eng
Содержание
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ...................................................................................... 6
Введение ............................................................................................ 7
Часть 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ
ПОСТРОЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ ОЦЕНОК .............................. 8
1.1.
Методы построения статистических оценок .................................8
1.2.
Минимаксный подход ..................................................................10
1.3.
Байесовский подход......................................................................11
1.4.
Интегральный подход в процессе поиска
эффективных оценок ....................................................................12
1.5.
Понятие центрируемой оценки и ее определение .......................15
Выводы ..................................................................................................18
Часть 2
ПЛАН ИСПЫТАНИЙ С ОГРАНИЧЕННЫМ
ВРЕМЕНЕМ И ВОССТАНОВЛЕНИЕМ ..........................................20
2.1.
Доказательство эффективности смещенной
оценки средней наработки до отказа
на достаточно широком классе оценок .......................................20
2.2.
Построение центрируемой оценки средней
наработки до отказа ......................................................................23
2.3.
Получение эффективной оценки вероятности
безотказной работы ......................................................................26
2.4.
Получение эффективной оценки
гамма-процентной наработки ......................................................28
2.5.
Получение эффективной оценки остаточного
гамма-процентного ресурса .........................................................30
Выводы ..................................................................................................38
Часть 3
БИНОМИАЛЬНЫЙ ПЛАН ИСПЫТАНИЙ ...................................40
3.1.
Выбор эффективной оценки вероятности безотказной
работы для биномиального плана испытаний ............................40
3.2.
Построение точечной оценки вероятности безотказной
работы, заданной в неявном виде ................................................42
3.3.
Построение критерия выбора эффективной оценки
для вероятности отказа .................................................................43
3.4.
Преимущество составных оценок вероятности отказа
(вероятности безотказной работы)
для биномиального плана .............................................................45
3.5.
Улучшение эффективности центрируемой
оценки вероятности безотказной работы ....................................48
3.6.
Построение критерия получения эффективной оценки
средней наработки до отказа для биномиального плана ............53
3.7.
Выбор эффективных оценок средней наработки до отказа ........54
3.8.
Нахождение эффективной оценки гамма-процентной
наработки до отказа (ресурса, срока сохраняемости)
для биномиального плана .............................................................58
3.9.
Нахождение эффективной оценки остаточного
гамма-процентного ресурса для биномиального плана.
Прогнозирование остаточного ресурса по результатам
биномиальных испытаний, не давших отказов ...........................63
Выводы ..................................................................................................71
Часть 4
СОСТАВНАЯ БАЙЕСОВСКАЯ ОЦЕНКА ........................................73
4.1.
Формулировка составной байесовской оценки ..........................74
4.2.
Построение составной байесовской оценки
на примере априорного бета-распределения ..............................76
4.3.
Точечная составная оценка как альтернатива
байесовской оценки на примере априорного
бета-распределения ......................................................................79
Выводы ..................................................................................................80
Часть 5
ПЛАН ИСПЫТАНИЙ С ДОБАВЛЕНИЕМ .....................................82
5.1.
Формулировка плана испытаний с добавлением ........................82
5.2.
Построение оценок вероятности безотказной работы
для плана испытаний с добавлением ...........................................83
5.3.
Нахождение несмещенных оценок вероятности
безотказной работы ......................................................................87
5.4.
Построение центрируемой оценки вероятности
безотказной работы ......................................................................93
5.5.
Исследование оценок вероятности безотказной работы
для плана испытаний с добавлением ...........................................96
5.6.
Улучшение эффективности центрируемой оценки
вероятности отказа (вероятности безотказной работы)
для плана испытаний с добавлением .........................................100
5.7.
Построение эффективной оценки средней наработки
до отказа ......................................................................................104
Выводы ................................................................................................108
Часть 6
СОКРАЩЕНИЕ ОБЪЕМОВ ПРИ ПЛАНИРОВАНИИ
ИСПЫТАНИЙ БЕЗ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ОТКАЗОВ
ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ПЛАНОВ ........................................................109
6.1.
Сокращение объемов в случае оценки вероятности
безотказной работы при планировании испытаний
без возникновения отказов ........................................................112
6.2.
Сокращение объемов в случае оценки средней
наработки до отказа при планировании испытаний
без возникновения отказов ........................................................114
6.3.
