eng
Содержание
Содержание
Предисловие 10
Глава 1. Общие сведения о системах и задачах цифровой
обработки сигналов 16
1.1.
Системы цифровой обработки сигналов, объекты
управления и системы выработки управлений 16
1.1.1.
Структурные схемы систем ЦОС 16
1.1.2.
Математические модели ОУ 19
1.1.3.
Общие соотношения для СВУ 22
1.2.
Системы сбора данных для цифровой обработки сигналов 23
1.2.1.
Структурная схема ССД 23
1.2.2.
Датчики CCД, передаточные функции, АЧХ и ФЧХ 24
1.2.3.
Усилители, противомаскировочные фильтры,
электронные коммутаторы 32
1.2.4.
Аналого-цифровые преобразователи 34
1.2.5.
Устройства буферной памяти 37
1.3.
Сигналы, алгоритмы и этапы цифровой обработки
сигналов 38
1.3.1.
Классификация сигналов для ЦОС 38
1.3.2.
Варианты алгоритмов ЦОС для СОИ 41
1.3.3.
Этапы реализации ЦОС 43
1.4.
Список вопросов для самопроверки к гл. 1 44
Глава 2. Модели сигналов, оценивание параметров сигналов 46
2.1.
Синусоидальные сигналы 46
2.1.1.
Гармонические и полигармонические сигналы 46
2.1.2.
Гармонические сигналы с амплитудно-частотной
модуляцией 49
2.2.
Комплексные сигналы. Энергетические
характеристики сигналов 54
2.3.
Наблюдения и модели сигналов 57
2.3.1.
Функции наблюдения сигналов 57
2.3.2.
Функциональные и параметрические модели сигналов 58
2.3.3.
Аппроксимационные локальные модели сигналов 61
2.3.4.
Аппроксимационные сплайновые модели сигналов 63
2.4.
Оценивание параметров моделей сигналов 64
2.4.1.
Оценивание параметров моделей как задача
аппроксимации 64
2.4.2.
Оценивание параметров аппроксимационных
линейных моделей для действительных сигналов 67
2.4.3.
Оценивание параметров аппроксимационных
линейных моделей для комплексных сигналов 70
2.4.4.
Оценивание параметров аппроксимационных
моделей, линейных по части параметров 71
2.5.
Модели сигналов с использованием рядов Фурье.
Интеграл Фурье. z-преобразование 73
2.5.1.
Модели сигналов на основе действительного ряда
Фурье 73
2.5.2.
Модели сигналов на основе комплексного ряда Фурье 79
2.5.3.
Интеграл Фурье, свойства интеграла Фурье 81
2.5.4.
z-преобразование дискретных последовательностей 85
2.6.
Список вопросов для самопроверки к гл. 2 89
2.7.
Список задач к гл. 2 91
Глава 3. Оценивание параметров локальных и сплайновых моделей 93
3.1.
Оценивание параметров аппроксимационных
локальных моделей 93
3.1.1.
Оценивание параметров аппроксимационных
локальных кусочно-линейных моделей 93
3.1.2.
Оценивание параметров аппроксимационных
локальных кусочно-синусоидальных моделей 98
3.1.3.
Оценивание параметров аппроксимационных
локальных кусочно-синусоидальных моделей
с линейной частотной модуляцией 105
3.1.4.
Оценивание параметров аппроксимационных
локальных кусочно-синусоидальных моделей
с линейными аддитивными трендовыми функциями 110
Содержание 5
3.1.5.
Оценивание параметров аппроксимационных
локальных полигармонических моделей 115
3.2.
Оценивание параметров аппроксимационных
сплайновых моделей 124
3.2.1.
Оценивание параметров аппроксимационных
сплайновых моделей общего вида 124
3.2.2.
Построение аппроксимационных сплайновых
моделей на основе дискретных полиномов второго
порядка 130
3.3.
Список вопросов для самопроверки к гл. 3 134
Глава 4. Предварительная обработка сигналов 136
4.1.
Оценивание статистических характеристик для
стационарных и нестационарных сигналов 136
4.1.1.
Определение статистических характеристик сигналов 136
4.1.2.
Оценивание статистических характеристик
сигналов на множестве реализаций 140
4.1.3.
Стационарные сигналы, оценивание
статистических характеристик для стационарных
сигналов 142
4.1.4.
Нестационарные сигналы, оценивание
статистических характеристик для нестационарных
сигналов 148
4.2.
Оценивание и устранение трендов для
нестационарных сигналов 149
4.2.1.
Определение трендовых функций для
нестационарных сигналов 149
4.2.2.
Алгоритмы локального оценивания трендовых
функций, алгоритмы устранения трендовых функций 150
4.3.
Фильтрация аномальных значений в наблюдениях
сигналов 156
4.3.1.
Определение аномальных наблюдений сигналов 156
4.3.2.
Пороговые алгоритмы 159
4.3.3.
Медианные фильтры 160
6
Содержание
4.4.
Дискретизация непрерывных сигналов. Теорема
Котельникова 163
4.4.1.
Дискретизация во времени и задача
восстановления непрерывных сигналов 163
4.4.2.
Появление «кажущихся» частот 164
4.4.3.
Теорема Котельникова 166
4.4.4.
Противомаскировочные фильтры 168
4.5.
Список вопросов для самопроверки к гл. 4 169
Глава 5. Элементы спектрального анализа дискретных сигналов 171
5.1.
Дискретное преобразование Фурье 171
5.1.1.
Полигармонические модели и спектральный
анализ сигналов 171
5.1.2.
Дискретное преобразование Фурье для
действительных сигналов 172
5.1.3.
Дискретное преобразование Фурье для
комплексных сигналов 175
5.2.
Свойства дискретного преобразования Фурье 180
5.2.1.
ДПФ для комплексной экспоненциальной функции 180
5.2.2.
Элементарные свойства ДПФ 185
5.2.3.
Разрешающая способность ДПФ 189
5.3.
Функция спектральной плотности мощности сигналов 192
5.3.1.
Теорема Парсеваля 192
5.3.2.
Определение функции спектральной плотности
мощности сигналов 194
5.3.3.
Функции временных окон 196
5.3.4.
Технологические этапы оценивания функции
СПМ сигналов 205
5.4.
Функция взаимной cпектральной плотности
мощности сигналов 208
5.4.1.
Определение функции взаимной спектральной
плотности мощности сигналов 208
5.4.2.
Применение функции ВСПМ в задачах
оценивания разностей фаз для систем
многочастотных сигналов 211
5.4.3.
Применение функции ВСПМ для оценивания
коэффициента когерентности сигналов 216
5.4.4.
Применение функции ВСПМ для оценивания
передаточных функций систем 220
5.5.
Алгоритм быстрого преобразования Фурье 221
5.6.
Список вопросов для самопроверки к гл. 5 226
5.7.
Список задач к гл. 5 227
Глава 6. Дискретные свёртки 229
6.1.
Определения дискретных свёрток 229
6.2.
Вычисление прямых и обратных круговых свёрток 230
6.3.
Вычисление апериодических свёрток 234
6.4.
Список вопросов для самопроверки к гл. 6 236
Глава 7. Цифровая фильтрация сигналов 237
7.1.
Разностные уравнения и импульсно-переходные
функции цифровых фильтров 237
7.1.1.
Разностные уравнения цифровых фильтров 237
7.1.2.
Импульсно-переходные функции ЦФ 240
7.2.
Передаточные функции и условие устойчивости для ЦФ 243
7.2.1.
Передаточные функции для ЦФ 243
7.2.2.
Устойчивость ЦФ 251
7.3.
Задачи синтеза ЦФ 254
7.3.1.
Классификация фильтров по типу АЧХ 254
7.3.2.
Постановки задач синтеза ЦФ 259
7.3.3.
Метод билинейного z-преобразования 261
7.4.
Синтез ЦФ Баттерворта 267
7.4.1.
Аналоговый фильтр Баттерворта 267
7.4.2.
Синтез низкочастотного ЦФ Баттерворта 270
7.4.3.
Синтез высокочастотного, полосового
пропускающего и заграждающего ЦФ Баттерворта 273
7.5.
Cинтез КИХ-фильтров 274
7.5.1.
Синтез КИХ-фильтров на основе метода
аппроксимации в частотной области 274
7.5.2.
КИХ-фильтры с линейными ФЧХ 276
7.5.3.
Синтез КИХ-фильтров методом оконных функций 277
7.5.4.
Синтез КИХ-фильтров методом частотных выборок 284
7.5.5.
Синтез КИХ-фильтров по методу аппроксимации
во временной области 285
7.6.
Список вопросов для самопроверки к гл. 7 289
7.7.
Список задач к гл. 7 289
Глава 8. Примеры задач ЦОС для геофизики
и экспериментальной механики 291
8.1.
Постановки задач ЦОС для предметной области
геофизики и экспериментальной механики
(Приложение № 1) 291
8.1.1.
Задача оценивания глубины залегания пласта
и скорости сейсмических волн 291
8.1.2.
Задача оценивания частот гармонических
составляющих для приливно-отливных колебаний
уровня океана 294
8.1.3.
Задача фильтрации шумов в наблюдениях
геомагнитного поля 297
8.1.4.
Задача оценивания частоты пульсаций
в наблюдениях геомагнитного поля 300
8.1.5.
Задача оценивания периода солнечной активности
на основе временного ряда чисел Вольфа 302
8.1.6.
Задача определения спектральных характеристик
и коэффициентов когерентности сейсмических
сигналов 303
8.1.7.
Задача оценивания параметров движения
монохроматического источника звука 306
8.1.8.
Задача обнаружения дефектов — сколов
в подшипниках качения 308
8.1.9.
Задача фильтрации сигналов акустической
эмиссии для системы предупреждения разрушений
металлических конструкций 310
8.1.10.
Задача оценивания разностей фаз
многочастотных сигналов виброускорений для
исследовательского балансировочного стенда 313
8.1.11.
Задача оценивания передаточных функций
на основе сигналов виброиспытаний систем 315
8.2.
Решения примеров задач ЦОС для предметных
областей геофизики и экспериментальной механики
(Приложение № 2) 317
8.2.1.
Оценивание глубины залегания пласта и скорости
сейсмических волн 317
8.2.2.
Оценивание частот гармонических составляющих
приливно-отливных колебаний уровня океана 319
8.2.3.
Фильтрация высокочастотных шумов
в наблюдениях геомагнитного поля 321
8.2.4.
Оценивание частоты пульсаций в наблюдениях
геомагнитного поля 323
8.2.5.
Оценивание периода солнечной активности
на основе временного ряда чисел Вольфа 325
8.2.6.
Определение спектральных характеристик
и коэффициентов когерентности сейсмических
сигналов 330
8.2.7.
Оценивание параметров движения
монохроматического источника звука 332
8.2.8.
Обнаружение дефектов — сколов в подшипниках
качения 336
8.2.9.
Фильтрация сигналов акустической эмиссии 338
8.2.10.
Оценивание разностей фаз многочастотных
сигналов виброускорений для исследовательского
балансировочного стенда 340
8.2.11.
