eng
Содержание
Введение ............................................................................................... 4
ГЛАВА 1. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ ................................................... 11
1.1.
Особенности применения численных методов ........................... 11
1.2.
Численное интегрирование уравнений первого порядка ........... 18
1.3.
Численное интегрирование уравнений второго порядка ........... 34
ГЛАВА 2. РЕАЛИЗАЦИЯ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ
НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ ................................................... 59
2.1.
Решение уравнений первого порядка .......................................... 63
2.2.
Решение уравнений второго порядка .......................................... 84
2.3.
Моделирование систем с n степенями свободы .......................... 100
ГЛАВА 3. ТЕСТИРОВАНИЕ ПРОГРАММ .................................................... 132
3.1.
Интегрирование уравнений первого порядка ............................. 136
3.2.
Интегрирование уравнений второго порядка ............................. 149
3.3.
Интегрирование уравнений второго порядка с применением
методов интегрирования уравнений первого порядка ................ 159
3.4.
Интегрирование уравнений второго порядка с применением
неявных методов ........................................................................... 177
Заключительные замечания ................................................................. 184
Литература ............................................................................................ 186
Введение
Численные методы решения нестационарных задач широко использу-
ются в различных областях науки и техники [1, 4, 13, 15, 16, 17, 23 и др.].
Они востребованы в транспорте и медицине, геологии и биологии, хи-
мии и физике и др. Хотя многие варианты численных методов разрабо-
таны еще в прошлом веке, вопросы их развития и практического ис-
пользования по-прежнему остаются актуальными.
В историческом плане можно отметить следующее. До первой поло-
вины XX века применение процедур численного интегрирования диф-
ференциальных уравнений по времени с начальными условиями (задача
Коши) было весьма ограниченным по объективным причинам: отсут-
ствовала требуемая вычислительная техника, а ручной счет не позволял
решать сколь-либо трудоемкие задачи. Внедрение механических и элек-
тромеханических арифмометров стало первым шагом на пути практиче-
ского использования численных методов. Появление цифровых элек-
тронных вычислительных машин (ЭВМ), вначале ламповых, затем
транзисторных, изменило ситуацию. Несмотря на весьма скромные
по современным меркам возможности, эти ЭВМ обеспечили решение
множества практически важных задач, создали основу для развития
и более широкого внедрения численных методов. Ограниченные ресур-
сы ЭВМ тех лет привели к развитию алгоритмов, не требующих хране-
ния больших объемов данных, формирования и обработки больших си-
стем уравнений и больших вычислительных затрат. Распространение
получили методы, основанные на рассмотрении нестационарных явле-
ний в частотной области в линейном приближении, применении прие-
мов редуцирования систем уравнений, использования разложения
решения
по собственным формам и частотам колебаний. При этом про-
должались работы и по совершенствованию альтернативных вариан-
тов — существенно более затратных в вычислительном плане прямых
методов решения непосредственно во временной области шагами
по времени, хотя они имели ограниченное применение ввиду недостаточной производительности ЭВМ для решения сложных задач механики
жидкости и газа, механики деформируемого твердого тела и др.
Решение во временной области имеет ряд преимуществ. Оно позво-
ляет проводить численные исследования нестационарных процессов
различной природы. Отсутствие жестких ограничений, связанных
с применением гипотезы гармоничности колебаний и применением
принципа суперпозиции, создает возможности для более точного и под-
робного моделирования сложных явлений с учетом влияния разнообразных
факторов. При этом сравнительно просто осуществляется ре-
шение в нелинейной постановке. Универсальность и удобство анализа
результатов делают эти методы привлекательными при рассмотрении
многопараметрических задач. В частности, однотипными методами мо-
гут быть решены задачи механики движения систем твердых тел, неста-
ционарного нагружения конструкций и механизмов с учетом податливо-
сти их элементов, задачи динамики процессов регулирования сложных
объектов средствами автоматического управления, моделирования раз-
нообразных течений, технологических процессов, процессов горения,
полимеризации, релаксации напряжений и др.
Основным ограничением пошаговых процедур решения непосред-
ственно во временной области (методов прямого интегрирования) явля-
ется большая трудоемкость моделирования нестационарных процессов
на длительных интервалах времени с большим количеством выполняе-
мых шагов по времени. Имеются сложности в обеспечении точности
и устойчивости вычислений в случаях рассмотрения процессов нагруже-
ния конструкций с низким уровнем собственного демпфирования, ис-
следования поведения систем вблизи границ их устойчивости. Следует
заметить, что перечисленные трудности сравнительно легко могут быть
преодолены в случае использования способов решения в частотной об-
ласти. У каждого подхода имеются свои преимущества и свои недостат-
ки [16].
Развитие вычислительной техники, повышение скорости обработки
информации, увеличение объемов располагаемой памяти ЭВМ позво-
лили реализовать преимущества пошаговых методов моделирования
разнообразных переходных процессов. Этим в основном и обусловлен
прогресс в развитии численных методов прямого интегрирования
во временной области. Внедрение многопроцессорных ЭВМ, парал-
лельных вычислений также способствовало дальнейшему распростра-
нению этих подходов.
Вопросы численного интегрирования решения по времени рассмо-
трены во многих публикациях. Некоторые из них представлены в списке
литературы [1, 4, 13 и др.]. Практически в каждой книге по численным
методам обсуждаются методы Эйлера, Рунге — Кутты и др. Но склады-
вается парадоксальная ситуация. Развитие ЭВМ и программного обе-
спечения (ПО) открыло широкие возможности для создания и совер-
шенствования приемов моделирования разнообразных нестационарных
явлений. Программисты прошлых поколений о таких ресурсах даже
и мечтать не могли. Но, вопреки ожиданиям, не все эти возможности
удалось реализовать. Достигнутые успехи в развитии ПО привели к то-
му, что количество программ собственной разработки в последние годы
многократно сократилось. Их потеснили универсальные, многофунк-
циональные и хорошо оформленные коммерческие комплексы про-
грамм. Большой объем знаний о численных методах, полученный в про-
шлые десятилетия и опубликованный во множестве книг и статей, ока-
зался не востребован современными пользователями коммерческих
программ. Обеспечение подробной справочной информацией, система-
ми подсказок, внедрение диалоговых режимов, расширение графиче-
ских средств обработки входных и выходных данных изменили требова-
ния к квалификации типичного пользователя коммерческого ПО. Он,
в отличие от расчетчиков прошлых лет, сам не выводил формулы, не из-
учал численные методы, не писал реализующие программы, не прово-
дил их отладку и тестирование. Все это осталось в прошлом. В лучшем
случае он приобрел опыт применения готовых модулей из MATLAB,
IMSL и т.п. Пользователю коммерческой программы теперь не требуют-
ся глубокие знания для выполнения расчетов. Достаточно иметь навыки
работы в настройках программы, в меню, в системе подсказок. При про-
ведении расчетов внимание уделяется лишь вопросам правильного зада-
ния формата исходных данных в соответствии с инструкцией. Другие
вопросы, в том числе особенности поставленной задачи, свойства решаемых уравнений, возможности численного метода и ПО, отодвинуты
на второй план. У многих сформировалась твердая уверенность, что ку-
пленные программы всегда дают правильные результаты.
Часто пользователь даже не представляет, каким образом работает
программа и как получено решение. Это его не интересует. Считается,
что «не нужно забивать голову лишними знаниями». Более того, форми-
руется мнение, что в современном мире знания человеку и не требуют-
ся. На все вопросы можно в течение секунды получить ответ, просто за-
глянув в экран телефона или компьютера. Добытая таким образом ин-
формация не обсуждается и не анализируется. Кто дал ответ? Кто
гарантирует его правильность? Имеет ли он вообще какое-то отношение
к заданному вопросу?
