eng
Содержание
Содержание
Предисловие ко второму изданию 11
Предисловие к первому изданию 13
Часть I. Методы векторных измерений 14
Глава 1. Введение 14
1.1.
Исторический обзор 14
1.2.
Представление синусоид в виде комплексной амплитуды 16
1.3.
Ряды Фурье и преобразование Фурье 18
1.3.1.
Ряды Фурье 18
1.3.2.
Преобразование Фурье 19
1.4.
Дискретные данные и наложение спектров 25
1.5.
Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) 27
1.5.1.
ДПФ и ряды Фурье 30
1.5.2.
ДПФ и представление в виде комплексного вектора 32
1.6.
Эффект утечки 34
Литература 37
Глава 2. Оценивание комплексных векторов сигналов с номинальной частотой 39
2.1.
Комплексные векторы сигналов с номинальной частотой 39
2.2.
Формулы обновления комплексных векторов 40
2.2.1.
Нерекурсивные обновления 40
2.2.2.
Рекурсивные обновления 42
2.3.
Влияние сигнала, шума и ширины окна 44
2.3.1.
Ошибки дискретизации во времени 47
2.4.
Оценка комплексного вектора с использованием окна данных
дробного периода 49
2.5.
Качественная оценка комплексных векторов и индикатор
(монитор) переходных процессов 50
2.6.
Смещение постоянного тока во входных сигналах 54
2.7.
Оценивание без ДПФ 57
Литература 57
Глава 3. Оценка комплексной величины вектора при частоте сигнала,
отличающейся от номинального значения 58
3.1.
Виды колебаний частоты в энергосистемах 58
3.2.
Оценка ДПФ на частоте, отличающейся от номинального значения 59
3.2.1.
Входной сигнал с частотой, отклоняющейся от номинального
значения 59
3.3.
Постобработка оценок частоты, отклоняющейся от номинальной 68
3.3.1.
Простой усредняющий цифровой фильтр для 2f0 68
3.3.2.
Фильтр передискретизации сигнала 69
3.4.
Оценка комплексных векторов чистых сигналов прямой
последовательности 71
3.4.1.
Симметричные составляющие 71
3.5.
Оценки несимметричных входных сигналов 74
3.5.1.
Несимметричные входные сигналы с частотой, отличающейся
от номинальной величины 74
3.5.2.
Номограмма 79
3.6.
Частота отсчетов, синхронизированная по частоте энергосистемы 82
3.7.
Оценивание комплексного вектора без ДПФ 84
Литература 84
Глава 4. Оценка частот 86
4.1.
Обзор способов измерения частоты 86
4.2.
Оценки частоты на основе симметричных трехфазных входных
сигналов 87
4.3.
Оценки частоты на основе несимметричных входных сигналов 91
4.4.
Нелинейное оценивание частоты 92
4.5.
Другие методы измерения частоты 94
Литература 95
Глава 5. Устройства синхронизированных векторных измерений
и концентраторы синхронизированных векторных данных 96
5.1.
Введение 96
5.2.
Типовое УСВИ 97
5.3.
Система глобального позиционирования 99
5.4.
Иерархия систем векторных измерений 100
5.5.
Средства связи для УСВИ 102
5.6.
Стандарты 105
5.6.1.
История 105
5.6.2.
Синхронизированные векторные измерения 108
5.6.3.
Передача данных синхронизированных векторных измерений 120
5.6.4.
Файлы КСВД 127
Литература 128
Глава 6. Переходная характеристика устройств векторных измерений 129
6.1.
Введение 129
6.2.
Природа переходных процессов в энергосистемах 130
6.2.1.
Электромагнитные переходные процессы 130
6.2.2.
Электромеханические переходные процессы 132
6.3.
Переходная характеристика измерительных трансформаторов 135
6.3.1.
Трансформаторы напряжения 135
6.3.2.
Трансформаторы тока 137
6.4.
Переходная характеристика фильтров 138
6.4.1.
Фильтры для защиты от перенапряжений 138
6.4.2.
Сглаживающие фильтры 138
6.5.
Переходная характеристика во время электромагнитных
переходных процессов 140
6.6.
Переходная характеристика во время качаний мощности 141
6.6.1.
Амплитудная модуляция 142
6.6.2.
Частотная модуляция 144
6.6.3.
Одновременная модуляция по амплитуде и по частоте 146
6.6.4.
Соображения относительно наложения спектров при разных
частотах передачи комплексных векторов 147
Литература 150
Часть II. Области применения векторных измерений 151
Глава 7. Оценка состояния 151
7.1.
Из истории распределения диспетчером нагрузки 151
7.2.
Метод взвешенных наименьших квадратов 152
7.2.1.
Наименьшие квадраты 152
7.2.2.
Линейный метод взвешенных наименьших квадратов 153
7.2.3.
Числа обусловленности, точки влияния и наименьшие
абсолютные значения при использовании линейного метода
наименьших квадратов 155
7.2.4.
Нелинейный метод взвешенных наименьших квадратов 158
7.3.
Оценивание состояния энергосистемы 159
7.4.
Обнаружение недостоверных данных 164
7.5.
Оценка состояния с помощью векторных измерений 167
7.5.1.
Линейная оценка состояния 168
7.5.2.
Альтернативный вариант учета результатов
векторных измерений 171
7.5.3.
Оценка при неполной наблюдаемости 172
7.5.4.
Раздельная оценка состояния 180
7.6.
Калибровка 184
7.6.1.
Калибровка по измерениям прямой последовательности 185
7.6.2.
Калибровка по измерениям фазы 189
7.6.3.
Одновременная калибровка параметров линий
и преобразователей 195
7.7.
Динамические алгоритмы оценки 203
Литература 204
Глава 8. Управление с обратной связью и векторными измерениями 206
8.1.
Введение 206
8.2.
Оптимальное линейное управление 207
8.3.
Оптимальное линейное управление применительно к нелинейным
задачам 208
8.4.
Согласованное управление колебаниями 215
8.5.
Политопное управление с использованием линейных матричных
неравенств 220
8.5.1.
Адаптивное управление на основе векторных измерений 227
8.5.2.
Перспективные исследования управления с использованием
векторных измерений 230
Литература 231
Глава 9. Принятие решений с использованием векторных измерений 234
9.1.
Управление событиями в дискретном времени 234
9.2.
Деревья решений 236
9.2.1.
Дерево классификации и регрессии (CART) 238
9.2.2.
Метод линейного дискриминанта Фишера применительно
к синхронизированным векторным данным 239
9.2.3.
Применение ЛДФСВД в энергосистемах 242
9.3.
Нормализация и проверка правильности синхронизированных
векторных данных 248
9.3.1.
Алгоритм квадратичного упреждения по трем отсчетам 248
9.3.2.
Методология для нормализации и проверки правильности
синхронизированных векторных данных 252
9.3.3.
Альтернативные подходы к решению проблем качества данных,
используемых линейным оценщиком состояния 266
Литература 268
Глава 10. Системы защиты с комплексными векторами на входе 272
10.1.
Введение 272
10.2.
Дифференциальная защита линий электропередачи 273
10.3.
Дистанционная защита многоконцевых линий электропередачи 275
10.4.
Адаптивная защита 277
10.4.1.
Адаптивная защита от асинхронного хода 278
10.4.2.
Баланс надежности несрабатывания и устойчивости
срабатывания 282
10.4.3.
Трансформатор 284
10.4.4.
Адаптивное восстановление системы 285
10.5.
Управление эффективностью резервной защиты 287
10.5.1.
Неявные отказы 288
10.6.
Интеллектуальное разделение энергосистемы на части 291
10.7.
Диспетчерская аварийная разгрузка 292
Литература 294
Глава 11. Распространение электромеханических волн 297
11.1.
Введение 297
11.2.
Модель 299
11.3.
Электромеханическое телеграфное уравнение 304
11.4.
Непрерывная величина напряжения 306
11.5.
Воздействие на системы защиты 308
11.5.1.
Реле максимальной токовой защиты 308
11.5.2.
Реле полного сопротивления 308
11.5.3.
Реле защиты от асинхронного хода 309
11.5.4.
Автоматическая разгрузка 310
11.6.
Дисперсия 311
11.7.
Распределение параметров 311
Литература 313
Предметный указатель 315
Предисловие ко второму изданию
Первая редакция этой книги вышла в начале 2008 года. За прошедшее с тех пор
время во всем мире неуклонно совершенствовались технологии для улучшения
мониторинга, защиты и контроля энергосистем. Во многих странах в сетях ак-
тивно устанавливают устройства синхронизированных векторных измерений
(УСВИ) и системы мониторинга переходных режимов (СМПР). В США различ-
ные электроэнергетические компании, правительственные учреждения, в част-
ности Министерство энергетики США, и многие другие отраслевые группы
по-прежнему поддерживают деятельность, связанную с этой технологией. Хотя
в масштабах электросети США количество подстанций, оснащенных УСВИ
и СМПР, остается небольшим, было положено отличное начало, а отдельные
электроэнергетические компании в большинстве случаев продолжают прила-
гать усилия для увеличения охвата СМПР.
На наш взгляд, новым рубежом в этой области является разработка новых
направлений применения УСВИ и СМПР. Работа над новыми способами при-
менения продолжается во многих организациях по всему миру. Очень полез-
ной областью применения является анализ аварийных происшествий после
серьезных возмущений в энергосистеме, он помогает при определении причин
и хронологии событий, которые способствовали возникновению возмущений.