Оценивание передаточных функций на основе
виброиспытаний систем 344
Список литературы 346
Предисловие
Цифровая обработка сигналов (ЦОС, или DSP — digital signal
processing) — техническая дисциплина, в которой рассматривают-
ся вопросы решений вычислительных задач для больших массивов
экспериментальных данных — дискретизованных сигналов. ЦОС
объединяет множество методов и алгоритмов из широкого круга
областей науки и техники. ЦОС является комплексом эффектив-
ных технологий, которые будут играть существенную роль в двад-
цать первом веке.
ЦОС в настоящее время интенсивно развивается по направле-
ниям создания новых классов задач, разработки математического
и программного обеспечения, конструирования систем специали-
зированной вычислительной техники и периферийных устройств.
Техника ЦОС сейчас вытесняет системы аналоговой электроники.
ЦОС имеет очень широкие приложения. Методы и системы
ЦОС используются во многих фундаментальных и прикладных об-
ластях. Революционные изменения, обусловленные ЦОС, касаются
многих приложений:
• техники обработки информации для физических экспери-
ментов, экспериментальной механики, измерительной тех-
ники;
• энергетики, машино-, судо-, автомобилестроения, авиации
и ракетной техники, атомной техники, нефтехимической
и газовой промышленностей, строительной механики, ма-
териаловедения;
• акустики, гидроакустики, геофизики, геологоразведки,
сейсмологии;
• биомеханики, биологии, медицины, физиологии;
• цифровой радиотехники, техники цифровой связи и об-
работки звуковых сигналов, техники обработки цифровых
изображений и цифрового телевидения, цифровой акусти-
ческой, гидро-, радио- и лазерной локации.
На основе ЦОС решаются актуальные научно-технические
проблемы, например по вибрационной диагностике машиностро-
ительных конструкций и неразрушающему контролю сложных
технических систем, по защите систем от механических вибраций
и шума, по задачам томографического анализа, анализу и обработ-
ке изображений, анализу нестационарных быстропротекающих
физических процессов, исследованию и извлечению информации
из сигналов со сложной и неопределенной природой и т. д. Области
применения ЦОС постоянно расширяются.
Сегодня ЦОС относится к числу базовых знаний, которые не-
обходимы учёным и инженерам всех отраслей, практически без
исключения. Стимулом развития ЦОС является очевидное обстоя-
тельство, которое состоит в том, что стоимость цифровой обработ-
ки сигналов меньше аналоговой и продолжает снижаться, а произ-
водительность вычислительных операций непрерывно возрастает.
Немаловажно, что системы ЦОС отличаются высокой гибкостью
и их можно дополнять новыми программами и перепрограммиро-
вать на выполнение различных операций без изменения оборудо-
вания.
Следует отметить неуменьшающееся из года в год большое
количество зарубежных публикаций, связанных с цифровой об-
работкой сигналов. В США и ряде европейских стран можно на-
считать издание более двух десятков объёмных научных журналов,
специально посвященных вопросам ЦОС, выпускается множество
книг по различным аспектам ЦОС, регулярно созывается большое
количество международных конференций и семинаров по указан-
ной проблематике. Необходимо отметить отечественный журнал
«Цифровая обработка сигналов», который издается Российским на-
учно-техническим обществом радиотехники, электроники и связи
им. А. С. Попова.
Имеется много различных по размерам и успешных зарубежных
фирм, занятых выпуском математического и программного обе-
спечения, специализированных вычислительных систем и измери-
тельных средств для обеспечения задач ЦОС. Рынок, на котором
фигурируют продукты для ЦОС, обладает большой ёмкостью, име-
ет свои традиции и является вполне сложившимся.
Предлагаемый учебник написан на основе лекций, которые ав-
тор читал для студентов 4-го курса факультета «К» НИЯУ МИФИ
в течение целого ряда лет. Его опыт преподавания этой технической
дисциплины показал, что на начальном этапе обучения студен-
там бывает полезно ознакомиться с различными системами ЦОС
и примерами конкретных и содержательных задач ЦОС. Целесо-
образно, по мнению автора, включить в состав курса какую-либо
специальную математическую технологию, которая эффективно
используется для ЦОС.
Настоящий учебник «Цифровая обработка сигналов с прило-
жениями для геофизики и экспериментальной механики» включа-
ет три составляющие.
Первая составляющая базируется на учебном пособии — Гетма-
нов В. Г. Цифровая обработка сигналов. М.: Изд-во НИЯУ МИФИ.
2010. 232 с. [17], которое было подвергнуто переработке и редакти-
рованию. В предлагаемом учебнике помещены традиционные све-
дения по цифровой обработке сигналов и изложены основные раз-
делы этой технической дисциплины, относящиеся к построению
моделей и оцениванию параметров сигналов, предварительной об-
работки сигналов, спектрально-корреляционного анализа и циф-
ровой фильтрации сигналов.
Вторая составляющая реализует специальную математическую
технологию и базируется на монографии — Гетманов В. Г. Цифро-
вая обработка нестационарных колебательных сигналов на основе
локальных и сплайновых моделей. М.: Изд-во НИЯУ МИФИ. 2011.
298 с. [18]. Данная технология была сформирована автором на ос-
нове его работ по экспериментальной механике в Институте маши-
новедения РАН и его докторской диссертации 1992 года. В пред-
лагаемом учебнике из данной монографии помещены сведения,
касающиеся вопросов построения аппроксимационных локаль-
ных и сплайновых моделей, которые ориентированы на решения
задач оценивания параметров сложных нестационарных сигналов.
Третья составляющая, выделенная в отдельную главу 8, пред-
ставляет собой описания постановок конкретных задач ЦОС для
предметных областей геофизики и экспериментальной механики
и их решений, которые осуществлены на основе материалов пред-
лагаемого учебника. Также имеется по тексту много примеров ре-
шений модельных задач ЦОС. Благодаря третьей составляющей
настоящий учебник характеризуется существенной практической
направленностью. Необходимо подчеркнуть, что решения предло-
женных задач реализованы в единой методологической схеме, со-
стоящей из: 1) описания наблюдений сигналов, 2) формирования
модели для наблюдений, 3) формирования функционала, 4) реше-
ния соответствующей задачи оптимизации — получения решения
задачи, 5) обсуждения результатов.
Учебник предназначен для студентов-бакалавров и магистран-
тов, обучающихся по направлениям и специальностям 01.05.01 —
«Прикладная математика и информатика», 23.04.01 — «Приклад-
ная математика», и студентов, специализирующихся по геофизике
и экспериментальной механике, а также может быть использован
студентами, которые заняты подготовкой в области задач обра-
ботки результатов физических экспериментов и проектирования
информационно-управляющих систем. Материалы учебника снаб-
жены большим количеством вопросов и задач для самопроверки,
ориентированных на углубленное изучение дисциплины «Цифро-
вая обработка сигналов с приложениями для геофизики и экспе-
риментальной механики» и применение в практических занятиях,
курсовом и дипломном проектировании. Данный учебник будет
полезным для специалистов, занимающихся системами обработки
экспериментальной информации в широком спектре приложений.
Для успешного освоения материалов предлагаемого учебника
обучающимся необходимо владеть курсами математического ана-
лиза, теории функций комплексного переменного, элементами
теории вероятностей, методами оптимизации и основами теории
управления.
Первая глава пособия является вводной и в ней помещены мате-
риалы, связанные со структурами ЦОС и системами сбора данных.
Во второй главе приведены необходимые математические сведе-
ния, касающиеся характеристик сигналов, параметров и моделей
сигналов, задачи оценивания параметров сигналов. В третьей главе
описываются построения локальных и сплайновых моделей. В чет-
вёртой главе собраны материалы, объединённые общим названи-
ем «Предварительная обработка сигналов» и включающие задачи
вычисления статистических характеристик сигналов, устранения
трендов и аномальных наблюдений. В этой же главе приведены
сведения по теореме Котельникова. Основу пятой главы состав-
ляет дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Предложен вывод
формул коэффициентов ДПФ, основанный на задаче оценивания
параметров полигармонических моделей сигналов, рассмотрены
свойства ДПФ. Приведены сведения относительно функции спек-
тральной плотности мощности сигналов. В краткой форме содер-
жится вывод алгоритма быстрого преобразования Фурье. Шестая
глава представляет собой сжатое изложение вопросов вычисления
дискретных свёрток и ковариационных функций. В седьмой главе
вводятся основные понятия теории цифровой фильтрации, рас-
сматриваются основные практические задачи синтеза БИХ и КИХ-
фильтров. Восьмая глава содержит задачи ЦОС для предметных об-
ластей, обозначенных в названии учебника.
В пособии помещен список литературы, достаточно полно
представляющий существующие публикации по ЦОС. Ознаком-
ление хотя бы с некоторыми из них будет полезно для студентов,
приступающих к изучению ЦОС. Книги [25, 45, 43, 30, 9, 59, 37]
иностранных авторов являются классическими работами по ЦОС,
однако они изданы давно и в настоящее время представляют со-
бой настоящие раритеты; они часто цитируются и в них изложе-
ны базисные вопросы ЦОС. Другая часть приведённых источни-
ков по ЦОС [1, 51, 35, 36, 48, 52, 12, 13, 8, 56] издана относительно
недавно и в них содержится много материалов, отражающих со-
временную проблематику ЦОС. Как правило, эти книги изданы
малыми тиражами — в библиотеках вузов они, быть может, име-
ются, но в очень ограниченных количествах. В книгах [3, 50, 44, 5,
6, 55, 60] рассматриваются вопросы ЦОС, частично отраженные
в учебнике с учётом особенностей содержания программ направ-
лений 01.05.01, 23.04.01 в части задач анализа характеристик коле-
бательных сигналов, задач построения моделей и оценивания па-
раметров сигналов на основе оптимизации и элементов технологий
обработки данных на ЭВМ. Книги [4, 31, 32, 34, 41, 53, 10], изданные
достаточно давно, содержат материалы, дающие представления
о рассматриваемой проблематике для предметных областей гео-
физики и экспериментальной механики. Остальные публикации
будут упоминаться по тексту учебника.
Все расчёты и рисунки в учебнике были произведены с помо-
щью программного комплекса Matlab 2015, предоставленного авто-
ру фирмой MathWork Inc (США), как участнику постоянно действу-
ющей MathWork Book Program, цель которой состоит в поддержке
разработок Matlab — учебной и научной литературы.
Автор считает приятным долгом выразить благодарность зав.
каф. № 17 МИФИ д. т. н., проф. Модяеву А. Д. за многолетнее со-
трудничество, а также признательность к. т. н., доц. Мишули-
ной О. А. за сделанные ценные замечания и своим аспирантам Куз-
нецову П. А., Орлову С. Е., Фирсову А. А. за выполненные расчёты.
Автор приносит благодарности уважаемым рецензентам акад. РАН
Гвишиани А. Д. — научному руководителю Геофизического цен-
тра РАН, д. т. н., проф. Глазунову В. А. — директору Института ма-
шиноведения РАН и д. ф.-м. н., проф. Кудряшову Н. А. — зав. каф.
