Техносфера - Основы теории цифровой обработки сигналов:Учебное пособие. Издание третье исправленное и дополненное

Содержание

Предисловие 6

Список сокращений и обозначений 9

Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального

представления функций 11

1.1.

Линейные нормированные пространства 11

1.2.

Пространства со скалярным произведением 18

1.3.

Примеры ортогональных систем в пространстве L2 26

1.4.

Тригонометрические ряды Фурье. Явление Гиббса 32

1.5.

Интеграл Фурье 37

1.6.

Принцип неопределенности время-частотного

представления сигналов 43

1.7.

Обобщенное преобразование Фурье 49

1.8.

Энергетический спектр. Спектр мощности 53

Глава 2. Дискретизация и квантование сигналов.

Дискретные ортогональные преобразования 58

2.1.

Преобразование непрерывных сигналов в дискретные 58

2.2.

Дискретизация по критерию наибольшего отклонения 60

2.3.

Частотный критерий выбора шага дискретизации 61

2.4.

Спектр дискретного сигнала 66

2.5.

Дискретизация узкополосных сигналов 70

2.6.

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) 77

2.7.

Быстрое преобразование Фурье (БПФ).

Алгоритм БПФ с прореживанием по времени 85

2.8.

Алгоритм БПФ с прореживанием по частоте 98

2.9.

Дискретное преобразование Уолша 103

2.10.

Дискретное преобразование Хаара 109

2.11.

Некоторые применения дискретных ортогональных

преобразований 113

2.12.

Квантование дискретных сигналов 116

Глава 3. Описание и анализ линейных дискретных систем (ЛДС) 126

3.1.

Нормирование временной и частотной осей 126

3.2.

Z-преобразование 127

3.3.

Линейные дискретные фильтры (ЛДФ) 132

3.4.

Соединения и структурные схемы фильтров 137

3.5.

Устойчивость ЛДФ 145

3.6.

Частотная характеристика ЛДФ 147

3.7.

Минимально-фазовые системы. Фазовые звенья 155

Содержание

3.8.

Нахождение отклика фильтра с использованием БПФ 161

3.9.

Многоскоростная обработка сигналов 164

3.10.

Изменение частоты дискретизации сигналов при помощи

полифазных фильтров 170

3.11.

Эффекты квантования в цифровых системах 177

3.12.

Согласованный дискретный фильтр 187

3.13.

Линейная дискретная система как генератор случайных

сигналов. Полюсная модель сигналов 194

3.14.

Фильтр Калмана 199

Глава 4. Введение в методы синтеза цифровых фильтров 206

4.1.

Этапы разработки цифровых фильтров 206

4.2.

КИХ-фильтры с линейной фазой.

Синтез КИХ-фильтров методом частотной выборки 212

4.3.

Оконный метод синтеза КИХ-фильтров 221

4.4.

Синтез оптимальных КИХ-фильтров 232

4.5.

Специальные КИХ-фильтры: преобразователь Гильберта

и цифровой дифференциатор 241

4.6.

Основные характеристики аналоговых линейных систем

и их связь с характеристиками ЛДС 250

4.7.

Синтез БИХ-фильтров по аналоговым прототипам 256

4.8.

Синтез БИХ-фильтров методом инвариантности

импульсной характеристики 268

4.9.

Синтез БИХ-фильтров методом билинейного

Z-преобразования 273

4.10.

Выбор структуры для реализации фильтра 280

4.11.

Адаптивная фильтрация. Фильтр Винера 286

Глава 5. Основы прикладной теории информации 299

5.1.

Мера количества информации для дискретного источника

сообщений без памяти 299

5.2.

Основные теоремы о кодировании источника без памяти 305

5.3.

Эффективное кодирование дискретного источника без

памяти по методам Шэннона — Фано и Хаффмана 315

5.4.

Кодирование длин серий 321

5.5.

Арифметическое кодирование 324

5.6.

Условная энтропия 333

5.7.

Кодирование дискретного источника с памятью 337

5.8.

Статистическое моделирование источника 344

5.9.

Непрерывный источник сообщений.

Дифференциальная энтропия 345

5.10.

Передача дискретного сообщения по каналу с помехами 349

5.11.

Словарные методы кодирования 356

Глава 6. Применение дискретных ортогональных преобразований

для компрессии и спектрального анализа сигналов 363

6.1.

Корреляция как мера статистической зависимости

данных. Преобразование Карунена — Лоэва 363

6.2.

Эффективность использования дискретных

ортогональных преобразований для кодирования

коррелированных данных 369

6.3.

ДПФ в вещественной форме. Дискретное преобразование

Хартли 376

6.4.

Дискретное косинусное преобразование (ДКП) 378

6.5.

Компрессия изображений на основе двумерного ДКП 386

6.6.

Дискретное псевдокосинусное преобразование 392

6.7.

Оптимизация алгоритмов сжатия данных с потерями 401

6.8.

Аппроксимационный подход к выбору преобразований

для представления дискретных сигналов. Частотная

трактовка 408

6.9.

Время-частотный анализ. Оконное преобразование Фурье 412

6.10.

Использование ДПФ для спектрального анализа 419

Глава 7. Вейвлет-преобразования и их приложения

для обработки дискретных сигналов 429

7.1.

Кратно-масштабный анализ (КМА) 429

7.2.

Проектирование функций на подпространства КМА 435

7.3.

Вычисление дискретных вейвлет-преобразований (ДВП) 441

7.4.

Квадратурно-зеркальные фильтры (КЗФ) 445

7.5.

Свойства КЗФ 451

7.6.

Построение масштабирующих функций и вейвлетов

по масштабирующим уравнениям 458

7.7.

Вейвлеты Добеши 462

7.8.

Биортогональные вейвлет-преобразования 468

7.9.

Применение дискретных вейвлет-преобразований для

сжатия сигналов 472

7.10.

Подавление шумов фильтрацией в базисе дискретных

вейвлет-преобразований 476

7.11.

Двумерные дискретные вейвлет-преобразования 479

7.12.

Метод сжатия цифровых изображений JPEG 2000 487

7.13.

Вейвлет-пакеты 494

7.14.

