.1.
всечастотный фильтр.........................................................................237
4.5.2.
Фильтрующие звенья с заграждающей характеристикой.................244
4.5.3.
Эллиптические фильтры нижних частот...........................................249
4.6.
Биквадратные и универсальные фильтры.................................................255
4.6.1.
основные структуры для метода переменных состояния.................255
4.6.2.
схемы с инвертирующими интеграторами .......................................256
4.6.3.
схемы с демпфированным интегратором.........................................259
4.6.4.
структура с опережающей обратной связью.....................................265
4.6.5.
Параллельная структура.....................................................................267
4.7.
Фильтрующие звенья на УТУн и преобразователях тока ........................269
4.7.1.
схемы на УТУн..................................................................................2706 Содержание
4.7.2.
схемы на УТУн и конденсаторах......................................................272
4.7.3.
схемы на преобразователях тока.......................................................277
4.8.
выводы и рекомендации............................................................................281
4.8.1.
критерии принятия решения при выборе схемы .............................281
4.8.2.
сравнительный обзор ........................................................................286
ГлаВа 5. Прямой синТеЗ ФиЛьТров....................................................... 291
5.1.
моделирование компонентов с помощью активных элементов..............291
5.1.1.
Фильтр нижних частот .......................................................................291
5.1.2.
Фильтр верхних частот.......................................................................295
5.1.3.
Полосно-пропускающий фильтр ......................................................296
5.2.
схемы фильтров с многопетлевой обратной связью ................................299
5.2.1.
структура типа «чехарда»...................................................................299
5.2.2.
реализация методом FLF-структур ...................................................303
Глава 6. Методы синтеза активных фильтров в конденсаторах................................ 310
6.1.
введение в дискретную обработку сигнала...............................................311
6.1.1.
системная функция и z-преобразование..........................................312
6.1.2.
Преобразование частотных переменных...........................................315
6.2.
основные элементы на переключаемых конденсаторах ..........................321
6.2.1.
инвертирующий интегратор на основе прямой аппроксимации
Эйлера ................................................................................................322
6.2.2.
инвертирующий интегратор на основе обратной аппроксимации
Эйлера ................................................................................................325
6.2.3.
инвертирующий билинейный интегратор........................................326
6.2.4.
Дифференциатор................................................................................327
6.2.5.
Фильтр нижних частот первого порядка ...........................................328
6.3.
Проектирование и использование фильтров на переключаемых
конденсаторах.............................................................................................329
6.3.1.
методы разработки ............................................................................329
6.3.2.
Усилительная техника........................................................................334
6.3.3.
использование интегральных схем фильтров на переключаемых
конденсаторах ....................................................................................335
6.4.
моделирование фильтров на переключаемых конденсаторах
в частотной области....................................................................................339
6.4.1.
непрерывная во времени модель комбинации переключателя
и конденсатора ...................................................................................339
6.4.2.
Пример моделирования фильтра нижних частот первого порядка
на переключаемых конденсаторах ....................................................346
Глава 7. Автоматизированное проектирование фильтров ... 351
7.1.
общая информация ...................................................................................351
7.2.
компьютерные программы для проектирования фильтров....................351
7.2.1.
системный обзор ...............................................................................351
7.2.2.
Пример проектирования фильтров с использованием
компьютерных программ...................................................................360
7.2.3.
выводы, ограничения и оценки ........................................................363
7.3.
оптимизация фильтров с использованием компьютерных программ ....365
7.3.1.
Постановка задачи..............................................................................365
7.3.2.
оптимизация фильтров посредством согласования полюсов .........367
7.3.3.
Примеры оптимизации фильтров посредством согласования
полюсов ..............................................................................................368
7.3.4.
выводы................................................................................................373
ГлаВа 8. Линейные генераторы............................................................. 376
8.1.
Теоретические основы ...............................................................................376
8.1.1.
Принцип работы генератора..............................................................376
8.1.2.
Условие колебаний.............................................................................377
8.2.
структуры генераторов ..............................................................................385
8.2.1.
четырехполюсные генераторы ..........................................................385
8.2.2.
Двухполюсные генераторы ................................................................386
8.2.3.
критерии выбора................................................................................386
8.3.
схемы четырехполюсного генератора.......................................................387
8.3.1.
Полосно-пропускающий RC-генератор ...........................................387
8.3.2.
RC-генератор нижних частот.............................................................389
8.3.3.
всечастотный генератор.....................................................................391
8.3.4.
квадратурный генератор....................................................................392
8.4.
схемы двухполюсного генератора.............................................................396
8.4.1.
Затухание резонансного контура с отрицательным конвертором
сопротивления ...................................................................................396
8.4.2.
резонатор на обобщенном конверторе сопротивления....................400
8.5.
выводы........................................................................................................404
литература ............................................................................................407
От автора
Выбор параметров электронной схемы для реализации определенной функции
фильтра является обычной задачей, которую можно решить с помощью соответствующих формул (метод «поваренной книги») или с помощью компьютеров и
программ для разработки фильтров. Но это уже третий этап.
Первый этап заключается в принятии решения о подходящей характеристике
фильтра, с помощью которой можно выполнить предъявляемые требования. При
этом предлагается на выбор до пяти «классических» функций (ключевые слова:
Баттерворта, Ч ебышева, К ауэра…) и примерно с десяток других «экзотических»
вариантов. В ыбор осложняется тем, что одновременно необходимо учитывать и
схемотехнические последствия, так как затраты на реализацию отдельных функций сильно отличаются друг от друга.
После этого наступает второй, решающий и самый сложный этап: выбор схемы.
Например, в данной книге для фильтра нижних частот второго порядка со-
держится примерно 20 схем, для части из которых предлагаются до трех стратегий
определения параметров. Дополнительно для функций четвертого и более высо-
ких порядков открываются другие возможности — более мощные и достойные
рекомендации для использования.
Одна из этих многочисленных концепций с точки зрения требований и краевых условий технического, операционного или экономического рода (ключевые
слова: избирательность, точность, потребление мощности, подача питания, стоимость), вероятно, представлена как «оптимум». Но на вопрос о «правильной» схеме не сможет ответить ни компьютерная программа, ни интернет-ресурс по расчетам и проектированию, ни слишком лаконичные главы, посвященные фильтрам в общей литературе по электронике.
Данная книга тоже не может дать однозначного ответа. Н о целью настоящего
издания является стремление научить читателя самостоятельно находить правильное решение стоящих перед ним задач. Для этого необходимо не только
знать современный уровень развития техники в области аналоговых фильтров, но
и понимать основные методы разработки, а также учитывать особые признаки и
ограничения различных методов. Только тогда и в ходе систематизированного
выбора появляется возможность реализовать правильный фильтр для определенного применения.
С этой целью в книге представлены введение в системную теорию и конкретные примеры разработки активных фильтров.
Книга о современных аналоговых фильтрах также является и книгой об аналоговой обработке сигнала — области, которая и в «цифровую эру» не потеряла
своего значения.
Именно за последние годы вследствие стремительного развития сетей коммуникации — в частности, мобильной связи — к аналоговой технике стали предъявляться совершенно новые требования, возникли дополнительные области ее
применения.
Ядром аналоговой обработки сигнала является активный фильтр с электронными усилителями, которые, за исключением микроволнового диапазона, сегодня используются почти исключительно в виде интегральных микросхем. Хотя
классический операционный усилитель продолжает играть главную роль, в данной книге представлены новинки, скрывающиеся за английскими сокращениями CFA, OTA и CC (УНУТ, УТУН и преобразователь тока). Подробную инфор-
мацию о темах и основных моментах можно найти в содержании книги, однако о
трех главах стоит упомянуть отдельно.
Учитывая разнообразие методов для разработки структур фильтров, имеет
смысл представить отдельные варианты структур и различные стратегии сначала
совместно и взаимосвязано, чтобы затем обсудить каждый из них подробно в со-
ответствующей главе или разделе с помощью расчетных примеров. Этой цели
служит вторая глава.
Отдельная глава посвящена фильтрам на переключаемых конденсаторах (SCFilter)
— широко используемых технических элементах в форме полностью ин-
тегральных фильтрующих схем. С системно-технической точки зрения эти такти-
руемые системы представляют собой переход от аналоговых фильтров, производящих непрерывную обработку сигнала, к дискретным по времени цифровым
фильтрам.
Разумеется, что возможности современных компьютерных программ также
должны использоваться и для проектирования различных фильтров. Это относится как к моделированию схем для проверки схемной концепции и выбранных
параметров, так и к самой разработке фильтров. Поэтому в отдельной главе пред-
ставлены возможности и ограничения девяти бесплатных программ для проекти-
рования.
Книга является удобным справочником для инженеров и исследователей, желающих освежить свои знания о технике фильтров, а также познакомиться с новыми методами и элементами.
Но данное издание может стать и учебником для людей, изучающих технику
передачи информации и связи, а также сходных направлений, которые, обладая
общей системно-теоретической базой, хотят работать в области фильтров.
Главными условиями для этого являются знания математики и электротехники в
объеме, который соответствует первым трем семестрам обучения по инженерным
специальностям технических ВУЗов.
Содержание книги — результат моей 25-летней преподавательской и научной
деятельности в В ысшей школе Бремена в области аналоговой обработки сигнала.
В этой связи я хотел бы поблагодарить своих студентов, которые в форме курсо-
вых проектов, студенческих и дипломных работ внесли значительный вклад в на-
писание настоящей книги.
Бремен, осень 2007 Лутц фон Вангенхайм
Используемые символы и обозначения
Символы
Символ Значение
1 2
A Общее усиление, амплитуда
A(ω) Значение передаточной функции, амплитудно-частотная характеристика
A(jω) Комплексная передаточная функция четырехполюсника
A0 Основное усиление при f = 0 (фильтр нижних частот)
AM Центральное усиление (полосно-пропускающий фильтр)
A∞ Коэффициент усиления для f → ∞
AU(jω) Частотно-зависимое усиление по напряжению (операционный усилитель)
AU(s) Комплексная функция усиления (операционный усилитель)
AU0 Усиление по постоянному напряжению (операционный усилитель)
aD Затухание в полосе пропускания, дБ
aS Затухание в полосе задерживания, дБ
B Ширина полосы пропускания по уровню 3 дБ (полосно-пропускающий
фильтр)
BSR Ширина полосы пропускания большого сигнала
C Значение емкости конденсатора
CB Базовое значение емкости
c Значение емкости, нормированное по базовому значению CB
D* Параметр ЧЗОС с полным сопротивлением ZD = −1/ω2D*
DS Коэффициент затухания в полосе задерживания
F Общий символ для идеального четырехполюсника с обратной связью
F Символ для преобразования Фурье
FD Символ для преобразования Фурье для дискретного сигнала
F Частота, Гц
fA Частота дискретизации
fD Граничная частота полосы пропускания, Гц
fG Частота среза по уровню 3 дБ, Гц
fT Тактовая частота
fT Частота единичного усиления (операционный усилитель)
g(t) Отклик передающего блока на прямоугольный сигнал
g(m) Проводимость передачи или соответственно крутизна УТУН (усиление)
H Общий символ для идеального четырехполюсника, осуществляющего передачу сигнала
H(s) Системная функция непрерывной во времени системы
H(z) Системная функция дискретной во времени системы
12 Используемые символы и обозначения
1 2
HE(s) Функция входа
HR(s) Функция петли обратной связи
HS(s) Системная функция петли обратной связи
h(t) Импульсный отклик
I Постоянный электрический ток, эффективное значение переменного тока
i(t) Временная функция электрического тока
K Коэффициент масштабирования
k Разброс компонентов (соотношение значений двух параметров)
k(jω) Коэффициент преобразования (конвертор полного сопротивления)
L Значение индуктивности катушки
LB Базовое значение индуктивности
L Символ для преобразования Лапласа
l Значение индуктивности, нормированное по базовому значению LB
N(s) Полином знаменателя, общая форма
n Порядок системной функции, порядок фильтра
P(η) Полиноминальная функция, функция аппроксимации
Q Добротность резонансного контура, заряд конденсатора (SC-техника)
QP Добротность полюса
QZ Добротность нуля
R Омическое сопротивление
RB Базовое значение сопротивления
r Значение омического сопротивления, нормированное по базовому значению
RB
rE Сопротивление сигнального входа
rA Сопротивление сигнального выхода
S Комплексная частота, нормированная по частоте полюса (S = s/ωP)
s Комплексная (круговая) частота (s = σ + jω)
sN Комплексный нуль характеристического уравнения,
комплексный полюс системной функции (собственное значение)
sZ Комплексный нуль системной функции
x
y S Пассивная чувствительность х к изменению у
SR Скорость нарастания большого сигнала (Slew Rate)
T Постоянная времени
T(ω) Вещественная функция частотного преобразования
T(s) Комплексная функция частотного преобразования
TA Интервал дискретизации TA = l/fA
TT Тактовый интервал TT = l/fT
t Непрерывная временная переменная
U Постоянное электрическое напряжение, эффективное значение переменного
напряжения
Используемые символы и обозначения 13
1 2
U Комплексное эффективное значение переменного напряжения
U(z) Подвергнутая z-преобразованию последовательность значений напряжения u(n)
uˆ Комплексная амплитуда напряжения uˆ = uˆ · ejϕ
u(t) Временная функция электрического напряжения
u(t) Переменное электрическое напряжение, записанное в комплексном виде
uE, uA Входное / выходное сигнальное напряжение (общее)
uD Дифференциальное напряжение (вход ОУ)
u(n) Последовательность дискретных значений напряжения
v Коэффициент усиления по напряжению
v(s) Комплексное значение усиления по напряжению
w Неравномерность передачи (волнистость передаточной функции)
X(jω) Функция x(t) после преобразования Фурье, спектр входного сигнала
x(t) Входной сигнал (общий) во временной области
x(n) Последовательность значений на входе дискретной во времени системы
Y(jω) Функция у(t) после преобразования Фурье, спектр выходного сигнала
y(t) Выходной сигнал (общий) во временной области
y(n) Последовательность значений на выходе дискретной во времени системы