«Прикладная математика» НИЯУ МИФИ за проявленное доброже-
лательное отношение. Отдельно автор благодарит Гетманову Е. А.
за всегда оказываемую всестороннюю помощь и поддержку.
ГЛАВА1
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О СИСТЕМАХ И ЗАДАЧАХ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ
СИГНАЛОВ
1.1. Системы цифровой обработки сигналов,
объекты управления и системы выработки управлений
1.1.1. Структурные схемы систем ЦОС
Здесь представляются две основные структурные схемы систем
ЦОС и описываются их составляющие. Системы ЦОС подразделя-
ются на разомкнутые и замкнутые.
Общий случай упрощённой структуры разомкнутой систе-
мы ЦОС с составляющими системами изображён на блок-схеме
рис. 1.1.1.
Для разомкнутой системы ЦОС следует отметить три составля-
ющие: 1) ОУ — объект управления; 2) ССД — систему сбора данных;
3) СОИ — систему обработки информации. На рис. 1.1.1 ОУ, ССД
и СОИ изображены прямоугольниками; для каждой из составля-
ющих стрелками показаны направления движения информации
входных и выходных переменных.
Рассмотрим функции и главные особенности отмеченных со-
ставляющих.
ОУ — объект управления — реализует преобразование входных
управляющих переменных и возмущений в выходные переменные.
Входные управляющие переменные uT t u t u t
m ( )= ( ( ), , ( )) 1 для ОУ
представляются векторами размерности m. Входные возмущения
обозначаются векторной функцией pT t p t p t
q ( ) = ( ( ), , ( )) 1 размер-
ности q. Отличия управляющих переменных и входных возмуще-
ний здесь состоят в том, что управляющие переменные u(t) счита-
ются полностью известными функциями, входные возмущения
p(t) — это некоторые неизвестные функции, относительно кото-
рых могут быть только самые общие сведения. Например, указаны
классы функций, к которым принадлежат входные возмущения.
Векторы выходных переменных xT t x t x t
n ( ) = ( ( ), , ( )) 1 размерности
n определяют состояние ОУ; в ряде случаев, x(t) — это фазовые ко-
ординаты ОУ.
Преобразование входных управлений и возмущений в выход-
ные переменные осуществляется в соответствии с уравнениями ОУ,
которые могут быть подразделены на статические и динамические.
В свою очередь, динамические ОУ подразделяются на ОУ с сосре-
доточенными параметрами, описываемые обыкновенными диф-
ференциальными уравнениями, и ОУ с распределёнными параме-
трами, которые описываются дифференциальными уравнениями
с частными производными. ОУ могут подразделяться на линейные
и нелинейные. На рис. 1.1.1 обозначение x(t ) = f (p(t ), u(t )) относит-
ся к статическому ОУ.
ССД — система сбора данных — обеспечивает промежуточное
накопление, хранение и предварительную цифровую обработку
многоканальной информации от ОУ. На вход системы ССД по-
ступает вектор переменных x(t). Выходом ССД являются дискрет-
ные векторы наблюдений y(Ti) фазовых координат, связанные
с переменными x(Ti) и помеховыми возмущениями w(Ti), которые
обусловливают погрешности. Наблюдения с выхода ССД могут
описываться следующей модельной зависимостью
y(Ti) = h(x(Ti), w(Ti)), i = 0, 1, 2, …
Вид модельной функции наблюдения h(⋅,⋅) определяется конструк-
цией ССД. В простейшем случае может быть
y(Ti) = x(Ti)+ w(Ti) , i = 0, 1, 2, …
СОИ — система обработки информации — обеспечивает на ос-
нове наблюдений от ССД y(Ti) решение задачи вычисления оценок
выходных переменных ОУ x°(Ti) и оценок параметрических функ-
ций p°(Ti). Указанная задача является, фактически, центральной
для ЦОС.
Общий случай структуры замкнутой системы ЦОС представ-
лен на блок-схеме рис. 1.1.2. Замкнутая система ЦОС отличается
от разомкнутой наличием составляющей СВУ — системы выработ-
ки управлений.
СВУ — осуществляет формирование необходимых управляю-
щих воздействий u(t) для ОУ и настроечных параметров v1(t), v2(t)
для ССД и СОИ.
Составляющие ССД и СОИ, помещённые в пунктирные прямо-
угольники (рис. 1.1.1 и рис. 1.1.2) являют собой основу систем ЦОС.
Реализация ЦОС производится с учётом характеристик ОУ и тре-
бований к информации для СВУ.
1.1.2. Математические модели ОУ
1. Решение задач ЦОС, в ряде случаев, сопряжено с необходи-
мостью построения для ОУ математических моделей, которые свя-
зывают функциональными зависимостями входные и выходные
переменные. Как правило, для ЦОС представляет интерес рассмо-
трение дискретных моделей ОУ.
Для статических ОУ зависимости между входными и выходны-
ми переменными определяются модельными нелинейными функ-
циями f f1 n (⋅,⋅), , (⋅,⋅) известного вида
xt f pt pt ut u t 1 1 1 q 1 m ( ) = ( ( ), , ( ), ( ), , ( )),
. . . (1.1.1)
xt f pt pt ut u t n n q m ( ) = ( ( ), , ( ), ( ), , ( )) 1 1 .
Выражение (1.1.1) может быть записано в векторной форме
x(t ) = f (p(t ), u(t )). ( 1.1.2)
При условии дифференцируемости функций из (1.1.1), (1.1.2)
допускается линеаризация ОУ. Для этого задаются значения век-
торов p0, u0, относительно которых производится линеаризация,
вычисляются x f p u 0 0 0 = ( , ), формируются векторы приращений
Δx(t ) = x − x(t ) 0 , Δp(t ) = p − p(t ) 0 , Δu(t ) = u −u(t ) 0 . Линеаризованные
формулы для статических ОУ (1.1.1) представятся в векторно-ма-
тричной форме
Δx(t ) = B Δp(t )+B Δu(t ) 1 2 ,
где матрицы B nq 1,( , ) и B nm 2,( , ) состоят из производных
Для ОУ при p0 = 0, u0 = 0 и x0 = 0 статические зависимости упроща-
ются
x(t ) = B p(t )+B u(t ) 1 2 . (1.1.3)
Нелинейные и линейные модели (1.1.2), (1.1.3) могут быть представ-
лены в дискретной форме, p(Ti), u(Ti) и x(Ti) — входные и выходные
переменные
x(Ti) = f (p(Ti), u(Ti)), x(Ti) = B p(Ti)+B u(Ti)) 1 2 , i = 0, 1, 2, …
2. Связь между векторами выходных переменных (фазовых ко-
ординат) x(t) и векторами возмущений и управляющих переменных
p(t), u(t) для динамических ОУ определяется дифференциальными
уравнениями.
Для динамических ОУ с сосредоточенными параметрами мо-
дельные обыкновенные дифференциальные уравнения представ-
ляются системой n-го порядка, где f f1 n (⋅,⋅,⋅),..., (⋅,⋅,⋅) — заданные
функции
x t f x t x t p t p t u t u t 1 1 1 n 1 q 1 m ( ) = ( ( ), , ( ), ( ), , ( ), ( ), , ( )),
. . . (1.1.4)
x t f x t x t p t p t u t u t n n n q m ( ) = ( ( ), , ( ), ( ), , ( ), ( ), , ( ) 1 1 1 ).
Интегрирование для (1.1.4) начинается в момент времени t0
из начального условия x(t0) и при заданных функциях p(t), u(t). Урав-
нения (1.1.4) могут быть заданы в векторной форме
x(t ) = f (x(t ), p(t ), u(t )).
Дифференциальные уравнения для линейных ОУ с перемен-
ными параметрами представляются векторно-матричным уравне-
нием
x(t ) = A(t )x(t )+B(t )u(t )), (1.1.5)
где A(t ) = A(p(t )), B(t ) = B(p(t )). Для случая постоянных матриц
формула (1.1.5) примет вид
x(t ) = Ax(t )+Bu(t ) . (1.1.6)
Для (1.1.6) матрицы A, B имеют размерности (n,n), (n,m).
3. Модели дискретных ОУ устанавливают связи между дискрет-
ными входными и выходными переменными. Рассматриваются
кусочно-постоянные управления u(Ti) и фазовые координаты x(Ti),
x (T(i +1)) для моментов времени Ti, T(i +1), i = 0, 1, … Для указан-
ных управлений и фазовых координат формируются уравнения ли-
нейных динамических ОУ(1.1.5), (1.1.6) в дискретной форме.
Формула Коши позволяет записать общее решение линейных
дифференциальных уравнений (1.1.5), (1.1.6)
см. уравнение в книге
где Φ(t) — фундаментальная матрица, соответствующая однород-
ной системе Φ (t ) = A(t )Φ(t ), причем Φ(t0) = E. Подстановкой можно
проверить, что указанная выше формула действительно даёт реше-
ние; в самом деле,
см. уравнение в книге (1.1.7)
Кроме этого, данное решение удовлетворяет начальным условиям
x(t ) (t )x Еx x 0 0 0 0 0 = Φ = = .
Далее рассмотрим случай постоянных матриц — ОУ (1.1.6), тог-
да Φ(t ) = eAt и (1.1.7) представится следующим образом
см. уравнение в книге (1.1.8)
Формула Коши позволяет от непрерывной системы (1.1.6) перейти
к дискретной. Будем полагать, что задаются дискретные момен-
ты времени Ti, i = 0, 1, 2, …; для интервала времени (Ti ≤ t ≤T(i +1))
управление является кусочно-постоянным и принимающим значе-
ние u(Ti), x(Ti) принимается в качестве начального условия. Форму-
ла Коши позволяет вычислить x (T(i +1)):
см. уравнение в книге (1.1.9)
Основываясь на (1.1.9), дискретные ОУ могут быть представле-
ны матрично-векторными рекуррентными уравнениями
x(T(i +1)) = Fx(Ti)+Gu(Ti), i = 0, 1, 2, … (1.1.10)
Для (1.1.10) матрицы F, G имеют размерности (n,n), (n,m).
Рассмотрим пример ОУ первого порядка, представляющий со-
бой апериодическое звено
x +ax = u(t ). (1.1.11)
Фундаментальная матрица, в данном случае размерности (1, 1),
имеет вид Φ(t ) = e−at ; тогда соотношение (1.1.8) представится следу-
ющим образом
см. уравнение в книге
После подстановки t =T(i +1) и интегрирования записывается вы-
ражение для уравнения дискретного ОУ, полученное на основе
(1.1.9) и связывающее выход системы x(T(i +1)) с начальным усло-
вием x(Ti) и кусочно-постоянным входным управлением u(Ti)
см. уравнение в книге (1.1.12)
Для представления ОУ первого порядка (1.1.11) в дискретной форме
(1.1.10) формируются матрицы F, G, которые с учётом (1.1.12) имеют
вид
см. уравнение в книге
.