Разработчики коммерческих программ не могут заранее предугадать
все особенности конкретной задачи. Создавая инструкции, они ориен-
тируются на типовые задачи и на среднестатистического потребителя
своих услуг с определенным уровнем подготовки. Если задача сложна,
а подготовка недостаточна, то могут возникать непрогнозируемые ситу-
ации: выбираются неверные настройки программ, неверные расчетные
соотношения для моделирования рассматриваемых явлений, не уделя-
ется должное внимание сходимости и устойчивости решения, в том чис-
ле при проведении длительных и сложных расчетов. При этом затрачи-
ваются большие ресурсы времени и средств. Может оказаться, что чис-
ленное решение получено, но оно не соответствует действительности,
а пользователь программы даже не догадывается о наличии ошибок
в расчетах и необходимости их устранения. Все это усугубляется наличи-
ем «эффективных менеджеров» с гуманитарным образованием, которые
принимают подобную работу.
Принято с ностальгией вспоминать прошлые времена. Но воспоми-
нания о порванных перфолентах, замятых перфокартах, о сбоях диско-
водов и лентопротяжных механизмов, «зависаниях» и перегреве ЭВМ,
грохочущих АЦПУ и рулонах распечаток вызывают негативные эмоции.
Другое дело — люди. Программисты первого поколения писали про-
граммы в машинных кодах. Они понимали задачу, знали численные ме-
тоды, знали особенности работы ЭВМ. По лампочкам индикаторов на панели ЭВМ могли определить место выполнения или «зависания»
программы. При написании программ экономились каждый байт, ка-
ждая операция, активно использовалась внешняя память на дисках, ба-
рабанах и лентах. Программисты второго поколения использовали язы-
ки высокого уровня. Им уже не требовались знания о регистрах, ячейках
памяти и т.п. Они понимали задачу, численные методы и помнили
об ограничениях ЭВМ. Третье поколение не склонно писать собствен-
ные программы. Программированием они называют процесс сборки
программ из готовых модулей. Как работают эти модули, что они собой
представляют, их не интересует. О решаемой задаче помнят, о распола-
гаемых ресурсах ЭВМ иногда вспоминают, хотя об этом особо и не забо-
тятся. Внешнюю память используют лишь для хранения данных и ре-
зультатов расчета. Теперь проще купить новый, более мощный компью-
тер, чем дорабатывать и оптимизировать старую программу. Следующее
поколение ориентировано на «искусственный интеллект». О поставлен-
ной задаче еще помнят. Как работает ЭВМ, как получено решение —
не представляют. Если результаты чему-то соответствуют, то радуются
успехам. Если ничему не соответствуют, то говорят: «Сами удивляемся!
Машина так сосчитала». Определить причину появления странного ре-
зультата удается не всегда. Такое развитие событий не вызывает опти-
мизма.
Чуть более полувека потребовалось для того, чтобы совершился пе-
реход от единичных и очень дорогих экземпляров громоздких, потребляющих
сотни киловатт электроэнергии, весьма ненадежных ЭВМ,
способных выполнять всего лишь сотни операций в секунду и требую-
щих большого количества обслуживающего персонала, к современным
ЭВМ, которые годами могут работать без единого сбоя и всякого обслу-
живания. Они занимают мало места, имеют малое энергопотребление,
выпускаются в огромных количествах. Их стоимость на много порядков
ниже, а вычислительные возможности (скорость выполнения операций
и ресурсы памяти) на много порядков выше, чем у ЭВМ прошлых поко-
лений. Все это способствовало повсеместному внедрению вычислитель-
ной техники и компьютерных технологий в самые различные сферы де-
ятельности.
Но количество не везде перешло в качество. Массовое использова-
ние вычислительной техники не привело к столь же впечатляющим
успехам в решении технических и научных задач. В частности, внедре-
ние компьютерных технологий не сопровождается радикальным улуч-
шением характеристик летательных аппаратов или снижением сроков
и стоимости их проектирования. Одной из причин тому является потеря
былого интереса к традиционным численным методам. Многие специа-
листы переключились на решение совсем других задач: разработку ком-
пьютерных игр, сетевых приложений, приложений для телефонов, си-
стем распознавания, систем мобильной связи, банковских приложений,
программ для робототехнических устройств, «умных домов» и т.п. Реше-
ние этих задач требует совсем других подходов, алгоритмов и техноло-
гий. Разработчики компьютерных игр не сильно озабочены выполнени-
ем законов физики в создаваемых ими виртуальных мирах. Технические
специалисты, напротив, обязаны обеспечить высокую точность модели-
рования реальных процессов. Поэтому научные и прикладные исследо-
вания не могут обходиться без традиционных численных методов, кото-
рые изначально ориентированы на обеспечение точности и надежности
результатов.
В течение короткого времени произошли большие изменения, кото-
рых мало кто мог предугадать. В частности, результатом развития инду-
стрии развлечений стало появление игроманов, сете- и телефонозависи-
мых людей; результатом внедрения компьютерных систем управления
стали аварии и катастрофы, вызванные неверной работой программ при
полной исправности самолета, корабля или автомобиля. Компьютерные
вирусы нарушают работу банков, заводов и электростанций с нанесени-
ем огромного материального ущерба. Насколько полезны или вредны
подобные новшества, оправданы ли новые риски — это большой вопрос.
Развитие компьютерных технологий продолжается. Программное
обеспечение адаптируется к новым реалиям. Приемы последовательно-
го «наращивания» старых версий программ позволяют сравнительно
просто создавать многофункциональные и весьма сложные программы.
Однако существуют ограничения, связанные с особенностями базовых
версий программ. Поэтому важно периодически возвращаться к теоретическим основам, проводить ревизию используемых алгоритмов, оце-
нивать эффективность работы всех участков программ, вносить необхо-
димые изменения, чтобы модернизируемое ПО могло соответствовать
новым требованиям.
В книге сделана попытка вернуть интерес читателя к традиционным
численным методам, в частности методам моделирования нестационар-
ных явлений. Эти методы были и остаются актуальными и имеют боль-
шое практическое значение. Они служат основой для создания ПО,
предназначенного для выполнения расчетов и проектирования кораблей,
самолетов, космических аппаратов и других всевозможных кон-
струкций и механизмов.
В одной публикации невозможно охватить все стороны поднятой те-
мы. Такая задача не ставится. В книге обсуждаются вопросы интегриро-
вания по времени уравнений, описывающих нестационарные процессы.
Проблемы, связанные с выбором теоретических соотношений, форми-
рования самих уравнений, решения систем линейных алгебраических
уравнений (СЛАУ) и т.п., не рассматриваются. Они обсуждаются в от-
дельных, специализированных публикациях. Некоторые из них приве-
дены в списке литературы. В книге представлены наиболее востребо-
ванные варианты численных методов интегрирования уравнений пер-
вого и второго порядков, показаны примеры реализующих программ,
примеры тестирования этих программ. С целью обеспечения удобства
чтения материал изложен в простой и доступной форме. Это не только
позволяет получить общие представления о свойствах численных мето-
дов решения дифференциальных уравнений, но и дает возможность чи-
тателю разного уровня подготовки самому разобраться в особенностях
их применения, осознанно сделать выбор метода, соответствующего ре-
шаемой задаче, самостоятельно написать реализующую программу,
провести ее тестирование, получить собственный опыт решения неста-
ционарных задач. Этот материал может представлять интерес как для
разработчиков численных методов, так и для обычных пользователей
коммерческих программ и студентов технических вузов. В конце книги
приведен краткий список публикаций, в которых представлена допол-
нительная информация по затрагиваемым вопросам.
