eng
Содержание
Содержание
Введение 5
Глава 1. Постановка и общая схема решения задачи совместного
проектирования конструкции и САУ БПЛА с учетом аэроупругости 11
1.1.
Общая характеристика динамических явлений
аэроупругости 11
1.2.
Структурная схема аэроупругого взаимодействия ЛА
с САУ 24
1.3.
Методы исследования аэроупругой устойчивости ЛА
с САУ 29
1.4.
Учет требований аэроупругости в процессе разработки
БПЛА 31
1.5.
Постановка и общая схема решения задачи
совместного проектирования конструкции и САУ БПЛА 34
Глава 2. Формирование контура стабилизации БПЛА с учетом
требований аэроупругой устойчивости 39
2.1.
Уравнения движения БПЛА 40
2.2.
Передаточные функции жесткого БПЛА как объекта
управления 44
2.3.
Передаточные функции упругого БПЛА 46
2.4.
Выбор структуры и основных параметров системы
стабилизации упругого БПЛА по тангажу (рысканью) 48
Глава 3. Обеспечение требований аэроупругой устойчивости
БПЛА на этапе эскизного проектирования 56
3.1.
Учет требований безопасности от флаттера при
разработке конструкции БПЛА 56
3.2.
Синтез рациональных конструктивно-
технологических решений несущих поверхностей
малого удлинения 64
3.3.
Оптимизация параметров конструкции несущих
поверхностей по условиям прочности и аэроупругой
устойчивости 86
3.4.
Математические модели исследования аэроупругой
устойчивости БПЛА совместно с САУ 94
3.5.
Учет требований обеспечения аэроупругой
устойчивости БПЛА с САУ 108
3.6.
Пример решения задачи согласования параметров
конструкции и САУ БПЛА 113
Глава 4. Экспериментальное определение характеристик
собственных колебаний 128
4.1.
Постановка задачи 128
4.2.
Место и роль экспериментального определения
характеристик собственных колебаний 129
4.3.
Теоретические основания модальных испытаний 132
4.4.
Частотные характеристики и реализации по времени 137
4.5.
Варианты постановки эксперимента 138
Глава 5. Расчетно-экспериментальные исследования контура
стабилизации при наземной отработке БПЛА 147
5.1.
Назначение исследований 147
5.2.
Соотношение цепей угловой скорости и линейного
ускорения по частотным характеристикам и характеру
сигналов 150
5.3.
Запасы устойчивости и предельные циклы
автоколебаний 152
5.4.
Экспериментальное определение частотных
характеристик корпуса и органов управления 155
5.5.
Электромеханическое моделирование
аэродинамических воздействий 162
Глава 6. Аппаратная и программная часть экспериментальных
исследований 166
6.1.
Общая схема и организация испытаний 166
6.2.
Элементы оборудования 167
6.3.
Средства измерения установившихся колебаний
и переходных процессов 168
6.4.
Средства возбуждения 171
Библиографический список 178
Введение
Проектирование современного летательного аппарата (ЛА) связа-
но с необходимостью решения многих научно-технических задач.
В их число входит предотвращение опасных автоколебаний в полете
с учетом упругости конструкции. Данная задача относится к науке
аэроупругости, а точнее — динамической аэроупругости, в которой
рассматривается взаимодействие упругой конструкции при ее коле-
баниях с потоком воздуха. Применительно к беспилотным летатель-
ным аппаратам (БПЛА) имеется ряд особенностей, заставляющих
специально выделить их рассмотрение. Поскольку БПЛА принципи-
ально не допускают применения без системы автоматического управ-
ления (САУ), ее наличие необходимо учитывать при рассмотрении
колебаний упругой конструкции в полете.
Влияние упругости конструкции маневренного БПЛА на работу
САУ в полете проявляется прежде всего в возможности возникно-
вения автоколебаний в контуре «упругий ЛА — САУ». Это является
недопустимым, так как автоколебания приводят к «забиванию» ка-
налов САУ высокочастотными составляющими сигналов, что нега-
тивно влияет на управляемость БПЛА, нарушая нормальный режим
работы бортовой аппаратуры, и ведет к значительному снижению ка-
чества ее функционирования вплоть до выхода из строя. Опасность
возникновения автоколебаний в контуре «упругий ЛА — САУ» воз-
растает с увеличением потолка скоростей и маневренных перегрузок
БПЛА, повышением быстродействия САУ, применением рулевых
приводов со сравнительно малой жесткостью.
Сложность рассматриваемой задачи вынуждает рассматривать
ее практически на всех этапах разработки БПЛА, вплоть до созда-
ния опытного образца и начала летных испытаний. Различные спо-
собы решения проблемы на заключительном этапе создания БПЛА
требуют доработок, связанных с неизбежными затратами времени
и средств.
В процессе проектирования БПЛА используются как расчет-
ные, так и экспериментальные средства исследования явлений
аэроупругости (бытует и упрощенный термин «программные и аппа-
ратные средства»); их соотношение и объем отличаются в ходе созда-
ния БПЛА.
Практически имеет место традиция анализировать отдельно вза-
имодействие упругой конструкции БПЛА с потоком без учета САУ —
задача флаттера, и устойчивость колебаний в потоке системы «упру-
гий ЛА — САУ». Такое же искусственное разделение двух подходов
отражено и в предлагаемой монографии. Единый, по существу, тер-
мин аэроупругая устойчивость зачастую применяется лишь к задаче
об аэроупругом взаимодействии конструкции БПЛА и САУ.
В монографии представлены методы обеспечения аэроупругой
устойчивости БПЛА, как теоретические, расчетные, так и экспери-
ментальные. Рассмотрение относится в первую очередь к управляе-
мым БПЛА (в зарубежной литературе — guided missile) класса «воздух —
воздух», «воздух — поверхность» и отчасти «поверхность — воздух».
Среди них первые имеют наибольшую маневренность, однако для
всех без исключения проблемы опасных аэроупругих автоколебаний
крайне важны.
Границы устойчивости как контура «упругий ЛА — САУ», так
и флаттера, это явления потери устойчивости автоколебательных си-
стем. Если первое принимается обычно без сомнений, то с флатте-
ром дело не столь очевидно.
Взаимодействие упругого БПЛА с потоком воздуха имеет все три
признака автоколебаний в их классическом определении (рис. В.1).
Во-первых, присутствует источник энергии — поток. Во-вторых,
имеется колебательная система — упруго-массовая конструкция.