В связи с этим важное значение имеет регистрация и получение сведений о та-
ких событиях, что требует отбора важных данных СМПР для проверки моде-
лей системы, используемых при моделировании в рамках анализа аварийных
происшествий. В настоящее время нет удобного инструмента, который будет
проверять все сохраненные данные и определять, какие сегменты данных пред-
ставляют наибольший интерес. Мы ожидаем, что одним из результатов данного
исследования станут применения для решения задачи отбора данных.
Во многих организациях разрабатывается оценка состояния исключительно
на основании результатов измерений УСВИ или в сочетании с системой диспет-
черского управления и сбора данных (SCADA). Новым путем развития в этом
направлении является оценка состояния в фазовых координатах, а не с помо-
щью оценки напряжения прямой последовательности. Также многими органи-
зациями разрабатываются защита и управление с использованием СМПР, не-
которые результаты таких исследований представлены здесь.
Мы уточнили многие разделы этой книги и надеемся, что это сделает наши
идеи яснее.
Чрезвычайно полезная особенность этой редакции заключается в возмож-
ности опираться на последние работы наших коллег. Вместо того чтобы самим
пересказывать чужие работы, мы пригласили принять непосредственное уча-
стие в создании этой книги их авторов. Свой вклад внесли трое наших коллег
и друзей, которые написали соответствующие части. Несколько разделов этой
книги принадлежат перу д-ра Анамитры Пала, бывшего студента магистрату-
ры Политехнического университета Виргинии; кроме того, он участвовал в на-
писании главы 9, посвященной передовым разработкам в области управления
с использованием систем мониторинга переходных режимов. Кеннет Э. Мартин
сыграл ведущую роль в создании стандартов для УСВИ и СМПР в Комитете
Энергетического общества по релейной защите энергосистем, а также парал-
лельно работал в МЭК, чтобы стандарты стали более точными и шли в ногу
с развитием технологий. Он участвовал в написании раздела 5.6, посвященного
нынешнему состоянию этих стандартов. Мы признаем подвижность стандар-
тов; они, безусловно, будут изменены в ближайшие годы с появлением новых
разработок в данной области технологии. Тему калибровки измерительных
трансформаторов и оценки параметров передающих сетей первоначально раз-
рабатывала д-р Чжунъюй У, будучи аспиранткой Политехнического универси-
тета Виргинии. Она продолжила работу в этой сфере и участвовала в написании
раздела 7.6, в котором объединены новейшие разработки в этой области.
Мы благодарны д-ру Палу, г-ну Мартину и д-ру У за их вклад в создание на-
шей книги. Мы считаем, что это значительно увеличило общий охват темы.
Наконец, мы хотели бы поблагодарить многих коллег по всему миру, ко-
торые использовали нашу книгу и переписывались с нами по вопросам, пред-
ставляющим взаимный интерес. Мы надеемся, что новое издание нашей книги
будет по-прежнему интересно для студентов, исследователей и специалистов
отрасли.
г. Уилсонвилл, штат Орегон, США
г. Блэксберг, штат Вирджиния, США
Январь 2017 года
Арун Г. Фадке
Джеймс С. Торп
Предисловие к первому изданию
Синхронизированные векторные измерения стали предпочтительным методом
измерений электрических энергосистем. Они обеспечивают синхронизацию
измерений напряжения и силы тока прямой последовательности с точностью
до микросекунды. Это стало возможным благодаря наличию системы глобаль-
ного позиционирования и методам обработки дискретных данных, разрабо-
танным для применения в компьютерной релейной защите. Помимо значений
напряжения и силы тока прямой последовательности, эти системы измеряют
локальную частоту и скорость изменения частоты и могут настраиваться для
измерения гармоник, величин обратных и нулевых последовательностей, а так-
же отдельных значений фазового напряжения и тока. В настоящее время суще-
ствует около двух десятков коммерческих производителей устройств векторных
измерений (УСВИ), разработанные Комитетом IEEE по релейной защите энер-
госистем отраслевые стандарты сделали возможной оперативную совмести-
мость устройств разных производителей.
Недавний всплеск масштабных веерных отключений энергосистем по все-
му миру придал дополнительный импульс широкомасштабному развертыва-
нию УСВИ. Измерение параметров прямой последовательности обеспечивает
кратчайший прямой доступ к получению сведений о состоянии энергосистемы
в любой момент времени. Многие направления применения результатов этих
измерений описаны в технической литературе, и, несомненно, в ближайшие
годы их будет разработано еще больше.
Авторы этой книги стояли у истоков данной технологии, они вместе со сво-
ими коллегами и учениками подготовили обширный массив литературы, по-
священной технологии векторных измерений и ее применению. Также значи-
тельный вклад в эту область внесли другие исследователи по всему миру. Наша
цель при написании этой книги заключается в предоставлении заинтересо-
ванным читателям связного отчета о развитии технологии и о новых способах
применения результатов этих измерений. Мы надеемся, что эта книга поможет
инженерам энергосистем понять азы организации и работы систем синхрони-
зированных векторных измерений. Эта технология должна начать эру совер-
шенствования мониторинга, защиты и контроля энергосистем.
г. Блэксберг, штат Вирджиния, США
Январь 2008 года
Арун Г. Фадке
Джеймс С. Торп
Часть I
Методы векторных измерений
ГЛАВА1
ВВЕДЕНИЕ
1.1. Исторический обзор
Фазовые углы комплексных значений напряжения на шинах электрической сети
всегда представляли особый интерес инженеров энергетических систем. Обще-
известно, что переток активной (действительной) мощности в линии электропе-
редачи практически пропорционален косинусу1 сдвига фаз напряжений на двух
зажимах линии. Поскольку многие аспекты планирования и эксплуатации энер-
госистемы непосредственно связаны с перетоком активной мощности, задача из-
мерения сдвигов фаз при передаче электроэнергии возникла достаточно давно.
Первое современное техническое решение, предполагающее непосредственное
измерение сдвига фаз, описано в трех статьях начала 1980-х годов [1–3]. Речь шла
о синхронизации опорного времени в разных точках энергосистемы с использо-
ванием спутниковых систем LORAN-C, GOES и радиопередачи HBG (в Европе).
Момент перехода фазового напряжения через нуль в положительном направле-
нии использовался для оценки фазового угла в данном месте относительно опор-
ного времени. На основе разницы углов, измеренных в двух местах относитель-
но общей точки отсчета, устанавливался сдвиг фаз между напряжениями на двух
концах. Точность измерений, достигнутая в этих системах, составляла порядка
40 мкс. Измерялись углы однофазного напряжения, но попытки измерить модуль
комплексного вектора преобладающего напряжения, разумеется, не предпри-
нимались. Также не принимались во внимание гармоники сигнала напряжения.
Эти способы измерения сдвигов фаз не могут быть распространены на системы
векторных измерений широкого охвата и остаются единственными в своем роде
системами, которые больше не используются.
Началом современной эры технологий векторных измерений ста-
ли исследования, проводившиеся в области компьютерной релейной за-
щиты линий электропередачи. Первые опыты по релейной защите линий
электропередачи с помощью микропроцессоров показали, что имеющихся в те
времена (1970-е годы) вычислительных мощностей едва ли было достаточно для
проведения расчетов, необходимых для выполнения всех функций релейной
защиты линии электропередачи.
Значительная часть этих расчетов была направлена на решение шести уравне-
ний тока короткого замыкания для каждого отсчета, чтобы определить наличие
какого-либо из десяти типов замыканий, возможных в трехфазной линии электро-
передачи. Поиск способов, которые устранили бы необходимость решения шести
уравнений, привел к появлению нового метода релейной защиты, основанного
на анализе симметричных составляющих напряжений и токов в линии. Примене-
ние симметричных составляющих и некоторых величин, полученных с их помо-
щью, сделало возможным выполнение всех расчетов короткого замыкания с по-
мощю одного уравнения. Этот новый алгоритм защиты линий электропередачи,
основанный на симметричных составляющих, был описан в статье, опубликован-
ной в 1977 году [4]. В рамках данной теории были описаны эффективные алгорит-
мы вычисления симметричных составляющих трехфазных напряжений и токов,
а расчет напряжений и токов прямой последовательности с использованием ал-
горитмов, предложенных в этой статье, дал толчок развитию современных систем
векторных измерений. Вскоре стало ясно, что измерение параметров прямой по-
следовательности (в рамках вычисления симметричных составляющих) представ-
ляет большую ценность само по себе. Напряжения прямой последовательности
в сети формируют вектор состояния энергосистемы, а это дает основополагаю-
щие сведения для анализа всей энергетической системы в целом. Первая работа,
в которой показана важность векторных измерений напряжений и токов прямой
последовательности и описаны некоторые варианты применения этих измерений,
была опубликована в 1983 году [5] и может считаться отправной точкой современ-
ной технологии синхронизированных векторных измерений. Примерно к этому
же времени относится начало развертывания Глобальной навигационной систе-
мы ( GPS) [6]. Стало ясно, что эта система обеспечивает наиболее эффективный
способ синхронизации измерений параметров энергосистем на больших расстоя-
ниях. Первые прототипы современных устройств векторных измерений ( УСВИ),
использующих GPS, были созданы в Политехническом университете Виргинии
в начале 1980-х годов, два образца таких устройств представлены на рис. 1.1.
