Классическая равновесная термодинамика предназначена для описания экс-
периментальных данных макроскопических однородных систем (Клаузи-
ус [1]), а также для макроскопических неоднородных (гетерогенных) систем
(Гиббс [2]). Гетерогенные системы могут состоять из множества областей
разных фаз разного размера. Понятие о неоднородных системах, в дополне-
ние к понятию о гетерогенных системах, возникает при отклонениях свойств
внутри однородных макрофаз, когда масштаб неоднородностей R становится
меньше нижнего размера области применимости термодинамики Rt (R < Rt),
определяемого как размер, ниже которого становятся важными учет диск-
ретности вещества и размерные флуктуации. Неоднородные системы появ-
ляются за счет присутствия границ раздела фаз, внешних сил или неравно-
весности состояния систем [3].
Можно выделить три основные ситуации с присутствием неоднородных
областей внутри рассматриваемых объемов системы в зависимости от их раз-
мера.
1. Полное равновесие в системе, состоящей из двух сосуществующих
макрофаз с границей раздела. Область, относящаяся к границе фаз, является
неоднородной. В ней реализуется переменная плотность компонентов в пе-
реходной области границы при фазовом переходе первого рода. Для макро-
фаз эта область практически не дает вклада в термодинамические функции
всей системы, поэтому этим вкладом можно пренебречь. По мере уменьше-
ния размера одной из фаз доля вклада границы увеличивается и при очень
малых размерах фазы, вклад границы в термодинамические функции систе-
мы становится сопоставимым со вкладом объемной части малого тела. При
уменьшении размеров всех фаз системы поверхностный вклад становится
существенным для термодинамических функций системы.
2. Полное равновесие в системе, состоящей из двух контактирующих
фаз, когда фазы плохо растворимые друг в друге или полностью несмешива-
ющиеся. Наибольшее разнообразие возникающих вариантов неоднородных
распределений компонентов мобильной фазы (пара или жидкости) реализу-
ется вблизи твердого тела (в поле поверхностного потенциала), которое мо-
жет иметь многочисленные виды структур шероховатости и химических не-
однородностей. В этих ситуациях речь идет о приповерхностных областях
твердого тела в пределах радиуса потенциала его взаимодействия с молеку-
лами мобильной фазы. Если твердое тело играет роль стенки, ограничиваю-
щей объем системы и не участвующей в диффузионном перераспределении
компонентов, то в этом случае говорят о влиянии внешних поверхностных
полей на неоднородные состояния мобильной подсистемы вблизи этого
тела. Вклад областей с неоднородными приповерхностными распределения-
ми компонентов в термодинамические функции зависит от общего объема
системы и степени развитости поверхности.
3. Неоднородное состояние системы, отличающееся от состояния полно-
го равновесия, которое в ходе диффузионного перемешивания компонентов
реализуется при стремлении системы к полному равновесию. В этом случае
говорят о заторможенности движения молекул системы на данном времен-
ном интервале по сравнению с полным временем релаксации. Термодина-
мические функции системы являются функциями времени, зависящими от
эволюции молекулярных распределений.
Пункты 1 и 2 относятся к разным типам границ между соседними фаза-
ми, которые могут иметь разную степень дисперсности. Пункт 3 отражает
неравновесное состояние системы, как в объемной фазе, так и вблизи гра-
ниц раздела фаз. В подавляющем числе ситуаций твердое тело находится
в неравновесном состоянии из-за диффузионных торможений (причем
его состояние слабо меняется в ходе установления равновесия между паром
и жидкостью). Однако анализ условий расслаивания малых двухфазных сис-
тем [3] указал на связь с характеристиками неравновесных процессов,
т.к. было выявлено, что для корректного описания равновесных характери-
стик искривленных границ раздела малых тел необходимо учитывать разли-
чия во временах релаксации процессов переноса импульса и массы. При от-
казе от использования экспериментально измеренных времен релаксаций
процессов переноса импульса и массы термодинамическое описание малых
систем приводит к появлению нефизических метастабильных состояний [2],
противоречащих условию химического равновесия системы.
Общим для этих трех ситуаций является тот факт, что они присутствуют
в самых разных дисперсных фазах, а большая роль границ в этих системах
выводит их в класс систем с сильно развитой поверхностью, для которых
классическая термодинамика [2] приводит к некорректным трактовкам [3].
Особенно наглядно это проявилось на примере обнаружения равновесных
капель жидкости в паровой фазе методами статистической термодинамики
[3]. Понятие «равновесная капля» включает в себя наличие строгого равно-
весия между окружающим паром и жидкой каплей с позиции полного фазо-
вого равновесия, заключающегося в реализации трехчастных равновесий:
механического, теплового и химического. Для фазового равновесия макро-
скопических фаз эти условия были получены Гиббсом [2]. Т.е. в равновес-
ных каплях в изотермических условиях (T = const) реализуются равенство
внутренних давлений пара и жидкости P = P , а также равенство химиче-
ских потенциалов = (здесь и символы соседних фаз). Равновесные
капли качественно отличаются от традиционных метастабильных капель, в
которых имеет место разрыв внутренних давлений между паром и жидко-
стью P = P + 2 /R, за счет наличия границы раздела фаз с поверхностным
натяжением для сферических капель с радиусом R. Равновесные капли за-
прещены в классической термодинамике [2,4]. Они были обнаружены в ходе
анализа множественности существующих определений для поверхностного
натяжения [4] на предмет согласования их с системой уравнений в модели
решеточного газа (МРГ) для искривленной границы раздел фаз. Причем в
термодинамике указывалось [4], что все существующие определения для по-
верхностного натяжения эквивалентны (хотя последующие расчеты в МРГ
8 Предисловие
показали, что разные определения дают разные числовые значения поверх-
ностного натяжения [3]). Иными словами, обнаружение равновесных капель
указало на принципиальную ошибку в классической термодинамике для по-
верхностных явлений и малых систем и для построенных на ее основе стати-
стических теорий искривленных поверхностей.
Позже было выяснено [3], что эта ошибка связана с нарушением исполь-
зования экспериментальных данных о временах релаксации процессов пере-
носа импульса P и массы . В общем случае всегда выполняются следую-
щие соотношения между экспериментально измеренными временами
релаксации процессов переноса импульса, энергии и массы: P K T K .
Тогда как в классической и статистической термодинамиках для искривлен-
ных границ раздела везде неявно используется допущение о P L . Пере-
ход на корректное соотношение времен релаксаций P K привел к уточ-
нению целого ряда результатов классической термодинамики [5].
Напомним, что термодинамика представляет собой безмодельную об-
ласть науки и информация в ней не зависит от каких-либо микроскопиче-
ских построений. Любые модельные представления о системе выводят ее из
области строгого использования термодинамики и переводят в область моде-
льных построений, которые могут быть очень грубыми и представляться как
безмодельные. Именно это и произошло с искривленной границей раздела
фаз (в частности, со сферическими каплями — см. ниже главу 2). Простота
геометрических связей ассоциировалась с их безмодельной природой.
Сама термодинамика представляет собой первое и второе начала, как
обобщение всего опыта экспериментов и из которых следуют различные ма-
тематические выражения термодинамических потенциалов и соотношения
для первых и вторых производных от этих потенциалов. Все эти выражения
есть следствие разработанных ранее ряда разделов дифференциального и ин-
тегрального исчислений. На долю экспериментатора выпадает правильный
выбор термодинамических переменных в изучаемой системе (эти перемен-
ные строго связаны с термодинамическими ансамблями — они стандартизо-
ваны). По сути, термодинамика есть корректный способ обработки экспери-
ментальных данных, позволяющий извлечь максимум информации из
конкретных измерений. Поэтому любые дополнительные допущения к свой-
ствам системы вне существующих термодинамических потенциалов со свои-
ми переменными являются «модельными», и корректность применения
к ним термодинамических построений должна контролироваться разными
существующими способами. В том числе и методами статистической термо-
динамики, которая сегодня вышла на уровень общности по областям прило-
жений, соизмеримый с общностью приложений строго термодинамических
подходов.
Статистическая термодинамика является единственным инструментом
для объяснения имеющихся противоречий в существующей термодинамике
при ее формальном применении к неоднородным системам, и она позволяет
сформулировать способы исправления этих противоречий своими методами.
Такая возможность позволяет получить интерпретацию экспериментальных
измерений на основе статистической физики.
Предисловие 9
Цель монографии — изложение методов расчета термодинамических
функций неоднородных систем методами статистической термодинамики
для равновесных и неравновесных процессов. Среди них важнейшая поверх-
ностная характеристика — поверхностное натяжение, которая традиционно
рассчитывается на основе избыточной свободной энергии двухфазной систе-
мы [2—4]. В свою очередь, расчет свободной энергии до настоящего времени
также остается актуальной проблемой статистической физики, которая во
многом определяет возможности использования своих разных методов
в многофазных системах. Для многих практических ситуаций важна роль
размерного фактора, определяющего изменения термодинамических функ-
ций, как функции размера малых тел.
Данная книга продолжает описание взаимосвязи малых неоднородных
подсистем в общий ансамбль систем макроскопического размера, начатое в
работе [3] для малых изолированных систем. С другой стороны, новая книга
продолжает линию о неразрывной связи равновесных и неравновесных
термодинамик [6]. Общность основ равновесной и неравновесной термоди-
намик заключена не только в использовании концепции локального равно-
весия, но и явным образом демонстрируется в ходе последовательного по-
строения уравнений равновесия с позиций предельного перехода от
неравновесного состояния к полному равновесному состоянию системы (по
логике Клаузиуса [1]). Такая логика излагается впервые, так как историче-
ски Клаузиус обсуждал только однородные системы с одним веществом.
Всеохватывающие достижения термодинамики были связаны с разработкой
Гиббсом теории гетерофазных систем и их поверхностей для многокомпо-
нентных систем [2]. Настоящее изложение микроскопического подхода от-
носится ко всем областям приложений термодинамики, как у Гиббса, но
с позиции взаимосвязи равновесных и неравновесных термодинамик, как
у Клаузиуса.
Достаточно последовательный вывод выражений равновесной термоди-
намики из кинетических уравнений неравновесной термодинамики можно
выполнить для ряда упрощенных ситуаций, отвечающих уровню используе-
мых молекулярных моделей. Это относится как к хорошо известному закону
действующих масс для идеальных систем, так и для неидеальных систем
в рамках МРГ. Анализ этих двух видов моделей позволяет сформулировать
путь построения более точных молекулярных моделей, сохраняющих об-
щность термодинамики. Область обсуждений неоднородных систем ограни-
чена приложениями к химической термодинамике, связанной с перераспре-
делением массы в ходе фазовых переходов и химических превращений.
Монография состоит из 8 глав и 16 приложений.
В первой главе обсуждаются примеры экспериментальных систем с неод-
нородными областями, и дается краткое изложение основных положений
равновесной термодинамики, включающих и начала термодинамики. Отме-
чается различие в трактовках второго начала термодинамики Клаузиусом и
Гиббсом, а также тех проблем, которые возникли в термодинамике Гиббса
при рассмотрении малых и твердофазных систем. Эти проблемы возникли
из-за пренебрежения понятия о временах релаксации термодинамических
10 Предисловие
свойств в этих системах, тогда как сами времена релаксации есть понятие
неравновесной термодинамики. Изложены ее основы и выделен ключевой ее
принцип самосогласованности описания равновесного состояния системы и
скоростей элементарных стадий. Этот принцип хорошо известен для одно-
родных и неоднородных систем в рамках закона действующих масс. Сов-
местное рассмотрение классической термодинамики как общей системы
взглядов на равновесные и неравновесные процессы неизбежно приводит
к необходимости учета различий реальных времен релаксаций термодинами-
ческих параметров системы, измеренных экспериментально.
Вторая глава отражает новые результаты из первого и второго уточнений
концепции Клаузиуса в общем безмодельном виде, как принято в термоди-
намике, включая неидеальные системы. Это относится к формулировкам на
локальном и макроскопическом уровнях понятия самосогласованности опи-
сания кинетики и равновесия, а также к анализу соотношений между термо-
динамическими параметрами внутри одно- и двухфазных систем, как в от-
сутствие влияния внешних полей, так и при наличии гравитационного поля,
а также совместного влияния поверхностных сил и гравитации. С позиции
фазового равновесия обсуждается взаимосвязь основных положений термо-
динамики и механики сплошных сред.
Третья глава описывает модельные подходы МРГ в квазихимическом
приближении учета межчастичных взаимодействий к неоднородным неидеа-
льным системам с позиции общего подхода Клаузиуса. Они включают в себя
построение кинетических уравнений в неидеальных системах, выражения
для скоростей элементарных стадии, протекающих на одном и двух соседних
узлах, и приближенные способы их расчета, а также построение равновес-
ных связей с помощью кластерного подхода. Рассмотрен вопрос о самосо-
гласованном описании равновесия и кинетики взаимодействующих частиц
в однородных и неоднородной системах. Обсуждается общая структура урав-
нений молекулярно-кинетической теории плотных фаз и ее иерархия времен
релаксации. В заключение главы 3 построены общие выражения для термо-
динамических функций неоднородных неидеальных систем.