1.1.3. Общие соотношения для СВУ
В соответствии с блок-схемой рис. 1.1.2 в СВУ формируются необ-
ходимые управления u(t) и настройки v1(t) и v2(t) на базе информа-
ции от СОИ-оценок фазовых координат x°(Ti) и оценок функций
параметров p°(Ti). В основном, СВУ реализуется в двух вариантах.
В первом варианте СВУ представляется в виде некоторого регу-
лятора, действие которого основывается на функциях известного
вида: см. уравнение в книге.
В этом случае управление для ИУС, осуществляемое СВУ,
является детерминированным.
Во втором варианте СВУ осуществляет выработку управлений
u(t), v1(t), v2(t) с использованием обобщенной оператор-машинной
системы, реализующей процедуры принятия решений. Управление
для ИУС, осуществляемое СВУ, в ряде случаев является случайным.
1.2. Системы сбора данных для цифровой обработки сигналов
1.2.1. Структурная схема ССД
Структура системы сбора данных (ССД) существенным образом
определяет возможности эффективного проведения ЦОС. ССД
включает в свой состав систему датчиков, усилителей, противома-
скировочных фильтров, электронный коммутатор, аналого-циф-
ровой преобразователь и устройство буферной памяти. На рис. 1.2.1
схематически изображается один из вариантов упрощенной струк-
туры ССД вместе с перечисленными составляющими. Эта струк-
тура соответствует многоканальному случаю, при котором число
информационных каналов совпадает с числом датчиков.
Цель данного параграфа состоит в рассмотрении основ устрой-
ства, функционирования и параметров составляющих ССД.
1.2.2. Датчики CCД, передаточные функции, АЧХ
и ФЧХ
1. Датчики ССД, являющиеся первичными информационными
преобразователями, придаются ОУ. На рис. 1.2.1 ОУ обозначается
в виде удлинённого прямоугольника и показывается система дат-
чиков в виде набора квадратов со стрелками. Назначение датчиков
состоит в преобразовании выходных переменных ОУ x(t) в элек-
трические сигналы V(t), в которых содержится информация об ОУ.
Здесь положим, что выход x(t) является входной переменной для
датчика.
Каждому датчику ставится в соответствие функция преобра-
зования, которая определённым образом связывает его входную
переменную x(t) и выходную переменную V(t). Функции преоб-
разования бывают двух видов. Для случая статических функций
преобразования связь между входными и выходными величинами
реализуется в виде нелинейных функциональных зависимостей.
Для случая динамических функций преобразования связь между
входными и выходными реализуется функциональными зависи-
мостями, которые базируются на дифференциальных уравнениях.
Как правило, точный вид функций преобразования почти всег-
да оказывается неизвестным или достаточно сложным; поэтому
в качестве функций преобразования могут выступать их модели,
приближённо описывающие связи между входными и выходными
переменными. Модели функций преобразования используются
для решения задач ЦОС.
2. Статическим функциям преобразования, которые связы-
вают входные x(t) и выходные V(t) переменные датчиков, в общем
случае ставятся в соответствие модельные нелинейные функции
известного вида
V (t ) =VП (x(t )). (1.2.1)
Функции VП ( ) ⋅ формируются на основе рассмотрения физики ра-
боты датчиков и учета особенностей их конструкций.
Для статических функций преобразования разработана целая
система модельных статических характеристик. Приведём некото-
рые примеры статических характеристик, которые достаточно ча-
сто встречаются в практике ЦОС.
Линейная модельная функция V xt V K xt П П П ( ( )) = + ( ) 0 является
простейшим примером статической характеристики; здесь параме-
тры VП0, КП имеют вполне очевидный физический смысл.
Нелинейная модельная функция V xt П ( ( )), изображённая
на графике рис. 1.2.2, представляет собой пример статической ха-
рактеристики с насыщением. Условие 0 ≤ x(t) ≤ xнс соответствует
рабочей области датчика, точка xнс определяет границу области
насыщения датчика. В нерабочей области насыщения видно, что
большим изменениям входной переменной x(t) соответствуют ма-
лые изменения выходной переменной V(t).
Нелинейная модельная функция V xt П ( ( )) (рис. 1.2.3) представ-
ляет собой пример статической характеристики с зоной нечувстви-
тельности. Диапазон −х ≤ x t ≤ x н н ( ) определяет зону нечувстви-
тельности, где V xt П ( ( )) = 0 ; условия x(t ) ≤ −xн , x(t ) ≥ xн определяют
рабочие области датчика, для которых V xt xt П ( ( )) = ( ) .
3. Функционирование многих типов датчиков в ряде случаев
не описывается с достаточной степенью точности статическими
характеристиками. Благодаря наличию инерционных частей, тре-
ния и других особенностей конструкций датчиков между входной
и выходной переменными могут иметь место зависимости более
сложного вида, чем статические. Достаточно часто, когда входная
переменная и выходная переменная являются функциями време-
ни, следует учитывать динамику датчиков.
Динамические функции преобразования для датчиков уста-
навливают связи между входами x(t) и выходами V(t) в виде соотно-
шений, основанных на модельных обыкновенных дифференциаль-
ных уравнениях, которые формируются с помощью рассмотрения
устройств и физики работы датчиков.
В практике ЦОС и инженерных приложений динамические
функции преобразования датчиков достаточно часто формируют-
ся на основе модельных линейных дифференциальных уравнений.
Апериодическим датчикам ставятся в соответствие динамиче-
ские функции преобразования, основанные на модельных линей-
ных дифференциальных уравнениях первого порядка
см. уравнение в книге (1.2.2)
где T — постоянная времени, обусловливающая его инерцион-
ность; k0 — коэффициент усиления.
Колебательным датчикам ставятся в соответствие динамиче-
ские функции преобразования, основанные на модельных линей-
ных дифференциальных уравнениях второго порядка
см. уравнение в книге (1.2.3)
Значения параметров β, ω0
2 и k0 определяют динамические свой-
ства датчиков; для β > 0 β2 ω
0
− 2 < 0 в (1.2.3) возникают затухающие
колебания.
Линейные датчики с динамическими функциями преобра-
зования описываются передаточными функциями, которые нахо-
дятся на основе вычисления преобразований Лапласа X(p), V(p) для
функций времени x(t), V(t)
Х (р) = х( )е− р d ,
∞
∫ τ τ τ
0
V (р) = V ( )е− р d ,
p — комплексный параметр. Передаточные функции H(p) для ли-
нейных динамических датчиков определяют связь между входом
и выходом при нулевых начальных условиях следующим образом:
V (p) = H(p)X (p).
Для датчиков с апериодическими и колебательными функциями
преобразования (1.2.2), (1.2.3) передаточные функции записывают-
ся в виде полиномов от переменной p
см. уравнение в книге
Выражения X(jω), V(jω), где p = jω, представляют собой преоб-
разования Фурье для функций времени x(t), V(t). Функция H(jω)
в этом случае определяет связь входов и выходов в частотной об-
ласти
V ( jω) = H( jω)X ( jω).
Функция H(jω) является комплексной функцией частоты, ко-
торую можно представить в экспоненциальном виде
H( jω) = H( jω) e jϕ(ω),
где H( jω) — амплитудно-частотная характеристика (АЧХ); ϕ(ω) —
фазочастотная характеристика (ФЧХ) для линейных динамиче-
ских датчиков. Функции АЧХ и ФЧХ позволяют определить ам-
плитудные и фазовые искажения в зависимости от частоты для
линейных динамических датчиков, когда эталонная входная пере-
менная изменяется по гармоническому (в данном случае по коси-
нусоидальному) закону x(t ) = X cosωt, для которого заданы X — ам-
плитуда; ω — частота. Общеизвестно, что выходная переменная V(t)
для линейного динамического датчика в установившемся режиме
в этом случае также будет изменяться по косинусоидальному за-
кону V (t ) =V cos(ωt + ϕ), где V — амплитуда выходной переменной;
ϕ — фазовый сдвиг между косинусоидальной входной и выходной
переменной.
С помощью функций АЧХ и ФЧХ H( jω) и ϕ(ω) можно оце-
нивать амплитудные и фазовые искажения, вносимые динамиче-
ским датчиком. Для заданной частоты ω амплитудное и фазовой
искажение V/X и ϕ между выходной и выходной переменными опре-
деляются известным образом:
V
X
= H( jω) , ϕ = ϕ(ω).
4. Рассмотрим более детально конструкцию и характеристики
одного из вариантов датчиков виброускорений. На рис. 1.2.4 пред-
ставлен схематический чертёж конструкции пьезоэлектрического
датчика виброускорений. Его действие основывается на использо-
вании прямого пьезоэффекта — свойства некоторых материалов
(пьезоэлектриков) генерировать электрический заряд под действи-
ем приложенной к ним механической силы. Инерционный элемент
3 прикреплён к верхней грани пьезоэлемента 2, а нижняя грань
пьезоэлемента прикреплена к корпусу 1, пружина 4 воздействует
на верхнюю поверхность инерционного элемента. При установке
датчика на исследуемом объекте эта система воспринимает его ви-
брацию. Выходом пьезоэлектрического датчика является напряже-
ние V(t), снимаемое с пьезоэлемента.
В простейшем случае работа пьезоакселерометра может
быть описана на основе статической функции преобразования.
Генерирование пьезоэлементом электрического заряда Q(t) произ-
водится в соответствии с соотношением Q t d F t ПЭ ( ) = ( ), где dПЭ — кон-
станта пьезоэлемента, F(t ) = ma(t ) — приложенная механическая
сила, а(t) — виброускорение, m — приведённая масса. Напряжение
V(t) с выхода пьезоакселерометра представляется формулой, где
C — приведенная ёмкость
см. уравнение в книге (1.2.4)
Выражение (1.2.4), с определёнными допущениями, может быть
принято в качестве модельной статической функции преобразова-
ния пьезоэлектрического датчика.
Если произвести учёт упругих свойств пружины и наличия
возможного демпфирования, то работа пьезоакселерометра может
быть описана на основе линейных дифференциальных уравнений
второго порядка, которые будут представлять собой модельную ди-
намическую функцию преобразования.
Упрощённая схема механической модели этого датчика приво-
дится на рис. 1.2.5. Дифференциальное уравнение для смещения
x(t) инерционного элемента под действием комплексной гармони-
ческой силы F(t ) = Fe jωt имеет вид
mx+cx + kx = Fe jωt ,
где m, c, k определяют параметры массы, коэффициент демпфи-
рования и коэффициент упругости. От данного уравнения можно
перейти к следующему дифференциальному уравнению
см. уравнение в книге
2 = k /m, ξ = c /2mω0. Положим, что установившееся решение
этого дифференциального уравнения представляется известной
формулой x(t ) = Xe jωt , где X — комплексная амплитуда. После под-
становки x = Xe jωt получим выражение для амплитуды
см. уравнение в книге (1.2.5).
С использованием (1.2.5) сформируем передаточную функцию
H0(jω), связывающую в частотной области амплитуду X с амплиту-
дой силы F
см. уравнение в книге (1.2.6)
Выделим в передаточной функции (1.2.6) действительную и мни-
мую часть
см. уравнение в книге
На основе формул для действительной и мнимой частей предста-
вим выражения для АЧХ H j 0( ω) и ФЧХ ϕ(ω) рассматриваемого
пьезоакселерометра
см. уравнение в книге.
