В монографии изложены конструктивные методы алгебры логики, теория R-функций (функций В.Л. Рвачева), атомарных функций (АФ), вейвлетов, WA-систем функций и фракталов применительно к задачам современной радиофизики. Теория R-функций, содержащая в себе идеи булевой алгебры и аналитической геометрии,
представляет собой универсальный математический аппарат, позволяющий в неявном виде получать уравнения границ областей произвольной геометрии. На основе этих уравнений осуществляется построение структур решения краевых задач в областях сложной формы, т.е. таких аналитических выражений, которые априори удовлетворяют заданным краевым условиям. Структуры решения зависят от неопределенных компонент, находящихся из условия минимизации функционала Ритца или одним из проекционных методов.
В первых четырёх главах и приложениях описаны алгоритмы и приведены многочисленные примеры решения различных типов внешних и внутренних краевых задач электростатики и электродинамики в областях сложной формы.
В пятой главе рассмотрено построение новых ортогональных вейвлетов Кравченко на основе атомарных функций. Предложен и обоснован новый метод численного дифференцирования, основывающийся на WA-системах функций. Применение новых вейвлетов к модельным задачам цифровой обработки сигналов (ЦОС) и численного
дифференцирования показало их эффективность.
Шестая глава посвящена построению новых конструкций ортогональных вейвлетов на основе АФ ha(x).
Обосновано обобщение функции неопределенности (ФН) по времени и частоте на основе семейства АФ применительно к цифровой обработке сигналов в антенных системах. Исследован новый класс аналитических вейвлетов Кравченко-Рвачева (АКР-вейвлетов). Показаны преимущества АКР-вейвлетов перед вейвлетами: Добеши, Морле, Шеннона и других для анализа сверхширокополосных (СШП) сигналов. С помощью комплексного функционала качества сделан выбор оптимального вейвлетного базиса для каждой конкретной модели СШП сигнала.
Рассмотрен новый подход, основанный на комбинациях АФ в сочетании с классическими спектральными ядрами. Показано, что полученные новые конструкции спектральных ядер, использующихся при передаче и приеме информации, имеют преимущества перед известными в задачах спектрального анализа СШП сигналов.
В седьмой главе предложен и обоснован новый метод решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа на основе R-функций и вейвлетов применительно к волноводам сложного поперечного сечения. Данный подход позволяет представить вариационный функционал в виде
структуры решения, основными элементами которой являются вейвлет-базис и коэффициенты разложения функций области, правой части и краевых условий по этому базису. В результате, при составлении матриц системы,
получают ряд вычислительных преимуществ: матрицы системы являются разряженными; расчет элементов матриц не требует операции интегрирования, а осуществляется на основе конечного числа элементарных математических операций над коэффициентами связи соответствующей вейвлет-системы. Для коэффициентов связи в работе предложены и обоснованы новые быстрые алгоритмы вычисления с помощью фундаментальных свойств
вейвлет-систем.
В восьмой главе и приложении к ней построен и обоснован новый класс фрактальных функций с учетом специфических свойств атомарных функций. Впервые получены новые синтезированные атомарно-фрактальные функции в комбинациях с классическими недифференциируемыми функциями Больцано, Безиковича, Вейерштрасса, Ван-дер-Вардена, Кантора, Серпинского, Ханкеля. Проведен численный эксперимент для одномерных, двумерных и кольцевых фрактальных антенных решеток.
Монография представляет интерес для научных работников, аспирантов и студентов старших курсов радио-физических и радиотехнических специальностей, а также специалистов, работающих в области вычислительной
математики и физики.