В-третьих, существует регулирующий элемент, управляющий про-
цессом поступления энергии (посредством обратной связи) — напри-
мер, дисбаланс простейшей системы (см. рис. В.1).
Последнее требует пояснений. Наглядным примером является
профиль или отсек крыла, совершающий поступательные («изгиб-
ные») и вращательные («крутильные») колебания вокруг оси («ось
жесткости») в потоке воздуха (V — скорость потока), рис. В.2. Эти ко-
лебания связывает дисбаланс Мх («регулирующий элемент»). В потоке
он может добавлять или нет энергию при повороте, вызванном по-
ступательным движением, если Мх > 0 или Мх < 0.
Важным в механизме флаттера является наличие несимметрич-
ной связи в потоке, когда «изгиб» (h) не вызывает вращательного
момента, а «вращение» () связано с появлением аэродинамической
силы, вызывающей «изгиб». По существу эта несимметрия и форми-
рует обратную связь в автоколебательной системе. В терминах теории
автоматического управления имеется обратная связь, которая может
быть положительной и при некоторых условиях вызывать автоколе-
бания, в алгебре это сближение корней на мнимой оси (или их про-
екций на эту ось).
Еще один признак автоколебательной системы — наличие нели-
нейности, которая определяет величины предельных циклов, т. е. ам-
плитуд автоколебаний, установившихся или нестационарных по вре-
мени. Традиционным является представление, что переход за границу
устойчивости приводит к нарастанию амплитуды колебаний (да еще
«взрывному») вплоть до разрушения конструкции. Это соответствует
большому по величине предельному циклу за пределами прочности.
В действительности, из-за нелинейности (как конструкции, так
и воздействий со стороны потока) имеют место и другие варианты,
с меньшими уровнями предельных циклов — с меньшими амплиту-
дами установившихся колебаний. Все это хорошо видно при испы-
таниях динамически подобных моделей на флаттер в аэродинамиче-
ских трубах.
Поскольку первоочередным является анализ лишь границ устой-
чивости в полете, он допускает обычно линейную постановку. Мно-
гопараметрические исследования флаттера с помощью линейных
уравнений радикально снижают трудоемкость расчетов и анализа
результатов, что исключено при нелинейной постановке. При этом
не столь частая потребность в оценке предельных циклов реализует-
ся достаточно приближенно.
В предлагаемой читателю монографии две части, по три главы
в каждой. Первая часть относится к этапу эскизного проектирования
БПЛА.
В главе 1 даны постановка и общая схема решения задачи совмест-
ного проектирования конструкции и САУ БПЛА с учетом требований
аэроупругости. Предлагаемый подход включает три стадии. Первая
стадия — выбор структуры и основных параметров контура стабили-
зации САУ. Вторая стадия — раздельное проектирование подсистем:
конструкции БПЛА и САУ (включая систему стабилизации и при-
вод). Цель этой стадии — получение конструкции БПЛА, наилучшим
образом отвечающей требованиям конструктивно-технологического
совершенства, а также САУ, рациональной с точки зрения законов
управления и стабилизации БПЛА, массы, габаритных размеров,
стоимости (рассмотрение последней задачи выходит за рамки настоя-
щей работы). Третья стадия — согласование структуры и параметров
конструкции БПЛА и САУ с целью удовлетворения требований аэро-
упругой устойчивости.
Задачам формирования контура стабилизации БПЛА с учетом
требований аэроупругой устойчивости посвящена глава 2. В общем
случае при формировании контура стабилизации упругого БПЛА
следует рассматривать движение по каналам: тангажу (рысканью)
и крену. Однако для большинства высокоманевренных БПЛА вслед-
ствие высокой жесткости их конструкции на кручение проблема воз-
никновения автоколебаний в канале крена, вызванных упругими
крутильными колебаниями аппарата, стоит не так остро, как про-
блема возникновения автоколебаний в канале тангажа (рысканья),
вызванных его упругими изгибными колебаниями. Поэтому в моно-
графии рассматривается движение БПЛА только по тангажу (рыска-
нью), для которого решены задачи выбора структуры и определения
основных параметров системы стабилизации, в том числе с учетом
изгибных колебаний корпуса БПЛА.
В главе 3 рассмотрены задачи обеспечения безопасности от флат-
тера и аэроупругой устойчивости БПЛА с САУ. Требования безопас-
ности от флаттера учитываются при разработке конструктивно-
технологического решения (КТР) планера БПЛА: для этих целей
применяются модели двух- и многостепенного флаттера, позволяю-
щие проводить оценку безопасности от флаттера БПЛА рассматри-
ваемых классов. С использованием данных моделей формируются
функциональные связи и ограничения в задачах оптимального про-
ектирования конструкций. Рассматриваемые задачи структурно-
параметрической и параметрической оптимизации несущих по-
верхностей (рулей и крыльев) БПЛА сопровождаются примерами,
подтверждающими необходимость учета требований безопасности
от флаттера на самых начальных этапах разработки конструкций.
Обеспечение аэроупругой устойчивости состоит в выполнении
требований устойчивости системы «руль — привод» и контура «упру-
гий ЛА — САУ». Требования аэроупругой устойчивости учитывают-
ся при согласовании структуры и параметров конструкции БПЛА
и системы стабилизации САУ. Для решения данной задачи предла-
гается итерационный метод, в соответствии с которым согласование
параметров КТР планера и системы стабилизации БПЛА предпола-
гает решение двух взаимосвязанных задач проектирования. Первая
состоит в согласовании параметров КТР руля (как части КТР плане-
ра БПЛА) и характеристик привода (как силового агрегата системы
стабилизации) с целью обеспечения устойчивости системы «руль —
привод», вторая — параметров КТР планера в целом и системы ста-
билизации БПЛА в интересах обеспечения устойчивости контура
«упругий ЛА — САУ».
Вторая часть монографии относится к заключительным этапам
создания БПЛА, когда могут быть получены агрегаты, такие как кор-
пус, поверхности, приводы или конструкция в целом, с функциони-
рующей САУ.
В главе 4 рассмотрено экспериментальное определение характе-
ристик собственных колебаний механической конструкции. Оно ре-
ализуется посредством специальных, модальных испытаний, которые
представлены теоретическими основами и методикой их проведе-
ния. Основным является рассмотрение наземных резонансных ис-
пытаний, а также частотных характеристик и реализации процессов
по времени.