Вычисление ДВП по схеме лифтинга 506

Заключение 524

Литература 525

Предисловие
В последние два десятилетия методы цифровой обработки сигна-
лов (ЦОС) в радиотехнике, электронике, системах связи, контроля
и управления стали преобладающими, активно вытесняя методы
аналоговой обработки. Этому способствовала стремительно уве-
личивавшаяся производительность вычислительной техники,
которая уже проникла практически во все области человеческой
деятельности. Сегодня, например, говоря о записи или обработке
аудио- и видеоинформации, мы не уточняем, что речь идет о циф-
ровых форматах, подразумевая это само собой разумеющимся.
Важность изучения методов ЦОС трудно переоценить: вопросы,
связанные с цифровой обработкой и представлением сигналов,
давно перестали быть узкоспециальными. Основы знаний в дан-
ной области требуются большинству инженеров, а для специали-
стов в области электроники, радиотехники и телекоммуникаций,
информатики и вычислительной техники необходимо более глубо-
кое понимание основных методов ЦОС и математической теории,
лежащей в их основе. Предлагаемое вниманию читателя учебное
пособие посвящено изучению данных вопросов.
Изначально ЦОС развивалась как ветвь, растущая из теории об-
работки аналоговых сигналов, и рассматривалась как раздел элек-
троники и радиотехники. Однако внедрение в системы обработки
сигналов цифровых программируемых процессоров и контролле-
ров, расширение спектра и увеличение сложности алгоритмов ЦОС,
реализация которых стала возможна в том числе в реальном мас-
штабе времени, превратили ЦОС в политехническую дисциплину.
Сегодня для математиков-программистов, специалистов в области
информатики и вычислительной техники эта область знаний пред-
ставляет собой постоянно расширяющееся поле для приложения
усилий. Данную тенденцию необходимо учитывать при подготовке
инженерных кадров. В предлагаемом вниманию читателя учебном
пособии рассматриваются основы теории ЦОС, изложение которой
по формату и содержанию ориентировано в первую очередь именно
на студентов, обучающихся по инженерным направлениям «При-
кладная математика» и «Информатика и вычислительная техника»
(бакалавриат и магистратура). Однако при написании пособия ав-
тор старался опираться лишь на курс высшей математики, общий
для всех инженерных направлений подготовки, поэтому оно может
быть рекомендовано также для студентов, обучающихся по профи-
лям подготовки в области радиотехники, связи и телекоммуника-
ций.
Первая глава носит вводный характер и содержит изложение тех
основных положений функционального анализа и теории преобра-
зования Фурье, которые потребуются далее в последующих главах.
Помимо этого, в первой главе вводятся популярные в ЦОС функ-
циональные системы Уолша и Хаара.
Вторая глава посвящена вопросам дискретизации непрерыв-
ных сигналов и преобразований, прежде всего преобразования
Фурье. Значительное внимание уделено частотным аспектам дис-
кретизации (как широкополосных, так и узкополосных сигналов)
и построению быстрых алгоритмов вычислений дискретных пре-
образований Фурье, Уолша, Хаара. Кроме того, рассматривается
скалярное и векторное квантование сигналов.
В третьей главе вводятся основные понятия теории линейных
дискретных систем (фильтров). Основное внимание уделено ана-
лизу систем. Рассматриваются вопросы передискретизации сигна-
лов и влияния эффектов квантования в цифровых системах. Также
изу чаются некоторые вопросы согласованной фильтрации и ска-
лярных фильтров Калмана.
В четвертой главе изложены основные классические методы
синтеза КИХ- и БИХ-фильтров по заданной частотной характе-
ристике. Завершает главу рассмотрение основ теории адаптивных
фильтров.
Пятая глава представляет собой введение в теорию информа-
ции, а также содержит описание ряда используемых на практике
методов эффективного статистического (энтропийного) кодирова-
ния.
Первые пять глав включают в себя рассмотрение общих тео-
ретических вопросов ЦОС. В сокращенном варианте этот мате-
риал может быть использован для базовой подготовки бакалавров
по различным инженерным направлениям обучения. В полном
объеме материал этих глав может составить основу учебного курса
для подготовки магистров, имеющих профиль обучения со специ-
ализацией в ЦОС, прежде всего, по направлениям «Информатика
и вычислительная техника» и «Прикладная математика».
Две последние главы (шестая и седьмая) представляют собой
более углубленное теоретическое рассмотрение таких специальных
разделов ЦОС, как эффективное представление и компрессия сиг-
налов, цифровой спектральный анализ. Седьмая глава целиком по-
священа применению дискретных вейвлет-преобразований в ЦОС
и может составить основу отдельного спецкурса.
В книге используется двойная нумерация для рисунков, фор-
мул, примеров и теорем: первая цифра обозначает главу, вторая —
порядковый номер формулы (примера, теоремы) в главе. При ну-
мерации (обозначении) аксиом и свойств используется значок °,
например 1°. Начало и окончание доказательств теорем, решений
примеров обозначается соответственно символами ◄ и ►. Упражне-
ния (задачи) для самостоятельного решения приводятся непосред-
ственно в тех местах, где их появление логически наиболее связано
с излагаемым материалом, а не в конце глав или разделов, как это
чаще всего практикуется в учебной литературе.
Основу данного пособия составляют учебные курсы, читаемые
автором на протяжении ряда лет в Национальном исследователь-
ском университете «Московский институт электронной техники»
(МИЭТ) для бакалавров и магистров, обучающихся по направле-
нию «Прикладная математика». Большое значение в работе над
пособием имело обсуждение его содержания с коллегами. Автор
выражает глубокую признательность доценту кафедры высшей
математики № 1 МИЭТ В. В. Лесину и рецензентам, внимательно
ознакомившимся с текстом рукописи и высказавшим ряд ценных
замечаний, которые были учтены при подготовке издания.
Ñïèñîê ñîêðàùåíèé è îáîçíà÷åíèé
АЦП — аналого-цифровое преобразование
АЧХ — амплитудно-частотная характеристика
БИХ — бесконечная импульсная характеристика
БПУ — быстрое преобразование Уолша
БПФ — быстрое преобразование Фурье
БПХ — быстрое преобразование Хаара
ВДПФ — вещественное дискретное преобразование Фурье
ВЧ — верхние частоты
ГВЗ — групповое время задержки
ДВП — дискретное вейвлет-преобразование
ДКП — дискретное косинусное преобразование
ДПГ — дискретный преобразователь Гильберта
ДПКП — дискретное псевдокосинусное преобразование
ДПЛ — дискретное преобразование Лапласа
ДПУ — дискретное преобразование Уолша
ДПФ — дискретное преобразование Фурье
ДПХ — дискретное преобразование Хаара
ИХ — импульсная характеристика
КИХ — конечная импульсная характеристика
КЗФ — квадратурно-зеркальные фильтры
КМА — кратно-масштабный анализ
КФ — ковариационная функция
ЛДС — линейная дискретная система
ЛДФ — линейный дискретный фильтр
ЛИВС — линейная инвариантная во времени система
ЛНП — линейное нормированное пространство
НОД — наибольший общий делитель
НЧ — нижние частоты
ОДКП — обратное ДКП
ОДПФ — обратное ДПФ
ОПФ — оконное преобразование Фурье
ПФ — передаточная функция
ЧХ — частотная характеристика
ФВЧ — фильтр верхних частот
ФНЧ — фильтр нижних частот
ФЧХ — фазочастотная характеристика
ЦД — цифровой дифференциатор
ЦОС — цифровая обработка сигналов
ЦФ — цифровой фильтр
ЭНП — элемент наилучшего приближения
 — множество комплексных чисел
 — множество натуральных чисел
 — множество действительных чисел
 — множество целых чисел
x  y — число x много больше числа y
[x] — целая часть числа x  0
round(x)  sign(x)| x |  0,5 — округление х до ближайшего целого
x mod p — остаток от деления целого числа x  0 на число p 
a  b  (a  b) mod 2 — сложение по модулю 2, где a {0, 1} и b {0, 1}
A  B — ортогональная сумма подпространств A и B
x — норма элемента x
x, y — скалярное произведение элементов x, y
A — замыкание множества A
z  Rez i Imz — комплексное сопряжение числа z 
Res ( ), f z z0
  — вычет функции f(z) в точке z0
{ f(t)} — преобразование Фурье функции f(t)
 1{F()} — обратное преобразование Фурье функции F()
 f (t ) — преобразование Лапласа функции f(t)
1G(p) — обратное преобразование Лапласа функции G(p)
Z{x(n)} — Z-преобразование последовательности x(n)
Z1{X(z)} — обратное Z-преобразование функции X(z)
M(X) — математическое ожидание случайной величины Х
D(X) — дисперсия случайной величины X
ÃËÀÂÀ 1
ÝËÅÌÅÍÒÛ
ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÜÍÎÃÎ
ÀÍÀËÈÇÀ
È ÑÏÅÊÒÐÀËÜÍÎÃÎ
ÏÐÅÄÑÒÀÂËÅÍÈß
ÔÓÍÊÖÈÉ
1.1. Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà
Функциональный анализ — раздел математики, который пред-
ставляет собой абстрактное обобщение линейной алгебры и ма-
тематического анализа. Рассмотрим некоторые понятия и методы
функционального анализа, которые наиболее важны для теории
обработки сигналов.
Определение. Множество Е элементов произвольной природы
называется линейным пространством, если в нем однозначно
определены операции сложения элементов x  y и умножения
элементов на скаляр  (вещественное или комплексное число)
x, результатом которых является элемент из того же множества
Е, причем выполняются следующие аксиомы.
1°. x, yE: x  y  y  x.
2°. x, y, zE: (x  y)  z  x  (y  z).
3°. E, xE: x    x (существование нулевого элемента ).
4°. xE, ,  (,  — скаляры): (x)  ()x.
5°. Умножение на скаляры   0 и   1: 0x  , 1x  x.
6°. xE, ,: (  )x  x  x .
7°. x, yE,  : (x  y)  x  y.
12 Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального
представления функций
Назовем противоположным элементом для xE такой элемент
yE, что x  y  . Из аксиом 5° и 6° следует, что y  (1)x (элемент x,
умноженный на число 1). Обозначим противоположный элемент
как x.
В курсе линейной алгебры изучались линейные пространства
n арифметических векторов размерности n. Приведенное выше
аксиоматическое определение обобщает понятие линейного про-
странства n на множества произвольной природы. По аналогии,
элементы любого линейного пространства также будем называть
векторами, а сами линейные пространства — векторными простран-
ствами. В том же обычном смысле будем понимать термины «базис
пространства», «линейная зависимость» (независимость) векторов
и «размерность пространства». Напомним, что число n называется
размерностью векторного пространства Е (обозначается n  dimE),
если в Е найдется n линейно независимых ненулевых элементов,
а любые (n  1) ненулевых элементов пространства Е являются ли-
нейно зависимыми. Линейное пространство может иметь беско-
нечную размерность.
Пример 1.1. Пусть C[a; b] — множество всех функций, непрерывных
на отрезке [a; b]. Является ли это множество линейным простран-
ством и если да, то какова его размерность?
◄ Выполнение аксиом 1°–7° очевидно, нулевым элементом явля-
ется функция f(x)  0, x[a; b]. Покажем, что C[a; b] — бесконеч-
номерное пространство. Выберем из множества C[a; b] n ненулевых
элементов — функций yi(x)  xi1, i  1, 2, …, n. При любом числе n
эти элементы являются линейно независимыми, так как равенство
нулю многочлена i i i 
n
i
i
i
n y x


    1
1
1
0 для всех точек отрезка
x[a, b] возможно лишь в случае i  0, i  1, …, n. Поскольку число n
можно выбрать сколь угодно большим, то dim(C[a; b])  . ►
Лемма 1.1. (Неравенство Минковского для интегралов.) Пусть для
p 1 существуют интегралы u x dx p
a
b
 ( ) , v x dx p
a
b
 ( ) (пределы инте-
грирования — не обязательно конечные). Тогда существует также
интеграл u x v x dx p
a
b
 ( ) ( ) , причем верна оценка:
u x v x dx u x dx v x dx p
a
b p
p
a
b p
p
a
b p
 ( ) ( )    ( )    ( ) 
1 1 1
. (1.1)
Опустим доказательство леммы, которое носит технический
характер (см., например, [17]).
1.1. Линейные нормированные пространства 13
Определение. Линейное пространство Е называется нормиро-
ванным, если каждому элементу xE поставлено в соответствие
вещественное число x , называемое нормой, для которой вы-
полняются следующие аксиомы.
1°. Невырожденность нормы. xE: x  0, x  0 x   .
2°. Однородность нормы.  , xE: x    x .
3°. Неравенство треугольника. x, yE: x  y  x  y .
В одном и том же векторном пространстве Е норму можно вво-
дить различными способами.
Пример 1.2. Рассмотрим векторное пространство C[a; b] из приме-
ра 1.1. Покажите самостоятельно, что приводимые ниже способы
вычисления нормы удовлетворяют аксиомам 1°–3°:
а) x xt
t ab


max ( )
[ , ]
, б) x xt dt p
a
b p
  ( ) 
1
, где p1.
Указание: в пункте б для доказательства аксиомы треугольника вос-
пользуйтесь неравенством Минковского (1.1).
Определение. Расстоянием между элементами x, y нормирован-
ного векторного пространства Е назовем число (x,y)  x  y .
На основании аксиом нормы легко показать, что введенное рас-
стояние между элементами обладает следующими свойствами.
1°. x, yE: (x, y)  (y, x).
2°. x, yE: (x, y)  0 x  y.
3°. x, y, zE: (x, y) (x, z)  (y, z) (неравенство треугольника).
◄ Первое и второе свойства очевидны. Для неравенства треуголь-
ника имеем:
(x,y)  x  y  (x  z)(z  y)  x  z  z  y  (x,z)  (y,z). ►
Расстояние между элементами называют метрикой простран-
ства. Пространство (не обязательно нормированное), каждой паре
x, y элементов которого поставлено в соответствие вещественное
число (x, y) (расстояние), обладающее свойствами 1°–3°, называет-
ся метрическим1.
1 Несмотря на то что метрическое пространство может и не быть нор-
мированным, мы будем рассматривать только нормированные метриче-
ские пространства с метрикой (x, y)  x  y .
14 Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального
представления функций
Определения. В метрическом пространстве E открытым
шаром радиуса r0 c центром x0E назовем множество
Sr (x0 )  x E (x,x0 )  r, замкнутым шаром — множество
S x x E x x r r( ) ( , ) 0 0      . Окрестностью точки x0E будем на-
зывать открытый шар произвольного радиуса , т. е. множест-
во S(x0).
Понятия нормы, расстояния, окрестности являются исходны-
ми для построения анализа в линейных нормированных простран-
ствах.
Определение. В линейном нормированном пространстве (ЛНП)
Е элемент yE называется пределом последовательности {xk}E,
если lim ( , )
k k y x

  0. При этом говорят, что последовательность
{xk} сходится к элементу y и используют обозначение lim
k kx y

 .
Определение. Элемент a из ЛНП E называется предельной точкой
множества ME, если в любой окрестности a содержится хотя
бы один элемент xM, x ≠ a. То есть r  S a a M  r 0 : ( ) \  .
Теорема 1.1. Для того чтобы элемент a из ЛНП E был предельной
точкой множества ME, необходимо и достаточно существование
последовательности {xk}M, xk ≠ a, сходящейся к a: lim
k k x a

 .
◄ Необходимость. Возьмем сходящуюся к нулю числовую после-
довательность из положительных элементов, например k  1/k,
k  1, 2, … Так как a — предельная точка M, то, по определению, k 0
x M k , x a k  : x S a k k   ( ). Поскольку (x ,a) x a  k k k k    1 и
lim
k k x a