Y Комплексная проводимость, адмитанц
Z Комплексное полное сопротивление, импеданс
Z Символ для z-преобразования
Z(s) Полином числителя
ZD Отрицательное полное сопротивление ЧЗОС
ZTR Переходное полное сопротивление (УНУТ)
r Частотная переменная в дискретной во времени системе
δ(t) Импульсная функция (функция Дирака)
ε Коэффициент разброса (стабилизация амплитуды, генератор)
ε(t) Единичный прямоугольный импульс
εD Коэффициент пульсаций (передаточная функция, амплитудно-частотная характеристика)
ϕ Фазовый угол
φ Фаза тактовых сигналов (техника на основе переключаемых конденсаторов)
γ Мера для колебательного выброса (в %)
η Обобщенная частотная переменная, нормированная по частоте полюса ωP
σ Вещественная часть комплексной (круговой) частоты s
σN Коэффициент затухания, вещественная часть комплексного собственного
значения sN
τ Постоянная времени
τG(jω) Частотно-зависимое групповое время замедления
τG0 Групповое время замедления при ω = 0
τN Коэффициент масштабирования (преобразование Брутона)
14 Используемые символы и обозначения
1 2
τSC Коэффициент масштабирования (техника на основе переключаемых конден-
саторов)
ω Круговая частота ω = 2πf, мнимая часть комплексной круговой частоты s
ωD Граничная частота полосы пропускания
ωG Круговая частота среза по уровню 3 дБ
ωM Центральная круговая частота (полосно-пропускающий фильтр)
ωN Собственная круговая частота, мнимая часть комплексного собственного зна-
чения sN
ωP Круговая частота полюса P ω = sN
ωS Начальная частота полосы задерживания, граничная частота полосы задержи-
вания
ωZ Нуль передачи, мнимая часть sZ
Ω Обобщенная частотная переменная, нормированная по граничной частоте по-
лосы пропусканияωD
ζ Коэффициент затухания (резонансная цепь)
Сокращения
A-H Функция выборки и хранения
BL Билинейное преобразование (техника на основе переключаемых конденсато-
ров)
BTC Равные постоянные времени
CC Current Conveyor (преобразователь тока)
CCCS Current Controlled Current Source (источник тока, управляемый током, ИТУТ)
CCVS Current Controlled Voltage Source (источник напряжения, управляемый током,
ИНУТ)
CFA Current-Feedback Amplifier (усилитель напряжения, управляемый током,
УНУТ)
ER Обратная аппроксимация Эйлера (техника на основе переключаемых конден-
саторов)
EV Прямая аппроксимация Эйлера (техника на основе переключаемых конденса-
торов)
FDNR Frequency-Dependent Negative Resistor (частотно-зависимое отрицательное со-
противление, ЧЗОС)
FLF Follow-the-Leader-Feedback (обратная связь «следуй за лидером»)
GBP Произведение ширины полосы пропускания и усиления (частота единичного
усиления)
GIC Generalized Impedance Converter (обобщенный конвертор полного сопротив-
ления, ОКС)
KHN Kerwin-Huelsman-Newcomb (фильтр Кервина-Хьюлсмана-Ньюкомба)
LDI Lossless Discrete Integrator (дискретный интегратор без потерь)
LF Тип «чехарда»
MFB Multiple-Feedback (многократная обратная связь)
Используемые символы и обозначения 15
MLF Multiple-Loop-Feedback (многопетлевая обратная связь, МОС)
NIC Negative Impedance Converter (отрицательный конвертор полного сопротивле-
ния)
OPV Операционный усилитель (ОУ)
OTA Operational Transconductance Amplifier (усилитель тока, управляемый напря-
жением, УТУН)
PRB Primary-Resonator-Block (первичный резонаторный блок)
SC Switched-Capacitor (переключаемый конденсатор)
VCVS Voltage-Controlled Voltage Source (источник напряжения, управляемый напря-
жением, ИНУН)
VFA Voltage-Feedback Amplifier (усилитель напряжения, управляемый напряжени-
ем, УНУН)
Используемые символы и обозначения
Символы
Символ Значение
1 2
A Общее усиление, амплитуда
A(ω) Значение передаточной функции, амплитудно-частотная характеристика
A(jω) Комплексная передаточная функция четырехполюсника
A0 Основное усиление при f = 0 (фильтр нижних частот)
AM Центральное усиление (полосно-пропускающий фильтр)
A∞ Коэффициент усиления для f → ∞
AU(jω) Частотно-зависимое усиление по напряжению (операционный усилитель)
AU(s) Комплексная функция усиления (операционный усилитель)
AU0 Усиление по постоянному напряжению (операционный усилитель)
aD Затухание в полосе пропускания, дБ
aS Затухание в полосе задерживания, дБ
B Ширина полосы пропускания по уровню 3 дБ (полосно-пропускающий
фильтр)
BSR Ширина полосы пропускания большого сигнала
C Значение емкости конденсатора
CB Базовое значение емкости
c Значение емкости, нормированное по базовому значению CB
D* Параметр ЧЗОС с полным сопротивлением ZD = −1/ω2D*
DS Коэффициент затухания в полосе задерживания
F Общий символ для идеального четырехполюсника с обратной связью
F Символ для преобразования Фурье
FD Символ для преобразования Фурье для дискретного сигнала
F Частота, Гц
fA Частота дискретизации
fD Граничная частота полосы пропускания, Гц
fG Частота среза по уровню 3 дБ, Гц
fT Тактовая частота
fT Частота единичного усиления (операционный усилитель)
g(t) Отклик передающего блока на прямоугольный сигнал
g(m) Проводимость передачи или соответственно крутизна УТУН (усиление)
H Общий символ для идеального четырехполюсника, осуществляющего переда-
чу сигнала
H(s) Системная функция непрерывной во времени системы
H(z) Системная функция дискретной во времени системы
12 Используемые символы и обозначения
1 2
HE(s) Функция входа
HR(s) Функция петли обратной связи
HS(s) Системная функция петли обратной связи
h(t) Импульсный отклик
I Постоянный электрический ток, эффективное значение переменного тока
i(t) Временная функция электрического тока
K Коэффициент масштабирования
k Разброс компонентов (соотношение значений двух параметров)
k(jω) Коэффициент преобразования (конвертор полного сопротивления)
L Значение индуктивности катушки
LB Базовое значение индуктивности
L Символ для преобразования Лапласа
l Значение индуктивности, нормированное по базовому значению LB
N(s) Полином знаменателя, общая форма
n Порядок системной функции, порядок фильтра
P(η) Полиноминальная функция, функция аппроксимации
Q Добротность резонансного контура, заряд конденсатора (SC-техника)
QP Добротность полюса
QZ Добротность нуля
R Омическое сопротивление
RB Базовое значение сопротивления
r Значение омического сопротивления, нормированное по базовому значению
RB
rE Сопротивление сигнального входа
rA Сопротивление сигнального выхода
S Комплексная частота, нормированная по частоте полюса (S = s/ωP)
s Комплексная (круговая) частота (s = σ + jω)
sN Комплексный нуль характеристического уравнения,
комплексный полюс системной функции (собственное значение)
sZ Комплексный нуль системной функции
x
y S Пассивная чувствительность х к изменению у
SR Скорость нарастания большого сигнала (Slew Rate)
T Постоянная времени
T(ω) Вещественная функция частотного преобразования
T(s) Комплексная функция частотного преобразования
TA Интервал дискретизации TA = l/fA
TT Тактовый интервал TT = l/fT
t Непрерывная временная переменная
U Постоянное электрическое напряжение, эффективное значение переменного
напряжения
Используемые символы и обозначения 13
1 2
U Комплексное эффективное значение переменного напряжения
U(z) Подвергнутая z-преобразованию последовательность значений напряжения u(n)
uˆ Комплексная амплитуда напряжения uˆ = uˆ · ejϕ
u(t) Временная функция электрического напряжения
u(t) Переменное электрическое напряжение, записанное в комплексном виде
uE, uA Входное / выходное сигнальное напряжение (общее)
uD Дифференциальное напряжение (вход ОУ)
u(n) Последовательность дискретных значений напряжения
v Коэффициент усиления по напряжению
v(s) Комплексное значение усиления по напряжению
w Неравномерность передачи (волнистость передаточной функции)
X(jω) Функция x(t) после преобразования Фурье, спектр входного сигнала
x(t) Входной сигнал (общий) во временной области
x(n) Последовательность значений на входе дискретной во времени системы
Y(jω) Функция у(t) после преобразования Фурье, спектр выходного сигнала
y(t) Выходной сигнал (общий) во временной области
y(n) Последовательность значений на выходе дискретной во времени системы
Y Комплексная проводимость, адмитанц
Z Комплексное полное сопротивление, импеданс
Z Символ для z-преобразования
Z(s) Полином числителя
ZD Отрицательное полное сопротивление ЧЗОС
ZTR Переходное полное сопротивление (УНУТ)
r Частотная переменная в дискретной во времени системе
δ(t) Импульсная функция (функция Дирака)
ε Коэффициент разброса (стабилизация амплитуды, генератор)
ε(t) Единичный прямоугольный импульс
εD Коэффициент пульсаций (передаточная функция, амплитудно-частотная ха-
рактеристика)
ϕ Фазовый угол
φ Фаза тактовых сигналов (техника на основе переключаемых конденсаторов)
γ Мера для колебательного выброса (в %)
η Обобщенная частотная переменная, нормированная по частоте полюса ωP
σ Вещественная часть комплексной (круговой) частоты s
σN Коэффициент затухания, вещественная часть комплексного собственного
значения sN
τ Постоянная времени
τG(jω) Частотно-зависимое групповое время замедления
τG0 Групповое время замедления при ω = 0
τN Коэффициент масштабирования (преобразование Брутона)
14 Используемые символы и обозначения
1 2
τSC Коэффициент масштабирования (техника на основе переключаемых конденсаторов)
ω Круговая частота ω = 2πf, мнимая часть комплексной круговой частоты s
ωD Граничная частота полосы пропускания
ωG Круговая частота среза по уровню 3 дБ
ωM Центральная круговая частота (полосно-пропускающий фильтр)
ωN Собственная круговая частота, мнимая часть комплексного собственного значения sN
ωP Круговая частота полюса P ω = sN
ωS Начальная частота полосы задерживания, граничная частота полосы задерживания
ωZ Нуль передачи, мнимая часть sZ
Ω Обобщенная частотная переменная, нормированная по граничной частоте полосы пропусканияωD
ζ Коэффициент затухания (резонансная цепь)
Сокращения
A-H Функция выборки и хранения
BL Билинейное преобразование (техника на основе переключаемых конденсаторов)
BTC Равные постоянные времени
CC Current Conveyor (преобразователь тока)
CCCS Current Controlled Current Source (источник тока, управляемый током, ИТУТ)
CCVS Current Controlled Voltage Source (источник напряжения, управляемый током,
ИНУТ)
CFA Current-Feedback Amplifier (усилитель напряжения, управляемый током,
УНУТ)
ER Обратная аппроксимация Эйлера (техника на основе переключаемых конденсаторов)
EV Прямая аппроксимация Эйлера (техника на основе переключаемых конденса-
торов)
FDNR Frequency-Dependent Negative Resistor (частотно-зависимое отрицательное сопротивление, ЧЗОС)
FLF Follow-the-Leader-Feedback (обратная связь «следуй за лидером»)
GBP Произведение ширины полосы пропускания и усиления (частота единичного
усиления)
GIC Generalized Impedance Converter (обобщенный конвертор полного сопротивления, ОКС)
KHN Kerwin-Huelsman-Newcomb (фильтр Кервина-Хьюлсмана-Ньюкомба)
LDI Lossless Discrete Integrator (дискретный интегратор без потерь)
LF Тип «чехарда»
MFB Multiple-Feedback (многократная обратная связь)
Используемые символы и обозначения 15
MLF Multiple-Loop-Feedback (многопетлевая обратная связь, МОС)
NIC Negative Impedance Converter (отрицательный конвертор полного сопротивления)
OPV Операционный усилитель (ОУ)
OTA Operational Transconductance Amplifier (усилитель тока, управляемый напряжением, УТУН)
PRB Primary-Resonator-Block (первичный резонаторный блок)
SC Switched-Capacitor (переключаемый конденсатор)
VCVS Voltage-Controlled Voltage Source (источник напряжения, управляемый напряжением, ИНУН)
VFA Voltage-Feedback Amplifier (усилитель напряжения, управляемый напряжением, УНУН)
Введение
Электрические фильтры играют огромную роль во всех областях современной
техники связи, в обработке сигнала, а также в измерительной и регулирующей
технике. При этом функция фильтра соответствует процессу выбора, при котором характеристические признаки фильтруемого сигнала электрической величины могут использоваться для того, чтобы выделить определенную часть этого сигнала и получить возможность ее дальнейшей обработки. В большинстве случаев
это электрическое напряжение, которое таким способом может обрабатываться
по конкретным критериям.
Под это определение попадают, например, реагирующие на установленное
минимальное или максимальное значение амплитудные фильтры, а также синхронизируемые по специальному импульсу схемы выборки, которые могут рассматриваться как временные фильтры (например, метод временного мультиплексирования).
Но в большинстве случаев электрические фильтры используются для того,
чтобы иметь возможность выделять различные доли сигнала, содержащиеся в
спектре электрического напряжения, и целенаправленно изменять их при про-
пускании через фильтр.
В этой книге представлены исключительно частотно-избирательные фильтры,
которые — насколько это касается электротехники — обычно называются фильтрами и функция которых состоит в том, чтобы из смеси сигналов различных частот выделять или подавлять определенную долю согласно требуемым критериям
и с целью дальнейшей обработки.
Из множества вариантов использования фильтров в современной технике
можно выделить шесть типичных примеров:
•• фильтр нижних частот для ограничения полосы в системах для цифровой
обработки аналоговых сигналов (Anti-Aliasing-Filter);
•• фильтр нижних частот в качестве реконструкционных фильтров на выходе
цифро-аналоговых преобразователей (видеофильтр);
•• полосно-пропускающий фильтр для частотной селекции в системах беспроводной коммуникации;
•• фильтр верхних частот для анализа высших гармоник или в качестве частичного звена в полосно-пропускающем фильтре с очень широкой полосой пропускания;
•• полосно-заграждающий фильтр для подавления отдельных частот с поме-
хами и шумами,
Введение 17
•• всечастотный фильтр для выравнивания колебаний времени замедления
(схема коррекции задержки).
С точки зрения схемотехники тесно связанными с активными фильтрами являются несинхронизируемые «линейные» генераторы, которые или содержат
фильтр в качестве селективного элемента, или в ходе специальных методов определения параметров получаются непосредственно из активных фильтров.
Поэтому, чтобы понимать принцип работы генераторов, необходимо обладать
глубокими знаниями по технике фильтров. Доказательством того, что генераторы — это очень интересные и претенциозные системы, является кажущее противоречивым требование о том, что «линейный» генератор также должен иметь и
нелинейно действующие функции для получения возможности производить высококачественный синусоидальный сигнал.
Принцип действия классических пассивных фильтров основывается на часто-
тно-зависимых свойствах конденсатора и намотанной катушки. Эти ранее обоз-
начавшиеся как «режекторные фильтры» LC-комбинации сегодня носят названия «реактивных фильтров» и все еще имеют определенное значение в верхнем
мегагерцовом диапазоне.
Вызванные стремительным развитием полупроводниковых технологий в
50-е годы прошлого века многочисленные исследования концентрировались на
изучении возможности заменить катушки индуктивности вследствие их недостатков — таких как высокая стоимость, вес, объем, механические и электромаг-
нитные свойства — на усилительные схемы.
Венцом многих новаторских работ в этом секторе стала публикация от 1955 го-
да (Сален и К и, 1955), в которой описывались используемые и до сегодняшнего
дня принципиальные схемы активных фильтров на основе управляемых источ-
ников напряжения. Н астоящий прорыв в технике активных фильтров тесно свя-
зан с технологией монолитных интегральных линейных схем, благодаря которой
в 1960 году впервые появились полностью интегральные операционные усилите-
ли, а несколько лет спустя — компактные фильтрующие модули, выполненные
по гибридной технологии.
Дальнейшим значимым скачком развития в этой области стала доступная
примерно с 1980 года монолитная интеграция комплектных фильтрующих схем,
выполненная на основе МО П-элементов. При этом функции сопротивления вы-
полнялись или усилителем с выходом по току (фильтр на УТУН) или комбинаци-
ей из сигнальных выключателей и конденсаторов (фильтр на переключаемых
конденсаторах, SC-фильтр). С системно-теоретической точки зрения эти филь-
тры занимают промежуточное положение между аналоговыми фильтрами, про-
изводящими непрерывную во времени обработку сигнала, и дискретными по
времени цифровыми фильтрами. И менно в этой области за последние 30 лет были получены интересный практический опыт и новые теоретические знания.
18 Введение
Под влиянием современных высоких требований к мобильным средствам связи —
с рабочим напряжением до 1,5 В при минимальном расходе мощности, хорошей динамике и частотах в верхнем мегагерцовом диапазоне — последние десять лет усилия разработчиков сконцентрированы на полностью интегральных
фильтрующих схемах, которые работают в так называемом «log-режиме» (log
domain). При этом входные сигналы сначала упаковываются с помощью лога-
рифмической характеристики до того, как они будут обработаны — т. е. отфильтрованы, — и лишь затем распаковываются согласно принципу компандера
(Фрей, 1996). Этот не вполне совершенный метод в данной книге рассматриваться не будет.
Глава 1
Теоретические
основы
В этой главе приведены важные определения и положения теории систем, необходимые для описания передаточных характеристик частотно-зависимых цепей.
В большинстве случаев электрический фильтр представляет собой соединение
нескольких отдельных компонентов — поэтому говорят еще о фильтрующих се-
тях — с двумя входными и двумя выходными зажимами (или портами) для подачи
входного и снятия выходного напряжения. Схемы фильтров при описании, рас-
чете и измерении их свойств также рассматриваются как частотно-зависимые
двухпортовые элементы, или четырехполюсники, предназначенные для передачи
электрического сигнала.
Понятие системной функции вводится и раскрывается в разд. 1.1. В разд. 1.2
излагаются признаки классификации и параметры, необходимые для описания
передаточной функции фильтра. Так как передаточные характеристики важнейших типов фильтров могут быть расчетным путем сведены к функции фильтра нижних частот, в разд. 1.3 представлены схема допусков и технические условия для формулировки требований к так называемому фильтру-прототипу
нижних частот. Важнейшие методы приближения (аппроксимации) передаточной функции к передаточной функции идеального фильтра нижних частот
обсуждаются в разд. 1.4. Методы, с помощью которых эти данные фильтра
нижних частот могут использоваться для разработки других классических функций фильтров (частотные преобразования), описываются в разд. 1.5. В заключение этого раздела приводится обзор пассивных RLC-фильтров нижних частот, структуры которых прямыми или косвенными методами могут быть преоб-
разованы в активные схемы.
1.1. Линейные четырехполюсники
1.1.1. Комплексная частота
Основное понятие комплексной частоты, используемое в технике связи и при
описании фильтров, необходимо раскрыть с помощью примера (рис. 1.1). Посто-
янное напряжение U0 подается в момент времени t = 0 через переключатель S на
последовательную схему, состоящую из катушки (индуктивность L), сопротивле-
20 Глава 1. Теоретические основы
ния R и конденсатора (емкость С). Реакция этой схемы, обозначаемой как последова-
тельный колебательный контур, на возбуждение скачком напряжения должна рассчи-
тываться по току i(t) в течение промежутка времени.
Для замкнутой электрической цепи согласно правилу контуров
L i t
t
i t R
C
i t t U d
d
( ) + ( ) + ( )d = 1
0 . (1.1)
Уравнение (1.1) умножается на С и дифференцируется по времени t. Получа-
ется однородное дифференциальное уравнение второго порядка с вещественны-
ми постоянными коэффициентами:
LC i t
t
RC i t
t
i t d
d
d
d
2
2 ( ) + ( ) + ( ) = 0 . (1.2)
После замены
i(t) = I est (1.3)
из уравнения (1.2) следует:
I est (1+ sRC + s2LC) = 0 .
Величина s при этом является изначально неизвестным множителем в показа-
теле экспоненты и имеет размерность 1/время. Коэффициент I является посто-
янным и имеет размерность тока. Так как время t всегда положительно (процесс
начался при t = 0), условие уравнения может быть выполнено только в том случае,
если выражение в скобках равно нулю. Получается так называемое характерис-
тическое уравнение системы, при этом левая часть этого уравнения образует ха-
рактеристический полином:
1+ sRC + s2LC = 0 . (1.4)
Это уравнение второго порядка имеет два решения sN1 и sN2, которые также
обозначаются как собственные значения системы:
s R
L
R
N1 2 L LC
2
2 2
1
, = − ±
− . (1.5a)
Для наглядной интерпретации преобразуем этот результат, извлекая квадрат-
ный корень из −1:
Рис. 1.1. Последовательная RLC-
схема на постоянном напряжении
1.1. Линейные четырехполюсники 21
s R
L LC
R
N L j 1 2
2
2
1
, 2 = − ± −
. (1.5б)
Если использовать следующие сокращения, которые сначала покажутся про-
извольными,
− R =
2L
N и 1
2
2
LC
R
L
−
= N (1.6a)
то собственные значения, уравнение (1.5б), можно записать в такой форме:
sN1,2 N N = ± j . (1.6б)
Используя замену, уравнение (1.3), получаем временную функцию тока как
наложение обоих частных решений:
i (t ) = I s t + I s t = t (I t + I − t )
1 2 1 2 e N1 e N2 e N ej N e j N . (1.7)
Для определения обоих коэффициентов I1 и I2 подставляем начальные усло-
вия в момент включения (t = 0) в уравнение (1.7).
•• При t = 0 индуктивность L не пропускает ток через переключатель:
i(t = 0) = I + I = 0 I = −I 1 2 2 1 .
•• Поэтому при t = 0 для напряжения на L (при uC = 0) действительно выраже-
ние:
u t U L i
t
U L I s I s L ( = 0) = = = ( + ) 0 0 1 1 2 2
d
d
N N .
Из обоих условий и уравнения (1.6б) следует:
I I
U
L
I
1 2
0 0
2 2
= − = =
j j N
, где I
U
0 L
= 0
N
.
При подстановке этих двух постоянных в уравнение (1.7) для временной фун-
кции тока получается следующее выражение:
i t I t
t t ( ) =
( − − )
0 2
e
e e
j
N
j N j N
. (1.8a)
Для вещественных значений ω при использовании формулы Эйлера для комп-
лексного выражения
e e
j
j j
N
N N
t t
t
( − ) =
−
2
sin
22 Глава 1. Теоретические основы
уравнение (1.8a) можно представить в простой форме в виде произведения сину-
соидальной временной функции и множителя (амплитуды), который также зави-
сит от времени:
i (t) = I t sin t 0 e N N
. (1.8б)
Различные случаи
При подаче постоянного напряжения U0 на схему, изображенную на рис. 1.1, в
ней протекает изменяющийся по времени ток i(t) — уравнение (1.8). При этом
различаются три случая.
•• В случае докритического затухания с N
2 <1/ LC подкоренное выражение
в уравнении (1.6) положительно, поэтому значение ωN — вещественно. Изменение тока представляет собой (при отрицательном значении σN) затухающие по экспоненциальной функции синусоидальные колебания с круговой частотой ωN (единица измерения рад/с). При этом величина
fN N = / 2 обозначается как собственная частота (единица измерения
1/с = Гц).
Если схема не содержит активных компонентов (усилителей), то значение σN будет всегда отрицательным. Система в таком случае является затухающей. Поэтому данный параметр также называется постоянной затухания σN. Такая затухающая система обозначается как устойчивая.
•• В случае критического и соответственно надкритического затухания с
N
2 1/ LC подкоренное выражение в уравнении (1.5б) равно нулю или отрицательно, а оба решения — отрицательны и вещественны. При этом процесс затухания происходит без образования колебаний.
•• Для особого — здесь допустимого лишь теоретически — случая незатухающей системы при R = 0 и соответственно σN = 0 реакцией системы будут
непрерывные колебания с частотой ωN = ω0 = 1/LC (незатухающие колеба-
ния, принцип генератора, см. гл. 8).
В заключение необходимо еще раз подчеркнуть, что в предыдущем примере
изменение тока по времени следует описывать с помощью уравнений (1.5) и (1.6)
через величину sN, которая обозначается как собственная комплексная (круговая)
частота.
Комплексная частота
В дополнение к понятию комплексной частоты ω — при обобщении уравнения
(1.6б) — комплексная круговая частота равна:
s = + j . (1.9)
С помощью этого выражения экспоненциально затухающие колебания с круговой частотой ω = 2πf, происходящие в устойчивой системе, могут быть обобще
1.1. Линейные четырехполюсники 23
ны и описаны простыми математическими выражениями. Хотя это выражение и
не совсем соответствует истине, на практике принято при определении согласно
уравнению (1.9) говорить только о комплексной частоте s.
1.1.2. Передаточная функция
Для описываемого здесь четырехполюсника должны выполняться следующие условия:
•• линейность: четырехполюсник имеет линейную передаточную характеристику. Поэтому для составного сигнала каждая компонента может анализироваться (т.е. подвергаться воздействию передаточной функции) отдельно,
а преобразованные компоненты вновь суммируются на выходе;
•• инвариантность во времени: передаточная функция не зависит от времени.
Поэтому свойства четырехполюсника, осуществляющего передачу сигнала, в любой момент времени одинаковы;
•• установившийся режим: передаточная функция четырехполюсника исследуется только для установившегося состояния. Поэтому все переходные процессы рассматриваются как закончившиеся.
При выполнении этих условий четырехполюсник может реагировать на входной синусо-
идальный сигнал x(t) только синусоидальным сигналом y(t) такой же частоты. Однако при этом в общем случае наблюдаются изменения
амплитуды и фазы.
Для двух входных сигналов xi(t) и хk(t) одинаковой частоты будут действительны следующие выражения:
x t t y t A t i i ( ) = sin( + ) ( ) = sin( + ) 1 2 ,
x t t y t A t k k ( ) = cos( + ) ( ) = cos( + ) 1 2 .
При этом коэффициент А учитывает вызванное четырехполюсником изменение амплитуды (усиление или затухание), а фазовый угол ϕ = ϕ2 - ϕ1 характеризует
изменение фазы между входным и выходным сигналом. Значения А и ϕ в общем
случае зависят от частоты:
A = A( ) и = ( ) .
Из-за предполагаемой линейности системы оба входных сигнала xi(t) и хk(t)
могут воздействовать на четырехполюсник одновременно, без каких-либо изме-
нений в выходных сигналах уi(t) и уk(t). Если xi(t) кроме этого еще умножить на
ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИК
Рис. 1.2. Модель четырехполюсника (линейный, инвариантный во
времени)
24 Глава 1. Теоретические основы
коэффициент «j», то для составного сигнала можно записать следующую зависи-
мость:
x t x t x t y t y y t k i k i ( ) = ( )+ ( ) ( ) = j + j ( ) .
По теореме Эйлера для комплексных чисел
cos x + jsin x = ejx (1.10)
входной и выходной сигналы можно записать в такой форме:
x t y t A
x t
t t
t
( ) = ( ) = ( ) ,
( ) =
( + ) ( + )
( )
e e
e e
j j
j j
1 2
1 y(t ) = A( )ej( t )ej 2 .
(1.11)
Вызванное четырехполюсником изменение амплитуды и фазы обозначается
как передаточная функция и определяется с помощью соотношения y(t) / x(t) .
Передаточная функция
Комплексная передаточная функция A( j ) четырехполюсника определяется как
соотношение временных функций выходного и входного сигналов для специаль-
ного случая синусоидальных процессов:
y t
x t
A A
x t t
( )
( ) = ( ) = ( )
( ) = e
j
j
e j
. (1.12)
Для особенно интересного случая, когда величины сигналов x(t) и y(t) представляются с помощью напряжений u1(t) и u2(t) с амплитудами û1 и соответственно û2, определение передаточной функции формулируется особенно просто. Для
временной функции комплексного напряжения на входе и соответственно на вы-
ходе четырехполюсника согласно уравнению (1.11) можно записать:
x (t ) = u (t ) = ( t + )
1 1
û ej 1 и y(t ) = u (t ) = ( t + )
2 2
û ej 2 .
Переход от комплексных напряжений u1(t) и u2(t) к физически реальным напряжениям u1(t) и соответственно u2(t) согласно уравнению (1.10) в любой момент
возможен с помощью выделения мнимой и вещественной части синусоидального
или косинусоидального сигнала.
Если комплексные амплитуды равны
û1 û1 = ej 1 и û2 û2 = ej 2 ,
а соответствующие комплексные эффективные значения равны U1(t) и U2(t), то из
определения, заданного уравнением (1.12), можно вывести выражение для комп-
лексной передаточной функции:
A
u t
u t
U
U
t
t j e
e
j
1
j
( ) = ( )
( ) 2 = = =
1
2 2
1
2
1
û
û
û
û
. (1.13)
1.1. Линейные четырехполюсники 25
Передаточная функция схемы, которая содержит только линейные или линеаризованные в рабочей точке элементы, достаточно просто определяется согласно
правилам расчета цепей переменного тока.
Интерпретация передаточной функции
Определение согласно уравнению (1.13) можно применять для всех линейных четырехполюсников также в случае наложения нескольких синусоидальных сигналов. Получаемое при этом суммарное уравнение представляет собой комплекс-
ный ряд Фурье, коэффициенты которого характеризуют величину и фазу линейчатого спектра выходного сигнала. Благодаря переходу к бесконечно большому
периоду колебаний в полученном суммарном уравнении ряд Фурье переходит в
интеграл Фурье, при этом из линейчатого спектра получается непрерывный
спектр.
Коэффициент, который связывает между собой входной и выходной спект-
ры, является уже определенной с помощью уравнения (1.12) передаточной функ-
цией A( jω):
Y A X A
Y
X
j j j j
j
j
( ) = ( ) ( ) ( ) = ( )
( ) . (1.14)
Величины X (jω) и Y (jω) при этом представляют собой относящиеся к временным функциям x(t) и y(t) спектральные плотности амплитуд, которые рассчитываются при помощи преобразования Фурье (символ F):
X (j ) = F{x (t )} и Y (j ) = F{y(t )}.
Благодаря этому передаточная функция A(jω) может быть интерпретирована
как комплексная величина, на которую нормируется (т.е. умножается) спектр
входного сигнала при прохождении через четырехполюсник. Тем самым она вы-
ражает математическую связь между спектральной плотностью амплитуд входно-
го и выходного сигналов и, следовательно, имеет наглядное физическое значение.
1.1.3. Системная функция
В дополнение к понятию комплексной передаточной функции A(jω), введенному
с помощью уравнения (1.13), системная функция H(s) четырехполюсника получа-
ется при переходе от переменной величины jω к комплексной переменной s, оп-
ределяемой по уравнению (1.9). Оба понятия тесно связаны друг с другом и бла-
годаря простой замене переменных функции могут быть легко преобразованы
одна в другую.
A H s s (j ) j
=
= ( ) . (1.15)
26 Глава 1. Теоретические основы
Системная функция
Если X (s) и Y (s) — результат преобразования Лапласа (символ L) временных
функций x(t) и соответственно y(t), т.е.:
X (s) = L{x (t )} и Y (s) = L{y(t )} ,
то соотношение, определяемое по уравнению (1.14), переходит в системную
функцию
H s
Y s
X s
( ) = ( )
( ) . (1.16)
Благодаря формальному переходу от jω к s функции X (jω) и Y (jω), являющиеся результатом преобразования Фурье, в уравнении (1.14) переходят в функции
X (s) и Y (s), являющиеся результатом преобразования Лапласа временных функ-
ций x(t) и y(t), см. уравнение (1.16).
Особое значение системная функция H(s) имеет для оценки устойчивости передающих систем, так как она — как будет показано в разделе 1.1.4 — находится в
непосредственной взаимосвязи с дифференциальным уравнением и соответс-
твенно относящимся к нему характеристическим уравнением системы, решения
которых описывают изменение функции во времени.
В отличие от передаточной функции A(jω), которая связывает между собой
входной и выходной спектры, системная функция H(s) не имеет какого-либо
конкретного физического значения. Однако она связана с преобразованием Лапласа временной функции таким образом, что это очень наглядно характеризует
передаточную функцию (импульсный отклик или отклик на прямоугольный сигнал) (разд. 1.1.4).
1.1.4. Линейные цепи во временной и частотной области
В данном разделе будут кратко, без приведения доказательств, представлены взаимосвязи между важнейшими функциями, которые характеризуют линейный
инвариантный во времени четырехполюсник (рис. 1.2). Подробное описание взаимосвязей можно найти в специализированной литературе по теме «Теория систем» (например, Марко, 1995).
•• Передаточная функция A(jω) достаточно просто рассчитывается согласно
правилам комплексного расчета цепей переменного тока, см. уравне-
ние (1.13).
•• По правилам комплексного счисления из A(jω) могут быть получены амп-
литудно-частотная характеристика (модуль передаточной функции)
A(j ) = A( ) и фазово-частотная характеристика (функция фазы) = ( ).
1.1. Линейные четырехполюсники 27
Обе функции наглядно описывают передаточную характеристику четырехполюсника.
•• При переходе от переменной «jω» к комплексной частоте «s» из передаточной функции A(jω) получается системная функция H(s).
•• По уравнению (1.16) и при условии X (s) =1 действителен следующий частный случай:
Y (s) = H (s) для X (s) =1 = L{ (t )}
с импульсной функцией (функцией Дирака) δ(t).
•• Поэтому также действительно выражение:
H(s) = L{h(t )},
где h(t) = y(t) — импульсный отклик для случая x(t) = δ(t).
•• Системная функция H(s) является результатом преобразования Лапласа
временной реакции h(t) системы на импульсное возбуждение δ(t) на входе.
•• Для единичного прямоугольного импульса
x t t
t
t
( ) = ( ) =
( )
( > )
0 0
1 0
(1.17)
существует следующая связь с импульсной функцией δ(t):
(t)
t
= d (t )
d
. (1.18)
•• Так как операция «d/dt» согласно преобразованию Лапласа является умножением в частотном диапазоне на «s», для единичного скачка, используемого в качестве тестового сигнала, можно сформулировать простую связь
с H(s):
H(s) = sL{g (t )}, где y(t) = g(t) для x(t) = ε(t).
•• Системная функция H(s) является умноженным на «s» результатом преоб-
разования Лапласа временной функции g(t) на выходе для частного случая
скачкообразного импульсного возбуждения ε(t) на входе. Поэтому функция g(t) называется откликом на прямоугольный сигнал.
•• Между описанными выше выходными сигналами h(t) и g(t) существует та
же математическая зависимость, что и для обеих функций входного сигнала δ(t) и соответственно ε(t):
h t
t
( ) = d g (t )
d
. (1.19)
28 Глава 1. Теоретические основы
Названные выше возможности описания четырехполюсника во временной и частотной области не являются независимыми друг от друга. Основные зависимости
еще раз представлены на рис. 1.3.
Рис. 1.3. Взаимосвязи функций, характеризующих четырехполюсник во временной и
частотной области
Импульсный
отклик
Амплитудно-частотная
характеристика (модуль)
Системная
функция
Передаточная
функция
Отклик
на прямоугольный
сигнал
Фазово-частотная
характеристика
L: правило вычисления преобразования Лапласа
L −1: правило вычисления обратного преобразования Лапласа
Пример
В разд. 1.1.1 исследовались временные характеристики последовательной RLCсхемы (рис. 1.1), на вход которой подается скачок напряжения. Такая же схема
рассматривается как четырехполюсник, осуществляющий передачу сигнала (пе-
редающий четырехполюсник) в том случае, когда напряжение на конденсаторе
определяется как выходной сигнал U 2 (рис. 1.4).
Для этой схемы, которая представляет собой классический пассивный RLC-
фильтр нижних частот, необходимо проанализировать частотные характеристики
и определить системную функцию H(s). При этом дифференциальное уравнение
(1.2) выражает важную формальную зависи-
мость, которая описывает временные харак-
теристики схемы.
Системная функция
Согласно правилам комплексного расчета
цепей переменного тока передаточная функРис.
1.4. RLC-четырехполюсник ция RLC-схемы может быть указана в виде
1.1. Линейные четырехполюсники 29
соотношения комплексных эффективных значений выходного и входного напря-
жения:
A
U
U
C
L
(j ) / j
R 1/j C j
= =
+ +
2
1
1 .
Посредством перехода к комплексной частоте согласно уравнению (1.15) по-
лучается системная функция
H s sC
R sC sL sRC s LC
( ) /
/
=
+ +
=
+ +
1
1
1
1 2 . (1.20)
Сравнение уравнений (1.20) и (1.4) позволяет сделать следующий вывод.
В знаменателе системной функции стоит левая часть характеристического урав-
нения системы, решения которого (собственные значения) sN1 и sN2 наглядно
описывают переходный процесс.
В данном примере эти решения находятся по уравнению (1.5) в разд. 1.1.1. Ве-
щественная часть σN этих решений — как показано в разд. 1.1.1 — по соображени-
ям устойчивости всегда должна быть отрицательной.
Переходные процессы
Исследование схемы на рис. 1.4 необходимо дополнить расчетом изменения по
времени выходного сигнала u2(t) для случая скачкообразного импульсного воз-
буждения при
u t
t
U t 1
0
0 0
0
( ) =
( < )
( )
.
Напряжение u2(t) может быть выражено как падение напряжения на конден-
саторе при протекании тока i(t). Тогда вместе с уравнением (1.1) получается
u t
C
i t t U i t R L
i t
2 0 t
( ) = 1 ( ) = − ( ) + ( )
d
d
d
.
Для малой величины затухания N
2 <1/ LC при подстановке временной функ-
ция тока согласно уравнению (1.8) для выходного напряжения можно записать
u t U t t t
2 0 ( ) = 1− (cos )− sin
e N N
N
N
N
. (1.21)
После начального нарастания от U0 — в области негативных значений косину-
са — для случая относительно малого коэффициента затухания
N2 = R <
L LC
2
4 2
1
30 Глава 1. Теоретические основы
напряжение u2(t) приближается к значению U0 в форме затухающего колебания с
собственной круговой частотой ωN (разд. 1.1.1, уравнение (1.8). При относительно большой величине затухания
N
2 1
LC
величина тока уменьшается согласно экспоненциальной функции, приближаясь
к U0 без образования колебаний.
Количественная взаимосвязь между характеристиками отклика на прямоугольный сигнал во временной области, уравнение (1.21), и частотной характе
ристикой фильтра описывается в разд. 1.2.3 (абзац «Переходные процессы»).
1.1.5. Распределение полюсов и устойчивость
Для схемы на рис. 1.4 характеристическое уравнение составляется по знаменателю системной функции, уравнение (1.20). Данное высказывание можно обобщить для всех описываемых здесь активных и пассивных четырехполюсников,
осуществляющих передачу сигнала.
Благодаря этому исчезает необходимость в составлении дифференциального
уравнения системы для оценки передаточных процессов и соответственно устойчивости. Очень часто намного проще составить выражение для системной функции, знаменатель которой непосредственно приводит к характеристическому
уравнению и его решению.
Если полином знаменателя представить в виде сомножителей, то обычно
значения sN, при которых он обращается в ноль, обозначают как полюсы, а их
числовые значения графически представляют на s-плоскости (плоскости комплексной частоты). Вместе с представлением нулей sZ знаменателя (значений sZ, при которых знаменатель обращается в нуль) это позволяет полно-
стью — до постоянной — описать передаточные характеристики четырехполюсника (разд. 1.2).
Так как в соответствии с условиями, изложенными в разделе 1.1.2, здесь рас-
сматриваются только линейные и инвариантные во времени четырехполюсники,
описывающие систему дифференциальные уравнения имеют только вещественные постоянные коэффициенты, так что H(s) также является дробно-рациональной функцией с вещественными коэффициентами. Следовательно, нули знаменателя могут быть только вещественными или комплексно-сопряженными. При
разложении знаменателя на линейные множители это высказывание очень легко
проверить. При этом порядок дифференциального уравнения и соответственно
системной функции определяет количество решений и, следовательно, количество полюсов.
1.1. Линейные четырехполюсники 31
Самые важные выводы, которые можно из этого сделать, следует обобщить
еще раз.
•• Для линейного и инвариантного во времени четырехполюсника (LTI-система)
характеристическое уравнение системы, решения которого описыва-
ют переходный процесс, можно получить непосредственно из системной
функции H(s). Знаменатель H(s) идентичен характеристическому полиному.
•• Значения, при которых полином знаменателя N(s) обращается в нуль, —
полюсы системной функции — являются решениями характеристического
уравнения. Они могут быть или вещественными, или комплексно-сопря-
женными. Количество полюсов равно порядку системной функции.
•• Знак перед вещественной частью полюса всегда отрицательный, если речь
идет об устойчивой передающей системе. Поэтому при графическом пред-
ставлении на комплексной s-плоскости полюсы будут расположены только
в левой полуплоскости (рис. 1.5).
•• Для пассивного четырехполюсника это условие всегда выполняется. Для
устойчивой активной системы выполнение данного условия должно обес-
печиваться с помощью соответствующего выбора параметров.
•• По диаграмме полюсов sN и нулей sZ на s-плоскости можно сделать непосредственные выводы о передаточной характеристике и устойчивости четырехполюсника.
•• Для теоретически возможного случая, когда для вещественной части пары
полюсов системы второго порядка выполняется условие N1,2 = 0 (полюсы
расположены на мнимой оси s-плоскости), речь пойдет о системе, способ-
ной генерировать незатухающие колебания (принцип генератора).
Примеры
Пример 1: RLC-четырехполюсник
Для RLC-четырехполюсника, изображенного на рис. 1.4, полюсы уже определены как нули характеристического уравнения, см. уравнение (1.5):
s R
L LC
R
N1,2 L
N
N
= − ± j −
2
1
2
2
.
При этом для подкоренного выражения следует рассмотреть три характерных
случая:
R
2L LC
1 2
<
докритическое затухание (
пара комплексно-сопряжен-
ных полюсов),
32 Глава 1. Теоретические основы
R
2L LC
1 2
= критическое затухание (отрицательный вещественный
двойной полюс),
R
2L LC
1 2
> надкритическое затухание (два отрицательных вещест-
венных полюса).
Особый случай при R = 0 соответствовал бы незатухающему пассивному колебательному контуру без потерь. Однако для цепи, состоящей из реальных элементов, вследствие непредотвратимых потерь в катушке и конденсаторе такое состо-
яние наступить не может.
На s-плоскости полюсы sN системной функции принято обозначать крестика-
ми (х), а нули sZ кружочками (о). Для данного примера на рис. 1.5 наносится только пара комплексно сопряженных полюсов, так как системная функция, уравнение 1.20, обращается в нуль только при s → ∞. В этом случае нули не могут быть
представлены на s-плоскости.
Рис. 1.5. Диаграмма полюсов на
s-плоскости (к рис. 1.4)
s-плоскость
Пример 2: RC-четырехполюсник второго порядка
Для сравнения с диаграммой полюсов RLC-четырехполюсника второго порядка
из первого примера необходимо найти полюсы схемы, состоящей из двух последовательно соединенных простых RC-звеньев (рис. 1.6).
По правилам комплексного расчета цепей переменного тока и при использовании сокращенных обозначений для посто-
янных времени
R1C1 = T1 и R2C2 = T2
можно составить системную функцию второ-
го порядка:
H s
s T T RC s TT
( ) =
+ ( + + )+
1
1 1 2 1 2
2
1 2
Рис. 1.6. RC-четырехполюсник вто- . (1.22)
рого порядка
1.2. Характеристики фильтров второго порядка 33
Ее полюсами (нулями знаменателя) являются:
s
T T RC
TT TT
T T RC
N1,2 TT = −
+ +
±
( + + )
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
2
1 2 2
1
4
. (1.23)
Так как подкоренное выражение для всех значений Т всегда положительно,
системная функция схемы на рис. 1.6 имеет два вещественных полюса sN1 и sN2,
расположенных на отрицательной вещественной полуоси s-плоскости.
Пример 3: RC-четырехполюсник первого порядка
При условии R2 = 0 и C2 = 0 схема, изображенная на рис. 1.6, переходит в RC-
четырехполюсник первого порядка. Системная функция схемы
H s
sT ( ) =
+
1
1 1
(1.24)
имеет один вещественный полюс при sN T = −1 1 / .
Обобщение
Результаты, полученные в двух последних примерах, можно перенести на все пас-
сивные RC-схемы. Это позволяет сделать следующий вывод.
Системная функция с комплексно-сопряженным распределением полюсов для
пассивных RC-схем невозможна. Все полюсы располагаются на отрицательной
вещественной полуоси s-плоскости.
Это свойство и является истинной причиной того, что фильтры без катушек ин-
дуктивности должны включать в себя активные элементы (усилители), чтобы иметь
возможность воспроизвести передаточные характеристики пассивной фильтрую-
щей схемы из сопротивлений, катушек индуктивности и конденсаторов — т.е. по-
лучить системную функцию с комплексно сопряженными полюсами.
1.2. Характеристики фильтров второго порядка
В этом разделе описываются основные признаки и характеристики фильтрующих
цепей, приводятся их определения на примере общей системной функции второ-
го порядка, которая играет важную роль также при выборе конфигурации и пара-
метров фильтров более высокого порядка (n > 2). Критерии, выведенные на осно-
ве этих признаков и характеристик, служат для понятной классификации различ-
ных типов фильтров.
Порядок системной функции идентичен порядку полинома знаменателя, а
для канонических схем — т.е. схем с обусловленным системой минимальным
числом элементов — также идентичен числу частотно-зависимых элементов
(конденсаторов емкостью С или катушек с индуктивностью L).
34 Глава 1. Теоретические основы
1.2.1. Биквадратная системная функция
В разделе 1.1.4 уравнением (1.20) была задана системная функция для RLC-фильтра нижних частот, представленного еще раз на рис. 1.7(а). Посредством циклической перестановки элементов цепи получаются 2 других четырехполюсника,
рис. 1.7(б) и 1.7(в), которые рассчитываются по аналогии со схемой (а).
а
в
б
Рис. 1.7. Пассивные четырехполюсники
а) RLC-фильтр нижних частот
б) RCL-фильтр верхних частот
в) Полосно-пропускающий LCR-фильтр
При этом выявляется интересное сходство трех системных функций.
Полиномы знаменателя N(s) трех системных функций H(s) будут идентичны,
если знаменатели с помощью соответствующего дополнения привести к так называемой нормальной форме.
При этом под термином нормальная форма понимается полином от пере-
менной s, в котором значение постоянного члена равно 1. С его помощью
для всех трех RLC-четырехполюсников может быть задана общая системная
функция
H s
a a s a s
RCs LCs
( ) =
+ +
+ +
0 1 2
2
1 2
, (1.25)
числовые коэффициенты ai которой определяют принципиальную передаточную
характеристику:
Случай (а) a1 = a2 = 0; a0 = 1 ⇒ RLC-фильтр нижних частот,
Случай (б): a0 = ai = 0; a2 = LC ⇒ RCL-фильтр верхних частот,
Случай (в): a0 = а2 = 0; a1 = RC ⇒ полосно-пропускающий LCR-фильтр.
Величина a0 в качестве безразмерной константы в числителе определяет значение системной функции при s = 0.
Биквадратная системная функция
На основе этого примера уравнение (1.26) определяет общую биквадратную
системную функцию, которая включает в себя в виде частных случаев все характеристики, имеющие значения для практики разработки и использования фильтров.
1.2. Характеристики фильтров второго порядка 35
H s
a a s a s
b s b s
Z s
N s
( ) =
+ +
+ +
= ( )
( )
0 1 2
2
1 2
1 2
. (1.26)
После замены комплексной переменной s на jω уравнение (1.26) переходит в
биквадратную передаточную функцию, которая с помощью нормирования
jΩ = jω /ωD преобразуется в форму, удобную для практического применения. При
этом получаются новые безразмерные коэффициенты ci и di:
A
a c c
d d
(j )
j j
j j
=
+ ( )+ ( )
+ ( )+ ( )
0 1 2
2
1 2
2 1
. (1.27)
Это представление имеет особое значение при описании фильтра-прототипа
нижних частот (разд. 1.3), для которого используемая для нормирования по час-
тоте величина ωD интерпретируется как верхняя граничная частота полосы про-
пускания фильтра нижних частот.
1.2.2. Классификация фильтров
На основе уравнения (1.26) с помощью определения коэффициентов a1, a2, b1, b2
можно провести систематизацию различных функций фильтров. Имеет смысл
сначала классифицировать эти функции по их основной частотной характерис-
тике. Согласно разд. 1.2.1 эти свойства характеризуются числителем системной
функции и, следовательно, положением нулей полинома знаменателя Z(s) на
s-плоскости. При этом различают 5 случаев, которые приводят к определению
пяти классических функций фильтров.
Различные случаи
1. Фильтр нижних частот с нулями при sZ ± :
a1 = a2 = b2 = 0 ⇒ фильтр нижних частот первого порядка (один нуль),
a1 = a2 = 0 ⇒ фильтр нижних частот второго порядка (два нуля).
2. Фильтр верхних частот с нулями при sZ = 0:
a1 = a2 = b2 = 0 ⇒ фильтр верхних частот первого порядка (один нуль),
a0 = a1 = 0 ⇒ фильтр верхних частот второго порядка (двойной нуль).
3. Полосно-пропускающий фильтр с нулями при sZ = 0 и при sZ ± :
a0 = a2 = 0 ⇒ полосно-пропускающий фильтр второго порядка.
4. Частотно-заграждающий фильтр с нулями при Z = ± a a 0 2 / :
a1 = 0 ⇒ частотно-заграждающий фильтр второго порядка
с H s
a
a a
a b
( ) /
/
=
=
=
0
2
2 2
0
0
0
.
36 Глава 1. Теоретические основы
5. Всечастотный фильтр с нулями, зеркально симметричными полюсам:
a0 = 1, a1 = −b1, a2 = b2 = 0 ⇒ всечастотный фильтр первого порядка (один
нуль),
a0 = 1, a1 = −b1, a2 = b2 ≠ 0 ⇒ всечастотный фильтр второго порядка (два
нуля).
Числитель и знаменатель системной функции являются комплексно сопряженными, т.е. выполняется условие
Z s N s Z ( ) = (− ) (s) = N (s) .
Следовательно, амплитуда (модуль) системной функции не зависит от частоты, лишь наблюдается частотно-зависимый фазовый сдвиг.
В большинстве случаев предъявляемые на практике требования к частотной избирательности выполняются с помощью одного из вышеназванных классов
фильтров или их комбинацией. Также может использоваться в качестве элект-
ронной схемы биквадратная системная функция в общей форме, уравнение (1.26)
(взвешивающий фильтр, эквалайзер).
Выводы
По коэффициентам знаменателя a0, a1 и a2 биквадратной системной функции определяются 5 классов фильтров (цепей) второго порядка, принципиальные передаточные характеристики которых наглядно описываются присвоенными им на-
званиями. За исключением класса всечастотных фильтров все другие функции
фильтров имеют выраженное пропускающее или запирающее действие в зависимости от частоты (избирательность).
Точное положение системной функции в переходной области между полосой
пропускания и полосой задерживания регулируется коэффициентами b1 и b2 полинома знаменателя. Так как при практическом применении большое значение
имеет частотно-избирательное поведение фильтра именно в переходной области,
в разд. 1.2.3 полином знаменателя анализируется и наглядно представляется с помощью распределения полюсов на s-плоскости.
Выбор параметров электронной схемы для реализации определенной функции
фильтра является обычной задачей, которую можно решить с помощью соответствующих формул (метод «поваренной книги») или с помощью компьютеров и
программ для разработки фильтров. Но это уже третий этап.
Первый этап заключается в принятии решения о подходящей характеристике
фильтра, с помощью которой можно выполнить предъявляемые требования. При
этом предлагается на выбор до пяти «классических» функций (ключевые слова:
Баттерворта, Ч ебышева, К ауэра…) и примерно с десяток других «экзотических»
вариантов. В ыбор осложняется тем, что одновременно необходимо учитывать и
схемотехнические последствия, так как затраты на реализацию отдельных функций сильно отличаются друг от друга.
После этого наступает второй, решающий и самый сложный этап: выбор схемы.
Например, в данной книге для фильтра нижних частот второго порядка со-
держится примерно 20 схем, для части из которых предлагаются до трех стратегий
определения параметров. Дополнительно для функций четвертого и более высо-
ких порядков открываются другие возможности — более мощные и достойные
рекомендации для использования.
Одна из этих многочисленных концепций с точки зрения требований и краевых условий технического, операционного или экономического рода (ключевые
слова: избирательность, точность, потребление мощности, подача питания, стоимость), вероятно, представлена как «оптимум». Но на вопрос о «правильной» схеме не сможет ответить ни компьютерная программа, ни интернет-ресурс по расчетам и проектированию, ни слишком лаконичные главы, посвященные фильтрам в общей литературе по электронике.
Данная книга тоже не может дать однозначного ответа. Н о целью настоящего
издания является стремление научить читателя самостоятельно находить правильное решение стоящих перед ним задач. Для этого необходимо не только
знать современный уровень развития техники в области аналоговых фильтров, но
и понимать основные методы разработки, а также учитывать особые признаки и
ограничения различных методов. Только тогда и в ходе систематизированного
выбора появляется возможность реализовать правильный фильтр для определенного применения.
С этой целью в книге представлены введение в системную теорию и конкретные примеры разработки активных фильтров.
Книга о современных аналоговых фильтрах также является и книгой об аналоговой обработке сигнала — области, которая и в «цифровую эру» не потеряла
своего значения.
Именно за последние годы вследствие стремительного развития сетей коммуникации — в частности, мобильной связи — к аналоговой технике стали предъявляться совершенно новые требования, возникли дополнительные области ее
применения.
Ядром аналоговой обработки сигнала является активный фильтр с электронными усилителями, которые, за исключением микроволнового диапазона, сегодня используются почти исключительно в виде интегральных микросхем. Хотя
классический операционный усилитель продолжает играть главную роль, в данной книге представлены новинки, скрывающиеся за английскими сокращениями CFA, OTA и CC (УНУТ, УТУН и преобразователь тока). Подробную инфор-
мацию о темах и основных моментах можно найти в содержании книги, однако о
трех главах стоит упомянуть отдельно.
Учитывая разнообразие методов для разработки структур фильтров, имеет
смысл представить отдельные варианты структур и различные стратегии сначала
совместно и взаимосвязано, чтобы затем обсудить каждый из них подробно в со-
ответствующей главе или разделе с помощью расчетных примеров. Этой цели
служит вторая глава.
Отдельная глава посвящена фильтрам на переключаемых конденсаторах (SCFilter)
— широко используемых технических элементах в форме полностью ин-
тегральных фильтрующих схем. С системно-технической точки зрения эти такти-
руемые системы представляют собой переход от аналоговых фильтров, производящих непрерывную обработку сигнала, к дискретным по времени цифровым
фильтрам.
Разумеется, что возможности современных компьютерных программ также
должны использоваться и для проектирования различных фильтров. Это относится как к моделированию схем для проверки схемной концепции и выбранных
параметров, так и к самой разработке фильтров. Поэтому в отдельной главе пред-
ставлены возможности и ограничения девяти бесплатных программ для проекти-
рования.
Книга является удобным справочником для инженеров и исследователей, желающих освежить свои знания о технике фильтров, а также познакомиться с новыми методами и элементами.
Но данное издание может стать и учебником для людей, изучающих технику
передачи информации и связи, а также сходных направлений, которые, обладая
общей системно-теоретической базой, хотят работать в области фильтров.
Главными условиями для этого являются знания математики и электротехники в
объеме, который соответствует первым трем семестрам обучения по инженерным
специальностям технических ВУЗов.
Содержание книги — результат моей 25-летней преподавательской и научной
деятельности в В ысшей школе Бремена в области аналоговой обработки сигнала.
В этой связи я хотел бы поблагодарить своих студентов, которые в форме курсо-
вых проектов, студенческих и дипломных работ внесли значительный вклад в на-
писание настоящей книги.
Бремен, осень 2007 Лутц фон Вангенхайм
Используемые символы и обозначения
Символы
Символ Значение
1 2
A Общее усиление, амплитуда
A(ω) Значение передаточной функции, амплитудно-частотная характеристика
A(jω) Комплексная передаточная функция четырехполюсника
A0 Основное усиление при f = 0 (фильтр нижних частот)
AM Центральное усиление (полосно-пропускающий фильтр)
A∞ Коэффициент усиления для f → ∞
AU(jω) Частотно-зависимое усиление по напряжению (операционный усилитель)
AU(s) Комплексная функция усиления (операционный усилитель)
AU0 Усиление по постоянному напряжению (операционный усилитель)
aD Затухание в полосе пропускания, дБ
aS Затухание в полосе задерживания, дБ
B Ширина полосы пропускания по уровню 3 дБ (полосно-пропускающий
фильтр)
BSR Ширина полосы пропускания большого сигнала
C Значение емкости конденсатора
CB Базовое значение емкости
c Значение емкости, нормированное по базовому значению CB
D* Параметр ЧЗОС с полным сопротивлением ZD = −1/ω2D*
DS Коэффициент затухания в полосе задерживания
F Общий символ для идеального четырехполюсника с обратной связью
F Символ для преобразования Фурье
FD Символ для преобразования Фурье для дискретного сигнала
F Частота, Гц
fA Частота дискретизации
fD Граничная частота полосы пропускания, Гц
fG Частота среза по уровню 3 дБ, Гц
fT Тактовая частота
fT Частота единичного усиления (операционный усилитель)
g(t) Отклик передающего блока на прямоугольный сигнал
g(m) Проводимость передачи или соответственно крутизна УТУН (усиление)
H Общий символ для идеального четырехполюсника, осуществляющего передачу сигнала
H(s) Системная функция непрерывной во времени системы
H(z) Системная функция дискретной во времени системы
12 Используемые символы и обозначения
1 2
HE(s) Функция входа
HR(s) Функция петли обратной связи
HS(s) Системная функция петли обратной связи
h(t) Импульсный отклик
I Постоянный электрический ток, эффективное значение переменного тока
i(t) Временная функция электрического тока
K Коэффициент масштабирования
k Разброс компонентов (соотношение значений двух параметров)
k(jω) Коэффициент преобразования (конвертор полного сопротивления)
L Значение индуктивности катушки
LB Базовое значение индуктивности
L Символ для преобразования Лапласа
l Значение индуктивности, нормированное по базовому значению LB
N(s) Полином знаменателя, общая форма
n Порядок системной функции, порядок фильтра
P(η) Полиноминальная функция, функция аппроксимации
Q Добротность резонансного контура, заряд конденсатора (SC-техника)
QP Добротность полюса
QZ Добротность нуля
R Омическое сопротивление
RB Базовое значение сопротивления
r Значение омического сопротивления, нормированное по базовому значению
RB
rE Сопротивление сигнального входа
rA Сопротивление сигнального выхода
S Комплексная частота, нормированная по частоте полюса (S = s/ωP)
s Комплексная (круговая) частота (s = σ + jω)
sN Комплексный нуль характеристического уравнения,
комплексный полюс системной функции (собственное значение)
sZ Комплексный нуль системной функции
x
y S Пассивная чувствительность х к изменению у
SR Скорость нарастания большого сигнала (Slew Rate)
T Постоянная времени
T(ω) Вещественная функция частотного преобразования
T(s) Комплексная функция частотного преобразования
TA Интервал дискретизации TA = l/fA
TT Тактовый интервал TT = l/fT
t Непрерывная временная переменная
U Постоянное электрическое напряжение, эффективное значение переменного
напряжения
Используемые символы и обозначения 13
1 2
U Комплексное эффективное значение переменного напряжения
U(z) Подвергнутая z-преобразованию последовательность значений напряжения u(n)
uˆ Комплексная амплитуда напряжения uˆ = uˆ · ejϕ
u(t) Временная функция электрического напряжения
u(t) Переменное электрическое напряжение, записанное в комплексном виде
uE, uA Входное / выходное сигнальное напряжение (общее)
uD Дифференциальное напряжение (вход ОУ)
u(n) Последовательность дискретных значений напряжения
v Коэффициент усиления по напряжению
v(s) Комплексное значение усиления по напряжению
w Неравномерность передачи (волнистость передаточной функции)
X(jω) Функция x(t) после преобразования Фурье, спектр входного сигнала
x(t) Входной сигнал (общий) во временной области
x(n) Последовательность значений на входе дискретной во времени системы
Y(jω) Функция у(t) после преобразования Фурье, спектр выходного сигнала
y(t) Выходной сигнал (общий) во временной области
y(n) Последовательность значений на выходе дискретной во времени системы
Y Комплексная проводимость, адмитанц
Z Комплексное полное сопротивление, импеданс
Z Символ для z-преобразования
Z(s) Полином числителя
ZD Отрицательное полное сопротивление ЧЗОС
ZTR Переходное полное сопротивление (УНУТ)
r Частотная переменная в дискретной во времени системе
δ(t) Импульсная функция (функция Дирака)
ε Коэффициент разброса (стабилизация амплитуды, генератор)
ε(t) Единичный прямоугольный импульс
εD Коэффициент пульсаций (передаточная функция, амплитудно-частотная характеристика)
ϕ Фазовый угол
φ Фаза тактовых сигналов (техника на основе переключаемых конденсаторов)
γ Мера для колебательного выброса (в %)
η Обобщенная частотная переменная, нормированная по частоте полюса ωP
σ Вещественная часть комплексной (круговой) частоты s
σN Коэффициент затухания, вещественная часть комплексного собственного
значения sN
τ Постоянная времени
τG(jω) Частотно-зависимое групповое время замедления
τG0 Групповое время замедления при ω = 0
τN Коэффициент масштабирования (преобразование Брутона)
14 Используемые символы и обозначения
1 2
τSC Коэффициент масштабирования (техника на основе переключаемых конден-
саторов)
ω Круговая частота ω = 2πf, мнимая часть комплексной круговой частоты s
ωD Граничная частота полосы пропускания
ωG Круговая частота среза по уровню 3 дБ
ωM Центральная круговая частота (полосно-пропускающий фильтр)
ωN Собственная круговая частота, мнимая часть комплексного собственного зна-
чения sN
ωP Круговая частота полюса P ω = sN
ωS Начальная частота полосы задерживания, граничная частота полосы задержи-
вания
ωZ Нуль передачи, мнимая часть sZ
Ω Обобщенная частотная переменная, нормированная по граничной частоте по-
лосы пропусканияωD
ζ Коэффициент затухания (резонансная цепь)
Сокращения
A-H Функция выборки и хранения
BL Билинейное преобразование (техника на основе переключаемых конденсато-
ров)
BTC Равные постоянные времени
CC Current Conveyor (преобразователь тока)
CCCS Current Controlled Current Source (источник тока, управляемый током, ИТУТ)
CCVS Current Controlled Voltage Source (источник напряжения, управляемый током,
ИНУТ)
CFA Current-Feedback Amplifier (усилитель напряжения, управляемый током,
УНУТ)
ER Обратная аппроксимация Эйлера (техника на основе переключаемых конден-
саторов)
EV Прямая аппроксимация Эйлера (техника на основе переключаемых конденса-
торов)
FDNR Frequency-Dependent Negative Resistor (частотно-зависимое отрицательное со-
противление, ЧЗОС)
FLF Follow-the-Leader-Feedback (обратная связь «следуй за лидером»)
GBP Произведение ширины полосы пропускания и усиления (частота единичного
усиления)
GIC Generalized Impedance Converter (обобщенный конвертор полного сопротив-
ления, ОКС)
KHN Kerwin-Huelsman-Newcomb (фильтр Кервина-Хьюлсмана-Ньюкомба)
LDI Lossless Discrete Integrator (дискретный интегратор без потерь)
LF Тип «чехарда»
MFB Multiple-Feedback (многократная обратная связь)
Используемые символы и обозначения 15
MLF Multiple-Loop-Feedback (многопетлевая обратная связь, МОС)
NIC Negative Impedance Converter (отрицательный конвертор полного сопротивле-
ния)
OPV Операционный усилитель (ОУ)
OTA Operational Transconductance Amplifier (усилитель тока, управляемый напря-
жением, УТУН)
PRB Primary-Resonator-Block (первичный резонаторный блок)
SC Switched-Capacitor (переключаемый конденсатор)
VCVS Voltage-Controlled Voltage Source (источник напряжения, управляемый напря-
жением, ИНУН)
VFA Voltage-Feedback Amplifier (усилитель напряжения, управляемый напряжени-
ем, УНУН)
Используемые символы и обозначения
Символы
Символ Значение
1 2
A Общее усиление, амплитуда
A(ω) Значение передаточной функции, амплитудно-частотная характеристика
A(jω) Комплексная передаточная функция четырехполюсника
A0 Основное усиление при f = 0 (фильтр нижних частот)
AM Центральное усиление (полосно-пропускающий фильтр)
A∞ Коэффициент усиления для f → ∞