Четвертая глава посвящена анализу поверхностного натяжения границы
раздела двухфазных систем на примере сосуществующих фаз пара — жидко-
сти. Рассмотрение начинается с определения термодинамических величин
поверхностного слоя, далее вводится концентрационный профиль плоских и
искривленных границ и условия на способ его расчета через избыточную ве-
личину свободной энергия переходной области границы раздела двух фаз.
Это позволяет ввести понятие поверхностного натяжения и положение раз-
деляющей поверхности. Проведен численный анализ выражения для термо-
динамического определения поверхностного натяжения и дан анализ неод-
нозначности этого определения для одно- и двухкомпонентных систем,
связанный с необходимостью выделения механической характеристики гра-
ницы раздела фаз. В данной главе также обсуждаются сопутствующие вопро-
сы: является ли размер малой фазы ее термодинамическим параметром, и
критерий, демонстрирующий наличие метастабильности состояния рассчи-
тываемой капли.
Предисловие 11
Термодинамике твердофазных систем посвящена пятая глава. Для них
вводится описание равновесного состояния твердого тела. Фазовый анализ
с учетом времен релаксаций показал, что твердофазные системы преимуще-
ственно неравновесные. Механическое равновесие в них описывается с по-
мощью внутренних и внешних деформаций в объеме и на границах фаз.
Примером служит процесс адсорбционной деформации адсорбентов. Далее
рассматриваются вопросы равновесного описания учета упорядоченности
компонентов смесей в объеме и на границах раздела фаз. На примере упоря-
доченного твердого раствора А0.5В0.5 рассмотрена критическая температура
упорядочения в объемной фазе и ее размерные изменения в ограниченных
кубических доменах. Аналогичные зависимости рассмотрены для сегнето-
электриков типа «порядок — беспорядок» и смещения. Для них впервые по-
лучены размерные зависимости критических температур, а также поверх-
ностное и межфазное натяжения. Анализируется процедура расчета
механических модулей неоднородных твердофазных систем.
В шестой главе обсуждаются трехагрегатные пористые системы. Для них
введено новое понятие о трехагрегатном уравнении состояния в МРГ. Оно
позволяет дать общую методику расчета ПН менисков пар — жидкость в пори-
стых телах, которая конкретизируется на примерах щелевидных и цилиндриче-
ских пор. С помощью полученных молекулярных распределений рассчитыва-
ются три вида двухфазных ПН и величины контактных углов менисков.
Обсуждается влияние степени шероховатости стенок щелевидных пор, а также
влияние величины ограниченности объема этих пор и влияние формы цилинд-
рических пор на три вида поверхностного натяжения и контактных углов.
Седьмая глава описывает конденсированные фазы в рамках ассоциатив-
ной модели флюида, в которой молекулярные параметры МРГ имеют мно-
гочастичный характер за счет учета поступательного и колебательного дви-
жения молекул. Построенные уравнения в квазихимическом приближении,
сохраняют самосогласованность описания кинетики и равновесия. Это
усложняет уравнения для расчета молекулярного распределения и приводит
к необходимости учета непрямых корреляций и перехода на подходы с мо-
дельной свободной энергией.
Глава 8 посвящена анализу возможностей других методов статфизики: тео-
рии интегральных уравнений, стохастических методов молекулярной динами-
ки и Монте-Карло, для расчета термодинамические функций, включая расчет
ПН. Основой сопоставления служат возможности описания этими методами
тех факторов, которые отражает модель ассоциатов — это традиционные
представления о сложном колебательном поведении молекул в плотных фазах.
Анализ показал, что наиболее сложным во всех методах статистической тер-
модинамики является расчет ПН при учете экспериментально измеренных
времен релаксаций процессов переноса импульса, энергии и массы.
В Заключении дано обсуждение общего состояния дел в термодинамике:
подчеркнута необходимость возвращения на точку зрения Клаузиуса для раз-
вития термодинамики и методов статистической термодинамики для расчета
термодинамических функций, включая ПН. Включение времен релаксаций
в основы равновесной термодинамики отражает внутренние свойства мате-
12 Предисловие
рии, основанные на прямых экспериментальных данных по временам релак-
сации. Точка зрения Гиббса игнорировала эти экспериментальные данные,
и поэтому искажала основы термодинамики.
Материалы статистической молекулярной теории в рамках МРГ вынесе-
ны в приложения. В качестве приложений к первой главе приводятся сведе-
ния о константах скоростей элементарных стадий, включая теорию абсолют-
ных скоростей реакций, и о модели адсорбционных системы; для второй
главы приложением является сокращенный оригинальный вывод Гиббса
условий расслаивания в поле гравитации; для третьей главы приложениями
служат основы МРГ: гамильтониан решеточной неоднородной неидеальной
системы, кластерный подход для построения равновесных связей, редукция
систем уравнений в КХП, ошибочность введения коэффициента активности
для активированного комплекса, учет различий размеров компонентов сис-
темы, описание производства энтропии согласно второму началу термодина-
мики, и следствие из учета времен релаксаций для термодинамики (о прин-
ципе Каратеодори); в четвертой главе приложением служит материал
о метастабильных каплях и анализ подхода Хилла к малым системам и не-
равновесным кристаллам; к пятой главе даны приложения о внутренних (по-
ступательном и колебательном) движениях молекул в конденсированной
фазе и разработка МРГ для описания твердых сегнетоэлектриков типа сме-
щения; в шестой главе приложением служит молекулярная теория плавления
адсорбата в пористых системах; к седьмой главе приложением являются ме-
тоды учета непрямых корреляций в МРГ.
Основы классической и статистической термодинамик и их достижения
для макросистем хорошо известны в литературе по многочисленным моно-
графиям, поэтому вопросы их обоснования не обсуждаются. Также не об-
суждаются многие другие более сложные системы (большие молекулы, мно-
гокомпонентные смеси, кулоновские потенциалы, полимеры и т.д.) и
вопросы теории адсорбции при малых заполнениях пор, которые хорошо из-
ложены в имеющейся литературе (это область Генри для равновесных харак-
теристик, которая не требует ревизии). С учетом этого в монографии все
внимание сконцентрировано на плотных газах и жидкостях в объемных фа-
зах и при их адсорбции в пористых и дисперсных материалах. В работе не
ставилась цель обзора многочисленных модификаций обсуждаемых уравне-
ний термодинамики в приложениях для малых тел на основе построений
Гиббса (это и невозможно за прошедшие более 140 лет).
Монография имеет междисциплинарный характер — основы термодина-
мики излагаются во многих естественных науках: физике, химии, механике,
биологии, геологии, материаловедении. Материал изложен для специалистов
в области физической химии, статистической термодинамики, физики по-
верхностных явлений и фазовых переходов, кинетической теории в конден-
сированных фазах и гидродинамики, механики твердых тел и технологов, за-
нимающихся созданием новых материалов, в том числе и наноматериалов,
также для студентов и аспирантов соответствующих специальностей.
Автор благодарен коллегам Е. С. Зайцевой и Е. В. Вотякову за активное
участие в численных исследованиях обсуждаемых вопросов.
Предисловие 13
Материал книги отражает результаты, полученные в ходе выполнения
проектов РФФИ (коды проектов 12-03-00028а, 15-03-00587а, 18-03-00030а)
и последующие разработки в продолжение работы автора «Малые системы
и основы термодинамики», Физматлит, 2018.
Список литературы
1. Clausius R., Mechanical Theory of Heat. London, John van Voorst. 1867.
2. Гиббс Дж. В. Термодинамика. Статистическая механика. М.: Наука. 1982.
3. Товбин Ю.К. Малые системы и основы термодинамики. М.: Физматлит, 2018.
408 с.
4. Оно С., Кондо С. Молекулярная теория поверхностного натяжения. М.: Изд-во
иностр. лит., 1963.
5. Товбин Ю. К. // Журнал физической химии. 2021. Т. 95. № 4. С. 483—507.
6. Пригожин И., Кондепуди Д. Современная термодинамика. От тепловых двигате-
лей до диссипативных структур. М.: Мир, 2002. 462 с.
14 Список литературы
ÃËÀÂÀ 1
ÎÑÍÎÂÛ ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÈ
È ÈÄÅÀËÜÍÛÅ ÑÈÑÒÅÌÛ
1. Неоднородные системы
Классическая равновесная термодинамика применяется для макроскопиче-
ских систем. Первоначально она была сформулирована Клаузиусом [1] для
однородных систем. Однако многие макроскопических системы по своим
свойствам являются неоднородными, и для их описания Гиббс [2] обобщил
равновесную термодинамику, введя понятие гетерогенных систем, которые
состоят из множества фаз. Фазой называется однородная по составу и по
физическому состоянию гомогенная часть системы, отделенная от других ча-
стей поверхностью раздела, на которой скачком изменяются какие-либо
свойства. Внутри фазы гомогенная система имеет одинаковые физические
свойства в любых локальных, произвольно выбранных частях, равных по
объему. Размер фазы традиционно предполагают макроскопическим, что от-
деляет изучаемые объемные свойства веществ от поверхностных свойств, ко-
торые проявляются по мере уменьшения размера фазы или когда объектом
исследования становится сама поверхность раздела фаз. Подход Гиббса су-
щественно расширил возможности применения термодинамики к решению
практических задач. Его ограничения стали проявляться в связи с углубле-
нием экспериментального исследования отдельных систем малого размера
или их ансамблей [3, 4]. Особенно активно малыми системами занимаются
последние 30 лет по мере интенсивного развития экспериментальной техни-
ки, повысившей уровень пространственного разрешения.
Малыми системами считаются системы, которые обладают большим
вкладом поверхности по сравнению с их объемным вкладом во все термоди-
намические и теплофизические функции. Они имеют характерные размеры
(радиусы), которые могут меняться в широком диапазоне от нанометров до
субмикронных значений. Это затрагивает как традиционные области зна-
ний, изучающие коллоидные системы и гетерогенный катализ, так и многие
другие области физики, химии и биологии. В указанном диапазоне размеров
меняются многие физические и химические свойства, что открывает новые
подходы к изучению веществ. В результате значительного прогресса в полу-
чении и исследовании нанообъектов возникли новые наноматериалы, нано-
технологи и наноустройства. Этот прогресс связан с развитием туннельной и
сканирующей микроскопии, рентгеновских и оптических методов с исполь-
зованием синхротронного излучения, оптической лазерной спектроско-
пии, радиочастотной спектроскопии, мессбауэровской спектроскопии и т.д.
[5—29].
Традиционным примером малых тел служат жидкие капли в пересыщен-
ном паре и пузырьки в жидких фазах [30,31], когда можно обсуждать свойст-
ва изолированных малых тел. Их прямыми аналогами являются мелкие кри-
сталлы (твердые тела) в паровой и жидкой фазах. К малым системам также
относят модификации систем «микрореакторов» по мере увеличения их чис-
ла в единице объема: аэрозоли, аэрогели, пористые и непористые рыхлые
тела различной структуры и т.д.
В группу изолированных и слабо взаимодействующих нанокластеров
включаются [19]: молекулярные кластеры, газовые безлигандные кластеры
(кластеры щелочных металлов, алюминия и ртути, кластеры переходных
металлов, углеродные кластеры и фуллерены, ван-дер-Ваальсовы класте-
ры), коллоидные кластеры. В группу нанокластеров и наноструктур вклю-
чаются твердотельные нанокластеры и наноструктуры, матричные нанокла-
стеры и супрамолекулярные наноструктуры, кластерные кристаллы и
фуллериты, компактированные наносистемы и нанокомпозиты, наноплен-
ки и нанотрубки.
Наглядное представление о сложных ансамблях малых систем дают дис-
персные фазы, которые имеют разный генезис своего формирования [32—34].
Такие системы образуются на промежуточном мезоуровне с образованием
структур как жестко связанных элементов структуры (у которых твердая часть
формирует общий каркас из отдельных макроэлементов), так и неконсолиди-
рованные элементы структуры (у которых твердая часть составлена из отдель-
ных макроэлементов, не связанных в единый и целый каркас устойчивыми и
прочными связями). В первом случае структурные элементы могут иметь
кристаллическое строение (микрокристаллы) или быть аморфными или стек-
лообразными частицами, характерными для таких искусственных материалов,
как ткани и сетки регулярного плетения, высокоупорядоченные полимерные
системы и т.д. Во втором случае примерами таких систем могут служить грун-
ты, насыпные слои песчаных и гравийных фильтров, катализаторов, адсор-
бентов, объемные волокнистые фильтры и т. д.
В качестве простейшего примера для первого случая укажем на модели,
отображающие строение пористых систем (рис. 1.1), основанных на допуще-
нии простейших форм основных элементов структуры — частиц и пор. Наи-
большее практическое применение нашли глобулярная модель и модель по-
лых цилиндров (капиллярные модели).