УСВИ, разработанные в Политехническом университете Виргинии, были уста-
новлены на нескольких подстанциях Бонневильского управления энергетики,
Американской электроэнергетической компании и Энергетического управле-
ния Нью-Йорка. Впервые коммерческим производством УСВИ в сотрудниче-
стве с Политехническим университетом Виргинии занялась компания Macrodyne
в 1991 году [7]. В настоящее время целый ряд производителей предлагает УСВИ
в качестве серийно выпускаемых изделий, а развертыванием УСВИ в энергоси-
стемах серьезно занимаются во многих странах по всему миру. В 1991 году [8, 9]
был опубликован стандарт IEEE, устанавливающий формат файлов данных, фор-
мируемых и передаваемых посредством УСВИ. В 2005 году вышла пересмотрен-
ная редакция этого стандарта.
Параллельно с разработкой УСВИ как средств измерений продолжались
исследования возможностей применения измерений, осуществляемых с помо-
щью УСВИ. Эти области применения будут более подробно рассмотрены в по-
следующих главах книги. На сегодняшний день можно сказать, что технология
синхронизированных векторных измерений достигла зрелости, большинство
современных энергосистем по всему миру находятся в процессе развертывания
мониторинга переходных режимов векторных измерений.
1.2. Представление синусоид в виде комплексной амплитуды
Рассмотрим чисто синусоидальную величину, имеющую вид
x(t ) = Xm cos(ωt + φ), (1.1)
где ω — частота сигнала в радианах в секунду, φ — фазовый угол в радианах,
Xm — амплитуда сигнала. Среднеквадратичное значение входного сигнала равно
(Xm/ 2 ). Напомним, что среднеквадратичные значения особенно полезны при
расчете активной и реактивной мощностей в цепи переменного тока.
Уравнение (1.1) также можно записать в виде
см. уравнение в книге
В вышеприведенном выражении принято опускать член ej(ωt), поскольку по-
нятно, что частота — это ω. Синусоида, описываемая уравнением (1.1), пред-
ставляет собой комплексное число X, известное как комплексный вектор:
см. уравнение в книге (1.2)
Синусоида и ее представление в виде комплексного вектора изображены
на рис. 1.2.
Ранее было сказано, что представление в виде комплексного вектора возмож-
но только для чистой синусоиды. На практике форма сигнала часто искажается
другими сигналами с различными частотами. Поэтому необходимо выделить од-
ночастотную составляющую сигнала (обычно для анализа представляет интерес
основная частота), а затем представить ее в виде комплексного вектора. Выделе-
ние одночастотной составляющей сигнала часто выполняется с помощью преоб-
разования Фурье. В дискретных системах с отсчетами данных оно принимает вид
дискретного преобразования Фурье (ДПФ) или быстрого преобразования Фурье
(БПФ). Эти преобразования разбираются в следующем разделе. Определение
комплексного вектора также предполагает, что сигнал не меняется на протяже-
нии всего времени. Однако на практике можно принимать во внимание лишь
часть промежутка времени, в течение которого рассматривается представление
в виде комплексного вектора. Этот промежуток времени, также известный как
« окно данных», очень важен при оценке комплексного вектора реальных сигна-
лов. В последующих разделах он будет рассмотрен более подробно.
1.3. Ряды Фурье и преобразование Фурье
1.3.1. Ряды Фурье
Пусть x(t) — периодическая функция времени t с периодом, равным T. Тогда
x(t + kT) = x(t) для всех целочисленных значений k. Периодическая функция
может быть представлена в виде ряда Фурье:
см. уравнение в книге (1.3)
где постоянные ak и bk имеют вид
см. уравнение в книге (1.4)
Ряд Фурье также можно записать в экспоненциальной форме:
см. уравнение в книге (1.5)
где
см. уравнение в книге (1.6)
Отметим, что суммирование в уравнении (1.5) выполняется от −∞ до +∞,
а в уравнении (1.3) — от 1 до +∞. Изменение пределов суммирования объясняет-
ся тем, что косинус и синус представляют четную и нечетную функцию k соот-
ветственно. В результате расширение пределов суммирования до (от −∞ до +∞)
и устранение коэффициента 2 перед интегралами в выражениях для ak и bk дают
требуемую экспоненциальную форму ряда Фурье.
Пример 1.1. Рассмотрим периодический прямоугольный сигнал с периодом T,
изображенный на рис. 1.3. Это четная функция времени. Коэффициенты Фурье
(в экспоненциальной форме) имеют вид
см. уравнение в книге
Следовательно,
α0 = 1/2,
α1 = 1/π, α−1 = 1/π,
α3 = −1/3π, α−3 = −1/3π,
α5 = 1/5π, α−5 = 1/5π и т. д., а все четные коэффициенты равны нулю.
Таким образом, ряд Фурье прямоугольного сигнала имеет вид
см. выражение в книге
Следовательно,
см. выражения в книге
Сумма первых семи членов ряда представлена на рис. 1.4.
1.3.2. Преобразование Фурье
Есть несколько прекрасных учебников, посвященных преобразованиям Фу-
рье [10, 11]. Для более полного понимания теории преобразований Фурье чи-
тателю следует обратиться к этим книгам. Здесь рассмотрены только вопросы,
представляющие непосредственный интерес при оценке комплексного вектора
в энергосистемах.
Преобразование Фурье непрерывной функции времени x(t), удовлетворяю-
щей определенным условиям интегрируемости [10], имеет вид
см. уравнение в книге (1.7)
Обратное преобразование Фурье восстанавливает функцию времени из пре-
образования Фурье:
см. уравнение в книге (1.8)
Важной функцией, часто применяемой в вычислениях с использованием
дискретных данных, является импульсная функция δ(t), определяемая как
см. уравнение в книге (1.9)
Импульсная функция (также известная как функция распределения или
дельта-функция Дирака) представляет собой функцию дискретизации в том
смысле, что результатом интегрирования в уравнении (1.9) будет отсчет функ-
ции x(t) при t = t0. Интегралы такого типа, как в (1.9), называют интегралами
свертки. Таким образом, процесс дискретизации с одинаковыми интервалами
ΔT можно рассматривать как свертку входного сигнала и последовательности
импульсных функций δ(t − kΔT), где k изменяется в пределах от −∞ до +∞.
Свертки двух функций времени и их преобразования Фурье имеют удобные
соотношения. Рассмотрим свертку z(t) двух функций времени x(t) и y(t):
см. уравнение в книге (1.10)
Важным результатом в отношении сверток является следующее свойство.
Свойство 1. Преобразование Фурье свертки равно произведению преобразований
Фурье подвергающихся свертке функций, т. е.:
Если s(t) = x(t) ∗ y(t), то S(ƒ) = X(ƒ) · Y(ƒ).
Аналогично обратное преобразование Фурье свертки двух преобразований Фурье
равно произведению соответствующих обратных преобразований Фурье:
Если S(ƒ) = X(ƒ) ∗ Y(ƒ) s(t) = x(t) ∗ y(t), то z(t) = x(t) · y(t).
Далее иллюстрируется второе из двух приведенных утверждений. Рассмо-
трим функции x(t) = cos(ω0t) и y(t) = sin(ω0t) при ω0 = 2πf0. Преобразования Фу-
рье функций x(t) и y(t) выглядят следующим образом:
см. уравнение в книге
и аналогично
см. уравнение в книге
Преобразования Фурье чисто косинусоидального сигнала единичной ам-
плитуды представляют собой пару действительных импульсных функций
на частотах ±f0, а преобразования Фурье чисто синусоидального сигнала еди-
ничной амплитуды — пару мнимых импульсных функций с противоположны-
ми знаками на частотах ±f0.
Свертка двух определенных выше преобразований Фурье в частотной об-
ласти имеет вид
см. уравнение в книге
Использование избирательных свойств, присущих интегралам, содержа-
щим импульсные функции, дает:
см. уравнение в книге.
Очевидно, что обратное преобразование Фурье S(f ) имеет вид
см. уравнение в книге
Это свойство сверток будет использоваться при разборе процесса дискре-
тизации и ДПФ. Некоторые другие свойства преобразования Фурье, которые
особенно полезны для дальнейшего понимания, изложены далее и сопрово-
ждаются примерами.
Свойство 2. Преобразование Фурье четной функции дает четную функцию ча-
стоты. Если четная функция действительная, то результат преобразования Фу-
рье также будет действительной и четной функцией.
Рассмотрим такую четную функцию времени x(t), что x(−t) = x(t). Пусть x(t)
будет комплексной: x(t) = r(t) + js(t). Преобразование Фурье X(f ) данной функ-
ции имеет вид
см. уравнение в книге
Второй и четвертый интегралы равны нулю, так как подынтегральные вы-
ражения являются нечетными функциями времени. Таким образом,
см. уравнение в книге.
Поскольку cos(2πft) = cos(−2πft), то, соответственно: X(f ) = X(−f ).
Кроме того, если x(t) — действительная функция, равная r(t), то преобра-
зование Фурье функции x(t) представляет собой функцию R(f ), которая тоже
является действительной и четной.
Свойство 3. Преобразование Фурье нечетной функции дает нечетную функцию ча-
стоты. Если нечетная функция мнимая, то результат преобразования Фурье так-
же будет мнимой и нечетной функцией.
Рассмотрим такую нечетную функцию времени x(t), что x(−t) = −x(t). Пусть
x(t) будет комплексной: x(t) = r(t) + js(t). Преобразование Фурье X(f) данной
функции имеет вид
см. уравнение в книге
Первый и третий интегралы равны нулю, так как подынтегральные выраже-
ния являются нечетными функциями времени. Таким образом,
см. уравнение в книге
Поскольку sin(2πft) = −sin(−2πft), то, соответственно: X(f ) = −X(−f ).