Для гармонического случая, когда амплитуды V0 выходно-
го напряжения, смещения X0 и ускорения a0 и силы F0 связаны
соотношением V0 = k0X0, a0 = kaF0, передаточная функция пьезоаксе-
лерометра H(jω) для связи a(jω), V(jω) представляется следующим
образом
H j k H j d ( ω) = ( ω) 0 ,
где kd = k0/ka. На рис. 1.2.6а,б изображаются АЧХ и ФЧХ передаточ-
ной функции H(jω) для k0 = 1 и относительных частот w = ω/ω0. Ра-
бочий частотный диапазон w w 1 2 ≤ ω ≤ для таких датчиков соответ-
ствует почти плоскому участку АЧХ; при выборе рабочего диапазона
соотношением V0 = k0X0, a0 = kaF0, передаточная функция пьезоаксе-
лерометра H(jω) для связи a(jω), V(jω) представляется следующим
образом
H j k H j d ( ω) = ( ω) 0 ,
где kd = k0/ka. На рис. 1.2.6а,б изображаются АЧХ и ФЧХ передаточ-
ной функции H(jω) для k0 = 1 и относительных частот w = ω/ω0. Ра-
бочий частотный диапазон w w 1 2 ≤ ω ≤ для таких датчиков соответ-
ствует почти плоскому участку АЧХ; при выборе рабочего диапазона
фильтров их АЧХ в точке среза ωc должны иметь большую крутизну.
Вследствие чего, в рабочей полосе частот (0, ωc) коэффициент уси-
ления фильтра должен быть примерно равен 1, в высокочастотной
области (ω , ) c ∞ коэффициент усиления фильтра близок к нулю
H j ПМ( ω) 2 =1, 0 ≤ ω ≤ ωc ; H j ПМ( ω) 2 = 0 , ω ω c ≤ ≤∞.
Частота среза ωc аналогового фильтра обычно регулируется
в зависимости от полосы входного сигнала — его частотных свойств
и заданной частоты дискретизации. Видно, что линии с индексами
1 и 2 АЧХ на рис. 1.2.7 отличаются крутизной. Выход противома-
скировочного фильтра V2(t) является информационным сигналом,
который далее подвергается дискретизации.
3. Назначение электронного коммутатора (ЭК) для ССД
(рис. 1.2.1) состоит в реализации кратковременных подключений
к устройству дискретизации (аналого-цифровому преобразовате-
лю — АЦП) информационных каналов с частотой f T d =1/ , где T —
задаваемый интервал временной дискретизации. На вход ЭК по-
ступают аналоговые сигналы от противомаскировочных фильтров
V2i = (t), i = 1, …, n, n — число информационных каналов. На един-
ственном выходе ЭК формируется последовательность кусочно-по-
стоянных сигналов V V t ЭК ЭК = ( ), которая подаётся на АЦП. Пример
временной диаграммы работы ЭК для трёх каналов, на которые подаются напряжения V21(t), V22(t), V23(t), приведён на рис. 1.2.8.
С временным шагом дискретизации T происходит запоминание
на время Δtk (время коммутации) соответствующего кусочно-по-
стоянного напряжения, которое предназначено для подачи в АЦП.
Для работы электронного коммутатора должно выполняться соот-
ношение nΔt T к << .
Для некоторых задач ЦОС при многоканальном вводе высокоча-
стотных сигналов необходимо учитывать фазовые сдвиги, которые
вносятся ССД.
Следует отметить, что использование в ССД электронного ком-
мутатора не является обязательным; его применение диктуется
в ряде случаев требованием уменьшения аппаратурных затрат для
снижения числа микросхем АЦП или, например, для обеспечения
идентичности дискретизации по различным каналам. Вполне воз-
можно построение ССД без электронного коммутатора с использо-
ванием в каждом канале отдельных микросхем АЦП.
1.2.4. Аналого-цифровые преобразователи
Аналого-цифровые преобразователи (АЦП) осуществляют преоб-
разование последовательности кусочно-постоянных напряжений
от электронного коммутатора V V t ЭК ЭК = ( ) в последовательность цифровых кодов y0 = y0(Ti). Следует отметить существенные пара-
метры АЦП для формирования систем ЦОС: 1) tАЦП — время пре-
образования АЦП аналогового напряжения V2(t) в цифровой код;
очевидно, должно выполняться неравенство t tАЦП k < Δ ; 2) LA — чис-
ло разрядов цифрового кода АЦП (не считая знака); 3) VАЦП — диа-
пазон АЦП по входному напряжению; этот параметр стандартизу-
ется — чаще всего VАЦП =1 В, 5 В.
Последовательность y0(Ti) с выхода АЦП является дискретизо-
ванной по времени и по уровню. Благодаря дискретизации по вре-
мени из непрерывного информационного сигнала V2(t) с шагом T
формируется последовательность значений V2(Ti). Вследствие дис-
кретности по уровню сигнал V2(Ti) преобразуется с помощью функ-
ции преобразования АЦП FАЦП в последовательность целых чисел
y0(Ti)
y Ti F V Ti V L 0 АЦП 2 АЦП ( ) = ( ( ), , ).
На рис. 1.2.9 показан график рассматриваемой нелинейной
функции преобразования FАЦП для VАЦП = 5 В, LA = 4.
Из-за того, что во втором случае амплитуда синусоиды незна-
чительно превосходит величину VАЦП, преобразованный синусои-
дальный сигнал на выходе представляет собой двухуровневую по-
следовательность.
Цифровая обработка сигналов (ЦОС, или DSP — digital signal
processing) — техническая дисциплина, в которой рассматривают-
ся вопросы решений вычислительных задач для больших массивов
экспериментальных данных — дискретизованных сигналов. ЦОС
объединяет множество методов и алгоритмов из широкого круга
областей науки и техники. ЦОС является комплексом эффектив-
ных технологий, которые будут играть существенную роль в двад-
цать первом веке.
ЦОС в настоящее время интенсивно развивается по направле-
ниям создания новых классов задач, разработки математического
и программного обеспечения, конструирования систем специали-
зированной вычислительной техники и периферийных устройств.
Техника ЦОС сейчас вытесняет системы аналоговой электроники.
ЦОС имеет очень широкие приложения. Методы и системы
ЦОС используются во многих фундаментальных и прикладных об-
ластях. Революционные изменения, обусловленные ЦОС, касаются
многих приложений:
• техники обработки информации для физических экспери-
ментов, экспериментальной механики, измерительной тех-
ники;
• энергетики, машино-, судо-, автомобилестроения, авиации
и ракетной техники, атомной техники, нефтехимической
и газовой промышленностей, строительной механики, ма-
териаловедения;
• акустики, гидроакустики, геофизики, геологоразведки,
сейсмологии;
• биомеханики, биологии, медицины, физиологии;
• цифровой радиотехники, техники цифровой связи и об-
работки звуковых сигналов, техники обработки цифровых
изображений и цифрового телевидения, цифровой акусти-
ческой, гидро-, радио- и лазерной локации.
На основе ЦОС решаются актуальные научно-технические
проблемы, например по вибрационной диагностике машиностро-
ительных конструкций и неразрушающему контролю сложных
технических систем, по защите систем от механических вибраций
и шума, по задачам томографического анализа, анализу и обработ-
ке изображений, анализу нестационарных быстропротекающих
физических процессов, исследованию и извлечению информации
из сигналов со сложной и неопределенной природой и т. д. Области
применения ЦОС постоянно расширяются.
Сегодня ЦОС относится к числу базовых знаний, которые не-
обходимы учёным и инженерам всех отраслей, практически без
исключения. Стимулом развития ЦОС является очевидное обстоя-
тельство, которое состоит в том, что стоимость цифровой обработ-
ки сигналов меньше аналоговой и продолжает снижаться, а произ-
водительность вычислительных операций непрерывно возрастает.
Немаловажно, что системы ЦОС отличаются высокой гибкостью
и их можно дополнять новыми программами и перепрограммиро-
вать на выполнение различных операций без изменения оборудо-
вания.
Следует отметить неуменьшающееся из года в год большое
количество зарубежных публикаций, связанных с цифровой об-
работкой сигналов. В США и ряде европейских стран можно на-
считать издание более двух десятков объёмных научных журналов,
специально посвященных вопросам ЦОС, выпускается множество
книг по различным аспектам ЦОС, регулярно созывается большое
количество международных конференций и семинаров по указан-
ной проблематике. Необходимо отметить отечественный журнал
«Цифровая обработка сигналов», который издается Российским на-
учно-техническим обществом радиотехники, электроники и связи
им. А. С. Попова.
Имеется много различных по размерам и успешных зарубежных
фирм, занятых выпуском математического и программного обе-
спечения, специализированных вычислительных систем и измери-
тельных средств для обеспечения задач ЦОС. Рынок, на котором
фигурируют продукты для ЦОС, обладает большой ёмкостью, име-
ет свои традиции и является вполне сложившимся.
Предлагаемый учебник написан на основе лекций, которые ав-
тор читал для студентов 4-го курса факультета «К» НИЯУ МИФИ
в течение целого ряда лет. Его опыт преподавания этой технической
дисциплины показал, что на начальном этапе обучения студен-
там бывает полезно ознакомиться с различными системами ЦОС
и примерами конкретных и содержательных задач ЦОС. Целесо-
образно, по мнению автора, включить в состав курса какую-либо
специальную математическую технологию, которая эффективно
используется для ЦОС.
Настоящий учебник «Цифровая обработка сигналов с прило-
жениями для геофизики и экспериментальной механики» включа-
ет три составляющие.
Первая составляющая базируется на учебном пособии — Гетма-
нов В. Г. Цифровая обработка сигналов. М.: Изд-во НИЯУ МИФИ.
2010. 232 с. [17], которое было подвергнуто переработке и редакти-
рованию. В предлагаемом учебнике помещены традиционные све-
дения по цифровой обработке сигналов и изложены основные раз-
делы этой технической дисциплины, относящиеся к построению
моделей и оцениванию параметров сигналов, предварительной об-
работки сигналов, спектрально-корреляционного анализа и циф-
ровой фильтрации сигналов.
Вторая составляющая реализует специальную математическую
технологию и базируется на монографии — Гетманов В. Г. Цифро-
вая обработка нестационарных колебательных сигналов на основе
локальных и сплайновых моделей. М.: Изд-во НИЯУ МИФИ. 2011.
298 с. [18]. Данная технология была сформирована автором на ос-
нове его работ по экспериментальной механике в Институте маши-
новедения РАН и его докторской диссертации 1992 года. В пред-
лагаемом учебнике из данной монографии помещены сведения,
касающиеся вопросов построения аппроксимационных локаль-
ных и сплайновых моделей, которые ориентированы на решения
задач оценивания параметров сложных нестационарных сигналов.
