eng
Содержание
Предисловие ....................................................................................................... 13
Введение ............................................................................................................. 18
1.
Основные результаты Шеннона, относящиеся к передаче сообщений
в гауссовых каналах связи ........................................................................ 21
2.
Представление сигналов в виде сигнальных точек в N-мерном
пространстве ............................................................................................. 26
3.
Обзор содержания книги ......................................................................... 29
Литература .................................................................................................. 32
ГЛАВА 1. СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОГО
КОДИРОВАНИЯ И ДЕКОДИРОВАНИЯ СООБЩЕНИЙ ......... 34
1.
Описание линейных блоковых кодов с помощью матриц ..................... 37
1.1.
Коды Галлагера .................................................................................. 38
2.
Блоковые циклические коды ................................................................... 39
2.1.
Основные параметры циклических кодов ........................................ 44
3.
Сверточные коды ..................................................................................... 46
4.
Декодеры кодов в системах связи, в которых в демодуляторе
принимаются «жесткие» решения ........................................................... 50
4.1.
Декодер Меггита ................................................................................ 50
4.2.
Декодеры кодов Боуза — Чоудхури — Хоквингема и Рида —
Соломона ............................................................................................ 51
5.
Декодеры кодов в системах связи, в которых в демодуляторе
принимаются как «жесткие», так и «мягкие» решения .......................... 53
5.1.
Алгоритм «мягкого» декодирования блочных кодов ........................ 53
5.2.
Декодирование мажоритарных кодов ............................................... 54
5.3.
Декодирование сверточных кодов .................................................... 57
6.
Декодирование кодов Галлагера .............................................................. 60
7.
Составные коды и методы их декодирования ......................................... 61
7.1.
Каскадные коды ................................................................................. 62
7.2.
Обобщенные каскадные коды ........................................................... 65
7.3.
Турбокоды .......................................................................................... 66
8.
Эффективность применения помехоустойчивых кодов ......................... 71
9.
Основные исторические этапы развития помехоустойчивого
кодирования ............................................................................................. 73
Литература .................................................................................................. 75
ГЛАВА 2. ПРИЕМ СООБЩЕНИЙ В ДИСКРЕТНЫХ КАНАЛАХ
СВЯЗИ .............................................................................................. 78
1.
Пропускная способность дискретного симметричного канала связи ..... 79
2.
Связь кодовой скорости передачи сообщений и количества ошибок,
исправляемых помехоустойчивыми кодами ........................................... 81
3.
Исследование зависимости вероятности ошибки в принятых
кодовых комбинациях от их длины ......................................................... 87
3.1.
Анализ полученных результатов ....................................................... 87
3.2.
Порядок определения параметров помехоустойчивого кода ........... 90
4.
Помехоустойчивость приема каскадных кодов и оценка сложности
их декодирования ..................................................................................... 92
4.1.
Анализ помехоустойчивости приема каскадных кодов ................... 94
4.2.
Результаты расчетов помехоустойчивости каскадных кодов ........... 95
4.3.
Модифицированный метод каскадного кодирования ..................... 97
Литература .................................................................................................. 99
ГЛАВА 3. СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ МОДУЛЯЦИИ
ДЛЯ ПЕРЕДАЧИ СООБЩЕНИЙ ПО КАНАЛАМ СВЯЗИ ....... 100
1.
Одномерные и двумерные ансамбли сигналов ..................................... 103
2.
Ортогональные и биортогональные ансамбли сигналов ...................... 107
3.
Перестановочная модуляция ................................................................. 109
4.
Многомерные ансамбли сигналов ......................................................... 110
4.1.
Ансамбль сигналов Велти ................................................................ 111
4.2.
Решетчатая кодированная модуляция ............................................ 113
4.3.
Многоуровневая кодовая модуляция .............................................. 119
4.4.
Кодовая модуляция с битовым перемежением .............................. 122
5.
Эффективность двумерных и многомерных многопозиционных
сигналов .................................................................................................. 123
6.
Основные исторические этапы разработок конструкций сигналов
для передачи сообщений по каналам связи .......................................... 128
Литература ................................................................................................ 130
ГЛАВА 4. ОПТИМАЛЬНАЯ ДЕМОДУЛЯЦИЯ
И ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПРИЕМА СИГНАЛОВ
ДВУМЕРНЫХ АНСАМБЛЕЙ ...................................................... 132
1.
Характеристики ансамблей многопозиционных сигналов .................. 132
1.1.
Многопозиционные сигналы с квадратурной амплитудной
модуляцией ....................................................................................... 133
1.2.
Многопозиционные сигналы, построенные на основе
гексагональной решетки .................................................................. 136
6
Содержание
1.3.
Многопозиционные сигналы c фазовой и амплитудно-фазовой
модуляцией ....................................................................................... 139
2.
Оптимальная демодуляция и помехоустойчивость приема двумерных
сигналов .................................................................................................. 141
2.1.
Сигналы с M-QAM .......................................................................... 141
2.2.
Сигналы с M-HEX ........................................................................... 147
2.3.
Сигналы с M-PSK и M-APSK ......................................................... 148
3.
Спектральная и энергетическая эффективность систем связи
с M-QAM ................................................................................................ 151
Литература ................................................................................................ 151
ГЛАВА 5. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ ОБЕСПЕЧЕНИЯ
ВЫСОКОЙ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ ПРИЕМА
СИГНАЛОВ В СИСТЕМАХ СВЯЗИ ........................................... 155
1.
Пропускная способность канала связи с АБГШ ................................... 157
2.
Определение помехоустойчивости приема объемно-сферических
сигналов .................................................................................................. 160
2.1.
Анализ полученных результатов ..................................................... 162
3.
Определение помехоустойчивости приема оптимальных сигналов,
расположенных на поверхности многомерной сферы ......................... 166
3.1.
Анализ полученных результатов ..................................................... 171
4.
Метод определения помехоустойчивости приема многомерных
сигналов, основанный на анализе алгоритма их обработки
в оптимальном демодуляторе ................................................................. 177
4.1.
Сигналы поверхностно-сферического ансамбля. Общий
случай ............................................................................................... 177
4.2.
Поверхностно-сферические сигналы с PSK ................................... 182
4.3.
Анализ полученных результатов ..................................................... 184
Литература ................................................................................................ 188
ГЛАВА 6. ГИПЕРФАЗОВАЯ МОДУЛЯЦИЯ ............................................... 190
1.
Построение поверхностно-сферического ансамбля сигналов ............. 192
2.
Удельная скорость передачи сообщений в системах с ГПФМ ............. 197
3.
Модуляторы для сигналов с ГПФМ в трех- и четырехмерном
пространстве ........................................................................................... 198
3.1.
Сигнальная диаграмма для ГПФМ в трехмерном пространстве ..... 198
3.2.
Функциональная схема модулятора для трехмерных сигналов
с ГПФМ ............................................................................................ 202
3.3.
Построение четырехмерных сигналов с ГПФМ ............................. 203
Содержание 7
3.4.
Функциональная схема модулятора для четырехмерных
сигналов с ГПФМ ............................................................................ 207
4.
Прием сигналов с ГПФМ ...................................................................... 208
4.1.
Оптимальная демодуляция сигналов с ГПФМ ............................... 209
5.
Помехоустойчивость приема сигналов с гиперфазовой
модуляцией ............................................................................................. 213
6.
Алгоритм формирования индексов модуляции, соответствующих
номеру передаваемого сообщения ......................................................... 217
6.1.
Пример формирования индексов модуляции для случая N = 3 .... 221
6.2.
Пример формирования индексов модуляции для случая N = 4 .... 222
7.
Алгоритм преобразования индексов модуляции в номер принятого
сообщения .............................................................................................. 224
7.1.
Пример преобразования индексов модуляции для N = 3 .............. 225
7.2.
Пример преобразования индексов модуляции для N = 4 .............. 226
8.
Объемно-сферические ансамбли сигналов ........................................... 227
8.1.
Построение объемно-сферических ансамблей сигналов ............... 227
8.2.
Характеристики объемно-сферических ансамблей сигналов ........ 229
Литература ................................................................................................ 234
ГЛАВА 7. ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ
ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ СИСТЕМ ............................. 235
1.
Границы энергетической и спектральной эффективности систем
связи ....................................................................................................... 236
2.
Ортогональные, биортогональные N-мерные сигналы
и перестановочная модуляция .............................................................. 243
2.1.
Помехоустойчивость приема ортогональных сигналов ................. 244
2.2.
Помехоустойчивость приема сигналов с перестановочной
модуляцией ....................................................................................... 245
2.3.
Анализ характеристик систем связи, использующих
ортогональные, биортогональные АС и АС с перестановочной
модуляцией ....................................................................................... 250
3.
Энергетическая эффективность систем связи ..................................... 254
3.1.
Возможности снижения энергетических потерь систем связи
по отношению к «идеальной» системе Шеннона ........................... 254
4.
Анализ возможности совместного применения в системах связи
многомерных АС и помехоустойчивых кодов с избыточностью ......... 259
5.
Сравнение параметров современных систем передачи сообщений
по каналам связи с параметрами систем, использующих
оптимальные АС .................................................................................... 262
Литература ................................................................................................ 267
8
Содержание
Заключение ....................................................................................................... 268
Приложение 1. Метод Чернова для оценки верхней границы «хвостов»
плотности распределения вероятностей ................................................... 270
Приложение 2. Формулы для расчета функции, обратной функции
Крампа ........................................................................................................ 272
Приложение 3. Формулы для расчета функции, обратной интегральной
функции распределения вероятностей χ2 ................................................. 273
Приложение 4. Определение отношения сигнал/шум, приходящееся
на один принятый бит, для оптимального ансамбля сигналов ................ 274
Литература ................................................................................................ 275
Основоположники теории связи ....................................................................... 276
Выдающийся ученый ХХ столетия Клод Эльвуд Шеннон ....................... 276
Академик В.А. Котельников и создание основ теории связи .................. 288
Список сокращений .......................................................................................... 307
Предисловие
Развитие цивилизации сопровождается быстрым ростом информационных
потоков в человеческом сообществе. Это требует постоянного совершенство-
вания телекоммуникационных систем с тем, чтобы сделать возможной пере-
дачу по ним сообщений с большой скоростью и высокой надежностью при
достаточно простой технической реализации основных узлов таких систем
(модуляторов, демодуляторов, кодеров и декодеров). Поэтому уже много деся-
тилетий не теряет своей актуальности проблема разработки новых методов
передачи сообщений и оптимальных методов их обработки на приеме. Значи-
тельный вклад в ее решение был сделан многими исследователями, которые
создали эффективные методы модуляции и кодирования и предложили опти-
мальные методы демодуляции принятых сигналов и декодирования сообще-
ний.
Каждому передаваемому сообщению можно присвоить номер, представ-
ленный в виде информационной последовательности двоичных символов 0 и
1 определенной длины n. Для повышения помехоустойчивости приема ин-
формационной последовательности на передаче часто осуществляется ее ко-
дирование — в нее дополнительно к информационным вносятся избыточные
символы. Это позволяет исправлять ошибки, возникающие при демодуляции
принятых сигналов.
Передаваемая последовательность символов осуществляет на передаче мо-
дуляцию несущей частоты передатчика — формирует сигнал, принадлежащий
к определенному ансамблю сигналов (АС), который передается по каналу свя-
зи. На приемной стороне для формирования на выходе линии связи копии
переданной информационной последовательности, применяются оптималь-
ная обработка принятых сигналов (их демодуляция) и декодирование после-
довательности символов, сформированных на выходе демодулятора, которая
представляет собой последовательность переданных символов, образованных
в результате помехоустойчивого кодирования.
Хотя начало разработок методов модуляции и кодирования можно отнести
к первым десятилетиям ХХ века, основы теории, приводящей к решению про-
16 Предисловие
блемы передачи сообщений с высокой помехоустойчивостью, были заложены
в фундаментальных работах выдающихся ученых Клода Эльвуда Шеннона и
Владимира Александровича Котельникова, которые были выполнены в сере-
дине ХХ века.
В работах Шеннона было показано, что для обеспечения высокого каче-
ства передачи сообщений по линии связи (высокой помехоустойчивости
приема) для их передачи по каналу связи следует использовать многомерные
ансамбли сигналов. Их размерность должна быть равна N 2int(FT), где
int(x) — целая часть числа x, F-полоса частот канала связи, по которому осу-
ществляется передача сообщений, а T-длительность сигналов, входящих в ис-
пользуемый в системе связи ансамбль сигналов. На приеме для демодуляции
принятых сигналов необходимо использовать их оптимальную обработку в
демодуляторе. Основы теории оптимального приема сигналов были разрабо-
таны Котельниковым.
Шеннон установил основные характеристики, которыми должны обладать
оптимальные АС, передаваемые в канале связи с аддитивным белым гауссов-
ским шумом (АБГШ). Следует отметить, что оптимальные многомерные сиг-
налы, которые исследовались в работах Шеннона, следует, используя совре-
менную терминологию, называть методами модуляции. В современных систе-
мах связи в настоящее время для передачи сообщений используются только
двумерные сигналы, такие, как квадратурно-амплитудная модуляция, ампли-
тудно-фазовая модуляция и др., а повышение помехоустойчивости приема
таких сигналов осуществляется за счет использования помехоустойчивых ко-
дов, которые в работах Шеннона не рассматривались.
Шенноном были получены важные формулы, позволяющие оценить веро-
ятность ошибки при демодуляции N-мерных сигналов. Он ввел важнейшее
понятие теории связи — «пропускная способность канала связи» (С), которая
представляет собой максимально возможную скорость безошибочной переда-
чи сообщений по каналу связи. Эта величина определяется значением отно-
шения сигнал/шум на входе демодулятора и полосой частот канала связи F.
Шеннон показал, что если реальная скорость передачи сообщений R удовле-
творяет условию R C, то, выбрав для системы связи оптимальный много-
мерный ансамбль сигналов и увеличивая нормированную длительность сиг-
налов (параметр (FT)), можно обеспечить абсолютную надежность передачи
сообщений по каналу связи, когда вероятность ошибки приема сигналов ста-
новится сколь угодно малой. Такую систему связи он назвал «идеальной», так
как она позволяет передавать сообщения по каналу с АБГШ с заданной скоро-
стью при минимально возможном отношении сигнал/шум на входе демодуля-
тора.
Предисловие 17
Настоящая книга посвящена развитию подхода Шеннона к вопросам на-
дежной передачи сообщений по каналам связи, в первую очередь по каналам
с аддитивным белым гауссовским шумом. В своих работах Шеннон не затра-
гивал вопросы построения конкретных конструкций ансамблей сигналов —
создания новых методов модуляции, с помощью которых можно было бы в
реальных системах связи достичь той высокой надежности и скорости переда-
чи сообщений по каналу связи, на которые указывала развитая им теория.
В данной книге предложен алгоритм построения многомерного ансамбля
сигналов, относящегося к классу поверхностно-сферических, который назван
гиперфазовой модуляцией. В ней рассмотрены вопросы построения модуля-
тора и оптимального демодулятора для этого вида сигналов, а также представ-
лены алгоритмы, позволяющие на передаче по номеру передаваемого сообще-
ния определять параметры сигнала, формируемого на выходе модулятора, а на
передаче по параметрам принятого сигнала, сформированным в демодулято-
ре, определить соответствующий этим параметрам номер принятого сообще-
ния. В книге также приведены простые методы вычисления вероятности
ошибки при приеме многомерных сигналов, дан анализ помехоустойчивости
приема сигналов с гиперфазовой модуляцией и выполнено сравнение эффек-
тивности таких систем связи и систем, в которых применяются другие методы
модуляции.
В книге уделено внимание вопросам определения параметров ансамблей
сигналов конечной длительности, имеющих минимальные энергетические
потери относительно «идеальной» системы Шеннона. Эти потери оценивает-
ся разницей (в ДБ) между отношением сигнал/шум на входе демодулятора в
реальной системе, в которой используются сигналы конечной длительности и
обеспечивается определенная вероятность ошибки приема сообщений, и ми-
нимальным значением отношения сигнал/шум в «идеальной» системе при
условии, что в обеих системах обеспечена одинаковая скорость передачи со-
общений. Кроме того, в ней рассмотрены практически важные вопросы со-
вместного использования в системах связи многомерных АС и помехоустой-
чивых кодов.
Цель, которую преследовал автор при написании данной книги, является
изложение основных результатов современной теории связи, касающихся на-
дежной передачи сообщений по непрерывным и дискретным каналам связи.
Эти результаты дают возможность инженерам, проектирующим системы свя-
зи, обоснованно выбирать для них метод модуляции (ансамбль сигналов, его
размерность, алгоритмы модуляции и демодуляции сигналов), вид помехо-
устойчивого кода, его параметры (длину кода, его кодовую скорость), исходя
их требуемых скорости передачи сообщений и надежности их приема.
В современных исследованиях многие результаты, относящиеся к помехо-
устойчивости приема сигналов, получены с использованием методов матема-
тического моделирования. Существенным недостатком этих методов, с точки
зрения автора, является трудность верификации этих результатов — для этого
надо написать программу моделирования, идентичную той, которая исполь-
зовалась исследователем, и применить ее при тех же исходных данных, при
которых она была применена. При публикации результатов таких исследований
не всегда даются достаточно подробные пояснения тех условий, при
которых получены соответствующие результаты. Кроме того, при необходимости
оценки маловероятных событий (а такой случай типичен при иссле-
довании систем связи, обеспечивающих высокую надежность передачи сооб-
щений), моделирование системы может занимать очень много машинного
времени, особенно в тех случаях, когда надо исследовать влияние на помехо-
устойчивость приема большого числа влияющих на результат параметров, та-
ких как скорость передачи сообщений, размерность ансамбля сигналов и т.п.
Особенностью данной книги является то, что в ней аналитическими мето-
дами получены достаточно простые расчетные формулы для определения по-
мехоустойчивости рассмотренных в ней систем связи. Эти формулы позволя-
ют достаточно просто оценить влияние на характеристики систем связи мно-
гих ее параметров. Результаты расчетов по полученным формулам в книге
представлены в виде многочисленных графиков и таблиц.
При изложении материала автор старался, чтобы изложенные идеи были
понятны на интуитивном уровне, а использованный математический аппарат
не выходил бы за пределы математического аппарата, которым должен вла-
деть инженер. Понимание приведенных в ней сведений от читателя почти не
требует знакомства с другой специальной литературой, а при выводе приводи-
мых в ней формул используются только основы теории вероятностей в объеме
технического вуза.
Я надеюсь, что книга окажется полезной и доступной не только для ученых
и исследователей, но и для инженеров, занимающихся разработками систем
связи. Так как существо дела для инженера имеет гораздо большее значение,
чем формально строгое изложение, то полученные ранее результаты в области
модуляции и кодирования изложены в книге без той строгости, которой при-
держиваются во многих работах по теории связи и кодирования.
В книге приведен ряд новых результатов в области теории связи. Поэтому
ее можно рассматривать как монографию. В то же время изложенные в ней
идеи и использованный для их анализа математический аппарат достаточно
просты. Поэтому она может использоваться также как учебное пособие по
18 Предисловие
теории связи студентами и аспирантами тех институтов, в которых готовятся
специалисты инфокоммуникационных и радиотехнических специальностей.
Книга посвящается памяти выдающихся ученых ХХ века К. Шеннона и
В.А. Котельникова, сыгравших ключевую роль в создании теории связи —
идейного фундамента созданных в ХХ веке и создаваемых сегодня телекомму-
никационных систем. На развитие этой обширной открытой ими области на-
уки и практическое воплощение ее результатов в разработках новых телеком-
муникационных систем разного назначения, оказывающих все большее
влияние на развитие нашей цивилизации, направлена деятельность тысяч
ученых, исследователей и инженеров. Очерки жизни Шеннона и Котельнико-
ва — замечательных людей и ученых — приведены в конце книги.
Автор выражает свою искрению признательность за полезные замечания
по разделам книги ее рецензентам — профессорам А.В. Дворковичу и
А.И. Скородумову, а также профессорам Ю.С. Шинакову и О.А. Шорину и
к.т.н. А.А. Лосеву.
Введение
При проектировании телекоммуникационных систем особое значение
имеет выбор ансамбля сигналов (АС). Этот ансамбль должен обеспечить тре-
буемую скорость передачи сообщений R и ее надежность, которая определяет-
ся значением вероятности Pser ошибки при приеме переданных с помощью
этих сигналов сообщений. Исследованию вопросов, связанных с построением
таких АС и определением помехоустойчивости их приема, посвящено весьма
значительное количество исследований в области теории связи, результаты
которых изложены в монографиях известных ученых и в учебной литературе.
Развитие науки, электроники и системотехники в ХХ столетии создало усло-
вия для разработки систем связи, по которым сообщения могут передаваться с
высокой скоростью и надежностью.
Вместе с тем быстрое развитие человеческой цивилизации привело к ко-
лоссальному росту объема информации, которая должна передаваться по ка-
налам связи между огромным количеством узлов связи, расположенных на
всех континентах земного шара. Обеспечить передачу больших потоков ин-
формации между такими узлами можно, создавая между ними линии связи.
Действительно, во всем мире активно идет строительство новых широкопо-
лосных линий связи, которые позволяют предоставлять миллиардам людей и
десяткам миллионов организаций значительное и быстро растущее количе-
ство мультимедийных услуг связи (интернет, телевизионное и звуковое веща-
ние, передача голосовых, видеоданных и текстовых сообщений и т.п.).
Строительство новых линий связи является весьма затратным. Цена полос
частот, которые выделяются для создания радиосистем сотовой связи и бес-
проводного доступа, услугами которых пользуется огромное количество лю-
дей, оценивается в миллиарды $ США. Поэтому, несмотря на значительные
достижения в создании телекоммуникационных систем, осуществляющих пе-
редачу сообщений по существующим каналам связи с ограниченной полосой
частот, актуальной задачей остается их совершенствование. В 2017 году в Ме-
ждународном Союзе Электросвязи были сформулированы требования к раз-
рабатываемым в настоящее время перспективным системам беспроводного
доступа IMT-2020, пользователи которой должны иметь возможность переда-
чи сообщений в канале с ограниченной полосой частот до 100 Мбит/с. В дан-
ной книге рассматриваются возможности разработки новых телекоммуника-
ционных систем, предназначенных для повышения пропускной способности
каналов связи с ограниченной полосой частот (т.е. имеющих высокую
спектральную
эффективность) и обеспечивающих высокую надежность прие-
ма сообщений.
На передающей стороне эта система имеет последовательно соединенные
кодер, на вход которого поступают блоки двоичных информационных симво-
лов, подлежащих передаче по каналу связи. Длина каждого такого блока дол-
жна составлять n ≈ log2 M, где M — количество сигналов в ансамбле сигналов
(АС), который применяется для передачи сообщений.
собой номер m ≤ M сообщения, которое должно быть передано по каналу свя-
зи (здесь M — количество передаваемых с помощью АС сообщений, равное
числу разных блоков, состоящих из информационных символов и, возможно,
избыточных символов, добавленных к информационным для повышения по-
мехоустойчивости приема сообщений). Отметим, что вполне возможна пере-
дача сообщений по каналу связи без избыточных символов. Однако в этом
случае блок кодирования является, по сути, блоком определения по номеру
передаваемого сообщения параметров сигнала , который формируется в моду-
ляторе и принадлежит к определенному ансамблю сигналов (АС). Сигна-
лы Sm(t) с выхода модулятора поступают на вход передатчика, в котором они
усиливаются и передаются в канал связи.
На приемной стороне линии связи к выходу приемника подключен демо-
дулятор, на выходе которого формируется последовательность символов, со-
ответствующая параметрам принятого аналогового сигнала Sm(t) — его индек-
сам модуляции. Эти индексы с выхода демодулятора поступают на вход деко-
дера — блока преобразования индексов модуляции. В этом блоке формируется
номер принятого сообщения, представленный в виде последовательности
двоичных символов, который является копией той, которая соответствует но-
меру переданного сообщения.
Технические задачи передачи сообщений по каналам связи, связанные с
модуляцией и демодуляцией, а также с кодированием и декодированием сооб-
щений, отличаются друг от друга. Поэтому полезно в общей схеме системы
связи на рис. 1 выделить два канала — непрерывный, входом которого являет-
ся вход модулятора, а выход — выход демодулятора, и дискретный, вход кото-
рого совпадает с входом кодера, а выход — с выходом декодера. Дискретный
канал называют также внешним каналом связи, а непрерывный канал — вну-
тренним каналом связи.
Качество приема сообщений во внутреннем канале связи в значительной
степени определяется свойствами физического канала связи, в котором
осуществляется передача сообщений. Свойства таких каналов весьма раз-
нообразны. В физических каналах, по которым сообщения передаются в
коротковолновых системах связи, в системах радиорелейной, тропосфер-
ной и подвижной связи на помехоустойчивость приема сигналов, переда-
ваемых во внутреннем канале, существенное влияние оказывает многолуче-
вость, возникающая при распространении радиоволн. Многолучевость вы-
зывает межсимвольную интерференцию и замирания уровня принимаемого
сигнала.
В этой книге вопросы передачи сигналов по многолучевым каналам не за-
трагиваются. В ней рассмотрены системы, работающие в «идеальных» физи-
ческих каналах связи, в которых при распространении радиоволн уменьшает-
ся уровень переданного сигнала, а его форма практически не искажается.
С определенным приближением к таким каналам можно отнести, в частно-
сти, спутниковые, кабельные и оптоволоконные каналы связи.
Сигналы Sm(t) поступают на вход приемника вместе с шумом. В приемнике
осуществляется их усиление, и они приходят на вход демодулятора. В демоду-
ляторе сигнал, принятый вместе с шумом, обрабатывается, и на его выходе
формируются оценки его параметров, и так как переданный сигнал является
цифровым, то на выходе демодулятора формируется цифровая последователь-
ность символов, соответствующих принятому сигналу. На частотах выше
300 МГц шум, действующий на входе приемника, как правило, является гаус-
совским и имеет равномерный энергетический спектр мощности. Двухсто-
роннюю спектральную плотность мощности шума будем обозначать 0,5N0.
Мощность этого шума, действующего в полосе частот (F), в которой осуще-
ствляется прием сигналов, равна Pn FN 0. Если среднюю мощность сигна-
лов, поступающих на вход демодулятора, обозначить Ps, то отношение мощ-
ности принятого сигнала к мощности шума будет: ρs = Ps/Pn. Надежность свя-
зи определяется значением вероятности ошибки при приеме переданных
сообщений и зависит от значения ρs.
22 Введение
Надежность приема информационных символов в дискретном канале,
формируемых на выходе декодера, зависит только от вероятности ошибок,
возникших при демодуляции сигналов Sm(t). Помехоустойчивый код для пе-
редачи сообщений должен быть выбран таким образом, чтобы надежность
приема информационных символов в дискретном канале соответствовала бы
требуемому значению. При выборе кода для дискретного канала связи нет не-
обходимости учитывать свойства физического канала связи.
Отметим, что рациональный выбор для системы связи ансамбля сигналов
(АС) и применение оптимальной обработки принятых сигналов в демодулято-
ре позволяют в принципе обеспечить требуемую надежность приема сообще-
ний. При этом отпадает необходимость в использовании в системе связи по-
мехоустойчивого кода. Однако в современных системах связи, в которых для
передачи сигналов используются двумерные АС, такие коды широко приме-
няются, так как они позволяют уменьшить энергетику линии связи и повы-
сить надежность приема сообщений.
Ансамбль сигналов для проектируемой системы связи должен быть выбран
так, чтобы было бы возможно передавать в ней информационные сообщения
с нужной скоростью и с определенной вероятностью ошибочного приема
(с надежностью, удовлетворяющей требованиям, предъявляемым к системе
связи), используя передатчики минимально возможной мощности. Дополни-
тельным требованием, предъявляемым к такому АС, является простота техни-
ческой реализации основных блоков системы связи, представленной на рис. 1:
кодера, модулятора, демодулятора и декодера.
1. Основные результаты Шеннона, относящиеся к передаче
сообщений в гауссовых каналах связи
Знаменитым американским ученым К. Шенноном были установлены [1—3]
основные закономерности, связанные с передачей сообщений в каналах свя-
зи. До публикации в 1948 г. его первой статьи «Математическая теория связи»
[1] инженеры считали, что повысить надежность связи (уменьшить вероят-
ность ошибок при приеме сообщений) можно, только повышая мощность пе-
редатчика, увеличивая тем самым ρs — отношение сигнал/шум на входе демо-
дулятора. Это было справедливо при использовании простых методов модуля-
ции гармонического несущего колебания определенной частоты по амплитуде,
фазе или частоте, которые применялись в системах связи до середины ХХ сто-
летия.
Однако мощные передатчики являются дорогостоящими устройствами.
Кроме того, возможность создания мощных передатчиков может быть огра-
Введение 23
ничена рядом технических факторов. Например, в системах спутниковой свя-
зи технически весьма сложно разместить мощные передатчики, имеющие по-
вышенный вес и объем, на борту спутникового ретранслятора. Финансовые
затраты, связанные с повышением на 1 дБ мощности таких передатчиков,
оцениваются примерно в 1 млн долларов США.
Фундаментальные результаты, полученные в работах Шеннона, указали
новые возможности совершенствования телекоммуникационных систем пу-
тем выбора для передачи сообщений АС, которые при оптимальной демоду-
ляции позволяют обеспечить высокую помехоустойчивость их приема. Шен-
нон установил, что повысить надежность связи можно, не увеличивая ρs, а
используя для передачи сообщений сложные методы модуляции — многомер-
ные (N-мерные) сигналы Sm(t) большой длительности, состоящие из
N = 2int(FT) 1 элементарных сигналов (здесь F — полоса частот канала свя-
зи, T — длительность передаваемых сигналов Sm(t), FT — их нормированная
длительность, а int(x) — целая часть числа x).
Шеннон показал, что значение ρs определяет максимально возможную
скорость передачи сообщений Rmax по каналу связи. Эта величина, названая
им «пропускной способностью» канала связи, определяется формулой:
C F s = log2(1+ ). (1)
Он также установил, если R Rmax C < = , то, используя АС, имеющие боль-
шую длительность, возможно в принципе передать сообщения с абсолютной
надежностью, т.е. обеспечить вероятность ошибки при приеме сообщения,
близкую к нулю. Для этого, однако, длительность сигналов, входящих в АС,
должна быть весьма значительной (N ∞). Систему связи, в которой сооб-
щения передаются с абсолютной надежностью, Шеннон назвал «идеаль-
ной» [2].
Введем нормированные параметры: удельную скорость передачи сообще-
ний Rf R F M FT M N ( ) log2 2log2 и удельную пропускную способ-
ность канала связи Cf C F s = = log2(1+ ). Отметим, что спектральная эффек-
тивность систем связи определяется величиной Rf.
Для наглядной трактовки вопросов передачи и приема сигналов в каналах
связи Шенноном в 1949 г. было развито [2] представление сигналов в виде сиг-
нальных точек (СТs) в N-мерном евклидовом пространстве, координаты кото-
рых имеют определенные значения. На основе этих представлений в 1950 г.
известным американским ученым С.О. Райсом [4] были выполнены первые
исследования помехоустойчивости приема N-мерных сигналов конечной
длительности в гауссовском канале связи и получены оценки вероятности
ошибочного приема Pser(N, Rf, ρs) сигнала Sm(t), переданного по каналу связи.
24 Введение
Отметим, что если при приеме сигнала происходит ошибка, то это приводит к
ошибочному определению номера переданного сигнала, которому соответ-
ствует определенная последовательность информационных двоичных симво-
лов.
В 1959 г. была опубликована фундаментальная работа Шеннона [3], в кото-
рой были получены достаточно точные оценки Pser(N, Rf, ρs) для двух видов
АС — поверхностно- и объемно-сферического (ПСАС и ОСАС). В первом
случае все сигналы ансамбля имеют одну и ту же мощность Ps и их СТs распо-
лагаются на поверхности N-мерной сферы радиуса (N )Ps 2 , а во втором их
СТs располагаются на поверхности N-мерной сферы радиуса (N )Ps 2 , а так-
же внутри нее, т.е. их мощность Ps удовлетворяет условию Ps ≤ Psm, где Psm —
максимальная мощность сигналов в объемно-сферическом АС.
Из полученных Райсом и Шенноном результатов следовало, что в том слу-
чае, если R < Rmax возможно, используя N-мерные ПСАС или ОСАС большой
длительности, при ρs = const передавать сообщения с абсолютной надежно-
стью, т.е. Pser(N, Rf, ρs) 0, если N ∞. В этом смысле такие ансамбли сигна-
лов являются оптимальными.
Шеннон показал, что оптимальный N-мерный АС должен в модуляторе
формироваться таким образом, чтобы евклидово расстояние (dE) между двумя
ближайшими СТs, соответствующими сигналам, входящими в АС, с увеличе-
нием N увеличивалось бы по закону dE N ~ . Это является следствием того,
что с увеличением N = 2FT пропорционально увеличивается энергия любого
сигнала из АС (а, следовательно, пропорционально N увеличивается рас-
стояние соответствующей ему СТ от начала координат).
От значения dE зависит количество сигналов в АС и, следовательно, ско-
рость передачи сообщений. Шеннон также отмечал, что использование АС
очень большой длительности (N 2int(FT) 1) может вносить недопустимо
большую задержку, равную 2Т, при передаче сообщений по каналу связи и,
кроме того, при N 1 требуется применение сложных устройств, выполняю-
щих функции модулятора и демодулятора.
Из формулы Шеннона (1) следует, что для того, чтобы в канале связи в
полосе частот F при N 1 в принципе была возможна передача сообщений со
скоростью Rmax и с абсолютной надежностью, необходимо, чтобы отношение
сигнал/шум на входе демодулятора было бы равно s
Rfmax
0 = (2 − 1). Величина
ρs0 определяет минимальное значение энергетики линии связи, при которой
возможно обеспечить абсолютную надежность передачи сообщений с удель-
ной скоростью Rf = Rf max. В реальной системе связи длительность передавае-
мых сигналов является конечной. При этом, чтобы были выполнены требова-
ния к надежности передачи сообщений, определяемые значением вероятно-
Введение 25
сти ошибки Pser 0 при демодуляции принятых сигналов, необходимо обеспечить
несколько большее отношение сигнал/шум на входе демодулятора, сделав его
равным
s s = 0
100,1 , т.е. в реальной системе связи мощность передатчика
должна быть увеличена по сравнению с «идеальной» на Δρ > 0 дБ.
Найти значение Δρ можно, решив уравнение Pser N Rf s Pser ( , , 100,1 )
0
= и
определив из него зависимость = (N, Rf , Pser 0 ). Эта зависимость позво-
ляет найти, на сколько дБ необходимо увеличить энергетику линии связи при
разных значениях Rf и N для того, чтобы обеспечить требуемое значение Pser 0
при известном значении скорости передачи сообщений, применяя для пере-
дачи сообщений сигналы определенной длительности. Отметим, что значение
Δρ с увеличением N уменьшается, и если N , то 0.
Выбор длительности передаваемых сигналов (параметра FT ) для обеспече-
ния требуемой надежности связи (Pser 0) при заданном значении Rf основан на
компромиссе. При этом следует учитывать, что надежность связи можно обес-
печить как за счет повышения энергетики линии связи (усложнения и удоро-
жания передатчика), так и за счет применения в системе связи сложных и,
следовательно, более дорогих устройств — на передающей стороне линии свя-
зи кодера и модулятора, а на приемной — демодулятора и декодера. При таком
выборе следует принимать во внимание как технические, так и экономиче-
ские соображения.
Шенноном было установлено [2, 3], что выбор оптимального N-мерно-
го АС, с помощью которого возможно надежно передавать сообщения со ско-
ростью, определяемой формулой (1), неоднозначен. Сигнальные точки таких
ансамблей могут иметь регулярную структуру в N-мерном пространстве.
В теории связи рассматриваются разные методы построения АС с регулярной
структурой. В [3] было показано, что СТs ансамблей сигналов, обеспечиваю-
щих высокую помехоустойчивость приема, можно успешно выбрать даже на-
удачу из числа всех возможных СТs, лежащих внутри сферы радиуса (N )Ps 2 .
В частности, в качестве M 2RT сигналов для АС могут быть взяты различные
выборки ограниченного по полосе частот белого шума. Важно, однако, отме-
тить, что если ансамбль сигналов выбран случайно, то даже в том случае, когда
выбор оказался удачным (т.е. расстояния между его ближайшими СТs оказа-
лись достаточно велики), для такого АС сложность кодера, модулятора, демо-
дулятора и декодера будет расти пропорционально числу сигналов M в АС.
Это значит, что с увеличением длительности сигналов (с увеличением N)
сложность демодулятора и декодера будет увеличиваться экспоненциально.
Поэтому техническая реализация системы связи, в которой АС выбран слу-
чайным образом, практически невозможна.
26 Введение
Кодирование сообщений Шеннон понимал [3] как процедуру преобразо-
вания номера m (m = 1…M) передаваемого сообщения в значения координат
СТs, соответствующей сигналу Sm(t), который должен быть передан по каналу
связи. Этим термин «кодирование сообщений» у Шеннона отличается от ана-
логичного термина, широко используемого в современной теории кодирова-
ния [5—12]. В этой теории помехоустойчивое кодирование достигается за счет
формирования передаваемых по каналу связи кодовых комбинаций (КК), со-
держащих как информационные символы, так и дополнительные избыточные
символы, связанные с информационными определенными и достаточно
сложными математическими соотношениями.
В работах [5—7], [10] и [12] рассматривались вопросы, связанные с демоду-
ляцией двумерных сигналов, принадлежащих к двумерным АС, таким как
квадратурно-амплитудная, амплитудно-фазовая и др. Приводились характе-
ристики надежности передачи сообщений с помощью таких АС без использо-
вания помехоустойчивых кодов. Аналогична передача сообщений с помощью
многомерных ОСАС и ПСАС без кодирования. Следует при этом отметить
принципиальное отличие двумерных и многомерных АС. В первых расстоя-
ние между соседними сигнальными точками с увеличением Rf — удельной
скорости передачи сообщений всегда, как будет показано в главах 3 и 4, умень-
шается. Поэтому при использовании двумерных АС для обеспечения высокой
надежности передачи сообщений всегда необходимо применение помехо-
устойчивых кодов. При использовании в системах связи N-мерных АС, рас-
сматриваемых в главах 5—7, расстояние между соседними сигнальными точ-
ками при любом значении Rf = const может быть увеличено за счет увеличения
размерности сигнального пространства, и, таким образом, может быть суще-
ственно увеличена надежность демодуляции сигналов. Это может сделать не-
целесообразным в таких системах применение помехоустойчивых кодов, в
которые для исправления ошибок, возникающих при демодуляции, внесены
дополнительные избыточные символы, снижающие спектральную эффектив-
ность системы связи.
По Шеннону, функциональным назначением демодулятора в приемнике
является определение координат сигнальной точки (CТs), принадлежащей од-
ному из многомерных сигналов, используемых для передачи сообщений, на-
ходящемуся на ближайшем расстоянии к сигнальной точке (СТr), соответ-
ствующей сигналу, поступившему на вход демодулятора вместе с шумом. Опе-
рации над координатами принятого сигнала, которые осуществляются при
демодуляции принятого сигнала, обратны тем, которые выполняются в моду-
ляторе при преобразовании номера передаваемого сообщения в координаты
передаваемого сигнала.
Введение 27
В работах Шеннона не затрагивались важные для практики вопросы фор-
мирования конкретных ансамблей многомерных сигналов, а также обработки
принятых сигналов при их демодуляции. Решение этих вопросов имеет боль-
шое значение, так как это дает основу для технической реализации оптималь-
ных системы связи, у которых характеристики (скорость передачи сообщений
по каналу связи и надежность их приема) соответствуют тем предельно воз-
можным, которые были определены Шенноном.
В годы, прошедшие после того, как были опубликованы результаты Шен-
нона, многими исследователями был предложен ряд методов повышения на-
дежности и спектральной эффективности систем связи. Значительное разви-
тие получили методы помехоустойчивого кодирования, и был предложен ряд
методов конструирования многомерных сигналов [5—12].
2. Представление сигналов в виде сигнальных точек
в N-мерном пространстве
Представление сигналов в виде сигнальных точек в N-мерном сигнальном
пространстве основано на теореме Найквиста—Котельникова—Шеннона, со-
гласно которой в канале связи, имеющем полосу частот, равную F, любые сиг-
налы длительностью T могут быть представлены в виде суммы N = 2 int(FT)
элементарных ортогональных сигналов (ЭОС). Полоса частот канала связи
обычно является заданной, и безразмерный параметр FT можно рассматривать
как нормированную длительность сигналов, передаваемых по такому каналу.
Строго говоря, сигналы с ограниченным спектром имеют бесконечную
длительность, а сигналы конечной длительности имеют бесконечный спектр.
Однако в технике связи разработаны методы формирования элементарных
сигналов конечной длительности, в которых фронты импульсов сглаживают-
ся после прохождения через специальные канальные фильтры. В результате
частотные составляющие сигнала, лежащие за пределами полосы частот F, су-
щественно подавляются [13].
Другим методом, позволяющим уменьшить частотные составляющие пе-
редаваемого сигнала конечной длительности, лежащие за пределами основ-
ной полосы частот канала связи, является представление сигналов, входящих
в АС, в виде ряда Фурье, имеющего N составляющих.
Для геометрического представления сигналов можно использовать их раз-
ложение по базису любых ортогональных функций. Это можно сделать многи-
ми способами. Для этого можно использовать представление сигналов рядом
Котельникова—Шеннона, в котором ортогональные функции имеют строго
ограниченный спектр и неограниченную длительность, можно использовать
28 Введение
функции конечной длины Уолша [14], квазислучайные двоичные последова-
тельности максимальной длины, последовательности Адамара и др. Наиболее
часто в системах связи для этого применяют гармонические функции, исполь-
зуя при этом методы временного и частотного уплотнения каналов.
При передаче сообщений по каналу связи с полосой F методом временного
уплотнения (TDMA — Time Division Multiple Access) интервал, равный пол-
ной длительности Т-сигналов, принадлежащих определенному АС, делится
на подинтервалы, длительность которых равна T = 2T N и при
t Ti i T i T =[( −1) , ,] (i = 1…N) для передачи сообщений в канал связи в ин-
тервале времени t Ti используются элементарные ортогональные сигналы
(ЭОС) Vsi t t i T ( ) = sin[ 0( −( −1) )] и Vci t t i T ( ) = cos[ 0( −( −1) )], за пределами
которого они равны 0. Ортогональность сигналов Vsi(t) и Vci(t) означает, что
Vsi t Vci t dt = ( ) ( ) 0, где интеригрирование распространяется на любой интер-
вал t Ti .
Другим широко используемым методом передачи сигналов является метод
частотного уплотнения канала связи c ортогональными поднесущими
(OFDM — Orthogonal Frequency Division Multiplexing). Длительность передачи
каждой поднесущей равна полной длительности передаваемого сигнала T, а
на каждой из них в течение указанного интервала времени передаются ЭОС
Vsi t it ( ) = sin и Vci t it ( ) = cos . Для сигналов Vsi(t) и Vci(t) выполняются условия:
Vsi t Vsj t dt
T
( ) ( )
0
= Vci t Vcj t dt
T
( ) ( )
0
= 0 при i ≠ j. Для этого необходимо, чтобы
| | | | i − j = 2 i − j T при i ≠ j. Кроме того, для них также выполняются усло-
вия
0
T
Vsi (t)Vci (t)dt = 0. Каждый из ЭОС можно трактовать как двумерный сиг-
нал, так как его можно представить СТs на двумерной плоскости, на которой
ортогональным осям x и y соответствуют ЭОС Vsi(t) и Vci(t).
При использовании обоих методов уплотнения N-мерный сигнал, посту-
пающий в течение времени T на вход демодулятора в приемнике, может быть
записан в виде:
Sm t N Ps x V t x V t
i
i
m
si i
m
ci
N
( ) = ( / ) ( ) ( )+ ( )
=
2 −
1
2 1 2
2
. (2)
Здесь Ps — средняя мощность одного элементарного сигнала. Параметры
xm,(2i−1) и xm,2i в (2) можно трактовать как декартовы координаты сигнальных
точек (СТs) в N-мерном пространстве, соответствующих сигналу Sm(t). Коор-
динаты СТs, соответствующие переданным сигналам, зависят от передавае-
Введение 29
мой информационной последовательностьи символов, а количество значе-
ний, которые может иметь каждая из координат СТs, определяется удельной
скоростью передачи сообщений Rf в системе связи. Системы связи, исполь-
зующие сигналы вида (2), являются синхронными.
В таких системах должны использоваться весьма точные системы синхро-
низации на передающем и приемном концах линии связи. Вопросы построе-
ния систем синхронизации детально рассмотрены во многих монографиях
(например, в [15]), и в данной книге они затрагиваться не будут. Поэтому, рас-
сматривая в данной книге прием сигналов, будем считать известными частоты
и фазы всех ортогональных сигналов Vsi(t) и Vci(t).
Важно обратить внимание на то, что в многомерных сигналах (2), с помо-
щью которых можно обеспечить характеристики систем связи, приближаю-
щиеся к тем, на которые указывает развитая Шенноном теория, декартовы
координаты СТs xm,(2i−1) и xm,2i при всех значениях i должны быть взаимосвяза-
ны определенным образом. Только тогда можно обеспечить то свойство опти-
мальных АС, на которое указал Шеннон — расстояние между ближайшими
СТs в этом АС с увеличением N должно увеличиваться по закону dE N ~ .
Следует отметить, что ортогональные сигналы Vsi(t) и Vci(t) занимают одну и ту
же полосу частот.
Формула (2) показывает, что оба метода передачи сообщений (TDMA и
OFDМ) с точки зрения геометрической трактовки алгоритмов передачи и
приема сигналов полностью эквивалентны: передаче сигналов во временном
интервале t Ti в системе TDMA соответствует передаче таких же сигналов на
частоте ωi. Однако физические параметры этих сигналов (например, их пик-
фактор) могут существенно отличаться.
Кроме того, следует отметить, что, используя быстрое преобразование
Фурье, сигналы, представленные формулой (2), могут быть преобразованы из
одного вида в другой (из TDMA в OFDМ, или наоборот) [16]). В дальнейшем
в данной работе между двумя методами передачи сообщений различия не де-
лается. Для конкретности, приводимые в последующих разделах книги фор-
мулы, определяющие вид передаваемых и принимаемых сигналов, относятся
к случаю, когда для передачи сообщений используются сигналы вида OFDM.
Приведем формулы, определяющие мощность сигналов Sm(t) и расстояние
между двумя сигналами Sm1(t) и Sm2(t) через координаты их сигнальных точек,
которые будут использоваться в последующих разделах книги:
P
T
ms S t dt N P x x
T
m s
i
N
i
m
i m
=
= +
=
−
1
2
0
2
1
2
2 1
2
2
( ) ( / ) ( ) ( )2
/
( )
,
30 Введение
d S S
T
m m S t S t dt
T
m m ( , ) () () 1 2 1 2
1
0
2
=
−
=
= − + −
=
( / ) ( − − ) ( ( )
/
N Ps x( ) x( ) x x
i
N
i
m
i
m
i
m
i
m 2
1
2
2 1 2 1
2
2 2
1 2 1 2 2
. (3)
В (3) для объемно-сферических сигналов Pms ≤ Ps0, где Ps0 — максимальное
значение мощности сигналов, принадлежащих АС, а для поверхностно-сфе-
рических АС мощность всех сигналов Sm(t) одинакова и равна Ps.
3. Обзор содержания книги
В данной книге дан краткий анализ основных результатов современной тео-
рии передачи сигналов в дискретных каналах связи. В ней приведен ряд новых
результатов, касающихся методов построения многомерных ансамблей сигна-
лов, позволяющих создавать системы связи, характеристики которых близки
к характеристикам «идеальной» системы Шеннона, — системы, обеспечиваю-
щие как высокую спектральную эффективность, так и высокую помехоустой-
чивость приема переданных сообщений.
Первые две главы книги посвящены анализу основных результатов совре-
менной теории передачи сигналов в дискретных каналах связи. В них рассмо-
трены основные методы помехоустойчивого кодирования и декодирования
сообщений блочными кодами, сверточными, каскадными и турбокодами.
В этих главах описан порядок выбора параметров помехоустойчивых обычных
и каскадных кодов, а также приведены данные, характеризующие эффектив-
ность применения различных кодов в дискретных каналах связи.
Третья и четвертая главы посвящены вопросам, связанным с выбором ан-
самблей сигналов для передачи сообщений в непрерывных каналах связи.
Рассмотрены основные свойства двумерных многопозиционных ансамблей
сигналов, таких как сигналы с квадратурно-амплитудной, амплитудно-фазо-
вой и гексогональной модуляцией, а также методы модуляции и демодуляции
этих сигналов. Кроме того, описаны современные методы передачи сообще-
ний с помощью многомерных сигналов с кодовой модуляцией, таких как ре-
шетчатая кодированная модуляция, многоуровневая кодовая модуляция и
кодовая
модуляция с битовым перемежением. Представлены формулы и гра-
фики, позволяющие оценить помехоустойчивость приема сигналов, принад-
лежащих к рассмотренным АС.
В пятой главе рассмотрены потенциальные возможности обеспечения вы-
сокой помехоустойчивости приема сигналов в каналах связи при использова-
Введение 31
нии для передачи сообщений многомерных сигналов. В ней представлены
разработанные автором новые методы оценки вероятности ошибки при демо-
дуляции таких сигналов, принадлежащих к объемно- и поверхностно-сфери-
ческих ансамблям сигналов, впервые исследованным Шенноном. Кроме того,
подробно анализируются свойства таких сигналов и для них определяются
границы спектральной и энергетической эффективности.
В этой главе получена важная формула, обобщающая формулу Шеннона
для пропускной способности канала связи. Обобщенная формула связывает
предельно возможную скорость передачи со значением отношения сигнал/
шум на входе демодулятора сообщений для реальных условий передачи сигна-
лов, когда они имеют ограниченную (а не бесконечную длительность) и из-
вестно допустимое значение вероятности ошибки, которая может возникнуть
при демодуляции принятого сигнала.
Шестая глава посвящена вопросам построения ансамбля сигналов с гипер-
фазовой модуляцией, принадлежащего к классу поверхностно-сферических
АС. Представлены алгоритмы модуляции и демодуляции для таких сигналов и
дана оценка сложности их технической реализации. Исследована помехо-
устойчивость приема сигналов с гиперфазовой модуляцией.
В седьмой главе определяются границы энергетической и спектральной
эффективности систем связи, в которых применяются многомерные ансамб-
ли сигналов, имеющих конечную длительность и определенное значение ве-
роятности ошибки при их демодуляции. В ней выполнено сравнение энерге-
тической эффективности конкретных систем связи и систем, в которых при-
меняются сигналы с гиперфазовой модуляцией. Кроме того, определена
энергетическая эффективность систем связи, использующих ортогональные,
биортогональные АС, а также АС с перестановочной модуляцией.
Выполненный в этой главе анализ показал, что параметры систем связи, в
которых для передачи сообщений используются такие АС, могут быть выбра-
ны таким образом, что они будут иметь высокую спектральную эффектив-
ность и обеспечивать высокую надежность приема сообщений. Показано так-
же, что в таких системах нецелесообразно применение сложных помехоустой-
чивых кодов с большой длиной кодовых комбинаций.
Литература
1. Shannon C. A mathematical Theory of communication // Bell System Thechn.
J.1948. № 3. См. на рус. яз.: Шеннон К. Математическая теория связи //
Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике / под ред.
Р.Л. Добрушина и О.Б. Лупанова. М.: Изд-во иностранной литературы,
1963.
32 Введение
2. Shannon C. Communication in the presence of noise // Proc. IRE. 1949. № 1.
См. на рус. яз.: Шеннон К. Связь при наличии шума // Шеннон К. Работы по
теории информации и кибернетике / под ред. Р.Л. Добрушина и О.Б. Лупа-
нова. М.: Изд-во иностранной литературы, 1963.
3. Shannon C. Probability of error for optimal codes in Gaussian channel // Bell
System Techn. J. 1959, May 1959. См. на рус. яз.: Шеннон К. Вероятность
ошибки для оптимальных кодов в гауссовском канале // Шеннон К. Шен-
нон К. Работы по теории информации и кибернетике / под ред. Р.Л. Добру-
шина и О.Б. Лупанова. М.: Изд-во иностранной литературы, 1963.
4. Rice S.O. Communication in the presence of noise-probability of error for two
encoding schemes // BSTJ. 1950. № 1.
5. Зюко А.Г., Фалько И.П., Панфилов И.П., Банкет В.Л., Иващенко П.В. Поме-
хоустойчивость и эффективность систем передачи информации / под. ред.
А.Г. Зюко. М.: Радио и связь, 1985.
6. Зяблов В.В., Коробков Д.Л., Портной С.Л. Высокоскоростная передача сооб-
щений в реальных каналах связи. М.: Радио и связь, 1991.
7. Прокис Дж. Цифровая связь / Пер. с англ.; под ред. Д.Д. Кловского. М.:
Советское радио, 2000.
8. Кларк-мл. Дж., Кейн Дж. Кодирование с исправлением ошибок в системах
цифровой связи. М.: Радио и связь, 1987.
9. Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. М.: Мир, 1976.
10. Варгаузин В.А., Цикин И.А. Методы повышения энергетической и спек-
тральной эффективности цифровой радиосвязи. СПб.: БХБ-Петербург,
2013.
11. Королев А.И., Конопелько В.К. Турбокоды и итеративное декодирование.
Минск: БГУИР, 2015.
12. Кудряшов Б.Д. Основы теории кодирования. СПб.: БХБ-Петербург, 2016.
13. Беллами Джон К. Цифровая телефония. М.: Эко-Трендз, 2004.
14. Залманзон Л.А. Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их применение в
управлении, связи и других областях. М.: Наука, 1989.
15. Линдсей В. Системы синхронизации в связи и управлении. М.: Советское
радио, 1978.
16. Weinstein S.B., Ebert P.M. Data transmission by frequency division multiplexing
using the discrete Fourier transform // IEEE Trans. COM-19. 1971. № 10.
Развитие цивилизации сопровождается быстрым ростом информационных
потоков в человеческом сообществе. Это требует постоянного совершенство-
вания телекоммуникационных систем с тем, чтобы сделать возможной пере-
дачу по ним сообщений с большой скоростью и высокой надежностью при
достаточно простой технической реализации основных узлов таких систем
(модуляторов, демодуляторов, кодеров и декодеров). Поэтому уже много деся-
тилетий не теряет своей актуальности проблема разработки новых методов
передачи сообщений и оптимальных методов их обработки на приеме. Значи-
тельный вклад в ее решение был сделан многими исследователями, которые
создали эффективные методы модуляции и кодирования и предложили опти-
мальные методы демодуляции принятых сигналов и декодирования сообще-
ний.
Каждому передаваемому сообщению можно присвоить номер, представ-
ленный в виде информационной последовательности двоичных символов 0 и
1 определенной длины n. Для повышения помехоустойчивости приема ин-
формационной последовательности на передаче часто осуществляется ее ко-
дирование — в нее дополнительно к информационным вносятся избыточные
символы. Это позволяет исправлять ошибки, возникающие при демодуляции
принятых сигналов.
Передаваемая последовательность символов осуществляет на передаче мо-
дуляцию несущей частоты передатчика — формирует сигнал, принадлежащий
к определенному ансамблю сигналов (АС), который передается по каналу свя-
зи. На приемной стороне для формирования на выходе линии связи копии
переданной информационной последовательности, применяются оптималь-
ная обработка принятых сигналов (их демодуляция) и декодирование после-
довательности символов, сформированных на выходе демодулятора, которая
представляет собой последовательность переданных символов, образованных
в результате помехоустойчивого кодирования.
Хотя начало разработок методов модуляции и кодирования можно отнести
к первым десятилетиям ХХ века, основы теории, приводящей к решению про-
16 Предисловие
блемы передачи сообщений с высокой помехоустойчивостью, были заложены
в фундаментальных работах выдающихся ученых Клода Эльвуда Шеннона и
Владимира Александровича Котельникова, которые были выполнены в сере-
дине ХХ века.
В работах Шеннона было показано, что для обеспечения высокого каче-
ства передачи сообщений по линии связи (высокой помехоустойчивости
приема) для их передачи по каналу связи следует использовать многомерные
ансамбли сигналов. Их размерность должна быть равна N 2int(FT), где
int(x) — целая часть числа x, F-полоса частот канала связи, по которому осу-
ществляется передача сообщений, а T-длительность сигналов, входящих в ис-
пользуемый в системе связи ансамбль сигналов. На приеме для демодуляции
принятых сигналов необходимо использовать их оптимальную обработку в
демодуляторе. Основы теории оптимального приема сигналов были разрабо-
таны Котельниковым.
Шеннон установил основные характеристики, которыми должны обладать
оптимальные АС, передаваемые в канале связи с аддитивным белым гауссов-
ским шумом (АБГШ). Следует отметить, что оптимальные многомерные сиг-
налы, которые исследовались в работах Шеннона, следует, используя совре-
менную терминологию, называть методами модуляции. В современных систе-
мах связи в настоящее время для передачи сообщений используются только
двумерные сигналы, такие, как квадратурно-амплитудная модуляция, ампли-
тудно-фазовая модуляция и др., а повышение помехоустойчивости приема
таких сигналов осуществляется за счет использования помехоустойчивых ко-
дов, которые в работах Шеннона не рассматривались.
Шенноном были получены важные формулы, позволяющие оценить веро-
ятность ошибки при демодуляции N-мерных сигналов. Он ввел важнейшее
понятие теории связи — «пропускная способность канала связи» (С), которая
представляет собой максимально возможную скорость безошибочной переда-
чи сообщений по каналу связи. Эта величина определяется значением отно-
шения сигнал/шум на входе демодулятора и полосой частот канала связи F.
Шеннон показал, что если реальная скорость передачи сообщений R удовле-
творяет условию R C, то, выбрав для системы связи оптимальный много-
мерный ансамбль сигналов и увеличивая нормированную длительность сиг-
налов (параметр (FT)), можно обеспечить абсолютную надежность передачи
сообщений по каналу связи, когда вероятность ошибки приема сигналов ста-
новится сколь угодно малой. Такую систему связи он назвал «идеальной», так
как она позволяет передавать сообщения по каналу с АБГШ с заданной скоро-
стью при минимально возможном отношении сигнал/шум на входе демодуля-
тора.
Предисловие 17
Настоящая книга посвящена развитию подхода Шеннона к вопросам на-
дежной передачи сообщений по каналам связи, в первую очередь по каналам
с аддитивным белым гауссовским шумом. В своих работах Шеннон не затра-
гивал вопросы построения конкретных конструкций ансамблей сигналов —
создания новых методов модуляции, с помощью которых можно было бы в
реальных системах связи достичь той высокой надежности и скорости переда-
чи сообщений по каналу связи, на которые указывала развитая им теория.
В данной книге предложен алгоритм построения многомерного ансамбля
сигналов, относящегося к классу поверхностно-сферических, который назван
гиперфазовой модуляцией. В ней рассмотрены вопросы построения модуля-
тора и оптимального демодулятора для этого вида сигналов, а также представ-
лены алгоритмы, позволяющие на передаче по номеру передаваемого сообще-
ния определять параметры сигнала, формируемого на выходе модулятора, а на
передаче по параметрам принятого сигнала, сформированным в демодулято-
ре, определить соответствующий этим параметрам номер принятого сообще-
ния. В книге также приведены простые методы вычисления вероятности
ошибки при приеме многомерных сигналов, дан анализ помехоустойчивости
приема сигналов с гиперфазовой модуляцией и выполнено сравнение эффек-
тивности таких систем связи и систем, в которых применяются другие методы
модуляции.
В книге уделено внимание вопросам определения параметров ансамблей
сигналов конечной длительности, имеющих минимальные энергетические
потери относительно «идеальной» системы Шеннона. Эти потери оценивает-
ся разницей (в ДБ) между отношением сигнал/шум на входе демодулятора в
реальной системе, в которой используются сигналы конечной длительности и
обеспечивается определенная вероятность ошибки приема сообщений, и ми-
нимальным значением отношения сигнал/шум в «идеальной» системе при
условии, что в обеих системах обеспечена одинаковая скорость передачи со-
общений. Кроме того, в ней рассмотрены практически важные вопросы со-
вместного использования в системах связи многомерных АС и помехоустой-
чивых кодов.
Цель, которую преследовал автор при написании данной книги, является
изложение основных результатов современной теории связи, касающихся на-
дежной передачи сообщений по непрерывным и дискретным каналам связи.
Эти результаты дают возможность инженерам, проектирующим системы свя-
зи, обоснованно выбирать для них метод модуляции (ансамбль сигналов, его
размерность, алгоритмы модуляции и демодуляции сигналов), вид помехо-
устойчивого кода, его параметры (длину кода, его кодовую скорость), исходя
их требуемых скорости передачи сообщений и надежности их приема.
В современных исследованиях многие результаты, относящиеся к помехо-
устойчивости приема сигналов, получены с использованием методов матема-
тического моделирования. Существенным недостатком этих методов, с точки
зрения автора, является трудность верификации этих результатов — для этого
надо написать программу моделирования, идентичную той, которая исполь-
зовалась исследователем, и применить ее при тех же исходных данных, при
которых она была применена. При публикации результатов таких исследований
не всегда даются достаточно подробные пояснения тех условий, при
которых получены соответствующие результаты. Кроме того, при необходимости
оценки маловероятных событий (а такой случай типичен при иссле-
довании систем связи, обеспечивающих высокую надежность передачи сооб-
щений), моделирование системы может занимать очень много машинного
времени, особенно в тех случаях, когда надо исследовать влияние на помехо-
устойчивость приема большого числа влияющих на результат параметров, та-
ких как скорость передачи сообщений, размерность ансамбля сигналов и т.п.
Особенностью данной книги является то, что в ней аналитическими мето-
дами получены достаточно простые расчетные формулы для определения по-
мехоустойчивости рассмотренных в ней систем связи. Эти формулы позволя-
ют достаточно просто оценить влияние на характеристики систем связи мно-
гих ее параметров. Результаты расчетов по полученным формулам в книге
представлены в виде многочисленных графиков и таблиц.
При изложении материала автор старался, чтобы изложенные идеи были
понятны на интуитивном уровне, а использованный математический аппарат
не выходил бы за пределы математического аппарата, которым должен вла-
деть инженер. Понимание приведенных в ней сведений от читателя почти не
требует знакомства с другой специальной литературой, а при выводе приводи-
мых в ней формул используются только основы теории вероятностей в объеме
технического вуза.
Я надеюсь, что книга окажется полезной и доступной не только для ученых
и исследователей, но и для инженеров, занимающихся разработками систем
связи. Так как существо дела для инженера имеет гораздо большее значение,
чем формально строгое изложение, то полученные ранее результаты в области
модуляции и кодирования изложены в книге без той строгости, которой при-
держиваются во многих работах по теории связи и кодирования.
В книге приведен ряд новых результатов в области теории связи. Поэтому
ее можно рассматривать как монографию. В то же время изложенные в ней
идеи и использованный для их анализа математический аппарат достаточно
просты. Поэтому она может использоваться также как учебное пособие по
18 Предисловие
теории связи студентами и аспирантами тех институтов, в которых готовятся
специалисты инфокоммуникационных и радиотехнических специальностей.
Книга посвящается памяти выдающихся ученых ХХ века К. Шеннона и
В.А. Котельникова, сыгравших ключевую роль в создании теории связи —
идейного фундамента созданных в ХХ веке и создаваемых сегодня телекомму-
никационных систем. На развитие этой обширной открытой ими области на-
уки и практическое воплощение ее результатов в разработках новых телеком-
муникационных систем разного назначения, оказывающих все большее
влияние на развитие нашей цивилизации, направлена деятельность тысяч
ученых, исследователей и инженеров. Очерки жизни Шеннона и Котельнико-
ва — замечательных людей и ученых — приведены в конце книги.
Автор выражает свою искрению признательность за полезные замечания
по разделам книги ее рецензентам — профессорам А.В. Дворковичу и
А.И. Скородумову, а также профессорам Ю.С. Шинакову и О.А. Шорину и
к.т.н. А.А. Лосеву.
Введение
При проектировании телекоммуникационных систем особое значение
имеет выбор ансамбля сигналов (АС). Этот ансамбль должен обеспечить тре-
буемую скорость передачи сообщений R и ее надежность, которая определяет-
ся значением вероятности Pser ошибки при приеме переданных с помощью
этих сигналов сообщений. Исследованию вопросов, связанных с построением
таких АС и определением помехоустойчивости их приема, посвящено весьма
значительное количество исследований в области теории связи, результаты
которых изложены в монографиях известных ученых и в учебной литературе.
Развитие науки, электроники и системотехники в ХХ столетии создало усло-
вия для разработки систем связи, по которым сообщения могут передаваться с
высокой скоростью и надежностью.
Вместе с тем быстрое развитие человеческой цивилизации привело к ко-
лоссальному росту объема информации, которая должна передаваться по ка-
налам связи между огромным количеством узлов связи, расположенных на
всех континентах земного шара. Обеспечить передачу больших потоков ин-
формации между такими узлами можно, создавая между ними линии связи.
Действительно, во всем мире активно идет строительство новых широкопо-
лосных линий связи, которые позволяют предоставлять миллиардам людей и
десяткам миллионов организаций значительное и быстро растущее количе-
ство мультимедийных услуг связи (интернет, телевизионное и звуковое веща-
ние, передача голосовых, видеоданных и текстовых сообщений и т.п.).
Строительство новых линий связи является весьма затратным. Цена полос
частот, которые выделяются для создания радиосистем сотовой связи и бес-
проводного доступа, услугами которых пользуется огромное количество лю-
дей, оценивается в миллиарды $ США. Поэтому, несмотря на значительные
достижения в создании телекоммуникационных систем, осуществляющих пе-
редачу сообщений по существующим каналам связи с ограниченной полосой
частот, актуальной задачей остается их совершенствование. В 2017 году в Ме-
ждународном Союзе Электросвязи были сформулированы требования к раз-
рабатываемым в настоящее время перспективным системам беспроводного
доступа IMT-2020, пользователи которой должны иметь возможность переда-
чи сообщений в канале с ограниченной полосой частот до 100 Мбит/с. В дан-
ной книге рассматриваются возможности разработки новых телекоммуника-
ционных систем, предназначенных для повышения пропускной способности
каналов связи с ограниченной полосой частот (т.е. имеющих высокую
спектральную
эффективность) и обеспечивающих высокую надежность прие-
ма сообщений.
На передающей стороне эта система имеет последовательно соединенные
кодер, на вход которого поступают блоки двоичных информационных симво-
лов, подлежащих передаче по каналу связи. Длина каждого такого блока дол-
жна составлять n ≈ log2 M, где M — количество сигналов в ансамбле сигналов
(АС), который применяется для передачи сообщений.
собой номер m ≤ M сообщения, которое должно быть передано по каналу свя-
зи (здесь M — количество передаваемых с помощью АС сообщений, равное
числу разных блоков, состоящих из информационных символов и, возможно,
избыточных символов, добавленных к информационным для повышения по-
мехоустойчивости приема сообщений). Отметим, что вполне возможна пере-
дача сообщений по каналу связи без избыточных символов. Однако в этом
случае блок кодирования является, по сути, блоком определения по номеру
передаваемого сообщения параметров сигнала , который формируется в моду-
ляторе и принадлежит к определенному ансамблю сигналов (АС). Сигна-
лы Sm(t) с выхода модулятора поступают на вход передатчика, в котором они
усиливаются и передаются в канал связи.
На приемной стороне линии связи к выходу приемника подключен демо-
дулятор, на выходе которого формируется последовательность символов, со-
ответствующая параметрам принятого аналогового сигнала Sm(t) — его индек-
сам модуляции. Эти индексы с выхода демодулятора поступают на вход деко-
дера — блока преобразования индексов модуляции. В этом блоке формируется
номер принятого сообщения, представленный в виде последовательности
двоичных символов, который является копией той, которая соответствует но-
меру переданного сообщения.
Технические задачи передачи сообщений по каналам связи, связанные с
модуляцией и демодуляцией, а также с кодированием и декодированием сооб-
щений, отличаются друг от друга. Поэтому полезно в общей схеме системы
связи на рис. 1 выделить два канала — непрерывный, входом которого являет-
ся вход модулятора, а выход — выход демодулятора, и дискретный, вход кото-
рого совпадает с входом кодера, а выход — с выходом декодера. Дискретный
канал называют также внешним каналом связи, а непрерывный канал — вну-
тренним каналом связи.
Качество приема сообщений во внутреннем канале связи в значительной
степени определяется свойствами физического канала связи, в котором
осуществляется передача сообщений. Свойства таких каналов весьма раз-
нообразны. В физических каналах, по которым сообщения передаются в
коротковолновых системах связи, в системах радиорелейной, тропосфер-
ной и подвижной связи на помехоустойчивость приема сигналов, переда-
ваемых во внутреннем канале, существенное влияние оказывает многолуче-
вость, возникающая при распространении радиоволн. Многолучевость вы-
зывает межсимвольную интерференцию и замирания уровня принимаемого
сигнала.
В этой книге вопросы передачи сигналов по многолучевым каналам не за-
трагиваются. В ней рассмотрены системы, работающие в «идеальных» физи-
ческих каналах связи, в которых при распространении радиоволн уменьшает-
ся уровень переданного сигнала, а его форма практически не искажается.
С определенным приближением к таким каналам можно отнести, в частно-
сти, спутниковые, кабельные и оптоволоконные каналы связи.
Сигналы Sm(t) поступают на вход приемника вместе с шумом. В приемнике
осуществляется их усиление, и они приходят на вход демодулятора. В демоду-
ляторе сигнал, принятый вместе с шумом, обрабатывается, и на его выходе
формируются оценки его параметров, и так как переданный сигнал является
цифровым, то на выходе демодулятора формируется цифровая последователь-
ность символов, соответствующих принятому сигналу. На частотах выше
300 МГц шум, действующий на входе приемника, как правило, является гаус-
совским и имеет равномерный энергетический спектр мощности. Двухсто-
роннюю спектральную плотность мощности шума будем обозначать 0,5N0.
Мощность этого шума, действующего в полосе частот (F), в которой осуще-
ствляется прием сигналов, равна Pn FN 0. Если среднюю мощность сигна-
лов, поступающих на вход демодулятора, обозначить Ps, то отношение мощ-
ности принятого сигнала к мощности шума будет: ρs = Ps/Pn. Надежность свя-
зи определяется значением вероятности ошибки при приеме переданных
сообщений и зависит от значения ρs.
22 Введение
Надежность приема информационных символов в дискретном канале,
формируемых на выходе декодера, зависит только от вероятности ошибок,
возникших при демодуляции сигналов Sm(t). Помехоустойчивый код для пе-
редачи сообщений должен быть выбран таким образом, чтобы надежность
приема информационных символов в дискретном канале соответствовала бы
требуемому значению. При выборе кода для дискретного канала связи нет не-
обходимости учитывать свойства физического канала связи.
Отметим, что рациональный выбор для системы связи ансамбля сигналов
(АС) и применение оптимальной обработки принятых сигналов в демодулято-
ре позволяют в принципе обеспечить требуемую надежность приема сообще-
ний. При этом отпадает необходимость в использовании в системе связи по-
мехоустойчивого кода. Однако в современных системах связи, в которых для
передачи сигналов используются двумерные АС, такие коды широко приме-
няются, так как они позволяют уменьшить энергетику линии связи и повы-
сить надежность приема сообщений.
Ансамбль сигналов для проектируемой системы связи должен быть выбран
так, чтобы было бы возможно передавать в ней информационные сообщения
с нужной скоростью и с определенной вероятностью ошибочного приема
(с надежностью, удовлетворяющей требованиям, предъявляемым к системе
связи), используя передатчики минимально возможной мощности. Дополни-
тельным требованием, предъявляемым к такому АС, является простота техни-
ческой реализации основных блоков системы связи, представленной на рис. 1:
кодера, модулятора, демодулятора и декодера.
1. Основные результаты Шеннона, относящиеся к передаче
сообщений в гауссовых каналах связи
Знаменитым американским ученым К. Шенноном были установлены [1—3]
основные закономерности, связанные с передачей сообщений в каналах свя-
зи. До публикации в 1948 г. его первой статьи «Математическая теория связи»
[1] инженеры считали, что повысить надежность связи (уменьшить вероят-
ность ошибок при приеме сообщений) можно, только повышая мощность пе-
редатчика, увеличивая тем самым ρs — отношение сигнал/шум на входе демо-
дулятора. Это было справедливо при использовании простых методов модуля-
ции гармонического несущего колебания определенной частоты по амплитуде,
фазе или частоте, которые применялись в системах связи до середины ХХ сто-
летия.
Однако мощные передатчики являются дорогостоящими устройствами.
Кроме того, возможность создания мощных передатчиков может быть огра-
Введение 23
ничена рядом технических факторов. Например, в системах спутниковой свя-
зи технически весьма сложно разместить мощные передатчики, имеющие по-
вышенный вес и объем, на борту спутникового ретранслятора. Финансовые
затраты, связанные с повышением на 1 дБ мощности таких передатчиков,
оцениваются примерно в 1 млн долларов США.
Фундаментальные результаты, полученные в работах Шеннона, указали
новые возможности совершенствования телекоммуникационных систем пу-
тем выбора для передачи сообщений АС, которые при оптимальной демоду-
ляции позволяют обеспечить высокую помехоустойчивость их приема. Шен-
нон установил, что повысить надежность связи можно, не увеличивая ρs, а
используя для передачи сообщений сложные методы модуляции — многомер-
ные (N-мерные) сигналы Sm(t) большой длительности, состоящие из
N = 2int(FT) 1 элементарных сигналов (здесь F — полоса частот канала свя-
зи, T — длительность передаваемых сигналов Sm(t), FT — их нормированная
длительность, а int(x) — целая часть числа x).
Шеннон показал, что значение ρs определяет максимально возможную
скорость передачи сообщений Rmax по каналу связи. Эта величина, названая
им «пропускной способностью» канала связи, определяется формулой:
C F s = log2(1+ ). (1)
Он также установил, если R Rmax C < = , то, используя АС, имеющие боль-
шую длительность, возможно в принципе передать сообщения с абсолютной
надежностью, т.е. обеспечить вероятность ошибки при приеме сообщения,
близкую к нулю. Для этого, однако, длительность сигналов, входящих в АС,
должна быть весьма значительной (N ∞). Систему связи, в которой сооб-
щения передаются с абсолютной надежностью, Шеннон назвал «идеаль-
ной» [2].
Введем нормированные параметры: удельную скорость передачи сообще-
ний Rf R F M FT M N ( ) log2 2log2 и удельную пропускную способ-
ность канала связи Cf C F s = = log2(1+ ). Отметим, что спектральная эффек-
тивность систем связи определяется величиной Rf.
Для наглядной трактовки вопросов передачи и приема сигналов в каналах
связи Шенноном в 1949 г. было развито [2] представление сигналов в виде сиг-
нальных точек (СТs) в N-мерном евклидовом пространстве, координаты кото-
рых имеют определенные значения. На основе этих представлений в 1950 г.
известным американским ученым С.О. Райсом [4] были выполнены первые
исследования помехоустойчивости приема N-мерных сигналов конечной
длительности в гауссовском канале связи и получены оценки вероятности
ошибочного приема Pser(N, Rf, ρs) сигнала Sm(t), переданного по каналу связи.
24 Введение
Отметим, что если при приеме сигнала происходит ошибка, то это приводит к
ошибочному определению номера переданного сигнала, которому соответ-
ствует определенная последовательность информационных двоичных симво-
лов.
В 1959 г. была опубликована фундаментальная работа Шеннона [3], в кото-
рой были получены достаточно точные оценки Pser(N, Rf, ρs) для двух видов
АС — поверхностно- и объемно-сферического (ПСАС и ОСАС). В первом
случае все сигналы ансамбля имеют одну и ту же мощность Ps и их СТs распо-
лагаются на поверхности N-мерной сферы радиуса (N )Ps 2 , а во втором их
СТs располагаются на поверхности N-мерной сферы радиуса (N )Ps 2 , а так-
же внутри нее, т.е. их мощность Ps удовлетворяет условию Ps ≤ Psm, где Psm —
максимальная мощность сигналов в объемно-сферическом АС.
Из полученных Райсом и Шенноном результатов следовало, что в том слу-
чае, если R < Rmax возможно, используя N-мерные ПСАС или ОСАС большой
длительности, при ρs = const передавать сообщения с абсолютной надежно-
стью, т.е. Pser(N, Rf, ρs) 0, если N ∞. В этом смысле такие ансамбли сигна-
лов являются оптимальными.
Шеннон показал, что оптимальный N-мерный АС должен в модуляторе
формироваться таким образом, чтобы евклидово расстояние (dE) между двумя
ближайшими СТs, соответствующими сигналам, входящими в АС, с увеличе-
нием N увеличивалось бы по закону dE N ~ . Это является следствием того,
что с увеличением N = 2FT пропорционально увеличивается энергия любого
сигнала из АС (а, следовательно, пропорционально N увеличивается рас-
стояние соответствующей ему СТ от начала координат).
От значения dE зависит количество сигналов в АС и, следовательно, ско-
рость передачи сообщений. Шеннон также отмечал, что использование АС
очень большой длительности (N 2int(FT) 1) может вносить недопустимо
большую задержку, равную 2Т, при передаче сообщений по каналу связи и,
кроме того, при N 1 требуется применение сложных устройств, выполняю-
щих функции модулятора и демодулятора.
Из формулы Шеннона (1) следует, что для того, чтобы в канале связи в
полосе частот F при N 1 в принципе была возможна передача сообщений со
скоростью Rmax и с абсолютной надежностью, необходимо, чтобы отношение
сигнал/шум на входе демодулятора было бы равно s
Rfmax
0 = (2 − 1). Величина
ρs0 определяет минимальное значение энергетики линии связи, при которой
возможно обеспечить абсолютную надежность передачи сообщений с удель-
ной скоростью Rf = Rf max. В реальной системе связи длительность передавае-
мых сигналов является конечной. При этом, чтобы были выполнены требова-
ния к надежности передачи сообщений, определяемые значением вероятно-
Введение 25
сти ошибки Pser 0 при демодуляции принятых сигналов, необходимо обеспечить
несколько большее отношение сигнал/шум на входе демодулятора, сделав его
равным
s s = 0
100,1 , т.е. в реальной системе связи мощность передатчика
должна быть увеличена по сравнению с «идеальной» на Δρ > 0 дБ.
Найти значение Δρ можно, решив уравнение Pser N Rf s Pser ( , , 100,1 )
0
= и
определив из него зависимость = (N, Rf , Pser 0 ). Эта зависимость позво-
ляет найти, на сколько дБ необходимо увеличить энергетику линии связи при
разных значениях Rf и N для того, чтобы обеспечить требуемое значение Pser 0
при известном значении скорости передачи сообщений, применяя для пере-
дачи сообщений сигналы определенной длительности. Отметим, что значение
Δρ с увеличением N уменьшается, и если N , то 0.
Выбор длительности передаваемых сигналов (параметра FT ) для обеспече-
ния требуемой надежности связи (Pser 0) при заданном значении Rf основан на
компромиссе. При этом следует учитывать, что надежность связи можно обес-
печить как за счет повышения энергетики линии связи (усложнения и удоро-
жания передатчика), так и за счет применения в системе связи сложных и,
следовательно, более дорогих устройств — на передающей стороне линии свя-
зи кодера и модулятора, а на приемной — демодулятора и декодера. При таком
выборе следует принимать во внимание как технические, так и экономиче-
ские соображения.
Шенноном было установлено [2, 3], что выбор оптимального N-мерно-
го АС, с помощью которого возможно надежно передавать сообщения со ско-
ростью, определяемой формулой (1), неоднозначен. Сигнальные точки таких
ансамблей могут иметь регулярную структуру в N-мерном пространстве.
В теории связи рассматриваются разные методы построения АС с регулярной
структурой. В [3] было показано, что СТs ансамблей сигналов, обеспечиваю-
щих высокую помехоустойчивость приема, можно успешно выбрать даже на-
удачу из числа всех возможных СТs, лежащих внутри сферы радиуса (N )Ps 2 .
В частности, в качестве M 2RT сигналов для АС могут быть взяты различные
выборки ограниченного по полосе частот белого шума. Важно, однако, отме-
тить, что если ансамбль сигналов выбран случайно, то даже в том случае, когда
выбор оказался удачным (т.е. расстояния между его ближайшими СТs оказа-
лись достаточно велики), для такого АС сложность кодера, модулятора, демо-
дулятора и декодера будет расти пропорционально числу сигналов M в АС.
Это значит, что с увеличением длительности сигналов (с увеличением N)
сложность демодулятора и декодера будет увеличиваться экспоненциально.
Поэтому техническая реализация системы связи, в которой АС выбран слу-
чайным образом, практически невозможна.
26 Введение
Кодирование сообщений Шеннон понимал [3] как процедуру преобразо-
вания номера m (m = 1…M) передаваемого сообщения в значения координат
СТs, соответствующей сигналу Sm(t), который должен быть передан по каналу
связи. Этим термин «кодирование сообщений» у Шеннона отличается от ана-
логичного термина, широко используемого в современной теории кодирова-
ния [5—12]. В этой теории помехоустойчивое кодирование достигается за счет
формирования передаваемых по каналу связи кодовых комбинаций (КК), со-
держащих как информационные символы, так и дополнительные избыточные
символы, связанные с информационными определенными и достаточно
сложными математическими соотношениями.
В работах [5—7], [10] и [12] рассматривались вопросы, связанные с демоду-
ляцией двумерных сигналов, принадлежащих к двумерным АС, таким как
квадратурно-амплитудная, амплитудно-фазовая и др. Приводились характе-
ристики надежности передачи сообщений с помощью таких АС без использо-
вания помехоустойчивых кодов. Аналогична передача сообщений с помощью
многомерных ОСАС и ПСАС без кодирования. Следует при этом отметить
принципиальное отличие двумерных и многомерных АС. В первых расстоя-
ние между соседними сигнальными точками с увеличением Rf — удельной
скорости передачи сообщений всегда, как будет показано в главах 3 и 4, умень-
шается. Поэтому при использовании двумерных АС для обеспечения высокой
надежности передачи сообщений всегда необходимо применение помехо-
устойчивых кодов. При использовании в системах связи N-мерных АС, рас-
сматриваемых в главах 5—7, расстояние между соседними сигнальными точ-
ками при любом значении Rf = const может быть увеличено за счет увеличения
размерности сигнального пространства, и, таким образом, может быть суще-
ственно увеличена надежность демодуляции сигналов. Это может сделать не-
целесообразным в таких системах применение помехоустойчивых кодов, в
которые для исправления ошибок, возникающих при демодуляции, внесены
дополнительные избыточные символы, снижающие спектральную эффектив-
ность системы связи.
По Шеннону, функциональным назначением демодулятора в приемнике
является определение координат сигнальной точки (CТs), принадлежащей од-
ному из многомерных сигналов, используемых для передачи сообщений, на-
ходящемуся на ближайшем расстоянии к сигнальной точке (СТr), соответ-
ствующей сигналу, поступившему на вход демодулятора вместе с шумом. Опе-
рации над координатами принятого сигнала, которые осуществляются при
демодуляции принятого сигнала, обратны тем, которые выполняются в моду-
ляторе при преобразовании номера передаваемого сообщения в координаты
передаваемого сигнала.
Введение 27
В работах Шеннона не затрагивались важные для практики вопросы фор-
мирования конкретных ансамблей многомерных сигналов, а также обработки
принятых сигналов при их демодуляции. Решение этих вопросов имеет боль-
шое значение, так как это дает основу для технической реализации оптималь-
ных системы связи, у которых характеристики (скорость передачи сообщений
по каналу связи и надежность их приема) соответствуют тем предельно воз-
можным, которые были определены Шенноном.
В годы, прошедшие после того, как были опубликованы результаты Шен-
нона, многими исследователями был предложен ряд методов повышения на-
дежности и спектральной эффективности систем связи. Значительное разви-
тие получили методы помехоустойчивого кодирования, и был предложен ряд
методов конструирования многомерных сигналов [5—12].
2. Представление сигналов в виде сигнальных точек
в N-мерном пространстве
Представление сигналов в виде сигнальных точек в N-мерном сигнальном
пространстве основано на теореме Найквиста—Котельникова—Шеннона, со-
гласно которой в канале связи, имеющем полосу частот, равную F, любые сиг-
налы длительностью T могут быть представлены в виде суммы N = 2 int(FT)
элементарных ортогональных сигналов (ЭОС). Полоса частот канала связи
обычно является заданной, и безразмерный параметр FT можно рассматривать
как нормированную длительность сигналов, передаваемых по такому каналу.
Строго говоря, сигналы с ограниченным спектром имеют бесконечную
длительность, а сигналы конечной длительности имеют бесконечный спектр.
Однако в технике связи разработаны методы формирования элементарных
сигналов конечной длительности, в которых фронты импульсов сглаживают-
ся после прохождения через специальные канальные фильтры. В результате
частотные составляющие сигнала, лежащие за пределами полосы частот F, су-
щественно подавляются [13].
Другим методом, позволяющим уменьшить частотные составляющие пе-
редаваемого сигнала конечной длительности, лежащие за пределами основ-
ной полосы частот канала связи, является представление сигналов, входящих
в АС, в виде ряда Фурье, имеющего N составляющих.
Для геометрического представления сигналов можно использовать их раз-
ложение по базису любых ортогональных функций. Это можно сделать многи-
ми способами. Для этого можно использовать представление сигналов рядом
Котельникова—Шеннона, в котором ортогональные функции имеют строго
ограниченный спектр и неограниченную длительность, можно использовать
28 Введение
функции конечной длины Уолша [14], квазислучайные двоичные последова-
тельности максимальной длины, последовательности Адамара и др. Наиболее
часто в системах связи для этого применяют гармонические функции, исполь-
зуя при этом методы временного и частотного уплотнения каналов.
При передаче сообщений по каналу связи с полосой F методом временного
уплотнения (TDMA — Time Division Multiple Access) интервал, равный пол-
ной длительности Т-сигналов, принадлежащих определенному АС, делится
на подинтервалы, длительность которых равна T = 2T N и при
t Ti i T i T =[( −1) , ,] (i = 1…N) для передачи сообщений в канал связи в ин-
тервале времени t Ti используются элементарные ортогональные сигналы
(ЭОС) Vsi t t i T ( ) = sin[ 0( −( −1) )] и Vci t t i T ( ) = cos[ 0( −( −1) )], за пределами
которого они равны 0. Ортогональность сигналов Vsi(t) и Vci(t) означает, что
Vsi t Vci t dt = ( ) ( ) 0, где интеригрирование распространяется на любой интер-
вал t Ti .
Другим широко используемым методом передачи сигналов является метод
частотного уплотнения канала связи c ортогональными поднесущими
(OFDM — Orthogonal Frequency Division Multiplexing). Длительность передачи
каждой поднесущей равна полной длительности передаваемого сигнала T, а
на каждой из них в течение указанного интервала времени передаются ЭОС
Vsi t it ( ) = sin и Vci t it ( ) = cos . Для сигналов Vsi(t) и Vci(t) выполняются условия:
Vsi t Vsj t dt
T
( ) ( )
0
= Vci t Vcj t dt
T
( ) ( )
0
= 0 при i ≠ j. Для этого необходимо, чтобы
| | | | i − j = 2 i − j T при i ≠ j. Кроме того, для них также выполняются усло-
вия
0
T
Vsi (t)Vci (t)dt = 0. Каждый из ЭОС можно трактовать как двумерный сиг-
нал, так как его можно представить СТs на двумерной плоскости, на которой
ортогональным осям x и y соответствуют ЭОС Vsi(t) и Vci(t).
При использовании обоих методов уплотнения N-мерный сигнал, посту-
пающий в течение времени T на вход демодулятора в приемнике, может быть
записан в виде:
Sm t N Ps x V t x V t
i
i
m
si i
m
ci
N
( ) = ( / ) ( ) ( )+ ( )
=
2 −
1
2 1 2
2
. (2)
Здесь Ps — средняя мощность одного элементарного сигнала. Параметры
xm,(2i−1) и xm,2i в (2) можно трактовать как декартовы координаты сигнальных
точек (СТs) в N-мерном пространстве, соответствующих сигналу Sm(t). Коор-
динаты СТs, соответствующие переданным сигналам, зависят от передавае-
Введение 29
мой информационной последовательностьи символов, а количество значе-
ний, которые может иметь каждая из координат СТs, определяется удельной
скоростью передачи сообщений Rf в системе связи. Системы связи, исполь-
зующие сигналы вида (2), являются синхронными.
В таких системах должны использоваться весьма точные системы синхро-
низации на передающем и приемном концах линии связи. Вопросы построе-
ния систем синхронизации детально рассмотрены во многих монографиях
(например, в [15]), и в данной книге они затрагиваться не будут. Поэтому, рас-
сматривая в данной книге прием сигналов, будем считать известными частоты
и фазы всех ортогональных сигналов Vsi(t) и Vci(t).
Важно обратить внимание на то, что в многомерных сигналах (2), с помо-
щью которых можно обеспечить характеристики систем связи, приближаю-
щиеся к тем, на которые указывает развитая Шенноном теория, декартовы
координаты СТs xm,(2i−1) и xm,2i при всех значениях i должны быть взаимосвяза-
ны определенным образом. Только тогда можно обеспечить то свойство опти-
мальных АС, на которое указал Шеннон — расстояние между ближайшими
СТs в этом АС с увеличением N должно увеличиваться по закону dE N ~ .
Следует отметить, что ортогональные сигналы Vsi(t) и Vci(t) занимают одну и ту
же полосу частот.
Формула (2) показывает, что оба метода передачи сообщений (TDMA и
OFDМ) с точки зрения геометрической трактовки алгоритмов передачи и
приема сигналов полностью эквивалентны: передаче сигналов во временном
интервале t Ti в системе TDMA соответствует передаче таких же сигналов на
частоте ωi. Однако физические параметры этих сигналов (например, их пик-
фактор) могут существенно отличаться.
Кроме того, следует отметить, что, используя быстрое преобразование
Фурье, сигналы, представленные формулой (2), могут быть преобразованы из
одного вида в другой (из TDMA в OFDМ, или наоборот) [16]). В дальнейшем
в данной работе между двумя методами передачи сообщений различия не де-
лается. Для конкретности, приводимые в последующих разделах книги фор-
мулы, определяющие вид передаваемых и принимаемых сигналов, относятся
к случаю, когда для передачи сообщений используются сигналы вида OFDM.
Приведем формулы, определяющие мощность сигналов Sm(t) и расстояние
между двумя сигналами Sm1(t) и Sm2(t) через координаты их сигнальных точек,
которые будут использоваться в последующих разделах книги:
P
T
ms S t dt N P x x
T
m s
i
N
i
m
i m
=
= +
=
−
1
2
0
2
1
2
2 1
2
2
( ) ( / ) ( ) ( )2
/
( )
,
30 Введение
d S S
T
m m S t S t dt
T
m m ( , ) () () 1 2 1 2
1
0
2
=
−
=
= − + −
=
( / ) ( − − ) ( ( )
/
N Ps x( ) x( ) x x
i
N
i
m
i
m
i
m
i
m 2
1
2
2 1 2 1
2
2 2
1 2 1 2 2
. (3)
В (3) для объемно-сферических сигналов Pms ≤ Ps0, где Ps0 — максимальное
значение мощности сигналов, принадлежащих АС, а для поверхностно-сфе-
рических АС мощность всех сигналов Sm(t) одинакова и равна Ps.
3. Обзор содержания книги
В данной книге дан краткий анализ основных результатов современной тео-
рии передачи сигналов в дискретных каналах связи. В ней приведен ряд новых
результатов, касающихся методов построения многомерных ансамблей сигна-
лов, позволяющих создавать системы связи, характеристики которых близки
к характеристикам «идеальной» системы Шеннона, — системы, обеспечиваю-
щие как высокую спектральную эффективность, так и высокую помехоустой-
чивость приема переданных сообщений.
Первые две главы книги посвящены анализу основных результатов совре-
менной теории передачи сигналов в дискретных каналах связи. В них рассмо-
трены основные методы помехоустойчивого кодирования и декодирования
сообщений блочными кодами, сверточными, каскадными и турбокодами.
В этих главах описан порядок выбора параметров помехоустойчивых обычных
и каскадных кодов, а также приведены данные, характеризующие эффектив-
ность применения различных кодов в дискретных каналах связи.
Третья и четвертая главы посвящены вопросам, связанным с выбором ан-
самблей сигналов для передачи сообщений в непрерывных каналах связи.
Рассмотрены основные свойства двумерных многопозиционных ансамблей
сигналов, таких как сигналы с квадратурно-амплитудной, амплитудно-фазо-
вой и гексогональной модуляцией, а также методы модуляции и демодуляции
этих сигналов. Кроме того, описаны современные методы передачи сообще-
ний с помощью многомерных сигналов с кодовой модуляцией, таких как ре-
шетчатая кодированная модуляция, многоуровневая кодовая модуляция и
кодовая
модуляция с битовым перемежением. Представлены формулы и гра-
фики, позволяющие оценить помехоустойчивость приема сигналов, принад-
лежащих к рассмотренным АС.
В пятой главе рассмотрены потенциальные возможности обеспечения вы-
сокой помехоустойчивости приема сигналов в каналах связи при использова-
Введение 31
нии для передачи сообщений многомерных сигналов. В ней представлены
разработанные автором новые методы оценки вероятности ошибки при демо-
дуляции таких сигналов, принадлежащих к объемно- и поверхностно-сфери-
ческих ансамблям сигналов, впервые исследованным Шенноном. Кроме того,
подробно анализируются свойства таких сигналов и для них определяются
границы спектральной и энергетической эффективности.
В этой главе получена важная формула, обобщающая формулу Шеннона
для пропускной способности канала связи. Обобщенная формула связывает
предельно возможную скорость передачи со значением отношения сигнал/
шум на входе демодулятора сообщений для реальных условий передачи сигна-
лов, когда они имеют ограниченную (а не бесконечную длительность) и из-
вестно допустимое значение вероятности ошибки, которая может возникнуть
при демодуляции принятого сигнала.
Шестая глава посвящена вопросам построения ансамбля сигналов с гипер-
фазовой модуляцией, принадлежащего к классу поверхностно-сферических
АС. Представлены алгоритмы модуляции и демодуляции для таких сигналов и
дана оценка сложности их технической реализации. Исследована помехо-
устойчивость приема сигналов с гиперфазовой модуляцией.
В седьмой главе определяются границы энергетической и спектральной
эффективности систем связи, в которых применяются многомерные ансамб-
ли сигналов, имеющих конечную длительность и определенное значение ве-
роятности ошибки при их демодуляции. В ней выполнено сравнение энерге-
тической эффективности конкретных систем связи и систем, в которых при-
меняются сигналы с гиперфазовой модуляцией. Кроме того, определена
энергетическая эффективность систем связи, использующих ортогональные,
биортогональные АС, а также АС с перестановочной модуляцией.
Выполненный в этой главе анализ показал, что параметры систем связи, в
которых для передачи сообщений используются такие АС, могут быть выбра-
ны таким образом, что они будут иметь высокую спектральную эффектив-
ность и обеспечивать высокую надежность приема сообщений. Показано так-
же, что в таких системах нецелесообразно применение сложных помехоустой-
чивых кодов с большой длиной кодовых комбинаций.
Литература
1. Shannon C. A mathematical Theory of communication // Bell System Thechn.
J.1948. № 3. См. на рус. яз.: Шеннон К. Математическая теория связи //
Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике / под ред.
Р.Л. Добрушина и О.Б. Лупанова. М.: Изд-во иностранной литературы,
1963.
32 Введение
2. Shannon C. Communication in the presence of noise // Proc. IRE. 1949. № 1.
См. на рус. яз.: Шеннон К. Связь при наличии шума // Шеннон К. Работы по
теории информации и кибернетике / под ред. Р.Л. Добрушина и О.Б. Лупа-
нова. М.: Изд-во иностранной литературы, 1963.
3. Shannon C. Probability of error for optimal codes in Gaussian channel // Bell
System Techn. J. 1959, May 1959. См. на рус. яз.: Шеннон К. Вероятность
ошибки для оптимальных кодов в гауссовском канале // Шеннон К. Шен-
нон К. Работы по теории информации и кибернетике / под ред. Р.Л. Добру-
шина и О.Б. Лупанова. М.: Изд-во иностранной литературы, 1963.
4. Rice S.O. Communication in the presence of noise-probability of error for two
encoding schemes // BSTJ. 1950. № 1.
5. Зюко А.Г., Фалько И.П., Панфилов И.П., Банкет В.Л., Иващенко П.В. Поме-
хоустойчивость и эффективность систем передачи информации / под. ред.
А.Г. Зюко. М.: Радио и связь, 1985.
6. Зяблов В.В., Коробков Д.Л., Портной С.Л. Высокоскоростная передача сооб-
щений в реальных каналах связи. М.: Радио и связь, 1991.
7. Прокис Дж. Цифровая связь / Пер. с англ.; под ред. Д.Д. Кловского. М.:
Советское радио, 2000.
8. Кларк-мл. Дж., Кейн Дж. Кодирование с исправлением ошибок в системах
цифровой связи. М.: Радио и связь, 1987.
9. Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. М.: Мир, 1976.
10. Варгаузин В.А., Цикин И.А. Методы повышения энергетической и спек-
тральной эффективности цифровой радиосвязи. СПб.: БХБ-Петербург,
2013.
11. Королев А.И., Конопелько В.К. Турбокоды и итеративное декодирование.
Минск: БГУИР, 2015.
12. Кудряшов Б.Д. Основы теории кодирования. СПб.: БХБ-Петербург, 2016.
13. Беллами Джон К. Цифровая телефония. М.: Эко-Трендз, 2004.
14. Залманзон Л.А. Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их применение в
управлении, связи и других областях. М.: Наука, 1989.
15. Линдсей В. Системы синхронизации в связи и управлении. М.: Советское
радио, 1978.
16. Weinstein S.B., Ebert P.M. Data transmission by frequency division multiplexing
using the discrete Fourier transform // IEEE Trans. COM-19. 1971. № 10.