ГЛАВА 1
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ
1.1. Особенности применения численных
методов
В книге рассматривается группа численных методов, основанных
на последовательном, пошаговом моделировании нестационарных яв-
лений во временной области. Такие численные методы (методы прямо-
го интегрирования) не требуют выполнения предварительных преобра-
зований исходных уравнений, описывающих динамику процесса. В от-
личие от численных методов решения в частотной области, они
обладают существенно более широкими возможностями моделирова-
ния рассматриваемых нестационарных явлений, с подробным учетом
всевозможных деталей и различного рода особенностей. Это обуслов-
лено применением локальных функций для аппроксимации законов
изменений параметров задачи в малой окрестности решения на каждом
шаге по времени. Но помимо преимуществ, имеются и определенные
ограничения.
При численной реализации пошаговых методов моделирования не-
стационарных процессов следует учитывать ряд факторов, влияющих
на точность, сходимость и устойчивость решения.
Выбор величины шага по времени
Методы решения нестационарных задач во временной области предпо-
лагают рассмотрение процессов в последовательные моменты времени
с использованием сравнительно небольших шагов по времени Δτ. Счи-
тается, что искомые параметры плавно меняются в пределах этого шага.
Это позволяет принимать простые законы их изменения в малой окрест-
ности решения. Обычно используются локальные полиномы невысоко-
го порядка. Существуют способы, в которых время является дополни-
тельным измерением (четвертым, если решается трехмерная задача).
Ввиду высоких требований к ресурсам ЭВМ, связанных с необходимо-
стью решения задач очень большой размерности и наличием ряда дру-
гих ограничений, такие подходы не получили большого распростране-
ния. Более успешными и экономичными оказались подходы, в которых
решение последовательно формируется от предыдущего шага по време-
ни к последующему. В начале расчета на первом шаге по времени ис-
пользуются задаваемые начальные условия. Если решение имеет разры-
вы, то оно рассматривается по отдельным гладким участкам, состыко-
ванным между собой с учетом величин разрывов. В другом варианте
разрыв моделируется коротким гладким участком с использованием до-
полнительного демпфирования решения и уменьшенного шага по вре-
мени.
Рассматриваемые методы имеют ограничения на величину шага
по времени Δτ. Эти ограничения связаны как с физикой моделируемого
процесса, так и с требованиями обеспечения устойчивости применяе-
мых вычислительных процедур.
Ограничения, связанные с характерным временем
моделируемого процесса
При рассмотрении переходных режимов нагружения величина шага
по времени Δτ ограничена характерным временем моделируемого про-
цесса T:
Δτmax ≤ (0.1÷0.05)T. (1)
Эта оценка обусловлена использованием конечно-разностных ап-
проксимаций при численном решении задач. В этом случае реальные
зависимости изменения параметров по времени заменяются отрезками
парабол невысокого порядка. При увеличении шага Δτ точность такой
аппроксимации падает, получаемое решение искажается. При излишне
большом шаге Δτ результаты вычислений перестают соответствовать
действительности. Если сами параметры задачи (инерционные,
жесткостные коэффициенты и др.) изменяются по времени, то чаще
всего требуется дополнительное уменьшение величины шага Δτ для обе-
спечения желаемой точности решения.
Величина характерного времени процесса T в большинстве случаев
определяется исходя из заданных условий решаемой задачи. Это может
быть длительность воздействия возмущающей нагрузки, длительность
ее изменения по времени, по направлению, месту приложения; дли-
тельность периода колебаний упругой конструкции высшего учитывае-
мого тона и т.п. При этом характерное время T предварительно оцени-
вается по приближенным зависимостям. Если выбирать достаточно
малое значение величины шага по времени Δτ = 0.05Δτmax и менее, по-
грешности, связанные с неточностями в определении характерного
времени T, мало влияют на получаемые результаты. При необходимо-
сти можно повторить расчет с уменьшенным (обычно вдвое) шагом
по времени с целью проверки устойчивости и точности вычислений.
В случае значительного расхождения полученных результатов шаг Δτ
вновь уменьшается, и проводятся повторные вычисления. При этом
предполагается, что с уменьшением шага Δτ результаты численного
расчета сходятся к точному решению. Эти рассуждения связаны с по-
вышением точности аппроксимации полиномами гладкой функции
при уменьшении шага Δτ. Заметим, что подобные теоретические оцен-
ки не учитывают наличие погрешностей округления, которые могут
оказаться значительными при выборе слишком малого шага Δτ, в слу-
чаях использования аппроксимирующих полиномов высокого порядка,
при решении систем уравнений с большим количеством неизвестных
и т.п. Нередки ситуации, когда с уменьшением шага Δτ решение внача-
ле уточняется, а при дальнейшем уменьшении точность ухудшается
в связи с ростом влияния ошибок округления при выполнении большо-
го объема вычислений в ЭВМ. Не все факторы вычислительного про-
цесса поддаются правильному учету. Поэтому приближенные теорети-
ческие оценки точности и устойчивости метода следует использовать
с осторожностью.
Ограничения, связанные со свойствами
численного метода
Величина шага по времени Δτ ограничена возможностями применяемо-
го численного метода. В этой связи следует упомянуть, что если исполь-
зуется неявная схема, то жесткие ограничения на максимальную величи-
ну шага по времени теоретически могут отсутствовать, в отличие от яв-
ных схем. Однако и при использовании неявной схемы имеются свои
ограничения на шаг Δτ. Эти ограничения связаны с ошибками округле-
ния и конечностью представления мантиссы числа в ЭВМ.
При выборе очень мелкого шага Δτ в случае использования неявной
схемы элементы матрицы инерционных коэффициентов становятся
слишком большими величинами по сравнению с элементами жесткост-
ной матрицы, что ведет к заметному накоплению ошибок округления
и потере точности вычислений. В таких ситуациях целесообразен пере-
ход к явным методам, которые становятся менее трудоемкими при выбо-
ре очень малых значений шага по времени Δτ. Обычно такие ситуации
возникают при моделировании удара, моделировании других, крат-
ковременных, быстропротекающих процессов. И наоборот, при боль-
ших шагах Δτ, когда рассматриваются процессы с характерным време-
нем, сравнимым с периодами низших тонов собственных колебаний
конструкции, целесообразно применение неявных методов.
При использовании явных методов максимальная величина шага
по времени обусловлена устойчивостью процесса вычислений. Она обе-
спечивается, если шаг Δτ меньше, чем оценка вида
Δτmax ≤ 2/ωmax, (2)
где ωmax — наивысшая собственная частота моделируемой системы (на-
пример, высшая частота собственных колебаний наименьшего из ко-
нечных элементов, используемых при расчете конструкции МКЭ).
У различных вариантов явных методов числитель в формуле (2) может
принимать другие, несколько более или менее высокие значения, на-
пример: 0.3, …, 6, но эти отличия не являются принципиальными. В ре-
альных вычислениях нередко используется шаг по времени, который
на порядок меньше, чем (2). В любом случае явный метод для обеспечения точности и устойчивости вычислений требует использования очень
малой величины шага по времени Δτ. Соответственно, возникает необ-
ходимость выполнения очень большого количества таких шагов для мо-
делирования поведения системы на достаточно длительном интервале
времени. Его применение оправдывают простота реализации и малая
трудоемкость вычислений на каждом шаге по времени в сравнении с не-
явными методами.
В задачах, связанных с расчетами сжимаемых течений, для обеспе-
чения устойчивости вычислений требуется выполнение условий Куран-
та — Фридрихса — Леви вида Δl/Δτ ≥ V + a, где Δl — минимальный шаг
пространственной сетки в расчетной области, V — местная скорость по-
тока, a — местная скорость звука. Или, в другом виде, ставится требова-
ние, что число Куранта C = (V + a)Δτ/Δl ≤ 1. Это означает, что область
зависимостей разностных уравнений должна включать в себя область
зависимостей решаемых дифференциальных уравнений. Скорость рас-
пространения информации в моделируемой непрерывной среде
не должна превышать скорость распространения информации исполь-
зуемого численного метода. За один шаг по времени Δτ звуковая (удар-
ная) волна не должна выходить за границу расчетной ячейки. Таким об-
разом, чем меньше размеры ячеек расчетной области течения, тем мень-
ше должен быть задаваемый шаг по времени Δτ [45—49].