Третья составляющая, выделенная в отдельную главу 8, пред-
ставляет собой описания постановок конкретных задач ЦОС для
предметных областей геофизики и экспериментальной механики
и их решений, которые осуществлены на основе материалов пред-
лагаемого учебника. Также имеется по тексту много примеров ре-
шений модельных задач ЦОС. Благодаря третьей составляющей
настоящий учебник характеризуется существенной практической
направленностью. Необходимо подчеркнуть, что решения предло-
женных задач реализованы в единой методологической схеме, со-
стоящей из: 1) описания наблюдений сигналов, 2) формирования
модели для наблюдений, 3) формирования функционала, 4) реше-
ния соответствующей задачи оптимизации — получения решения
задачи, 5) обсуждения результатов.
Учебник предназначен для студентов-бакалавров и магистран-
тов, обучающихся по направлениям и специальностям 01.05.01 —
«Прикладная математика и информатика», 23.04.01 — «Приклад-
ная математика», и студентов, специализирующихся по геофизике
и экспериментальной механике, а также может быть использован
студентами, которые заняты подготовкой в области задач обра-
ботки результатов физических экспериментов и проектирования
информационно-управляющих систем. Материалы учебника снаб-
жены большим количеством вопросов и задач для самопроверки,
ориентированных на углубленное изучение дисциплины «Цифро-
вая обработка сигналов с приложениями для геофизики и экспе-
риментальной механики» и применение в практических занятиях,
курсовом и дипломном проектировании. Данный учебник будет
полезным для специалистов, занимающихся системами обработки
экспериментальной информации в широком спектре приложений.
Для успешного освоения материалов предлагаемого учебника
обучающимся необходимо владеть курсами математического ана-
лиза, теории функций комплексного переменного, элементами
теории вероятностей, методами оптимизации и основами теории
управления.
Первая глава пособия является вводной и в ней помещены мате-
риалы, связанные со структурами ЦОС и системами сбора данных.
Во второй главе приведены необходимые математические сведе-
ния, касающиеся характеристик сигналов, параметров и моделей
сигналов, задачи оценивания параметров сигналов. В третьей главе
описываются построения локальных и сплайновых моделей. В чет-
вёртой главе собраны материалы, объединённые общим названи-
ем «Предварительная обработка сигналов» и включающие задачи
вычисления статистических характеристик сигналов, устранения
трендов и аномальных наблюдений. В этой же главе приведены
сведения по теореме Котельникова. Основу пятой главы состав-
ляет дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Предложен вывод
формул коэффициентов ДПФ, основанный на задаче оценивания
параметров полигармонических моделей сигналов, рассмотрены
свойства ДПФ. Приведены сведения относительно функции спек-
тральной плотности мощности сигналов. В краткой форме содер-
жится вывод алгоритма быстрого преобразования Фурье. Шестая
глава представляет собой сжатое изложение вопросов вычисления
дискретных свёрток и ковариационных функций. В седьмой главе
вводятся основные понятия теории цифровой фильтрации, рас-
сматриваются основные практические задачи синтеза БИХ и КИХ-
фильтров. Восьмая глава содержит задачи ЦОС для предметных об-
ластей, обозначенных в названии учебника.
В пособии помещен список литературы, достаточно полно
представляющий существующие публикации по ЦОС. Ознаком-
ление хотя бы с некоторыми из них будет полезно для студентов,
приступающих к изучению ЦОС. Книги [25, 45, 43, 30, 9, 59, 37]
иностранных авторов являются классическими работами по ЦОС,
однако они изданы давно и в настоящее время представляют со-
бой настоящие раритеты; они часто цитируются и в них изложе-
ны базисные вопросы ЦОС. Другая часть приведённых источни-
ков по ЦОС [1, 51, 35, 36, 48, 52, 12, 13, 8, 56] издана относительно
недавно и в них содержится много материалов, отражающих со-
временную проблематику ЦОС. Как правило, эти книги изданы
малыми тиражами — в библиотеках вузов они, быть может, име-
ются, но в очень ограниченных количествах. В книгах [3, 50, 44, 5,
6, 55, 60] рассматриваются вопросы ЦОС, частично отраженные
в учебнике с учётом особенностей содержания программ направ-
лений 01.05.01, 23.04.01 в части задач анализа характеристик коле-
бательных сигналов, задач построения моделей и оценивания па-
раметров сигналов на основе оптимизации и элементов технологий
обработки данных на ЭВМ. Книги [4, 31, 32, 34, 41, 53, 10], изданные
достаточно давно, содержат материалы, дающие представления
о рассматриваемой проблематике для предметных областей гео-
физики и экспериментальной механики. Остальные публикации
будут упоминаться по тексту учебника.
Все расчёты и рисунки в учебнике были произведены с помо-
щью программного комплекса Matlab 2015, предоставленного авто-
ру фирмой MathWork Inc (США), как участнику постоянно действу-
ющей MathWork Book Program, цель которой состоит в поддержке
разработок Matlab — учебной и научной литературы.
Автор считает приятным долгом выразить благодарность зав.
каф. № 17 МИФИ д. т. н., проф. Модяеву А. Д. за многолетнее со-
трудничество, а также признательность к. т. н., доц. Мишули-
ной О. А. за сделанные ценные замечания и своим аспирантам Куз-
нецову П. А., Орлову С. Е., Фирсову А. А. за выполненные расчёты.
Автор приносит благодарности уважаемым рецензентам акад. РАН
Гвишиани А. Д. — научному руководителю Геофизического цен-
тра РАН, д. т. н., проф. Глазунову В. А. — директору Института ма-
шиноведения РАН и д. ф.-м. н., проф. Кудряшову Н. А. — зав. каф.
«Прикладная математика» НИЯУ МИФИ за проявленное доброже-
лательное отношение. Отдельно автор благодарит Гетманову Е. А.
за всегда оказываемую всестороннюю помощь и поддержку.
ГЛАВА1
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О СИСТЕМАХ И ЗАДАЧАХ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ
СИГНАЛОВ
1.1. Системы цифровой обработки сигналов,
объекты управления и системы выработки управлений
1.1.1. Структурные схемы систем ЦОС
Здесь представляются две основные структурные схемы систем
ЦОС и описываются их составляющие. Системы ЦОС подразделя-
ются на разомкнутые и замкнутые.
Общий случай упрощённой структуры разомкнутой систе-
мы ЦОС с составляющими системами изображён на блок-схеме
рис. 1.1.1.
Для разомкнутой системы ЦОС следует отметить три составля-
ющие: 1) ОУ — объект управления; 2) ССД — систему сбора данных;
3) СОИ — систему обработки информации. На рис. 1.1.1 ОУ, ССД
и СОИ изображены прямоугольниками; для каждой из составля-
ющих стрелками показаны направления движения информации
входных и выходных переменных.
Рассмотрим функции и главные особенности отмеченных со-
ставляющих.
ОУ — объект управления — реализует преобразование входных
управляющих переменных и возмущений в выходные переменные.
Входные управляющие переменные uT t u t u t
m ( )= ( ( ), , ( )) 1 для ОУ
представляются векторами размерности m. Входные возмущения
обозначаются векторной функцией pT t p t p t
q ( ) = ( ( ), , ( )) 1 размер-
ности q. Отличия управляющих переменных и входных возмуще-
ний здесь состоят в том, что управляющие переменные u(t) счита-
ются полностью известными функциями, входные возмущения
p(t) — это некоторые неизвестные функции, относительно кото-
рых могут быть только самые общие сведения. Например, указаны
классы функций, к которым принадлежат входные возмущения.
Векторы выходных переменных xT t x t x t
n ( ) = ( ( ), , ( )) 1 размерности
n определяют состояние ОУ; в ряде случаев, x(t) — это фазовые ко-
ординаты ОУ.
Преобразование входных управлений и возмущений в выход-
ные переменные осуществляется в соответствии с уравнениями ОУ,
которые могут быть подразделены на статические и динамические.
В свою очередь, динамические ОУ подразделяются на ОУ с сосре-
доточенными параметрами, описываемые обыкновенными диф-
ференциальными уравнениями, и ОУ с распределёнными параме-
трами, которые описываются дифференциальными уравнениями
с частными производными. ОУ могут подразделяться на линейные
и нелинейные. На рис. 1.1.1 обозначение x(t ) = f (p(t ), u(t )) относит-
ся к статическому ОУ.
ССД — система сбора данных — обеспечивает промежуточное
накопление, хранение и предварительную цифровую обработку
многоканальной информации от ОУ. На вход системы ССД по-
ступает вектор переменных x(t). Выходом ССД являются дискрет-
ные векторы наблюдений y(Ti) фазовых координат, связанные
с переменными x(Ti) и помеховыми возмущениями w(Ti), которые
обусловливают погрешности. Наблюдения с выхода ССД могут
описываться следующей модельной зависимостью
y(Ti) = h(x(Ti), w(Ti)), i = 0, 1, 2, …
Вид модельной функции наблюдения h(⋅,⋅) определяется конструк-
цией ССД. В простейшем случае может быть
y(Ti) = x(Ti)+ w(Ti) , i = 0, 1, 2, …
СОИ — система обработки информации — обеспечивает на ос-
нове наблюдений от ССД y(Ti) решение задачи вычисления оценок
выходных переменных ОУ x°(Ti) и оценок параметрических функ-
ций p°(Ti). Указанная задача является, фактически, центральной
для ЦОС.
Общий случай структуры замкнутой системы ЦОС представ-
лен на блок-схеме рис. 1.1.2. Замкнутая система ЦОС отличается
от разомкнутой наличием составляющей СВУ — системы выработ-
ки управлений.
СВУ — осуществляет формирование необходимых управляю-
щих воздействий u(t) для ОУ и настроечных параметров v1(t), v2(t)
для ССД и СОИ.
Составляющие ССД и СОИ, помещённые в пунктирные прямо-
угольники (рис. 1.1.1 и рис. 1.1.2) являют собой основу систем ЦОС.
Реализация ЦОС производится с учётом характеристик ОУ и тре-
бований к информации для СВУ.
1.1.2. Математические модели ОУ
1. Решение задач ЦОС, в ряде случаев, сопряжено с необходи-
мостью построения для ОУ математических моделей, которые свя-
зывают функциональными зависимостями входные и выходные
переменные. Как правило, для ЦОС представляет интерес рассмо-
трение дискретных моделей ОУ.
Для статических ОУ зависимости между входными и выходны-
ми переменными определяются модельными нелинейными функ-
циями f f1 n (⋅,⋅), , (⋅,⋅) известного вида
xt f pt pt ut u t 1 1 1 q 1 m ( ) = ( ( ), , ( ), ( ), , ( )),
. . . (1.1.1)
xt f pt pt ut u t n n q m ( ) = ( ( ), , ( ), ( ), , ( )) 1 1 .