Глава 5 относится к расчетно-экспериментальным исследовани-
ям устойчивости контура стабилизации БПЛА на частотах упругих
колебаний конструкции. Рассмотрено: экспериментальное опреде-
ление частотных характеристик корпуса, САУ и приводов органов
управления, запасы устойчивости и предельные циклы автоколеба-
ний. Приведены сведения об электромеханическом моделировании
аэродинамических воздействий, ЭММ — дополнительном исследо-
вании, расширяющем возможности эксперимента.
В главе 6 рассмотрены вопросы, связанные с аппаратной и про-
граммной частью испытаний, включая особенности систем измере-
ния и возбуждения колебаний.
Авторы полагают, что книга будет полезна широкому кругу спе-
циалистов и научных работников, занимающихся вопросами проек-
тирования и испытаний БПЛА, а также студентам старших курсов
университетов и аспирантам, обучающимся по данному направле-
нию.
Авторы выражают благодарность А. В. Быкову, А. Н. Волкову,
А. П. Педоре и И. К. Туркину за помощь в работе над книгой. Авторы
выражают также особую благодарность рецензентам А. Б. Гусейнову
и В. Г. Ципенко, ценные замечания которых были учтены при
доработке рукописи книги.
Глава 1. Постановка и общая схема решения задачи совместного
проектирования конструкции и САУ БПЛА с учетом аэроупругости
1.1. Общая характеристика динамических явлений аэроупругости
Физическая природа динамических явлений аэроупругости. Палитра
динамических явлений аэроупругости многообразна. Это и явления
классического, панельного и срывного флаттера, бафтинга, аэро-
упругого взаимодействия летательного аппарата (ЛА) с системой
управления и др. Рассмотрим лишь некоторые динамические явле-
ния аэроупругости, наиболее характерные для высокоманевренных
атмосферных БПЛА.
Флаттер представляет собой динамическую неустойчивость
упругой конструкции ЛА в потоке воздуха. Скорость потока, при ко-
торой упругая конструкция находится на границе зоны устойчивости,
называется критической скоростью флаттера. Неустойчивость кон-
струкции проявляется в быстром нарастании амплитуд колебаний,
которое зачастую приводит к разрушению элемента конструкции,
подверженного флаттеру.
Физическая картина возникновения флаттера достаточно слож-
на. Приближенно ее можно представить следующим образом. Каж-
дый элемент упругой конструкции, обтекаемой потоком воздуха, со-
вершает обычно сложное колебательное движение. Например, крыло
ЛА, с одной стороны, совершает изгибно-крутильные колебания от-
носительно корневого сечения, защемленного в крыльевом отсеке
корпуса. С другой стороны — оно участвует в изгибно-крутильном
движении самого корпуса ЛА, который, в свою очередь, может со-
вершать поступательные и вращательные движения в различных на-
правлениях. Все эти движения часто не совпадают по фазе. Наличие
потока воздуха обуславливает взаимное влияние различных форм
движения упругого элемента конструкции ЛА. Это влияние прояв-
ляется в передаче энергии из одной формы движения (степени сво-
боды) в другую. При неблагоприятном сдвиге фаз упругий элемент
ЛА начинает получать из набегающего потока значительно большее
количество энергии, чем то, которое рассеивается внутри элемента.
В результате, амплитуды колебаний элемента быстро возрастают,
и в течение короткого промежутка времени наступает разрушение.
Аэроупругое взаимодействие ЛА с системой управления. Физиче-
ская природа явления такова. Упругие колебания конструкции аппа-
рата воздействуют на датчики системы автоматического управления
(САУ) (рис. 1.1).
Система автоматического управления пропускает сигналы
от чувствительных элементов (датчиков САУ), пропорциональные
скоростям или ускорениям в широком диапазоне частот, включаю-
щим в себя заметную долю спектра частот упругих колебаний кон-
струкции ЛА. Усиленные сигналы поступают в исполнительные
устройства органов управления. Конструкция ЛА образует с САУ
замкнутый контур, динамические свойства которого определяются
аэроупругими характеристиками конструкции и характеристиками
элементов тракта управления: чувствительных элементов, фильтров,
усилителей, механической проводки управления и исполнитель-
ных силовых механизмов (рулевых приводов). При определенных
сочетаниях инерционных, жесткостных и демпфирующих свойств
конструкции, аэродинамических параметров и характеристик САУ
в контуре «упругий ЛА — САУ» могут возникать расходящиеся во вре-
мени колебательные процессы или автоколебания. Из-за наличия
в тракте САУ различного рода нелинейностей колебания бывают, как
правило, ограниченной амплитуды.
Опыт разработки, испытаний и применения высокоманеврен-
ных БПЛА показывает, что возникновение колебаний вследствие
взаимодействия упругой конструкции с САУ — явление нередкое.
Причинами возникновения таких колебаний являются: реакция
датчиков САУ на упругие колебания конструкции ЛА в целом; не-
достаточная жесткость рулевого привода; колебания блока датчиков
за счет нежесткости крепления конструкции в местах его установки;
люфты в системе управления и др. Опасность возникновения ко-
лебаний в контуре «упругий ЛА — САУ» возрастает с увеличением
скоростей и маневренных перегрузок ЛА, повышением быстродей-
ствия систем управления, а также вследствие применения рулевых
приводов со сравнительно малой жесткостью и наличия значитель-
ных виброперегрузок от работающего двигателя. Негативно влияют
на аэро упругую устойчивость ЛА с САУ и мероприятия, направлен-
ные на уменьшение массы его конструкции, так как они, как прави-
ло, приводят к снижению жесткости последней.
В отличие от колебаний типа «флаттер», автоколебания в зам-
кнутом контуре «упругий ЛА — САУ» не приводят к быстрому раз-
рушению конструкции, а вызываемые ими виброперегрузки обычно
не превышают максимально допустимые с точки зрения прочности
величины. Однако виброперегрузки могут явиться причиной значи-
тельного снижения ресурса ЛА в целом или выхода из строя бортовой
аппаратуры. Наличие автоколебаний в контуре «упругий ЛА — САУ»
может также приводить к «забиванию» каналов системы управления
высокочастотными составляющими сигналов. Это оказывает суще-
ственное влияние на управляемость, нарушая нормальный режим
работы аппаратуры, и ведет к значительному снижению качества ее
функционирования.
Обеспечение устойчивости контура «упругий ЛА — САУ», как
и безопасности от флаттера, является одним из обязательных требова-
ний, которые следует учитывать при разработке БПЛА. Основной
принцип требований — отсутствие аэроупругой неустойчивости для
всех возможных конфигураций аппарата и режимов полета. Для этого
требуется обеспечить необходимые запасы устойчивости по модулю
и фазе амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнуто-
го контура «конструкция — управление», подтвердив их расчетами,
наземными и летными испытаниями.