Сокращение объемов в случае оценки
гамма-процентной наработка до отказа
при планировании испытаний без возникновения
отказов .........................................................................................116
Выводы ................................................................................................118
Заключение ..................................................................................... 120
Список сокращений и условных обозначений .................................121
Список литературы .............................................................................123
Приложение А. План испытаний с ограниченным временем и
восстановлением. Значения неявно заданной оценки .........129
Приложение Б. Биномиальный план испытаний.Значения
неявно заданной оценки ........................................................129
Приложение В. План испытаний с добавлением. Значения
односторонних доверительных границ ......................................131
Предисловие
Книга разделена на части, каждую из которых можно читать независимо от других. Тем не менее именно в такой последовательности, как расположены части и главы книги, следует ее изучать.
Настоящая книга не предназначена для беглого просмотра,а требует от читателя значительного внимания. Изложение материала требует от читателя знания основ математической статистики и классической теории надежности.
Книга может быть использована и для справок по эффективным оценкам показателей надежности различных планов испытаний.
Понимая, что книга не свободна от недостатков, авторы с признательностью примут замечания и предложения по улучшению содержания и формы изложения материала.
Введение
В математической статистике разработаны различные методы для построения точечных оценок параметров законов распределений вероятностей случайных величин: метод моментов, метод максимального правдоподобия и метод минимума расстояний [1, 2].
На практике, используя эти методы, не всегда удается построить несмещенную и эффективную оценку, если таковая существует.
В общем случае правила нахождения несмещенных оценок в настоящее время не существует, и их определение требует своего рода искусства. В ряде случаев найденные несмещенные и эффективные оценки имеют весьма громоздкий вид со сложным алгоритмом вычисления [3]. Они также не всегда являются достаточно эффективными в классе всех смещенных оценок, т. е. не всегда имеют значительное преимущество перед простыми, но смещенными оценками, с точки зрения близости к оцениваемому показателю.
Существующая проблема вполне решаема с помощью интегрального оценивания.
ЧАСТЬ 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
И МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ
СТАТИСТИЧЕСКИХ ОЦЕНОК
1.1. Методы построения статистических оценок
Для определенности, не нарушая общности рассуждений, будем
в основном рассматривать биномиальные испытания (план типа NБ) и испытания с ограниченным временем испытаний и восстановлением (план типа NВ), где N – число испытуемых однотипных изделий (N = n – число первоначально выставленных изделий); – наработка (одинаковая для каждого изделия); B – характеристика
плана, означающая, что работоспособность изделия после каждого отказа в течение срока испытаний восстанавливается; Б – характеристика плана, означающая, что работоспособность изделия после каждого отказа в течение срока испытаний не восстанавливается [4, 5]. При этом там, где это необходимо, будем считать, что на-
работка до отказа изделий подчиняется экспоненциальному закону распределений (далее з.р.) вероятностей случайных величин (далее – с.в.) с параметром T0, где последний совпадает со средней наработкой до отказа (СНДО). Тогда расчетное значение вероят-
ности безотказной работы (ВБР) одного изделия за заданное время
будет определяться равенством
см. уравнение в книге (1.1)
Заметим, что плану испытаний типа NВ соответствует распределение Пуассона [4, 5], а плану типа NБ соответствует биномиальное распределение [4, 5].
Обозначим случайное число отказов через R, тогда для плана испытаний типа NВ достаточной статистикой является число наблюденных отказов (R = r) [1–5]. Для плана испытаний типа NB случайная величина R, имеет пуассоновское распределение
L(R r; ) с параметром = N/T0 [1, 2]. Тогда, по определению, r – реализация с.в. R. С другой стороны, R – сумма с.в. Xi, каждая из которых есть случайное число отказов одного из N изделий (1 i N), поставленных на испытания. Случайные величины Xi
имеют пуассоновское распределение с параметром /N, а их сумма определяет пуассоновское распределение L(R r; ) суммарного потока отказов [1, 2]:
см. уравнение в книге (1.2).
Для биномиальных испытаний (план типа NБ) достаточной статистикой является число наб людаемых отказов (R = r) и суммарная наработка S (R = r, , si ) [1–5], где R – случайное число отказов, si – моменты отказов, i = 1, 2, …, r. Для биномиальных испытаний с.в. R, имеет биномиальное распределение bN(r) [2, ф. 1.4.55] с параметрами N и p, 0 p 1, т. е. с. в. R, равная числу успехов в серии из N независимых опытов, принимает целочисленные значения 0, 1, 2, …, N с вероятностями:
см. уравнение в книге (1.3).