Сдвиг по времени
При решении задачи во временной области могут накапливаться ошиб-
ки не только в получаемых амплитудах колебаний, но и в фазах колеба-
ний. Может возникать сдвиг параметров по времени. Во многих случаях
эти ошибки не столь важны, и особое внимание им не уделяется. Однако
существуют задачи, в которых требуется правильно учитывать сдвиг фаз
между нагрузкой и перемещениями, входным и выходным сигналами
системы регулирования, при анализе устойчивости системы управления
и др. В этих ситуациях целесообразно осуществлять дополнительный
контроль и коррекцию решения, использовать один и тот же шаг по вре-
мени, один и тот же метод решения связанных задач. При наличии
достаточных
вычислительных ресурсов возможно рассмотрение объединенной системы уравнений суммарной размерности (например, со-
вместное решение задач аэродинамики и прочности). Однако в послед-
нем случае существенно увеличивается трудоемкость, усложняется алго-
ритм решения и реализующее его программное обеспечение.
Выбор расчетного интервала времени
Выбор расчетного интервала времени является важным звеном подготов-
ки исходных данных. Он должен быть по возможности небольшим, так как
трудоемкость решения напрямую связана с величиной этого интервала.
С увеличением интервала времени почти пропорционально растут вычис-
лительные затраты, поэтому существует тенденция к его сокращению. Од-
нако это сокращение не может быть осуществлено произвольным образом.
Интервал времени ограничен реальной длительностью моделируемых
процессов. Слишком короткий интервал не позволяет в должной мере изу-
чить поведение конструкции. В частности, при моделировании удара рас-
сматриваемый интервал времени не может быть короче длительности са-
мого удара; при исследовании динамики нагружения его значение не мо-
жет быть меньше, чем период изменения нагрузки или период собственных
колебаний низшего тона конструкции. При исследованиях динамической
устойчивости, когда рассматриваемая система находится вблизи зоны по-
тери устойчивости, амплитуды колебаний нарастают или затухают доста-
точно медленно. В таких случаях возникает необходимость рассмотрения
больших интервалов времени с длительностью порядка многих сотен пе-
риодов колебаний. Нередко имеют место переходные процессы с колеба-
ниями типа «биений», когда периодически рост амплитуд колебаний сме-
няется их последующим падением. Существуют режимы, которые физиче-
ски реализуются лишь по окончании длительного переходного процесса.
Моделирование и анализ подобного рода процессов требуют повышенных
вычислительных затрат в связи с необходимостью проведения вычислений
с очень большим количеством шагов по времени. Кроме того, ставятся
жесткие требования к самому методу. Он должен обеспечивать устойчи-
вость решения при отсутствии дополнительного демпфирования, которое
искажает результаты. Не каждый численный метод интегрирования удов-
летворяет этим противоречивым требованиям.
Выбор начальных значений
Выбор начальных значений параметров задачи, особенно при решении
в нелинейной постановке, является ответственным этапом работы, так
как конечные результаты могут существенно зависеть от этого выбора.
Устойчивость системы может смениться неустойчивостью, отрывное об-
текание безотрывным, трение покоя между контактирующими элемента-
ми смениться трением скольжения и наоборот. Точки бифуркации, ги-
стерезис, наличие нескольких зон устойчивости или неустойчивости
и т.п. — все это требует конкретизации исходной информации. В против-
ном случае могут быть получены совершенно непредсказуемые результа-
ты. Даже если получено абсолютно точное решение исходных уравнений,
это решение может не соответствовать реальности при существенном
влиянии нелинейных факторов и задании неверных начальных условий.
Хотя все перечисленное несколько усложняет подготовку исходных дан-
ных и затрудняет проведение расчетов, следует заметить, что данная осо-
бенность решения нелинейных задач приближает вычислительный экс-
перимент к реальному эксперименту. Например, при решении задачи
в линейной постановке нет особой разницы, чему равен угол атаки кры-
ла: 2° или 20°. Можно даже решать задачу в безразмерном виде. В реаль-
ности параметры течения, характер течения при обтекании крыла при
малых и больших углах атаки существенно отличаются, что, собственно,
и моделируют нелинейные методы расчета с той или иной степенью до-
стоверности. Таким образом, при решении нелинейных задач, с одной
стороны, имеют место повышенная сложность и трудоемкость подготов-
ки исходных данных, повышенные требования к квалификации расчет-
чика, с другой стороны, эти методы вынуждают более точно следовать
реальной картине нагружения, конкретизировать параметры исследуе-
мого процесса, что является преимуществом данного подхода.
Выбор численного метода
Выбор численного метода обусловлен объективными и субъективными
факторами.
Объективными факторами являются реальные преимущества метода
в трудоемкости вычислений, в требуемых ресурсах ЭВМ, в устойчивости
решения, в точности получаемых результатов. Эти параметры можно оце-
нить численно при проведении сравнений результатов решений тестовых
примеров, получаемых альтернативными вариантами численных методов.
Субъективными факторами являются различного рода публикации,
рекламные материалы к коммерческим программам, которые навязыва-
ют продавцы этих программ потребителю. Сюда же могут быть отнесены
собственный опыт использования метода, наличие многократно проте-
стированных собственных программ, применение освоенных пользова-
телем коммерческих программ, в которых не предусмотрены другие ва-
рианты решения задачи. Субъективные факторы сложно оценить чис-
ленно, хотя для рассмотрения таких ситуаций существует метод
экспертных оценок.
В научных и технических публикациях предлагается достаточно
большой выбор численных методов интегрирования уравнений по вре-
мени. На практике получили распространение методы, которые уже
подтвердили свои положительные качества при решении многих реаль-
ных задач. Опыт их использования может быть перенесен на новые зада-
чи. Однако поиск более рациональных вариантов численных методов
продолжается, так как каждому методу присущи свои недостатки. Об
этом свидетельствует сам факт существования альтернативных вариан-
тов этих методов. Вопросы снижения трудоемкости и повышения точ-
ности и устойчивости решения по-прежнему остаются актуальными.
1.2. Численное интегрирование уравнений
первого порядка
Рассмотрение приемов численного решения удобно начать с более про-
стых задач интегрирования уравнений первого порядка.
Существует большая группа численных методов, позволяющих осу-
ществлять интегрирование уравнений первого порядка. Приведем неко-
торые варианты таких методов.
Пусть решается уравнение вида
x = f (x, ), (3)
к которому могут быть приведены уравнения движения, уравнения газо-
вой динамики, термодинамики и др.
Пошаговые методы решения дифференциального уравнения (раз-
ностные методы, методы дискретного переменного) используют локаль-
ные аппроксимации искомой функции. Для последовательных расчет-
ных моментов времени τi, выбранных с шагом по времени Δτ = τi + 1 − τi,
который в некоторых случаях может быть переменным, вычисляются
дискретные значения искомой функции xi по ее k значениям, вычислен-
ным ранее на предыдущих k последовательных шагах. Если k = 1, то ме-
тод называется одношаговым, при k > 1 метод относят к многошаговым.
В рассматриваемых соотношениях обозначено: i — номер шага
по времени. Если вычисления проводятся с постоянным шагом по вре-
мени Δτ, что обычно имеет место, то номерам шагов по времени i + 1, i,
i − 1, i − 2, i − 3 соответствуют моменты времени τ + Δτ, τ, τ − Δτ, τ − 2Δτ,
τ − 3Δτ. Индексам i + 1/2 и i − 1/2 в формулах соответствуют моменты
времени τ + Δτ/2 и τ − Δτ/2.
Как правило, при использовании неявных методов вычисления про-
водятся с постоянным шагом по времени Δτ, так как в противном случае
возникает необходимость применения трудоемкой процедуры повтор-
ного формирования разрешающей матрицы системы уравнений. При
использовании явных методов максимальная величина шага по времени
Δτ ограничена условием устойчивости решения. Обычно эта величина
очень мала, поэтому часто выбирается шаг, близкий к максимально до-
пустимому значению. Соответственно, увеличить шаг Δτ нельзя по ус-
ловиям устойчивости, а его существенное уменьшение ведет к дополни-
тельному повышению вычислительных затрат. Поэтому и явные методы
в большинстве случаев используют фиксированный шаг по времени.
Численные методы решения нестационарных задач широко использу-
ются в различных областях науки и техники [1, 4, 13, 15, 16, 17, 23 и др.].
Они востребованы в транспорте и медицине, геологии и биологии, хи-
мии и физике и др. Хотя многие варианты численных методов разрабо-
таны еще в прошлом веке, вопросы их развития и практического ис-
пользования по-прежнему остаются актуальными.
В историческом плане можно отметить следующее. До первой поло-
вины XX века применение процедур численного интегрирования диф-
ференциальных уравнений по времени с начальными условиями (задача
Коши) было весьма ограниченным по объективным причинам: отсут-
ствовала требуемая вычислительная техника, а ручной счет не позволял
решать сколь-либо трудоемкие задачи. Внедрение механических и элек-
тромеханических арифмометров стало первым шагом на пути практиче-
ского использования численных методов. Появление цифровых элек-
тронных вычислительных машин (ЭВМ), вначале ламповых, затем
транзисторных, изменило ситуацию. Несмотря на весьма скромные
по современным меркам возможности, эти ЭВМ обеспечили решение
множества практически важных задач, создали основу для развития
и более широкого внедрения численных методов. Ограниченные ресур-
сы ЭВМ тех лет привели к развитию алгоритмов, не требующих хране-
ния больших объемов данных, формирования и обработки больших си-
стем уравнений и больших вычислительных затрат. Распространение
получили методы, основанные на рассмотрении нестационарных явле-
ний в частотной области в линейном приближении, применении прие-
мов редуцирования систем уравнений, использования разложения
решения
по собственным формам и частотам колебаний. При этом про-
должались работы и по совершенствованию альтернативных вариан-
тов — существенно более затратных в вычислительном плане прямых
методов решения непосредственно во временной области шагами
по времени, хотя они имели ограниченное применение ввиду недостаточной производительности ЭВМ для решения сложных задач механики
жидкости и газа, механики деформируемого твердого тела и др.
Решение во временной области имеет ряд преимуществ. Оно позво-
ляет проводить численные исследования нестационарных процессов
различной природы. Отсутствие жестких ограничений, связанных
с применением гипотезы гармоничности колебаний и применением
принципа суперпозиции, создает возможности для более точного и под-
робного моделирования сложных явлений с учетом влияния разнообразных
факторов. При этом сравнительно просто осуществляется ре-
шение в нелинейной постановке. Универсальность и удобство анализа
результатов делают эти методы привлекательными при рассмотрении
многопараметрических задач. В частности, однотипными методами мо-
гут быть решены задачи механики движения систем твердых тел, неста-
ционарного нагружения конструкций и механизмов с учетом податливо-
сти их элементов, задачи динамики процессов регулирования сложных
объектов средствами автоматического управления, моделирования раз-
нообразных течений, технологических процессов, процессов горения,
полимеризации, релаксации напряжений и др.
Основным ограничением пошаговых процедур решения непосред-
ственно во временной области (методов прямого интегрирования) явля-
ется большая трудоемкость моделирования нестационарных процессов
на длительных интервалах времени с большим количеством выполняе-
мых шагов по времени. Имеются сложности в обеспечении точности
и устойчивости вычислений в случаях рассмотрения процессов нагруже-
ния конструкций с низким уровнем собственного демпфирования, ис-
следования поведения систем вблизи границ их устойчивости. Следует
заметить, что перечисленные трудности сравнительно легко могут быть
преодолены в случае использования способов решения в частотной об-
ласти. У каждого подхода имеются свои преимущества и свои недостат-
ки [16].
Развитие вычислительной техники, повышение скорости обработки
информации, увеличение объемов располагаемой памяти ЭВМ позво-
лили реализовать преимущества пошаговых методов моделирования
разнообразных переходных процессов. Этим в основном и обусловлен
прогресс в развитии численных методов прямого интегрирования
во временной области. Внедрение многопроцессорных ЭВМ, парал-
лельных вычислений также способствовало дальнейшему распростра-
нению этих подходов.
Вопросы численного интегрирования решения по времени рассмо-
трены во многих публикациях. Некоторые из них представлены в списке
литературы [1, 4, 13 и др.]. Практически в каждой книге по численным
методам обсуждаются методы Эйлера, Рунге — Кутты и др. Но склады-
вается парадоксальная ситуация. Развитие ЭВМ и программного обе-
спечения (ПО) открыло широкие возможности для создания и совер-
шенствования приемов моделирования разнообразных нестационарных
явлений. Программисты прошлых поколений о таких ресурсах даже
и мечтать не могли. Но, вопреки ожиданиям, не все эти возможности
удалось реализовать. Достигнутые успехи в развитии ПО привели к то-
му, что количество программ собственной разработки в последние годы
многократно сократилось. Их потеснили универсальные, многофунк-
циональные и хорошо оформленные коммерческие комплексы про-
грамм. Большой объем знаний о численных методах, полученный в про-
шлые десятилетия и опубликованный во множестве книг и статей, ока-
зался не востребован современными пользователями коммерческих
программ. Обеспечение подробной справочной информацией, система-
ми подсказок, внедрение диалоговых режимов, расширение графиче-
ских средств обработки входных и выходных данных изменили требова-
ния к квалификации типичного пользователя коммерческого ПО. Он,
в отличие от расчетчиков прошлых лет, сам не выводил формулы, не из-
учал численные методы, не писал реализующие программы, не прово-
дил их отладку и тестирование. Все это осталось в прошлом. В лучшем
случае он приобрел опыт применения готовых модулей из MATLAB,
IMSL и т.п. Пользователю коммерческой программы теперь не требуют-
ся глубокие знания для выполнения расчетов. Достаточно иметь навыки
работы в настройках программы, в меню, в системе подсказок. При про-
ведении расчетов внимание уделяется лишь вопросам правильного зада-
ния формата исходных данных в соответствии с инструкцией. Другие
вопросы, в том числе особенности поставленной задачи, свойства решаемых уравнений, возможности численного метода и ПО, отодвинуты
на второй план. У многих сформировалась твердая уверенность, что ку-
пленные программы всегда дают правильные результаты.
Часто пользователь даже не представляет, каким образом работает
программа и как получено решение. Это его не интересует. Считается,
что «не нужно забивать голову лишними знаниями». Более того, форми-
руется мнение, что в современном мире знания человеку и не требуют-
ся. На все вопросы можно в течение секунды получить ответ, просто за-
глянув в экран телефона или компьютера. Добытая таким образом ин-
формация не обсуждается и не анализируется. Кто дал ответ? Кто
гарантирует его правильность? Имеет ли он вообще какое-то отношение
к заданному вопросу?
Разработчики коммерческих программ не могут заранее предугадать
все особенности конкретной задачи. Создавая инструкции, они ориен-
тируются на типовые задачи и на среднестатистического потребителя
своих услуг с определенным уровнем подготовки. Если задача сложна,
а подготовка недостаточна, то могут возникать непрогнозируемые ситу-
ации: выбираются неверные настройки программ, неверные расчетные
соотношения для моделирования рассматриваемых явлений, не уделя-
ется должное внимание сходимости и устойчивости решения, в том чис-
ле при проведении длительных и сложных расчетов. При этом затрачи-
ваются большие ресурсы времени и средств. Может оказаться, что чис-
ленное решение получено, но оно не соответствует действительности,
а пользователь программы даже не догадывается о наличии ошибок
в расчетах и необходимости их устранения. Все это усугубляется наличи-
ем «эффективных менеджеров» с гуманитарным образованием, которые
принимают подобную работу.
Принято с ностальгией вспоминать прошлые времена. Но воспоми-
нания о порванных перфолентах, замятых перфокартах, о сбоях диско-
водов и лентопротяжных механизмов, «зависаниях» и перегреве ЭВМ,
грохочущих АЦПУ и рулонах распечаток вызывают негативные эмоции.
Другое дело — люди. Программисты первого поколения писали про-
граммы в машинных кодах. Они понимали задачу, знали численные ме-
тоды, знали особенности работы ЭВМ. По лампочкам индикаторов на панели ЭВМ могли определить место выполнения или «зависания»
программы. При написании программ экономились каждый байт, ка-
ждая операция, активно использовалась внешняя память на дисках, ба-
рабанах и лентах. Программисты второго поколения использовали язы-
ки высокого уровня. Им уже не требовались знания о регистрах, ячейках
памяти и т.п. Они понимали задачу, численные методы и помнили
об ограничениях ЭВМ. Третье поколение не склонно писать собствен-
ные программы. Программированием они называют процесс сборки
программ из готовых модулей. Как работают эти модули, что они собой
представляют, их не интересует. О решаемой задаче помнят, о распола-
гаемых ресурсах ЭВМ иногда вспоминают, хотя об этом особо и не забо-
тятся. Внешнюю память используют лишь для хранения данных и ре-
зультатов расчета. Теперь проще купить новый, более мощный компью-
тер, чем дорабатывать и оптимизировать старую программу. Следующее
поколение ориентировано на «искусственный интеллект». О поставлен-
ной задаче еще помнят. Как работает ЭВМ, как получено решение —
не представляют. Если результаты чему-то соответствуют, то радуются
успехам. Если ничему не соответствуют, то говорят: «Сами удивляемся!
Машина так сосчитала». Определить причину появления странного ре-
зультата удается не всегда. Такое развитие событий не вызывает опти-
мизма.
Чуть более полувека потребовалось для того, чтобы совершился пе-
реход от единичных и очень дорогих экземпляров громоздких, потребляющих
сотни киловатт электроэнергии, весьма ненадежных ЭВМ,
способных выполнять всего лишь сотни операций в секунду и требую-
щих большого количества обслуживающего персонала, к современным
ЭВМ, которые годами могут работать без единого сбоя и всякого обслу-
живания. Они занимают мало места, имеют малое энергопотребление,
выпускаются в огромных количествах. Их стоимость на много порядков
ниже, а вычислительные возможности (скорость выполнения операций
и ресурсы памяти) на много порядков выше, чем у ЭВМ прошлых поко-
лений. Все это способствовало повсеместному внедрению вычислитель-
ной техники и компьютерных технологий в самые различные сферы де-
ятельности.
Но количество не везде перешло в качество. Массовое использова-
ние вычислительной техники не привело к столь же впечатляющим
успехам в решении технических и научных задач. В частности, внедре-
ние компьютерных технологий не сопровождается радикальным улуч-
шением характеристик летательных аппаратов или снижением сроков
и стоимости их проектирования. Одной из причин тому является потеря
былого интереса к традиционным численным методам. Многие специа-
листы переключились на решение совсем других задач: разработку ком-
пьютерных игр, сетевых приложений, приложений для телефонов, си-
стем распознавания, систем мобильной связи, банковских приложений,
программ для робототехнических устройств, «умных домов» и т.п. Реше-
ние этих задач требует совсем других подходов, алгоритмов и техноло-
гий. Разработчики компьютерных игр не сильно озабочены выполнени-
ем законов физики в создаваемых ими виртуальных мирах. Технические
специалисты, напротив, обязаны обеспечить высокую точность модели-
рования реальных процессов. Поэтому научные и прикладные исследо-
вания не могут обходиться без традиционных численных методов, кото-
рые изначально ориентированы на обеспечение точности и надежности
результатов.
В течение короткого времени произошли большие изменения, кото-
рых мало кто мог предугадать. В частности, результатом развития инду-
стрии развлечений стало появление игроманов, сете- и телефонозависи-
мых людей; результатом внедрения компьютерных систем управления
стали аварии и катастрофы, вызванные неверной работой программ при
полной исправности самолета, корабля или автомобиля. Компьютерные
вирусы нарушают работу банков, заводов и электростанций с нанесени-
ем огромного материального ущерба. Насколько полезны или вредны
подобные новшества, оправданы ли новые риски — это большой вопрос.
Развитие компьютерных технологий продолжается. Программное
обеспечение адаптируется к новым реалиям. Приемы последовательно-
го «наращивания» старых версий программ позволяют сравнительно
просто создавать многофункциональные и весьма сложные программы.
Однако существуют ограничения, связанные с особенностями базовых
версий программ. Поэтому важно периодически возвращаться к теоретическим основам, проводить ревизию используемых алгоритмов, оце-
нивать эффективность работы всех участков программ, вносить необхо-
димые изменения, чтобы модернизируемое ПО могло соответствовать
новым требованиям.
В книге сделана попытка вернуть интерес читателя к традиционным
численным методам, в частности методам моделирования нестационар-
ных явлений. Эти методы были и остаются актуальными и имеют боль-
шое практическое значение. Они служат основой для создания ПО,
предназначенного для выполнения расчетов и проектирования кораблей,
самолетов, космических аппаратов и других всевозможных кон-
струкций и механизмов.
В одной публикации невозможно охватить все стороны поднятой те-
мы. Такая задача не ставится. В книге обсуждаются вопросы интегриро-
вания по времени уравнений, описывающих нестационарные процессы.
Проблемы, связанные с выбором теоретических соотношений, форми-
рования самих уравнений, решения систем линейных алгебраических
уравнений (СЛАУ) и т.п., не рассматриваются. Они обсуждаются в от-
дельных, специализированных публикациях. Некоторые из них приве-
дены в списке литературы. В книге представлены наиболее востребо-
ванные варианты численных методов интегрирования уравнений пер-
вого и второго порядков, показаны примеры реализующих программ,
примеры тестирования этих программ. С целью обеспечения удобства
чтения материал изложен в простой и доступной форме. Это не только
позволяет получить общие представления о свойствах численных мето-
дов решения дифференциальных уравнений, но и дает возможность чи-
тателю разного уровня подготовки самому разобраться в особенностях
их применения, осознанно сделать выбор метода, соответствующего ре-
шаемой задаче, самостоятельно написать реализующую программу,
провести ее тестирование, получить собственный опыт решения неста-
ционарных задач. Этот материал может представлять интерес как для
разработчиков численных методов, так и для обычных пользователей
коммерческих программ и студентов технических вузов. В конце книги
приведен краткий список публикаций, в которых представлена допол-
нительная информация по затрагиваемым вопросам.
ГЛАВА 1
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ
1.1. Особенности применения численных
методов
В книге рассматривается группа численных методов, основанных
на последовательном, пошаговом моделировании нестационарных яв-
лений во временной области. Такие численные методы (методы прямо-
го интегрирования) не требуют выполнения предварительных преобра-
зований исходных уравнений, описывающих динамику процесса. В от-
личие от численных методов решения в частотной области, они
обладают существенно более широкими возможностями моделирова-
ния рассматриваемых нестационарных явлений, с подробным учетом
всевозможных деталей и различного рода особенностей. Это обуслов-
лено применением локальных функций для аппроксимации законов
изменений параметров задачи в малой окрестности решения на каждом
шаге по времени. Но помимо преимуществ, имеются и определенные
ограничения.
При численной реализации пошаговых методов моделирования не-
стационарных процессов следует учитывать ряд факторов, влияющих
на точность, сходимость и устойчивость решения.