Уравнения колебаний летательного аппарата. Летательный аппа-
рат представляет собой трехмерную упругую систему. Перемещения
таких систем зависят от всех трех пространственных координат и при
отсутствии каких-либо внешних связей для полного описания их ди-
намических свойств в общих уравнениях движения необходимо учи-
тывать и степени свободы как твердого тела. Наиболее полные урав-
нения движения ЛА в свободном полете получены в работах [2, 6, 12,
22, 27, 43, 46].
Как правило, при построении математической модели аэроупру-
гих колебаний ЛА вводится ряд допущений, позволяющих облег-
чить получение решения в общем случае сложной трехмерной задачи
аэро упругости. Эти допущения относятся, как правило, как к схема-
тизации самого ЛА (в части его формы и упруго-массовой модели),
так и к схематизации действующих на него при колебаниях неста-
ционарных аэродинамических сил. Обычно в практических задачах
аэроупругости ЛА схематизируют набором простых конструктивных
элементов, например пластин и балок или их различных комбина-
ций. В этих случаях трехмерная задача аэроупругости вырождается
в двумерную задачу, что облегчает поиск решения. Для описания не-
стационарных аэродинамических сил, действующих на поверхность
колеблющегося ЛА, чаще всего используют гипотезу квазистацио-
нарности или гармоничности.
Представим расчетную схему ЛА в виде тонкой плоской конфи-
гурации (рис. 1.2), срединная поверхность которой в невозмущенном
движении располагается в плоскости Oxz.
Ограничивая движение твердого тела поступательными переме-
щениями в вертикальной плоскости и вращательными движениями
по тангажу и крену, а деформации упругого тела — нормальными
перемещениями его срединной поверхности w(x, z, t), получим урав-
нения малого возмущенного движения ЛА для конечного числа сте-
пеней свободы n в виде:
уравнения (1.1)-(1.5) см. в книге
где Mr Hr Gr Qr gr — обобщенные масса, демпфирование, жесткость,
сила и координата, соответствующие s-й форме колебаний; Фr(x, z),
wr, vr , — форма, частота и логарифмический декремент s-го тона соб-
ственных колебаний ЛА; m(x, z) — удельная масса единицы площади
проекции поверхности ЛА на плоскость Oxz; p(x, z) — нестационар-
ное аэродинамическое давление; S — площадь проекции поверхно-
сти ЛА на плоскость Oxz.
Формы собственных колебаний, соответствующие указанным
выше движениям твердого тела, равны: Φ1 = 1 — поступательное
перемещение в вертикальной плоскости; Φ2 = –z — вращение от-
носительно оси Ox; Φ3 = x — вращение относительно оси Oz. Этим
движениям отвечают нулевые частоты колебаний 1 = 2 = 3 = 0.
Очевидно, что
см. уравнение (1.6) в книге
где M — масса ЛА; Ix, Iz — массовые моменты инерции ЛА относи-
тельно осей Ox и Oz.
Уравнения (1.1) справедливы в том случае, когда формы собствен-
ных колебаний Φs определяются для ЛА в целом. Если формы соб-
ственных колебаний найдены для отдельных частей ЛА (например,
отдельно для корпуса, крыльев, рулей), уравнения становятся связан-
ными не только через аэродинамические силы, но и через массово-
инерционные и/или жесткостные характеристики. В этом случае
уравнения движения ЛА имеют вид
см. уравнение в книге (1.7-1.9)
Коэффициенты жесткости и конструкционного демпфирования
grs, hrs для составной упругой конструкции вычисляются в каждом
конкретном случае, используя потенциальную энергию деформации
и функцию рассеяния для всех ее частей. При этом для каждой части
ЛА (корпус, крыло, руль) могут быть использованы различные рас-
четные модели.
Аэродинамические силы. В задачах аэроупругости при определе-
нии аэродинамических сил предполагается, что перемещения упру-
гой конструкции w(x, z, t) известны. В силу кинематического гранич-
ного условия безотрывного обтекания колеблющейся поверхности
ЛА скорость скоса потока в любой точке
см. уравнение в книге (1.10)
где V — скорость невозмущенного потока воздуха. Первое слагаемое
в правой части уравнения представляет скорость частицы воздуха,
как бы прилипшей к подвижной поверхности ЛА (переносное движе-
ние). Второе слагаемое — скорость, обусловленную относительным
движением (скольжением) частицы вдоль наклонной, как бы непод-
вижной поверхности ЛА.
Угол скоса потока (приращение местного угла атаки) в возмущен-
ном движении будет
см. уравнение в книге (1.10)
Возмущения потока вызываются углами скоса потока во всех
точках поверхности, поэтому перепад аэродинамического давления
на нижней и верхней поверхностях тонкого тела p будет
см. уравнение в книге 1.12)
где — плотность невозмущенного потока воздуха; P[] — линейный
интегральный (или интегродифференциальный) оператор по пере-
менным x, z, t. Физически величина P[] представляет собой местный
перепад давления, отнесенный к скоростному напору.
Решение нестационарной задачи для оператора P[] в общем слу-
чае представляет значительные математические трудности. Ее фор-
мулировка и способ решения зависят от конфигурации упругого тела
в плане, диапазона рассматриваемых скоростей и от того, считается
ли задача обтекания стационарной или нестационарной [41].
В настоящее время существует ряд точных и приближенных ана-
литических решений аэродинамической задачи для конкретных
конфигураций несущих поверхностей и тонких тел в определенных
диапазонах скоростей. Как правило, эти решения получены для ста-
ционарной задачи, реже — для нестационарной задачи при установив-
шихся гармонических колебаниях, и только в единичных случаях —
для нестационарной задачи при произвольных движениях упругих
тел. Последнее обусловлено большими трудностями, возникающими
при решении нестационарных аэродинамических задач. Решение за-
дачи возмущенного движения здесь зависит не только от значений
углов скоса потока в рассматриваемый момент времени, но и от их
значений во все предыдущие моменты времени.
Разработаны также алгоритмы численного решения аэродина-
мических задач, основанных на дискретных методах [4]. Несущая
поверхность и прилегающая к ней область возмущенного течения
в плоскости Oxz делится на систему ячеек. Такая схематизация по-
зволяет заменить функциональную зависимость (1.12) системой ал-
гебраических уравнений, связывающих значения и p в заданных
контрольных точках в каждой из ячеек на несущей поверхности.