Функция распределения FR (R r, N, p) биномиальной с.в. R примет вид
см. уравнение в книге (1.4).
Функция распределения FR(R r, N, p) вычисляется через не-
полную бета-функцию Ip(x, y) по формуле [2, ф. 1.4.57]:
см. уравнение в книге (1.5).
Вероятности bN (k) вычисляются через неполную бета-функцию Ip(x, y) по формуле [2, ф. 1.4.58]:
см. уравнение в книге (1.6).
Заметим, что традиционная оценка параметра p биномиального з.р. p(R, N) = R/N является несмещенной и эффективной оценкой [2, пример 2.4.20]. Оценка p также является и
оценкой максимального правдоподобия [2, пример 2.10.7].
Определим кратко наиболее часто встречающиеся критерии эффективности оценок [1, 2] и их отличия. В основе этих критериев лежит среднеквадратический подход сравнения оценок. Пусть T0 не является с.в. и принадлежит множеству значений T0 G. Для функции от параметра (T0) оценка 0(R) называется эффективнойоценкой в классе оценок 0 , есл и для любой другой оценки 0(R) из этого класса выполняется неравенство
см. неравенство в книге
где E – математическое ожидание, соответствующее з.р. числа отказов для параметра T0 G. То есть сравниваются две оценки, однаиз которых после их сравнения признается
эффективнее другой.
1.2. Минимаксный подход
Оценка называется минимаксной 0(R), если для любой другой оценки (R) неслучайного параметра t G выполняется неравенство [1, 2]:
см. в книге (1.7)
Из минимаксного подхода следует, что всегда найдется вариант, когда минимаксная оценка 0(R) является лучшей тольков ближайшем диапазоне t0 [t0 – , t0 + ] минимизации
самого худшего случая уклонения от оцениваемого параметра (t), который составляет небольшую долю рабочего диапазона t [t1, t2].
И, в то же время, уклонения минимаксной оценки 0(R) могут превышать уклонения других оценок (R) в более обширном рабочем диапазоне значений оцениваемого параметра t0 [t1, t2] (НЕ макси мального уклонения). Хотя уклонения этих оценок
(R) и превышают худший случай минимаксной оценки 0(R) в ближайшем диапазоне t0 [t0 – , t0 + ] (t0 [t1, t2]), но зато минимаксная оценка проигрывает в другом более обширном рабочем диапазоне, где ее уклонения превышают уклонения оценок (R),
и в этом диапазоне (НЕ максимального уклонения) минимаксная оценка 0(R) теряет свою эффективность.
1.3. Байесовский подход
Суть байесовского подхода состоит в том, что неизвестный (оцениваемый) параметр T0 (или функция от параметра (T0)) рассматривается как случайная величина с некоторой плотностью распределения q(t), где t – реализация с. в. T0 [1, 6]. Плотность q(t)
называется априорной, т. е. данной до эксперимента. Байесовский подход предполагает, что неизвестный параметр T0 был выбран случайным образом из распределения с плотностью q(t).
В соответствии с формулой Байеса плотность апостериорного
(после эксперимента) распределения имеет вид [1]
см. уравнение в книге (1.8),
где f (r) f (r)q(t)dt θ = ∫ .
Само апостериорное распределение параметра (T0) будем обозначать через QR. Тогда байесовская оценка, соответствующая априорному распределению Q с плотностью q(t), имеет вид
см. уравнение в книге (1.9).
В силу свойств условного математического ожидания байесовская оценка минимизирует среднеквадратическое уклонение E(Q (R) – (T0))2. Для сравнения байесовской оценки на множестве других оценок (R) выполняется неравенство
см. уравнение в книге (1.10).
Отметим еще раз, что для байесовской оценки безусловное среднеквадратическое уклонение (см. формулу (1.10))
см. уравнение в книге (1.11).
принимает наименьшее возможное значение. Соотношение (1.9) показывает, что байесовская оценка минимизирует среднее значение. Недостатком байесовского подхода является обязательное знание плотности априорного з.р. случайного параметра T0
(см. формулы (1.8)–(1.11)). С одной стороны, эти заложенные в правило предварительные знания несут в себе однократные финансовые издержки, а с другой – позволяют минимизировать объем испытаний [6], что в рамках стабильного производства дает
им конкурентные преимущества [6].
Отметим полезные связи между минимаксными и байесовскими оценками. Если существует оценка 1 и распределение Q такие, что при всех t выполняется неравенство
см. неравенство в книге
то оценка 1 – минимаксная [1]. В действительности всегда выполняется равенство, и в этом случае байесовская оценка является минимаксной [1].
Книга разделена на части, каждую из которых можно читать независимо от других. Тем не менее именно в такой последовательности, как расположены части и главы книги, следует ее изучать.
Настоящая книга не предназначена для беглого просмотра,а требует от читателя значительного внимания. Изложение материала требует от читателя знания основ математической статистики и классической теории надежности.
Книга может быть использована и для справок по эффективным оценкам показателей надежности различных планов испытаний.
Понимая, что книга не свободна от недостатков, авторы с признательностью примут замечания и предложения по улучшению содержания и формы изложения материала.
Введение
В математической статистике разработаны различные методы для построения точечных оценок параметров законов распределений вероятностей случайных величин: метод моментов, метод максимального правдоподобия и метод минимума расстояний [1, 2].
На практике, используя эти методы, не всегда удается построить несмещенную и эффективную оценку, если таковая существует.
В общем случае правила нахождения несмещенных оценок в настоящее время не существует, и их определение требует своего рода искусства. В ряде случаев найденные несмещенные и эффективные оценки имеют весьма громоздкий вид со сложным алгоритмом вычисления [3]. Они также не всегда являются достаточно эффективными в классе всех смещенных оценок, т. е. не всегда имеют значительное преимущество перед простыми, но смещенными оценками, с точки зрения близости к оцениваемому показателю.
Существующая проблема вполне решаема с помощью интегрального оценивания.
ЧАСТЬ 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
И МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ
СТАТИСТИЧЕСКИХ ОЦЕНОК
1.1. Методы построения статистических оценок
Для определенности, не нарушая общности рассуждений, будем
в основном рассматривать биномиальные испытания (план типа NБ) и испытания с ограниченным временем испытаний и восстановлением (план типа NВ), где N – число испытуемых однотипных изделий (N = n – число первоначально выставленных изделий); – наработка (одинаковая для каждого изделия); B – характеристика
плана, означающая, что работоспособность изделия после каждого отказа в течение срока испытаний восстанавливается; Б – характеристика плана, означающая, что работоспособность изделия после каждого отказа в течение срока испытаний не восстанавливается [4, 5]. При этом там, где это необходимо, будем считать, что на-
работка до отказа изделий подчиняется экспоненциальному закону распределений (далее з.р.) вероятностей случайных величин (далее – с.в.) с параметром T0, где последний совпадает со средней наработкой до отказа (СНДО). Тогда расчетное значение вероят-
ности безотказной работы (ВБР) одного изделия за заданное время
будет определяться равенством
см. уравнение в книге (1.1)
Заметим, что плану испытаний типа NВ соответствует распределение Пуассона [4, 5], а плану типа NБ соответствует биномиальное распределение [4, 5].
Обозначим случайное число отказов через R, тогда для плана испытаний типа NВ достаточной статистикой является число наблюденных отказов (R = r) [1–5]. Для плана испытаний типа NB случайная величина R, имеет пуассоновское распределение
L(R r; ) с параметром = N/T0 [1, 2]. Тогда, по определению, r – реализация с.в. R. С другой стороны, R – сумма с.в. Xi, каждая из которых есть случайное число отказов одного из N изделий (1 i N), поставленных на испытания. Случайные величины Xi
имеют пуассоновское распределение с параметром /N, а их сумма определяет пуассоновское распределение L(R r; ) суммарного потока отказов [1, 2]:
см. уравнение в книге (1.2).
Для биномиальных испытаний (план типа NБ) достаточной статистикой является число наб людаемых отказов (R = r) и суммарная наработка S (R = r, , si ) [1–5], где R – случайное число отказов, si – моменты отказов, i = 1, 2, …, r. Для биномиальных испытаний с.в. R, имеет биномиальное распределение bN(r) [2, ф. 1.4.55] с параметрами N и p, 0 p 1, т. е. с. в. R, равная числу успехов в серии из N независимых опытов, принимает целочисленные значения 0, 1, 2, …, N с вероятностями:
см. уравнение в книге (1.3).
Функция распределения FR (R r, N, p) биномиальной с.в. R примет вид
см. уравнение в книге (1.4).
Функция распределения FR(R r, N, p) вычисляется через не-
полную бета-функцию Ip(x, y) по формуле [2, ф. 1.4.57]:
см. уравнение в книге (1.5).
Вероятности bN (k) вычисляются через неполную бета-функцию Ip(x, y) по формуле [2, ф. 1.4.58]:
см. уравнение в книге (1.6).
Заметим, что традиционная оценка параметра p биномиального з.р. p(R, N) = R/N является несмещенной и эффективной оценкой [2, пример 2.4.20]. Оценка p также является и
оценкой максимального правдоподобия [2, пример 2.10.7].
Определим кратко наиболее часто встречающиеся критерии эффективности оценок [1, 2] и их отличия. В основе этих критериев лежит среднеквадратический подход сравнения оценок. Пусть T0 не является с.в. и принадлежит множеству значений T0 G. Для функции от параметра (T0) оценка 0(R) называется эффективнойоценкой в классе оценок 0 , есл и для любой другой оценки 0(R) из этого класса выполняется неравенство
см. неравенство в книге
где E – математическое ожидание, соответствующее з.р. числа отказов для параметра T0 G. То есть сравниваются две оценки, однаиз которых после их сравнения признается
эффективнее другой.
1.2. Минимаксный подход
Оценка называется минимаксной 0(R), если для любой другой оценки (R) неслучайного параметра t G выполняется неравенство [1, 2]:
см. в книге (1.7)
Из минимаксного подхода следует, что всегда найдется вариант, когда минимаксная оценка 0(R) является лучшей тольков ближайшем диапазоне t0 [t0 – , t0 + ] минимизации
самого худшего случая уклонения от оцениваемого параметра (t), который составляет небольшую долю рабочего диапазона t [t1, t2].
И, в то же время, уклонения минимаксной оценки 0(R) могут превышать уклонения других оценок (R) в более обширном рабочем диапазоне значений оцениваемого параметра t0 [t1, t2] (НЕ макси мального уклонения). Хотя уклонения этих оценок
(R) и превышают худший случай минимаксной оценки 0(R) в ближайшем диапазоне t0 [t0 – , t0 + ] (t0 [t1, t2]), но зато минимаксная оценка проигрывает в другом более обширном рабочем диапазоне, где ее уклонения превышают уклонения оценок (R),
и в этом диапазоне (НЕ максимального уклонения) минимаксная оценка 0(R) теряет свою эффективность.
1.3. Байесовский подход
Суть байесовского подхода состоит в том, что неизвестный (оцениваемый) параметр T0 (или функция от параметра (T0)) рассматривается как случайная величина с некоторой плотностью распределения q(t), где t – реализация с. в. T0 [1, 6]. Плотность q(t)
называется априорной, т. е. данной до эксперимента. Байесовский подход предполагает, что неизвестный параметр T0 был выбран случайным образом из распределения с плотностью q(t).
В соответствии с формулой Байеса плотность апостериорного
(после эксперимента) распределения имеет вид [1]
см. уравнение в книге (1.8),
где f (r) f (r)q(t)dt θ = ∫ .
Само апостериорное распределение параметра (T0) будем обозначать через QR. Тогда байесовская оценка, соответствующая априорному распределению Q с плотностью q(t), имеет вид
см. уравнение в книге (1.9).
В силу свойств условного математического ожидания байесовская оценка минимизирует среднеквадратическое уклонение E(Q (R) – (T0))2. Для сравнения байесовской оценки на множестве других оценок (R) выполняется неравенство
см. уравнение в книге (1.10).
Отметим еще раз, что для байесовской оценки безусловное среднеквадратическое уклонение (см. формулу (1.10))
см. уравнение в книге (1.11).
принимает наименьшее возможное значение. Соотношение (1.9) показывает, что байесовская оценка минимизирует среднее значение. Недостатком байесовского подхода является обязательное знание плотности априорного з.р. случайного параметра T0
(см. формулы (1.8)–(1.11)). С одной стороны, эти заложенные в правило предварительные знания несут в себе однократные финансовые издержки, а с другой – позволяют минимизировать объем испытаний [6], что в рамках стабильного производства дает
им конкурентные преимущества [6].
Отметим полезные связи между минимаксными и байесовскими оценками. Если существует оценка 1 и распределение Q такие, что при всех t выполняется неравенство
см. неравенство в книге
то оценка 1 – минимаксная [1]. В действительности всегда выполняется равенство, и в этом случае байесовская оценка является минимаксной [1].