Выражение (1.1.1) может быть записано в векторной форме
x(t ) = f (p(t ), u(t )). ( 1.1.2)
При условии дифференцируемости функций из (1.1.1), (1.1.2)
допускается линеаризация ОУ. Для этого задаются значения век-
торов p0, u0, относительно которых производится линеаризация,
вычисляются x f p u 0 0 0 = ( , ), формируются векторы приращений
Δx(t ) = x − x(t ) 0 , Δp(t ) = p − p(t ) 0 , Δu(t ) = u −u(t ) 0 . Линеаризованные
формулы для статических ОУ (1.1.1) представятся в векторно-ма-
тричной форме
Δx(t ) = B Δp(t )+B Δu(t ) 1 2 ,
где матрицы B nq 1,( , ) и B nm 2,( , ) состоят из производных
Для ОУ при p0 = 0, u0 = 0 и x0 = 0 статические зависимости упроща-
ются
x(t ) = B p(t )+B u(t ) 1 2 . (1.1.3)
Нелинейные и линейные модели (1.1.2), (1.1.3) могут быть представ-
лены в дискретной форме, p(Ti), u(Ti) и x(Ti) — входные и выходные
переменные
x(Ti) = f (p(Ti), u(Ti)), x(Ti) = B p(Ti)+B u(Ti)) 1 2 , i = 0, 1, 2, …
2. Связь между векторами выходных переменных (фазовых ко-
ординат) x(t) и векторами возмущений и управляющих переменных
p(t), u(t) для динамических ОУ определяется дифференциальными
уравнениями.
Для динамических ОУ с сосредоточенными параметрами мо-
дельные обыкновенные дифференциальные уравнения представ-
ляются системой n-го порядка, где f f1 n (⋅,⋅,⋅),..., (⋅,⋅,⋅) — заданные
функции
x t f x t x t p t p t u t u t 1 1 1 n 1 q 1 m ( ) = ( ( ), , ( ), ( ), , ( ), ( ), , ( )),
. . . (1.1.4)
x t f x t x t p t p t u t u t n n n q m ( ) = ( ( ), , ( ), ( ), , ( ), ( ), , ( ) 1 1 1 ).
Интегрирование для (1.1.4) начинается в момент времени t0
из начального условия x(t0) и при заданных функциях p(t), u(t). Урав-
нения (1.1.4) могут быть заданы в векторной форме
x(t ) = f (x(t ), p(t ), u(t )).
Дифференциальные уравнения для линейных ОУ с перемен-
ными параметрами представляются векторно-матричным уравне-
нием
x(t ) = A(t )x(t )+B(t )u(t )), (1.1.5)
где A(t ) = A(p(t )), B(t ) = B(p(t )). Для случая постоянных матриц
формула (1.1.5) примет вид
x(t ) = Ax(t )+Bu(t ) . (1.1.6)
Для (1.1.6) матрицы A, B имеют размерности (n,n), (n,m).
3. Модели дискретных ОУ устанавливают связи между дискрет-
ными входными и выходными переменными. Рассматриваются
кусочно-постоянные управления u(Ti) и фазовые координаты x(Ti),
x (T(i +1)) для моментов времени Ti, T(i +1), i = 0, 1, … Для указан-
ных управлений и фазовых координат формируются уравнения ли-
нейных динамических ОУ(1.1.5), (1.1.6) в дискретной форме.
Формула Коши позволяет записать общее решение линейных
дифференциальных уравнений (1.1.5), (1.1.6)
см. уравнение в книге
где Φ(t) — фундаментальная матрица, соответствующая однород-
ной системе Φ (t ) = A(t )Φ(t ), причем Φ(t0) = E. Подстановкой можно
проверить, что указанная выше формула действительно даёт реше-
ние; в самом деле,
см. уравнение в книге (1.1.7)
Кроме этого, данное решение удовлетворяет начальным условиям
x(t ) (t )x Еx x 0 0 0 0 0 = Φ = = .
Далее рассмотрим случай постоянных матриц — ОУ (1.1.6), тог-
да Φ(t ) = eAt и (1.1.7) представится следующим образом
см. уравнение в книге (1.1.8)
Формула Коши позволяет от непрерывной системы (1.1.6) перейти
к дискретной. Будем полагать, что задаются дискретные момен-
ты времени Ti, i = 0, 1, 2, …; для интервала времени (Ti ≤ t ≤T(i +1))
управление является кусочно-постоянным и принимающим значе-
ние u(Ti), x(Ti) принимается в качестве начального условия. Форму-
ла Коши позволяет вычислить x (T(i +1)):
см. уравнение в книге (1.1.9)
Основываясь на (1.1.9), дискретные ОУ могут быть представле-
ны матрично-векторными рекуррентными уравнениями
x(T(i +1)) = Fx(Ti)+Gu(Ti), i = 0, 1, 2, … (1.1.10)
Для (1.1.10) матрицы F, G имеют размерности (n,n), (n,m).
Рассмотрим пример ОУ первого порядка, представляющий со-
бой апериодическое звено
x +ax = u(t ). (1.1.11)
Фундаментальная матрица, в данном случае размерности (1, 1),
имеет вид Φ(t ) = e−at ; тогда соотношение (1.1.8) представится следу-
ющим образом
см. уравнение в книге
После подстановки t =T(i +1) и интегрирования записывается вы-
ражение для уравнения дискретного ОУ, полученное на основе
(1.1.9) и связывающее выход системы x(T(i +1)) с начальным усло-
вием x(Ti) и кусочно-постоянным входным управлением u(Ti)
см. уравнение в книге (1.1.12)
Для представления ОУ первого порядка (1.1.11) в дискретной форме
(1.1.10) формируются матрицы F, G, которые с учётом (1.1.12) имеют
вид
см. уравнение в книге
.
1.1.3. Общие соотношения для СВУ
В соответствии с блок-схемой рис. 1.1.2 в СВУ формируются необ-
ходимые управления u(t) и настройки v1(t) и v2(t) на базе информа-
ции от СОИ-оценок фазовых координат x°(Ti) и оценок функций
параметров p°(Ti). В основном, СВУ реализуется в двух вариантах.
В первом варианте СВУ представляется в виде некоторого регу-
лятора, действие которого основывается на функциях известного
вида: см. уравнение в книге.
В этом случае управление для ИУС, осуществляемое СВУ,
является детерминированным.
Во втором варианте СВУ осуществляет выработку управлений
u(t), v1(t), v2(t) с использованием обобщенной оператор-машинной
системы, реализующей процедуры принятия решений. Управление
для ИУС, осуществляемое СВУ, в ряде случаев является случайным.
1.2. Системы сбора данных для цифровой обработки сигналов
1.2.1. Структурная схема ССД
Структура системы сбора данных (ССД) существенным образом
определяет возможности эффективного проведения ЦОС. ССД
включает в свой состав систему датчиков, усилителей, противома-
скировочных фильтров, электронный коммутатор, аналого-циф-
ровой преобразователь и устройство буферной памяти. На рис. 1.2.1
схематически изображается один из вариантов упрощенной струк-
туры ССД вместе с перечисленными составляющими. Эта струк-
тура соответствует многоканальному случаю, при котором число
информационных каналов совпадает с числом датчиков.
Цель данного параграфа состоит в рассмотрении основ устрой-
ства, функционирования и параметров составляющих ССД.
1.2.2. Датчики CCД, передаточные функции, АЧХ
и ФЧХ
1. Датчики ССД, являющиеся первичными информационными
преобразователями, придаются ОУ. На рис. 1.2.1 ОУ обозначается
в виде удлинённого прямоугольника и показывается система дат-
чиков в виде набора квадратов со стрелками. Назначение датчиков
состоит в преобразовании выходных переменных ОУ x(t) в элек-
трические сигналы V(t), в которых содержится информация об ОУ.
Здесь положим, что выход x(t) является входной переменной для
датчика.
Каждому датчику ставится в соответствие функция преобра-
зования, которая определённым образом связывает его входную
переменную x(t) и выходную переменную V(t). Функции преоб-
разования бывают двух видов. Для случая статических функций
преобразования связь между входными и выходными величинами
реализуется в виде нелинейных функциональных зависимостей.
Для случая динамических функций преобразования связь между
входными и выходными реализуется функциональными зависи-
мостями, которые базируются на дифференциальных уравнениях.
Как правило, точный вид функций преобразования почти всег-
да оказывается неизвестным или достаточно сложным; поэтому
в качестве функций преобразования могут выступать их модели,
приближённо описывающие связи между входными и выходными
переменными. Модели функций преобразования используются
для решения задач ЦОС.
2. Статическим функциям преобразования, которые связы-
вают входные x(t) и выходные V(t) переменные датчиков, в общем
случае ставятся в соответствие модельные нелинейные функции
известного вида
V (t ) =VП (x(t )). (1.2.1)
Функции VП ( ) ⋅ формируются на основе рассмотрения физики ра-
боты датчиков и учета особенностей их конструкций.
Для статических функций преобразования разработана целая
система модельных статических характеристик. Приведём некото-
рые примеры статических характеристик, которые достаточно ча-
сто встречаются в практике ЦОС.
Линейная модельная функция V xt V K xt П П П ( ( )) = + ( ) 0 является
простейшим примером статической характеристики; здесь параме-
тры VП0, КП имеют вполне очевидный физический смысл.
Нелинейная модельная функция V xt П ( ( )), изображённая
на графике рис. 1.2.2, представляет собой пример статической ха-
рактеристики с насыщением. Условие 0 ≤ x(t) ≤ xнс соответствует
рабочей области датчика, точка xнс определяет границу области
насыщения датчика. В нерабочей области насыщения видно, что
большим изменениям входной переменной x(t) соответствуют ма-
лые изменения выходной переменной V(t).
Нелинейная модельная функция V xt П ( ( )) (рис. 1.2.3) представ-
ляет собой пример статической характеристики с зоной нечувстви-
тельности. Диапазон −х ≤ x t ≤ x н н ( ) определяет зону нечувстви-
тельности, где V xt П ( ( )) = 0 ; условия x(t ) ≤ −xн , x(t ) ≥ xн определяют
рабочие области датчика, для которых V xt xt П ( ( )) = ( ) .
3. Функционирование многих типов датчиков в ряде случаев
не описывается с достаточной степенью точности статическими
характеристиками. Благодаря наличию инерционных частей, тре-
ния и других особенностей конструкций датчиков между входной
и выходной переменными могут иметь место зависимости более
сложного вида, чем статические. Достаточно часто, когда входная
переменная и выходная переменная являются функциями време-
ни, следует учитывать динамику датчиков.
Динамические функции преобразования для датчиков уста-
навливают связи между входами x(t) и выходами V(t) в виде соотно-
шений, основанных на модельных обыкновенных дифференциаль-
ных уравнениях, которые формируются с помощью рассмотрения
устройств и физики работы датчиков.
В практике ЦОС и инженерных приложений динамические
функции преобразования датчиков достаточно часто формируют-
ся на основе модельных линейных дифференциальных уравнений.
Апериодическим датчикам ставятся в соответствие динамиче-
ские функции преобразования, основанные на модельных линей-
ных дифференциальных уравнениях первого порядка
см. уравнение в книге (1.2.2)
где T — постоянная времени, обусловливающая его инерцион-
ность; k0 — коэффициент усиления.