В этом случае оператор P записывается в виде матрицы аэродинами-
ческих коэффициентов влияния. Дискретный метод решения аэро-
динамической задачи хорошо сочетается с численными методами ре-
шения упругодинамической задачи (методами конечных элементов
и конечных разностей). Однако дискретные методы решения задачи
аэроупругости являются весьма трудоемкими и используются обыч-
но на стадии уточненных поверочных расчетов.
На стадии проектировочных расчетов при определении аэро-
динамических нагрузок на колеблющиеся упругие тела зачастую
принимаются различные упрощающие допущения. Для анализа
сравнительно медленных колебательных движений используется ги-
потеза стационарности. На основании этой гипотезы при получении
решения в форме (1.12) не учитывается зависимость местного угла
атаки от времени, т. е. рассматривается некоторый фиксированный
момент времени с «замороженными» значениями и для этого мо-
мента решается стационарная задача. После того как найдено выра-
жение для оператора P, используется зависимость от времени (1.11)
через функцию w(x, z, t). Такая теория называется квазистационар-
ной.
Оценку предела применимости этой теории можно получить
из следующих рассуждений. Пренебречь нестационарностью потока
возможно, если время прохождения частицей газа некоторой харак-
терной длины (например, хорды b) значительно меньше четверти пе-
риода колебаний (за четверть периода амплитуда колебаний меняет-
ся от нуля до максимального значения). На основании этого следует,
что b/V << T/4. Учитывая, что T = 2/, получим условие применимо-
сти квазистационарной теории:
Проектирование современного летательного аппарата (ЛА) связа-
но с необходимостью решения многих научно-технических задач.
В их число входит предотвращение опасных автоколебаний в полете
с учетом упругости конструкции. Данная задача относится к науке
аэроупругости, а точнее — динамической аэроупругости, в которой
рассматривается взаимодействие упругой конструкции при ее коле-
баниях с потоком воздуха. Применительно к беспилотным летатель-
ным аппаратам (БПЛА) имеется ряд особенностей, заставляющих
специально выделить их рассмотрение. Поскольку БПЛА принципи-
ально не допускают применения без системы автоматического управ-
ления (САУ), ее наличие необходимо учитывать при рассмотрении
колебаний упругой конструкции в полете.
Влияние упругости конструкции маневренного БПЛА на работу
САУ в полете проявляется прежде всего в возможности возникно-
вения автоколебаний в контуре «упругий ЛА — САУ». Это является
недопустимым, так как автоколебания приводят к «забиванию» ка-
налов САУ высокочастотными составляющими сигналов, что нега-
тивно влияет на управляемость БПЛА, нарушая нормальный режим
работы бортовой аппаратуры, и ведет к значительному снижению ка-
чества ее функционирования вплоть до выхода из строя. Опасность
возникновения автоколебаний в контуре «упругий ЛА — САУ» воз-
растает с увеличением потолка скоростей и маневренных перегрузок
БПЛА, повышением быстродействия САУ, применением рулевых
приводов со сравнительно малой жесткостью.
Сложность рассматриваемой задачи вынуждает рассматривать
ее практически на всех этапах разработки БПЛА, вплоть до созда-
ния опытного образца и начала летных испытаний. Различные спо-
собы решения проблемы на заключительном этапе создания БПЛА
требуют доработок, связанных с неизбежными затратами времени
и средств.
В процессе проектирования БПЛА используются как расчет-
ные, так и экспериментальные средства исследования явлений
аэроупругости (бытует и упрощенный термин «программные и аппа-
ратные средства»); их соотношение и объем отличаются в ходе созда-
ния БПЛА.
Практически имеет место традиция анализировать отдельно вза-
имодействие упругой конструкции БПЛА с потоком без учета САУ —
задача флаттера, и устойчивость колебаний в потоке системы «упру-
гий ЛА — САУ». Такое же искусственное разделение двух подходов
отражено и в предлагаемой монографии. Единый, по существу, тер-
мин аэроупругая устойчивость зачастую применяется лишь к задаче
об аэроупругом взаимодействии конструкции БПЛА и САУ.
В монографии представлены методы обеспечения аэроупругой
устойчивости БПЛА, как теоретические, расчетные, так и экспери-
ментальные. Рассмотрение относится в первую очередь к управляе-
мым БПЛА (в зарубежной литературе — guided missile) класса «воздух —
воздух», «воздух — поверхность» и отчасти «поверхность — воздух».
Среди них первые имеют наибольшую маневренность, однако для
всех без исключения проблемы опасных аэроупругих автоколебаний
крайне важны.
Границы устойчивости как контура «упругий ЛА — САУ», так
и флаттера, это явления потери устойчивости автоколебательных си-
стем. Если первое принимается обычно без сомнений, то с флатте-
ром дело не столь очевидно.
Взаимодействие упругого БПЛА с потоком воздуха имеет все три
признака автоколебаний в их классическом определении (рис. В.1).
Во-первых, присутствует источник энергии — поток. Во-вторых,
имеется колебательная система — упруго-массовая конструкция.
В-третьих, существует регулирующий элемент, управляющий про-
цессом поступления энергии (посредством обратной связи) — напри-
мер, дисбаланс простейшей системы (см. рис. В.1).
Последнее требует пояснений. Наглядным примером является
профиль или отсек крыла, совершающий поступательные («изгиб-
ные») и вращательные («крутильные») колебания вокруг оси («ось
жесткости») в потоке воздуха (V — скорость потока), рис. В.2. Эти ко-
лебания связывает дисбаланс Мх («регулирующий элемент»). В потоке
он может добавлять или нет энергию при повороте, вызванном по-
ступательным движением, если Мх > 0 или Мх < 0.
Важным в механизме флаттера является наличие несимметрич-
ной связи в потоке, когда «изгиб» (h) не вызывает вращательного
момента, а «вращение» () связано с появлением аэродинамической
силы, вызывающей «изгиб». По существу эта несимметрия и форми-
рует обратную связь в автоколебательной системе. В терминах теории
автоматического управления имеется обратная связь, которая может
быть положительной и при некоторых условиях вызывать автоколе-
бания, в алгебре это сближение корней на мнимой оси (или их про-
екций на эту ось).
Еще один признак автоколебательной системы — наличие нели-
нейности, которая определяет величины предельных циклов, т. е. ам-
плитуд автоколебаний, установившихся или нестационарных по вре-
мени. Традиционным является представление, что переход за границу
устойчивости приводит к нарастанию амплитуды колебаний (да еще
«взрывному») вплоть до разрушения конструкции. Это соответствует
большому по величине предельному циклу за пределами прочности.