Кроме того, если x(t) — действительная функция, равная r(t), то преобразо-
вание Фурье функции x(t) представляет собой функцию jR(f ), которая является
мнимой и нечетной.
Свойство 4. Преобразование Фурье действительной функции имеет четную дей-
ствительную часть и нечетную мнимую часть.
Рассмотрим действительную функцию времени x(t) = r(t) + j0. Преобразова-
ние Фурье имеет вид
см. уравнение в книге
Поскольку функции косинуса и синуса представляют четную и нечетную
функции частоты соответственно, очевидно, что R1(f ) — четная функция часто-
ты, а R2(f) — нечетная.
Свойство 5. Преобразование Фурье периодической функции представляет собой по-
следовательность импульсных функций частоты.
Если x(t) — периодическая функция времени t с периодом, равным T, ее
можно представить в виде экспоненциального ряда Фурье, описываемого урав-
нениями (1.5) и (1.6):
см. уравнение в книге
Преобразование Фурье функции x(t), выраженное в экспоненциальной фор-
ме, имеет вид
см. уравнение в книге
где используется обратный порядок суммирования и интегрирования (пред-
полагается, что это допустимо). Для основной частоты периодического сигна-
ла f0 = 1/T интеграл экспоненциального члена в последней форме представляет
импульсную функцию δ(kf0 − f ), и, таким образом, преобразование Фурье пе-
риодической функции x(t) имеет вид
см. уравнение в книге
Это последовательность импульсов с частотами, кратными основной часто-
те периодического сигнала f0, и амплитудами, равными амплитудам каждой ча-
стотной составляющей во входном сигнале.
Свойство 6. Преобразование Фурье последовательности импульсов дает последо-
вательность импульсных функций в частотной области.
Рассмотрим функцию
см. уравнение в книгу
Это периодическая функция с периодом T, следовательно, ее преобразова-
ние Фурье (с учетом вышеуказанного свойства 5) имеет вид
см. уравнение в книге
Поскольку дельта-функция в подынтегральном выражении дает значение
экспоненты при t = 0, ak равно 1/T для всех k, и преобразование Фурье функ-
ции x(t) приобретает вид
см. уравнение в книге
т. е. представляет собой последовательность импульсов в частотной области
с периодами kf0 и амплитудой 1/T.
Пример 1.2. Рассмотрим прямоугольный входной сигнал, изображенный
на рис. 1.5. Это четная функция времени.
Преобразование Фурье данной функции имеет вид
см. уравнение в книге
Первый член преобразования Фурье — это коэффициент сдвига фаз, опу-
щенный на графике (рис. 1.5б) для удобства. Если прямоугольный сигнал имеет
центр в начале координат, то t1 = −T0/2, и коэффициент сдвига фаз обращается
в нуль. Это также соответствует вышеуказанному свойству 2 преобразования
Фурье, согласно которому преобразование Фурье четной действительной функ-
ции должно быть четной действительной функцией частоты.
1.4. Дискретные данные и наложение спектров
Дискретные отсчеты входных сигналов являются начальной точкой цифровой
обработки сигналов. Вычисление комплексных амплитуд напряжений и токов
начинается с взятия равномерных отсчетов сигнала в моменты времени kΔT
{k = 0, ±1, ±2, ±3, ±4, …}. Пусть при дискретизации входного сигнала x(t) полу-
чена последовательность дискретных отсчетов x(kΔT). Эти данные можно пред-
ставить в виде функции времени x′(t), состоящей из равномерно следующих им-
пульсов, каждый из которых имеет амплитуду x(kΔT):
см. уравнение в книге (1.11)
Представляет интерес определение преобразования Фурье дискретной
функции, представленной уравнением (1.11). Отметим, что эта функция пред-
ставляет произведение функции x(t) и функции отсчетов δ(t − kΔT), при этом
произведение интерпретируется в смысле уравнения (1.9). Следовательно, пре-
образование Фурье X′(f ) функции x′(t) является сверткой преобразований Фу-
рье функции x(t) и одиночных импульсов. С учетом свойства 6, приведенного
в разделе 1.3, преобразование Фурье последовательности импульсов имеет вид
см. уравнение в книге (1.12)
Следовательно, преобразование Фурье функции отсчетов представляет
свертку:
см. уравнение в книге (1.13)
Еще раз отметим, что используется обратный порядок суммирования и ин-
тегрирования (предполагается, что это допустимо) и что интеграл вычисляется
с помощью избирательного свойства функции Дирака.
Соотношение между преобразованиями Фурье функций x(t) и x′(t) показа-
но на рис. 1.6. Преобразование Фурье функции x(t) изображено с ограниченной
шириной спектра; это означает, что оно не имеет составляющих, находящихся
за пределами частоты среза fc. Для дискретных данных используется преобра-
зование Фурье, состоящее из бесконечной последовательности преобразова-
ний Фурье функции x(t), сосредоточенных на частотных интервалах (k/ΔТ) для
всех k. Напомним, что интервал дискретизации равен ΔT, так что частота дис-
кретизации fs = (1/ΔT).
Если частота отсечки fc больше половины частоты дискретизации fs, то пре-
образование Фурье отсчетов данных будет иметь вид, показанный на рис. 1.7.
В этом случае спектр отсчетов на выходе отличается от спектра входного сиг-
нала и спектры соседних отсчетов накладываются друг на друга, что показано
на рис. 1.7 штриховкой. Это означает, что из-за явления, известного как нало-
жение спектров, частотные составляющие, которые оцениваются в этой обла-
сти по данным отсчетам, будут ошибочными.
Из вышеприведенного обсуждения ясно, что во избежание ошибок из-за
наложения спектров ширина спектра входного сигнала должна быть меньше
половины частоты дискретизации, используемой при взятии отсчетов данных.
Это требование известно как критерий Найквиста1.
Во избежание ошибок из-за наложения спектров во всех системах с взятием
отсчетов данных для оценки комплексного вектора принято применять сгла-
живающие фильтры, которые ограничивают входные сигналы по частоте зна-
чением, меньшим половины выбранной частоты дискретизации. Отметим, что
частота отсечки входного сигнала должна быть меньше половины частоты дис-
кретизации. На практике спектр сигнала, как правило, ограничен значением,
которое значительно меньше требуемого для выполнения критерия Найкви-
ста. Сглаживающие фильтры обычно представляют собой пассивные низко-
частотные RC-фильтры [12], хотя для получения прямоугольной характери-
стики могут использоваться и активные фильтры. В дополнение к пассивным
сглаживающим фильтрам в особых случаях (например, при избыточной дис-
кретизации и прореживании) также могут использоваться цифровые фильтры.
Все сглаживающие фильтры вносят во входной сигнал частотно-зависимый
сдвиг фаз, который необходимо компенсировать, чтобы представить входной
сигнал в виде комплексной амплитуды. Этот вопрос будет рассматриваться да-
лее в главе 5, где представлены стандартные синхронизированные векторные
измерения.
1.5. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)
Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) — это способ вычисления преоб-
разования Фурье с использованием небольшого количества отсчетов входного
сигнала х(t). Преобразование Фурье вычисляется дискретными шагами в ча-
стотной области так же, как входной сигнал дискретизируется во временной об-
ласти. Рассмотрим процесс выбора N отсчетов x(kΔT) при {k = 0, 1, 2, …, N − 1}
и интервале дискретизации ΔT. Это эквивалентно умножению последователь-
ности дискретных отсчетов на оконную функцию w(t), которая представляет со-
бой прямоугольную функцию времени с единичной амплитудой и шириной
окна NΔT. Очевидно, что при выборе отсчетов от 0 до N − 1 оконная функция
может рассматриваться в диапазоне от −ΔT/2 до (N − 1/2)ΔT. Функция x(t), функ-
ция дискретизации δ(t) и оконная функция w(t) вместе с их преобразованиями
Фурье представлены на рис. 1.8.
Рассмотрим множество отсчетов сигнала, попадающих в окно данных:
x(kΔT) при {k = 0, 1, 2, …, N − 1}. Эти отсчеты можно рассматривать как результат
умножения сигнала x(t), функции дискретизации δ(t) и оконной функции ω(t):
см. уравнение в книге (1.14)
где умножение на дельта-функцию вновь следует понимать в смысле интеграла
в уравнении (1.9). Тогда преобразование Фурье функции y(t) представляет собой
свертку преобразований Фурье трех вышеназванных функций.
Для получения ДПФ функции y(t) ее преобразование Фурье необходимо
дискретизировать в частотной области. Дискретный интервал в частотной об-
ласти кратен 1/T0, где T0 — ширина оконной функции. Функция дискретизации
по частоте Φ(f ) определяется выражением
см. уравнение в книге (1.15)
а ее обратное преобразование Фурье (с учетом свойства 6 преобразования Фу-
рье) имеет вид
см. уравнение в книге (1.16)
Для получения отсчетов в частотной области необходимо умножить преоб-
разование Фурье Y(f ) на F(f ). Для получения соответствующей функции во вре-
менной области x′(t) нам потребуется свертка функций y(t) и φ(t) во временной
области:
см. уравнение в книге (1.17)
Это периодическая функция с периодом Т0. Функции x(t), y(t) и x′(t) пред-
ставлены на рис. 1.9. Оконная функция ограничивает данные отсчетами от 0
до N − 1, а дискретизация в частотной области преобразует исходные N отсчетов
во временной области в бесконечную последовательность из N отсчетов с пе-
риодом T0, как показано на рис. 1.9в. Отметим, что исходная функция x(t) не пе-
риодическая, в отличие от функции x′(t), и можно считать функцию x′(t) при-
ближенным представлением x(t).