 0, то построенная последовательность {xk} сходится
к точке a: lim
k k x a

 .
Достаточность. Так как {x } k , x M k  , x a k  , причем lim
k k x a

 ,
то, по определению предела, lim
k k x a

 0 и  0 N(): n N()
x a n  . То есть в любой -окрестности точки a содержатся эле-
менты xnM, xn ≠ a, поэтому точка a является предельной для мно-
жества M. ►
Определение. Пусть M — подмножество в ЛНП E, а M — мно-
жество всех предельных точек M. Объединение множеств
M M M называется замыканием множества M. Если M со-
держит все свои предельные точки, т. е. MM, то множество M
называется замкнутым.
1.1. Линейные нормированные пространства 15
Определение. Множество ME векторного пространства
Е называется линейным многообразием, если x, y M, ,:
(x  y) M.
Определение. Замкнутое линейное многообразие L в ЛНП E,
LE, назовем подпространством.
Определение. Расстоянием от точки x из ЛНП E до множества
LE называется величина (x,L) inf x u
u L
 

.
Для ограниченного снизу числового множества всегда найдется
точная нижняя грань. Поскольку норма неотрицательна, то рассто-
яние от точки до подмножества (подпространства) всегда существу-
ет. Расстояние (x, L) характеризует наилучшее приближение (т. е.
аппроксимацию) элемента xE элементами подмножества LE.
Определение. Элемент yL, где L — подпространство из ЛНП E,
называется элементом наилучшего приближения (ЭНП) для за-
данного элемента xE, если (x,L)  x  y .
Элемент наилучшего приближения существует не всегда, а так-
же может быть не единственным.
Пример 1.3. Рассмотрим пространство 2, т. е. множество упорядо-
ченных пар вещественных чисел x  (1,2), где 1, 2. Введем
норму следующим образом: x     1 2 (убедитесь самостоятель-
но, что аксиомы нормы выполняются). Рассмотрим подмножество
L2, L  {(1,2)|1  2}  {(,)|}. Тогда:
1) L — подпространство в E;
2) для элемента x  (1, 1) имеем (x, L)  2, причем ЭНП —
не единственный.
◄ 1. Множество L является линейным многообразием (убедитесь
самостоятельно). Покажем, что L — замкнуто. Допустим против-
ное: пусть существует элемент yL, т. е. y  (1, 2), 1 ≠ 2, который
является предельной точкой множества L. Тогда для любой точки
u  (, ) из множества L расстояние
(y,u)          (  )(   )      r(y)  1 2 1 2 1 2 0,
т. е. ограничено снизу положительной величиной r  r(y). Следова-
тельно, в окрестности Sr(y) нет ни одного элемента из множества
L, и произвольно выбранная точка yL не является предельной
16 Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального
представления функций
для L. Поэтому все предельные точки множества L могут содер-
жаться только в самом этом множестве и L является замкнутым
линейным многообразием (подпространством) в 2.
2. Рассмотрим функцию f t t t
t t
t
t t
( )
,
,
,
    
 
  


 
 
1 1
2 1
2 1 1
2 1
.
Очевидно, inf ( ) min ( )
t t
f t f t
 
 
 
2 . Для расстояния от точки x  (1, 1)
до подпространства L имеем:
 (x,L)  inf inf inf ( )
u L
u x f
  
       
 
  
 
1 1  2.
При этом элементами наилучшего приближения для x являются
все точки отрезка L*  (,) 1   1, L* L. ►
Определение. Пусть X — ЛНП. Последовательность {xn}X на-
зывается фундаментальной, если  0 N  N(): nN, p
x x n p n  . ( — множество натуральных чисел.)
Напомним, что для случая X   (множество действительных
чисел) в курсе математического анализа был доказан критерий
Коши: числовая последовательность {xn} сходится тогда и только
тогда, когда она фундаментальна. Справедлив ли критерий Коши
в произвольном ЛНП?
Лемма 1.2. Всякая сходящаяся в ЛНП X последовательность {xn} —
фундаментальна.
◄ Так как последовательность {xn} сходится, то   

lim
n n x x X, и  0
N  N(), nN: x x n   2. Тогда также p: x x n p   2,
поэтому x x x x x x x x x x n p n n p n n p n           , где чис-
ло  0 может быть выбрано сколь угодно малым. Следовательно,
последовательность {xn}X является фундаментальной. ►
Упражнение. Покажите самостоятельно, что если последователь-
ность {xn} — фундаментальна, то последовательность {xn} также
является фундаментальной.
Возникает вопрос: а всякая ли фундаментальная последо-
вательность {xn}X сходится в произвольном ЛНП X? Для каж-
дой ли фундаментальной последовательности существует предел
lim
n nx x

 X?
1.1. Линейные нормированные пространства 17
Определение. ЛНП называется полным, если в нем сходится лю-
бая фундаментальная последовательность. Полное ЛНП назы-
вается банаховым (или пространством Банаха).
Пример 1.4. Простейший пример пространства Банаха — множе-
ство вещественных чисел  с нормой x | x |.
Пример 1.5. Пространство L T 2 [0; ] непрерывных на отрезке t [0; T]
функций с нормой x xt dt
T   ( )2
0
не является банаховым.
◄ Покажем, что это пространство неполно. Выберем на отрезке
t [0; T] кусочно-гладкую функцию f(t), имеющую разрыв первого
рода. Если составить для этой функции тригонометрический ряд
Фурье, то, как известно, частичные суммы ряда
s t
a
a
kt
T
b
kt
T n k k
k
n
( ) cos sin    
 
 
 
0
2 1
2 2
(непрерывные функции) будут сходиться в среднеквадратичном
смысле к функции f(t):
lim ( ) ( ) lim
n n
T
n n f t s t dt f s
 
     2
0
0 ,
где L [ ;T ] n  2 0 , а f L T 2 [0; ]. Это означает, что последователь-
ность {sn} — фундаментальна в L T 2 [0; ] (доказательство данного
утверждения проводится аналогично схеме доказательства леммы
1.2). Однако в силу единственности предела последовательность {sn}
не может сходиться к элементу пространства L T 2 [0; ], так как вы-
бранная нами функция f(t) — разрывная. Отсюда следует, что про-
странство L T 2 [0; ] не является полным. ►
Определения. Пусть X — ЛНП (не обязательно банахово),
а {xn} — некоторая последовательность, {xn}X. Формально
составленная сумма xk  k
  1 называется рядом в X, а элемент
s x n k k
n    1 — n-й частичной суммой ряда. (Заметим, что n: snX,
см. определение ЛНП). Ряд называется сходящимся по норме
ЛНП X, если в X сходится последовательность элементов {sn},
т. е.   

lim
n ns s X. Элемент s называется суммой ряда, а запись
s xk k  
  1 означает, что ряд сходится по норме X и его сумма
равна s.
18 Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального
представления функций
1.2. Ïðîñòðàíñòâà ñî ñêàëÿðíûì
ïðîèçâåäåíèåì
Определение. Линейное пространство E называется евклидо-
вым, если каждой паре его элементов x, yE поставлено в соот-
ветствие вещественное число x, y, называемое скалярным про-
изведением, причем выполняются следующие аксиомы.
1°. xE: x, x0, причем x, x 0x  .
2°. x, yE: x, y y, x.
3°. x, yE, : x, y x, y.
4°. x, y, zE: x  y, z x, z  y, z.
Заметим, что в данном определении ничего не говорится о нор-
мированности пространства E. Однако евклидово пространство
можно превратить в нормированное, если ввести норму следую-
щим образом:
x  x,x . (1.2)
Аксиомы нормы 1° и 2° при этом выполняются очевидным образом.
Для доказательства выполнения аксиомы 3° (неравенства треуголь-
ника) предварительно рассмотрим следующую лемму.
Лемма 1.3. Норма, введенная в соответствии с определением (1.2),
удовлетворяет неравенству Коши — Буняковского (или Шварца):
x,y  x  y .
◄ Заметим, что : x  y,x  y  x  y  2 0. Поэтому
0 2 2 2 2 2 2  x  y,x  y  x,x   x,y   y,y  x   x,y   y .
Тогда дискриминант полученного квадратного трехчлена пе-
ременной : 4 4 0 x,y 2  || x ||2 || y ||2 , что и доказывает неравенство
Коши — Буняковского. ►
Докажем теперь выполнение аксиомы треугольника. Так как
x  y  x  y x  y  x  x y  y  x  x y  y 2 2 2 2 2 , 2 , 2 , ,
то, применяя к последнему выражению лемму 1.3, получаем:
x  y  x  x  y  y   x  y  2 2 2 2 2 , или x  y  x  y .
Определения. Пусть E — линейное пространство с введен-
ным скалярным произведением. Ортогональными элементами
1.2. Пространства со скалярным произведением 19
пространства E называются такие элементы x, yE, что x, y  0.
Ортогональность элементов будем обозначать xy. (Очевидно,
нулевой элемент ортогонален всем элементам пространства.)
Ортогональной системой в E назовем множество попарно орто-
гональных элементов {xn}E.
Теорема 1.2. Если xk k
m   1 — ортогональная система ненулевых
элементов в евклидовом пространстве E, xk k
m   1E, то элементы
xk k
m   1 — линейно независимы.
◄ Допустим противное. Пусть элементы xk k
m   1 — линейно зависимы,
т. е. существует такой набор чисел k k
m   1 (не все из них равны нулю),
что   k k k
m x
   1 . В силу ортогональности системы xk k
k m   

1 имеем
j  1, …, m: 0
1 1
0
     

x x  x  x x x x j j k k k
m
k k j k
m
j j j , ,   ,  ,

.
Поэтому все коэффициенты k k
m   1 должны быть нулевыми, а это
противоречит допущению о линейной зависимости элементов
xk k
m   1. ►
Следствие. В n-мерном евклидовом пространстве ортогональная
система из n ненулевых элементов образует базис.
В дальнейшем нам понадобятся два свойства скалярного произ-
ведения, которые устанавливаются в следующих леммах.
Лемма 1.4. (Свойство непрерывности скалярного произведения.)
Пусть в евклидовом пространстве E заданы две сходящиеся последо-
вательности: {xn}E, lim
n nx x

 E, {yn}E, lim
n ny y

 E. Тогда число-
вая последовательность x y n n , также сходится и lim , ,
n n n x y x y

 .
◄ С учетом леммы 1.3 имеем:
x y x y x x y x y y n n n n n ,  ,   ,  ,  
 x  x y  x y  y  x  x  y  x  y  y n n n n n n , , .
Выражение в правой части последнего неравенства стремится
к нулю при n. Действительно, сходящаяся числовая последова-
тельность yn   ограничена, кроме того, lim lim
n n n n x x y y
 