В действительности, из-за нелинейности (как конструкции, так
и воздействий со стороны потока) имеют место и другие варианты,
с меньшими уровнями предельных циклов — с меньшими амплиту-
дами установившихся колебаний. Все это хорошо видно при испы-
таниях динамически подобных моделей на флаттер в аэродинамиче-
ских трубах.
Поскольку первоочередным является анализ лишь границ устой-
чивости в полете, он допускает обычно линейную постановку. Мно-
гопараметрические исследования флаттера с помощью линейных
уравнений радикально снижают трудоемкость расчетов и анализа
результатов, что исключено при нелинейной постановке. При этом
не столь частая потребность в оценке предельных циклов реализует-
ся достаточно приближенно.
В предлагаемой читателю монографии две части, по три главы
в каждой. Первая часть относится к этапу эскизного проектирования
БПЛА.
В главе 1 даны постановка и общая схема решения задачи совмест-
ного проектирования конструкции и САУ БПЛА с учетом требований
аэроупругости. Предлагаемый подход включает три стадии. Первая
стадия — выбор структуры и основных параметров контура стабили-
зации САУ. Вторая стадия — раздельное проектирование подсистем:
конструкции БПЛА и САУ (включая систему стабилизации и при-
вод). Цель этой стадии — получение конструкции БПЛА, наилучшим
образом отвечающей требованиям конструктивно-технологического
совершенства, а также САУ, рациональной с точки зрения законов
управления и стабилизации БПЛА, массы, габаритных размеров,
стоимости (рассмотрение последней задачи выходит за рамки настоя-
щей работы). Третья стадия — согласование структуры и параметров
конструкции БПЛА и САУ с целью удовлетворения требований аэро-
упругой устойчивости.
Задачам формирования контура стабилизации БПЛА с учетом
требований аэроупругой устойчивости посвящена глава 2. В общем
случае при формировании контура стабилизации упругого БПЛА
следует рассматривать движение по каналам: тангажу (рысканью)
и крену. Однако для большинства высокоманевренных БПЛА вслед-
ствие высокой жесткости их конструкции на кручение проблема воз-
никновения автоколебаний в канале крена, вызванных упругими
крутильными колебаниями аппарата, стоит не так остро, как про-
блема возникновения автоколебаний в канале тангажа (рысканья),
вызванных его упругими изгибными колебаниями. Поэтому в моно-
графии рассматривается движение БПЛА только по тангажу (рыска-
нью), для которого решены задачи выбора структуры и определения
основных параметров системы стабилизации, в том числе с учетом
изгибных колебаний корпуса БПЛА.
В главе 3 рассмотрены задачи обеспечения безопасности от флат-
тера и аэроупругой устойчивости БПЛА с САУ. Требования безопас-
ности от флаттера учитываются при разработке конструктивно-
технологического решения (КТР) планера БПЛА: для этих целей
применяются модели двух- и многостепенного флаттера, позволяю-
щие проводить оценку безопасности от флаттера БПЛА рассматри-
ваемых классов. С использованием данных моделей формируются
функциональные связи и ограничения в задачах оптимального про-
ектирования конструкций. Рассматриваемые задачи структурно-
параметрической и параметрической оптимизации несущих по-
верхностей (рулей и крыльев) БПЛА сопровождаются примерами,
подтверждающими необходимость учета требований безопасности
от флаттера на самых начальных этапах разработки конструкций.
Обеспечение аэроупругой устойчивости состоит в выполнении
требований устойчивости системы «руль — привод» и контура «упру-
гий ЛА — САУ». Требования аэроупругой устойчивости учитывают-
ся при согласовании структуры и параметров конструкции БПЛА
и системы стабилизации САУ. Для решения данной задачи предла-
гается итерационный метод, в соответствии с которым согласование
параметров КТР планера и системы стабилизации БПЛА предпола-
гает решение двух взаимосвязанных задач проектирования. Первая
состоит в согласовании параметров КТР руля (как части КТР плане-
ра БПЛА) и характеристик привода (как силового агрегата системы
стабилизации) с целью обеспечения устойчивости системы «руль —
привод», вторая — параметров КТР планера в целом и системы ста-
билизации БПЛА в интересах обеспечения устойчивости контура
«упругий ЛА — САУ».
Вторая часть монографии относится к заключительным этапам
создания БПЛА, когда могут быть получены агрегаты, такие как кор-
пус, поверхности, приводы или конструкция в целом, с функциони-
рующей САУ.
В главе 4 рассмотрено экспериментальное определение характе-
ристик собственных колебаний механической конструкции. Оно ре-
ализуется посредством специальных, модальных испытаний, которые
представлены теоретическими основами и методикой их проведе-
ния. Основным является рассмотрение наземных резонансных ис-
пытаний, а также частотных характеристик и реализации процессов
по времени.
Глава 5 относится к расчетно-экспериментальным исследовани-
ям устойчивости контура стабилизации БПЛА на частотах упругих
колебаний конструкции. Рассмотрено: экспериментальное опреде-
ление частотных характеристик корпуса, САУ и приводов органов
управления, запасы устойчивости и предельные циклы автоколеба-
ний. Приведены сведения об электромеханическом моделировании
аэродинамических воздействий, ЭММ — дополнительном исследо-
вании, расширяющем возможности эксперимента.
В главе 6 рассмотрены вопросы, связанные с аппаратной и про-
граммной частью испытаний, включая особенности систем измере-
ния и возбуждения колебаний.
Авторы полагают, что книга будет полезна широкому кругу спе-
циалистов и научных работников, занимающихся вопросами проек-
тирования и испытаний БПЛА, а также студентам старших курсов
университетов и аспирантам, обучающимся по данному направле-
нию.
Авторы выражают благодарность А. В. Быкову, А. Н. Волкову,
А. П. Педоре и И. К. Туркину за помощь в работе над книгой. Авторы
выражают также особую благодарность рецензентам А. Б. Гусейнову
и В. Г. Ципенко, ценные замечания которых были учтены при
доработке рукописи книги.
Глава 1. Постановка и общая схема решения задачи совместного
проектирования конструкции и САУ БПЛА с учетом аэроупругости
1.1. Общая характеристика динамических явлений аэроупругости
Физическая природа динамических явлений аэроупругости. Палитра
динамических явлений аэроупругости многообразна. Это и явления
классического, панельного и срывного флаттера, бафтинга, аэро-
упругого взаимодействия летательного аппарата (ЛА) с системой
управления и др. Рассмотрим лишь некоторые динамические явле-
ния аэроупругости, наиболее характерные для высокоманевренных
атмосферных БПЛА.