Преобразование Фурье периодической функции x′(t) с учетом свойства 5
преобразования Фурье представляет собой последовательность импульсных
функций в частотной области. Таким образом,
см. уравнение в книге (1.18)
Подставив значение x′(t) в вышеприведенное выражение для αn, получаем:
Индекс m обозначает последовательность периодов, показанных на рис. 1.9в.
Поскольку пределы интегрирования включают только один период, можно изба-
виться от суммирования по m и принять m = 0, используя только отсчеты за пери-
од, выделенный жирным на рис. 1.9в. Тогда уравнение (1.15) приобретает вид
см. уравнение в книге (1.20)
Поскольку в окне данных T0 есть N отсчетов, NΔT = T0. Таким образом,
см. уравнение в книге (1.21)
Хотя индекс n принимает все положительные и отрицательные целочислен-
ные значения, необходимо отметить, что есть только N отдельных коэффици-
ентов αn. Следовательно, αN+1 совпадает с α1, а преобразование Фурье X′(f ) имеет
только N отдельных значений, соответствующих частотам f = n/T0 при измене-
нии n в диапазоне от 0 до N − 1:
см. уравнение в книге (1.22)
Уравнение (1.22) представляет собой определение ДПФ N отсчетов входного
сигнала, взятых с интервалом ΔT. ДПФ симметрично относительно N/2, а все
составляющие, кроме N/2, просто находятся в области отрицательных частот.
Таким образом, с помощью ДПФ не вычисляются частотные составляющие,
находящиеся за пределами N/(2T0), это формирует границу Найквиста, что по-
зволяет избежать ошибок из-за наложения спектров.
Также отметим, что любая действительная функция времени может быть
записана в виде суммы действительной и нечетной функций. Следовательно,
с учетом вышеуказанных свойств 2 и 3 любая действительная функция времени
будет иметь действительные части ДПФ, которые будут четными функциями ча-
стоты, и мнимые части ДПФ, которые будут нечетными функциями частоты.
1.5.1. ДПФ и ряды Фурье
Коэффициенты ряда Фурье периодического сигнала можно получить с по-
мощью ДПФ функции отсчетов, разделив ДПФ на N — количество отсчетов
в окне данных. Таким образом, ряд Фурье для функции x(t) можно представить
формулой: см. в книге (1.23)
Поскольку в ДПФ есть только N составляющих, суммирование по k в урав-
нении (1.23) выполняется с учетом {k = 0, …, N − 1}.
Пример 1.3. Рассмотрим периодическую функцию x(t) = 1 + cos 2πf0t + sin 2πf0t.
Эта функция уже представлена рядом Фурье при a0 = 2, a1 = 1, b1 = 1. Отсчеты бе-
рутся 16 раз за один период основной частоты. Дискретные отсчеты, ДПФ, а так-
же ДПФ, разделенное на 16 (N — количество отсчетов), представлены в табл. 1.1.
Последний столбец содержит коэффициенты ряда Фурье. Отметим, что
в нулевой позиции появляется составляющая постоянного тока a0, а в 1-й (2-й
строчке) и 15-й позициях появляется составляющая основной частоты. Член,
содержащий косинус, будучи четной функцией, дает действительные части,
которые являются четными функциями частоты (0,5 на частотах ±f0), а член,
содержащий синус, будучи нечетной функцией времени, дает нечетные функ-
ции частоты (±j0,5 на частотах ±f0). Коэффициент a1 получен сложением дей-
ствительных частей, соответствующих f0 и −f0 в столбце ДПФ/16, а коэффициент
b1 — вычитанием мнимой части члена на частоте −f0 из мнимой части члена
на частоте f0:
a0 = 2X0 = 2,
a1 = действительная часть (X1 + XN−1) = 1,
b1 = мнимая часть (X1 − XN−1) = 1.
Из приведенного выше примера ясно, что коэффициенты ряда Фурье пе-
риодической функции x(t) можно получить ДПФ отсчетов по следующим
формулам:
a0 = 2 · X0,
ak = 2 · действительная часть (Xk),
bk = 2 · мнимая часть (Xk) для k = 1, 2, …, N/2 − 1.
Первая редакция этой книги вышла в начале 2008 года. За прошедшее с тех пор
время во всем мире неуклонно совершенствовались технологии для улучшения
мониторинга, защиты и контроля энергосистем. Во многих странах в сетях ак-
тивно устанавливают устройства синхронизированных векторных измерений
(УСВИ) и системы мониторинга переходных режимов (СМПР). В США различ-
ные электроэнергетические компании, правительственные учреждения, в част-
ности Министерство энергетики США, и многие другие отраслевые группы
по-прежнему поддерживают деятельность, связанную с этой технологией. Хотя
в масштабах электросети США количество подстанций, оснащенных УСВИ
и СМПР, остается небольшим, было положено отличное начало, а отдельные
электроэнергетические компании в большинстве случаев продолжают прила-
гать усилия для увеличения охвата СМПР.
На наш взгляд, новым рубежом в этой области является разработка новых
направлений применения УСВИ и СМПР. Работа над новыми способами при-
менения продолжается во многих организациях по всему миру. Очень полез-
ной областью применения является анализ аварийных происшествий после
серьезных возмущений в энергосистеме, он помогает при определении причин
и хронологии событий, которые способствовали возникновению возмущений.
В связи с этим важное значение имеет регистрация и получение сведений о та-
ких событиях, что требует отбора важных данных СМПР для проверки моде-
лей системы, используемых при моделировании в рамках анализа аварийных
происшествий. В настоящее время нет удобного инструмента, который будет
проверять все сохраненные данные и определять, какие сегменты данных пред-
ставляют наибольший интерес. Мы ожидаем, что одним из результатов данного
исследования станут применения для решения задачи отбора данных.
Во многих организациях разрабатывается оценка состояния исключительно
на основании результатов измерений УСВИ или в сочетании с системой диспет-
черского управления и сбора данных (SCADA). Новым путем развития в этом
направлении является оценка состояния в фазовых координатах, а не с помо-
щью оценки напряжения прямой последовательности. Также многими органи-
зациями разрабатываются защита и управление с использованием СМПР, не-
которые результаты таких исследований представлены здесь.
Мы уточнили многие разделы этой книги и надеемся, что это сделает наши
идеи яснее.
Чрезвычайно полезная особенность этой редакции заключается в возмож-
ности опираться на последние работы наших коллег. Вместо того чтобы самим
пересказывать чужие работы, мы пригласили принять непосредственное уча-
стие в создании этой книги их авторов. Свой вклад внесли трое наших коллег
и друзей, которые написали соответствующие части. Несколько разделов этой
книги принадлежат перу д-ра Анамитры Пала, бывшего студента магистрату-
ры Политехнического университета Виргинии; кроме того, он участвовал в на-
писании главы 9, посвященной передовым разработкам в области управления
с использованием систем мониторинга переходных режимов. Кеннет Э. Мартин
сыграл ведущую роль в создании стандартов для УСВИ и СМПР в Комитете
Энергетического общества по релейной защите энергосистем, а также парал-
лельно работал в МЭК, чтобы стандарты стали более точными и шли в ногу
с развитием технологий. Он участвовал в написании раздела 5.6, посвященного
нынешнему состоянию этих стандартов. Мы признаем подвижность стандар-
тов; они, безусловно, будут изменены в ближайшие годы с появлением новых
разработок в данной области технологии. Тему калибровки измерительных
трансформаторов и оценки параметров передающих сетей первоначально раз-
рабатывала д-р Чжунъюй У, будучи аспиранткой Политехнического универси-
тета Виргинии. Она продолжила работу в этой сфере и участвовала в написании
раздела 7.6, в котором объединены новейшие разработки в этой области.
Мы благодарны д-ру Палу, г-ну Мартину и д-ру У за их вклад в создание на-
шей книги. Мы считаем, что это значительно увеличило общий охват темы.
Наконец, мы хотели бы поблагодарить многих коллег по всему миру, ко-
торые использовали нашу книгу и переписывались с нами по вопросам, пред-
ставляющим взаимный интерес. Мы надеемся, что новое издание нашей книги
будет по-прежнему интересно для студентов, исследователей и специалистов
отрасли.
г. Уилсонвилл, штат Орегон, США
г. Блэксберг, штат Вирджиния, США
Январь 2017 года
Арун Г. Фадке
Джеймс С. Торп
Предисловие к первому изданию
Синхронизированные векторные измерения стали предпочтительным методом
измерений электрических энергосистем. Они обеспечивают синхронизацию
измерений напряжения и силы тока прямой последовательности с точностью
до микросекунды. Это стало возможным благодаря наличию системы глобаль-
ного позиционирования и методам обработки дискретных данных, разрабо-
танным для применения в компьютерной релейной защите. Помимо значений
напряжения и силы тока прямой последовательности, эти системы измеряют
локальную частоту и скорость изменения частоты и могут настраиваться для
измерения гармоник, величин обратных и нулевых последовательностей, а так-
же отдельных значений фазового напряжения и тока. В настоящее время суще-
ствует около двух десятков коммерческих производителей устройств векторных
измерений (УСВИ), разработанные Комитетом IEEE по релейной защите энер-
госистем отраслевые стандарты сделали возможной оперативную совмести-
мость устройств разных производителей.