16 Глава 1. Основы термодинамики и идеальные системы
а) б) в) г)
Рис. 1.1. Некоторые модели пористых систем: а — непересекающиеся цилинд-
рические капилляры; б — параллельные пластины; в — плотноупако-
ванные сферы; г — плотноупакованные цилиндрические стержни [35]
Более полно пористую структуру большинства материалов отражают ре-
шеточные модели с регулярной и случайной топологией и ветвящиеся моде-
ли. В регулярной решетчатой модели пористая среда представляется в виде
правильной двумерной или трехмерной сетки, узлы которой соединяются
порами постоянного сечения (рис. 1.2). Симметрия решетки задается опре-
деленным сочетанием узлов и связей. Число связей пор в узле характеризу-
ется координационным числом n. При n = 2 решетчатая модель трансформи-
руется в серийную модель с непересекающимися каналами.
Схематическое представление примеров второго случая с неконсолиди-
рованными элементами структуры дано на рис. 1.3 [37]. Здесь показан эле-
ментарный объем системы, включающей в себя две непрерывные фазы, со-
стоящие из твердых частиц, формирующих основу (скелет), и окружающего
флюида. Рисунок отражает также возможную сложную внутреннюю порис-
тую структуру твердых частиц. Характерная особенность таких моделей за-
ключается в том, что в системе отсутствуют жесткие сцепления между раз-
личными твердыми частицами.
В общем случае дисперсные материалы могут состоять из структурных
элементов обоего типа, например, в пористом углероде разного происхожде-
ния [38]. Структура дисперсных материалов чрезвычайно разнообразна
1. Неоднородные системы 17
а) б) в)
Рис. 1.2. Пространственные решетчатые капиллярные модели: а — кубическая
(n = 6); б — случайная (n = 6) с циклом из четырех пор; в — ветвя-
щаяся (псевдорешетка) (n = 3) [36]
Рис. 1.3. Пористая среда как наложение двух непрерывных фаз: слева выделены
твердые частицы, затем идет выделение жидкой фазы в том же объеме.
Поле справа отражает их совместное присутствие в выделенном эле-
менте системы [37]
[34—36, 38—46], и она существенно влияет на равновесные распределения
молекул, ход фазовых превращений и все динамические процессы, протека-
ющие внутри материалов (пористых тел).
Наряду со структурой на мезоуровне важную роль играют микроскопиче-
ские представления о самих границах раздела фаз. Наличие поверхности
возмущает состояние объемных фаз в приповерхностных областях с каждой
из сторон границы раздела фаз [2, 47—50]. Это требует самосогласованного
описания как самих контактирующих фаз, так и характера распределений
компонентов этих фаз по нормали к границе. Возможны различные комби-
нации между фазовыми переходами расслаивания и упорядочения компо-
нентов объемных фаз. Тип фазовых переходов и области их реализации
определяются концентрациями компонентов, температурой и потенциалами
межчастичного взаимодействия. Увеличение числа компонентов увеличивает
число различных комбинаций фазовых переходов [51].
Неоднородности плоской поверхности и приповерхностной области крис-
талла могут быть связаны с нарушением регулярности расположения повер-
хностных атомов твердого тела (структурные неоднородности) и с различием
в природе поверхностных атомов (химические неоднородности). В качестве
наглядного примера неоднородных систем рассмотрим реальные кристаллы,
имеющие дефекты. Представим себе, что такой кристалл рассечен плоскос-
тью. На образовавшихся поверхностях будут находиться следы границ зерен,
точки выхода краевых и винтовых дислокаций, вакансии и междоузлия. Ти-
пичные дефекты и центры адсорбции на поверхности кристалла показаны на
давно известной схеме (рис. 1.4 [34, 52]). Молекулы кристалла (А), изобра-
женные в виде кубиков в простой кубической решетке, могут находиться на
поверхности (1), на ступени (2), у излома ступени (k), в автоадсорбированном
состоянии (3) или примыкать к ступени (4). Удаление молекулы с поверхнос-
ти оставляет вакансию или дырку в поверхности (5), удаление молекулы из
ступени приводит к образованию вакансии в ступени (6). Выход винтовой
дислокации на поверхности (7) служит началом ступени, которая продолжает-
ся до края кристалла или же заканчивается в точке выхода другой, противопо-
ложно направленной винтовой дислокации. Окончание краевой дислокации
изображено условным символом (8). Молекулы адсорбата (В), изображенные
18 Глава 1. Основы термодинамики и идеальные системы
а) б)
Рис. 1.4. Типичные дефекты и центры адсорбции на поверхности кристалла
[52] (а); моноатомная ступень и граница граней (111) и (110) — вид
сверху (б)
в виде сфер, могут адсорбироваться на центрах, расположенных на поверхнос-
ти (9), у ступеней (10), у изломов ступеней (11), в дырках (12) и на центрах,
расположенных рядом с автоадсорбированными молекулами (13). Справа
представлены модельные схемы, используемые ниже для построения функций
распределений: моноатомная ступень (сверху) и граница граней (111) и (110),
которые описывают типы неоднородных систем.
Наличие перечисленных выше точечных неоднородностей способствует
тому, что в окрестности каждого дефекта происходит изменение свойств окру-
жающих атомов, и это приводит к модифицированию свойств соседних узлов
поверхностной структуры, что увеличивает число типов узлов поверхности.
Такие же неоднородности на атомарном уровне реализуются на поверх-
ностях стенок пористых материалов. Аналогичные типы неоднородностей
могут быть выделены в различных коллоидных, в том числе и мицеллярных
системах, или в других системах из «мягких материалов», но число неодно-
родностей на их поверхностях, как правило, меньше. Разные типы неодно-
родных систем могут сильно отличаться по своему размеру и быть как мак-
роскопическими, так и малыми. По мере уменьшения размера фазы вклад
границ/поверхности в ТФ становится заметным по сравнению с объемными
вкладами. Представление о границе как о математической поверхности,
принятое в термодинамике, нарушается. Особенно это становится нагляд-
ным для твердых тел, обладающих развитой поверхностью со структурными
неоднородностями. Эти особенности функционально используются/реализу-
ются во многих адсорбционных, мембранных и каталитических процессах.
Приведенное их перечисление дает представление об усложнениях описания
поверхностных свойств по сравнению с объемной фазой, которые неизбежно
возникают при рассмотрении малых систем.
В Предисловии выделены основные три ситуации появления неодно-
родных систем, которые связаны с перечисленными выше особенностями
контактирующих соседних фаз в разных агрегатных состояниях, а также
с неоднородностями самих переходных
областей границ раздела сосуществующих
фаз, имеющих на микроуровне некоторую
протяженность по нормали к плоскости
раздела, и в случае частичной или полной
неравновесности твердых фаз.
В качестве наглядного примера слож-
ной неоднородной системы укажем на
данные просвечивающей микроскопии по
распределению жидкости и пара в запа-
янных и открытых нанотрубках [53—55],
которые начали изучаться пару десятиле-
тий назад. На рис. 1.5 приведена фотогра-
фия по данным о просвечивающей мик-
роскопии, в которой показана изогнутая
нанотрубка, содержащая мениски па-
рожидкостных фаз. Диапазон диаметров
1. Неоднородные системы 19
Рис. 1.5. Изогнутая нанотрубка,
содержащая сконденсированную
фазу, ограниченную двумя мени-
сками [55]
нанотрубок в подобных экспериментальных наблюдениях от 10 до 220 нм.
На распределения мобильных фаз влияют все детали микростроения стенок
нанотрубок, их геометрия, молекулярные свойства жидкости, температура
системы, и фактор ограниченности объема пористой системы.
До настоящего времени подавляющее число таких экспериментальных
систем трактуются с позиций термодинамики [47], включая макроскопиче-
ские понятия типа работы или энергии адгезии и поверхностное натяже-
ние. Такое термодинамическое описание макроскопических неоднородных
систем нивелирует отличия в локальных свойствах рассматриваемых сис-
тем, которые могут быть достаточно сильно неоднородны по своим микро-
свойствам. Вводя для них понятия поверхностного, межфазного и/или ли-
нейного натяжения, термодинамика отражает брутто-эффекты, вызванные
наличием поверхности, но не позволяет дать молекулярную интерпретацию
этих характеристик, а экспериментальное их определение чрезвычайно тру-
доемко.
В этих условиях единственным способом теоретического описания неод-
нородных систем является моделирование с помощью атомно-молекулярных
моделей, которые позволяют обеспечить расчет термодинамических функ-
ций (внутренней и свободной энергии, ПН и т.д.) в перечисленных неодно-
родных системах с характерным размером Rt (Rt — нижняя граница размера
применимости термодинамики [4], dV ~ Rt
3, где dV — элемент объема, фигу-
рирующий в уравнениях термодинамики) и менее, а также для систем с раз-
витой поверхностью.
2. Термодинамические параметры состояния
Термодинамика представляет собой научную дисциплину, которая изучает
переходы энергии из одной формы в другую, от одной части системы к дру-
гой, энергетические эффекты, сопровождающие различные физические и
химические процессы, зависимость их от условий протекания процессов и
возможность, направление и пределы самопроизвольного течения процессов
в рассматриваемых условиях [2, 56—72]. Данное определение полностью со-
ответствует концепции Клаузиуса: термодинамика изучает закономерности
теплового движения в равновесных системах (равновесная термодинамика
или классическая термодинамика) и при переходе систем в равновесие (тер-
модинамика необратимых процессов или неравновесная термодинамика).
Сегодня этап перехода систем к равновесию расширяется на весь круг зако-
номерностей в неравновесных системах [73].
Введем основные положения классической термодинамики [2, 56—72],
необходимые для ее применения к неоднородным системам. Эти положе-
ния отражают главную особенность термодинамики — ее безмодельный ха-
рактер.
Термодинамические системы. Будем называть макроскопической систе-
мой всякий материальный объект (и даже его части) или определенную со-
20 Глава 1. Основы термодинамики и идеальные системы
вокупность материальных объектов, гипотетически выделенных нами из
окружающей среды, состоящих из большого числа частиц. Такого рода сис-
темы могут состоять из большого числа материальных частиц (например,
молекул, атомов, ионов и т.д.) или полей, например электромагнитного
поля. Размеры макроскопических систем всегда значительно больше разме-
ров атомов и молекул. В термодинамических системах мы имеем дело с ди-
намическими системами, обладающими чрезвычайно большим числом сте-
пеней свободы (системы с малым числом степеней свободы классической
термодинамикой не рассматриваются — это задача статистической термоди-
намики).
Если изучается часть полной системы, то остальную часть будем назы-
вать окружающей средой, окружением или термостатом, который налагает
некоторые условия на изучаемую систему (например, условия постоянства
температуры, давления, химического потенциала и т.д.).
Макроскопические параметры. Совокупность всех физических и химиче-
ских свойств системы характеризует ее состояние. Этот термин относится ко
всей системе в целом в случае равновесного состояния либо к ее локально
равновесному состоянию в некоторой области в случае ее неравновесного
состояния. Рассматриваемое состояние однозначно определяется совокупно-
стью независимых макроскопических параметров, которые необходимо вы-
брать так, чтобы они были необходимыми и достаточными для определения
этого состояния. Тогда остальные величины, характеризующие состояние,
являются функциями этих переменных.
Макроскопические параметры удобно делить на два класса: внешние и
внутренние. Величины, определяемые положением не входящих в нашу сис-
тему внешних тел, называются внешними параметрами ai (i = 1, 2, ...), на-
пример, объем системы, напряженность силового поля и т.д. Следовательно,
внешние параметры являются функциями координат внешних тел.
Величины, определяемые совокупным движением и распределением
в пространстве входящих в систему частиц, называются внутренними пара-
метрами bj (j = 1, 2, ...), например плотность, давление, энергия, поляри-
зованность, намагниченность и др. Само пространственное расположение
входящих в систему частиц — атомов и молекул — может зависеть от распо-
ложения внешних тел, поэтому внутренние параметры определяются поло-
жением и движением этих частиц и значением внешних параметров.
Однако в зависимости от условий, в которых находится система, одна и
та же величина может быть как внешним, так и внутренним параметром.
Например, при фиксированном положении стенок сосуда объем V является
внешним параметром, а давление P внутренним параметром, так как зависит
от координат и импульсов частиц системы. Если же система находится в со-
суде с подвижным поршнем под постоянным давлением, давление Р будет
внешним параметром, а объем V — внутренним параметром, так как зависит
oт положения и движения частиц. Т.е. в общем случае различие между
внешними и внутренними параметрами зависит от того, где проводится гра-
ница между системой и внешними телами. Это обстоятельство особенно
важно при рассмотрении механических контактов.
2. Термодинамические параметры состояния 21
Совокупность независимых макроскопических параметров, полностью
определяющих состояние системы в данный момент времени и не завися-
щих от предыстории системы, называется термином параметры состояния.
Число независимых параметров, описывающих термически равновесное со-
стояние, определяется эмпирически [67]. В качестве параметров состояния
можно использовать любую из величин, служащих для характеристики со-
стояния термодинамической системы: температуру, давление, объем, внут-
реннюю энергию, энтропию, концентрацию, поляризованность, намагни-
ченность и др.
Термин «равновесное состояние» означает, что все независимые парамет-
ры системы с течением времени не изменяются (это исключает возможность
реализации стационарных потоков за счет действия каких-либо внешних
источников). Такое состояние системы называется состоянием термодина-
мического равновесия, а соответственно, параметры такого состояния назы-
ваются термодинамическими параметрами.