Флаттер представляет собой динамическую неустойчивость
упругой конструкции ЛА в потоке воздуха. Скорость потока, при ко-
торой упругая конструкция находится на границе зоны устойчивости,
называется критической скоростью флаттера. Неустойчивость кон-
струкции проявляется в быстром нарастании амплитуд колебаний,
которое зачастую приводит к разрушению элемента конструкции,
подверженного флаттеру.
Физическая картина возникновения флаттера достаточно слож-
на. Приближенно ее можно представить следующим образом. Каж-
дый элемент упругой конструкции, обтекаемой потоком воздуха, со-
вершает обычно сложное колебательное движение. Например, крыло
ЛА, с одной стороны, совершает изгибно-крутильные колебания от-
носительно корневого сечения, защемленного в крыльевом отсеке
корпуса. С другой стороны — оно участвует в изгибно-крутильном
движении самого корпуса ЛА, который, в свою очередь, может со-
вершать поступательные и вращательные движения в различных на-
правлениях. Все эти движения часто не совпадают по фазе. Наличие
потока воздуха обуславливает взаимное влияние различных форм
движения упругого элемента конструкции ЛА. Это влияние прояв-
ляется в передаче энергии из одной формы движения (степени сво-
боды) в другую. При неблагоприятном сдвиге фаз упругий элемент
ЛА начинает получать из набегающего потока значительно большее
количество энергии, чем то, которое рассеивается внутри элемента.
В результате, амплитуды колебаний элемента быстро возрастают,
и в течение короткого промежутка времени наступает разрушение.
Аэроупругое взаимодействие ЛА с системой управления. Физиче-
ская природа явления такова. Упругие колебания конструкции аппа-
рата воздействуют на датчики системы автоматического управления
(САУ) (рис. 1.1).
Система автоматического управления пропускает сигналы
от чувствительных элементов (датчиков САУ), пропорциональные
скоростям или ускорениям в широком диапазоне частот, включаю-
щим в себя заметную долю спектра частот упругих колебаний кон-
струкции ЛА. Усиленные сигналы поступают в исполнительные
устройства органов управления. Конструкция ЛА образует с САУ
замкнутый контур, динамические свойства которого определяются
аэроупругими характеристиками конструкции и характеристиками
элементов тракта управления: чувствительных элементов, фильтров,
усилителей, механической проводки управления и исполнитель-
ных силовых механизмов (рулевых приводов). При определенных
сочетаниях инерционных, жесткостных и демпфирующих свойств
конструкции, аэродинамических параметров и характеристик САУ
в контуре «упругий ЛА — САУ» могут возникать расходящиеся во вре-
мени колебательные процессы или автоколебания. Из-за наличия
в тракте САУ различного рода нелинейностей колебания бывают, как
правило, ограниченной амплитуды.
Опыт разработки, испытаний и применения высокоманеврен-
ных БПЛА показывает, что возникновение колебаний вследствие
взаимодействия упругой конструкции с САУ — явление нередкое.
Причинами возникновения таких колебаний являются: реакция
датчиков САУ на упругие колебания конструкции ЛА в целом; не-
достаточная жесткость рулевого привода; колебания блока датчиков
за счет нежесткости крепления конструкции в местах его установки;
люфты в системе управления и др. Опасность возникновения ко-
лебаний в контуре «упругий ЛА — САУ» возрастает с увеличением
скоростей и маневренных перегрузок ЛА, повышением быстродей-
ствия систем управления, а также вследствие применения рулевых
приводов со сравнительно малой жесткостью и наличия значитель-
ных виброперегрузок от работающего двигателя. Негативно влияют
на аэро упругую устойчивость ЛА с САУ и мероприятия, направлен-
ные на уменьшение массы его конструкции, так как они, как прави-
ло, приводят к снижению жесткости последней.
В отличие от колебаний типа «флаттер», автоколебания в зам-
кнутом контуре «упругий ЛА — САУ» не приводят к быстрому раз-
рушению конструкции, а вызываемые ими виброперегрузки обычно
не превышают максимально допустимые с точки зрения прочности
величины. Однако виброперегрузки могут явиться причиной значи-
тельного снижения ресурса ЛА в целом или выхода из строя бортовой
аппаратуры. Наличие автоколебаний в контуре «упругий ЛА — САУ»
может также приводить к «забиванию» каналов системы управления
высокочастотными составляющими сигналов. Это оказывает суще-
ственное влияние на управляемость, нарушая нормальный режим
работы аппаратуры, и ведет к значительному снижению качества ее
функционирования.
Обеспечение устойчивости контура «упругий ЛА — САУ», как
и безопасности от флаттера, является одним из обязательных требова-
ний, которые следует учитывать при разработке БПЛА. Основной
принцип требований — отсутствие аэроупругой неустойчивости для
всех возможных конфигураций аппарата и режимов полета. Для этого
требуется обеспечить необходимые запасы устойчивости по модулю
и фазе амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнуто-
го контура «конструкция — управление», подтвердив их расчетами,
наземными и летными испытаниями.
Уравнения колебаний летательного аппарата. Летательный аппа-
рат представляет собой трехмерную упругую систему. Перемещения
таких систем зависят от всех трех пространственных координат и при
отсутствии каких-либо внешних связей для полного описания их ди-
намических свойств в общих уравнениях движения необходимо учи-
тывать и степени свободы как твердого тела. Наиболее полные урав-
нения движения ЛА в свободном полете получены в работах [2, 6, 12,
22, 27, 43, 46].
Как правило, при построении математической модели аэроупру-
гих колебаний ЛА вводится ряд допущений, позволяющих облег-
чить получение решения в общем случае сложной трехмерной задачи
аэро упругости. Эти допущения относятся, как правило, как к схема-
тизации самого ЛА (в части его формы и упруго-массовой модели),
так и к схематизации действующих на него при колебаниях неста-
ционарных аэродинамических сил. Обычно в практических задачах
аэроупругости ЛА схематизируют набором простых конструктивных
элементов, например пластин и балок или их различных комбина-
ций. В этих случаях трехмерная задача аэроупругости вырождается
в двумерную задачу, что облегчает поиск решения. Для описания не-
стационарных аэродинамических сил, действующих на поверхность
колеблющегося ЛА, чаще всего используют гипотезу квазистацио-
нарности или гармоничности.