Недавний всплеск масштабных веерных отключений энергосистем по все-
му миру придал дополнительный импульс широкомасштабному развертыва-
нию УСВИ. Измерение параметров прямой последовательности обеспечивает
кратчайший прямой доступ к получению сведений о состоянии энергосистемы
в любой момент времени. Многие направления применения результатов этих
измерений описаны в технической литературе, и, несомненно, в ближайшие
годы их будет разработано еще больше.
Авторы этой книги стояли у истоков данной технологии, они вместе со сво-
ими коллегами и учениками подготовили обширный массив литературы, по-
священной технологии векторных измерений и ее применению. Также значи-
тельный вклад в эту область внесли другие исследователи по всему миру. Наша
цель при написании этой книги заключается в предоставлении заинтересо-
ванным читателям связного отчета о развитии технологии и о новых способах
применения результатов этих измерений. Мы надеемся, что эта книга поможет
инженерам энергосистем понять азы организации и работы систем синхрони-
зированных векторных измерений. Эта технология должна начать эру совер-
шенствования мониторинга, защиты и контроля энергосистем.
г. Блэксберг, штат Вирджиния, США
Январь 2008 года
Арун Г. Фадке
Джеймс С. Торп
Часть I
Методы векторных измерений
ГЛАВА1
ВВЕДЕНИЕ
1.1. Исторический обзор
Фазовые углы комплексных значений напряжения на шинах электрической сети
всегда представляли особый интерес инженеров энергетических систем. Обще-
известно, что переток активной (действительной) мощности в линии электропе-
редачи практически пропорционален косинусу1 сдвига фаз напряжений на двух
зажимах линии. Поскольку многие аспекты планирования и эксплуатации энер-
госистемы непосредственно связаны с перетоком активной мощности, задача из-
мерения сдвигов фаз при передаче электроэнергии возникла достаточно давно.
Первое современное техническое решение, предполагающее непосредственное
измерение сдвига фаз, описано в трех статьях начала 1980-х годов [1–3]. Речь шла
о синхронизации опорного времени в разных точках энергосистемы с использо-
ванием спутниковых систем LORAN-C, GOES и радиопередачи HBG (в Европе).
Момент перехода фазового напряжения через нуль в положительном направле-
нии использовался для оценки фазового угла в данном месте относительно опор-
ного времени. На основе разницы углов, измеренных в двух местах относитель-
но общей точки отсчета, устанавливался сдвиг фаз между напряжениями на двух
концах. Точность измерений, достигнутая в этих системах, составляла порядка
40 мкс. Измерялись углы однофазного напряжения, но попытки измерить модуль
комплексного вектора преобладающего напряжения, разумеется, не предпри-
нимались. Также не принимались во внимание гармоники сигнала напряжения.
Эти способы измерения сдвигов фаз не могут быть распространены на системы
векторных измерений широкого охвата и остаются единственными в своем роде
системами, которые больше не используются.
Началом современной эры технологий векторных измерений ста-
ли исследования, проводившиеся в области компьютерной релейной за-
щиты линий электропередачи. Первые опыты по релейной защите линий
электропередачи с помощью микропроцессоров показали, что имеющихся в те
времена (1970-е годы) вычислительных мощностей едва ли было достаточно для
проведения расчетов, необходимых для выполнения всех функций релейной
защиты линии электропередачи.
Значительная часть этих расчетов была направлена на решение шести уравне-
ний тока короткого замыкания для каждого отсчета, чтобы определить наличие
какого-либо из десяти типов замыканий, возможных в трехфазной линии электро-
передачи. Поиск способов, которые устранили бы необходимость решения шести
уравнений, привел к появлению нового метода релейной защиты, основанного
на анализе симметричных составляющих напряжений и токов в линии. Примене-
ние симметричных составляющих и некоторых величин, полученных с их помо-
щью, сделало возможным выполнение всех расчетов короткого замыкания с по-
мощю одного уравнения. Этот новый алгоритм защиты линий электропередачи,
основанный на симметричных составляющих, был описан в статье, опубликован-
ной в 1977 году [4]. В рамках данной теории были описаны эффективные алгорит-
мы вычисления симметричных составляющих трехфазных напряжений и токов,
а расчет напряжений и токов прямой последовательности с использованием ал-
горитмов, предложенных в этой статье, дал толчок развитию современных систем
векторных измерений. Вскоре стало ясно, что измерение параметров прямой по-
следовательности (в рамках вычисления симметричных составляющих) представ-
ляет большую ценность само по себе. Напряжения прямой последовательности
в сети формируют вектор состояния энергосистемы, а это дает основополагаю-
щие сведения для анализа всей энергетической системы в целом. Первая работа,
в которой показана важность векторных измерений напряжений и токов прямой
последовательности и описаны некоторые варианты применения этих измерений,
была опубликована в 1983 году [5] и может считаться отправной точкой современ-
ной технологии синхронизированных векторных измерений. Примерно к этому
же времени относится начало развертывания Глобальной навигационной систе-
мы ( GPS) [6]. Стало ясно, что эта система обеспечивает наиболее эффективный
способ синхронизации измерений параметров энергосистем на больших расстоя-
ниях. Первые прототипы современных устройств векторных измерений ( УСВИ),
использующих GPS, были созданы в Политехническом университете Виргинии
в начале 1980-х годов, два образца таких устройств представлены на рис. 1.1.
УСВИ, разработанные в Политехническом университете Виргинии, были уста-
новлены на нескольких подстанциях Бонневильского управления энергетики,
Американской электроэнергетической компании и Энергетического управле-
ния Нью-Йорка. Впервые коммерческим производством УСВИ в сотрудниче-
стве с Политехническим университетом Виргинии занялась компания Macrodyne
в 1991 году [7]. В настоящее время целый ряд производителей предлагает УСВИ
в качестве серийно выпускаемых изделий, а развертыванием УСВИ в энергоси-
стемах серьезно занимаются во многих странах по всему миру. В 1991 году [8, 9]
был опубликован стандарт IEEE, устанавливающий формат файлов данных, фор-
мируемых и передаваемых посредством УСВИ. В 2005 году вышла пересмотрен-
ная редакция этого стандарта.
Параллельно с разработкой УСВИ как средств измерений продолжались
исследования возможностей применения измерений, осуществляемых с помо-
щью УСВИ. Эти области применения будут более подробно рассмотрены в по-
следующих главах книги. На сегодняшний день можно сказать, что технология
синхронизированных векторных измерений достигла зрелости, большинство
современных энергосистем по всему миру находятся в процессе развертывания
мониторинга переходных режимов векторных измерений.
1.2. Представление синусоид в виде комплексной амплитуды
Рассмотрим чисто синусоидальную величину, имеющую вид
x(t ) = Xm cos(ωt + φ), (1.1)
где ω — частота сигнала в радианах в секунду, φ — фазовый угол в радианах,
Xm — амплитуда сигнала. Среднеквадратичное значение входного сигнала равно
(Xm/ 2 ). Напомним, что среднеквадратичные значения особенно полезны при
расчете активной и реактивной мощностей в цепи переменного тока.
Уравнение (1.1) также можно записать в виде
см. уравнение в книге
В вышеприведенном выражении принято опускать член ej(ωt), поскольку по-
нятно, что частота — это ω. Синусоида, описываемая уравнением (1.1), пред-
ставляет собой комплексное число X, известное как комплексный вектор:
см. уравнение в книге (1.2)
Синусоида и ее представление в виде комплексного вектора изображены
на рис. 1.2.
Ранее было сказано, что представление в виде комплексного вектора возмож-
но только для чистой синусоиды. На практике форма сигнала часто искажается
другими сигналами с различными частотами. Поэтому необходимо выделить од-
ночастотную составляющую сигнала (обычно для анализа представляет интерес
основная частота), а затем представить ее в виде комплексного вектора. Выделе-
ние одночастотной составляющей сигнала часто выполняется с помощью преоб-
разования Фурье. В дискретных системах с отсчетами данных оно принимает вид
дискретного преобразования Фурье (ДПФ) или быстрого преобразования Фурье
(БПФ). Эти преобразования разбираются в следующем разделе. Определение
комплексного вектора также предполагает, что сигнал не меняется на протяже-
нии всего времени. Однако на практике можно принимать во внимание лишь
часть промежутка времени, в течение которого рассматривается представление
в виде комплексного вектора. Этот промежуток времени, также известный как
« окно данных», очень важен при оценке комплексного вектора реальных сигна-
лов. В последующих разделах он будет рассмотрен более подробно.
1.3. Ряды Фурье и преобразование Фурье
1.3.1. Ряды Фурье
Пусть x(t) — периодическая функция времени t с периодом, равным T. Тогда
x(t + kT) = x(t) для всех целочисленных значений k. Периодическая функция
может быть представлена в виде ряда Фурье:
см. уравнение в книге (1.3)
где постоянные ak и bk имеют вид
см. уравнение в книге (1.4)
Ряд Фурье также можно записать в экспоненциальной форме:
см. уравнение в книге (1.5)
где
см. уравнение в книге (1.6)
Отметим, что суммирование в уравнении (1.5) выполняется от −∞ до +∞,
а в уравнении (1.3) — от 1 до +∞. Изменение пределов суммирования объясняет-
ся тем, что косинус и синус представляют четную и нечетную функцию k соот-
ветственно. В результате расширение пределов суммирования до (от −∞ до +∞)
и устранение коэффициента 2 перед интегралами в выражениях для ak и bk дают
требуемую экспоненциальную форму ряда Фурье.