Функции состояния. Физические величины, имеющие определенное зна-
чение для каждого термически равновесного состояния системы, называют-
ся также термодинамическими величинами или функциями состояния.
К ним относятся, например, температура, давление, внутренняя энергия, эн-
тальпия и энтропия.
Внутренние параметры системы разделяют на интенсивные и экстен-
сивные.
Интенсивными параметрами называются такие параметры, величины ко-
торых не зависят от массы или размера системы при ее разбиении на части,
не нарушающих равновесного состояния. Если систему, находящуюся в тер-
мически равновесном состоянии, разделить на части с помощью непрони-
цаемых перегородок, то каждая часть останется в равновесном состоянии.
Т.е. равновесное состояние однородной системы является ее внутренним
свойством и определяется термодинамическими переменными, не зависящи-
ми от размеров системы. Примерами интенсивных параметров являются все
молярные и удельные свойства, температура, давление, химический потен-
циал и т.д. Величины этих свойств не аддитивны.
Экстенсивными параметрами называются такие параметры, величины ко-
торых пропорциональны массе или размеру системы при ее разбиении на
части, которое не нарушает равновесного состояния. Т.е. величины экстен-
сивных параметров обладают свойством аддитивности. К числу экстенсив-
ных параметров относятся термодинамические потенциалы, энтропия, объ-
ем и т.д. Экстенсивные параметры характеризуют систему как целое, в то
время как интенсивные могут принимать определенные значения в каждой
точке системы. Система, энергия которой нелинейно зависит от числа час-
тиц, не является термодинамической, и ее изучение методами термодинами-
ки, вообще говоря, приближенное или даже неправомерное [68].
Гомогенные и гетерогенные системы. Все множество термодинамических
систем разделяют на два класса — гомогенные и гетерогенные.
Гомогенные это такие системы, внутри которых свойства изменяются
непрерывно при переходе от одного места к другому в пределах некоторой
22 Глава 1. Основы термодинамики и идеальные системы
области. Возможность непрерывного изменения свойств гомогенных систем
при переходе от одного места к другому в пределах некоторой области свя-
зывается с влиянием внешних полей (например, гравитационного).
С гомогенными системами связывается понятие «фаза», которую опреде-
ляют как однородную по составу, так и по физическому состоянию гомоген-
ную часть системы, отделенную от других частей поверхностями раздела, на
которой скачком изменяются какие-либо свойства (и соответствующие им
параметры). Внутри фазы гомогенная система имеет одинаковые физические
свойства в любых локальных, произвольно выбранных частях, равных по
объему. Примерами таких систем являются смеси различных газов и раство-
ры, как жидкие, так и твердые. В этих системах могут происходить реакции
между составными частями смеси, диссоциация газа или растворенного ве-
щества, сольватация, полимеризация и т.д. При равновесии в таких системах
реакции прекращаются с точки зрения значения макроскопических парамет-
ров.
Считается, что фаза — это гомогенная область гетерогенной системы, со-
стоящая из индивидуального вещества или раствора/смеси и ограниченная
поверхностью раздела, термодинамические свойства которой описываются
одним фундаментальным уравнением и которая сосуществует с другими фа-
зами общей гетерогенной системы [4, 66].
Это определение обходит проблему дисперсности одной фазы, если все
ее области макроскопические. Иначе эту ситуацию можно назвать как фазо-
вое приближение Гиббса для описания макроскопической неоднородной си-
стемы [4]. В данном определении исключено расширение данного понятия
на метастабильные состояния, предлагаемое в разных работах, в частности
в работах [66, 67]. Данное определение фазы может быть использовано для
любых по размеру систем.
Следует различать агрегатные состояния и фазы. В то время как агрегат-
ных состояний всего четыре — твердое, жидкое, газообразное и плазменное,
число фаз неограниченно; даже у одного и того же химически чистого веще-
ства в твердом агрегатном состоянии может быть несколько фаз (ромбиче-
ская и моноклинная сера, серое и белое олово и др.).
Гетерогенными называются системы, которые состоят из нескольких фи-
зически однородных фаз или гомогенных тел, так что внутри систем имеют-
ся разрывы непрерывности в изменении их свойств. Эти системы представ-
ляют собой совокупности или различных агрегатных состояний одного и
того же вещества (лед — вода, вода — пар и т.д.), или различных кристалли-
ческих модификаций (серое и белое олово и др.), или различных продуктов
взаимного растворения (водный раствор соли — твердая соль — пар), или
продуктов химического взаимодействия различных веществ (жидкий сплав и
твердое химическое соединение двух металлов).
К числу гетерогенных процессов относятся агрегатные превращения ин-
дивидуальных веществ, процессы испарения, кристаллизации и расслоения
жидких растворов, процессы растворения и плавления твердых растворов,
сублимация и т.д. Общая черта этих процессов, делающая их в известной
степени родственными, заключается в том, что в них принимают участие
2. Термодинамические параметры состояния 23
физически разнородные вещества или растворы веществ, разграниченные
поверхностями раздела. Физически однородные системы, разграниченные
поверхностями раздела, принято называть фазами, а системы, состоящие из
нескольких фаз, — гетерогенными системами. Особенностью гетерогенных
систем является наличие поверхностей раздела, через которые осуществляет-
ся взаимодействие между фазами. В результате фазовых процессов изменя-
ются массы фаз, их свойства и состав. Возможно также изменение числа
фаз. Поэтому учение о гетерогенных системах можно определить как науку
о взаимных превращениях фаз, в результате которых изменяются количест-
венное соотношение и число фаз, а также их составы и свойства.
3. Термодинамические процессы
Изменение какого-либо термодинамического параметра состояния всей сис-
темы или локальной области называется термодинамическим процессом
или, кратко, процессом. Например, при изменении объема происходит про-
цесс расширения системы; при изменении характеристик внешнего поля —
процесс намагничивания или поляризации системы и т.д. Термодинамика
рассматривает изменения состояния системы, происходящие или сами по
себе, или под действием контактов с другими системами.
Процессы, происходящие при постоянной температуре, называются изо-
термическими, происходящие при постоянном давление — изобарными, а
происходящие при постоянном объеме — изохорными. Адиабатными назы-
ваются процессы, при которых система не принимает и не отдает теплоты,
хотя может быть связана с окружением работой, получаемой от нее и совер-
шаемой над ней.
Квазистатический процесс. Так принято называть идеальные процессы,
в течение которых система и окружающая среда остаются в термически рав-
новесном состоянии. Такой процесс приближенно реализуется в тех случаях,
когда изменения происходят достаточно медленно. В предельном случае
очень медленных изменений оба процесса происходят по одной и той же
траектории в противоположных направлениях. Т.е. квазистатический про-
цесс является обратимым, и система все время находится в равновесных со-
стояниях. Наиболее важными квазистатическими процессами являются: ква-
зистатический изотермический процесс (система находится в контакте
с термостатом, имеющим постоянную температуру (тепловым резервуаром))
и квазистатический адиабатический процесс (при котором система не имеет
теплового (и материального) контакта с окружающей средой, но при воздей-
ствии системы на окружающую среду или, наоборот, окружающей среды на
систему может совершаться работа).
Процесс называется неравновесным или нестатическим, если изменение
какого-либо параметра а происходит за время t меньшее или равное времени
релаксации (t < ), где — время релаксации системы, выведенной из со-
стояния равновесия и предоставленной самой себе. Сам процесс релаксации
является неравновесным процессом.
24 Глава 1. Основы термодинамики и идеальные системы
Термодинамический процесс называется равновесным, если в ходе про-
цесса система проходит только через непрерывный ряд равновесных состо-
яний. В равновесной термодинамике понятия равновесного процесса и об-
ратимость совпадают: обратимый процесс будет в то же время
равновесным, и, наоборот, всякий равновесный процесс — обратимым.
При таком процессе в каждый данный момент система находится в состоя-
нии, бесконечно близком к равновесному, и достаточно бесконечно мало
изменить условия, чтобы процесс мог быть обращен, т.е. мог протекать
в противоположном направлении. Это требование является общим как для
фазовых превращений, так и для реализации химических превращений.
С равновесным процессом связано определение равновесного состояния,
указанное выше.
Для устойчивого равновесия характерно также то, что к нему принципи-
ально можно подойти с двух противоположных направлений. Т.е. с молеку-
лярной точки зрения устойчивое равновесие является динамическим. Равно-
весие устанавливается не вследствие отсутствия или прекращения процесса,
а вследствие протекания его одновременно в двух противоположных направ-
лениях с одинаковой скоростью. Именно равенство скоростей прямого и об-
ратного процессов является причиной сохранения системы без изменения во
времени (при неизменности внешних условий).
Так как равновесный процесс всегда является процессом бесконечно
медленным, то все практически реализуемые процессы лишь в той или иной
степени могут приближаться к рaвновесным. Это обстоятельство накладыва-
ет определенные ограничения на отличие понятия «термодинамических» ха-
рактеристик от «теплофизических характеристик», т.к. степень близости со-
стояний системы к промежуточным равновесным состояниям требует
контроля и, следовательно, критерия на близость к данному равновесию.
Последнее невозможно осуществить без анализа релаксационных стадий
приближения к локальному равновесию: анализу спектра релаксирующих
характеристик (переменных) и характерному времени релаксации для каж-
дой переменной. Напомним, что в термодинамике берется наибольшее
время релаксации, в течение которого устанавливается равновесие для всех
параметров данной системы. При этом, естественно, возникает вопрос о са-
мосогласованности описания релаксационных стадий и собственно равно-
весного состояния, который практически никогда не обсуждается в рамках
неравновесной термодинамики.
Изменение термодинамических функций в каком-нибудь процессе зави-
сит только от начального и конечного состояний системы и не зависит от
пути перехода. Любые функции системы, изменение которых в любом про-
цессе зависит от пути перехода, являются теплофизическими. Это связывает
текущее состояние системы с ходом ее эволюции и выводит обсуждение за
рамки классической равновесной термодинамики в область неравновесной
термодинамики. Процессы, которые нельзя провести обратимым образом,
называются необратимыми.
3. Термодинамические процессы 25
4. Основные положения равновесной
термодинамики
Классическая термодинамика построена на исходных положениях, формали-
зующих условия ее применения, и на началах, которые дают математиче-
скую запись закона сохранения энергии при любых формах ее существова-
ния. Исходные положения и начала термодинамики отражают накопленный
опыт экспериментальных измерений.
1-е положение. Изолированная макроскопическая система с течением вре-
мени приходит в состояние термодинамического равновесия и никогда само-
произвольно выйти из него не может. Это конечное состояние называется со-
стоянием термического, или теплового, равновесия. Материальные частицы
продолжают свое сложное движение, но с макроскопической точки зрения
термически равновесное состояние является простым состоянием, которое
определяется несколькими параметрами, как, например, температурой и дав-
лением. Данное положение определяет рамки применимости термодинамики:
а) исключаются процессы, которые не завершаются наступлением равнове-
сия, а также все явления, связанные с большими самопроизвольными откло-
нениями системы от равновесного состояния; б) исключаются системы с ма-
лым числом частиц (в них велика роль флуктуаций); и в) ограничиваются
размеры систем сверху, в частности, объемами, которые создаются экспери-
ментаторами.
2-е положение. Включает в себя понятие о тепловом равновесии двух
систем и закон транзитивности теплового равновесия (или нулевой закон
термодинамики).
Тепловое равновесие двух систем. Если две изолированные системы А и В
приведены в контакт друг с другом, то полная система А + В в конечном
итоге переходит в состояние теплового равновесия. В этом случае говорят,
что системы А и В находятся в состоянии теплового равновесия друг с дру-
гом. Каждая из систем А и В в отдельности также находится в состоянии
теплового равновесия. Это равновесие не нарушится, если устранить кон-
такт между системами, а затем через некоторое время восстановить его. Сле-
довательно, если установление контакта между двумя системами А и В, ко-
торые до этого были изолированными, не приводит ни к каким изменениям,
то можно считать, что эти системы находятся в тепловом равновесии друг
с другом (А ~ В).
Нулевой закон термодинамики (закон транзитивности теплового равнове-
сия). Если системы А и В находятся в тепловом равновесии и системы В и С
находятся в тепловом равновесии, то системы А и С также находятся в теп-
ловом равновесии между собой: А ~ В, В ~ С А ~ С.
5. Начала термодинамики
Первое начало термодинамики выражает количественную сторону закона со-
хранения и превращения энергии в применении к термодинамическим сис-
26 Глава 1. Основы термодинамики и идеальные системы
темам. Полная энергия системы разделяется на внешнюю и внутреннюю.
Часть энергии, состоящая из энергии движения системы как целого и потен-
циальной энергии системы в поле внешних сил, называется внешней энер-
гией. Остальная часть энергии системы называется внутренней энергией.
В термодинамике не рассматривается движение системы как целого и
изменение ее потенциальной энергии при таком движении, поэтому энер-
гией системы является ее внутренняя энергия. Энергия положения системы
в поле внешних сил входит в состав ее внешней энергии при условии, что
термодинамическое состояние системы при перемещении в поле сил не из-
меняется. Если же термодинамическое состояние при перемещении системы
меняется, то определенная часть потенциальной энергии будет входить в со-
став внутренней энергии. Внутренняя энергия U = U(a1,…,an;T) является
внутренним параметром и, следовательно, при равновесии зависит oт внеш-
них параметров ai, и температуры Т.
При взаимодействии термодинамической системы с окружающей средой
происходит обмен энергией. При этом возможны два различных способа пе-
редачи энергии от системы к внешним телам: с изменением внешних пара-
метров системы и без изменения этих параметров. Первый способ передачи
энергии, связанный с изменением внешних параметров, называется работой,
второй способ — без изменения внешних параметров, но с изменением но-
вого термодинамического параметра (энтропии) — теплотой, а сам процесс
передачи энергии — теплообменом.
Энергия, переданная системой с изменением ее внешних параметров,
называется работой W (а не количеством работы), а энергия, переданная си-
стеме без изменения ее внешних параметров, количеством теплоты Q. Как
видно из определения теплоты и работы, эти два рассматриваемых в термо-
динамике различных способа передачи энергии не являются равноценными.
Действительно, в то время как затрачиваемая работа W может непосредст-
венно пойти на увеличение любого вида энергии (электрической, магнит-
ной, упругой, потенциальной энергии системы в поле и т. д.), количество
теплоты Q непосредственно, т.е. без предварительного преобразования в ра-
боту, может пойти только на увеличение внутренней энергии системы.
Работа W и количество теплоты Q представляют собой два различных
способа передачи энергии, рассматриваемые в термодинамике, и, следовате-
льно, характеризуют процесс энергообмена между системами. При бесконеч-
но малом равновесном изменении параметра а работа, совершаемая систе-
мой, равна W = Ada, где А — сопряженная внешнему параметру а
обобщенная сила, являющаяся при равновесии функцией внешнего пара-
метра а и температуры Т. При изменении n внешних параметров работа сис-
темы
W = Ai dai
i
. (5.1)
При неравновесном бесконечно малом изменении параметра а работа
Wne, совершаемая системой, также равна Wne = Anedane, но в этом случае
обобщенная сила Аne благодаря исходным положениям термодинамики явля-
5. Начала термодинамики 27
ется функцией внешних параметров аi, внутренних параметров bj, и их про-
изводных во времени.
Первое начало термодинамики устанавливает: внутренняя энергия систе-
мы является однозначной функцией ее состояния и изменяется только под
влиянием внешних воздействий. Согласно первому началу, изменение внут-
ренней энергии U2 — U1 системы при ее переходе под влиянием этих воздей-
ствий из первого состояния во второе равно алгебраической сумме Q и W,
что для конечного процесса запишется в виде уравнения
U2 — U1 = Q — W, (5.2)
а для инфинитизимального (элементарного) процесса уравнение первого на-
чала имеет вид
Q = dU + W. (5.3)
Уравнение первого начала в виде (5.2) или (5.3) справедливо как для рав-
новесных, так и для неравновесных процессов. Уравнение первого начала
позволяет определить внутреннюю энергию U(a1,..., аn;Т) в состоянии (a1,...,
аn;Т) только с точностью до аддитивной постоянной U(a1°,..., аn°;Т°), завися-
щей от выбора начального состояния (a1°,..., аn°;Т°).
Второе начало термодинамики представляет собой закон об энтропии: эн-
тропия, как и U, является функцией состояния, энтропия существует у вся-
кой равновесной системы, и она не убывает при любых процессах в изоли-
рованных системах. Математически второе начало термодинамики для
равновесных процессов записывается как
Q = TdS. (5.4)
Это выражение для элемента количества теплоты имеет такой же вид,
как и выражение для элементарной работы W, причем температура Т явля-
ется интенсивным параметром теплопередачи (термическая обобщенная
сила), а энтропия S — экстенсивным параметром теплопередачи (обобщен-
ная координата). Энтропия по своему определению является аддитивной ве-
личиной, пропорциональной числу частиц системы. Т.е. энтропия всей сис-
темы равна сумме энтропии отдельных подсистем.
Основное уравнение термодинамики. Для равновесных процессов Массье
[57] было введено обобщенное уравнение для первого (5.3) и второго (5.4)
начала термодинамики в том виде, которое стало считаться основным урав-
нением термодинамики. Их объединение дает основное уравнение термоди-
намики для равновесных процессов в виде
TdS dU Ai da
i
i . (5.5)
Для простой системы, находящейся под всесторонним давлением Р,
уравнение (5.5) имеет вид
TdS dU PdV. (5.6)
Уравнение (5.5) является исходным при анализе всех равновесных про-
цессов в термодинамических системах с постоянным числом частиц.
Первое начало термодинамики основано на законе сохранения энер-
гии в рассматриваемой системе (закон сохранения массы был известен еще до
28 Глава 1. Основы термодинамики и идеальные системы
построения термодинамики). Для его замыкания уравнение первого начала
термодинамики необходимо дополнить уравнениями состояния (термически-
ми bk = fk(a1,..., аn;Т), где bk — равновесный внутренний параметр системы
(кроме внутренней энергии), который является сопряженным внешнему пара-
метру ai, т.е. bk = Ai , и калорическим U = U(a1,..., аn;Т)). Уравнения состояния
нельзя вывести на основе начал термодинамики. Они устанавливаются из
опыта или находятся методами статфизики, так как для их построения необ-
ходима микроскопическая информация о статистическом поведении молекул.
В частности, отсутствие в термодинамике термического уравнения для давле-
ния связано с отсутствием учета свойств импульса системы.
При вычислении многих величин необходимо знать как термическое, так
и калорическое уравнения состояния системы. Экспериментально эти урав-
нения могут быть получены независимо друг от друга. Основное уравнение
термодинамики (5.5) дает следующее дифференциальное уравнение, связы-
вающее термическое для переменной типа ai и калорическое уравнения со-
стояния (что делает ненужным знание одно из них):
T
A
T
U
a
i A
a i T
i
i
. (5.7)
Если калорическое и термические уравнения состояния известны, то
с помощью начал термодинамики можно определить все термодинамические
свойства системы.
Теорема Нернста (Третье начало термодинамики). Все энергетические ха-
рактеристики в термодинамике имеют смысл относительных изменений при
переходах из некоторой начальной точки (совокупности параметров системы
аi, однозначно определяющих ее состояние) в любую конечную точку. Чтобы
иметь возможность устанавливать общую точку отсчета для всех термодина-
мических характеристик, была сформулирована тепловая теорема Нернста: по
мере приближения температуры к 0 К энтропия всякой равновесной системы
при изотермических процессах перестает зависеть от каких-либо термодина-
мических параметров состояния и в пределе (Т = 0 К) принимает одну и ту же
для всех систем универсальную постоянную величину, которую можно, по
предложению Планка, принять равной нулю. Эта теорема позволяет опреде-
лять аддитивные постоянные в выражениях для энтропии, которые нельзя вы-
числить каким-либо другим термодинамическим путем.
Согласно третьему началу, энтропию можно находить, зная лишь зависи-
мость теплоемкости от температуры и не располагая термическим уравнени-
ем состояния, которое для конденсированных тел неизвестно. Задача вычис-
ления энтропии сводится к определению лишь температурной зависимости
теплоемкости.
В настоящее время справедливость третьего начала обоснована для всех
термодинамических равновесных систем, но главный вопрос ее применения
остается — всегда ли реализуется равновесие за время эксперимента?
Раздел термодинамики, изучающий химические и физические процессы
в различных фазах вещества в ходе перераспределения компонентов системы
на основе общих законов взаимопревращений теплоты, различных видов
5. Начала термодинамики 29
работы и энергии, называется «химическая термодинамика». Химическая
термодинамика включает в себя теорию фазовых и химических равновесий,
химических превращений и фазовых переходов в системах при наличии
в них химических превращений.
Характеристические функции. Характеристическими называются функ-
ции состояния системы, через производные которых наиболее просто и при-
том в явном виде могут быть выражены все термодинамические свойства си-
стемы. При этом под термодинамическими свойствами понимаются такие
физические свойства, которые зависят только от температуры, давления
(или объема) и состава. Характеристичность функции есть следствие выбора
независимых переменных (параметров состояния). Эти переменные называ-
ются естественными независимыми переменными.
Все термодинамические величины, характеризующие данную систему,
могут быть получены как частные производные характеристических функ-
ций, а так называемые термодинамические уравнения представляют собой
связи между этими величинами (аналитическая формулировка термодинами-
ки). Термодинамика может дать только общие сведения относительно фор-
мы термодинамических функций, но не может определить их конкретный
вид для каждой частной системы. Эта зависимость должна устанавливаться
эмпирически или с помощью статистической механики.
Приведем для однородной системы выражения наиболее часто использу-
емых характеристических функций и их естественные переменные, а также
полный дифференциал функции:
внутренняя энергия
U, (S, V, Ni), dU TdS PdV j jdN j; (5.8)
энтальпия
H = U + PV, (S, P, Ni), dH TdS VdP dN j j j; (5.9)
свободная энергия Гельмгольца
F = U TS,
(T, V, Ni), dF SdT PdV dN j j j; (5.10)
свободная энергия Гиббса
G F PV N j j j, (T, P, Ni), dG SdT VdP dN j j j . (5.11)
Если характеристическая функция задана как функция естественных не-
зависимых переменных, то термодинамические свойства системы определе-
ны полностью. Если же она задана как функция другого набора независи-
мых переменных, то для определения всех термодинамических свойств этого
недостаточно. Для их определения требуется дополнительная информация,
чтобы найти неизвестную функцию, получаемую при интегрировании
[56—58, 66]. Следовательно, если данную термодинамическую функцию рас-
сматривать как функцию таких переменных, для которых она не является
характеристической, то другие сопряженные термодинамические величины
невозможно выразить в явном виде с помощью этой функции.
Приведем также так называемое уравнение Гиббса — Дюгема
SdT VdP N d j j j 0. (5.12)
30 Глава 1. Основы термодинамики и идеальные системы
Здесь в явном виде рассматривается лишь работа, связанная с изменени-
ем давления как в уравнении (5.6). Уравнение (5.2) играет важную роль
в различных приложениях. Оно является таким же фундаментальным урав-
нением, как и уравнения для приведенных характеристических функций
(5.8)—(5.11), которые в силу того, что они отражают изменения, которые
равны работам, совершаемым при определенных условиях, также называют
термодинамическими потенциалами.
6. Второе начало термодинамики Клаузиуса
и Гиб б са
Введение второго начала термодинамики связано с обсуждением понятия
о процессах и введения энтропии как меры необратимых процессов переда-
чи или рассеяния энергии. Качественно новым и принципиальным отличи-
ем второго начала от всех предшествующих построений на основе механики
является его формулировка немеханического принципа описания процессов
перехода между разными начальными и конечными состояниями системы
с участием механической работы и теплоты, что привело к введению поня-
тия «энтропия» и ее особенности в состоянии равновесия. Историческое из-
ложение периода формулировки второго начала изложено во многих источ-
никах (см. например, [57, 73, 74]).
Согласно концепции Р. Клаузиуса второе начало термодинамики форма-
льно выражается в виде соотношения математического выражения на прира-
щение энтропии в виде неравенства:
dS
Q
T
, (6.1)
где S есть энтропия, произведенная необратимыми процессами внутри зам-
кнутой системы. Знак равенства относится к обратимым процессам. В ин-
тегральной форме выражение (6.1) записывается в виде Q/T 0, где Q —
количество теплоты, Т — абсолютная температура. Интеграл берется по зам-
кнутому циклическому процессу, в котором система получает или отдает
указанное количество теплоты при соответствующих температурах. Для рав-
новесных процессов подынтегральное выражение есть полный дифференци-
ал (5.4), в силу независимости от пути перехода между любым начальным и
конечным состояниями, что позволяет считать энтропию S функцией состо-
яния. Интегральная форма записи для энтропии выражается в виде разности
значений энтропий для двух разных состояний системы
S S
Q
T 2 1 1
2
, (6.2)
где интегрирование ведется вдоль пути любого квазистатического (или обра-
тимого) процесса, связывающего состояния 1 и 2.
Однако из неравенства Р. Клаузиуса следует более общая форма записи,
которую сам Клаузиус считал неотъемлемой частью формулировки второго
6. Второе начало термодинамики Клаузиуса и Гиббса 31
начала термодинамики, т.е. он включил необратимые процессы в формализм
введения понятия энтропии и заменил дифференциальное неравенство (6.1)
на интегральное неравенство в виде [1, 75, 76]:
N S S
dQ
T
2 1 1
2
, (6.3)
где величину N Клаузиус определил как «некомпенсированное преобразова-
ние» (или нескомпенсированная теплота) [1, 75, 76]. Величина dQ может
быть положительной или отрицательной. Из неравенства (6.1) следует, что
изменение энтропии, обусловленное необратимыми процессами, должно
быть положительным, и он это записывал в следующем виде:
N S S
dQ
T
2 1 1
2
0. (6.4)
Отсюда объединенное уравнение первого и второго начала термодинамики,
согласно Клаузиусу, записывается как
dU TdS — РdV, (6.5)
где U — внутренняя энергия, Р — давление и V — объем системы, как и
выше знак равенства относится к равновесию.