Представим расчетную схему ЛА в виде тонкой плоской конфи-
гурации (рис. 1.2), срединная поверхность которой в невозмущенном
движении располагается в плоскости Oxz.
Ограничивая движение твердого тела поступательными переме-
щениями в вертикальной плоскости и вращательными движениями
по тангажу и крену, а деформации упругого тела — нормальными
перемещениями его срединной поверхности w(x, z, t), получим урав-
нения малого возмущенного движения ЛА для конечного числа сте-
пеней свободы n в виде:
уравнения (1.1)-(1.5) см. в книге
где Mr Hr Gr Qr gr — обобщенные масса, демпфирование, жесткость,
сила и координата, соответствующие s-й форме колебаний; Фr(x, z),
wr, vr , — форма, частота и логарифмический декремент s-го тона соб-
ственных колебаний ЛА; m(x, z) — удельная масса единицы площади
проекции поверхности ЛА на плоскость Oxz; p(x, z) — нестационар-
ное аэродинамическое давление; S — площадь проекции поверхно-
сти ЛА на плоскость Oxz.
Формы собственных колебаний, соответствующие указанным
выше движениям твердого тела, равны: Φ1 = 1 — поступательное
перемещение в вертикальной плоскости; Φ2 = –z — вращение от-
носительно оси Ox; Φ3 = x — вращение относительно оси Oz. Этим
движениям отвечают нулевые частоты колебаний 1 = 2 = 3 = 0.
Очевидно, что
см. уравнение (1.6) в книге
где M — масса ЛА; Ix, Iz — массовые моменты инерции ЛА относи-
тельно осей Ox и Oz.
Уравнения (1.1) справедливы в том случае, когда формы собствен-
ных колебаний Φs определяются для ЛА в целом. Если формы соб-
ственных колебаний найдены для отдельных частей ЛА (например,
отдельно для корпуса, крыльев, рулей), уравнения становятся связан-
ными не только через аэродинамические силы, но и через массово-
инерционные и/или жесткостные характеристики. В этом случае
уравнения движения ЛА имеют вид
см. уравнение в книге (1.7-1.9)
Коэффициенты жесткости и конструкционного демпфирования
grs, hrs для составной упругой конструкции вычисляются в каждом
конкретном случае, используя потенциальную энергию деформации
и функцию рассеяния для всех ее частей. При этом для каждой части
ЛА (корпус, крыло, руль) могут быть использованы различные рас-
четные модели.
Аэродинамические силы. В задачах аэроупругости при определе-
нии аэродинамических сил предполагается, что перемещения упру-
гой конструкции w(x, z, t) известны. В силу кинематического гранич-
ного условия безотрывного обтекания колеблющейся поверхности
ЛА скорость скоса потока в любой точке
см. уравнение в книге (1.10)
где V — скорость невозмущенного потока воздуха. Первое слагаемое
в правой части уравнения представляет скорость частицы воздуха,
как бы прилипшей к подвижной поверхности ЛА (переносное движе-
ние). Второе слагаемое — скорость, обусловленную относительным
движением (скольжением) частицы вдоль наклонной, как бы непод-
вижной поверхности ЛА.
Угол скоса потока (приращение местного угла атаки) в возмущен-
ном движении будет
см. уравнение в книге (1.10)
Возмущения потока вызываются углами скоса потока во всех
точках поверхности, поэтому перепад аэродинамического давления
на нижней и верхней поверхностях тонкого тела p будет
см. уравнение в книге 1.12)
где — плотность невозмущенного потока воздуха; P[] — линейный
интегральный (или интегродифференциальный) оператор по пере-
менным x, z, t. Физически величина P[] представляет собой местный
перепад давления, отнесенный к скоростному напору.
Решение нестационарной задачи для оператора P[] в общем слу-
чае представляет значительные математические трудности. Ее фор-
мулировка и способ решения зависят от конфигурации упругого тела
в плане, диапазона рассматриваемых скоростей и от того, считается
ли задача обтекания стационарной или нестационарной [41].
В настоящее время существует ряд точных и приближенных ана-
литических решений аэродинамической задачи для конкретных
конфигураций несущих поверхностей и тонких тел в определенных
диапазонах скоростей. Как правило, эти решения получены для ста-
ционарной задачи, реже — для нестационарной задачи при установив-
шихся гармонических колебаниях, и только в единичных случаях —
для нестационарной задачи при произвольных движениях упругих
тел. Последнее обусловлено большими трудностями, возникающими
при решении нестационарных аэродинамических задач. Решение за-
дачи возмущенного движения здесь зависит не только от значений
углов скоса потока в рассматриваемый момент времени, но и от их
значений во все предыдущие моменты времени.
Разработаны также алгоритмы численного решения аэродина-
мических задач, основанных на дискретных методах [4]. Несущая
поверхность и прилегающая к ней область возмущенного течения
в плоскости Oxz делится на систему ячеек. Такая схематизация по-
зволяет заменить функциональную зависимость (1.12) системой ал-
гебраических уравнений, связывающих значения и p в заданных
контрольных точках в каждой из ячеек на несущей поверхности.
В этом случае оператор P записывается в виде матрицы аэродинами-
ческих коэффициентов влияния. Дискретный метод решения аэро-
динамической задачи хорошо сочетается с численными методами ре-
шения упругодинамической задачи (методами конечных элементов
и конечных разностей). Однако дискретные методы решения задачи
аэроупругости являются весьма трудоемкими и используются обыч-
но на стадии уточненных поверочных расчетов.
На стадии проектировочных расчетов при определении аэро-
динамических нагрузок на колеблющиеся упругие тела зачастую
принимаются различные упрощающие допущения. Для анализа
сравнительно медленных колебательных движений используется ги-
потеза стационарности. На основании этой гипотезы при получении
решения в форме (1.12) не учитывается зависимость местного угла
атаки от времени, т. е. рассматривается некоторый фиксированный
момент времени с «замороженными» значениями и для этого мо-
мента решается стационарная задача. После того как найдено выра-
жение для оператора P, используется зависимость от времени (1.11)
через функцию w(x, z, t). Такая теория называется квазистационар-
ной.
Оценку предела применимости этой теории можно получить
из следующих рассуждений. Пренебречь нестационарностью потока
возможно, если время прохождения частицей газа некоторой харак-
терной длины (например, хорды b) значительно меньше четверти пе-
риода колебаний (за четверть периода амплитуда колебаний меняет-
ся от нуля до максимального значения). На основании этого следует,
что b/V << T/4. Учитывая, что T = 2/, получим условие применимо-
сти квазистационарной теории: