eng
Содержание
Содержание
Введение ...................................................................................... 8
Несколько слов об авторе ........................................................ 11
Глава 1
Дифракция и рассеяние радиоволн ...................................... 13
1.1.
Об одном противоречии в теории дифракции ................................ 13
1.2.
О связи между распределением метеорных тел по массе
и автокорреляционной функцией взрыхленной ими поверхности
планеты ................................................................................... 16
1.3.
Спектральная плотность случайной последовательности подобных
возмущений .............................................................................. 27
1.4.
Уточнение выражений для поля, рассеянного шероховатой
поверхностью............................................................................ 31
1.5.
Эквивалентность полных и приведенных фазовых набегов в задачах
о рассеянии волн ....................................................................... 35
1.6.
Скорректированные угловые спектры локационных радиосигналов,
отраженных Луной .................................................................... 41
1.7.
Статистические характеристики освещенных участков случайной
поверхности .............................................................................. 46
1.8.
Учет рассеяния от земной поверхности при расчете КВ-радиолиний.... 60
Глава 2
Распространение ВЧ-радиоволн и работа каналов............ 79
Общие вопросы
2.1.
Несколько теорем об эквивалентном скачке при ионосферном
распространении радиоволн ........................................................ 80
2.2.
Об изменении азимутальных углов прихода при глубоких провалах
напряженности поля коротких волн на односкачковой трассе........... 83
2.3.
О некоторых погрешностях в уравнении Эппльтона–Бэйнона
для расстояния скачкa ............................................................... 84
2.4.
Исследование стационарности огибающей КВ-сигналa .................... 89
2.5.
Оценка многолучевости КВ-сигнала по результатам импульсного
наклонного зондирования ........................................................... 97
2.6.
О каустиках на коротковолновых односкачковых радиолиниях......... 100
2.7.
Статистические характеристики напряженности поля КВ в области
границы мертвой зоны ............................................................... 103
2.8.
Поле декаметровых радиоволн в мертвой зоне первого скачкa ......... 108
2.9.
Экспериментальные исследования девиации пеленгов
коротковолнововых сигналов ....................................................... 116
2.10.
Особенности работы среднеширотных коротковолновых радиолиний
большой протяженности ............................................................. 142
2.11.
Роль бокового распространения в переносе энергии на декаметровых
субавроральных трассах ............................................................. 151
2.12.
К вопросу о зависимости качества КВ-канала связи от условий
распространения........................................................................ 160
2.13.
Расчет распределений углов прихода лучей на односкачковых
коротковолновых трассах............................................................ 166
2.14.
Влияние наклонов отражающего слоя ионосферы на характеристики
сигналов возвратно-наклонного зондирования ............................... 172
2.15.
Энергетический расчет коротковолновых радиолиний..................... 180
2.16.
Особенности частотной зависимости ослабления на протяженных
трассах .................................................................................... 188
2.17.
Применение теоремы об эквивалентном скачке к расчету МПЧ
на коротковолновых неоднородных трассах ................................... 196
2.18.
Исследование работы приэкваториальных декаметровых радиолиний .... 202
2.19.
Некоторые особенности работы приполярных КВ-радиолиний ......... 208
Статистические свойства медленных замираний
2.20.
Распределения медленных замираний ВЧ-сигнала вблизи
максимальной применимой частоты ............................................. 217
2.21.
Природные распределения медленных замираний напряженности
поля на коротких волнах ............................................................ 226
2.22.
Экспериментальные характеристики медленных замираний
декаметрового сигнала ............................................................... 233
Покрытие территорий
2.23.
Крупномасштабные неравномерности облучения земной поверхности
на декаметровых радиотрассах .................................................... 246
2.24.
Исследование зоны обслуживания зенитной антенной ..................... 254
2.25.
Распределение поля коротковолнового сигнала в городе и его
окрестностях............................................................................. 261
2.26.
Статистические характеристики первой мертвой зоны
при ионосферном распространении декаметровых радиоволн........... 263
2.27.
О пространственной корреляции поля коротких волн при наклонном
отражении от ионосферы............................................................ 267
2.28.
Корреляционная функция фазы случайного нормального процесса ... 280
Глава 3
Средние и длинные волны ...................................................... 285
3.1.
Статистические характеристики земной волны в диапазоне НЧ/СЧ ..... 285
3.2.
Сезонные изменения напряженности поля земной волны в дневное
время в НЧ/СЧ-диапазонах ........................................................ 292
3.3.
Распространение средних волн в городской среде ........................... 300
3.4.
Распределение уровней сигнала земной волны в зоне обслуживания
на средних частотах................................................................... 308
3.5.
Выбросы и замирания в ионосферных НЧ/СЧ-каналах................... 321
3.6.
Эффективность вещания на длинных волнах................................. 333
3.7.
Прогресс в изучении распространения средних, длинных
и сверхдлинных радиоволн ......................................................... 347
Глава 4
Надежность................................................................................. 365
4.1.
Надежность радиовещания ......................................................... 365
4.2.
Некоторые приложения теории надежности сетей радиовещания
к анализу экспериментальных результатов .................................... 386
4.3.
Надежность передачи программы радиовещания при одновременном
использовании нескольких частотных каналов ............................... 395
4.4.
Необходимое число частотных каналов в высокочастотном диапазоне
для передачи одной радиовещательной программы с заданной
надежностью ............................................................................ 401
4.5.
Надежность приема программы при наличии конкурирующих сетей
радиовещания ........................................................................... 408
4.6.
Оценка надежности по малому числу измерений ............................ 415
Синхронная работа радиостанций
4.7.
Надежность синхронного радиовещания на декаметровых волнах .... 421
4.8.
Исследование допустимой частотной расстройки синхронных
передатчиков в ВЧ-радиовещании................................................ 425
4.9.
Синхронная работа двух радиовещательных ВЧ-передатчиков
на опытных трассах ................................................................... 430
4.10.
Экспериментальное исследование синхронной работы трех и четырех
передатчиков в декаметровой сети радиовещания........................... 437
Глава 5
Нелинейные явления ................................................................ 443
5.1.
К вопросу о нелинейных свойствах ионосферы в практике
коротковолнового вещания.......................................................... 443
5.2.
Спектрально-частотные характеристики мощного и пробного
сигналов НЗ на близких частотах ................................................ 450
5.3.
Проявление наклонного радионагрева в данных вертикального
зондирования ионосферы............................................................ 457
5.4.
Изменение амплитуды пробных сигналов и ионограмм НЗ при
воздействии на ионосферу мощного наклонного радиоизлучения...... 459
Глава 6
Работа антенн ............................................................................. 464
6.1.
Влияние неоднородностей ионосферы на работу передающих
КВ-антенн ................................................................................ 464
6.2.
Напряженность поля на ДКМ-трассах при использовании различных
передающих антенн ................................................................... 474
6.3.
Азимутальное распределение напряженности поля на большом
удалении от передающей КВ-антенны .......................................... 486
6.4.
Сравнительная эффективность коротковолновых синфазных антенн
при работе на морской многоскачковой трассе ............................... 490
6.5.
Работа ВЧ-антенн при случайных углах прихода сигнала................ 494
6.6.
Эллиптическая поляризация волн на КВ-трассах ........................... 505
6.7.
Tеоремы об оптимальных антеннах.............................................. 510
Глава 7
Прикладные вопросы ............................................................... 520
7.1.
Статистическая оценка загрузки радиовещательных декаметровых
каналов и частотных полоc ......................................................... 520
7.2.
Экономические аспекты повышения точности расчетов
характеристик радиотрасc ......................................................... 528
7.3.
Защитные отношения в совмещенном канале для АМ-радиовещания ..... 534
7.4.
История исследований распространения радиоволн до 30 МГц
в НИИР и их практическое применение ........................................ 539
Глава 8
Вопросы цифрового радиовещания ...................................... 552
8.1.
Цифровое радиовещание до 30 МГц: иллюзии и реальность
Часть 1. Длинные и средние волны. Светлое время суток................ 552
8.2.
Цифровое радиовещание до 30 МГц: иллюзии и реальность
Часть 2. Длинные и средние волны. Темное время суток................. 584
8.3.
Цифровое радиовещание до 30 МГц: иллюзии и реальность
Часть 3. Короткие волны............................................................ 595
8.4.
Прием DRM-вещания на коротких волнах..................................... 603
8.5.
Характеристики быстрых замираний цифрового ионосферного
КВ-сигнала и многократные свертки ............................................ 619
Глава 9
Научная публицистика. О ЦРВ и не только....................... 631
9.1.
Что делать с радиовещанием до 30 МГЦ ...................................... 631
9.2.
Цифровое радио. Плюсы и минусы .............................................. 639
9.3.
Где DRM’у жить хорошо ............................................................ 646
9.4.
Как внедрять DRM будем? ......................................................... 653
9.5.
Ионосфера и DRM. Быть ли свадьбе?........................................... 660
9.6.
Всему свое место. DRM’у тоже .................................................... 671
9.7.
Луч света в царстве DRM........................................................... 677
Дополнения. Два портрета...................................................... 686
Валентине Сергеевне Черновой, моей жене,
чья неустанная поддержка, любовь, дружба
стали органической частью моей жизни
и творчества, без которой я вряд ли смог бы
сделать даже малую часть того, что
изложено в этой книге
Введение
Прошедший примерно 50-летний период характеризуется весьма скупым поступлением книг по распространению радиоволн в приложении к работе каналов
связи и вещания, отражающих новые или ранее полученные, но интересные и не
сразу обратившие на себя внимание теоретические или экспериментальные результаты.
Последняя фундаментальная монография, посвященная исследованиям распространения радиоволн, .Распространение радиоволн и ионосфера., 480 стр., была опубликована Я.Л. Альпертом в 1960 году. Эта книга наиболее полно отражает физическую сторону работы ионосферных радиоканалов и сопровождающие полученные выводы экспериментальных наблюдений. Некоторые исследования в диапазоне средних частот отражены в небольших книгах В.Е. Кашпровского и Ф.А. Кузубова .Распространение радиоволн земным лучом., 220 стр., (1971 г.), и И.М. Виленского и В.С. Ямпольского .Распространение средних радиоволн в ионосфере., 119 стр., (1983 г.). Издано несколько хороших учебных пособий, но они отражают в основном, как и положено учебникам, устоявшиеся и хорошо проверенные точки зрения вчерашнего дня. После выхода этих книг за прошедшие годы проведено большое количество теоретических и экспериментальных работ, сведения о которых содержатся в различных журналах и
сборниках, часто малоизвестных и потому труднодоступных для ознакомления.
Отметим, что за многие последние годы не было опубликовано ни одной монографии по работе радиолиний на частотах ниже 30 МГц, кроме книг О. Головина по КВ-линиям. В них рассматриваются, в основном, сетевые и структурные вопросы. Проблемы, рассмотренные в данной книге с достаточной детализацией, не входили в задачи упомянутых монографий. Современные взгляды на распространение радиоволн в ионосфере хорошо отражены в последних монографиях Ю.К. Калинина .Вопросы ионосферной геофизики и радиофизики., М., 2012 г. и Акимова В.Ф., Калинина Ю.К. и Тасенко С.В. .Односкачковое распространение радиоволн., М., 2014 г. Вопросы коротковолновой связи рассматриваются также многими другими научными коллективами. Не анализируя работы коллективов силовых ведомств, можно отметить многолетнюю работу Поволжского Университета (Йошкар-Ола) по плодотворному изучению свойств ионосферы и работы КВ-каналов в различных условиях, а также ряд учреждений в северных районах страны.
В данной книге собран материал, содержащийся в публикациях, написанных либо только автором, много лет занимающимся вопросами распространения длинных, средних и коротких радиоволн и их приложением к задачам связи и радиовещания, либо в соавторстве с коллегами (из 78 разделов две трети написаны только автором, остальные в соавторстве). Они написаны в различные годы, опубликованы в различных журналах, иногда в труднодоступных. Но многие из полученных результатов не устарели и, будучи по тематике собранными в одном месте, дают представление о проблемных моментах, что может быть полезным в дальнейших исследованиях. Наука о распространении радиоволн не развивается сама по себе. В практических задачах она тесно переплетается с антенной тематикой, дифракцией и рассеянием, надежностью и рядом других направлений. Частично они отражены в настоящей книге. Хотелось бы надеяться, что
некоторые из пытливых читателей найдут для себя наводящие или неполно решенные вопросы, которые послужат стимулом к продолжению исследований в этой интереснейшей области.
Отметим, что наибольшее место в книге уделено свойствам и работе канала
связи, и лишь небольшая часть объема уделена собственно особенностям ионосферы и вопросам дифракции. Это представляется правильным, так как задачи более глубокого и последовательного изучения ионосферы решаются академическими или специализированными коллективами, как, например, ИЗМИРАН, ААНИИ, ИПГ и др.
В конце книги есть раздел, посвященный публицистическим работам, доступным образом отражающим состояние радиовещания в настоящее время. Такое дополнение представляется весьма полезным, так как для читателей, не являющихся глубокими профессионалами в вопросах ионосферы и работе каналов, но хорошо разбирающихся в организации связи и вещания, эти работы помогут разъяснить многие вопросы.
Вопросы, рассматриваемые в книге, сгруппированы по направлениям. Каждое направление предваряется небольшим введением, поясняющим повод к проведению тех или иных исследований. Возможно, это окажется полезным. В ряде разделов, в которых один изучаемый вопрос рассматривается с разных сторон, могут быть сходные по содержанию фрагменты текста или подобные рисунки.
Такие повторы целесообразно было не упразднять, чтобы не ломать изложение материала в каждом из разделов.
Следует особо выделить важное, на мой взгляд, обстоятельство. В книге достаточно места уделено земному распространению длинных и средних волн. Это связано с тем, что все предыдущие десятилетия от начала их использования считалось, что напряженность поля на линиях этого диапазона ведет себя достаточно стабильно, и вариации уровня сигнала, если и встречаются, то являются весьма малыми, и их можно не принимать во внимание. Ни на их величину, ни на причину возникновения этих вариаций и их закономерности исследователи, кроме нескольких единиц публикаций (например, упомянутой выше книги Кашпровского В.Е. и Кузубова Ф.А., швейцарского журнала за 1945 год), практически не обращали внимания. Наблюдения на территории России на протяжении почти 20 лет на линиях радиовещания показали, что существует целый мир, в котором живут трассы земных волн, по своим законам, с массой корреляционных связей, у которых есть сферы жизни, где изменения постоянно невелики, а есть сферы, где на регулярной основе изменения могут достигать 20 дБ. Все это до поры до времени не замечалось, в значительной степени потому, что этот диапазон использовался почти исключительно для радиовещания, в котором использовалась система двухполосной амплитудной модуляции и передатчики большой и очень большой мощности. Все это способствовало малой заметности на слух, с его логарифмической шкалой слышимости, происходящих колебаний уровня сигнала.
Особенно остро вопрос о случайных и детерминированных изменениях сигнала возник в начале 2000-х годов, когда была предложена система цифрового радиовещания DRM (Digital Radio Mondiale). Главное принципиальное отличие цифровой системы от аналоговой состоит в том, что цифровая система – пороговая. Если при аналоговой системе уровень сигнала снижается, например, на 10 дБ от регламентированного уровня для хорошего приема, то это приводит субъективно к некоторому снижению качества сигнала или к некоторому снижению
комфортности приема. При таком же снижении сигнала от уровня, достаточного
для нормальной работы системы при цифровой модуляции, происходит полное
пропадание приема. Эти обстоятельства вызвали подъем интереса к повышению
стабильности уровня напряженности поля, а значит, и к изучению причин его случайных и неслучайных замираний. Возникшие внезапно препятствия, возможно,
послужили одним из сдерживающих мотивов на пути скорейшего внедрения цифрового радиовещания.
Ниже этот блок вопросов достаточно подробно рассмотрен в главе о рас-
пространении длинных и средних волн, главе о цифровом радиовещании и в
публицистическом разделе.
Все, написанное в книге, вобрало в себя неизмеримое число продуктивных
бесед с моими коллегами. С особой теплотой я всегда вспоминаю моего первого наставника Константина Михайловича Косикова, который как талантливый
селекционер на всю жизнь привил мне любовь к распространению радиоволн.
Очень многому я научился у Е.И. Розенфельда, Н.Н. Шумской, А.А. Магазаника, А.И. Калинина, В.Н. Троицкого, Л.В. Надененко и других коллег – ученых
и практиков высочайшего уровня. У меня были тесные творческие контакты с
коллегами из других институтов. Всех отметить не удастся, но наибольшее участие в совместных исследованиях и обсуждениях текущих проблем принимали
Ю.Н. Черкашин, Ю.К. Калинин, П.М. Свитский, В.И. Бочаров, Т.С. Керблай,
Е.М. Жулина, В.М. Лукашкин и многие другие. Я благодарен Случаю, что мне
довелось работать рядом или вместе с ними.
Все изложенные результаты, и теоретические, и экспериментальные являются плодом многолетней работы. За это время сменился не один директор.
Последний, при котором я работал и еще продолжаю трудиться, это Валерий
Владимирович Бутенко. Когда впервые несколько лет назад зашла речь об из-
дании книги, он активно поддержал эту идею. Я ему весьма признателен.
В книге разделы, написанные мной, не отмечены фамилией, написанные с
Коллегами – содержат фамилии всех соавторов за исключением моей. Я благо-
дарен всем соавторам за их неоценимое участие в процессе исследований. И я
также многому научился у них.
И под конец не могу не сказать о Викторе Павловиче Дворковиче, без непрерывных положительных воздействий которого на меня я эту книгу вряд ли закончил бы. Большое ему спасибо.
Несколько слов об авторе
Юрий Андреевич Чернов родился 14 февраля 1932 г. Еще в школьные годы увлекся радиолюбительством, что и определило выбор профессии. В 1955 г. после окончания Института связи (МЭИС) поступил на работу в Научно-исследовательский институт радио Министерства связи. Научной работой начал заниматься, будучи студентом, дипломная работа была посвящена исследованию нелинейных искажений и устойчивости рефлексных
схем вещательных радиоприемников. На эту же тему в 1956 г. вышла первая статья в журнале «Радиотехника».
Дальнейшая работа в НИИР была посвящена изучению распространения радиоволн и радиовещанию.
Рассмотрение теоретических вопросов распространения радиоволн показало недостаточность вузовской и аспирантской математической подготовки, требовалось углубление знаний по ряду математических направлений, что оказалось возможным благодаря посещениям в МГУ семинара по теории вероятностей и лекций по ветвящимся процессам А.Н. Колмогорова, факультативных курсов по теории информации Р.Л. Добрушина и др.
Результаты экспериментальных и теоретических исследований распространения и рассеяния радиоволн в приложении к загоризонтной радиолокации легли в основу кадидатской диссертации, защищенной в 1966 г. Монография на эту же тему вышла в 1971 г. Проведенные исследования обнаружили большую неопределенность и неполноту наших знаний о поведении коротких волн в масштабах земного шара. Для развития этого направления с участием Ю.А. Чернова была организована широкая сеть измерительных пунктов во многих странах мира, на которых в течение почти 10 лет проводились измерения практически на всех линиях иновещания СССР. В дополнение к стационарным измерениям были организованы измерения на судах торгового флота, маршруты которых начинались в Ленинграде, а конечными пунктами были порты Северной и Южной Америки, Африки, Австралии иЮжной Зеландии. Для оценки влияния характеристик передающих антенн на напряженность поля и надежность приема были проведены
специальные эксперименты на трассах Москва–Владивосток, Николаев–Гавана
(Куба), Ангарск–Ханой (Вьетнам).
В результате этого комплекса измерений был собран уникальный по объему и информативности материал, позволивший прояснить поведение радиолиний большой протяженности в различных географических регионах, линий, пролегающих в полярных широтах, получить суточную и сезонную зависимости, а также связь напряженности поля с солнечной активностью.
Участие в работе мировой конференции по коротким волнам и подготовка
материалов к ней, как теоретических, так и экспериментальных, дали основу
для написания и защиты докторской диссертации по надежности радиовещания
на коротких волнах.
В последующие годы основное внимание было уделено радиовещанию на длинных и средних волнах. Был собран обширный экспериментальный материал на большом числе радиолиний малой и большой протяженности за светлое и темное время суток начиная с 1997 г. до 2017 г. Это позволило выявить ряд закономерностей в поведении земных радиоволн ДСВ-диапазона, как детерминированных, так и статистических. Большое число новых полезных результатов было внесено в ряд Рекомендаций МСЭ-R. Всего по тематике распространения радиоволн было предложено в МСЭ-R более 50 документов. Значительная часть материала была включена в Справочник МСЭ-R по земным волнам и в Справочник по ионосфере и ее влиянию на распространение радиоволн. Результаты этих исследований позволили намного глубже понять поведение средних и длинных волн, радиолиний, которые исторически считались наиболее спокойными, и по-новому подойти к расчету сетей радиовещания с учетом выявленных статистических и детерминированных закономерностей.
В настоящее время интенсивно изучается поведение радиолиний вещания на КВ и ДСВ, работающих в цифровом формате DRM. Наблюдение за работой таких радиолиний показывает, что в природных условиях их работа существенным образом отличается от тех прогнозов, которые были сделаны расчетным путем при создании цифровой системы. В действительности все намного сложнее. С дополнительными деталями творческой биографии Ю.А. Чернова можно
ознакомиться в разделе 7.4.
ГЛАВА 1
ДИФРАКЦИЯ И РАССЕЯНИЕ РАДИОВОЛН
Явления дифракции и рассеяния волн, порознь или вместе, присутствуют на
любых радиолиниях связи. В частности, по рассеянию опубликованы тысячи работ, и конца завершению исследований не видно. Очень велико разнообразие
задач и трудностей на пути их решения. Необходимость решать некоторые из
задач возникла в связи изучением проблемы загоризонтной радиолокации на
декаметровых волнах, которая развивается и в настоящее время. Вопросы рассеяния неотделимы от свойств рассеивающего объема или рассеивающей поверхности. Сложным вопросом является оценка статистических параметров природных
неровных поверхностей. При расчете индикатрисы рассеяния одним из наиболее
трудных вопросов является учет затенений на статистически неровной рассеивающей поверхности при наклонном облучении. Этой проблеме ученые отдали
много сил, но удобного решения так и не было получено. Названным вопросам
посвящены отдельные статьи.
1.1. Об одном противоречии в теории дифракции
1. Дифракция на отверстии в идеально проводящем экране в рамках приближения Кирхгофа изучена достаточно хорошо. Сравнительно просто решается
задача и о дифракции на дополнительном экране при расположении источников
и точки наблюдения в одном полупространстве. Однако сравнение видов самих
решений вызывает некоторое недоумение.
В частности, Л.А. Вайнштейн отметил, что решения имеют различную угловую зависимость вторичного поля, а дифрагированное на пластине поле не
удовлетворяет принципу взаимности ([1], § 91). При этом составляющие поля
на поверхности экрана приняты удвоенными по сравнению с падающим полем.
Такой подход в общетеоретическом плане развит в известной монографии .Антенны сантиметровых волн. [2].
Ниже сделана попытка обнаружения причины и устранения отмеченного противоречия.
2. Разделим бесконечное пространство на три области: источники поля, ограниченные поверхностью S1, область расположения точки приема P, ограниченную поверхностями S2 и S1, и внешнее пространство (рис. 1.1.1).
Искомое поле выразим с помощью формулы
Стреттона и Чу [3, стр. 410].
(уравнение 1.1.1. см в книге)
где интегрирование распространяется на всю огра-
ничивающую поверхность, т. е. на
S_ = S1 + S2.
Из теории электромагнитного поля известно:
а. Если интегрирование производится только по стороне S2, обращенной к
пространству II, то интеграл равен нулю, так как по отношению к III пространство II является внешним ([3], § 8.14, курсив в последнем абзаце, а также [4], гл. 1, § 3, п. 12). Это следует и из того, что поверхность S2 может быть уведена в бесконечность без пересечения при этом точки наблюдения или источников. б. Обязательным условием справедливости теоремы Грина, на основе которой получено (1.1.1), является интегрирование по замкнутой поверхности. Только в
этом случае можно говорить о безусловном равенстве нулю интеграла по стороне
поверхности S2, обращенной к пространству II. Остающийся интеграл по S1 и
определяет в этом случае поле в P.
Совместим теперь с частью S2 идеально проводящий экран Sэ (рис. 1.1.2), размеры которого и конфигурация удовлетворяют условиям применимости приближения Кирхгофа.
Суммарное поле непосредственно над поверхностью экрана, в пренебрежении краевыми эффектами (что отвечает приближениям Кирхгофа), задается удвоенной касательной составляющей магнитного поля и удвоенной нормальной составляющей электрического поля.
Полное поле в точке P найдется по формуле (1.1.1),
где интегрирование требуется провести по всей ограничивающей поверхности, т. е. S_ = S1 + S2 + Sэ:
(уравнение 1.1.2. см в книге)
Здесь ¯H и ¯E – составляющие поля при отсутствии экрана.
Добавим и вычтем в фигурных скобках второго интеграла (1.1.2) вектор
(см. уравнение в книне), после чего получим:
(уравнение 1.1.3. см в книге)
Первый интеграл в (1.1.3) определяет первичное поле в точке P при отсут-
ствии экрана; второй интеграл, согласно сказанному выше, равен нулю. Третий
интеграл определяет ту часть поля, которая вызвана наличием экрана. Таким
образом, вторичное поле определяется выражением:
(уравнение 1.1.4. см в книге)
Этот интеграл в точности равен величине, которая была бы получена при ин-
тегрирования по экрану отраженного от него поля [этому соответствует знак (−)
у второго слагаемого], а не суммарного, определяемого условиями ¯Eэ = 2¯Eт,
¯H э = 2 ¯Ht и входящего в первоначальное равенство (1.1.2).
В частном случае бесконечно протяженной плоскости вторичное поле в точке P (рис. 1.1.2) можно получить как по формуле (1.1.4), так и путем интегриро-
вания по суммарному полю над экраном (второй интеграл в (1.1.2)]. Это следует
из того, что поверхность Sэ можно дополнить воображаемой поверхностью S2,
все точки которой лежат в бесконечности. Как было показано, тогда интеграл
по всей поверхности S2 + Sэ по падающему полю равен нулю. Интеграл по S2
тоже равен нулю (в силу условия излучения), что ведет к равенству нулю интеграла вдоль Sэ по падающему полю. Интегрирование вдоль Sэ по оставшемуся
отраженному полю приводит к выражению (1.1.4).
3. В упомянутой монографии [2] поле в точке P определяется равенством
[гл. III, § 10, формула (112)]:
(уравнение 1.1.5. см в книге)
, ¯H и ¯E _ суммарное поле над поверхностью экрана.
Первый интеграл в (1.1.5) дает поле первичных источников.
Размеры экрана Si во втором интеграле не оговорены. Судя по тому, что он
дополняется бесконечно удаленной поверхностью, его размеры также бесконечны
во все стороны. В этом случае вторичное поле из (1.1.5) эквивалентно второму
интегралу в (1.1.2).
В дальнейшем решение (1.1.5) механически переносится на случай ограниченных поверхностей ([2], гл. V, § 8, формула (62а)). При этом по умолчанию
предполагается, что интеграл по дополнительной поверхности (S2 на рис. 1.1.2)
равен нулю. Но, как было отмечено, это неверно, так как интегрировать необ-
ходимо по замкнутой поверхности. В противном случае нарушаются условия,
при которых справедлива теорема Грина. Поэтому в [2] вторичное поле от ограниченного экрана сохранено в виде второго слагаемого (1.1.2), а не получено в виде (1.1.4). Потерей интеграла по S2 в [2] при определении дифракции от
ограниченного экрана и объясняется противоречие, отмеченное Вайнштейном.
Можно показать, что расчет дифрагированного поля на пластине с использо-
ванием (1.1.4) приводит к выражению, отличающемуся только знаком от поля,
дифрагированного на дополнительном отверстии.
Автор благодаренЮ.А. Ерухимовичу за неоднократное обсуждение затрону-
тых вопросов.
Литература
1. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. М.: .Советское радио., 1957.
2. Антенны сантиметровых волн. Ч. 1. М.: .Советское радио., 1950.
3. Стреттон Дж.А. Теория электромагнетизма. М.: ГИИТЛ, 1948.
4. Хенл Х., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. М.: Изд-во "Мир", 1964.
1.2. О связи между распределением метеорных тел по массе и автокорреляционной функцией взрыхленной ими поверхности планеты
Установлена связь между параметрами автокорреляционной функции поверхно-
сти и параметром s образовавшего ее метеоритного потока.
На основании теории подобия получено выражение для спектральной плотно-
сти квадратов амплитуд разложения поверхности в предположении, что поверх-
ность образована подобными кратерами. Найдено, что параметр s распределении
метеоритного потока, взрыхлившего поверхность планеты, не должен быть боль-
ше 2 2/3 . В случае, если автокорреляционная функция поверхности в основной
своейчасти близка к экспоненте или прямой линии, параметр s в распределения
по массе метеорных тел равен двум.
Распределения по массам метеорных тел, вторгающихся в земную атмосфе-
ру спорадически или в виде потоков, изучены сравнительно подробно. Но массы
этих тел весьма малы – приблизительно от 1 до 10−9 г. Многочисленными иссле-
дованиями установлено, что для таких масс дифференциальный закон распреде-
ления в диапазоне, равном многим порядкам, удовлетворительно описывается
обратностепенной зависимостью:
dN = N0 dm/ms , (1.2.1)
где s колеблется от 1,3 до 2,5.
О телах более крупных, порядка 1000 г и выше, известно гораздо меньше.
В работе Левина, Козловской и Старковой [1] показано, что для метеоритов,
найденных на поверхности Земли, показатель s лежит в пределах от 1,6 до 0,9.
Несколько позднее Хоукинсом [2] были построены распределения для 1447 ме-
теоритов (раздельно для железных и каменных), в которых s оказалось равным в среднем 2. Этим исследованиям, по-видимому, свойственно преуменьшение доли
более легких метеоритов, связанное с большими трудностями их обнаружения.
Относительно еще более крупных метеорных тел, таких, например, какие фор-
мировали некоторые участки лунной поверхности, известно еще меньше. Изучение их распределений может быть основано в настоящее время только на установлении связей между свойствами метеорного потока и производимыми метеорами возмущениями поверхности. Кроме изучения формирования планет, определение статистических свойств их поверхностей важно, в частности, в теории рассеяния радиоволн естественными поверхностями, в радиолокационной астрономии и т. п.
Непосредственно определению параметра s из статистических свойств по-
верхности Луны посвящена работа Яшека [3]. Основываясь на распределении
размеров лунных кратеров, исследованном Янгом [4], Яшек нашел, что в рас-
пределении метеоров по массам s в среднем равно 1,7. Из данных, приведенных
в работе Янга, можно заключить, что для крайних значений s в распределении
кратеров по диаметрам (s = 2 для 2 ÷ 9 миль и s = 3 для 50 ÷ 100 миль) вели-
чина показателя в распределении метеоров по массам должна была бы, следуя
методике Яшека, находиться в пределах 1,3 ÷ 2.
Расчеты распределения диаметров кратеров далеко не всегда и не для всех
размеров могут быть проведены с требуемой точностью. Кроме того, для планет,
имеющих непрозрачную для световых волн атмосферу, этот способ, естественно,
применен быть не может. Поэтому представляет интерес отыскание зависимо-
сти между параметрами метеорного потока и автокорреляционными свойствами
взрыхленной им поверхности планеты. Автокорреляционная функция является
важной статистической характеристикой поверхности и в большой мере опреде-
ляет особенности рассеяния радиоволн.
Всесторонне исследовать зависимость свойств поверхности от параметра s в
рамках одной статьи не представляется возможным. Поэтому в данной работе
использован ряд идеализирующих допущений, оправданных также и тем, что ее
основной целью является рассмотрение метода анализа и получение предвари-
тельных оценок.
Исходя из свойств поверхности (считая ее заданной), будем искать распреде-
ление по массам в виде (1.2.1). В этом случае определению подлежит единствен-
ный параметр s.
Уточним теперь исследуемую модель поверхности.
Профиль произвольного сечения поверхности планеты является случайной
функцией, которую мы будем рассматривать как случайный процесс, непрерывный и стационарный, со средним значением, равным нулю, в котором роль време-
ни играет пространственная переменная. Будем также считать, что этот процесс
образован линейной суперпозицией всех появляющихся кратеров, так что высота
в каждой точке поверхности есть алгебраическая сумма высот соответствующих
элементов всех кратеров, которым принадлежит данная точка.
В действительности это не совсем так, ибо при образовании большого крате-
ра происходит стирание всех более мелких неровностей, накопившихся на данном
месте до этого момента. При всех же последующих наложениях высоты неровно-
стей, можно считать, складываются линейно (рис. 1.2.1). Поэтому статистические
свойства поверхности могут отражать распределение метеорных тел с некото-
рым уменьшением доли малых масс. Степень этого уменьшения, по-видимому,
может быть оценена, но анализ ее представляется достаточно сложным и в рам-
ках данной работы проведен быть не может. Частично этот вопрос рассмотрен
Артуром [5]. Здесь отметим только следующее.
Из принятой формы распределения (1.2.1) следует, что при s > 1 с увели-
чением массы m плотность вероятности падает таким образом, что, несмотря
на рост площади каждого кратера, общая площадь кратеров, а значит, и общее
число кратеров, стертых всеми метеоритами, массы которых находятся в интер-
вале dm, с увеличением m уменьшается. Причем уменьшение тем заметнее, чем
больше s. Это позволяет надеяться, что полученное решение, хотя и может слу-
жить только первым приближением, все же не будет обладать существенными
погрешностями.
В том случае, когда перекрытие кратеров пренебрежимо мало или отсутствует
совсем, указанный перекос распределения в сторону больших значений ощущать-
ся не будет.
Обработка фотографий лунной поверхности, проведенная Дж. Артуром [6],
показала, что в большинстве случаев отношение глубины кратера d к его диамет-
ру D сохраняется постоянным. В диапазоне диаметров 5–15 км это отношение
лежит в пределах 0,15–0,23.
Болдуином [7] было проделано много измерений над лунными кратерами,
воронками от бомб, снарядов и мин и получена зависимость между диамет-
ром воронок и их глубиной. Выяснилось, что все они образуют непрерывную
последовательность, отличающуюся малым разбросом отношения характерных
размеров. Для кратеров диаметром ≈ 10 км отношение глубины к диаметру
несколько меньше, чем по измерениям Артура, и равно примерно 0,1.
Кроме того, при измерении внешних валов кратеров диаметром до 20 км была
обнаружена большая корреляция между диаметром кратера и высотой вала [6].
Эти измерения говорят о том, что на лунной поверхности в нешироком диа-
пазоне размеров выполняются условия подобия для образующихся неоднородно-
стей. Неоднородности типа кратера могут иметь несколько критериев подобия.
Ниже нам потребуется только одни из них, η – отношение глубины кратера d к
диаметру D.
η = d/D. (1.2.2)
Измерения Болдуина показали, что в широком диапазоне размеров кратеров
величина η не остается постоянной. При изменении D на три порядка η изменя-
ется приблизительно на порядок. Не преследуя цели учета всех деталей модели,
в качестве первого приближения в данной работе принято, что η является посто-
янной величиной.
Другой характеристикой поверхности, которая будет использована в даль-
нейшем, является автокорреляционная функция B(τ), где τ – горизонтальное расстояние между двумя точками поверхности. По определению функция B(τ)
является средним значением произведения высот поверхности, измеренных в точ-
ках, отстоящих на τ, т. е.:
( уравнение 1.2.3 см. в книге)
где h(t) _ высота поверхности в точке t, h(t + τ) _ высота поверхности в точке,
отстоящей на τ от предыдущей; черта сверху означает статистическое усредне-
ние по всем возможным реализациям сечения. Поверхность в дальнейшем будем
предполагать изотропной. B(τ) является мерой зависимости высот в разнесен-
ных точках поверхности; автокорреляционная функция максимальна при τ = 0
и стремится к нулю при τ → ∞. При τ = 0 величина B(0) равна дисперсии
процесса σ2.
Преобразование Фурье от автокорреляционной функции определяет спектраль-
ную плотность мощности случайного процесса S(ω). Под мощностью понимается
дисперсия амплитуд гармонических составляющих, если спектр дискретен, или
дисперсия на единицу полосы частот, если спектр непрерывен. Под частотой ω в
дальнейшем будем понимать величину:
ω =2π/Ln, где L – длина по горизонтали обследуемого процесса (сечения), n _ номер гар-
монической составляющей спектра.
Слово .частота. из соображений терминологических удобств заимствовано
из анализа процессов, в которых роль расстояния выполняет время.
Периодическим случайный процесс будет тогда, когда он составлен из бес-
конечного числа примыкающих друг к другу тождественно похожих случайных
реализаций длины L. L в этом случае будет основным периодом процесса.
Автокорреляционная функция B(τ) и спектральная плотность мощности про-
филя сечения связаны прямым и обратным преобразованием Фурье (подробнее
по этим вопросам см., например, [8], гл. 4–6):
см. выражение в книге
Поэтому, найдя связь спектральной плотности S(ω) с распределением метеори-
тов, мы автоматически определяем и функцию B(τ). Пример вида спектральной
плотности и автокорреляционной функции для бетонной поверхности приведен
на рис. 1.2.2.
Рассмотрим произвольное сечение поверхности, профиль которого состоит из
симметричных подобных возмущений. Пусть на отрезке сечения L их будет доста-
точно большое число. Форма неровностей для анализа не имеет значения. Тогда
каждое возмущение поверхности будет описываться некоторой функцией u, ар-
гумент которой будет зависеть от высоты данной неровности.
Временно будем предполагать, что центры всех неоднородностей лежат на
проведенном нами сечении. При этом формы неровностей и их η одинаковы.
В дальнейшем мы освободимся от этого ограничения. Чтобы при изменении
вертикальных размеров не нарушалось подобие неровностей, необходимо про-
порционально изменять и масштаб по оси абсцисс, поэтому общее выражение для возмущений должно иметь вид:
( уравнение 1.2.4 см. в книге)
где t_ - положение центра неровности на оси t, A_ - высота рассматриваемой
неровности номера λ, A0 и τ0 _ соответственно высота и эффективный радиус
неровности, принятой за единицу, причем A0/τ0 = η.
Величина A_τ0/A0 = A_/η является эффективным радиусом λ-й неровности.
Это означает, что величина A_/η как раз такая, что при достижении аргументом
|t − t_| ее значения мы практически выходим из области t, занятой возмущением.
Для неровности, условно принятой за единицу, A_ = A0 и A_/η просто равно
τ0, т. е. в нашем случае эффективный радиус, учитывая (1.2.2), равен половине
диаметра кратера.
Для дальнейшего анализа вместо исследуемого сечения длины L удобно рас-
сматривать бесконечный периодический случайный процесс с основным перио-
дом L. В этом случае каждое отдельное возмущение u_ тоже является перио-
дическим, но не случайным процессом и представляется уже не интегралом, а
суммой вида:
(уравнение 1.2.5 см. в книге)
где G_(ω) - амплитуда спектральной составляющей, в общем случае комплекс-
ная; g(ω) - та же амплитуда при условии равенства всех параметров единице;
η/A_ - эффективная ширина спектра.
Текущее значение составляющей с ω = 2πn/L равно:
(уравнение 1.2.6 см. в книге)
Здесь все, что стоит перед косинусом, определяет амплитуду n-й гармонической
составляющей. При случайном расположении центров неоднородностей закон
распределения фазы ϕn_ этой составляющей будет равномерным в интервале
0–2π.
Чтобы найти спектр S(ω), нам необходимо вычислить амплитуды его гармони-
ческих составляющих. Для этого разобьем множество значений A_ на подмноже-
ства с номерами j, в каждое из которых будут входить все A от Aj +_A = Aj+1,
где _A -заданный шаг квантования. Просуммируем теперь от всех неровностей
гармонические составляющие un_(t) внутри каждого j. При большом числе неод-
нородностей высотой (или глубиной) от Aj до Aj + _A, учитывая случайность
фаз ϕn_, в силу предельной теоремы теории вероятностей получим приблизи-
тельно нормально распределенную случайную величину. Дисперсия ее σ2
nj , как
было сказано выше, численно равна амплитуде n-й гармонической составляю-
щей парциальной (j-й) спектральной плотности Sj(ω), j-й автокорреляционной
функции (как если бы других неровностей, кроме j-х, не существовало).
Если обозначить _νj число неровностей на длине L с вертикальными разме-
рами от Aj до Aj+1 и воспользоваться известным результатом сложения синусоид
с одинаковыми амплитудами, но случайными фазами ([9], § 11), то получим:
(уравнение 1.2.7 см. в книге)
Полная дисперсия гармонической составляющей ωn равна сумме дисперсий
σ2 nj по всем j:
(уравнение 1.2.8 см. в книге)
где M = Aмакc/-A, Aмакc - наибольший вертикальный размер неровностей.
Для вычисления суммы (1.2.8) найдем число неоднородностей -νj j-го раз-
мера на длине L. Для этого рассмотрим квадратный участок поверхности со
стороною L. Пусть wj есть средняя энергия метеоритов группы j (т. е. таких,
которые создают кратеры группы j) и E (wj ) - энергия всех метеоритов, при-
ходящаяся на единицу площади, которые образуют кратеры с вертикальными
размерами, в среднем равными Aj , но с разбросом не в пределах _A, а в еди-
ничном интервале высот. Очевидно, что E (wj) является некоторой функцией wj
или Aj . Полная энергия метеоритов группы j на площади L2 теперь запишется
(обозначим ее _Wj ):
(уравнение 1.2.8 см. в книге)
Число возмущений на площади L2 найдется как
(уравнение 1.2.9 см. в книге)
Если возмущения затрагивают некоторую линию (в частности, прямую) дли-
ны L, то их центры должны располагаться в прилегающей к этой линии полосе,
ширина которой равна поперечному размеру возмущения, т. е. 2τj . В этом случае
число неоднородностей вдоль L будет равно числу возмущений на L2, умножен-
ному на отношение 2τj/L
Из (1.2.10) получим:
(уравнение 1.2.10 см. в книге)
Выразим теперь E (wj )/wj через Aj .
Задание определенного вида закона распределения метеорных тел по массам
с большой точностью определяет и вид зависимости E (wj ) от wj . Это видно из
следующего.
Из теории взрывных явлений при падении метеоритов известно, что объем
.взорванного. грунта пропорционален энергии удара ([10], гл. VIII, § 4). Этот
объем может быть приближенно вычислен как V_ = πτ_A_. Средняя длина неров-
ности 2τj cp может быть выражена через Aj и критерий подобия η:
(уравнение 1.2.11см. в книге)
Тогда средний объем неоднородности Vj cp в подмножестве j равен:
(уравнение 1.2.12 см. в книге)
Откуда
(уравнение 1.2.13 см. в книге)
Vj связано с энергией wj некоторым постоянным коэффициентом ρ:
Vj = ρwj , (1.2.14)
что при подстановке в (1.2.12)–(1.2.14) дает:
Aj cp = γ√3 wjcp, (1.2.15)
На площади, равной единице, число неоднородностей _˜νj в интервале высот
_A теперь может быть найдено как:
При устремлении _A к нулю можно всю правую часть этого равенства выра-
зить через энергию wj путем дифференцирования соотношения (1.2.15). Опуская
при этом индекс j, в силу непрерывности числа неоднородностей по A найдем:
(уравнение 1.2.16 см. в книге)
Полученное выражение есть дифференциальное распределение метеорных тел по
энергии. Из наземных измерений известно, что скорости метеоров занимают срав-
нительно узкий диапазон; в подавляющем большинстве метеоры имеют скорости
от 20 до 60 км/сек [11]. Диапазон же масс, в котором справедливы эти цифры,
оценивается многими порядками ([12], § 11, 5.4).
Поэтому, ориентируясь на среднюю скорость, можно считать [13], что закон
распределения метеоров по энергии в среднем такой же, как и по массе, т. е.
(уравнение 1.2.17 см. в книге)
Из сравнения (1.2.16) и (1.2.17) следует, что
(уравнение 1.2.18 см. в книге)
где
p = s − 5/3. (1.2.18′)
Таким образом, вид зависимости E (wj ) отличается от распределения по массам
только величиной показателя степени у w.
Из (1.2.12), (1.2.14) и (1.2.18) следует, что
(уравнение 1.2.19 см. в книге)
где ρ1 = 3ν1/γ.
Число возмущений на длине L из (1.2.11) с учетом (33) окончательно найдем
(уравнение 1.2.20 см. в книге)
Возвращаясь теперь к вычислению полной дисперсии σ2n
, подставим в (1.2.8)
выражение (1.2.20) и, устремив _A к нулю, заменим сумму интегралом. Полу-
чим:
(уравнение 1.2.21 см. в книге)
Здесь опущен индекс среднего значения по j, имевшийся у Aj в скобках выражения (1.2.20). При A → 0 сохранение этого среднего теряет смысл.
Произведем замену в (1.2.21), учтя, что Aj = j_A:
(уравнение 1.2.22 см. в книге)
Величина η/Aj в аргументе функции (см. выражение в книге)имеет смысл эффективной ширины спектра. Это означает, что при ω = η/Ajg(ω) спадает до малого значения,
и при дальнейшем увеличении становится несущественной величиной. Для новой
переменной эффективная ширина спектра будет определяться значением x = 1.
Так как η = A0/τ0 = Aмакc/τмакc, где τмакc _ эффективный радиус самых
больших рассматриваемых неровностей, то верхний предел интегрирования ста-
новится равным:
(уравнение 1.2.23 см. в книге)
Но нас не должны интересовать спектральные составляющие, периоды которых больше максимальной длины неоднородностей, так как они вызваны остаточными флюктуациями при усреднении по профилю сечения из-за ограниченности
величины L. Величина этих составляющих пренебрежимо мала. Поэтому n в
(1.2.23) должно быть равно L/τмакc и выше.
В этом случае верхний предел интегрирования xb > 2π, и так как спектраль-
ная плотность неоднородности быстро убывает после x = 1, то без большой
погрешности можно положить верхний предел равным бесконечности. Вместе
с тем, считая L достаточно большим, можем, устремляя L к бесконечности,
получить вместо σ2n L/2π = σ2n /_ω спектральную плотность S(ω) = lim_!→0_2n_! ,
соответствующую автокорреляционной функции поверхности B(τ). Тогда вме-
сто (1.2.21) получим:
(уравнение 1.2.24 см. в книге)
Освободимся теперь от ранее наложенного ограничения относительно обя-
зательного расположения центров возмущений на исследуемом сечении. Если
центры расположены случайно (что имеет место в действительности), то неров-
ности одинаковой высоты Aj , но пересеченные не по середине, дадут профиль,
вообще говоря, отличный от центрального и с иным значением η. Покажем, что
это не меняет зависимости S(ω) от ω.
Для этого разобьем каждое подмножество возмущений с высотами Aj , кото-
рые пересекаются выбранным сечением, на еще более мелкие подмножества Ajk,
где индекс k указывает на принадлежность к той или иной величине ηk. Очевид-
но, что все профили из Aj , имеющие η = ηk, будут одинаковыми и по форме, и по
размерам. Тогда для каждого подмножества Ajk можно провести те же рассуж-
дения, что были проведены выше относительно Aj , и для плотности S(ω) вместо
(1.2.24) получим (с заменой η на ηk, S(ω) на Sk(ω) и c(ρ) на ck(ρ)):
(уравнение 1.2.25 см. в книге)
c(ρ) изменилось на ck(ρ) вследствие того, что в него входит удельная плотность
числа метеорных тел (a значит, и числа возмущений поверхности), которая для
ηk будет, естественно, меньше чем для η. Функция g(x), вообще говоря, тоже
будет зависеть от номера k.
Если теперь просуммировать парциальные спектральные плотности по всем
k, то получим:
(уравнение 1.2.26 см. в книге)
Из (1.2.26) видно, что характер спектральной плотности остался таким же, как
и в (1.2.24), изменился лишь коэффициент, теперь равный сумме (1.2.26).
Сделаем еще одно замечание. Закон распределения метеоров по массе, приня-
тый в форме (1.2.1), может быть справедлив только в ограниченном диапазоне
1.2. О связи между распределением метеорных тел по массе 25
масс. Это следует из того, что интегрирование соотношения (1.2.1) от нулевых
масс до бесконечности приводит к бесконечному значению интеграла, что от-
мечено, в частности, Б.Ю. Левиным [14]. К такому же значению приводит и
интегрирование по энергии распределения (1.2.17). Это не позволяет провести
соответствующее нормирование получающихся функций распределения, вслед-
ствие чего требования, предъявляемые к ним, не могут быть удовлетворены.
Однако если значение ρ не превосходит единицу, то интегралы, входящие в вы-
ражения для спектральных плотностей, сходятся, и функция B(τ) может быть
вычислена. Параметр s при этом ограничен значением sмакc = ρмакc + 5/3 = 2 2/3
[см. (1.2.18′)].
Чтобы расширить область применения изложенного анализа, необходимо использовать закон распределения метеорных тел по массам не в приближенном виде (1.2.1), а в виде, удовлетворяющем всем требованиям, предъявляемым к функциям распределения (интеграл по плотности должен быть равен единице и т. д.). Насколько известно автору, полный вид такого распределения еще не предложен.
В связи с упрощениями в исходном распределении (1.2.1), поведение спектральной плотности (1.2.24), (1.2.26) имеет некоторые особенности. Оно достаточно точно соответствует поведению автокорреляционной функции в основной части последней, т. е. в области ее средних значений. В области очень малых значений B(τ) и значений, примыкающих к τ = 0, B(τ) определяется размерами возмущений соответственно очень большими и очень малыми. Эти крайние
значения выходят за интересующий нас диапазон размеров возмущений и могут иметь иные параметры распределения, в частности, иные значения s и ρ.
При интегрировании в (1.2.24)–(1.2.26) это обстоятельство не находит отражения,
так как предполагалось, что закон распределения в пределах всего интервала
интегрирования постоянен. Подробнее такого вида спектральные плотности и
соответствующие им автокорреляционные функции (или структурные функции)
рассмотрены в книге Татарского [15, гл. 1].
Для лунной поверхности была сделана попытка построить автокорреляционную функцию [16]. Для этого использовались фотографии Луны, по которым были вычерчены контуры ее лимба. Автокорреляционная функция B(τ), полученная из этого профиля, в значительной своейчасти (вплоть до 110 км за исключением малой области вблизи τ = 0) может быть аппроксимирована прямой линией или экспонентой (рис. 1.2.1). Правда, контур лунного лимба формируется неровностями, не лежащими точно в одной плоскости. Кроме того, она
образована не только интересующими нас крупными кратерами, но и другими
неровностями, поэтому непосредственно для нашей цели использована быть не
может. Но если автокорреляционная функция сечения похожа на нее, т. е. имеет
значительный прямолинейный участок, то спектральная плотность, полученная
как косинус-преобразование Фурье от прямой линии или экспоненты (при не
очень малых ω), пропорциональна ω−3+3_ = ω−2. При этом 3 − 3ρ = 2, ρ = 1/3
из (1.2.18′) получим s = ρ + 5/3 = 2. При более медленном спадании спектральной плотности, т. е. при ρ > 1/3, величина s увеличивается, но не более чем до значения 2 2/3 .
Если автокорреляционная функция случайного процесса в существенной своейчасти может быть выражена в виде B(τ) = c − ατμ−1, то при 0 < μ − 1 < 2,
спектральная плотность этого процесса (тоже в существенной своейчасти) будет
пропорциональна ω−μ [15].
То, что полученное значение равно приблизительно двум, не вступает в большое противоречие с фактами, приведенными в начале статьи. Устранение допущенных идеализаций, а также более точное определение автокорреляционных
функций поверхности позволит более точно оценить закон распределения круп-
ных метеорных тел по массе.
Литература
1. Левин Б.Ю., Козловская С.В., Старкова А.Г. Средний химический состав метеоритов //
Метеоритика. 1956. Вып. 14. С. 38–56.
2. G.S. Наwkins, Аstrоn. J., 65, 318, 1960.
3. С.O.R. Jаschеk, Тhе оbservаtory, 80, N 916, 119, 1960.
4. J. Joung, J. Brit. Astr. Ass., 50, N 9, 309, 1940.
5. D.W. Arthur, J. Brit. Аstr. Ass., 64, N 3, 127, 1954.
6. Артур Дж. Визуальные наблюдения Луны // Новое о Луне. М.: Изд-во АН СССР, 1963.
С. 244.
7. Ваldwin R.B. Тhе Fасе of the Мооn. Сhicago, 1949.
8. Давенпорт В.Б., Рут В.Л. Введение в теорию случайных сигналов и шумов. М.: Изда-
тельство иностранной литературы, 1960. .
9. 9 Левин Б.Р. Теория случайных процессов и ее применение в радиотехнике. М.: Советское
радио, 1957.
10. Луна / под ред. А.В. Маркова. М.: Физматгиз, 1960.
11. Кащеев Б.Л., Дудник Б.С. и др. Влияние диффузии на радиолокационные измерения
скорости метеоров // Ионосферные исследования (метеоры): сб. статей. Вып. 8. М.: Изд-
во АН СССР, 1962.
12. Физика верхней атмосферы. М.: Физматгиз, 1963.
13. Фиалко Е.И. Некоторые результаты исследования распределения метеорных тел по мас-
сам // Астрономический циркуляр. 1958, № 195. C. 22; Астрономический журнал. 1965.
Т. 42. С. 409
14. Левин Б.Ю. Физическая теория метеоров и метеорное вещество в Солнечной системе.
М.: Изд-во АН СССР, 1956.
15. Татарский В.И. Теория флюктуационных явлений при распространении волн в турбу-
лентной атмосфере. М.: Изд-во АН СССР, 1959.
16. Даниэлс Ф. Теория радиолокационного отражения от Луны и планет // Радиолокация
Венеры. М.: Издательство иностранной литературы, 1963. С. 80.
чья неустанная поддержка, любовь, дружба
стали органической частью моей жизни
и творчества, без которой я вряд ли смог бы
сделать даже малую часть того, что
изложено в этой книге
Введение
Прошедший примерно 50-летний период характеризуется весьма скупым поступлением книг по распространению радиоволн в приложении к работе каналов
связи и вещания, отражающих новые или ранее полученные, но интересные и не
сразу обратившие на себя внимание теоретические или экспериментальные результаты.
Последняя фундаментальная монография, посвященная исследованиям распространения радиоволн, .Распространение радиоволн и ионосфера., 480 стр., была опубликована Я.Л. Альпертом в 1960 году. Эта книга наиболее полно отражает физическую сторону работы ионосферных радиоканалов и сопровождающие полученные выводы экспериментальных наблюдений. Некоторые исследования в диапазоне средних частот отражены в небольших книгах В.Е. Кашпровского и Ф.А. Кузубова .Распространение радиоволн земным лучом., 220 стр., (1971 г.), и И.М. Виленского и В.С. Ямпольского .Распространение средних радиоволн в ионосфере., 119 стр., (1983 г.). Издано несколько хороших учебных пособий, но они отражают в основном, как и положено учебникам, устоявшиеся и хорошо проверенные точки зрения вчерашнего дня. После выхода этих книг за прошедшие годы проведено большое количество теоретических и экспериментальных работ, сведения о которых содержатся в различных журналах и
сборниках, часто малоизвестных и потому труднодоступных для ознакомления.
Отметим, что за многие последние годы не было опубликовано ни одной монографии по работе радиолиний на частотах ниже 30 МГц, кроме книг О. Головина по КВ-линиям. В них рассматриваются, в основном, сетевые и структурные вопросы. Проблемы, рассмотренные в данной книге с достаточной детализацией, не входили в задачи упомянутых монографий. Современные взгляды на распространение радиоволн в ионосфере хорошо отражены в последних монографиях Ю.К. Калинина .Вопросы ионосферной геофизики и радиофизики., М., 2012 г. и Акимова В.Ф., Калинина Ю.К. и Тасенко С.В. .Односкачковое распространение радиоволн., М., 2014 г. Вопросы коротковолновой связи рассматриваются также многими другими научными коллективами. Не анализируя работы коллективов силовых ведомств, можно отметить многолетнюю работу Поволжского Университета (Йошкар-Ола) по плодотворному изучению свойств ионосферы и работы КВ-каналов в различных условиях, а также ряд учреждений в северных районах страны.
В данной книге собран материал, содержащийся в публикациях, написанных либо только автором, много лет занимающимся вопросами распространения длинных, средних и коротких радиоволн и их приложением к задачам связи и радиовещания, либо в соавторстве с коллегами (из 78 разделов две трети написаны только автором, остальные в соавторстве). Они написаны в различные годы, опубликованы в различных журналах, иногда в труднодоступных. Но многие из полученных результатов не устарели и, будучи по тематике собранными в одном месте, дают представление о проблемных моментах, что может быть полезным в дальнейших исследованиях. Наука о распространении радиоволн не развивается сама по себе. В практических задачах она тесно переплетается с антенной тематикой, дифракцией и рассеянием, надежностью и рядом других направлений. Частично они отражены в настоящей книге. Хотелось бы надеяться, что
некоторые из пытливых читателей найдут для себя наводящие или неполно решенные вопросы, которые послужат стимулом к продолжению исследований в этой интереснейшей области.
Отметим, что наибольшее место в книге уделено свойствам и работе канала
связи, и лишь небольшая часть объема уделена собственно особенностям ионосферы и вопросам дифракции. Это представляется правильным, так как задачи более глубокого и последовательного изучения ионосферы решаются академическими или специализированными коллективами, как, например, ИЗМИРАН, ААНИИ, ИПГ и др.
В конце книги есть раздел, посвященный публицистическим работам, доступным образом отражающим состояние радиовещания в настоящее время. Такое дополнение представляется весьма полезным, так как для читателей, не являющихся глубокими профессионалами в вопросах ионосферы и работе каналов, но хорошо разбирающихся в организации связи и вещания, эти работы помогут разъяснить многие вопросы.
Вопросы, рассматриваемые в книге, сгруппированы по направлениям. Каждое направление предваряется небольшим введением, поясняющим повод к проведению тех или иных исследований. Возможно, это окажется полезным. В ряде разделов, в которых один изучаемый вопрос рассматривается с разных сторон, могут быть сходные по содержанию фрагменты текста или подобные рисунки.
Такие повторы целесообразно было не упразднять, чтобы не ломать изложение материала в каждом из разделов.
Следует особо выделить важное, на мой взгляд, обстоятельство. В книге достаточно места уделено земному распространению длинных и средних волн. Это связано с тем, что все предыдущие десятилетия от начала их использования считалось, что напряженность поля на линиях этого диапазона ведет себя достаточно стабильно, и вариации уровня сигнала, если и встречаются, то являются весьма малыми, и их можно не принимать во внимание. Ни на их величину, ни на причину возникновения этих вариаций и их закономерности исследователи, кроме нескольких единиц публикаций (например, упомянутой выше книги Кашпровского В.Е. и Кузубова Ф.А., швейцарского журнала за 1945 год), практически не обращали внимания. Наблюдения на территории России на протяжении почти 20 лет на линиях радиовещания показали, что существует целый мир, в котором живут трассы земных волн, по своим законам, с массой корреляционных связей, у которых есть сферы жизни, где изменения постоянно невелики, а есть сферы, где на регулярной основе изменения могут достигать 20 дБ. Все это до поры до времени не замечалось, в значительной степени потому, что этот диапазон использовался почти исключительно для радиовещания, в котором использовалась система двухполосной амплитудной модуляции и передатчики большой и очень большой мощности. Все это способствовало малой заметности на слух, с его логарифмической шкалой слышимости, происходящих колебаний уровня сигнала.
Особенно остро вопрос о случайных и детерминированных изменениях сигнала возник в начале 2000-х годов, когда была предложена система цифрового радиовещания DRM (Digital Radio Mondiale). Главное принципиальное отличие цифровой системы от аналоговой состоит в том, что цифровая система – пороговая. Если при аналоговой системе уровень сигнала снижается, например, на 10 дБ от регламентированного уровня для хорошего приема, то это приводит субъективно к некоторому снижению качества сигнала или к некоторому снижению
комфортности приема. При таком же снижении сигнала от уровня, достаточного
для нормальной работы системы при цифровой модуляции, происходит полное
пропадание приема. Эти обстоятельства вызвали подъем интереса к повышению
стабильности уровня напряженности поля, а значит, и к изучению причин его случайных и неслучайных замираний. Возникшие внезапно препятствия, возможно,
послужили одним из сдерживающих мотивов на пути скорейшего внедрения цифрового радиовещания.
Ниже этот блок вопросов достаточно подробно рассмотрен в главе о рас-
пространении длинных и средних волн, главе о цифровом радиовещании и в
публицистическом разделе.
Все, написанное в книге, вобрало в себя неизмеримое число продуктивных
бесед с моими коллегами. С особой теплотой я всегда вспоминаю моего первого наставника Константина Михайловича Косикова, который как талантливый
селекционер на всю жизнь привил мне любовь к распространению радиоволн.
Очень многому я научился у Е.И. Розенфельда, Н.Н. Шумской, А.А. Магазаника, А.И. Калинина, В.Н. Троицкого, Л.В. Надененко и других коллег – ученых
и практиков высочайшего уровня. У меня были тесные творческие контакты с
коллегами из других институтов. Всех отметить не удастся, но наибольшее участие в совместных исследованиях и обсуждениях текущих проблем принимали
Ю.Н. Черкашин, Ю.К. Калинин, П.М. Свитский, В.И. Бочаров, Т.С. Керблай,
Е.М. Жулина, В.М. Лукашкин и многие другие. Я благодарен Случаю, что мне
довелось работать рядом или вместе с ними.
Все изложенные результаты, и теоретические, и экспериментальные являются плодом многолетней работы. За это время сменился не один директор.
Последний, при котором я работал и еще продолжаю трудиться, это Валерий
Владимирович Бутенко. Когда впервые несколько лет назад зашла речь об из-
дании книги, он активно поддержал эту идею. Я ему весьма признателен.
В книге разделы, написанные мной, не отмечены фамилией, написанные с
Коллегами – содержат фамилии всех соавторов за исключением моей. Я благо-
дарен всем соавторам за их неоценимое участие в процессе исследований. И я
также многому научился у них.
И под конец не могу не сказать о Викторе Павловиче Дворковиче, без непрерывных положительных воздействий которого на меня я эту книгу вряд ли закончил бы. Большое ему спасибо.
Несколько слов об авторе
Юрий Андреевич Чернов родился 14 февраля 1932 г. Еще в школьные годы увлекся радиолюбительством, что и определило выбор профессии. В 1955 г. после окончания Института связи (МЭИС) поступил на работу в Научно-исследовательский институт радио Министерства связи. Научной работой начал заниматься, будучи студентом, дипломная работа была посвящена исследованию нелинейных искажений и устойчивости рефлексных
схем вещательных радиоприемников. На эту же тему в 1956 г. вышла первая статья в журнале «Радиотехника».
Дальнейшая работа в НИИР была посвящена изучению распространения радиоволн и радиовещанию.
Рассмотрение теоретических вопросов распространения радиоволн показало недостаточность вузовской и аспирантской математической подготовки, требовалось углубление знаний по ряду математических направлений, что оказалось возможным благодаря посещениям в МГУ семинара по теории вероятностей и лекций по ветвящимся процессам А.Н. Колмогорова, факультативных курсов по теории информации Р.Л. Добрушина и др.
Результаты экспериментальных и теоретических исследований распространения и рассеяния радиоволн в приложении к загоризонтной радиолокации легли в основу кадидатской диссертации, защищенной в 1966 г. Монография на эту же тему вышла в 1971 г. Проведенные исследования обнаружили большую неопределенность и неполноту наших знаний о поведении коротких волн в масштабах земного шара. Для развития этого направления с участием Ю.А. Чернова была организована широкая сеть измерительных пунктов во многих странах мира, на которых в течение почти 10 лет проводились измерения практически на всех линиях иновещания СССР. В дополнение к стационарным измерениям были организованы измерения на судах торгового флота, маршруты которых начинались в Ленинграде, а конечными пунктами были порты Северной и Южной Америки, Африки, Австралии иЮжной Зеландии. Для оценки влияния характеристик передающих антенн на напряженность поля и надежность приема были проведены
специальные эксперименты на трассах Москва–Владивосток, Николаев–Гавана
(Куба), Ангарск–Ханой (Вьетнам).
В результате этого комплекса измерений был собран уникальный по объему и информативности материал, позволивший прояснить поведение радиолиний большой протяженности в различных географических регионах, линий, пролегающих в полярных широтах, получить суточную и сезонную зависимости, а также связь напряженности поля с солнечной активностью.
Участие в работе мировой конференции по коротким волнам и подготовка
материалов к ней, как теоретических, так и экспериментальных, дали основу
для написания и защиты докторской диссертации по надежности радиовещания
на коротких волнах.
В последующие годы основное внимание было уделено радиовещанию на длинных и средних волнах. Был собран обширный экспериментальный материал на большом числе радиолиний малой и большой протяженности за светлое и темное время суток начиная с 1997 г. до 2017 г. Это позволило выявить ряд закономерностей в поведении земных радиоволн ДСВ-диапазона, как детерминированных, так и статистических. Большое число новых полезных результатов было внесено в ряд Рекомендаций МСЭ-R. Всего по тематике распространения радиоволн было предложено в МСЭ-R более 50 документов. Значительная часть материала была включена в Справочник МСЭ-R по земным волнам и в Справочник по ионосфере и ее влиянию на распространение радиоволн. Результаты этих исследований позволили намного глубже понять поведение средних и длинных волн, радиолиний, которые исторически считались наиболее спокойными, и по-новому подойти к расчету сетей радиовещания с учетом выявленных статистических и детерминированных закономерностей.
В настоящее время интенсивно изучается поведение радиолиний вещания на КВ и ДСВ, работающих в цифровом формате DRM. Наблюдение за работой таких радиолиний показывает, что в природных условиях их работа существенным образом отличается от тех прогнозов, которые были сделаны расчетным путем при создании цифровой системы. В действительности все намного сложнее. С дополнительными деталями творческой биографии Ю.А. Чернова можно
ознакомиться в разделе 7.4.
ГЛАВА 1
ДИФРАКЦИЯ И РАССЕЯНИЕ РАДИОВОЛН
Явления дифракции и рассеяния волн, порознь или вместе, присутствуют на
любых радиолиниях связи. В частности, по рассеянию опубликованы тысячи работ, и конца завершению исследований не видно. Очень велико разнообразие
задач и трудностей на пути их решения. Необходимость решать некоторые из
задач возникла в связи изучением проблемы загоризонтной радиолокации на
декаметровых волнах, которая развивается и в настоящее время. Вопросы рассеяния неотделимы от свойств рассеивающего объема или рассеивающей поверхности. Сложным вопросом является оценка статистических параметров природных
неровных поверхностей. При расчете индикатрисы рассеяния одним из наиболее
трудных вопросов является учет затенений на статистически неровной рассеивающей поверхности при наклонном облучении. Этой проблеме ученые отдали
много сил, но удобного решения так и не было получено. Названным вопросам
посвящены отдельные статьи.
1.1. Об одном противоречии в теории дифракции
1. Дифракция на отверстии в идеально проводящем экране в рамках приближения Кирхгофа изучена достаточно хорошо. Сравнительно просто решается
задача и о дифракции на дополнительном экране при расположении источников
и точки наблюдения в одном полупространстве. Однако сравнение видов самих
решений вызывает некоторое недоумение.
В частности, Л.А. Вайнштейн отметил, что решения имеют различную угловую зависимость вторичного поля, а дифрагированное на пластине поле не
удовлетворяет принципу взаимности ([1], § 91). При этом составляющие поля
на поверхности экрана приняты удвоенными по сравнению с падающим полем.
Такой подход в общетеоретическом плане развит в известной монографии .Антенны сантиметровых волн. [2].
Ниже сделана попытка обнаружения причины и устранения отмеченного противоречия.
2. Разделим бесконечное пространство на три области: источники поля, ограниченные поверхностью S1, область расположения точки приема P, ограниченную поверхностями S2 и S1, и внешнее пространство (рис. 1.1.1).
Искомое поле выразим с помощью формулы
Стреттона и Чу [3, стр. 410].
(уравнение 1.1.1. см в книге)
где интегрирование распространяется на всю огра-
ничивающую поверхность, т. е. на
S_ = S1 + S2.
Из теории электромагнитного поля известно:
а. Если интегрирование производится только по стороне S2, обращенной к
пространству II, то интеграл равен нулю, так как по отношению к III пространство II является внешним ([3], § 8.14, курсив в последнем абзаце, а также [4], гл. 1, § 3, п. 12). Это следует и из того, что поверхность S2 может быть уведена в бесконечность без пересечения при этом точки наблюдения или источников. б. Обязательным условием справедливости теоремы Грина, на основе которой получено (1.1.1), является интегрирование по замкнутой поверхности. Только в
этом случае можно говорить о безусловном равенстве нулю интеграла по стороне
поверхности S2, обращенной к пространству II. Остающийся интеграл по S1 и
определяет в этом случае поле в P.
Совместим теперь с частью S2 идеально проводящий экран Sэ (рис. 1.1.2), размеры которого и конфигурация удовлетворяют условиям применимости приближения Кирхгофа.
Суммарное поле непосредственно над поверхностью экрана, в пренебрежении краевыми эффектами (что отвечает приближениям Кирхгофа), задается удвоенной касательной составляющей магнитного поля и удвоенной нормальной составляющей электрического поля.
Полное поле в точке P найдется по формуле (1.1.1),
где интегрирование требуется провести по всей ограничивающей поверхности, т. е. S_ = S1 + S2 + Sэ:
(уравнение 1.1.2. см в книге)
Здесь ¯H и ¯E – составляющие поля при отсутствии экрана.
Добавим и вычтем в фигурных скобках второго интеграла (1.1.2) вектор
(см. уравнение в книне), после чего получим:
(уравнение 1.1.3. см в книге)
Первый интеграл в (1.1.3) определяет первичное поле в точке P при отсут-
ствии экрана; второй интеграл, согласно сказанному выше, равен нулю. Третий
интеграл определяет ту часть поля, которая вызвана наличием экрана. Таким
образом, вторичное поле определяется выражением:
(уравнение 1.1.4. см в книге)
Этот интеграл в точности равен величине, которая была бы получена при ин-
тегрирования по экрану отраженного от него поля [этому соответствует знак (−)
у второго слагаемого], а не суммарного, определяемого условиями ¯Eэ = 2¯Eт,
¯H э = 2 ¯Ht и входящего в первоначальное равенство (1.1.2).
В частном случае бесконечно протяженной плоскости вторичное поле в точке P (рис. 1.1.2) можно получить как по формуле (1.1.4), так и путем интегриро-
вания по суммарному полю над экраном (второй интеграл в (1.1.2)]. Это следует
из того, что поверхность Sэ можно дополнить воображаемой поверхностью S2,
все точки которой лежат в бесконечности. Как было показано, тогда интеграл
по всей поверхности S2 + Sэ по падающему полю равен нулю. Интеграл по S2
тоже равен нулю (в силу условия излучения), что ведет к равенству нулю интеграла вдоль Sэ по падающему полю. Интегрирование вдоль Sэ по оставшемуся
отраженному полю приводит к выражению (1.1.4).
3. В упомянутой монографии [2] поле в точке P определяется равенством
[гл. III, § 10, формула (112)]:
(уравнение 1.1.5. см в книге)
, ¯H и ¯E _ суммарное поле над поверхностью экрана.
Первый интеграл в (1.1.5) дает поле первичных источников.
Размеры экрана Si во втором интеграле не оговорены. Судя по тому, что он
дополняется бесконечно удаленной поверхностью, его размеры также бесконечны
во все стороны. В этом случае вторичное поле из (1.1.5) эквивалентно второму
интегралу в (1.1.2).
В дальнейшем решение (1.1.5) механически переносится на случай ограниченных поверхностей ([2], гл. V, § 8, формула (62а)). При этом по умолчанию
предполагается, что интеграл по дополнительной поверхности (S2 на рис. 1.1.2)
равен нулю. Но, как было отмечено, это неверно, так как интегрировать необ-
ходимо по замкнутой поверхности. В противном случае нарушаются условия,
при которых справедлива теорема Грина. Поэтому в [2] вторичное поле от ограниченного экрана сохранено в виде второго слагаемого (1.1.2), а не получено в виде (1.1.4). Потерей интеграла по S2 в [2] при определении дифракции от
ограниченного экрана и объясняется противоречие, отмеченное Вайнштейном.
Можно показать, что расчет дифрагированного поля на пластине с использо-
ванием (1.1.4) приводит к выражению, отличающемуся только знаком от поля,
дифрагированного на дополнительном отверстии.
Автор благодаренЮ.А. Ерухимовичу за неоднократное обсуждение затрону-
тых вопросов.
Литература
1. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. М.: .Советское радио., 1957.
2. Антенны сантиметровых волн. Ч. 1. М.: .Советское радио., 1950.
3. Стреттон Дж.А. Теория электромагнетизма. М.: ГИИТЛ, 1948.
4. Хенл Х., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. М.: Изд-во "Мир", 1964.
1.2. О связи между распределением метеорных тел по массе и автокорреляционной функцией взрыхленной ими поверхности планеты
Установлена связь между параметрами автокорреляционной функции поверхно-
сти и параметром s образовавшего ее метеоритного потока.
На основании теории подобия получено выражение для спектральной плотно-
сти квадратов амплитуд разложения поверхности в предположении, что поверх-
ность образована подобными кратерами. Найдено, что параметр s распределении
метеоритного потока, взрыхлившего поверхность планеты, не должен быть боль-
ше 2 2/3 . В случае, если автокорреляционная функция поверхности в основной
своейчасти близка к экспоненте или прямой линии, параметр s в распределения
по массе метеорных тел равен двум.
Распределения по массам метеорных тел, вторгающихся в земную атмосфе-
ру спорадически или в виде потоков, изучены сравнительно подробно. Но массы
этих тел весьма малы – приблизительно от 1 до 10−9 г. Многочисленными иссле-
дованиями установлено, что для таких масс дифференциальный закон распреде-
ления в диапазоне, равном многим порядкам, удовлетворительно описывается
обратностепенной зависимостью:
dN = N0 dm/ms , (1.2.1)
где s колеблется от 1,3 до 2,5.
О телах более крупных, порядка 1000 г и выше, известно гораздо меньше.
В работе Левина, Козловской и Старковой [1] показано, что для метеоритов,
найденных на поверхности Земли, показатель s лежит в пределах от 1,6 до 0,9.
Несколько позднее Хоукинсом [2] были построены распределения для 1447 ме-
теоритов (раздельно для железных и каменных), в которых s оказалось равным в среднем 2. Этим исследованиям, по-видимому, свойственно преуменьшение доли
более легких метеоритов, связанное с большими трудностями их обнаружения.
Относительно еще более крупных метеорных тел, таких, например, какие фор-
мировали некоторые участки лунной поверхности, известно еще меньше. Изучение их распределений может быть основано в настоящее время только на установлении связей между свойствами метеорного потока и производимыми метеорами возмущениями поверхности. Кроме изучения формирования планет, определение статистических свойств их поверхностей важно, в частности, в теории рассеяния радиоволн естественными поверхностями, в радиолокационной астрономии и т. п.
Непосредственно определению параметра s из статистических свойств по-
верхности Луны посвящена работа Яшека [3]. Основываясь на распределении
размеров лунных кратеров, исследованном Янгом [4], Яшек нашел, что в рас-
пределении метеоров по массам s в среднем равно 1,7. Из данных, приведенных
в работе Янга, можно заключить, что для крайних значений s в распределении
кратеров по диаметрам (s = 2 для 2 ÷ 9 миль и s = 3 для 50 ÷ 100 миль) вели-
чина показателя в распределении метеоров по массам должна была бы, следуя
методике Яшека, находиться в пределах 1,3 ÷ 2.
Расчеты распределения диаметров кратеров далеко не всегда и не для всех
размеров могут быть проведены с требуемой точностью. Кроме того, для планет,
имеющих непрозрачную для световых волн атмосферу, этот способ, естественно,
применен быть не может. Поэтому представляет интерес отыскание зависимо-
сти между параметрами метеорного потока и автокорреляционными свойствами
взрыхленной им поверхности планеты. Автокорреляционная функция является
важной статистической характеристикой поверхности и в большой мере опреде-
ляет особенности рассеяния радиоволн.
Всесторонне исследовать зависимость свойств поверхности от параметра s в
рамках одной статьи не представляется возможным. Поэтому в данной работе
использован ряд идеализирующих допущений, оправданных также и тем, что ее
основной целью является рассмотрение метода анализа и получение предвари-
тельных оценок.
Исходя из свойств поверхности (считая ее заданной), будем искать распреде-
ление по массам в виде (1.2.1). В этом случае определению подлежит единствен-
ный параметр s.
Уточним теперь исследуемую модель поверхности.
Профиль произвольного сечения поверхности планеты является случайной
функцией, которую мы будем рассматривать как случайный процесс, непрерывный и стационарный, со средним значением, равным нулю, в котором роль време-
ни играет пространственная переменная. Будем также считать, что этот процесс
образован линейной суперпозицией всех появляющихся кратеров, так что высота
в каждой точке поверхности есть алгебраическая сумма высот соответствующих
элементов всех кратеров, которым принадлежит данная точка.
В действительности это не совсем так, ибо при образовании большого крате-
ра происходит стирание всех более мелких неровностей, накопившихся на данном
месте до этого момента. При всех же последующих наложениях высоты неровно-
стей, можно считать, складываются линейно (рис. 1.2.1). Поэтому статистические
свойства поверхности могут отражать распределение метеорных тел с некото-
рым уменьшением доли малых масс. Степень этого уменьшения, по-видимому,
может быть оценена, но анализ ее представляется достаточно сложным и в рам-
ках данной работы проведен быть не может. Частично этот вопрос рассмотрен
Артуром [5]. Здесь отметим только следующее.
Из принятой формы распределения (1.2.1) следует, что при s > 1 с увели-
чением массы m плотность вероятности падает таким образом, что, несмотря
на рост площади каждого кратера, общая площадь кратеров, а значит, и общее
число кратеров, стертых всеми метеоритами, массы которых находятся в интер-
вале dm, с увеличением m уменьшается. Причем уменьшение тем заметнее, чем
больше s. Это позволяет надеяться, что полученное решение, хотя и может слу-
жить только первым приближением, все же не будет обладать существенными
погрешностями.
В том случае, когда перекрытие кратеров пренебрежимо мало или отсутствует
совсем, указанный перекос распределения в сторону больших значений ощущать-
ся не будет.
Обработка фотографий лунной поверхности, проведенная Дж. Артуром [6],
показала, что в большинстве случаев отношение глубины кратера d к его диамет-
ру D сохраняется постоянным. В диапазоне диаметров 5–15 км это отношение
лежит в пределах 0,15–0,23.
Болдуином [7] было проделано много измерений над лунными кратерами,
воронками от бомб, снарядов и мин и получена зависимость между диамет-
ром воронок и их глубиной. Выяснилось, что все они образуют непрерывную
последовательность, отличающуюся малым разбросом отношения характерных
размеров. Для кратеров диаметром ≈ 10 км отношение глубины к диаметру
несколько меньше, чем по измерениям Артура, и равно примерно 0,1.
Кроме того, при измерении внешних валов кратеров диаметром до 20 км была
обнаружена большая корреляция между диаметром кратера и высотой вала [6].
Эти измерения говорят о том, что на лунной поверхности в нешироком диа-
пазоне размеров выполняются условия подобия для образующихся неоднородно-
стей. Неоднородности типа кратера могут иметь несколько критериев подобия.
Ниже нам потребуется только одни из них, η – отношение глубины кратера d к
диаметру D.
η = d/D. (1.2.2)
Измерения Болдуина показали, что в широком диапазоне размеров кратеров
величина η не остается постоянной. При изменении D на три порядка η изменя-
ется приблизительно на порядок. Не преследуя цели учета всех деталей модели,
в качестве первого приближения в данной работе принято, что η является посто-
янной величиной.
Другой характеристикой поверхности, которая будет использована в даль-
нейшем, является автокорреляционная функция B(τ), где τ – горизонтальное расстояние между двумя точками поверхности. По определению функция B(τ)
является средним значением произведения высот поверхности, измеренных в точ-
ках, отстоящих на τ, т. е.:
( уравнение 1.2.3 см. в книге)
где h(t) _ высота поверхности в точке t, h(t + τ) _ высота поверхности в точке,
отстоящей на τ от предыдущей; черта сверху означает статистическое усредне-
ние по всем возможным реализациям сечения. Поверхность в дальнейшем будем
предполагать изотропной. B(τ) является мерой зависимости высот в разнесен-
ных точках поверхности; автокорреляционная функция максимальна при τ = 0
и стремится к нулю при τ → ∞. При τ = 0 величина B(0) равна дисперсии
процесса σ2.
Преобразование Фурье от автокорреляционной функции определяет спектраль-
ную плотность мощности случайного процесса S(ω). Под мощностью понимается
дисперсия амплитуд гармонических составляющих, если спектр дискретен, или
дисперсия на единицу полосы частот, если спектр непрерывен. Под частотой ω в
дальнейшем будем понимать величину:
ω =2π/Ln, где L – длина по горизонтали обследуемого процесса (сечения), n _ номер гар-
монической составляющей спектра.
Слово .частота. из соображений терминологических удобств заимствовано
из анализа процессов, в которых роль расстояния выполняет время.
Периодическим случайный процесс будет тогда, когда он составлен из бес-
конечного числа примыкающих друг к другу тождественно похожих случайных
реализаций длины L. L в этом случае будет основным периодом процесса.
Автокорреляционная функция B(τ) и спектральная плотность мощности про-
филя сечения связаны прямым и обратным преобразованием Фурье (подробнее
по этим вопросам см., например, [8], гл. 4–6):
см. выражение в книге
Поэтому, найдя связь спектральной плотности S(ω) с распределением метеори-
тов, мы автоматически определяем и функцию B(τ). Пример вида спектральной
плотности и автокорреляционной функции для бетонной поверхности приведен
на рис. 1.2.2.
Рассмотрим произвольное сечение поверхности, профиль которого состоит из
симметричных подобных возмущений. Пусть на отрезке сечения L их будет доста-
точно большое число. Форма неровностей для анализа не имеет значения. Тогда
каждое возмущение поверхности будет описываться некоторой функцией u, ар-
гумент которой будет зависеть от высоты данной неровности.
Временно будем предполагать, что центры всех неоднородностей лежат на
проведенном нами сечении. При этом формы неровностей и их η одинаковы.
В дальнейшем мы освободимся от этого ограничения. Чтобы при изменении
вертикальных размеров не нарушалось подобие неровностей, необходимо про-
порционально изменять и масштаб по оси абсцисс, поэтому общее выражение для возмущений должно иметь вид:
( уравнение 1.2.4 см. в книге)
где t_ - положение центра неровности на оси t, A_ - высота рассматриваемой
неровности номера λ, A0 и τ0 _ соответственно высота и эффективный радиус
неровности, принятой за единицу, причем A0/τ0 = η.
Величина A_τ0/A0 = A_/η является эффективным радиусом λ-й неровности.
Это означает, что величина A_/η как раз такая, что при достижении аргументом
|t − t_| ее значения мы практически выходим из области t, занятой возмущением.
Для неровности, условно принятой за единицу, A_ = A0 и A_/η просто равно
τ0, т. е. в нашем случае эффективный радиус, учитывая (1.2.2), равен половине
диаметра кратера.
Для дальнейшего анализа вместо исследуемого сечения длины L удобно рас-
сматривать бесконечный периодический случайный процесс с основным перио-
дом L. В этом случае каждое отдельное возмущение u_ тоже является перио-
дическим, но не случайным процессом и представляется уже не интегралом, а
суммой вида:
(уравнение 1.2.5 см. в книге)
где G_(ω) - амплитуда спектральной составляющей, в общем случае комплекс-
ная; g(ω) - та же амплитуда при условии равенства всех параметров единице;
η/A_ - эффективная ширина спектра.
Текущее значение составляющей с ω = 2πn/L равно:
(уравнение 1.2.6 см. в книге)
Здесь все, что стоит перед косинусом, определяет амплитуду n-й гармонической
составляющей. При случайном расположении центров неоднородностей закон
распределения фазы ϕn_ этой составляющей будет равномерным в интервале
0–2π.
Чтобы найти спектр S(ω), нам необходимо вычислить амплитуды его гармони-
ческих составляющих. Для этого разобьем множество значений A_ на подмноже-
ства с номерами j, в каждое из которых будут входить все A от Aj +_A = Aj+1,
где _A -заданный шаг квантования. Просуммируем теперь от всех неровностей
гармонические составляющие un_(t) внутри каждого j. При большом числе неод-
нородностей высотой (или глубиной) от Aj до Aj + _A, учитывая случайность
фаз ϕn_, в силу предельной теоремы теории вероятностей получим приблизи-
тельно нормально распределенную случайную величину. Дисперсия ее σ2
nj , как
было сказано выше, численно равна амплитуде n-й гармонической составляю-
щей парциальной (j-й) спектральной плотности Sj(ω), j-й автокорреляционной
функции (как если бы других неровностей, кроме j-х, не существовало).
Если обозначить _νj число неровностей на длине L с вертикальными разме-
рами от Aj до Aj+1 и воспользоваться известным результатом сложения синусоид
с одинаковыми амплитудами, но случайными фазами ([9], § 11), то получим:
(уравнение 1.2.7 см. в книге)
Полная дисперсия гармонической составляющей ωn равна сумме дисперсий
σ2 nj по всем j:
(уравнение 1.2.8 см. в книге)
где M = Aмакc/-A, Aмакc - наибольший вертикальный размер неровностей.
Для вычисления суммы (1.2.8) найдем число неоднородностей -νj j-го раз-
мера на длине L. Для этого рассмотрим квадратный участок поверхности со
стороною L. Пусть wj есть средняя энергия метеоритов группы j (т. е. таких,
которые создают кратеры группы j) и E (wj ) - энергия всех метеоритов, при-
ходящаяся на единицу площади, которые образуют кратеры с вертикальными
размерами, в среднем равными Aj , но с разбросом не в пределах _A, а в еди-
ничном интервале высот. Очевидно, что E (wj) является некоторой функцией wj
или Aj . Полная энергия метеоритов группы j на площади L2 теперь запишется
(обозначим ее _Wj ):
(уравнение 1.2.8 см. в книге)
Число возмущений на площади L2 найдется как
(уравнение 1.2.9 см. в книге)
Если возмущения затрагивают некоторую линию (в частности, прямую) дли-
ны L, то их центры должны располагаться в прилегающей к этой линии полосе,
ширина которой равна поперечному размеру возмущения, т. е. 2τj . В этом случае
число неоднородностей вдоль L будет равно числу возмущений на L2, умножен-
ному на отношение 2τj/L
Из (1.2.10) получим:
(уравнение 1.2.10 см. в книге)
Выразим теперь E (wj )/wj через Aj .
Задание определенного вида закона распределения метеорных тел по массам
с большой точностью определяет и вид зависимости E (wj ) от wj . Это видно из
следующего.
Из теории взрывных явлений при падении метеоритов известно, что объем
.взорванного. грунта пропорционален энергии удара ([10], гл. VIII, § 4). Этот
объем может быть приближенно вычислен как V_ = πτ_A_. Средняя длина неров-
ности 2τj cp может быть выражена через Aj и критерий подобия η:
(уравнение 1.2.11см. в книге)
Тогда средний объем неоднородности Vj cp в подмножестве j равен:
(уравнение 1.2.12 см. в книге)
Откуда
(уравнение 1.2.13 см. в книге)
Vj связано с энергией wj некоторым постоянным коэффициентом ρ:
Vj = ρwj , (1.2.14)
что при подстановке в (1.2.12)–(1.2.14) дает:
Aj cp = γ√3 wjcp, (1.2.15)
На площади, равной единице, число неоднородностей _˜νj в интервале высот
_A теперь может быть найдено как:
При устремлении _A к нулю можно всю правую часть этого равенства выра-
зить через энергию wj путем дифференцирования соотношения (1.2.15). Опуская
при этом индекс j, в силу непрерывности числа неоднородностей по A найдем:
(уравнение 1.2.16 см. в книге)
Полученное выражение есть дифференциальное распределение метеорных тел по
энергии. Из наземных измерений известно, что скорости метеоров занимают срав-
нительно узкий диапазон; в подавляющем большинстве метеоры имеют скорости
от 20 до 60 км/сек [11]. Диапазон же масс, в котором справедливы эти цифры,
оценивается многими порядками ([12], § 11, 5.4).
Поэтому, ориентируясь на среднюю скорость, можно считать [13], что закон
распределения метеоров по энергии в среднем такой же, как и по массе, т. е.
(уравнение 1.2.17 см. в книге)
Из сравнения (1.2.16) и (1.2.17) следует, что
(уравнение 1.2.18 см. в книге)
где
p = s − 5/3. (1.2.18′)
Таким образом, вид зависимости E (wj ) отличается от распределения по массам
только величиной показателя степени у w.
Из (1.2.12), (1.2.14) и (1.2.18) следует, что
(уравнение 1.2.19 см. в книге)
где ρ1 = 3ν1/γ.
Число возмущений на длине L из (1.2.11) с учетом (33) окончательно найдем
(уравнение 1.2.20 см. в книге)
Возвращаясь теперь к вычислению полной дисперсии σ2n
, подставим в (1.2.8)
выражение (1.2.20) и, устремив _A к нулю, заменим сумму интегралом. Полу-
чим:
(уравнение 1.2.21 см. в книге)
Здесь опущен индекс среднего значения по j, имевшийся у Aj в скобках выражения (1.2.20). При A → 0 сохранение этого среднего теряет смысл.
Произведем замену в (1.2.21), учтя, что Aj = j_A:
(уравнение 1.2.22 см. в книге)
Величина η/Aj в аргументе функции (см. выражение в книге)имеет смысл эффективной ширины спектра. Это означает, что при ω = η/Ajg(ω) спадает до малого значения,
и при дальнейшем увеличении становится несущественной величиной. Для новой
переменной эффективная ширина спектра будет определяться значением x = 1.
Так как η = A0/τ0 = Aмакc/τмакc, где τмакc _ эффективный радиус самых
больших рассматриваемых неровностей, то верхний предел интегрирования ста-
новится равным:
(уравнение 1.2.23 см. в книге)
Но нас не должны интересовать спектральные составляющие, периоды которых больше максимальной длины неоднородностей, так как они вызваны остаточными флюктуациями при усреднении по профилю сечения из-за ограниченности
величины L. Величина этих составляющих пренебрежимо мала. Поэтому n в
(1.2.23) должно быть равно L/τмакc и выше.
В этом случае верхний предел интегрирования xb > 2π, и так как спектраль-
ная плотность неоднородности быстро убывает после x = 1, то без большой
погрешности можно положить верхний предел равным бесконечности. Вместе
с тем, считая L достаточно большим, можем, устремляя L к бесконечности,
получить вместо σ2n L/2π = σ2n /_ω спектральную плотность S(ω) = lim_!→0_2n_! ,
соответствующую автокорреляционной функции поверхности B(τ). Тогда вме-
сто (1.2.21) получим:
(уравнение 1.2.24 см. в книге)
Освободимся теперь от ранее наложенного ограничения относительно обя-
зательного расположения центров возмущений на исследуемом сечении. Если
центры расположены случайно (что имеет место в действительности), то неров-
ности одинаковой высоты Aj , но пересеченные не по середине, дадут профиль,
вообще говоря, отличный от центрального и с иным значением η. Покажем, что
это не меняет зависимости S(ω) от ω.
Для этого разобьем каждое подмножество возмущений с высотами Aj , кото-
рые пересекаются выбранным сечением, на еще более мелкие подмножества Ajk,
где индекс k указывает на принадлежность к той или иной величине ηk. Очевид-
но, что все профили из Aj , имеющие η = ηk, будут одинаковыми и по форме, и по
размерам. Тогда для каждого подмножества Ajk можно провести те же рассуж-
дения, что были проведены выше относительно Aj , и для плотности S(ω) вместо
(1.2.24) получим (с заменой η на ηk, S(ω) на Sk(ω) и c(ρ) на ck(ρ)):
(уравнение 1.2.25 см. в книге)
c(ρ) изменилось на ck(ρ) вследствие того, что в него входит удельная плотность
числа метеорных тел (a значит, и числа возмущений поверхности), которая для
ηk будет, естественно, меньше чем для η. Функция g(x), вообще говоря, тоже
будет зависеть от номера k.
Если теперь просуммировать парциальные спектральные плотности по всем
k, то получим:
(уравнение 1.2.26 см. в книге)
Из (1.2.26) видно, что характер спектральной плотности остался таким же, как
и в (1.2.24), изменился лишь коэффициент, теперь равный сумме (1.2.26).
Сделаем еще одно замечание. Закон распределения метеоров по массе, приня-
тый в форме (1.2.1), может быть справедлив только в ограниченном диапазоне
1.2. О связи между распределением метеорных тел по массе 25
масс. Это следует из того, что интегрирование соотношения (1.2.1) от нулевых
масс до бесконечности приводит к бесконечному значению интеграла, что от-
мечено, в частности, Б.Ю. Левиным [14]. К такому же значению приводит и
интегрирование по энергии распределения (1.2.17). Это не позволяет провести
соответствующее нормирование получающихся функций распределения, вслед-
ствие чего требования, предъявляемые к ним, не могут быть удовлетворены.
Однако если значение ρ не превосходит единицу, то интегралы, входящие в вы-
ражения для спектральных плотностей, сходятся, и функция B(τ) может быть
вычислена. Параметр s при этом ограничен значением sмакc = ρмакc + 5/3 = 2 2/3
[см. (1.2.18′)].
Чтобы расширить область применения изложенного анализа, необходимо использовать закон распределения метеорных тел по массам не в приближенном виде (1.2.1), а в виде, удовлетворяющем всем требованиям, предъявляемым к функциям распределения (интеграл по плотности должен быть равен единице и т. д.). Насколько известно автору, полный вид такого распределения еще не предложен.
В связи с упрощениями в исходном распределении (1.2.1), поведение спектральной плотности (1.2.24), (1.2.26) имеет некоторые особенности. Оно достаточно точно соответствует поведению автокорреляционной функции в основной части последней, т. е. в области ее средних значений. В области очень малых значений B(τ) и значений, примыкающих к τ = 0, B(τ) определяется размерами возмущений соответственно очень большими и очень малыми. Эти крайние
значения выходят за интересующий нас диапазон размеров возмущений и могут иметь иные параметры распределения, в частности, иные значения s и ρ.
При интегрировании в (1.2.24)–(1.2.26) это обстоятельство не находит отражения,
так как предполагалось, что закон распределения в пределах всего интервала
интегрирования постоянен. Подробнее такого вида спектральные плотности и
соответствующие им автокорреляционные функции (или структурные функции)
рассмотрены в книге Татарского [15, гл. 1].
Для лунной поверхности была сделана попытка построить автокорреляционную функцию [16]. Для этого использовались фотографии Луны, по которым были вычерчены контуры ее лимба. Автокорреляционная функция B(τ), полученная из этого профиля, в значительной своейчасти (вплоть до 110 км за исключением малой области вблизи τ = 0) может быть аппроксимирована прямой линией или экспонентой (рис. 1.2.1). Правда, контур лунного лимба формируется неровностями, не лежащими точно в одной плоскости. Кроме того, она
образована не только интересующими нас крупными кратерами, но и другими
неровностями, поэтому непосредственно для нашей цели использована быть не
может. Но если автокорреляционная функция сечения похожа на нее, т. е. имеет
значительный прямолинейный участок, то спектральная плотность, полученная
как косинус-преобразование Фурье от прямой линии или экспоненты (при не
очень малых ω), пропорциональна ω−3+3_ = ω−2. При этом 3 − 3ρ = 2, ρ = 1/3
из (1.2.18′) получим s = ρ + 5/3 = 2. При более медленном спадании спектральной плотности, т. е. при ρ > 1/3, величина s увеличивается, но не более чем до значения 2 2/3 .
Если автокорреляционная функция случайного процесса в существенной своейчасти может быть выражена в виде B(τ) = c − ατμ−1, то при 0 < μ − 1 < 2,
спектральная плотность этого процесса (тоже в существенной своейчасти) будет
пропорциональна ω−μ [15].
То, что полученное значение равно приблизительно двум, не вступает в большое противоречие с фактами, приведенными в начале статьи. Устранение допущенных идеализаций, а также более точное определение автокорреляционных
функций поверхности позволит более точно оценить закон распределения круп-
ных метеорных тел по массе.
Литература
1. Левин Б.Ю., Козловская С.В., Старкова А.Г. Средний химический состав метеоритов //
Метеоритика. 1956. Вып. 14. С. 38–56.
2. G.S. Наwkins, Аstrоn. J., 65, 318, 1960.
3. С.O.R. Jаschеk, Тhе оbservаtory, 80, N 916, 119, 1960.
4. J. Joung, J. Brit. Astr. Ass., 50, N 9, 309, 1940.
5. D.W. Arthur, J. Brit. Аstr. Ass., 64, N 3, 127, 1954.
6. Артур Дж. Визуальные наблюдения Луны // Новое о Луне. М.: Изд-во АН СССР, 1963.
С. 244.
7. Ваldwin R.B. Тhе Fасе of the Мооn. Сhicago, 1949.
8. Давенпорт В.Б., Рут В.Л. Введение в теорию случайных сигналов и шумов. М.: Изда-
тельство иностранной литературы, 1960. .
9. 9 Левин Б.Р. Теория случайных процессов и ее применение в радиотехнике. М.: Советское
радио, 1957.
10. Луна / под ред. А.В. Маркова. М.: Физматгиз, 1960.
11. Кащеев Б.Л., Дудник Б.С. и др. Влияние диффузии на радиолокационные измерения
скорости метеоров // Ионосферные исследования (метеоры): сб. статей. Вып. 8. М.: Изд-
во АН СССР, 1962.
12. Физика верхней атмосферы. М.: Физматгиз, 1963.
13. Фиалко Е.И. Некоторые результаты исследования распределения метеорных тел по мас-
сам // Астрономический циркуляр. 1958, № 195. C. 22; Астрономический журнал. 1965.
Т. 42. С. 409
14. Левин Б.Ю. Физическая теория метеоров и метеорное вещество в Солнечной системе.
М.: Изд-во АН СССР, 1956.
15. Татарский В.И. Теория флюктуационных явлений при распространении волн в турбу-
лентной атмосфере. М.: Изд-во АН СССР, 1959.
16. Даниэлс Ф. Теория радиолокационного отражения от Луны и планет // Радиолокация
Венеры. М.: Издательство иностранной литературы, 1963. С. 80.