Выбор величины шага по времени
Методы решения нестационарных задач во временной области предпо-
лагают рассмотрение процессов в последовательные моменты времени
с использованием сравнительно небольших шагов по времени Δτ. Счи-
тается, что искомые параметры плавно меняются в пределах этого шага.
Это позволяет принимать простые законы их изменения в малой окрест-
ности решения. Обычно используются локальные полиномы невысоко-
го порядка. Существуют способы, в которых время является дополни-
тельным измерением (четвертым, если решается трехмерная задача).
Ввиду высоких требований к ресурсам ЭВМ, связанных с необходимо-
стью решения задач очень большой размерности и наличием ряда дру-
гих ограничений, такие подходы не получили большого распростране-
ния. Более успешными и экономичными оказались подходы, в которых
решение последовательно формируется от предыдущего шага по време-
ни к последующему. В начале расчета на первом шаге по времени ис-
пользуются задаваемые начальные условия. Если решение имеет разры-
вы, то оно рассматривается по отдельным гладким участкам, состыко-
ванным между собой с учетом величин разрывов. В другом варианте
разрыв моделируется коротким гладким участком с использованием до-
полнительного демпфирования решения и уменьшенного шага по вре-
мени.
Рассматриваемые методы имеют ограничения на величину шага
по времени Δτ. Эти ограничения связаны как с физикой моделируемого
процесса, так и с требованиями обеспечения устойчивости применяе-
мых вычислительных процедур.
Ограничения, связанные с характерным временем
моделируемого процесса
При рассмотрении переходных режимов нагружения величина шага
по времени Δτ ограничена характерным временем моделируемого про-
цесса T:
Δτmax ≤ (0.1÷0.05)T. (1)
Эта оценка обусловлена использованием конечно-разностных ап-
проксимаций при численном решении задач. В этом случае реальные
зависимости изменения параметров по времени заменяются отрезками
парабол невысокого порядка. При увеличении шага Δτ точность такой
аппроксимации падает, получаемое решение искажается. При излишне
большом шаге Δτ результаты вычислений перестают соответствовать
действительности. Если сами параметры задачи (инерционные,
жесткостные коэффициенты и др.) изменяются по времени, то чаще
всего требуется дополнительное уменьшение величины шага Δτ для обе-
спечения желаемой точности решения.
Величина характерного времени процесса T в большинстве случаев
определяется исходя из заданных условий решаемой задачи. Это может
быть длительность воздействия возмущающей нагрузки, длительность
ее изменения по времени, по направлению, месту приложения; дли-
тельность периода колебаний упругой конструкции высшего учитывае-
мого тона и т.п. При этом характерное время T предварительно оцени-
вается по приближенным зависимостям. Если выбирать достаточно
малое значение величины шага по времени Δτ = 0.05Δτmax и менее, по-
грешности, связанные с неточностями в определении характерного
времени T, мало влияют на получаемые результаты. При необходимо-
сти можно повторить расчет с уменьшенным (обычно вдвое) шагом
по времени с целью проверки устойчивости и точности вычислений.
В случае значительного расхождения полученных результатов шаг Δτ
вновь уменьшается, и проводятся повторные вычисления. При этом
предполагается, что с уменьшением шага Δτ результаты численного
расчета сходятся к точному решению. Эти рассуждения связаны с по-
вышением точности аппроксимации полиномами гладкой функции
при уменьшении шага Δτ. Заметим, что подобные теоретические оцен-
ки не учитывают наличие погрешностей округления, которые могут
оказаться значительными при выборе слишком малого шага Δτ, в слу-
чаях использования аппроксимирующих полиномов высокого порядка,
при решении систем уравнений с большим количеством неизвестных
и т.п. Нередки ситуации, когда с уменьшением шага Δτ решение внача-
ле уточняется, а при дальнейшем уменьшении точность ухудшается
в связи с ростом влияния ошибок округления при выполнении большо-
го объема вычислений в ЭВМ. Не все факторы вычислительного про-
цесса поддаются правильному учету. Поэтому приближенные теорети-
ческие оценки точности и устойчивости метода следует использовать
с осторожностью.
Ограничения, связанные со свойствами
численного метода
Величина шага по времени Δτ ограничена возможностями применяемо-
го численного метода. В этой связи следует упомянуть, что если исполь-
зуется неявная схема, то жесткие ограничения на максимальную величи-
ну шага по времени теоретически могут отсутствовать, в отличие от яв-
ных схем. Однако и при использовании неявной схемы имеются свои
ограничения на шаг Δτ. Эти ограничения связаны с ошибками округле-
ния и конечностью представления мантиссы числа в ЭВМ.
При выборе очень мелкого шага Δτ в случае использования неявной
схемы элементы матрицы инерционных коэффициентов становятся
слишком большими величинами по сравнению с элементами жесткост-
ной матрицы, что ведет к заметному накоплению ошибок округления
и потере точности вычислений. В таких ситуациях целесообразен пере-
ход к явным методам, которые становятся менее трудоемкими при выбо-
ре очень малых значений шага по времени Δτ. Обычно такие ситуации
возникают при моделировании удара, моделировании других, крат-
ковременных, быстропротекающих процессов. И наоборот, при боль-
ших шагах Δτ, когда рассматриваются процессы с характерным време-
нем, сравнимым с периодами низших тонов собственных колебаний
конструкции, целесообразно применение неявных методов.
При использовании явных методов максимальная величина шага
по времени обусловлена устойчивостью процесса вычислений. Она обе-
спечивается, если шаг Δτ меньше, чем оценка вида
Δτmax ≤ 2/ωmax, (2)
где ωmax — наивысшая собственная частота моделируемой системы (на-
пример, высшая частота собственных колебаний наименьшего из ко-
нечных элементов, используемых при расчете конструкции МКЭ).
У различных вариантов явных методов числитель в формуле (2) может
принимать другие, несколько более или менее высокие значения, на-
пример: 0.3, …, 6, но эти отличия не являются принципиальными. В ре-
альных вычислениях нередко используется шаг по времени, который
на порядок меньше, чем (2). В любом случае явный метод для обеспечения точности и устойчивости вычислений требует использования очень
малой величины шага по времени Δτ. Соответственно, возникает необ-
ходимость выполнения очень большого количества таких шагов для мо-
делирования поведения системы на достаточно длительном интервале
времени. Его применение оправдывают простота реализации и малая
трудоемкость вычислений на каждом шаге по времени в сравнении с не-
явными методами.
В задачах, связанных с расчетами сжимаемых течений, для обеспе-
чения устойчивости вычислений требуется выполнение условий Куран-
та — Фридрихса — Леви вида Δl/Δτ ≥ V + a, где Δl — минимальный шаг
пространственной сетки в расчетной области, V — местная скорость по-
тока, a — местная скорость звука. Или, в другом виде, ставится требова-
ние, что число Куранта C = (V + a)Δτ/Δl ≤ 1. Это означает, что область
зависимостей разностных уравнений должна включать в себя область
зависимостей решаемых дифференциальных уравнений. Скорость рас-
пространения информации в моделируемой непрерывной среде
не должна превышать скорость распространения информации исполь-
зуемого численного метода. За один шаг по времени Δτ звуковая (удар-
ная) волна не должна выходить за границу расчетной ячейки. Таким об-
разом, чем меньше размеры ячеек расчетной области течения, тем мень-
ше должен быть задаваемый шаг по времени Δτ [45—49].
Сдвиг по времени
При решении задачи во временной области могут накапливаться ошиб-
ки не только в получаемых амплитудах колебаний, но и в фазах колеба-
ний. Может возникать сдвиг параметров по времени. Во многих случаях
эти ошибки не столь важны, и особое внимание им не уделяется. Однако
существуют задачи, в которых требуется правильно учитывать сдвиг фаз
между нагрузкой и перемещениями, входным и выходным сигналами
системы регулирования, при анализе устойчивости системы управления
и др. В этих ситуациях целесообразно осуществлять дополнительный
контроль и коррекцию решения, использовать один и тот же шаг по вре-
мени, один и тот же метод решения связанных задач. При наличии
достаточных
вычислительных ресурсов возможно рассмотрение объединенной системы уравнений суммарной размерности (например, со-
вместное решение задач аэродинамики и прочности). Однако в послед-
нем случае существенно увеличивается трудоемкость, усложняется алго-
ритм решения и реализующее его программное обеспечение.
Выбор расчетного интервала времени
Выбор расчетного интервала времени является важным звеном подготов-
ки исходных данных. Он должен быть по возможности небольшим, так как
трудоемкость решения напрямую связана с величиной этого интервала.
С увеличением интервала времени почти пропорционально растут вычис-
лительные затраты, поэтому существует тенденция к его сокращению. Од-
нако это сокращение не может быть осуществлено произвольным образом.
Интервал времени ограничен реальной длительностью моделируемых
процессов. Слишком короткий интервал не позволяет в должной мере изу-
чить поведение конструкции. В частности, при моделировании удара рас-
сматриваемый интервал времени не может быть короче длительности са-
мого удара; при исследовании динамики нагружения его значение не мо-
жет быть меньше, чем период изменения нагрузки или период собственных
колебаний низшего тона конструкции. При исследованиях динамической
устойчивости, когда рассматриваемая система находится вблизи зоны по-
тери устойчивости, амплитуды колебаний нарастают или затухают доста-
точно медленно. В таких случаях возникает необходимость рассмотрения
больших интервалов времени с длительностью порядка многих сотен пе-
риодов колебаний. Нередко имеют место переходные процессы с колеба-
ниями типа «биений», когда периодически рост амплитуд колебаний сме-
няется их последующим падением. Существуют режимы, которые физиче-
ски реализуются лишь по окончании длительного переходного процесса.
Моделирование и анализ подобного рода процессов требуют повышенных
вычислительных затрат в связи с необходимостью проведения вычислений
с очень большим количеством шагов по времени. Кроме того, ставятся
жесткие требования к самому методу. Он должен обеспечивать устойчи-
вость решения при отсутствии дополнительного демпфирования, которое
искажает результаты. Не каждый численный метод интегрирования удов-
летворяет этим противоречивым требованиям.
Выбор начальных значений
Выбор начальных значений параметров задачи, особенно при решении
в нелинейной постановке, является ответственным этапом работы, так
как конечные результаты могут существенно зависеть от этого выбора.
Устойчивость системы может смениться неустойчивостью, отрывное об-
текание безотрывным, трение покоя между контактирующими элемента-
ми смениться трением скольжения и наоборот. Точки бифуркации, ги-
стерезис, наличие нескольких зон устойчивости или неустойчивости
и т.п. — все это требует конкретизации исходной информации. В против-
ном случае могут быть получены совершенно непредсказуемые результа-
ты. Даже если получено абсолютно точное решение исходных уравнений,
это решение может не соответствовать реальности при существенном
влиянии нелинейных факторов и задании неверных начальных условий.
Хотя все перечисленное несколько усложняет подготовку исходных дан-
ных и затрудняет проведение расчетов, следует заметить, что данная осо-
бенность решения нелинейных задач приближает вычислительный экс-
перимент к реальному эксперименту. Например, при решении задачи
в линейной постановке нет особой разницы, чему равен угол атаки кры-
ла: 2° или 20°. Можно даже решать задачу в безразмерном виде. В реаль-
ности параметры течения, характер течения при обтекании крыла при
малых и больших углах атаки существенно отличаются, что, собственно,
и моделируют нелинейные методы расчета с той или иной степенью до-
стоверности. Таким образом, при решении нелинейных задач, с одной
стороны, имеют место повышенная сложность и трудоемкость подготов-
ки исходных данных, повышенные требования к квалификации расчет-
чика, с другой стороны, эти методы вынуждают более точно следовать
реальной картине нагружения, конкретизировать параметры исследуе-
мого процесса, что является преимуществом данного подхода.
Выбор численного метода
Выбор численного метода обусловлен объективными и субъективными
факторами.
Объективными факторами являются реальные преимущества метода
в трудоемкости вычислений, в требуемых ресурсах ЭВМ, в устойчивости
решения, в точности получаемых результатов. Эти параметры можно оце-
нить численно при проведении сравнений результатов решений тестовых
примеров, получаемых альтернативными вариантами численных методов.
Субъективными факторами являются различного рода публикации,
рекламные материалы к коммерческим программам, которые навязыва-
ют продавцы этих программ потребителю. Сюда же могут быть отнесены
собственный опыт использования метода, наличие многократно проте-
стированных собственных программ, применение освоенных пользова-
телем коммерческих программ, в которых не предусмотрены другие ва-
рианты решения задачи. Субъективные факторы сложно оценить чис-
ленно, хотя для рассмотрения таких ситуаций существует метод
экспертных оценок.
В научных и технических публикациях предлагается достаточно
большой выбор численных методов интегрирования уравнений по вре-
мени. На практике получили распространение методы, которые уже
подтвердили свои положительные качества при решении многих реаль-
ных задач. Опыт их использования может быть перенесен на новые зада-
чи. Однако поиск более рациональных вариантов численных методов
продолжается, так как каждому методу присущи свои недостатки. Об
этом свидетельствует сам факт существования альтернативных вариан-
тов этих методов. Вопросы снижения трудоемкости и повышения точ-
ности и устойчивости решения по-прежнему остаются актуальными.
1.2. Численное интегрирование уравнений
первого порядка
Рассмотрение приемов численного решения удобно начать с более про-
стых задач интегрирования уравнений первого порядка.
Существует большая группа численных методов, позволяющих осу-
ществлять интегрирование уравнений первого порядка. Приведем неко-
торые варианты таких методов.
Пусть решается уравнение вида
x = f (x, ), (3)
к которому могут быть приведены уравнения движения, уравнения газо-
вой динамики, термодинамики и др.
Пошаговые методы решения дифференциального уравнения (раз-
ностные методы, методы дискретного переменного) используют локаль-
ные аппроксимации искомой функции. Для последовательных расчет-
ных моментов времени τi, выбранных с шагом по времени Δτ = τi + 1 − τi,
который в некоторых случаях может быть переменным, вычисляются
дискретные значения искомой функции xi по ее k значениям, вычислен-
ным ранее на предыдущих k последовательных шагах. Если k = 1, то ме-
тод называется одношаговым, при k > 1 метод относят к многошаговым.
В рассматриваемых соотношениях обозначено: i — номер шага
по времени. Если вычисления проводятся с постоянным шагом по вре-
мени Δτ, что обычно имеет место, то номерам шагов по времени i + 1, i,
i − 1, i − 2, i − 3 соответствуют моменты времени τ + Δτ, τ, τ − Δτ, τ − 2Δτ,
τ − 3Δτ. Индексам i + 1/2 и i − 1/2 в формулах соответствуют моменты
времени τ + Δτ/2 и τ − Δτ/2.
Как правило, при использовании неявных методов вычисления про-
водятся с постоянным шагом по времени Δτ, так как в противном случае
возникает необходимость применения трудоемкой процедуры повтор-
ного формирования разрешающей матрицы системы уравнений. При
использовании явных методов максимальная величина шага по времени
Δτ ограничена условием устойчивости решения. Обычно эта величина
очень мала, поэтому часто выбирается шаг, близкий к максимально до-
пустимому значению. Соответственно, увеличить шаг Δτ нельзя по ус-
ловиям устойчивости, а его существенное уменьшение ведет к дополни-
тельному повышению вычислительных затрат. Поэтому и явные методы
в большинстве случаев используют фиксированный шаг по времени.