Как отмечено в [73]: «Полезность понятия энтропии и второго начала
термодинамики зависит от нашей способности определить энтропию физи-
ческой системы так, чтобы ее можно было вычислить». Однако в те времена
не было способа вычисления величины N, связанной с необратимыми про-
цессами. Поэтому все внимание было сконцентрировано на методах расчета
идеализированных обратимых процессов. А для необратимых процессов вве-
денная функция энтропии указывала на пути направления самопроизволь-
ного протекания процесса.
Из формулы (6.5) однозначно следует, что переход от неравновесных со-
стояний с dU TdS — РdV до равновесных состояний с dU = TdS — РdV (5.6)
должен описываться кинетическими уравнениями.
Термодинамика Гиббса. В своей работе Гиббс [2] указывает на прямую
связь с построениями Клаузиуса и пишет о своем согласии с Клаузиусом [1,
75, 76] в отношении термина «энтропия»: главным для него является тот
факт, что «…существуют функции состояния тела, дифференциалы которых
удовлетворяют этим уравнениям, можно легко вывести из первого и второго
законов термодинамики» (стр. 10, [2]). За основу было взято уравнение (5.6)
для строго равновесных состояний, которое Гиббс комментирует следующим
образом (стр. 61, [2]): «Понимание законов, управляющих поведением лю-
бой материальной системы, чрезвычайно упрощается, если рассматривать
энергию и энтропию системы в различных возможных для нее состояниях.
Так как разность значений энергии для любых двух состояний представляет
собой сумму количеств работы и тепла, полученных или отданных системой
при переходе из одного состояния в другое, а разность энтропии является
пределом всех возможных значений интеграла dQ/T(этот интеграл в преде-
ле обратимых процессов дает разность энтропий), то изменения энергии и
32 Глава 1. Основы термодинамики и идеальные системы
энтропии характеризуют все наиболее существенные эффекты, происходя-
щие в системе при переходе из одного состояния в другое».
Здесь речь идет о предельных с математической точки зрения свойствах
функции энтропии, выраженных в записи (5.6). Фактически рассматривают-
ся только предельные значения математических функций с временной зави-
симостью при t , когда достигается полное равновесие системы. Этой
записи отвечает выбор квазистатического процесса как основного процесса
термодинамики. В нем процесс реализуется бесконечно медленно, и исчеза-
ет различие между временами релаксации разных свойств, участвующих
в роли термодинамических параметров. При этом автоматически исключа-
ются любые кинетические уравнения для описания перехода от состоя-
ния (6.5) к состоянию (5.6)
Работа с предельными значениями термодинамических параметров по-
зволила Гиббсу получить новые результаты: обобщение термодинамики на
неоднородные системы, что потребовало введения понятия фазы, границы
раздела фаз, понятие компоненты (вместо использовавшегося термина «ве-
щество») и химического потенциала. При этом был сделан переход для тер-
модинамических потенциалов на любое число компонентов, в отличие от
одного вещества в работах Клаузиуса.
После этого стало возможным перенести статическую теорию Лагранжа
для механических систем на термодинамические системы с целью получения
условий ее равновесия и термодинамической устойчивости. К механическим
переменным были добавлены новые термодинамические переменные. В дан-
ной ситуации последовательность независимых математических переменных
не играет роли при рассмотрении процесса установления равновесия. Этот
путь исключил любую возможность учета времен релаксации термо-
динамических параметров — все переменные были эквивалентны по отно-
шению к отсутствию времени. По логике предложенного обобщения ме-
ханическое равновесие рассматривается первым, а затем другие равновесия
с термодинамическими параметрами. Этим Гиббс ввел приоритет механики
над термодинамическими параметрами, которое выражается в том, что най-
денное сначала давление определяет значение химического потенциала при
поиске равновесного состояния системы. Это стало стандартным путем всех
термодинамических построений.
7. Проблемы термодинамики Гиббса
Понятия Гиббса о втором начале термодинамики и термодинамике давно
стали общеизвестными и хрестоматийными [2, 56—72]. Проблемы перехода
к предельным значениям термодинамических параметров возникли позже
при анализе применения понятия полного фазового равновесия к малым си-
стемам и к смешению понятий полного фазового равновесия системы и ме-
ханического равновесия деформированного твердого тела.
Недавно был поведен итог развития методов статистической термодина-
мики для малых систем [4] и ее сопоставления с результатами термодинами-
7. Проблемы термодинамики Гиббса 33
ки [2, 56—72]. Было показано, что результаты термодинамического описания
искривленных границ раздела фаз содержат принципиальную ошибку, кото-
рая состоит в том, что термодинамические построения неявно нарушали со-
ответствие между экспериментально измеренными временами релаксации
процессов переноса импульса ( imp ) и массы ( mas ).
Напомним, что условию фазового равновесия [2] отвечают три частных
равновесия по давлению, температуре и химическому потенциалу. Т.е. поня-
тие фазового равновесия оказывается сложным и определяется тремя типами
параметров, отвечающих за реализацию трех частных равновесий: механи-
ческого, теплового и химического. Параметры механического равновесия
определяются только частью параметров состояния системы, и каждое из
других типов равновесий имеет свои переменные, характеризуемые своими
временами релаксации перехода в состояние равновесия: система характери-
зуется временами релаксации для импульса ( imp ), энергии ( ener) и химиче-
ского потенциала ( mas ). В условиях физико-химических процессов экспери-
мент, как правило, показывает, что между указанными временами
существуют следующие соотношения [61, 71]:
imp ener mas . (7.1)
Возможные отличия знаков соотношений «больше» или «много больше»
для величины ener зависят от конкретных условий проведения процессов.
Результаты [4] не зависят от этих условий, т.к. основаны на главном соотно-
шении
imp mas . (7.2)
которое является базовым для данного обсуждения. Это означает: в первую
очередь устанавливается механическое равновесие под текущие распределе-
ния температуры и масс, затем устанавливается тепловое равновесие под те-
кущее распределение масс, и лишь затем устанавливается химическое равно-
весие. С повышением плотности системы от газа до твердого тела
соотношение (7.2) усиливается от 4 до 10—15 порядков.
В работе [4] было показано, что в термодинамике [2] неявно было при-
нято, что время релаксации процесса переноса импульса много больше вре-
мени релаксации процесса переноса массы
imp mas . (7.23
что привело к ошибкам, которые оставались все это время практически не
замеченными, хотя на них также неявно указывала математическая теория
конденсации Янга — Ли [77—80], в которой была доказана некорректность
использования самого понятия метастабильного равновесия.
Наиболее ярко это отразилось в определении понятия поверхностного
натяжения (ПН) (раздел «Теория капиллярности», стр. 219 [2]). ПН было
введено в механике сплошных сред, но Гиббс дал термодинамическую трак-
товку ПН как избыточной величины свободной энергии, которая вобрала
в себя все свойства термодинамических функций (включая и энтропию, от-
сутствующую в механике). Со времен Гиббса все подходы к определению
34 Глава 1. Основы термодинамики и идеальные системы
ПН были построены на условии (7.3), и все они автоматически приводили к
метастабильным каплям. Определение ПН в гидростатическом подходе стро-
илось на базе механики сплошной среды через взаимосвязь между локаль-
ными давлениями (точнее, компонентами тензора давлений или напряже-
ний) внутри переходной области границы раздела фаз, и параллельно
доказывалось, что термодинамические трактовки полностью соответствуют
механическим [48, 49].
Обнаружение в 2010 году строго равновесных капель (с позиции полного
фазового равновесия, т.е. через три частных равновесия) [81—85], а не мета-
стабильных капель, указало на ошибку в термодинамике [2] для поверхност-
ных явлений и малых систем.
Разделу «Теория капиллярности» [2] предшествует раздел «Термодинами-
ка твердых тел» (стр. 186), в котором дано изложение основ термодинамики
деформируемых твердых тел. Здесь было сформулировано, как соотносятся
между собой основные положения механики сплошных сред и термодинами-
ки, которые позже перешли в принципы построения уравнений для границ
раздела фаз. Во всей существующей литературе считается, что эти основы
естественным образом полностью согласуются друг с другом, т.к. оба подхо-
да относятся к методам сплошных сред и имеют общий математический ап-
парат описания состояния вещества как в свободном (недеформированном),
так и деформированном состояниях. По-видимому, лучшим изложением
основ механики сплошной среды с позиции термодинамики является учеб-
ник [86]. В нем дословно повторяется главный тезис Гиббса о том, что де-
формированные состояния твердых тел являются обобщением равновесных
состояний вещества, и далее показывается, как появляются уравнения меха-
ники, сформированные задолго до появления термодинамики [2].
Однако и здесь, опираясь на условия фазового равновесия, сформулиро-
ванные Гиббсом для любых фаз [2], и на экспериментально измеренные со-
отношения времен релаксаций (7.1), (7.2), было показано [87, 88], что осно-
вы термодинамики и механики сплошных сред взаимно исключают друг
друга. Поэтому проблемы термодинамики границ раздела фаз появились
из-за рассогласования основ механики и термодинамики.
Эти два примера, относящиеся к очень широкому кругу вопросов прак-
тического применения термодинамики, указывают на существовании прин-
ципиальной проблемы в самой основе термодинамики Гиббса, которые
влияют как на существующие результаты термодинамики, так и статисти-
ческой физики. Это тем более важно, потому что во многом вся статфизика
в трех агрегатных состояниях (газ — жидкость — твердое) по мере своего
развития подстраивалась под термодинамику!
Соотношения (7.1), (7.2) указывают, что выбор квазистатического про-
цесса в качестве основного процесса в термодинамике Гиббса противоречит
ключевому положению термодинамики как науки, отражающей весь пред-
шествующий экспериментальный опыт — ее связи не могут нарушать или
искажать экспериментальные данные изучаемой системы.
Это особенно наглядно проявляется при изучении систем с двумя и
большим числом фаз: при установлении полного равновесия необходимо
7. Проблемы термодинамики Гиббса 35
отслеживать этапы реализации трех частных равновесий. Отказ от реальных
соотношений между временами релаксации процессов переноса импульса,
энергии и массы привел к ошибочным результатам.
Исправление основ термодинамики можно реализовать возвращением
к основам второго начала термодинамики и учесть ее сложных характер, ко-
торый отражает как факт стремления системы к своему равновесному преде-
лу, так и сам предел — равновесные значения термодинамических функций.
Этап перехода от близлежащих неравновесных состояний системы к ее рав-
новесному состоянию описывается кинетическими уравнениями, релаксаци-
онный этап которых характеризуется указанными временами релаксации
импульса, энергии и массы.
8. Основные положения неравновесной
термодинамики
Идеи Клаузиуса о втором начале термодинамики были учтены в работах
Т. Де Донде [89] с помощью понятия химического сродства, разработанного
для описания химических реакций. Позже это направление было расширено
при построении макроскопической термодинамики неравновесных процес-
сов [68, 73, 90—93]. Классическая равновесная термодинамика для неравно-
весных процессов устанавливает только неравенства, которые указывают на-
правление процессов. Задача неравновесной термодинамики состоит в том,
чтобы дать количественное описание неравновесных процессов в зависимо-
сти от начальных и/или внешний условий для состояний, не сильно отлича-
ющихся от равновесных состояний. Учитывая безмодельный характер равно-
весной термодинамики, в неравновесной термодинамике все процессы
переноса также рассматриваются как в механике сплошных сред, т.е. в кон-
тинуальном описании, а их параметры состояния рассматриваются как пере-
менные от непрерывных координат и времени.
В термодинамически равновесных системах, как известно, давление Р,
температура Т и химический потенциал мi постоянны вдоль всей системы:
grad Р = 0, grad T = 0, grad мi = 0. В неравновесных условиях не выполняет-
ся постоянство давления Р, температуры Т и химического потенциала мi
(grad Р 0, grad Т 0, grad мi 0), поэтому в системе возникают необрати-
мые процессы переноса импульса, энергии, массы и т.д.
Основой общего подхода в неравновесной термодинамике служит понятие
локального равновесия. Уже при его определении исходят из понятий о вре-
менах релаксаций термодинамических параметров. Напомним, что время
релаксации характеризует процесс установления термодинамического рав-
новесия в изучаемой макроскопической системе. Общепринято, что время
релаксации растет с увеличением размеров системы, так что отдельные макро-
скопически малые части системы приходят сами по себе в равновесное состоя-
ние значительно раньше, чем устанавливается равновесие между этими частя-
ми. В неравновесной термодинамике принимают, что, хотя в целом состояние
36 Глава 1. Основы термодинамики и идеальные системы
системы неравновесно, отдельные ее малые части равновесны (точнее,
квазиравновесны), но имеют термодинамические параметры, медленно изме-
няющиеся во времени и от точки к точке. Поэтому для таких систем может
быть построено разумное термодинамическое описание, в котором такие
интенсивные переменные, как температура и давление, вполне определены
в любом элементарном объеме, а такие экстенсивные переменные, как энтро-
пия и внутренняя энергия, заменены их плотностями. Размеры этих физиче-
ски малых равновесных частей неравновесной системы и времена изменения
термодинамических параметров в них определяются в термодинамике экспе-
риментально. В последнее время получены оценки для их определения на
основе вклада их размерных флуктуаций [4].
Обычно принимается, что физический элементарный объем L3 с одной
стороны, содержит большое число частиц (v0 << L3, v0 = = s 3 — объем на
одну частицу, s — фактор формы, — среднее расстояние между частица-
ми), а с другой стороны, неоднородности макроскопических параметров ai(r)
на длине L малы по сравнению со значением этих параметров
( ai / x L ai ), т.е.
v L
a
a
i x
i
0
1 3
1
/ 1
. (8.1)
Время изменения термодинамических параметров в физически малых
равновесных частях намного больше времени l релаксации внутри них и на-
много меньше времени L, за которое устанавливается равновесие во всей
системе:
l << << L. (8.2)
Процессы релаксации описываются кинетическими уравнениями. Тра-
диционно перенос массы, импульса и энергии описывается уравнениями ме-
ханики сплошной среды, которые для парожидкостных систем традиционно
называют уравнениями гидродинамики [94—96], а в твердых телах — уравне-
ниями теории упругости [86, 97].
Свойства неравновесной системы при этом определяются локальными
термодинамическими потенциалами, которые зависят от пространственных
координат и времени только через характеристические термодинамические
параметры, для которых справедливы уравнения термодинамики. Так, если
в качестве характеристических переменных выбраны локальная плотность
внутренней энергии u(r,t), удельный объем v(r,t) (v =
1,
— локальная
плотность массы среды) и локальные концентрации сi(r,t) различных компо-
нентов, то состояние физически элементарного объема в окрестности точки
r в момент времени t описывается локальной энтропией s = s[u(r,t),
v(r,t),c1(r,t), ...,сn(r,t)], определяемой основным уравнением термодинамики
Tds = du + Pdv – i i
i
dc . (8.3)
Это уравнение (8.3) для удельных (по массе) локальных величин являет-
ся также основным уравнением неравновесной термодинамики. С его помо-
8. Основные положения неравновесной термодинамики 37
щью получаются все выражения для потоков массы, импульса и энергии
(в более общем случае и зарядов) в динамике неравновесных процессов.
Однако для описания равновесного состояния малых тел, в частности
сферических капель, основные положения указанных в разделе 4 не являют-
ся достаточными — необходимо учитывать времена релаксации процессов
переноса импульса и массы [4]. Поэтому в работе [4] были введены следую-
щие два уточнения к основам равновесной термодинамики, которые в пол-
ной мере сохраняются и для неравновесной термодинамики и которые стро-
го соответствуют представлениям Клаузиуса.
Уточнение 1. О необходимости самосогласованного описания динамики и
равновесного состояния системы. Уточнение 1 подразумевается во втором на-
чале термодинамики при обсуждении возможности выхода и возврата системы
из состояния равновесия. Данное уточнение заложено в законе действующих
масс Гульдберга и Вааге, используемом как в равновесном, так и в неравновес-
ных состояниях химически реагирующих систем. Оно является предпосылкой
для введения понятия «сродства» в химической термодинамике, работающего
как в равновесии, так и в неравновесии [61, 89]. Также оно служит обосновани-
ем для введения понятия о термодинамических функциях в неравновесных со-
стояниях [90], так как эти функции при переходе системы в равновесное состо-
яние автоматически переходят в свои равновесные функции.
Уточнение 1 необходимо для введения единого элементарного объема dV
в равновесии и динамике, которое нужно найти, а также как критерий на
корректность построения молекулярных моделей кинетических этапов и
элементарных стадий. При равенстве скоростей обратимых реакции в пря-
мом и обратном направлениях эти модели должны обеспечивать получение
тех же самых выражений для констант равновесий, что и константы равно-
весий, построенных в рамках только равновесных распределений.
Уточнение 2. О необходимости учета различий в характерных временах
релаксаций при переносе разных свойств: импульса ( imp), энергии ( ener) и
массы ( mas). Уточнение 2 отражает опыт изучения динамических процессов
и необходимо как отражение реальных экспериментальных измерений. Вре-
мя релаксации характеризует процесс установления термодинамического
равновесия в изучаемой макроскопической системе. В силу неравноценно-
сти физических параметров термодинамической системы они с разной ско-
ростью стремятся к своему равновесию. Этот факт отражается как наличие
«частичного равновесия» при введении понятия сродства для неравновесных
процессов с химическими реакциями, протекающими при постоянных дав-
лениях и температуре ( imp, ener << mas) [61]. При этом частичное равновесие
по импульсу означает отсутствие в системе конвективного потока, а частич-
ное равновесие по температуре означает отсутствие потока тепла. Полному
равновесию системы отвечают времена, когда вся система достигает своего
равновесия по всем своим параметрам, которое достигается на временах
превышающих время релаксации наиболее медленного термодинамического
параметра ( imp, ener, mas << ).
В реальном эксперименте по мере сближения текущего состояния систе-
мы с равновесным учет времен релаксации по разным свойствам реализуется
38 Глава 1. Основы термодинамики и идеальные системы
автоматически. Специфика описания всех реальных процессов требует диф-
ференциации условий выхода на полное равновесие через три типа равнове-
сий по конкретным свойствам системы: механическое, термическое и хими-
ческое. В силу отличий свойств имеется четкая система соотношений времен
релаксаций imp ener mas, связанных с переносом импульса, энергии и
массы, которая также следует из многочисленных экспериментов [61, 71].
Учет времен релаксации различных свойств системы есть необходимый эле-
мент обсуждения хода любых процессов установления равновесия, что явля-
ется главной задачей термодинамики.
9. Уравнения неравновесной термодинамики
Общая эволюция энтропии выражается через два вклада как
dS
dt
d S
dt
d S
dt
e i , (9.1)
где первый вклад означает поток энтропии, а второй — производство энтро-
пии. Выражение (9.1) отражает изменение локальной энтропии по двум ка-
налам dS deS diS, где deS — изменение энтропии, обусловленное обме-
ном веществом и энергией с внешней средой, a diS — изменение энтропии,
обусловленное необратимыми процессами внутри системы [9]. Задача термо-
динамики состоит в том, чтобы получить явные выражения для deS и diS,
представив их в виде функций от экспериментально измеряемых величин.
Локальная энтропия s (единицы массы или
s — единицы объема) зави-
сит от термодинамических параметров ai(r,t) так же, как и при полном рав-
новесии, поэтому при необратимом процессе в адиабатической системе ско-
рость возникновения энтропии в единице объема (производство энтропии)
равна
d S
dt
d s
dt
d s
da
da
dt
i J X
i
i
i
i i
i
( ) ( )
. (9.2)
где введены обозначения: величины d( s)/dai X i называются термодина-
мическими силами, а величины dai /dt J i , определяющие скорость измене-
ния параметров ai(r,t), называются термодинамическими потоками. Эти на-
звания связаны с тем, что увеличение энтропии есть «причина»
необратимого процесса при изменении локальных макроскопических пара-
метров ai(r,t) в адиабатных условиях.
Энтропия всей неравновесной системы аддитивно складывается из энт-
ропии ее отдельных частей
S sdV
V
. (9.3)
Центральную роль в неравновесной термодинамике играет уравнение ба-
ланса энтропии (9.1): энтропия некоторого элемента объема изменяется со
временем по двум причинам. Во-первых, она изменяется за счет наличия не-
9. Уравнения неравновесной термодинамики 39
которого потока энтропии в данный элемент объема; во-вторых, вследствие
наличия некоторого источника энтропии, существование которого обуслов-
лено необратимыми явлениями внутри элемента объема. Мы всегда имеем
дело именно с положительным источником энтропии, так как энтропия мо-
жет только возникать, но не уничтожаться. При обратимых процессах источ-
ники энтропии отсутствуют. В этом состоит локальная формулировка второ-
го закона термодинамики.
Для открытых систем, которые обмениваются с внешней средой вещест-
вом и энергией (для которых dU + РdV dQ), получаем: deS = dQ/Т = (dU +
+ РdV)/Т + deS и diS 0. Здесь dQ — количество теплоты, которым система
обменялась с внешней средой за время dt. Величина deS означает обмен эн-
тропией, обусловленный потоком вещества, который выражается через хи-
мический потенциал. Для изолированных систем, поскольку обмен энергией
или веществом с внешней средой отсутствует, имеем deS = 0 и diS 0. Для
закрытых систем, которые обмениваются с внешней средой энергией, но не
веществом, справедливы соотношения deS = dQ/Т = (dU + РdV)/Т и diS 0.
Таким образом, идет ли речь об изолированных, закрытых или открытых си-
стемах, всегда выполняется неравенство diS 0. Это и есть самая общая
формулировка второго начала термодинамики. Такая формулировка имеет
еще один важный аспект: она применима не только ко всей системе, но и ко
всем подсистемам [73].
Для определения с помощью основного уравнения (8.3) термодинамики
неравновесной системы производства энтропии и изменения во времени
всех других ее термодинамических функций к этому уравнению необходимо
добавить уравнения баланса ряда величин (массы, внутренней энергии и
др.), а также уравнения, связывающие потоки Ji этих величин с термодина-
мическими силами Xi. В законы сохранения входят такие величины, как по-
ток диффузии, поток тепла и тензор давлений, которые характеризуют, соот-
ветственно, перенос массы, энергии и импульса.
Всякая экстенсивная величина B(x,y,z,t) системы подчиняется уравнению
баланса
B/ t divJB IB, (9.4)
где JB — плотность полного потока величины В = сb (плотность вещества,
b — значение величины В, отнесенное к массе), I B — изменение В за счет ее
источников, отнесенное к объему и времени. Уравнение (9.4), в котором I B
равно нулю, выражает закон сохранения величины В. Так, закон сохранения
массы имеет вид гидродинамического уравнения непрерывности
t div( u), (9.5)
где u — массовая скорость в данной точке х, у, z в момент времени t.
Плотность полного потока JB , вообще говоря, не сводится к конвектив-
ному потоку Вu, т.е. к переносу величины В с потоком вещества, а содержит
также члены JB другой неконвективной части потока (тепловой поток, диф-
фузионный поток и т.д.):
JB Bu IB. (9.6)
40 Глава 1. Основы термодинамики и идеальные системы
Таким образом, уравнение баланса (9.4) аддитивной величины можно за-
писать в виде
( b)/ t div( bu J B) IB. (9.7)
где частная производная слева ( b)/ t определяет изменение величины В =
= сb в данной неподвижной точке пространства. Эту производную можно
выразить через полную (субстанциальную) производную величины В, отно-
сящуюся к передвигающейся в пространстве «частице» вещества (как сплош-
ной среды). Изменение dB величины В частицы вещества складывается из
двух частей: из изменения В в данном месте пространства и из изменения В
при переходе от данной точки к точке, удаленной от нее на расстояние dr,
пройденное рассматриваемой частицей вещества в течение времени dt.
Первая из этих частей равна
B
t
dt, а вторая часть равна
dx
B
x
dy
B
y
dz
B
z
d B
( r, ) . Следовательно,
dB
dt
B
t
u B
( , ) . (9.8)
Поэтому закон сохранения массы (9.5) и уравнение баланса величины В (9.7)
можно записать, соответственно, в виде
d
dt
div
u, и db
dt
divJB IB. (9.9)
В соответствии в общей формулой (9.9) уравнение баланса энтропии будет
ds
dt
divJs d( s)/dt, (9.10)
где Js — плотность потока энтропии, и локальная скорость возникновения
энтропии (9.2).
Для нахождения явного вида Js и d( s)/dt формулу (9.10) сопоставляют
с выражением для ds/dt, получаемым из уравнения (8.3).
ds
dt T
du
dt
p
T
dv
dt T
dc
dt
i i
i
, (9.11)
в которое подставляют выражения для производных по времени и производ-
ства энтропии (9.2).
Система законов сохранения вместе с уравнением баланса энтропии и
уравнениями состояния является незамкнутой: ее нужно дополнить некото-
рым набором феноменологических уравнений, связывающих обратимые по-
токи и термодинамические силы, входящие в выражение для интенсивности
источника энтропии. В первом приближении потоки являются линейными
функциями термодинамических сил. Закон диффузии Фика, закон тепло-
проводности Фурье, закон электропроводности Ома принадлежат к классу
линейных феноменологических законов. Эти линейные законы должны, во-
обще говоря, отражать и возможные перекрестные эффекты, поскольку каж-
дый поток в принципе может являться линейной функцией всех термодина-
9. Уравнения неравновесной термодинамики 41
мических сил, которые необходимы для характеристики интенсивности
источника энтропии в системе. В общем случае необратимых процессов про-
изводство энтропии обусловлено как явлениями переноса (энергии, элект-
рического заряда и т. д.), так и внутренними превращениями в системе (хи-
мические реакции, релаксационные явления) [92].
Приведем выражение для производства энтропии при химических реак-
циях в однородной системе. Здесь реакции не связаны с процессами перено-
са массы и потоки к состоянию равновесия протекают в координатах состава
системы Ni (число частиц сорта i), а не в пространственных координатах.
Пусть гомогенная система состоит из n веществ i (i = 1, 2, ..., n), между кото-
рыми могут протекать r химических реакций j (j = 1, 2, ..., r). Если Ni — чис-
ло частиц сорта i, !ij — стехиометрический коэффициент вещества i в реак-
ции j, то изменение числа dj Ni частиц сорта i за промежуток времени dt в
реакции j равно
dj Ni = ij Ij dt, I
d N
dt
d
dt j
ij
1 j i j
!
"
, (9.12)
где Ij — скорость реакции j, а дифференциал d" j d jNi /!ij определяет
«сродство реакции» и имеет одно и то же значение и знак для всех веществ,
участвующих в данной реакции. По этой причине " j принимается в качестве
внутреннего параметра системы и называется степенью полноты реакции j.
Изменение числа частиц i-гo сорта при всех реакциях в закрытой систе-
ме равно dNi j d jNi d
r
j ij j
r 1 1! " . Поэтому основное уравнение (8.3)
при отсутствии процессов переноса и постоянном объеме системы принима-
ет вид
TdS j i ijd j A d
r
i
n
j j j
r ! " " 1 1 1 , (9.13)
где Aj — химическое сродство реакции j (j = 1, 2, ..., r):
A j i i ij
n ! 1 . (9.14)
Производство энтропии в рассматриваемом случае химических реакций
в однородной многокомпонентной системе, согласно формулам (9.14) и
(9.12), равно
d s dt j I j A j T
r ( )/ / 1 . (9.15)
В случае отдельной реакции в закрытой системе d( s)/dt IA/T.
Для дальнейшего рассмотрения необходимо знать связь потоков Jj и/или
Ij с силами Xj, которые являются известными функциями концентрации.
При применении теории в конкретных случаях поступают следующим обра-
зом: составляют баланс энтропии, находят из него определенное выражение
для диссипативной функции, затем определяют потоки и силы таким обра-
зом, чтобы все эти величины были независимы и становились равными
нулю при равновесии, формулируют феноменологические уравнения и, на-
конец, применяют соотношения взаимности Онзагера.
Неравновесная термодинамика нашла много разнообразных приложений
в физике и химии. Для классификации этих приложений использовано раз-
42 Глава 1. Основы термодинамики и идеальные системы
биение различных необратимых явлений по группам в соответствии с их
«тензорными свойствами» [92]. Также напомним, что все результаты нерав-
новесной термодинамики получены при условии реализации локального
равновесия, и вопрос о его соответствии с сильнонеравновесными состояни-
ями системы остается открытым. Для большинства гидродинамических и хи-
мических систем локальное равновесие служит хорошим приближением [73].
Вопрос о структуре выражений diS 0 для внутреннего прироста энтро-
пии выходит за рамки неравновесной термодинамики и требует микроско-
пического анализа (см. ниже). Отметим только, что сама запись для внут-
реннего прироста энтропии отражает наличие внутреннего процесса,
а не фиксированного состояния, как это принято в термодинамике Гиббса
diS = 0, и изменение энтропии обусловлено только потоками теплоты.
10. Самосогласование описания равновесия
и динамики в идеальных системах
Равновесие есть равенство скоростей элементарных стадий в противополож-
ных направлениях. Необратимые процессы протекают до тех пор, пока не
установится либо стационарное состояние, либо равновесие (исключая воз-
можность реализации периодических процессов.) Если накладывается не-
сколько необратимых процессов и достигнутое конечное состояние соответ-
ствует равновесию, то в определенных случаях можно получить общие
условия для коэффициентов, которые описывают необратимые процессы,
без применения термодинамики необратимых процессов.
В качестве наглядного примера рассмотрим химическую реакцию L # M
[90], которая может протекать в обоих направлениях в однородном объеме.
Если реакция происходит в идеальной газовой фазе или в идеально разбав-
ленном растворе, то из опыта известно, что скорость реакции w определяет-
ся выражением
w KLcL KMcM, (10.1)
где сL и сМ — соответственно, молярные объемные концентрации частиц
вида L и М; KL и KM — константы скорости для реакций слева направо и
справа налево. Химическое равновесие наступает тогда, когда становятся
равными значения скоростей реакции в обоих направлениях, т.е. когда ско-
рость всей реакции w становится равной нулю:
w = 0. (10.2).
Условия равновесия классической термодинамики в рассматриваемом
случае означают:
сМ/сL = К, (10.3)
где К — константа равновесия. Величина К, как константы KL и KM, не за-
висит от cL и сМ. Из формул (10.1)—(10.3) непосредственно следует, что
KL/KM K. (10.4)
10. Самосогласование описания равновесия и динамики в идеальных системах 43
Таким образом, из уравнения (10.1), вытекающего непосредственно из
опыта, очевидного условия (10.2) и соотношения (10.3), взятого из классичес-
кой термодинамики, получаем зависимость между коэффициентами KL и
KM , которые описывают необратимые процессы, и константой равновесия К.
Этот простейший пример указывает, что отношение между константами
скоростей рассматриваемой реакции в прямом и обратном направлениях
должно давать константу равновесия, или константа равновесия может быть
определена разными путями: либо из равновесных, либо из кинетических
измерений. В этом смысле можно говорить, что эмпирические закономерно-
сти для описания скоростей реакции и равновесия в рассматриваемой систе-
ме обеспечивают самосогласованное описание данного процесса на любых
временных интервалах, включающих как конечные отклонения от равновес-
ного состояния, так и сам предельный случай равновесия.
Закон действующих масс. В общем случае более сложных элементарных
стадий химических реакций в газовой фазе для описания скоростей реакций
используют закон действующих масс, который был эмпирически установлен
Гульдбергом и Вааге [67, 69, 98]). Для обратимых реакций общего вида мож-
но записать i !i i [A ] k
k
1
2
%$$$$$$ ! j j j [A ], где символы Ai и Aj в квадратных
скобках означают различные реагирующие частицы, величины j и i равны
отрицательным и положительным значениям стехиометрического коэффи-
циента (знак коэффициента определяется местом их расположения: в левой
или правой части уравнения). Константы k1 и k2 являются константами ско-
ростей реакции в прямом и обратном направлениях. Численно они равны
скорости реакции при единичных значениях концентрации каждого их реа-
гентов в прямом направлении.
Скорость рассматриваемой реакции в рамках закона действующих масс
[99,100] запишется как
w k i ci k j c j
& i & j 1 2
! !. (10.5)
В состоянии равновесия скорость равна нулю w = 0 и из (10.5) следует,
что константы скоростей в прямом и обратном направлениях связаны между
собой в виде
k k j c j i ci K
j i
1/ 2 & /& ! ! , (10.6)
где K k1/k2 представляет собой константу равновесия рассматриваемой
стадии.
Таким образом, понятие самосогласованного описания динамики и рав-
новесного состояния системы хорошо известно для идеальных реакционных
систем [98—100]. Для них это означает использование закона действующих
масс, который обоснован для идеальных газовых смесей и разбавленных рас-
творов. В общем случае для идеальных реакционных систем константа рав-
новесия находится из условия
i !i i k
k
1
2
%$$$$$ $ ! j j j , (10.7)
44 Глава 1. Основы термодинамики и идеальные системы
которая строится на основе выражение для химического потенциала
i i0 kБT ln(ci ), где i
0 и ci — значение химического потенциала стан-
дартного состояния и молярная объемная концентрация компонента i.
Альтернативный путь представляет микроскопический подход к кинети-
ческим процессам, который всегда является модельным, и его результаты за-
висят от типа модели. Скорости элементарных стадий моно- (Ui) и бимоле-
кулярных (Uij) реакций описываются согласно закону действующих масс
(10.5) как
Ui Ki ci и Uij Kijci c j, (10.8)
где нижний индекс компонента i или пары компонентов ij указывает на на-
правление стадии для моно- (i # b) и бимолекулярных (i + j # b + d) реак-
ций, Ki и Kij — константы скоростей элементарных процессов (стадий), ко-
торые характеризуют удельные скорости элементарных процессов при
единичной концентрации реагентов. Для расчета константы скорости стадий
сначала использовали модель столкновений, которая позже была заменена
на теорию абсолютных скоростей реакций (ТАСР) [101, 102] (см. Приложе-
ние 1).
Напомним, что принцип самосогласованности был использован в работе
Лэнгмюра [103] при получении равновесной изотермы адсорбции из условия
равенства скоростей адсорбции и десорбции. Уравнение изотермы Ленгмюра
отражает зависимость степени заполнения поверхности от давления Р ад-
сорбата в газовой фазе и записывается как
= N/Ns = Vp/V1 = aP/(1 + aP), (10.9)
где введено Ns — число мест локализации молекул из газовой фазы (ему со-
ответствует максимальный объем монослоя V1), N число
адсорбированных
молекул, ему соответствует объем Vp. Ленгмюр выразил коэффициент а че-
рез отношение константы скорости адсорбции к константе скорости десорб-
ции. Этот вывод до сих пор присутствует в литературе при пояснении выво-
да уравнения изотермы Лэнгмюра [47]. По тому же пути использования
принципа самосогласованности пошли Брунауэр, Эммет, Тэйлор [104] при
выводе своей изотермы полислойной адсорбции (БЭТ).
В кинетической теории разреженных газов требование согласованности
для всех новых разрабатываемых уравнений в газовой кинетике с уравнения-
ми равновесного состояния газов является одним из необходимых элементов
работы [105, 106]. Для них ситуация облегчалась использованием уравнения
состояния идеального газа. В кинетической теории конденсированных фаз
такого обязательного этапа работ не было — это объяснялось двумя факто-
рами: 1) при построении кинетических уравнений принцип детального рав-
новесия закладывается с самого начала (но не проверяется, в какой степени
точности он выполняется после всех процедур статистических усреднений
в ходе своего вывода), и 2) нет уравнений состояний, с которыми можно
было сравнивать.
Кинетические уравнения идеальных систем. Кинетические уравнения, опи-
сывающие изменения концентраций компонентов являются связующим зве-
10. Самосогласование описания равновесия и динамики в идеальных системах 45
ном между процессами, реализующимися на микроскопическом уровне (и
описываемые скоростями элементарных реакций), и экспериментально на-
блюдаемыми явлениями. Этим определяется их исключительно важная роль.
Процедура расчета скоростей элементарных реакций распадается на две час-
ти. Первая задача связана с расчетом вероятности того, что два реагента
сближаются на столь малое расстояние, на котором возможна реализация
химического превращения. Вторая задача состоит в расчете вероятности осу-
ществления на данном малом расстоянии элементарного акта химической
реакции (перенос электрона, протона, тяжелого атома, перенос или пере-
стройка группы атомов и т.д.). Вторая задача — квантовохимическая, первая
задача — молекулярно-статистическая, которая может быть решена метода-
ми кинетической теории.
В многостадийных процессах временная эволюция концентраций компо-
нентов описывается кинетическими уравнениями, включающими все возмож-
ные стадии с участием каждого из компонентов. Пусть в системе с участием
компонентов i реализуется 1 мономолекулярных стадий i
bn (n ' 1) и 2
бимолекулярных стадий i jn #b dn с компонентами jn (n ' 2) . Образу-
ющиеся компоненты bn и dn входят в число компонентов системы sc, как и ис-
ходные реагенты i и jn .
Тогда система уравнений, описывающих изменения во времени мольных
долей i компонентов i, запишется как
d
dt
i Ub Ui Ubd Uij
j
( ) ) ) )
) )
[ ( 1) ( 1)] [ ( 2) ( 2)]
1 2
, 1 i sc, (10.10)
где Ui( 1) = Кi( 1)Vi — скорости элементарных мономолекулярных стадий,
Uij( 2) = Кij( 2)Vij — скорости элементарных бимолекулярных стадий. Кон-
центрационные сомножители скоростей стадий выражаются через концент-
рации Vi = i или через произведение концентраций Vij = i j. Константы
скоростей всех элементарных стадий Кi( 1) и Kij( 2) рассчитываются в рам-
ках теории абсолютных скоростей реакций. Суммы по )1 и )2 означает сум-
мирование по всем элементарным стадиям, в которых меняется концентра-
ция компонента i. (Ниже для простоты обозначений номеров стадий будем
предполагать использование общего списка стадий , включающего в себя
списки 1 и 2, предполагая, что индекс стадии автоматически указывает
на номер компонента, с которым реагирует компонент i.) Уравнение (10.10)
относится к однородной области dV, когда нет обменных потоков молекул
между такими же разными областями.
Для замыкания уравнений (10.10) используются нормирующие соотно-
шения, которые выполняются в любой момент времени
(i
i
s c
( )
1
1
. (10.11)
Общая логика взаимосвязи между неравновесной и равновесной термоди-
намиками вытекает из обсуждения в данном разделе идеальных систем. Сог-
ласно представлениям Клаузиуса должен протекать релаксационный процесс,
обеспечивающий переход системы из состояния близкого к равновесию