Колебательным датчикам ставятся в соответствие динамиче-
ские функции преобразования, основанные на модельных линей-
ных дифференциальных уравнениях второго порядка
см. уравнение в книге (1.2.3)
Значения параметров β, ω0
2 и k0 определяют динамические свой-
ства датчиков; для β > 0 β2 ω
0
− 2 < 0 в (1.2.3) возникают затухающие
колебания.
Линейные датчики с динамическими функциями преобра-
зования описываются передаточными функциями, которые нахо-
дятся на основе вычисления преобразований Лапласа X(p), V(p) для
функций времени x(t), V(t)
Х (р) = х( )е− р d ,
∞
∫ τ τ τ
0
V (р) = V ( )е− р d ,
p — комплексный параметр. Передаточные функции H(p) для ли-
нейных динамических датчиков определяют связь между входом
и выходом при нулевых начальных условиях следующим образом:
V (p) = H(p)X (p).
Для датчиков с апериодическими и колебательными функциями
преобразования (1.2.2), (1.2.3) передаточные функции записывают-
ся в виде полиномов от переменной p
см. уравнение в книге
Выражения X(jω), V(jω), где p = jω, представляют собой преоб-
разования Фурье для функций времени x(t), V(t). Функция H(jω)
в этом случае определяет связь входов и выходов в частотной об-
ласти
V ( jω) = H( jω)X ( jω).
Функция H(jω) является комплексной функцией частоты, ко-
торую можно представить в экспоненциальном виде
H( jω) = H( jω) e jϕ(ω),
где H( jω) — амплитудно-частотная характеристика (АЧХ); ϕ(ω) —
фазочастотная характеристика (ФЧХ) для линейных динамиче-
ских датчиков. Функции АЧХ и ФЧХ позволяют определить ам-
плитудные и фазовые искажения в зависимости от частоты для
линейных динамических датчиков, когда эталонная входная пере-
менная изменяется по гармоническому (в данном случае по коси-
нусоидальному) закону x(t ) = X cosωt, для которого заданы X — ам-
плитуда; ω — частота. Общеизвестно, что выходная переменная V(t)
для линейного динамического датчика в установившемся режиме
в этом случае также будет изменяться по косинусоидальному за-
кону V (t ) =V cos(ωt + ϕ), где V — амплитуда выходной переменной;
ϕ — фазовый сдвиг между косинусоидальной входной и выходной
переменной.
С помощью функций АЧХ и ФЧХ H( jω) и ϕ(ω) можно оце-
нивать амплитудные и фазовые искажения, вносимые динамиче-
ским датчиком. Для заданной частоты ω амплитудное и фазовой
искажение V/X и ϕ между выходной и выходной переменными опре-
деляются известным образом:
V
X
= H( jω) , ϕ = ϕ(ω).
4. Рассмотрим более детально конструкцию и характеристики
одного из вариантов датчиков виброускорений. На рис. 1.2.4 пред-
ставлен схематический чертёж конструкции пьезоэлектрического
датчика виброускорений. Его действие основывается на использо-
вании прямого пьезоэффекта — свойства некоторых материалов
(пьезоэлектриков) генерировать электрический заряд под действи-
ем приложенной к ним механической силы. Инерционный элемент
3 прикреплён к верхней грани пьезоэлемента 2, а нижняя грань
пьезоэлемента прикреплена к корпусу 1, пружина 4 воздействует
на верхнюю поверхность инерционного элемента. При установке
датчика на исследуемом объекте эта система воспринимает его ви-
брацию. Выходом пьезоэлектрического датчика является напряже-
ние V(t), снимаемое с пьезоэлемента.
В простейшем случае работа пьезоакселерометра может
быть описана на основе статической функции преобразования.
Генерирование пьезоэлементом электрического заряда Q(t) произ-
водится в соответствии с соотношением Q t d F t ПЭ ( ) = ( ), где dПЭ — кон-
станта пьезоэлемента, F(t ) = ma(t ) — приложенная механическая
сила, а(t) — виброускорение, m — приведённая масса. Напряжение
V(t) с выхода пьезоакселерометра представляется формулой, где
C — приведенная ёмкость
см. уравнение в книге (1.2.4)
Выражение (1.2.4), с определёнными допущениями, может быть
принято в качестве модельной статической функции преобразова-
ния пьезоэлектрического датчика.
Если произвести учёт упругих свойств пружины и наличия
возможного демпфирования, то работа пьезоакселерометра может
быть описана на основе линейных дифференциальных уравнений
второго порядка, которые будут представлять собой модельную ди-
намическую функцию преобразования.
Упрощённая схема механической модели этого датчика приво-
дится на рис. 1.2.5. Дифференциальное уравнение для смещения
x(t) инерционного элемента под действием комплексной гармони-
ческой силы F(t ) = Fe jωt имеет вид
mx+cx + kx = Fe jωt ,
где m, c, k определяют параметры массы, коэффициент демпфи-
рования и коэффициент упругости. От данного уравнения можно
перейти к следующему дифференциальному уравнению
см. уравнение в книге
2 = k /m, ξ = c /2mω0. Положим, что установившееся решение
этого дифференциального уравнения представляется известной
формулой x(t ) = Xe jωt , где X — комплексная амплитуда. После под-
становки x = Xe jωt получим выражение для амплитуды
см. уравнение в книге (1.2.5).
С использованием (1.2.5) сформируем передаточную функцию
H0(jω), связывающую в частотной области амплитуду X с амплиту-
дой силы F
см. уравнение в книге (1.2.6)
Выделим в передаточной функции (1.2.6) действительную и мни-
мую часть
см. уравнение в книге
На основе формул для действительной и мнимой частей предста-
вим выражения для АЧХ H j 0( ω) и ФЧХ ϕ(ω) рассматриваемого
пьезоакселерометра
см. уравнение в книге.
Для гармонического случая, когда амплитуды V0 выходно-
го напряжения, смещения X0 и ускорения a0 и силы F0 связаны
соотношением V0 = k0X0, a0 = kaF0, передаточная функция пьезоаксе-
лерометра H(jω) для связи a(jω), V(jω) представляется следующим
образом
H j k H j d ( ω) = ( ω) 0 ,
где kd = k0/ka. На рис. 1.2.6а,б изображаются АЧХ и ФЧХ передаточ-
ной функции H(jω) для k0 = 1 и относительных частот w = ω/ω0. Ра-
бочий частотный диапазон w w 1 2 ≤ ω ≤ для таких датчиков соответ-
ствует почти плоскому участку АЧХ; при выборе рабочего диапазона
соотношением V0 = k0X0, a0 = kaF0, передаточная функция пьезоаксе-
лерометра H(jω) для связи a(jω), V(jω) представляется следующим
образом
H j k H j d ( ω) = ( ω) 0 ,
где kd = k0/ka. На рис. 1.2.6а,б изображаются АЧХ и ФЧХ передаточ-
ной функции H(jω) для k0 = 1 и относительных частот w = ω/ω0. Ра-
бочий частотный диапазон w w 1 2 ≤ ω ≤ для таких датчиков соответ-
ствует почти плоскому участку АЧХ; при выборе рабочего диапазона
фильтров их АЧХ в точке среза ωc должны иметь большую крутизну.
Вследствие чего, в рабочей полосе частот (0, ωc) коэффициент уси-
ления фильтра должен быть примерно равен 1, в высокочастотной
области (ω , ) c ∞ коэффициент усиления фильтра близок к нулю
H j ПМ( ω) 2 =1, 0 ≤ ω ≤ ωc ; H j ПМ( ω) 2 = 0 , ω ω c ≤ ≤∞.
Частота среза ωc аналогового фильтра обычно регулируется
в зависимости от полосы входного сигнала — его частотных свойств
и заданной частоты дискретизации. Видно, что линии с индексами
1 и 2 АЧХ на рис. 1.2.7 отличаются крутизной. Выход противома-
скировочного фильтра V2(t) является информационным сигналом,
который далее подвергается дискретизации.
3. Назначение электронного коммутатора (ЭК) для ССД
(рис. 1.2.1) состоит в реализации кратковременных подключений
к устройству дискретизации (аналого-цифровому преобразовате-
лю — АЦП) информационных каналов с частотой f T d =1/ , где T —
задаваемый интервал временной дискретизации. На вход ЭК по-
ступают аналоговые сигналы от противомаскировочных фильтров
V2i = (t), i = 1, …, n, n — число информационных каналов. На един-
ственном выходе ЭК формируется последовательность кусочно-по-
стоянных сигналов V V t ЭК ЭК = ( ), которая подаётся на АЦП. Пример
временной диаграммы работы ЭК для трёх каналов, на которые подаются напряжения V21(t), V22(t), V23(t), приведён на рис. 1.2.8.
С временным шагом дискретизации T происходит запоминание
на время Δtk (время коммутации) соответствующего кусочно-по-
стоянного напряжения, которое предназначено для подачи в АЦП.
Для работы электронного коммутатора должно выполняться соот-
ношение nΔt T к << .
Для некоторых задач ЦОС при многоканальном вводе высокоча-
стотных сигналов необходимо учитывать фазовые сдвиги, которые
вносятся ССД.
Следует отметить, что использование в ССД электронного ком-
мутатора не является обязательным; его применение диктуется
в ряде случаев требованием уменьшения аппаратурных затрат для
снижения числа микросхем АЦП или, например, для обеспечения
идентичности дискретизации по различным каналам. Вполне воз-
можно построение ССД без электронного коммутатора с использо-
ванием в каждом канале отдельных микросхем АЦП.
1.2.4. Аналого-цифровые преобразователи
Аналого-цифровые преобразователи (АЦП) осуществляют преоб-
разование последовательности кусочно-постоянных напряжений
от электронного коммутатора V V t ЭК ЭК = ( ) в последовательность цифровых кодов y0 = y0(Ti). Следует отметить существенные пара-
метры АЦП для формирования систем ЦОС: 1) tАЦП — время пре-
образования АЦП аналогового напряжения V2(t) в цифровой код;
очевидно, должно выполняться неравенство t tАЦП k < Δ ; 2) LA — чис-
ло разрядов цифрового кода АЦП (не считая знака); 3) VАЦП — диа-
пазон АЦП по входному напряжению; этот параметр стандартизу-
ется — чаще всего VАЦП =1 В, 5 В.
Последовательность y0(Ti) с выхода АЦП является дискретизо-
ванной по времени и по уровню. Благодаря дискретизации по вре-
мени из непрерывного информационного сигнала V2(t) с шагом T
формируется последовательность значений V2(Ti). Вследствие дис-
кретности по уровню сигнал V2(Ti) преобразуется с помощью функ-
ции преобразования АЦП FАЦП в последовательность целых чисел
y0(Ti)
y Ti F V Ti V L 0 АЦП 2 АЦП ( ) = ( ( ), , ).
На рис. 1.2.9 показан график рассматриваемой нелинейной
функции преобразования FАЦП для VАЦП = 5 В, LA = 4.
Из-за того, что во втором случае амплитуда синусоиды незна-
чительно превосходит величину VАЦП, преобразованный синусои-
дальный сигнал на выходе представляет собой двухуровневую по-
следовательность.