AU(jω) Частотно-зависимое усиление по напряжению (операционный усилитель)
AU(s) Комплексная функция усиления (операционный усилитель)
AU0 Усиление по постоянному напряжению (операционный усилитель)
aD Затухание в полосе пропускания, дБ
aS Затухание в полосе задерживания, дБ
B Ширина полосы пропускания по уровню 3 дБ (полосно-пропускающий
фильтр)
BSR Ширина полосы пропускания большого сигнала
C Значение емкости конденсатора
CB Базовое значение емкости
c Значение емкости, нормированное по базовому значению CB
D* Параметр ЧЗОС с полным сопротивлением ZD = −1/ω2D*
DS Коэффициент затухания в полосе задерживания
F Общий символ для идеального четырехполюсника с обратной связью
F Символ для преобразования Фурье
FD Символ для преобразования Фурье для дискретного сигнала
F Частота, Гц
fA Частота дискретизации
fD Граничная частота полосы пропускания, Гц
fG Частота среза по уровню 3 дБ, Гц
fT Тактовая частота
fT Частота единичного усиления (операционный усилитель)
g(t) Отклик передающего блока на прямоугольный сигнал
g(m) Проводимость передачи или соответственно крутизна УТУН (усиление)
H Общий символ для идеального четырехполюсника, осуществляющего переда-
чу сигнала
H(s) Системная функция непрерывной во времени системы
H(z) Системная функция дискретной во времени системы
12 Используемые символы и обозначения
1 2
HE(s) Функция входа
HR(s) Функция петли обратной связи
HS(s) Системная функция петли обратной связи
h(t) Импульсный отклик
I Постоянный электрический ток, эффективное значение переменного тока
i(t) Временная функция электрического тока
K Коэффициент масштабирования
k Разброс компонентов (соотношение значений двух параметров)
k(jω) Коэффициент преобразования (конвертор полного сопротивления)
L Значение индуктивности катушки
LB Базовое значение индуктивности
L Символ для преобразования Лапласа
l Значение индуктивности, нормированное по базовому значению LB
N(s) Полином знаменателя, общая форма
n Порядок системной функции, порядок фильтра
P(η) Полиноминальная функция, функция аппроксимации
Q Добротность резонансного контура, заряд конденсатора (SC-техника)
QP Добротность полюса
QZ Добротность нуля
R Омическое сопротивление
RB Базовое значение сопротивления
r Значение омического сопротивления, нормированное по базовому значению
RB
rE Сопротивление сигнального входа
rA Сопротивление сигнального выхода
S Комплексная частота, нормированная по частоте полюса (S = s/ωP)
s Комплексная (круговая) частота (s = σ + jω)
sN Комплексный нуль характеристического уравнения,
комплексный полюс системной функции (собственное значение)
sZ Комплексный нуль системной функции
x
y S Пассивная чувствительность х к изменению у
SR Скорость нарастания большого сигнала (Slew Rate)
T Постоянная времени
T(ω) Вещественная функция частотного преобразования
T(s) Комплексная функция частотного преобразования
TA Интервал дискретизации TA = l/fA
TT Тактовый интервал TT = l/fT
t Непрерывная временная переменная
U Постоянное электрическое напряжение, эффективное значение переменного
напряжения
Используемые символы и обозначения 13
1 2
U Комплексное эффективное значение переменного напряжения
U(z) Подвергнутая z-преобразованию последовательность значений напряжения u(n)
uˆ Комплексная амплитуда напряжения uˆ = uˆ · ejϕ
u(t) Временная функция электрического напряжения
u(t) Переменное электрическое напряжение, записанное в комплексном виде
uE, uA Входное / выходное сигнальное напряжение (общее)
uD Дифференциальное напряжение (вход ОУ)
u(n) Последовательность дискретных значений напряжения
v Коэффициент усиления по напряжению
v(s) Комплексное значение усиления по напряжению
w Неравномерность передачи (волнистость передаточной функции)
X(jω) Функция x(t) после преобразования Фурье, спектр входного сигнала
x(t) Входной сигнал (общий) во временной области
x(n) Последовательность значений на входе дискретной во времени системы
Y(jω) Функция у(t) после преобразования Фурье, спектр выходного сигнала
y(t) Выходной сигнал (общий) во временной области
y(n) Последовательность значений на выходе дискретной во времени системы
Y Комплексная проводимость, адмитанц
Z Комплексное полное сопротивление, импеданс
Z Символ для z-преобразования
Z(s) Полином числителя
ZD Отрицательное полное сопротивление ЧЗОС
ZTR Переходное полное сопротивление (УНУТ)
r Частотная переменная в дискретной во времени системе
δ(t) Импульсная функция (функция Дирака)
ε Коэффициент разброса (стабилизация амплитуды, генератор)
ε(t) Единичный прямоугольный импульс
εD Коэффициент пульсаций (передаточная функция, амплитудно-частотная ха-
рактеристика)
ϕ Фазовый угол
φ Фаза тактовых сигналов (техника на основе переключаемых конденсаторов)
γ Мера для колебательного выброса (в %)
η Обобщенная частотная переменная, нормированная по частоте полюса ωP
σ Вещественная часть комплексной (круговой) частоты s
σN Коэффициент затухания, вещественная часть комплексного собственного
значения sN
τ Постоянная времени
τG(jω) Частотно-зависимое групповое время замедления
τG0 Групповое время замедления при ω = 0
τN Коэффициент масштабирования (преобразование Брутона)
14 Используемые символы и обозначения
1 2
τSC Коэффициент масштабирования (техника на основе переключаемых конденсаторов)
ω Круговая частота ω = 2πf, мнимая часть комплексной круговой частоты s
ωD Граничная частота полосы пропускания
ωG Круговая частота среза по уровню 3 дБ
ωM Центральная круговая частота (полосно-пропускающий фильтр)
ωN Собственная круговая частота, мнимая часть комплексного собственного значения sN
ωP Круговая частота полюса P ω = sN
ωS Начальная частота полосы задерживания, граничная частота полосы задерживания
ωZ Нуль передачи, мнимая часть sZ
Ω Обобщенная частотная переменная, нормированная по граничной частоте полосы пропусканияωD
ζ Коэффициент затухания (резонансная цепь)
Сокращения
A-H Функция выборки и хранения
BL Билинейное преобразование (техника на основе переключаемых конденсаторов)
BTC Равные постоянные времени
CC Current Conveyor (преобразователь тока)
CCCS Current Controlled Current Source (источник тока, управляемый током, ИТУТ)
CCVS Current Controlled Voltage Source (источник напряжения, управляемый током,
ИНУТ)
CFA Current-Feedback Amplifier (усилитель напряжения, управляемый током,
УНУТ)
ER Обратная аппроксимация Эйлера (техника на основе переключаемых конденсаторов)
EV Прямая аппроксимация Эйлера (техника на основе переключаемых конденса-
торов)
FDNR Frequency-Dependent Negative Resistor (частотно-зависимое отрицательное сопротивление, ЧЗОС)
FLF Follow-the-Leader-Feedback (обратная связь «следуй за лидером»)
GBP Произведение ширины полосы пропускания и усиления (частота единичного
усиления)
GIC Generalized Impedance Converter (обобщенный конвертор полного сопротивления, ОКС)
KHN Kerwin-Huelsman-Newcomb (фильтр Кервина-Хьюлсмана-Ньюкомба)
LDI Lossless Discrete Integrator (дискретный интегратор без потерь)
LF Тип «чехарда»
MFB Multiple-Feedback (многократная обратная связь)
Используемые символы и обозначения 15
MLF Multiple-Loop-Feedback (многопетлевая обратная связь, МОС)
NIC Negative Impedance Converter (отрицательный конвертор полного сопротивления)
OPV Операционный усилитель (ОУ)
OTA Operational Transconductance Amplifier (усилитель тока, управляемый напряжением, УТУН)
PRB Primary-Resonator-Block (первичный резонаторный блок)
SC Switched-Capacitor (переключаемый конденсатор)
VCVS Voltage-Controlled Voltage Source (источник напряжения, управляемый напряжением, ИНУН)
VFA Voltage-Feedback Amplifier (усилитель напряжения, управляемый напряжением, УНУН)
Введение
Электрические фильтры играют огромную роль во всех областях современной
техники связи, в обработке сигнала, а также в измерительной и регулирующей
технике. При этом функция фильтра соответствует процессу выбора, при котором характеристические признаки фильтруемого сигнала электрической величины могут использоваться для того, чтобы выделить определенную часть этого сигнала и получить возможность ее дальнейшей обработки. В большинстве случаев
это электрическое напряжение, которое таким способом может обрабатываться
по конкретным критериям.
Под это определение попадают, например, реагирующие на установленное
минимальное или максимальное значение амплитудные фильтры, а также синхронизируемые по специальному импульсу схемы выборки, которые могут рассматриваться как временные фильтры (например, метод временного мультиплексирования).
Но в большинстве случаев электрические фильтры используются для того,
чтобы иметь возможность выделять различные доли сигнала, содержащиеся в
спектре электрического напряжения, и целенаправленно изменять их при про-
пускании через фильтр.
В этой книге представлены исключительно частотно-избирательные фильтры,
которые — насколько это касается электротехники — обычно называются фильтрами и функция которых состоит в том, чтобы из смеси сигналов различных частот выделять или подавлять определенную долю согласно требуемым критериям
и с целью дальнейшей обработки.
Из множества вариантов использования фильтров в современной технике
можно выделить шесть типичных примеров:
•• фильтр нижних частот для ограничения полосы в системах для цифровой
обработки аналоговых сигналов (Anti-Aliasing-Filter);
•• фильтр нижних частот в качестве реконструкционных фильтров на выходе
цифро-аналоговых преобразователей (видеофильтр);
•• полосно-пропускающий фильтр для частотной селекции в системах беспроводной коммуникации;
•• фильтр верхних частот для анализа высших гармоник или в качестве частичного звена в полосно-пропускающем фильтре с очень широкой полосой пропускания;
•• полосно-заграждающий фильтр для подавления отдельных частот с поме-
хами и шумами,
Введение 17
•• всечастотный фильтр для выравнивания колебаний времени замедления
(схема коррекции задержки).
С точки зрения схемотехники тесно связанными с активными фильтрами являются несинхронизируемые «линейные» генераторы, которые или содержат
фильтр в качестве селективного элемента, или в ходе специальных методов определения параметров получаются непосредственно из активных фильтров.
Поэтому, чтобы понимать принцип работы генераторов, необходимо обладать
глубокими знаниями по технике фильтров. Доказательством того, что генераторы — это очень интересные и претенциозные системы, является кажущее противоречивым требование о том, что «линейный» генератор также должен иметь и
нелинейно действующие функции для получения возможности производить высококачественный синусоидальный сигнал.
Принцип действия классических пассивных фильтров основывается на часто-
тно-зависимых свойствах конденсатора и намотанной катушки. Эти ранее обоз-
начавшиеся как «режекторные фильтры» LC-комбинации сегодня носят названия «реактивных фильтров» и все еще имеют определенное значение в верхнем
мегагерцовом диапазоне.
Вызванные стремительным развитием полупроводниковых технологий в
50-е годы прошлого века многочисленные исследования концентрировались на
изучении возможности заменить катушки индуктивности вследствие их недостатков — таких как высокая стоимость, вес, объем, механические и электромаг-
нитные свойства — на усилительные схемы.
Венцом многих новаторских работ в этом секторе стала публикация от 1955 го-
да (Сален и К и, 1955), в которой описывались используемые и до сегодняшнего
дня принципиальные схемы активных фильтров на основе управляемых источ-
ников напряжения. Н астоящий прорыв в технике активных фильтров тесно свя-
зан с технологией монолитных интегральных линейных схем, благодаря которой
в 1960 году впервые появились полностью интегральные операционные усилите-
ли, а несколько лет спустя — компактные фильтрующие модули, выполненные
по гибридной технологии.
Дальнейшим значимым скачком развития в этой области стала доступная
примерно с 1980 года монолитная интеграция комплектных фильтрующих схем,
выполненная на основе МО П-элементов. При этом функции сопротивления вы-
полнялись или усилителем с выходом по току (фильтр на УТУН) или комбинаци-
ей из сигнальных выключателей и конденсаторов (фильтр на переключаемых
конденсаторах, SC-фильтр). С системно-теоретической точки зрения эти филь-
тры занимают промежуточное положение между аналоговыми фильтрами, про-
изводящими непрерывную во времени обработку сигнала, и дискретными по
времени цифровыми фильтрами. И менно в этой области за последние 30 лет были получены интересный практический опыт и новые теоретические знания.
18 Введение
Под влиянием современных высоких требований к мобильным средствам связи —
с рабочим напряжением до 1,5 В при минимальном расходе мощности, хорошей динамике и частотах в верхнем мегагерцовом диапазоне — последние десять лет усилия разработчиков сконцентрированы на полностью интегральных
фильтрующих схемах, которые работают в так называемом «log-режиме» (log
domain). При этом входные сигналы сначала упаковываются с помощью лога-
рифмической характеристики до того, как они будут обработаны — т. е. отфильтрованы, — и лишь затем распаковываются согласно принципу компандера
(Фрей, 1996). Этот не вполне совершенный метод в данной книге рассматриваться не будет.
Глава 1
Теоретические
основы
В этой главе приведены важные определения и положения теории систем, необходимые для описания передаточных характеристик частотно-зависимых цепей.
В большинстве случаев электрический фильтр представляет собой соединение
нескольких отдельных компонентов — поэтому говорят еще о фильтрующих се-
тях — с двумя входными и двумя выходными зажимами (или портами) для подачи
входного и снятия выходного напряжения. Схемы фильтров при описании, рас-
чете и измерении их свойств также рассматриваются как частотно-зависимые
двухпортовые элементы, или четырехполюсники, предназначенные для передачи
электрического сигнала.
Понятие системной функции вводится и раскрывается в разд. 1.1. В разд. 1.2
излагаются признаки классификации и параметры, необходимые для описания
передаточной функции фильтра. Так как передаточные характеристики важнейших типов фильтров могут быть расчетным путем сведены к функции фильтра нижних частот, в разд. 1.3 представлены схема допусков и технические условия для формулировки требований к так называемому фильтру-прототипу
нижних частот. Важнейшие методы приближения (аппроксимации) передаточной функции к передаточной функции идеального фильтра нижних частот
обсуждаются в разд. 1.4. Методы, с помощью которых эти данные фильтра
нижних частот могут использоваться для разработки других классических функций фильтров (частотные преобразования), описываются в разд. 1.5. В заключение этого раздела приводится обзор пассивных RLC-фильтров нижних частот, структуры которых прямыми или косвенными методами могут быть преоб-
разованы в активные схемы.
1.1. Линейные четырехполюсники
1.1.1. Комплексная частота
Основное понятие комплексной частоты, используемое в технике связи и при
описании фильтров, необходимо раскрыть с помощью примера (рис. 1.1). Посто-
янное напряжение U0 подается в момент времени t = 0 через переключатель S на
последовательную схему, состоящую из катушки (индуктивность L), сопротивле-
20 Глава 1. Теоретические основы
ния R и конденсатора (емкость С). Реакция этой схемы, обозначаемой как последова-
тельный колебательный контур, на возбуждение скачком напряжения должна рассчи-
тываться по току i(t) в течение промежутка времени.
Для замкнутой электрической цепи согласно правилу контуров
L i t
t
i t R
C
i t t U d
d
( ) + ( ) + ( )d = 1
0 . (1.1)
Уравнение (1.1) умножается на С и дифференцируется по времени t. Получа-
ется однородное дифференциальное уравнение второго порядка с вещественны-
ми постоянными коэффициентами:
LC i t
t
RC i t
t
i t d
d
d
d
2
2 ( ) + ( ) + ( ) = 0 . (1.2)
После замены
i(t) = I est (1.3)
из уравнения (1.2) следует:
I est (1+ sRC + s2LC) = 0 .
Величина s при этом является изначально неизвестным множителем в показа-
теле экспоненты и имеет размерность 1/время. Коэффициент I является посто-
янным и имеет размерность тока. Так как время t всегда положительно (процесс
начался при t = 0), условие уравнения может быть выполнено только в том случае,
если выражение в скобках равно нулю. Получается так называемое характерис-
тическое уравнение системы, при этом левая часть этого уравнения образует ха-
рактеристический полином:
1+ sRC + s2LC = 0 . (1.4)
Это уравнение второго порядка имеет два решения sN1 и sN2, которые также
обозначаются как собственные значения системы:
s R
L
R
N1 2 L LC
2
2 2
1
, = − ±
− . (1.5a)
Для наглядной интерпретации преобразуем этот результат, извлекая квадрат-
ный корень из −1:
Рис. 1.1. Последовательная RLC-
схема на постоянном напряжении
1.1. Линейные четырехполюсники 21
s R
L LC
R
N L j 1 2
2
2
1
, 2 = − ± −
. (1.5б)
Если использовать следующие сокращения, которые сначала покажутся про-
извольными,
− R =
2L
N и 1
2
2
LC
R
L
−
= N (1.6a)
то собственные значения, уравнение (1.5б), можно записать в такой форме:
sN1,2 N N = ± j . (1.6б)
Используя замену, уравнение (1.3), получаем временную функцию тока как
наложение обоих частных решений:
i (t ) = I s t + I s t = t (I t + I − t )
1 2 1 2 e N1 e N2 e N ej N e j N . (1.7)
Для определения обоих коэффициентов I1 и I2 подставляем начальные усло-
вия в момент включения (t = 0) в уравнение (1.7).
•• При t = 0 индуктивность L не пропускает ток через переключатель:
i(t = 0) = I + I = 0 I = −I 1 2 2 1 .
•• Поэтому при t = 0 для напряжения на L (при uC = 0) действительно выраже-
ние:
u t U L i
t
U L I s I s L ( = 0) = = = ( + ) 0 0 1 1 2 2
d
d
N N .
Из обоих условий и уравнения (1.6б) следует:
I I
U
L
I
1 2
0 0
2 2
= − = =
j j N
, где I
U
0 L
= 0
N
.
При подстановке этих двух постоянных в уравнение (1.7) для временной фун-
кции тока получается следующее выражение:
i t I t
t t ( ) =
( − − )
0 2
e
e e
j
N
j N j N
. (1.8a)
Для вещественных значений ω при использовании формулы Эйлера для комп-
лексного выражения
e e
j
j j
N
N N
t t
t
( − ) =
−
2
sin
22 Глава 1. Теоретические основы
уравнение (1.8a) можно представить в простой форме в виде произведения сину-
соидальной временной функции и множителя (амплитуды), который также зави-
сит от времени:
i (t) = I t sin t 0 e N N
. (1.8б)
Различные случаи
При подаче постоянного напряжения U0 на схему, изображенную на рис. 1.1, в
ней протекает изменяющийся по времени ток i(t) — уравнение (1.8). При этом
различаются три случая.
•• В случае докритического затухания с N
2 <1/ LC подкоренное выражение
в уравнении (1.6) положительно, поэтому значение ωN — вещественно. Изменение тока представляет собой (при отрицательном значении σN) затухающие по экспоненциальной функции синусоидальные колебания с круговой частотой ωN (единица измерения рад/с). При этом величина
fN N = / 2 обозначается как собственная частота (единица измерения
1/с = Гц).
Если схема не содержит активных компонентов (усилителей), то значение σN будет всегда отрицательным. Система в таком случае является затухающей. Поэтому данный параметр также называется постоянной затухания σN. Такая затухающая система обозначается как устойчивая.
•• В случае критического и соответственно надкритического затухания с
N
2 1/ LC подкоренное выражение в уравнении (1.5б) равно нулю или отрицательно, а оба решения — отрицательны и вещественны. При этом процесс затухания происходит без образования колебаний.
•• Для особого — здесь допустимого лишь теоретически — случая незатухающей системы при R = 0 и соответственно σN = 0 реакцией системы будут
непрерывные колебания с частотой ωN = ω0 = 1/LC (незатухающие колеба-
ния, принцип генератора, см. гл. 8).
В заключение необходимо еще раз подчеркнуть, что в предыдущем примере
изменение тока по времени следует описывать с помощью уравнений (1.5) и (1.6)
через величину sN, которая обозначается как собственная комплексная (круговая)
частота.
Комплексная частота
В дополнение к понятию комплексной частоты ω — при обобщении уравнения
(1.6б) — комплексная круговая частота равна:
s = + j . (1.9)
С помощью этого выражения экспоненциально затухающие колебания с круговой частотой ω = 2πf, происходящие в устойчивой системе, могут быть обобще
1.1. Линейные четырехполюсники 23
ны и описаны простыми математическими выражениями. Хотя это выражение и
не совсем соответствует истине, на практике принято при определении согласно
уравнению (1.9) говорить только о комплексной частоте s.
1.1.2. Передаточная функция
Для описываемого здесь четырехполюсника должны выполняться следующие условия:
•• линейность: четырехполюсник имеет линейную передаточную характеристику. Поэтому для составного сигнала каждая компонента может анализироваться (т.е. подвергаться воздействию передаточной функции) отдельно,
а преобразованные компоненты вновь суммируются на выходе;
•• инвариантность во времени: передаточная функция не зависит от времени.
Поэтому свойства четырехполюсника, осуществляющего передачу сигнала, в любой момент времени одинаковы;
•• установившийся режим: передаточная функция четырехполюсника исследуется только для установившегося состояния. Поэтому все переходные процессы рассматриваются как закончившиеся.
При выполнении этих условий четырехполюсник может реагировать на входной синусо-
идальный сигнал x(t) только синусоидальным сигналом y(t) такой же частоты. Однако при этом в общем случае наблюдаются изменения
амплитуды и фазы.
Для двух входных сигналов xi(t) и хk(t) одинаковой частоты будут действительны следующие выражения:
x t t y t A t i i ( ) = sin( + ) ( ) = sin( + ) 1 2 ,
x t t y t A t k k ( ) = cos( + ) ( ) = cos( + ) 1 2 .
При этом коэффициент А учитывает вызванное четырехполюсником изменение амплитуды (усиление или затухание), а фазовый угол ϕ = ϕ2 - ϕ1 характеризует
изменение фазы между входным и выходным сигналом. Значения А и ϕ в общем
случае зависят от частоты:
A = A( ) и = ( ) .
Из-за предполагаемой линейности системы оба входных сигнала xi(t) и хk(t)
могут воздействовать на четырехполюсник одновременно, без каких-либо изме-
нений в выходных сигналах уi(t) и уk(t). Если xi(t) кроме этого еще умножить на
ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИК
Рис. 1.2. Модель четырехполюсника (линейный, инвариантный во
времени)
24 Глава 1. Теоретические основы
коэффициент «j», то для составного сигнала можно записать следующую зависи-
мость:
x t x t x t y t y y t k i k i ( ) = ( )+ ( ) ( ) = j + j ( ) .
По теореме Эйлера для комплексных чисел
cos x + jsin x = ejx (1.10)
входной и выходной сигналы можно записать в такой форме:
x t y t A
x t
t t
t
( ) = ( ) = ( ) ,
( ) =
( + ) ( + )
( )
e e
e e
j j
j j
1 2
1 y(t ) = A( )ej( t )ej 2 .
(1.11)
Вызванное четырехполюсником изменение амплитуды и фазы обозначается
как передаточная функция и определяется с помощью соотношения y(t) / x(t) .
Передаточная функция
Комплексная передаточная функция A( j ) четырехполюсника определяется как
соотношение временных функций выходного и входного сигналов для специаль-
ного случая синусоидальных процессов:
y t
x t
A A
x t t
( )
( ) = ( ) = ( )
( ) = e
j
j
e j
. (1.12)
Для особенно интересного случая, когда величины сигналов x(t) и y(t) представляются с помощью напряжений u1(t) и u2(t) с амплитудами û1 и соответственно û2, определение передаточной функции формулируется особенно просто. Для
временной функции комплексного напряжения на входе и соответственно на вы-
ходе четырехполюсника согласно уравнению (1.11) можно записать:
x (t ) = u (t ) = ( t + )
1 1
û ej 1 и y(t ) = u (t ) = ( t + )
2 2
û ej 2 .
Переход от комплексных напряжений u1(t) и u2(t) к физически реальным напряжениям u1(t) и соответственно u2(t) согласно уравнению (1.10) в любой момент
возможен с помощью выделения мнимой и вещественной части синусоидального
или косинусоидального сигнала.
Если комплексные амплитуды равны
û1 û1 = ej 1 и û2 û2 = ej 2 ,
а соответствующие комплексные эффективные значения равны U1(t) и U2(t), то из
определения, заданного уравнением (1.12), можно вывести выражение для комп-
лексной передаточной функции:
A
u t
u t
U
U
t
t j e
e
j
1
j
( ) = ( )
( ) 2 = = =
1
2 2
1
2
1
û
û
û
û
. (1.13)
1.1. Линейные четырехполюсники 25
Передаточная функция схемы, которая содержит только линейные или линеаризованные в рабочей точке элементы, достаточно просто определяется согласно
правилам расчета цепей переменного тока.
Интерпретация передаточной функции
Определение согласно уравнению (1.13) можно применять для всех линейных четырехполюсников также в случае наложения нескольких синусоидальных сигналов. Получаемое при этом суммарное уравнение представляет собой комплекс-
ный ряд Фурье, коэффициенты которого характеризуют величину и фазу линейчатого спектра выходного сигнала. Благодаря переходу к бесконечно большому
периоду колебаний в полученном суммарном уравнении ряд Фурье переходит в
интеграл Фурье, при этом из линейчатого спектра получается непрерывный
спектр.
Коэффициент, который связывает между собой входной и выходной спект-
ры, является уже определенной с помощью уравнения (1.12) передаточной функ-
цией A( jω):
Y A X A
Y
X
j j j j
j
j
( ) = ( ) ( ) ( ) = ( )
( ) . (1.14)
Величины X (jω) и Y (jω) при этом представляют собой относящиеся к временным функциям x(t) и y(t) спектральные плотности амплитуд, которые рассчитываются при помощи преобразования Фурье (символ F):
X (j ) = F{x (t )} и Y (j ) = F{y(t )}.
Благодаря этому передаточная функция A(jω) может быть интерпретирована
как комплексная величина, на которую нормируется (т.е. умножается) спектр
входного сигнала при прохождении через четырехполюсник. Тем самым она вы-
ражает математическую связь между спектральной плотностью амплитуд входно-
го и выходного сигналов и, следовательно, имеет наглядное физическое значение.
1.1.3. Системная функция
В дополнение к понятию комплексной передаточной функции A(jω), введенному
с помощью уравнения (1.13), системная функция H(s) четырехполюсника получа-
ется при переходе от переменной величины jω к комплексной переменной s, оп-
ределяемой по уравнению (1.9). Оба понятия тесно связаны друг с другом и бла-
годаря простой замене переменных функции могут быть легко преобразованы
одна в другую.
A H s s (j ) j
=
= ( ) . (1.15)
26 Глава 1. Теоретические основы
Системная функция
Если X (s) и Y (s) — результат преобразования Лапласа (символ L) временных
функций x(t) и соответственно y(t), т.е.:
X (s) = L{x (t )} и Y (s) = L{y(t )} ,
то соотношение, определяемое по уравнению (1.14), переходит в системную
функцию
H s
Y s
X s
( ) = ( )
( ) . (1.16)
Благодаря формальному переходу от jω к s функции X (jω) и Y (jω), являющиеся результатом преобразования Фурье, в уравнении (1.14) переходят в функции
X (s) и Y (s), являющиеся результатом преобразования Лапласа временных функ-
ций x(t) и y(t), см. уравнение (1.16).
Особое значение системная функция H(s) имеет для оценки устойчивости передающих систем, так как она — как будет показано в разделе 1.1.4 — находится в
непосредственной взаимосвязи с дифференциальным уравнением и соответс-
твенно относящимся к нему характеристическим уравнением системы, решения
которых описывают изменение функции во времени.
В отличие от передаточной функции A(jω), которая связывает между собой
входной и выходной спектры, системная функция H(s) не имеет какого-либо
конкретного физического значения. Однако она связана с преобразованием Лапласа временной функции таким образом, что это очень наглядно характеризует
передаточную функцию (импульсный отклик или отклик на прямоугольный сигнал) (разд. 1.1.4).
1.1.4. Линейные цепи во временной и частотной области
В данном разделе будут кратко, без приведения доказательств, представлены взаимосвязи между важнейшими функциями, которые характеризуют линейный
инвариантный во времени четырехполюсник (рис. 1.2). Подробное описание взаимосвязей можно найти в специализированной литературе по теме «Теория систем» (например, Марко, 1995).
•• Передаточная функция A(jω) достаточно просто рассчитывается согласно
правилам комплексного расчета цепей переменного тока, см. уравне-
ние (1.13).
•• По правилам комплексного счисления из A(jω) могут быть получены амп-
литудно-частотная характеристика (модуль передаточной функции)
A(j ) = A( ) и фазово-частотная характеристика (функция фазы) = ( ).
1.1. Линейные четырехполюсники 27
Обе функции наглядно описывают передаточную характеристику четырехполюсника.
•• При переходе от переменной «jω» к комплексной частоте «s» из передаточной функции A(jω) получается системная функция H(s).
•• По уравнению (1.16) и при условии X (s) =1 действителен следующий частный случай:
Y (s) = H (s) для X (s) =1 = L{ (t )}
с импульсной функцией (функцией Дирака) δ(t).
•• Поэтому также действительно выражение:
H(s) = L{h(t )},
где h(t) = y(t) — импульсный отклик для случая x(t) = δ(t).
•• Системная функция H(s) является результатом преобразования Лапласа
временной реакции h(t) системы на импульсное возбуждение δ(t) на входе.
•• Для единичного прямоугольного импульса
x t t
t
t
( ) = ( ) =
( )
( > )
0 0
1 0
(1.17)
существует следующая связь с импульсной функцией δ(t):
(t)
t
= d (t )
d
. (1.18)
•• Так как операция «d/dt» согласно преобразованию Лапласа является умножением в частотном диапазоне на «s», для единичного скачка, используемого в качестве тестового сигнала, можно сформулировать простую связь
с H(s):
H(s) = sL{g (t )}, где y(t) = g(t) для x(t) = ε(t).
•• Системная функция H(s) является умноженным на «s» результатом преоб-
разования Лапласа временной функции g(t) на выходе для частного случая
скачкообразного импульсного возбуждения ε(t) на входе. Поэтому функция g(t) называется откликом на прямоугольный сигнал.
•• Между описанными выше выходными сигналами h(t) и g(t) существует та
же математическая зависимость, что и для обеих функций входного сигнала δ(t) и соответственно ε(t):
h t
t
( ) = d g (t )
d
. (1.19)
28 Глава 1. Теоретические основы
Названные выше возможности описания четырехполюсника во временной и частотной области не являются независимыми друг от друга. Основные зависимости
еще раз представлены на рис. 1.3.
Рис. 1.3. Взаимосвязи функций, характеризующих четырехполюсник во временной и
частотной области
Импульсный
отклик
Амплитудно-частотная
характеристика (модуль)
Системная
функция
Передаточная
функция
Отклик
на прямоугольный
сигнал
Фазово-частотная
характеристика
L: правило вычисления преобразования Лапласа
L −1: правило вычисления обратного преобразования Лапласа
Пример
В разд. 1.1.1 исследовались временные характеристики последовательной RLCсхемы (рис. 1.1), на вход которой подается скачок напряжения. Такая же схема
рассматривается как четырехполюсник, осуществляющий передачу сигнала (пе-
редающий четырехполюсник) в том случае, когда напряжение на конденсаторе
определяется как выходной сигнал U 2 (рис. 1.4).
Для этой схемы, которая представляет собой классический пассивный RLC-
фильтр нижних частот, необходимо проанализировать частотные характеристики
и определить системную функцию H(s). При этом дифференциальное уравнение
(1.2) выражает важную формальную зависи-
мость, которая описывает временные харак-
теристики схемы.
Системная функция
Согласно правилам комплексного расчета
цепей переменного тока передаточная функРис.
1.4. RLC-четырехполюсник ция RLC-схемы может быть указана в виде
1.1. Линейные четырехполюсники 29
соотношения комплексных эффективных значений выходного и входного напря-
жения:
A
U
U
C
L
(j ) / j
R 1/j C j
= =
+ +
2
1
1 .
Посредством перехода к комплексной частоте согласно уравнению (1.15) по-
лучается системная функция
H s sC
R sC sL sRC s LC
( ) /
/
=
+ +
=
+ +
1
1
1
1 2 . (1.20)
Сравнение уравнений (1.20) и (1.4) позволяет сделать следующий вывод.
В знаменателе системной функции стоит левая часть характеристического урав-
нения системы, решения которого (собственные значения) sN1 и sN2 наглядно
описывают переходный процесс.
В данном примере эти решения находятся по уравнению (1.5) в разд. 1.1.1. Ве-
щественная часть σN этих решений — как показано в разд. 1.1.1 — по соображени-
ям устойчивости всегда должна быть отрицательной.
Переходные процессы
Исследование схемы на рис. 1.4 необходимо дополнить расчетом изменения по
времени выходного сигнала u2(t) для случая скачкообразного импульсного воз-
буждения при
u t
t
U t 1
0
0 0
0
( ) =
( < )
( )
.
Напряжение u2(t) может быть выражено как падение напряжения на конден-
саторе при протекании тока i(t). Тогда вместе с уравнением (1.1) получается
u t
C
i t t U i t R L
i t
2 0 t
( ) = 1 ( ) = − ( ) + ( )
d
d
d
.
Для малой величины затухания N
2 <1/ LC при подстановке временной функ-
ция тока согласно уравнению (1.8) для выходного напряжения можно записать
u t U t t t
2 0 ( ) = 1− (cos )− sin
e N N
N
N
N
. (1.21)
После начального нарастания от U0 — в области негативных значений косину-
са — для случая относительно малого коэффициента затухания
N2 = R <
L LC
2
4 2
1
30 Глава 1. Теоретические основы
напряжение u2(t) приближается к значению U0 в форме затухающего колебания с
собственной круговой частотой ωN (разд. 1.1.1, уравнение (1.8). При относительно большой величине затухания
N
2 1
LC
величина тока уменьшается согласно экспоненциальной функции, приближаясь
к U0 без образования колебаний.
Количественная взаимосвязь между характеристиками отклика на прямоугольный сигнал во временной области, уравнение (1.21), и частотной характе
ристикой фильтра описывается в разд. 1.2.3 (абзац «Переходные процессы»).
1.1.5. Распределение полюсов и устойчивость
Для схемы на рис. 1.4 характеристическое уравнение составляется по знаменателю системной функции, уравнение (1.20). Данное высказывание можно обобщить для всех описываемых здесь активных и пассивных четырехполюсников,
осуществляющих передачу сигнала.
Благодаря этому исчезает необходимость в составлении дифференциального
уравнения системы для оценки передаточных процессов и соответственно устойчивости. Очень часто намного проще составить выражение для системной функции, знаменатель которой непосредственно приводит к характеристическому
уравнению и его решению.
Если полином знаменателя представить в виде сомножителей, то обычно
значения sN, при которых он обращается в ноль, обозначают как полюсы, а их
числовые значения графически представляют на s-плоскости (плоскости комплексной частоты). Вместе с представлением нулей sZ знаменателя (значений sZ, при которых знаменатель обращается в нуль) это позволяет полно-
стью — до постоянной — описать передаточные характеристики четырехполюсника (разд. 1.2).
Так как в соответствии с условиями, изложенными в разделе 1.1.2, здесь рас-
сматриваются только линейные и инвариантные во времени четырехполюсники,
описывающие систему дифференциальные уравнения имеют только вещественные постоянные коэффициенты, так что H(s) также является дробно-рациональной функцией с вещественными коэффициентами. Следовательно, нули знаменателя могут быть только вещественными или комплексно-сопряженными. При
разложении знаменателя на линейные множители это высказывание очень легко
проверить. При этом порядок дифференциального уравнения и соответственно
системной функции определяет количество решений и, следовательно, количество полюсов.
1.1. Линейные четырехполюсники 31
Самые важные выводы, которые можно из этого сделать, следует обобщить
еще раз.
•• Для линейного и инвариантного во времени четырехполюсника (LTI-система)
характеристическое уравнение системы, решения которого описыва-
ют переходный процесс, можно получить непосредственно из системной
функции H(s). Знаменатель H(s) идентичен характеристическому полиному.
•• Значения, при которых полином знаменателя N(s) обращается в нуль, —
полюсы системной функции — являются решениями характеристического
уравнения. Они могут быть или вещественными, или комплексно-сопря-
женными. Количество полюсов равно порядку системной функции.
•• Знак перед вещественной частью полюса всегда отрицательный, если речь
идет об устойчивой передающей системе. Поэтому при графическом пред-
ставлении на комплексной s-плоскости полюсы будут расположены только
в левой полуплоскости (рис. 1.5).
•• Для пассивного четырехполюсника это условие всегда выполняется. Для
устойчивой активной системы выполнение данного условия должно обес-
печиваться с помощью соответствующего выбора параметров.
•• По диаграмме полюсов sN и нулей sZ на s-плоскости можно сделать непосредственные выводы о передаточной характеристике и устойчивости четырехполюсника.
•• Для теоретически возможного случая, когда для вещественной части пары
полюсов системы второго порядка выполняется условие N1,2 = 0 (полюсы
расположены на мнимой оси s-плоскости), речь пойдет о системе, способ-
ной генерировать незатухающие колебания (принцип генератора).
Примеры
Пример 1: RLC-четырехполюсник
Для RLC-четырехполюсника, изображенного на рис. 1.4, полюсы уже определены как нули характеристического уравнения, см. уравнение (1.5):
s R
L LC
R
N1,2 L
N
N
= − ± j −
2
1
2
2
.
При этом для подкоренного выражения следует рассмотреть три характерных
случая:
R
2L LC
1 2
<
докритическое затухание (
пара комплексно-сопряжен-
ных полюсов),
32 Глава 1. Теоретические основы
R
2L LC
1 2
= критическое затухание (отрицательный вещественный
двойной полюс),
R
2L LC
1 2
> надкритическое затухание (два отрицательных вещест-
венных полюса).
Особый случай при R = 0 соответствовал бы незатухающему пассивному колебательному контуру без потерь. Однако для цепи, состоящей из реальных элементов, вследствие непредотвратимых потерь в катушке и конденсаторе такое состо-
яние наступить не может.
На s-плоскости полюсы sN системной функции принято обозначать крестика-
ми (х), а нули sZ кружочками (о). Для данного примера на рис. 1.5 наносится только пара комплексно сопряженных полюсов, так как системная функция, уравнение 1.20, обращается в нуль только при s → ∞. В этом случае нули не могут быть
представлены на s-плоскости.
Рис. 1.5. Диаграмма полюсов на
s-плоскости (к рис. 1.4)
s-плоскость
Пример 2: RC-четырехполюсник второго порядка
Для сравнения с диаграммой полюсов RLC-четырехполюсника второго порядка
из первого примера необходимо найти полюсы схемы, состоящей из двух последовательно соединенных простых RC-звеньев (рис. 1.6).
По правилам комплексного расчета цепей переменного тока и при использовании сокращенных обозначений для посто-
янных времени
R1C1 = T1 и R2C2 = T2
можно составить системную функцию второ-
го порядка:
H s
s T T RC s TT
( ) =
+ ( + + )+
1
1 1 2 1 2
2
1 2
Рис. 1.6. RC-четырехполюсник вто- . (1.22)
рого порядка
1.2. Характеристики фильтров второго порядка 33
Ее полюсами (нулями знаменателя) являются:
s
T T RC
TT TT
T T RC
N1,2 TT = −
+ +
±
( + + )
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
2
1 2 2
1
4
. (1.23)
Так как подкоренное выражение для всех значений Т всегда положительно,
системная функция схемы на рис. 1.6 имеет два вещественных полюса sN1 и sN2,
расположенных на отрицательной вещественной полуоси s-плоскости.
Пример 3: RC-четырехполюсник первого порядка
При условии R2 = 0 и C2 = 0 схема, изображенная на рис. 1.6, переходит в RC-
четырехполюсник первого порядка. Системная функция схемы
H s
sT ( ) =
+
1
1 1
(1.24)
имеет один вещественный полюс при sN T = −1 1 / .
Обобщение
Результаты, полученные в двух последних примерах, можно перенести на все пас-
сивные RC-схемы. Это позволяет сделать следующий вывод.
Системная функция с комплексно-сопряженным распределением полюсов для
пассивных RC-схем невозможна. Все полюсы располагаются на отрицательной
вещественной полуоси s-плоскости.
Это свойство и является истинной причиной того, что фильтры без катушек ин-
дуктивности должны включать в себя активные элементы (усилители), чтобы иметь
возможность воспроизвести передаточные характеристики пассивной фильтрую-
щей схемы из сопротивлений, катушек индуктивности и конденсаторов — т.е. по-
лучить системную функцию с комплексно сопряженными полюсами.
1.2. Характеристики фильтров второго порядка
В этом разделе описываются основные признаки и характеристики фильтрующих
цепей, приводятся их определения на примере общей системной функции второ-
го порядка, которая играет важную роль также при выборе конфигурации и пара-
метров фильтров более высокого порядка (n > 2). Критерии, выведенные на осно-
ве этих признаков и характеристик, служат для понятной классификации различ-
ных типов фильтров.
Порядок системной функции идентичен порядку полинома знаменателя, а
для канонических схем — т.е. схем с обусловленным системой минимальным
числом элементов — также идентичен числу частотно-зависимых элементов
(конденсаторов емкостью С или катушек с индуктивностью L).
34 Глава 1. Теоретические основы
1.2.1. Биквадратная системная функция
В разделе 1.1.4 уравнением (1.20) была задана системная функция для RLC-фильтра нижних частот, представленного еще раз на рис. 1.7(а). Посредством циклической перестановки элементов цепи получаются 2 других четырехполюсника,
рис. 1.7(б) и 1.7(в), которые рассчитываются по аналогии со схемой (а).
а
в
б
Рис. 1.7. Пассивные четырехполюсники
а) RLC-фильтр нижних частот
б) RCL-фильтр верхних частот
в) Полосно-пропускающий LCR-фильтр
При этом выявляется интересное сходство трех системных функций.
Полиномы знаменателя N(s) трех системных функций H(s) будут идентичны,
если знаменатели с помощью соответствующего дополнения привести к так называемой нормальной форме.
При этом под термином нормальная форма понимается полином от пере-
менной s, в котором значение постоянного члена равно 1. С его помощью
для всех трех RLC-четырехполюсников может быть задана общая системная
функция
H s
a a s a s
RCs LCs
( ) =
+ +
+ +
0 1 2
2
1 2
, (1.25)
числовые коэффициенты ai которой определяют принципиальную передаточную
характеристику:
Случай (а) a1 = a2 = 0; a0 = 1 ⇒ RLC-фильтр нижних частот,
Случай (б): a0 = ai = 0; a2 = LC ⇒ RCL-фильтр верхних частот,
Случай (в): a0 = а2 = 0; a1 = RC ⇒ полосно-пропускающий LCR-фильтр.
Величина a0 в качестве безразмерной константы в числителе определяет значение системной функции при s = 0.
Биквадратная системная функция
На основе этого примера уравнение (1.26) определяет общую биквадратную
системную функцию, которая включает в себя в виде частных случаев все характеристики, имеющие значения для практики разработки и использования фильтров.
1.2. Характеристики фильтров второго порядка 35
H s
a a s a s
b s b s
Z s
N s
( ) =
+ +
+ +
= ( )
( )
0 1 2
2
1 2
1 2
. (1.26)
После замены комплексной переменной s на jω уравнение (1.26) переходит в
биквадратную передаточную функцию, которая с помощью нормирования
jΩ = jω /ωD преобразуется в форму, удобную для практического применения. При
этом получаются новые безразмерные коэффициенты ci и di:
A
a c c
d d
(j )
j j
j j
=
+ ( )+ ( )
+ ( )+ ( )
0 1 2
2
1 2
2 1
. (1.27)
Это представление имеет особое значение при описании фильтра-прототипа
нижних частот (разд. 1.3), для которого используемая для нормирования по час-
тоте величина ωD интерпретируется как верхняя граничная частота полосы про-
пускания фильтра нижних частот.
1.2.2. Классификация фильтров
На основе уравнения (1.26) с помощью определения коэффициентов a1, a2, b1, b2
можно провести систематизацию различных функций фильтров. Имеет смысл
сначала классифицировать эти функции по их основной частотной характерис-
тике. Согласно разд. 1.2.1 эти свойства характеризуются числителем системной
функции и, следовательно, положением нулей полинома знаменателя Z(s) на
s-плоскости. При этом различают 5 случаев, которые приводят к определению
пяти классических функций фильтров.
Различные случаи
1. Фильтр нижних частот с нулями при sZ ± :
a1 = a2 = b2 = 0 ⇒ фильтр нижних частот первого порядка (один нуль),
a1 = a2 = 0 ⇒ фильтр нижних частот второго порядка (два нуля).
2. Фильтр верхних частот с нулями при sZ = 0:
a1 = a2 = b2 = 0 ⇒ фильтр верхних частот первого порядка (один нуль),
a0 = a1 = 0 ⇒ фильтр верхних частот второго порядка (двойной нуль).
3. Полосно-пропускающий фильтр с нулями при sZ = 0 и при sZ ± :
a0 = a2 = 0 ⇒ полосно-пропускающий фильтр второго порядка.
4. Частотно-заграждающий фильтр с нулями при Z = ± a a 0 2 / :
a1 = 0 ⇒ частотно-заграждающий фильтр второго порядка
с H s
a
a a
a b
( ) /
/
=
=
=
0
2
2 2
0
0
0
.
36 Глава 1. Теоретические основы
5. Всечастотный фильтр с нулями, зеркально симметричными полюсам:
a0 = 1, a1 = −b1, a2 = b2 = 0 ⇒ всечастотный фильтр первого порядка (один
нуль),
a0 = 1, a1 = −b1, a2 = b2 ≠ 0 ⇒ всечастотный фильтр второго порядка (два
нуля).
Числитель и знаменатель системной функции являются комплексно сопряженными, т.е. выполняется условие
Z s N s Z ( ) = (− ) (s) = N (s) .
Следовательно, амплитуда (модуль) системной функции не зависит от частоты, лишь наблюдается частотно-зависимый фазовый сдвиг.
В большинстве случаев предъявляемые на практике требования к частотной избирательности выполняются с помощью одного из вышеназванных классов
фильтров или их комбинацией. Также может использоваться в качестве элект-
ронной схемы биквадратная системная функция в общей форме, уравнение (1.26)
(взвешивающий фильтр, эквалайзер).
Выводы
По коэффициентам знаменателя a0, a1 и a2 биквадратной системной функции определяются 5 классов фильтров (цепей) второго порядка, принципиальные передаточные характеристики которых наглядно описываются присвоенными им на-
званиями. За исключением класса всечастотных фильтров все другие функции
фильтров имеют выраженное пропускающее или запирающее действие в зависимости от частоты (избирательность).
Точное положение системной функции в переходной области между полосой
пропускания и полосой задерживания регулируется коэффициентами b1 и b2 полинома знаменателя. Так как при практическом применении большое значение
имеет частотно-избирательное поведение фильтра именно в переходной области,
в разд. 1.2.3 полином знаменателя анализируется и наглядно представляется с помощью распределения полюсов на s-плоскости.