Пример 1.1. Рассмотрим периодический прямоугольный сигнал с периодом T,
изображенный на рис. 1.3. Это четная функция времени. Коэффициенты Фурье
(в экспоненциальной форме) имеют вид
см. уравнение в книге
Следовательно,
α0 = 1/2,
α1 = 1/π, α−1 = 1/π,
α3 = −1/3π, α−3 = −1/3π,
α5 = 1/5π, α−5 = 1/5π и т. д., а все четные коэффициенты равны нулю.
Таким образом, ряд Фурье прямоугольного сигнала имеет вид
см. выражение в книге
Следовательно,
см. выражения в книге
Сумма первых семи членов ряда представлена на рис. 1.4.
1.3.2. Преобразование Фурье
Есть несколько прекрасных учебников, посвященных преобразованиям Фу-
рье [10, 11]. Для более полного понимания теории преобразований Фурье чи-
тателю следует обратиться к этим книгам. Здесь рассмотрены только вопросы,
представляющие непосредственный интерес при оценке комплексного вектора
в энергосистемах.
Преобразование Фурье непрерывной функции времени x(t), удовлетворяю-
щей определенным условиям интегрируемости [10], имеет вид
см. уравнение в книге (1.7)
Обратное преобразование Фурье восстанавливает функцию времени из пре-
образования Фурье:
см. уравнение в книге (1.8)
Важной функцией, часто применяемой в вычислениях с использованием
дискретных данных, является импульсная функция δ(t), определяемая как
см. уравнение в книге (1.9)
Импульсная функция (также известная как функция распределения или
дельта-функция Дирака) представляет собой функцию дискретизации в том
смысле, что результатом интегрирования в уравнении (1.9) будет отсчет функ-
ции x(t) при t = t0. Интегралы такого типа, как в (1.9), называют интегралами
свертки. Таким образом, процесс дискретизации с одинаковыми интервалами
ΔT можно рассматривать как свертку входного сигнала и последовательности
импульсных функций δ(t − kΔT), где k изменяется в пределах от −∞ до +∞.
Свертки двух функций времени и их преобразования Фурье имеют удобные
соотношения. Рассмотрим свертку z(t) двух функций времени x(t) и y(t):
см. уравнение в книге (1.10)
Важным результатом в отношении сверток является следующее свойство.
Свойство 1. Преобразование Фурье свертки равно произведению преобразований
Фурье подвергающихся свертке функций, т. е.:
Если s(t) = x(t) ∗ y(t), то S(ƒ) = X(ƒ) · Y(ƒ).
Аналогично обратное преобразование Фурье свертки двух преобразований Фурье
равно произведению соответствующих обратных преобразований Фурье:
Если S(ƒ) = X(ƒ) ∗ Y(ƒ) s(t) = x(t) ∗ y(t), то z(t) = x(t) · y(t).
Далее иллюстрируется второе из двух приведенных утверждений. Рассмо-
трим функции x(t) = cos(ω0t) и y(t) = sin(ω0t) при ω0 = 2πf0. Преобразования Фу-
рье функций x(t) и y(t) выглядят следующим образом:
см. уравнение в книге
и аналогично
см. уравнение в книге
Преобразования Фурье чисто косинусоидального сигнала единичной ам-
плитуды представляют собой пару действительных импульсных функций
на частотах ±f0, а преобразования Фурье чисто синусоидального сигнала еди-
ничной амплитуды — пару мнимых импульсных функций с противоположны-
ми знаками на частотах ±f0.
Свертка двух определенных выше преобразований Фурье в частотной об-
ласти имеет вид
см. уравнение в книге
Использование избирательных свойств, присущих интегралам, содержа-
щим импульсные функции, дает:
см. уравнение в книге.
Очевидно, что обратное преобразование Фурье S(f ) имеет вид
см. уравнение в книге
Это свойство сверток будет использоваться при разборе процесса дискре-
тизации и ДПФ. Некоторые другие свойства преобразования Фурье, которые
особенно полезны для дальнейшего понимания, изложены далее и сопрово-
ждаются примерами.
Свойство 2. Преобразование Фурье четной функции дает четную функцию ча-
стоты. Если четная функция действительная, то результат преобразования Фу-
рье также будет действительной и четной функцией.
Рассмотрим такую четную функцию времени x(t), что x(−t) = x(t). Пусть x(t)
будет комплексной: x(t) = r(t) + js(t). Преобразование Фурье X(f ) данной функ-
ции имеет вид
см. уравнение в книге
Второй и четвертый интегралы равны нулю, так как подынтегральные вы-
ражения являются нечетными функциями времени. Таким образом,
см. уравнение в книге.
Поскольку cos(2πft) = cos(−2πft), то, соответственно: X(f ) = X(−f ).
Кроме того, если x(t) — действительная функция, равная r(t), то преобра-
зование Фурье функции x(t) представляет собой функцию R(f ), которая тоже
является действительной и четной.
Свойство 3. Преобразование Фурье нечетной функции дает нечетную функцию ча-
стоты. Если нечетная функция мнимая, то результат преобразования Фурье так-
же будет мнимой и нечетной функцией.
Рассмотрим такую нечетную функцию времени x(t), что x(−t) = −x(t). Пусть
x(t) будет комплексной: x(t) = r(t) + js(t). Преобразование Фурье X(f) данной
функции имеет вид
см. уравнение в книге
Первый и третий интегралы равны нулю, так как подынтегральные выраже-
ния являются нечетными функциями времени. Таким образом,
см. уравнение в книге
Поскольку sin(2πft) = −sin(−2πft), то, соответственно: X(f ) = −X(−f ).
Кроме того, если x(t) — действительная функция, равная r(t), то преобразо-
вание Фурье функции x(t) представляет собой функцию jR(f ), которая является
мнимой и нечетной.
Свойство 4. Преобразование Фурье действительной функции имеет четную дей-
ствительную часть и нечетную мнимую часть.
Рассмотрим действительную функцию времени x(t) = r(t) + j0. Преобразова-
ние Фурье имеет вид
см. уравнение в книге
Поскольку функции косинуса и синуса представляют четную и нечетную
функции частоты соответственно, очевидно, что R1(f ) — четная функция часто-
ты, а R2(f) — нечетная.
Свойство 5. Преобразование Фурье периодической функции представляет собой по-
следовательность импульсных функций частоты.
Если x(t) — периодическая функция времени t с периодом, равным T, ее
можно представить в виде экспоненциального ряда Фурье, описываемого урав-
нениями (1.5) и (1.6):
см. уравнение в книге
Преобразование Фурье функции x(t), выраженное в экспоненциальной фор-
ме, имеет вид
см. уравнение в книге
где используется обратный порядок суммирования и интегрирования (пред-
полагается, что это допустимо). Для основной частоты периодического сигна-
ла f0 = 1/T интеграл экспоненциального члена в последней форме представляет
импульсную функцию δ(kf0 − f ), и, таким образом, преобразование Фурье пе-
риодической функции x(t) имеет вид
см. уравнение в книге
Это последовательность импульсов с частотами, кратными основной часто-
те периодического сигнала f0, и амплитудами, равными амплитудам каждой ча-
стотной составляющей во входном сигнале.
Свойство 6. Преобразование Фурье последовательности импульсов дает последо-
вательность импульсных функций в частотной области.
Рассмотрим функцию
см. уравнение в книгу
Это периодическая функция с периодом T, следовательно, ее преобразова-
ние Фурье (с учетом вышеуказанного свойства 5) имеет вид
см. уравнение в книге
Поскольку дельта-функция в подынтегральном выражении дает значение
экспоненты при t = 0, ak равно 1/T для всех k, и преобразование Фурье функ-
ции x(t) приобретает вид
см. уравнение в книге
т. е. представляет собой последовательность импульсов в частотной области
с периодами kf0 и амплитудой 1/T.
Пример 1.2. Рассмотрим прямоугольный входной сигнал, изображенный
на рис. 1.5. Это четная функция времени.
Преобразование Фурье данной функции имеет вид
см. уравнение в книге
Первый член преобразования Фурье — это коэффициент сдвига фаз, опу-
щенный на графике (рис. 1.5б) для удобства. Если прямоугольный сигнал имеет
центр в начале координат, то t1 = −T0/2, и коэффициент сдвига фаз обращается
в нуль. Это также соответствует вышеуказанному свойству 2 преобразования
Фурье, согласно которому преобразование Фурье четной действительной функ-
ции должно быть четной действительной функцией частоты.
1.4. Дискретные данные и наложение спектров
Дискретные отсчеты входных сигналов являются начальной точкой цифровой
обработки сигналов. Вычисление комплексных амплитуд напряжений и токов
начинается с взятия равномерных отсчетов сигнала в моменты времени kΔT
{k = 0, ±1, ±2, ±3, ±4, …}. Пусть при дискретизации входного сигнала x(t) полу-
чена последовательность дискретных отсчетов x(kΔT). Эти данные можно пред-
ставить в виде функции времени x′(t), состоящей из равномерно следующих им-
пульсов, каждый из которых имеет амплитуду x(kΔT):
см. уравнение в книге (1.11)
Представляет интерес определение преобразования Фурье дискретной
функции, представленной уравнением (1.11). Отметим, что эта функция пред-
ставляет произведение функции x(t) и функции отсчетов δ(t − kΔT), при этом
произведение интерпретируется в смысле уравнения (1.9). Следовательно, пре-
образование Фурье X′(f ) функции x′(t) является сверткой преобразований Фу-
рье функции x(t) и одиночных импульсов. С учетом свойства 6, приведенного
в разделе 1.3, преобразование Фурье последовательности импульсов имеет вид
см. уравнение в книге (1.12)
Следовательно, преобразование Фурье функции отсчетов представляет
свертку:
см. уравнение в книге (1.13)
Еще раз отметим, что используется обратный порядок суммирования и ин-
тегрирования (предполагается, что это допустимо) и что интеграл вычисляется
с помощью избирательного свойства функции Дирака.
Соотношение между преобразованиями Фурье функций x(t) и x′(t) показа-
но на рис. 1.6. Преобразование Фурье функции x(t) изображено с ограниченной
шириной спектра; это означает, что оно не имеет составляющих, находящихся
за пределами частоты среза fc. Для дискретных данных используется преобра-
зование Фурье, состоящее из бесконечной последовательности преобразова-
ний Фурье функции x(t), сосредоточенных на частотных интервалах (k/ΔТ) для
всех k. Напомним, что интервал дискретизации равен ΔT, так что частота дис-
кретизации fs = (1/ΔT).
Если частота отсечки fc больше половины частоты дискретизации fs, то пре-
образование Фурье отсчетов данных будет иметь вид, показанный на рис. 1.7.
В этом случае спектр отсчетов на выходе отличается от спектра входного сиг-
нала и спектры соседних отсчетов накладываются друг на друга, что показано
на рис. 1.7 штриховкой. Это означает, что из-за явления, известного как нало-
жение спектров, частотные составляющие, которые оцениваются в этой обла-
сти по данным отсчетам, будут ошибочными.
Из вышеприведенного обсуждения ясно, что во избежание ошибок из-за
наложения спектров ширина спектра входного сигнала должна быть меньше
половины частоты дискретизации, используемой при взятии отсчетов данных.
Это требование известно как критерий Найквиста1.
Во избежание ошибок из-за наложения спектров во всех системах с взятием
отсчетов данных для оценки комплексного вектора принято применять сгла-
живающие фильтры, которые ограничивают входные сигналы по частоте зна-
чением, меньшим половины выбранной частоты дискретизации. Отметим, что
частота отсечки входного сигнала должна быть меньше половины частоты дис-
кретизации. На практике спектр сигнала, как правило, ограничен значением,
которое значительно меньше требуемого для выполнения критерия Найкви-
ста. Сглаживающие фильтры обычно представляют собой пассивные низко-
частотные RC-фильтры [12], хотя для получения прямоугольной характери-
стики могут использоваться и активные фильтры. В дополнение к пассивным
сглаживающим фильтрам в особых случаях (например, при избыточной дис-
кретизации и прореживании) также могут использоваться цифровые фильтры.
Все сглаживающие фильтры вносят во входной сигнал частотно-зависимый
сдвиг фаз, который необходимо компенсировать, чтобы представить входной
сигнал в виде комплексной амплитуды. Этот вопрос будет рассматриваться да-
лее в главе 5, где представлены стандартные синхронизированные векторные
измерения.
1.5. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)
Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) — это способ вычисления преоб-
разования Фурье с использованием небольшого количества отсчетов входного
сигнала х(t). Преобразование Фурье вычисляется дискретными шагами в ча-
стотной области так же, как входной сигнал дискретизируется во временной об-
ласти. Рассмотрим процесс выбора N отсчетов x(kΔT) при {k = 0, 1, 2, …, N − 1}
и интервале дискретизации ΔT. Это эквивалентно умножению последователь-
ности дискретных отсчетов на оконную функцию w(t), которая представляет со-
бой прямоугольную функцию времени с единичной амплитудой и шириной
окна NΔT. Очевидно, что при выборе отсчетов от 0 до N − 1 оконная функция
может рассматриваться в диапазоне от −ΔT/2 до (N − 1/2)ΔT. Функция x(t), функ-
ция дискретизации δ(t) и оконная функция w(t) вместе с их преобразованиями
Фурье представлены на рис. 1.8.
Рассмотрим множество отсчетов сигнала, попадающих в окно данных:
x(kΔT) при {k = 0, 1, 2, …, N − 1}. Эти отсчеты можно рассматривать как результат
умножения сигнала x(t), функции дискретизации δ(t) и оконной функции ω(t):
см. уравнение в книге (1.14)
где умножение на дельта-функцию вновь следует понимать в смысле интеграла
в уравнении (1.9). Тогда преобразование Фурье функции y(t) представляет собой
свертку преобразований Фурье трех вышеназванных функций.
Для получения ДПФ функции y(t) ее преобразование Фурье необходимо
дискретизировать в частотной области. Дискретный интервал в частотной об-
ласти кратен 1/T0, где T0 — ширина оконной функции. Функция дискретизации
по частоте Φ(f ) определяется выражением
см. уравнение в книге (1.15)
а ее обратное преобразование Фурье (с учетом свойства 6 преобразования Фу-
рье) имеет вид
см. уравнение в книге (1.16)
Для получения отсчетов в частотной области необходимо умножить преоб-
разование Фурье Y(f ) на F(f ). Для получения соответствующей функции во вре-
менной области x′(t) нам потребуется свертка функций y(t) и φ(t) во временной
области:
см. уравнение в книге (1.17)
Это периодическая функция с периодом Т0. Функции x(t), y(t) и x′(t) пред-
ставлены на рис. 1.9. Оконная функция ограничивает данные отсчетами от 0
до N − 1, а дискретизация в частотной области преобразует исходные N отсчетов
во временной области в бесконечную последовательность из N отсчетов с пе-
риодом T0, как показано на рис. 1.9в. Отметим, что исходная функция x(t) не пе-
риодическая, в отличие от функции x′(t), и можно считать функцию x′(t) при-
ближенным представлением x(t).
Преобразование Фурье периодической функции x′(t) с учетом свойства 5
преобразования Фурье представляет собой последовательность импульсных
функций в частотной области. Таким образом,
см. уравнение в книге (1.18)
Подставив значение x′(t) в вышеприведенное выражение для αn, получаем:
Индекс m обозначает последовательность периодов, показанных на рис. 1.9в.
Поскольку пределы интегрирования включают только один период, можно изба-
виться от суммирования по m и принять m = 0, используя только отсчеты за пери-
од, выделенный жирным на рис. 1.9в. Тогда уравнение (1.15) приобретает вид
см. уравнение в книге (1.20)
Поскольку в окне данных T0 есть N отсчетов, NΔT = T0. Таким образом,
см. уравнение в книге (1.21)
Хотя индекс n принимает все положительные и отрицательные целочислен-
ные значения, необходимо отметить, что есть только N отдельных коэффици-
ентов αn. Следовательно, αN+1 совпадает с α1, а преобразование Фурье X′(f ) имеет
только N отдельных значений, соответствующих частотам f = n/T0 при измене-
нии n в диапазоне от 0 до N − 1:
см. уравнение в книге (1.22)
Уравнение (1.22) представляет собой определение ДПФ N отсчетов входного
сигнала, взятых с интервалом ΔT. ДПФ симметрично относительно N/2, а все
составляющие, кроме N/2, просто находятся в области отрицательных частот.
Таким образом, с помощью ДПФ не вычисляются частотные составляющие,
находящиеся за пределами N/(2T0), это формирует границу Найквиста, что по-
зволяет избежать ошибок из-за наложения спектров.
Также отметим, что любая действительная функция времени может быть
записана в виде суммы действительной и нечетной функций. Следовательно,
с учетом вышеуказанных свойств 2 и 3 любая действительная функция времени
будет иметь действительные части ДПФ, которые будут четными функциями ча-
стоты, и мнимые части ДПФ, которые будут нечетными функциями частоты.
1.5.1. ДПФ и ряды Фурье
Коэффициенты ряда Фурье периодического сигнала можно получить с по-
мощью ДПФ функции отсчетов, разделив ДПФ на N — количество отсчетов
в окне данных. Таким образом, ряд Фурье для функции x(t) можно представить
формулой: см. в книге (1.23)
Поскольку в ДПФ есть только N составляющих, суммирование по k в урав-
нении (1.23) выполняется с учетом {k = 0, …, N − 1}.
Пример 1.3. Рассмотрим периодическую функцию x(t) = 1 + cos 2πf0t + sin 2πf0t.
Эта функция уже представлена рядом Фурье при a0 = 2, a1 = 1, b1 = 1. Отсчеты бе-
рутся 16 раз за один период основной частоты. Дискретные отсчеты, ДПФ, а так-
же ДПФ, разделенное на 16 (N — количество отсчетов), представлены в табл. 1.1.
Последний столбец содержит коэффициенты ряда Фурье. Отметим, что
в нулевой позиции появляется составляющая постоянного тока a0, а в 1-й (2-й
строчке) и 15-й позициях появляется составляющая основной частоты. Член,
содержащий косинус, будучи четной функцией, дает действительные части,
которые являются четными функциями частоты (0,5 на частотах ±f0), а член,
содержащий синус, будучи нечетной функцией времени, дает нечетные функ-
ции частоты (±j0,5 на частотах ±f0). Коэффициент a1 получен сложением дей-
ствительных частей, соответствующих f0 и −f0 в столбце ДПФ/16, а коэффициент
b1 — вычитанием мнимой части члена на частоте −f0 из мнимой части члена
на частоте f0:
a0 = 2X0 = 2,
a1 = действительная часть (X1 + XN−1) = 1,
b1 = мнимая часть (X1 − XN−1) = 1.
Из приведенного выше примера ясно, что коэффициенты ряда Фурье пе-
риодической функции x(t) можно получить ДПФ отсчетов по следующим
формулам:
a0 = 2 · X0,
ak = 2 · действительная часть (Xk),
bk = 2 · мнимая часть (Xk) для k = 1, 2, …, N/2 − 1.