   0 .
Следовательно, lim , ,
n n n x y x y

 . ►
Лемма 1.5. (Равенство параллелограмма.) Для любых элементов x, y
евклидова пространства E и нормы (1.2) верно:
20 Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального
представления функций
x  y  x  y  x  y 2 2 2 2 2 2 .
◄ x  y  x  y  x  y x  y  x  y x  y   x  y 2 2 2 2 , ,  2 2 .
Проделайте опущенные выкладки самостоятельно. ►
Определение. Пространством Гильберта (обычно обознача-
ется H) называется евклидово пространство, которое полно
в норме (1.2).
Пример 1.6. Пространство En арифметических векторов со скаляр-
ным произведением, определенным для векторов x  x x  1 n ,, ,
y  y y  1 n ,, как x, y    x y k k k
n
1 , — полное, т. е. гильбертово.
Пример 1.7. Гильбертово пространство L2[a, b].
◄ Для функций x(t) и y(t), заданных на отрезке t [a; b], определим
скалярное произведение как
x y x t y t dt
a
b
,   ( ) ( )
(убедитесь, что аксиомы скалярного произведения выполняются).
В примере 1.5 было рассмотрено пространство L T 2 [0; ] непре-
рывных на отрезке t [0; T] функций с нормой x xt dt
T   ( )2
0
и было показано, что L T 2 [0; ] не является полным. Можно также
показать, что не является полным и пространство
ˆ
L [ ;T ] 2 0 кусочно-
непрерывных на отрезке t [0; T] функций с нормой, определяемой
тем же выражением.
Во многих теоретических вопросах рассматривают обобщение
пространств L a b 2[ ; ] и
ˆ
L [a; b] 2 — пространство L2[a, b] функций, для ко-
торых норма элемента определяется как x xt dt
a
b   ( )2 , но интеграл
понимается в смысле Лебега. Определенный интеграл Лебега пред-
ставляет собой обобщение «традиционного» интеграла Римана и при-
меним к более широкому классу функций. Теория интеграла Лебега
выходит за рамки нашего рассмотрения (подробнее см., напр., [45]),
отметим лишь, что пространство L2[a; b] является полным, а значит,
гильбертовым. Кроме того, любой элемент x L2[a; b] можно с какой
угодно точностью 0 приблизить по норме этого пространства эле-
ментом ˆ ˆ
x L [a; b] 2 , т. е. кусочно-непрерывной функцией: ˆ
x  x   .
В тех случаях, когда полнота является неотъемлемо важ-
ным свойством, необходимо рассматривать пространство L2[a, b].
1.2. Пространства со скалярным произведением 21
На практике для описания сигналов обычно ограничиваются
множеством кусочно-непрерывных функций
ˆ
L [a; b] L [a; b] 2 2  . Тог-
да при определении скалярного произведения x y x t y t dt
a
b
,   ( ) ( )
и индуцируемой им нормы (1.2) определенный интеграл можно по-
нимать в смысле Римана. ►
Сформулируем задачу аппроксимации, которую будем рассма-
тривать далее. Пусть H — гильбертово пространство, а L — под-
пространство в H, LH. Для заданного элемента xH необходимо
найти элемент наилучшего приближения (ЭНП) yL, для которого
(x, y)  (x, L), т. е.
x y x u
u L
  

inf . (1.3)
Теорема 1.3. В гильбертовом пространстве существует, и притом
единственный, ЭНП yL, который является решением задачи ап-
проксимации (1.3).
◄ Докажем сначала существование ЭНП. Обозначим
d x u
u L
 

inf . Из определения точной нижней грани следует, что
0 uL: d  x  u  d    . Тогда, взяв числовую последователь-
ность k  1/k, k  1, 2, …, сможем построить последовательность эле-
ментов {uk}L такую, что
d x u d
k k     1
.
Покажем, что {uk} — фундаментальная последовательность.
С использованием равенства параллелограмма (лемма 1.5) имеем
2 2 4
2
4 2 2 2
2
x u x u u u x 2 2
u u
u u d n m m n
m n
m n       

   ,
поскольку элемент v
u u
 m n L


2
и (x,) x v inf x u d
u L
    

.
Поэтому u u x u x u d m n n m       2 2 2 2 2 4 2, и тогда
u u d
n
d
m
d d
N
d m n    
 

    
 
 
   
 
 
  2
2 2
2
2
2 2
1
2
1
4 4
1
4
  
8 4 8  4
2
d
N N
d
N
, где N  min(n, m).
Таким образом, величину u u m n  можно сделать сколь угод-
но малой за счет выбора достаточно большого числа N, т. е. после-
довательность {uk} — фундаментальная, и вследствие полноты H
22 Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального
представления функций
  

lim
k k u y H. Поскольку сходящаяся последовательность {uk}L
и L — подпространство (т. е. замкнутое множество), то верно также:
yL. Поэтому (x, y)  d и существование ЭНП доказано.
Покажем, что ЭНП y — единственный. Для этого допустим про-
тивное. Пусть наряду с y существует также другой ЭНП y L , т. е.
(x,L)  x  y  x  y  d, причем y  y . На основании равенства
параллелограмма (лемма 1.5) получаем:
4 2 2 4
2
2 2 2 2 4
2
d x y x y y y x 2 2
y y
y y d        
        ,
откуда y  y  2 0 и y  y , т. е. ЭНП — единственный. ►
Теорема 1.4. Пусть L — подпространство в гильбертовом простран-
стве H, yL — ЭНП для заданного элемента xH. Тогда любой
элемент uL ортогонален элементу v  x  y: vu, что обозначают
также vL.
◄ Допустим противное, т. е.  uL: x – y,u    0 . Тогда u ≠ 
и (см. аксиому 1° скалярного произведения) u,u  0. Рассмотрим
элемент y y
u u
  u

,
, который также лежит в подпространстве L:
y L , так как yL, uL. Имеем:
x y x y
u u
u x y
u u
       u  2 ( )
,
, ( )
,
 
 x  y x  y  x  y  
u u
u
u u
u
u u
, , u
, ,
,
,
2
  
 x  y      
u u
x yu
u u
u u x y
u u
2
2
2
2
2  2

,
,
,
,
 , .
Поскольку
2
u,u
0, то x  y  x  y 2 2 и элемент y не является
ЭНП. Получили противоречие, поэтому uL:  x  y, u  0. ►
Следствие из теорем 1.3, 1.4. Пусть L — подпространство в H. Тогда
xH существует единственное разложение x  y  z, где yL, а zL.
◄ Пусть x  y  z, ЭНП yL, zL. Пусть существует также другое
представление: x  a  b, где aL, bL. Тогда y  a  z  b  , и
y  a  z  b,y  a  0  y  a,y  a  z,y  a  b,y  a  y  a 2 ,
так как (y  a)L. Поэтому y  a и b  x  y  z. ►
1.2. Пространства со скалярным произведением 23
ЭНП yL называют также проекцией элемента xH на подпро-
странство L. Для случая H  E3, L  E2 результат теоремы 1.4 хорошо
известен и имеет несложную геометрическую интерпретацию
(рис. 1.1).
Теорема 1.4 определяет способ нахожде-
ния ЭНП для элемента xH в случае конеч-
ной размерности подпространства L с за-
данным (не обязательно ортогональным)
базисом g g gn
1 2  , ,, , y g j j j
n     1 . Поиск
коэффициентов разложения { } j j
n
1 осу-
ществляется следующим образом. Так как
k: gkL,  x  y, gk 0, то
x g g x g g g j j j
n
k k j j j k
n           1 1
, , , 0
или
 j
j
n
j k k g g x g k n
 
 
1
, , , 1,, . (1.4)
Определитель системы линейных уравнений (1.4) есть опреде-
литель матрицы Грама G   
g g j k k j
n
,
, 1
, причем detG ≠ 0 в силу ли-
нейной независимости элементов g g gn
1 2  , ,, . (Напомним, что
detG  0 тогда и только тогда, когда элементы g g gn
1 2  , ,,  линей-
но зависимы.) Следовательно, система уравнений (1.4) имеет един-
ственное решение — набор коэффициентов { } j j
n
1 , который задает
ЭНП y gj j j
n     1 .
Если же элементы базиса подпространства g g gn
1 2  , ,, L
не только линейно независимы, но и ортогональны, то поиск коэф-
фициентов { } j j
n
1 упрощается (убедитесь самостоятельно):
 j
j
j j
x g
g g

,
,
. (1.5)
Определение. Пусть L — подпространство в H. Совокупность
всех элементов из H, ортогональных к L, L  {x H | x  L} , на-
зывается ортогональным дополнением подпространства L.
Теорема 1.5. Пусть L — подпространство в гильбертовом простран-
стве H. Тогда L также является подпространством в H.
◄ Нужно доказать, что L — замкнутое линейное многообразие.
e2
e3
e1
x
y
v = x – y
Рис. 1.1
24 Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального
представления функций
Линейность. uL, x, yL, ,  — скаляров:
 u, x  y u, x  u, y  0.
То есть для любой линейной комбинации z  x  y элементов из L
имеем: zL, следовательно, zL и L — линейное многообразие.
Замкнутость. Пусть z — произвольная предельная точка множества
L. Тогда по теореме 1.1 найдется последовательность {zn}L, zn ≠ z:
lim
n nz z

 . Имеем uL: u,zn 0, но в силу непрерывности скалярно-
го произведения (лемма 1.4) lim
n
 zn,u  z,u 0. Следовательно, zL
и множество L содержит все свои предельные точки, т. е. замкнуто. ►
Определение. Будем говорить, что гильбертово пространство H
разлагается в ортогональную сумму подпространств L1,L2,…,Ln,
и записывать это как H  L1L2…Ln, если:
1) все подпространства L1,L2,…,Lnпопарно ортогональны, т. е.
uLi, vLj:  u,v 0 при i ≠ j.
2) xH существует разложение x x i i
n    1 , где xiLi.
Заметим, что если L — подпространство в гильбертовом про-
странстве H, то H  LL, что вытекает непосредственно из опреде-
ления L, теорем 1.3–1.5 и их следствий.
Теорема 1.6. Пусть в гильбертовом пространстве H задано конечно-
мерное подпространство L с ортогональным базисом g g gn
1 2  , ,, ,
а y gj j j
n     1 — ЭНП для заданного элемента xH. Тогда для ошиб-
ки приближения — вектора x–y справедливы равенства:
x y x y x g j j
j
n
    
 
2 2 2 2 2 2
1
 .
◄ Поскольку x  y,y  0 (см. теорему 1.4), то
x,y  y,y  y 2, x  y  x  y x  y  x x  x y  y y  x  y 2 22 , , 2 , , ,
причем y g g g g g j j
j
n
m m
m
n
j
j
n
m j m
m
n
j j
j
n
2
1 1 1 1
2 2
1
  
    
 ,   ,  . ►
Пусть теперь в H задана бесконечная последовательность нену-
левых ортогональных векторов { } . k k H 
  1 Это означает, что H —
бесконечномерное пространство, так как ортогональные элементы
линейно независимы. Рассматривая первые элементы { } k k
n
1 как
базис, получаем некоторое линейное многообразие Ln, «натянутое»
на { } k k
n
1. Можно показать, что Ln — замкнуто, т. е. является подпро-
странством. Так как Ln — конечномерно, то с учетом теоремы 1.6 для
1.2. Пространства со скалярным произведением 25
заданного элемента x H и его ЭНП yn j j j
n      1 , ynLn, имеем:
x y x y x n n j j
j
n
    
 
2 2 2 2 2 2
1
  . (1.6)
Числовая последовательность s y n n j j j
n     2 2 2
1  ограничена
сверху, так как n s x x y x n n     2 2 2 , и является неубывающей
(sn1sn). Поэтому {sn} — сходится. Сходимость последовательности
частичных сумм {sn} означает сходимость ряда s j j j  
  2  2
1 , при-
чем (см. (1.6))
  j j
j
2 x 2
1
2


 . (1.7)
Соотношение (1.7) называется неравенством Бесселя.
Определения. Ортогональная система { } k k H 
  1 называется
полной в гильбертовом пространстве H, если xH существует
разложение:
x k k
k



 
1
, (1.8)
т. е. lim
n k k k
n x
      1
0 . Ряд (1.8) называется рядом Фурье
(по ортогональной системе {k}), а числа {k} — коэффициентами
Фурье.
Теорема 1.7. Пусть {g } H k k
  1 — полная ортогональная система
в гильбертовом пространстве H. Тогда xH для коэффициентов
Фурье { } k k

1 верна формула (1.5).
◄ Обозначим частичную сумму x g n k k k
n     1 . В силу непрерыв-
ности скалярного произведения и ортогональности системы {g } k k

1
имеем:
x g x g g g j n n j n k k k
n
j ,  lim ,  lim , 
     1
  
  
 lim ,  , ,
n k k k j
n
k k k j j j j  g g  g g  g g 1 1 ,
откуда следует формула (1.5). ►
Теорема 1.8. Ортогональная система { } k k H 
  1 является полной
в гильбертовом пространстве H тогда и только тогда, когда xH
неравенство (1.7) выполняется как равенство:
x j j
j
2 2 2
1



  ,
которое называется равенством Парсеваля — Стеклова.
26 Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального
представления функций
◄ Действительно, понятие полной системы { } k k H 
  1 означает,
что
 xH: x k k k  
    1 и x k k k   
    1
2
0,
что эквивалентно равенству x j j j
2 2 2
1
  0 
    , которое получа-
ется предельным переходом n в соотношении (1.6). ►
Важнейшим примером гильбертова пространства являет-
ся пространство функций L2[a,b] (см. пример 1.7). При этом под
L2()  L2(; ) будем понимать пространство всех функций, ин-
тегрируемых с квадратом на всей числовой оси.
1.3. Ïðèìåðû îðòîãîíàëüíûõ ñèñòåì
â ïðîñòðàíñòâå L2
Элементами в векторном пространстве L2 являются функции. При-
ведем ряд примеров ортогональных функциональных базисов {k},
которые нашли широкое применение для обработки сигналов.
Пример 1.8. Тригонометрическая система функций
1
2 2
1
, cos , sin
kt 
T
kt
T k




является полной в пространстве L2[a, a  T]
на любом отрезке t[a; a  T] длины T.
Пример 1.9. Система ортогональных многочленов Лежандра
P t n n  ( ) 

0 , P t
n
d
dt
t n n
n
n
( ) n
!
 (  )  1
2
2 1 , является полной в пространстве
L2[1, 1].
При цифровой обработке сигналов использование алгебраи-
ческих многочленов для представления сигналов часто бывает
более предпочтительным по сравнению с тригонометрическими
функциями, так как реализация вычислений последних обычно
более сложна. В этой связи еще более интересны базисы кусочно-
постоянных функций.
Пример 1.10. Систему функций Радемахера r x k k  ( ) 

0 определим
следующим образом. Для x[0, 1) положим
1.3. Примеры ортогональных систем в пространстве L 27 2
r x
x
x 0
1 01 2
1 12 1
( )
;
;

 
  
 

при
при
и периодически продолжим r0(x) на всю числовую ось с периодом
T  1. Остальные функции системы определим так: rk(x)  r0(2kx),
k  1, 2, … (см. рис. 1.2).
0 0,5 1
r0(x)
1
–1
x 0 0,5 1
r1(x)
1
–1
x
0 0,5 1
r2(x)
1
-1
x
Рис. 1.2. Графики трех первых
функций r0(x), r1(x), r2(x) системы
Радемахера
Для дальнейшего изложения удобно использовать следующее
обозначение: m
n
n n
m m 
 
 
 
2
1
2
, , где n, m. Тогда из определения
функций Радемахера и приведенных иллюстраций видны следую-
щие свойства данной системы.
1°. Кусочное постоянство. x   r x    m
k
k
 1: ( ) const ( 1)m .
На более мелких подынтервалах, естественно, функции также
постоянны:
k  j  k  x  r x  m
j
k 0, 1,  : ( ) const . (1.9)
2°. Интеграл по периоду функции rk(x) равен нулю. Поэтому m
r x dx k
m k
( )
   0 (как интеграл по одному периоду T m
 k  2k ) и
m  j  k  r x dx  k
m j
, 0,, : ( ) 0

, (1.10)
как интеграл по N периодам, N m
j
m
  k  2 j 2k  2k  j .
28 Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального
представления функций
3°. Система функций rk (x)k 

0 — ортонормирована на отрезке
x[0, 1].
◄ Очевидно, k r r   r x  dx  k k k : , ( )2
0
1
1, т. е. функции нормиро-
ваны. Покажем, что m  k r r   r x r x dx  k m k m : , ( ) ( )
0
1
0. Пусть для
определенности km, тогда:
r r r x r x dx r x r x dx k m k m k m
c m k j
см
j
j k
, ( ) ( ) ( ) ( )
( , , )
.( . )
       0
0
1 9
 0
2 1
1
0
0
k 2
j k
c m k j r x dx k
j




  ( , , )  ( )
,

 
см. (1.10)
k 
1
0. ►
Таким образом, система функций r x k k  ( ) 

0 является ортонор-
мированной, но она не является базисом в пространстве L2[0, 1], по-
скольку не является полной.
Упражнение. Покажите самостоятельно по схеме, аналогичной до-
казательству свойства 3°, что ненулевой элемент f(x)  r0(x)r1(x),
f (x) 1, f(x)L2[0, 1], является ортогональным любой из функций
Радемахера, т. е. k: f rk ,  0 . Следовательно, система r x k k  ( ) 

0 —
неполная и не является базисом в L2[0, 1].
Пример 1.11. Систему функций Уолша w x n n  ( ) 

0 определим следу-
ющим образом. Представим целое число n0 в виде двоичного раз-
ложения: n nk
k
k
l n    2
0
( ) , nk{0,1}. Тогда функции системы Уолша вы-
ражаются при помощи функций Радемахера следующим образом:
w x r x r x n k
n
k
l
k
k n
k
k
( ) ( ) ( )
:
   
 
 
0 1
, (1.11)
где конечное число l  l(n) определяется номером n функции Уол-
ша, n 2l1  1. Таким образом, функция Уолша wn(x) определяется
как произведение функций Радемахера с номерами, которые соот-
ветствуют единичным коэффи-
циентам в двоичном разложении
числа n. При этом если все ко-
эффициенты {nk} двоичного раз-
ложения равны нулю, то считаем
последнее произведение в (1.11)
равным единице, т. е. w0(x)  1.
Поясним определение системы
n n2 n1 n0 wn(x)
0 0 0 0 w0(x)  1
1 0 0 1 w1(x)  r0(x)
2 0 1 0 w2(x)  r1(x)
3 0 1 1 w3(x)  r0(x)r1(x)
4 1 0 0 w4(x)  r2(x)
1.3. Примеры ортогональных систем в пространстве L 29 2
w x n n  ( ) 

0 построением ее первых
функций, см. таблицу. График
функции w3(x)  r0(x)r1(x) приведен
на рис. 1.3.
Замечание. Очевидно, что функ-
ции системы Уолша имеют период
T  1.
Упражнение. Постройте самостоятельно по определению (1.11) гра-
фики функций w3(x), …, w7(x).
Теорема 1.9. Система функций Уолша (1.11) — ортонормирована на
интервале x[0, 1).
◄ Очевидно, что n:  wn, wn  1. Пусть теперь k ≠ n:
w w r x r x dx r x r x k n j
j k
j
j n
j
j k n
j
j j j j
, () ( ) ( ) (
: : :
= =
   
    
0 1 1
1
2
1
) ()
j:n k :
j
j j j nj kj
dx r x dx
 
   
0
1
0
1
= .
Поскольку n ≠ k и поэтому не все коэффициенты nj, kj одинаковы, то
в полученном подынтегральном произведении имеется по крайней
мере один сомножитель. Положим j j
nj k j


max и продолжим преоб-
разования.
w w r x r x dx r x r x k n j j
j n k
j j
j j
j n k
j j
j j j j
, ( ) ( ) ( ) ( )
: :
 




   



0
1
константа
c k n m см. (1.9)
m
m j
j
dx
( , , ), 



 



0
2 1
c k n m r x dx j
m
m j
j
( , , ) ( )
,




  
1
0
0
2 1
 0





см.(1.10)
. ►
Теорема 1.10. Система Уолша (1.11) является полной в пространстве
L2[0, 1]. (Примем утверждение теоремы без доказательства.)
Так как функции системы Уолша принимают лишь два значе-
ния ±1, они очень удобны для программных вычислений и для ап-
паратной реализации в цифровой аппаратуре.
Пример 1.12. Систему функций Хаара h x n n  ( ) 

0 определим на полу-
интервале x[0, 1) следующим образом. Положим h0(x)  1. Для n0
номер базисной функции hn(x) представим в виде: n  2k  m,
0 0,5 1
w3(x)
1
–1
x
Рис. 1.3. Функция Уолша w3(x)
30 Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального
представления функций
где целые числа k0, 0m2k  1 однозначно определяются по но-
меру n0. Тогда
h x
x
x
x
n
k
m
k
k
m
k
m
k
m
k
( )

 
 




2
2
0
2
2
1
2
2 1
1
2
1
при
при
при


   2 1
1
m
k



 
 
. (1.12)
Приведем графики первых функций системы h x n n  ( ) 

0 , см.
рис. 1.4.
0 0,5 1
h1(x)
1
x
n = 1
k = 0
m = 0
0 0,5 1
h2(x)
x
2
n = 2
k = 1
m = 0
0 0,5 1
h3(x)
2
x
n = 3
k = 1
m = 1
0 0,25 1
h4(x)
2
x
n = 4
k = 2
m = 0
0 0,25 1
h5(x)
2
0,5 x
n = 5
k = 2
m = 1
Рис. 1.4. Графики функций
h1(x), …, h5(x) системы Хаара
1.3. Примеры ортогональных систем в пространстве L 31 2
Рассмотренным ранее свойствам системы Радемахера во мно-
гом аналогичны следующие очевидные свойства системы Хаара
(n0, n  2k  m, k0, 0m2k  1).
1°. j  k  l  j  x 
l
1, {0,1,, 2 1},  j:
h x n
( )  const 0,  2k 2, 2k 2.
2°. j  k l  j   h x dx 
n
l
j {0,, }, {0,1,, 2 1} : ( ) 0 
.
Теорема 1.11. Система функций Хаара (1.12) — ортонормирована
на интервале x [0; 1).
◄ В соответствии с определением (1.12)
h x h x dx n n
k k
m k
( ), ( )   2 /22 /2 1

, где n  2k  m.
Рассмотрим теперь скалярное произведение h x h x n( ), ( )  , где
n  2k  m,   2  , причем n ≠ . Возможны два случая.
Случай 1. Пусть k ≠ , для определенности положим k  1. Тогда
h x h x h x h x dx n n
c kl
x
l
l
k
l
k
k
( ), ( ) ( ) ( )
( , , ) const
 

 

 


 


 0
2 1
c kl h xdx n
l
l
k
k
(, , ) ( )

 



0
0
2 1
0

,
как следует из приведенных выше свойств системы Хаара.
Случай 2. Пусть   k, но m ≠ . Так как (см. (1.12)) hn(x)  0 при
x m
k , h(x)  0 при x k , то x [0; 1) hn(x)h(x)  0, поскольку для
m ≠  имеем:   m
k k    . Поэтому вновь h x h x n( ), ( )   0. Таким об-
разом, система Хаара является ортонормированной. ►
Теорема 1.12. Система Хаара (1.12) является полной в пространстве
L2[0, 1]. (Примем утверждение теоремы без доказательства.)
Упражнение. Разложите функцию
f x
x
x
x
( )
, [ )
, [
, [ )




 

1 1
2
0
/4;1/2
1/2; 3/4)
1/4; 3/4
в ряд Фурье по системам Хаара и Уолша. Проверьте выполнение ра-
венства Парсеваля.
32 Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального
представления функций
1.4. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû Ôóðüå.
ßâëåíèå Ãèááñà
Напомним следующую теорему.
Теорема 1.13. Если функция f(t) имеет период T и является кусочно-
гладкой, то ее ряд Фурье1 сходится к функции f(t) в каждой точке ее
непрерывности и к значению
1
2
 f (t  0) f (t  0) в точках разрыва,
т. е.
f t f t a
a
kt
T
b
kt
T k k
k
( ) ( )
cos sin
  
   
 
 


0 0
2 2
2 2 0
1
 
, (1.13)
где коэффициенты Фурье находятся по формулам:
a
T
f t
k
T
t dt k
b
T
f t
k
T
t
k
T
T
k
 
 
 

 

 2 2
0 1
2 2
2
2
( )cos , , ,
( )sin
/ 


 
 


 dt k
T
T
, ,,
/
1 2
2
2

(1.14)
Упражнение. Убедитесь, что формулы (1.14) являются частным слу-
чаем (1.5) для fL2[T/2; T/2], см. также пример 1.8.
Теорема 1.13 определяет условия поточечной сходимости ряда
Фурье, т. е. те условия, при выполнении которых периодическая
функция f(t) может быть точно представлена рядом (1.13) в каждой
точке числовой оси t. Так как система ортогональных функций
1 2 2 1 , cos( kt T ), sin( kt T ) k  
 является полной в гильбертовом про-
странстве L2 на любом отрезке длины T (см. пример 1.8), то после-
довательность частичных сумм
f t
a
a kt T b kt T N k k k
N ( )    cos( ) sin( )  0 
2 1
2 2
сходится в норме (1.2), т. е. lim ( ) ( )
N N f t f t

 0, и для f(t) содержит
в смысле этой нормы элементы наилучшего приближения из конеч-
номерных подпространств с базисами 1 2 2 1 , cos( kt T ), ( kt T ) k
N   .
1 Если не говорится, какая система функций рассматривается в виде
базиса для построения ряда Фурье (см. раздел 1.2), то традиционно под-
разумевается тригонометрическая система.
1.4. Тригонометрические ряды Фурье. Явление Гиббса 33
В целом ряде практических приложений ЦОС помимо нормы
(1.2) приближение T-периодических функций частичными сумма-
ми ряда Фурье (1.13) рассматривается в смысле нормы x  max x(t )
(максимального уклонения). Мы встретимся с такими задачами да-
лее в главе 4. В случае если аппроксимируемая функция f(t) явля-
ется разрывной, поведение частичных сумм fN(t) ряда Фурье (1.13)
характеризуется «всплесками», дающими максимальное уклонение
  | f(t)  fN(t)| именно вблизи точек разрыва. Причем величина этого
максимального уклонения практически не зависит от количества
слагаемых в частичной сумме. Рассмотрим это явление, известное
как эффект Гиббса, на примере.
Пример 1.13. Для следующей функции периода T  2:
f x
x
x x
x
( )
/ , ,
/ , ,
,

  
     
 
1 2 2 2
1 2 2 2
0 2
 
   

/ /
/ или /
/ или x  /

 
 
 2,
f(x)  f(x  2),
оценить величину A f x K
x
K 
 
max | ( ) |
[ ;]
, где fK(x) — K-я частичная сум-
ма ряда Фурье (1.13), для больших значений K  1.
◄ Так как заданная функция f(x) является четной, то
b f x kx T dx k    
  1 2 0  


( )sin . Очевидно также, что
a f x dx 0
 1  0
   

( ) . Поэтому ряд (1.13) также является четной функ-
цией, принимая вид f x a kx k k
( )  cos( ) 
  1 , где
a fx kxdx fx kxdx k=
1 2
   0
 
( )cos( ) ( )cos( )
   
  
 
 
   2 1
2
1
2
2
0 2
2
 2 
 


cos( ) cos( ) sin
/
/
kx dx kx dx
k
k
.
Учитывая, что для четных значений k  2n коэффициенты ряда
a2n  0, а для нечетных индексов a
n n
n
2 1
2 1 1
 2 1




( )
( )
, для ряда Фурье за-
данной функции получаем следующее представление:
f x
n
n x
n
n
( )
( )
 cos ( )


  



2 1
2 1
2 1
1
1 
.
Запишем его K-ю частичную сумму, полагая число K  2N (чет-
ным):
f x
n
n x N
n
n
N
2
1
1
2 2 1
2 1
( ) 2 1
( )
 cos ( )


  

 

34 Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального
представления функций
и построим графики данной функции (см. рис. 1.5) для значений
N  1, 3, 10. С увеличением числа N происходит приближение пика
отклонения значения частичной суммы к точке разрыва аппрок-
симируемой функции f(x), но видимого изменения абсолютной
величины A f x N
x
2 2N 
 
max | ( ) |
[ ;]
с увеличением N на графиках не на-
блюдается.
f(x)
0
0
–0,2
0,2
0,4
0,6
0,8
–0,4
–0,6
–0,8
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
N = 10
N = 3
N = 1
Рис. 1.5. Графики значений частичной суммы ряда Фурье f2N(x)
для функции f(x) (тонкая сплошная линия) из
примера 1.13
В силу четности функций f(x) и f2N(x) достаточно рассмотреть
их на половине периода, для значений аргумента x [0; ]. Для опре-
деления точки максимального отклонения A f x N
x
2 2N 
 
max | ( ) |
[ ;]
ча-
стичной суммы f2N(x) найдем ее локальные экстремумы, ближай-
шие к разрыву f(x) в точке x  /2. Эти локальные экстремумы, как
видно из графиков, соответствуют глобальным экстремумам ча-
стичной суммы f2N(x).
Исследуем производную частичной суммы:
      
 
f x n x N
n
n
N
2
1
2 2
( ) ( 1) sin (2 1)

             
 
2
1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1
1 
( ) n sin ( ) ( ) n sin ( )
n
N
n x n x
            
 
  2
4 1 4 3
4
2 12
1 1  
sin sin
sin
n x n x cos ( )
x
n x
n
N
n
N
,
1.4. Тригонометрические ряды Фурье. Явление Гиббса 35
так как sin sin cos sin      
2
2 2
. Используя формулу для сум-
мы геометрической прогрессии, находим, что
cos (2 1)2 Re e ( ) Re e e
1
2 12
1
2 4
1
n x
n
N i n x
n
N i x i nx
n
N         



    
 


 

 
  
Re e
e
e
Re e
e (e e )
e (e
i x
i Nx
i x
i x
i Nx i Nx i Nx
i x
2
4
4
2
2 2 2
2
1
1 i 2x  i 2x

 

 
 e )


 

 
Re  
e sin( )
sin( )
cos( )sin( )
sin( )
i Nx Nx sin(
x
Nx Nx
x
2 2
2
2 2
2
4
2 2
Nx
x
)
sin( )
.
Поэтому окончательно
f  x 
x Nx
x 2N
2 4
2
( )
sin( )sin( )
sin( )
.
Экстремумы частичной суммы f2N(x) удовлетворяют условию
f  x  2N ( ) 0 . Ближайшие к точке разрыва x  /2 экстремумы f2N(x)
являются глобальными, выбираем их из общего набора решений
уравнения sin(4Nx)  0 : x k
k N  
4 , k. Очевидно, что это две
точки x
N
N N 2N 1
2 1
 4 2 4
   
( )  
, лежащие слева (максимум f2N(x))
и справа (минимум f2N(x)) от разрыва f(x).
Найдем значения частичной суммы в точках глобальных экс-
тремумов x
N max  
 
2 4
и x
N min  
 
2 4
:
f
N n
n n
N N
n
n
2
1
2 4
2 1
2 1
2 1
2
2 1
4
 

 
  
 
 



  
 
 


( )
cos
( ) ( )
1
2N .
Воспользуемся соотношением cos(  )  coscos  sinsin,
тогда
cos
(2 1) ( )
2
2 1
4
n n
N
  
 
 
 
=cos
( )
cos
( )
sin
( )
si
( )
 2 1  
2
2 1
4
2 1
2
0 1 1
n n
N
n
n
   
 
 
n
( )
( ) sin
 2 1 ( )
4
1
2
4
1 n
N
n
N
n      =
1 ,
f
N n
n
N
n
N N
n
N
2
1
2
2 4
2 1
2 1
2 1
4
2 1
4
 

  
 
   
 

   
 
sin
( )
sin
( ) (2 1
4
1
2 1
2 n
N N n
N  
 
 
 
) .
Полученное выражение представляет собой интегральную сумму,
в данном случае совпадающую с квадратурной формулой прямоу-
гольников, для интеграла     sin  sin
 
x 
x
dx
x
x
dx
0
1
0
1 . Поэтому при
36 Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального
представления функций
достаточно больших значениях N для частичных сумм ряда Фурье
получаем наибольшие отклонения от оси абсцисс
f
N
f
N
x
x
2N N 2N dx 2 4 2 4 0
1
0 58
   


  
 
 
  
 
 
   
 lim 
sin
, 9490.
Соответствующий интеграл (так называемый интегральный синус)
находится численно, например, как сумма быстро сходящегося зна-
копеременного ряда:
sin ( )
( )!
( )
( )!(
x
x
dx
x
n
dx
n
n n
n
n
0
1 2 2
0 1
1 2
2 1
1
2 1
 

   


 


 


2 1
1 851937
n 1 n 



)
, .
Как видим, с увеличением количества 2N слагаемых в частич-
ной сумме f2N(x) ряда Фурье ее «пики» не уменьшаются, но прибли-
жаются к точке разрыва:
x
N max    
  
2 4 2
0 , x
N min    
  
2 4 2
0 .
Амплитуда пиков A f x N
x
2 2N   0 589490
 
max ( ) ,
[ ;]
, а отклонение
от f(x):
2 2 2 2 0 5 0 08949 N N N N  f (x ) f (x )  f (x ) f (x )  A  ,  , max max min min .
Размах пульсации частичной суммы вблизи точки x  /2 состав-
ляет величину 2 1 17898 2 2 2 A f x f x N N N  ( ) ( )  , max min , т. е. примерно
на 18 % больше «скачка»
f f
 
2
0
2
0 1  
 
 
  
 
 

функции f(x) в точке разрыва x  /2. ►
Рассмотренный в примере 1.13 частный случай явления Гиббса
может быть обобщен [52] на случай произвольной (разрывной) функ-
ции f(t), представимой в виде ряда Фурье (1.13). Вблизи точек раз-
рыва {tk} величина максимальных пульсаций частичных сумм fK(t)
ряда (1.13) практически не изменяется с увеличением количества
слагаемых K в частичной сумме, и размах пульсации составляет
величину около 118 % от величины «скачка» | f (t ) f (t ) | k k  0   0 .
С увеличением количества слагаемых K в частичной сумме ряда Фу-
рье пики уклонения fK(t) от аппроксимируемой функции f(t) при-
ближаются к точкам разрыва.
Упражнение. Покажите, что для точек {xextr} локальных экстремумов
частичной суммы ряда Фурье fK(x)  f2N(x) из примера 1.13, которые
1.5. Интеграл Фурье 37
являются ближайшими на оси абсцисс к найденным в примере 1.13
точкам глобальных экстремумов, при N  1 верна оценка:
f x f x
x
x
dx 2N N 2N 0
1 2
0 451412 extr extr        
 lim 
sin
,

 .
(Это означает, что вторые по величине пики уклонений частичной
суммы f x f x N ( ) ( ) , , , extr extr     2 0 5 0 451412 0 048588 примерно вдвое
меньше максимальных отклонений 2N 0,08949.) Как изменяется
положение на оси абсцисс точек {xextr} с увеличением количества
слагаемых K  2N в частичной сумме fK(x)  f2N(x)?
Вместо (1.13) часто удобнее использовать комплексную форму
ряда Фурье:
f t f t
ck
i
k
T
t
k
( ) ( )
e
  



0 0
2
2
, (1.15)
где
c
T
f t dt k
i
k
T
t
T
T
 

 1 2
2
2
( )e
/ 
. (1.16)
Несложно убедиться, что для вещественной функции f(t) ком-
плексные коэффициенты (1.16) ряда (1.15) обладают свойством со-
пряженной симметрии: c a ib k k k  (  ) 2 , c a ib c k k k k    ( )2 , где
вещественные коэффициенты k k

0 , k k

1 находятся по форму-
лам (1.14).
Упражнение. Для функции единичного периода f(t)  f(t  1),
где f(t)  t при t[1/2; 1/2), найдите разложение в ряд Фурье в фор-
ме (1.13) и (1.15).
1.5. Èíòåãðàë Ôóðüå
Реальные сигналы чаще всего представляют собой апериодические
функции, искусственная периодизация которых, необходимая для
корректного использования разложений (1.13) или (1.15), пред-
ставляет собой неоднозначную процедуру, приводящую к искаже-
нию сигнала. Поступим следующим образом. Обозначим k  k/T,
    k k k    T  1 1/ , тогда с использованием данных обозначе-
ний из (1.15) и (1.16) получаем:
38 Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального
представления функций
c fu i u du k
i
k
T
t
k
T k
T i t
k
k
e ( )exp e k
/
2
2
2 2 2

  




         .
Далее непериодический сигнал представим как периодический
с бесконечно большим периодом, см. рис. 1.6.
T 􀁯 􀁦
Рис. 1.6. Переход от периодического сигнала к непериодическому
Предположим, что существует интеграл (см. (1.16))
S cT f u du f u k T k T
i
k
T
u
T
T
( ) lim lim ( )e ( )e i ku
/
/


   
 



 
2
2
2
2 du


 .
При формальном переходе к пределу при Т из ряда (1.15) полу-
чим:
lim e lim ( )e ( )exp
T k
i
k
T
t
k
k
i t
k
c S k S
 

 
    
2
0
2 2


   

  it d


 .
В случае существования последнего интеграла он понимается
в смысле главного значения по Коши:
S it d S it d
A A
A
()exp2     lim ()exp2    

 
   .
Данный интеграл носит название интеграла Фурье. Условия, кото-
рые гарантируют возможность представления функции в виде ин-
теграла Фурье, определяет следующая теорема.
Теорема 1.14. Пусть функция f(t) абсолютно интегрируема на всей
числовой оси, т. е. f (t ) dt

    , является кусочно-гладкой
на любом конечном отрезке t [a, b](;) и в точках разрыва
f (t )   f (t  0) f (t  0) 2. Тогда она представима в виде интеграла
Фурье:
f t S i t d S d
A
A
A
( )  lim ( )exp   ( )e i t ,





  2     2   (1.17)
где
S()  f (t )e it dt.


 2 (1.18)
При этом S() является непрерывной функцией.
Функция S() из (1.18) носит название частотного спектра,
или спектральной плотности, или спектральной характеристики
1.5. Интеграл Фурье 39
функции (сигнала) f(t). Представления (1.18) и (1.17) называют со-
ответственно прямым и обратным преобразованиями Фурье сиг-
нала f(t). Их записывают также с использованием в качестве аргу-
мента спектральной плотности циклической частоты   2:
ˆ
S()  f (t)eit dt


 , f (t) S i t d
ˆ
 ( )e


 1
2
  .
Таким образом, при выполнении условий теоремы 1.14 сигнал
можно описать как во временной области, т. е. через функцию вре-
мени f(t), так и в частотной области, через функцию частоты S(),
оба представления взаимно однозначно соответствуют друг дру-
гу: f(t)S() (или f(t)Ŝ()).
Отметим ряд важных свойств интегрального преобразования
Фурье.
1°. Сопряженная симметрия. Для любой вещественной функ-
ции f(t): S()  S() . (Докажите самостоятельно.)
2°. Линейность. x t S y t S  x y ( ) (), ( ) (), ,:
f t x t y t S S S x y ( )   ( )  ( ) ()   ()  ().
3°. Изменение масштаба. f (t )S(),  0:
f (t ) S () S( / )

    1
.
◄ S f t i t dt f t i t d t

   

  

( ) ( )e ( )e ( )
( )    

 

   2 1 2
  

 1 1 2
 
f (u)e i (/)u du S( / ). ►
4°. Задержка сигнала. f (t )S(), t0 : f t t S i t (  )e ( )
0
2  0  .
(Докажите самостоятельно.)
5°. Сдвиг спектра. f (t )S(), : f (t )e2it S(  ) .
(Докажите самостоятельно.)
6° Свертка сигналов. u t S w t S u w ( ) (), ( ) () :
f x u t w x t dt S S S u w ( )  ( ) (  )  ( )  ( ) ( )

     .
◄ S()  u(t )w(x t )dt e ix dx u(t ) w(x t )e ix

 

 
 





   2 2dxdt





  
см. свойство 4

  

  u t S dt S S w
i t
u w ( ) ()e 2  () () . ►
40 Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального
представления функций
7°. Произведение сигналов. u t S w t S u w ( ) (), ( ) () :
f t u t w t S S x S x dx u w ( )  ( ) ( ) ( )  ( ) (  )


   .
(Докажите по аналогии с доказательством свойства 6°.)
8°. Равенство Парсеваля. f(t)S():
E  f t dt  S d




 ( )  ( ) 2 2  
(величину E называют энергией сигнала).
◄ E  f t f t dt  f t S i t d dt  S f t i t






 ( ) ( )  ( )  ()e2   () ( )e2 




  dtd 
   








 S()  f (t )e 2it dt d  S()S()d  S() 2d. ►
9°. Дифференцирование во временной области. Если f(t)S()
и функция f(t) дифференцируема, причем lim ( )
t
f t

 0 , то
f (t )2iS().
◄ Интегрируя по частям, имеем:
    




  f t i t dt f t i t i f t
t
t
( )e 2 ( )e 2 ( ) (
0
    2 

)e ( )


 2it dt  2iS  . ►
10°. Дифференцирование в частотной области. Если f(t)S()
и функция S() дифференцируема, причем lim ( )



S  0, то
2i t f (t )S () .
(Докажите самостоятельно, аналогично доказательству свой-
ства 9°.)
Упражнение. Покажите, что для функции и ее спектра f(t)S()
m  условие
d
d
S
m
m


( )


0
0 эквивалентно условию
t m f (t )dt

   0.
Упражнение. Сформулируйте свойства 1°–10° пары преобразований
Фурье f(t)Ŝ(), записанных для циклической частоты .
Определение. Амплитудным спектром сигнала f(t) называет-
ся модуль S() спектральной плотности S(), а фазовым спек-
тром — главное значение ее аргумента ()  argS()(;].
1.5. Интеграл Фурье 41
Амплитудный и фазовый спектры позволяют записать спек-
тральную плотность в показательной форме: S()  S() ei() .
Если S()  0, то значение () не определено.
Замечания. Из свойства 4° следует, что сдвиги сигнала во временной
области влияют в частотной области лишь на фазовый спектр, но не
изменяют амплитудный спектр сигнала. Из свойства 1° следует, что
для вещественных сигналов амплитудный спектр является четной,
а фазовый спектр — нечетной функцией.
Пример 1.14. Найти амплитудный и фазовый спектры сигнала,
представляющего собой прямоугольный импульс длительности T:
f t
T t T
t T
( )
, [, ]
, [, ]
 

 

1 0
0 0
при
при
.
◄ Найдем сначала спектральную плотность функции
g(t)  f(t  0,5T):
S gt dt
T
dt g
i t i t
T
T i T i T
( ) ( )e e
e e 

   
   
    




 
  2 2
2
2 1
2 i T
T
 T


 sin( ) ,
где, очевидно, S T g(0)  . Так как f(t)  g(t  0,5T), то на основании
свойства 4° получаем
S
T
T f
( ) e i T
sin( )  

   ,
откуда амплитудный спектр
S
T
T f( )
sin( )  

 .
Для фазового спектра () рассмотрим сначала частоты  0.
При   k T , k 1, 2,, arg Sf() не определен, так как Sf()  0.
При 2k T ;(2k 1) T , k  0,1,, получаем: sin(T )  sin(T ),
S
T
T
T
T
S f
i T i T
f
( ) i
sin( )
e
sin( )
 e ( ) e ( ) 



          , т. е.
   ( ) arg e    i T , причем     ( )   
 
 
2
T
.
При (2k 1) T ; (2k  2) T , k  0,1,, имеем:
sin(T )  sin(T ),
42 Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального
представления функций
S
T
T
T
T
S f
i T i T
f
( ) i
sin( )
e
sin( )
 e ( ) e ( ) 



           , т. е.
ei()  eiT  eiT i ,
    ( ) arg e ( )      i T 1 , и вновь     ( )   
 
 
2
T
.
В силу полученной периодичности фазового спектра для поло-
жительных частот  0 достаточно привести один период (). Для
(0;2/T ) имеем:
 
 
  
( )
, (; )
, ( ; )

 
  

T T
T T T
при
при
0 1
1 2
.
Так как S T f (0)  , то ()  0. Вид функции () для  0 находим
на основании того, что фазовый спектр является нечетной функ-
цией.
Графики амплитудного и фазового спектров приведены
на рис. 1.7. ►
T
1
T
2
T
 1
T
S()

T 􀁑
2
T
1
-􀁓
T
1
−
􀁓
􀁍(􀁑)
0
Рис. 1.7. Графики амплитудного (слева) и фазового (справа) спек-
тров сигнала из примера 1.14
Упражнение. Используя свойства 2°–4° преобразования Фурье и ре-
зультаты решения примера 1.14, найдите амплитудный и фазовый
спектры функции
f x
x
x
x
( )
, [ ; )
, [;)
, [ ;)

 
 
 
 

1 10
1 01
0 11
.
1.6. Принцип неопределенности время-частотного 43
представления сигналов
1.6. Ïðèíöèï íåîïðåäåëåííîñòè âðåìÿ÷àñòîòíîãî
ïðåäñòàâëåíèÿ ñèãíàëîâ
Определение. Носителем  функции f(x) назовем замыкание
множества аргументов x, при которых f(x) принимает ненулевые
значения, т. е.   {x | f (x)  0}. Обозначаем:   supp f(x). Будем
говорить, что функция имеет ограниченный (или компактный)
носитель, если существует конечный отрезок [a, b], полностью
содержащий этот носитель: supp f (x)[a; b].
Например, носителем функции h5(x) системы Хаара (см. пример
1.12) является отрезок x[1/4; 1/2].
Теорема 1.15. Пусть выполнены условия теоремы 1.14 и ненулевые
функции f(t) и S() связаны соотношениями (1.17) и (1.18). Тогда
пара функций f(t)S() не может одновременно иметь ограничен-
ные носители.
◄ Допустим противное, т. е. ненулевые функции f(t)S() имеют
ограниченные носители одновременно. Тогда существуют конеч-
ные отрезки [a;a] supp f (t ) , [b; b] suppS() и интегралы (1.17),
(1.18) можно записать в виде:
f t S i t d
b
b
( )  ( )e
   2  , S f t i t dt
a
a
()  ( )e  
  2 .
На основании теоремы 1.14 спектральная плотность S() явля-
ется непрерывной функцией, поэтому согласно теореме о диффе-
ренцировании интеграла, зависящего от параметра, существуют
интегралы:
f t
t
n S d i S d
n
n
i t
b
b
n n it
b
b
( )( )  ( )e ( ) ( )e

   
 
  2   2    2   ,
n  0, 1, …, так как подынтегральные функции непрерывны по пере-
менной  и по параметру t на множестве (t, ) [b; b], t .
Таким образом, функция f(t) в каждой точке t0 (;) имеет
производные любого порядка и, следовательно, может быть пред-
ставлена рядом Тейлора:
f t
f t
n
t t
n
n
n ( )
( )
!
( )
   


0
0
0 .
44 Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального
представления функций
Так как f(t) имеет ограниченный носитель, найдется некоторый
отрезок t [c;d], для которого f(t)  0. Для любой внутренней точки
этого отрезка, например его середины t0  (c  d)/2, имеем f (n)(t0)  0,
n  0, 1, …, и разложение в ряд Тейлора дает t
f t
t t
n
f t
n
n
n
( )
( )
!
 ( )( )




0
0
0
0
0  .
Мы получили противоречие условию f (t )  0 , t, следовательно,
функция f(t) и ее спектр S() не могут одновременно иметь ограни-
ченный носитель. ►
Из теоремы 1.15 следует, что сигналы конечной длитель-
ности имеют неограниченную частотную полосу (т. е. носитель
спектральной плотности). Так, в примере 1.14 мы рассматрива-
ли функцию, имеющую конечный носитель во временной об-
ласти, supp f(t)  [0; T], и видели, что в частотной области носи-
тель спектра S
T
T
( ) e i T
sin 


   совпадает со всей числовой осью,
suppS()  (;). Однако на практике почти всегда необходимо за-
даваться требованиями ограниченной (конечной) частотной поло-
сы. То есть для произвольного сигнала (функции) f(t) необходимо
каким-то образом определить его частотную полосу [1; 2], впол-
не характеризующую сигнал в частотной области. Под шириной по-
лосы спектра тогда понимается величина   2  1.
Единого строгого подхода для определения частотной поло-
сы сигнала, реально имеющего бесконечную ширину спектра,
нет. На практике обычно выбирают на оси частот такой отрезок
[1; 2], который содержит основную часть E энергии сигнала E,
т. е.
E  S d  E  S d

  ()   ()   
2  2
1
2
 .
Разность E  E характеризует величину тех искажений, кото-
рые связаны с искусственным «усечением» полосы. Действительно,
если обозначить усеченный спектр

S
S
( )
( ), [ ; ]
, [ ; ]

   
  




при
при
1 2
1 2 0
1.6. Принцип неопределенности время-частотного 45
представления сигналов
и соответствующий ему искаженный сигнал

f t ( ), то, очевидно, в силу
свойства 2° преобразования Фурье имеем S() S()  f (t ) f (t )
 
,
а на основании свойства 8° энергия ошибки (t )  f (t ) f (t )

:
(t ) dt f (t ) f (t ) dt S() S() d 2 2 2






       
 
     




 S() d  S() d  S() d  S() d E E

 


2 2 2 2
1
2 1
2
 .
Так, для сигнала из примера 1.14 в качестве полосы сигнала мож-
но было бы взять отрезок [1/T;1/T ] (тогда E/E  0,90) или
[2/T; 2/T ] (тогда E/E 0,95).
Для пояснения принципа неопределенности время-частотного
представления сигналов более удобен иной подход к определе-
нию ширины полосы в частотной области и длительности сигнала
во временной области. Положим, что энергия вещественного сиг-
нала единичная, т. е. S() d f (t ) dt 2 2 1



     . Тогда по своему
физическому смыслу функция ()  S() 2 представляет собой
плотность распределения энергии в частотной области, причем для
вещественных сигналов ()  () в силу свойства 1° преобразо-
вания Фурье. Поэтому для первого начального момента (среднего
значения распределения энергии в частотной области) всегда по-
лучим
m S d      

  ( )2 0
в силу того, что подынтегральная функция нечетна. Локализацию
энергии в частотной области можно характеризовать по величине
второго центрального момента
D m S d S d            



   2 2 2 2 ( ) ( ) , (1.19)
который представляет собой меру «разброса» энергии в частотной
области относительно m. Величина D , определяемая из вы-
ражения (1.19), представляет собой среднеквадратичное значение
распределения энергии в частотной области, поэтому естественно
назвать соответствующую частотную полосу      

D , D сред-
неквадратичной частотной полосой, ширина которой    2 D .
Во временной области функцией плотности распределения
энергии сигнала является (t ) | f (t ) |2 . Аналогично, в качестве меры
46 Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального
представления функций
длительности сигнала возьмем удвоенную величину среднеквадра-
тичной длительности t Dt  2 , определяемую по значению второ-
го центрального момента
Dt  t mt  f t dt  t f t dt mt



   2 ( ) 2 2 ( ) 2 2 , (1.20)
где m tft dt t 

  ( )2 — среднее значение для распределения энер-
гии сигнала во временной области. Будем также называть величи-
ны    2 D и t Dt  2 , определенные при помощи формул (1.19)
и (1.20), эффективными значениями ширины полосы  и длитель-
ности t сигнала соответственно.
Величины (1.19) и (1.20) характеризуют локализацию энергии
сигнала: чем меньше среднеквадратичная полоса (длительность),
тем выше концентрация энергии в частотной (временной) области.
Принцип неопределенности гласит, что добиться высокой локализа-
ции энергии одновременно и во временной, и в частотной областях
невозможно. Так, верна следующая теорема.
Теорема 1.16. Для дифференцируемых вещественных сигналов f(t)
единичной энергии таких, что сходится интеграл t f (t ) dt 2

  и
lim ( )
t
t f t
    2 0 , произведение ширины полосы    2 D и дли-
тельности t Dt  2 ограничено снизу:
t 1  . (1.21)
◄ Пусть, для упрощения изложения, во временной области имеем
m tft dt t 

  ( )2  0 (в необходимых случаях выполняется сдвиг
сигнала по оси времени, f(t)f(t  mt), не изменяющий его ампли-
тудный спектр, см. свойство 4° преобразования Фурье).
Поскольку f (t )2iS() (см. свойство 9°), на основании равен-
ства Парсеваля (свойство 8°) имеем:    



  f (t ) dt ( )  S( ) d 2 2 2 2 2   .
Тогда
D D f t dt t f t dt f t t f t  t  
       




  1
2
1
2 2
2 2 2
2
2
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) 2 ,
где норма вещественной функции индуцирована скалярным произ-
ведением f (t ), g(t )  f (t )g(t )dt

  (см. раздел 1.2). Так как на осно-
вании неравенства Коши — Буняковского (лемма 1.3)
     

 f (t ) t f (t ) f (t ), t f (t )  f (t ) t f (t )dt , то
1.6. Принцип неопределенности время-частотного 47
представления сигналов

   t DD f ttftdt t ft f t
t
t
      





4 
2 1 2
0 0
( ) ( ) ( )

 (t ) dt 


 2
1
1
 
. ►
Упражнение. Покажите, что для сигнала с энергией E  f t dt

  ( )2
оценка (1.21) принимает следующий общий вид: t  E .
Пример 1.15. Показать, что равенство в оценке (1.21) достигается
для гауссова импульса, т. е. для функции вида f (t ) C ekt 2 , где C, k —
некоторые константы (k0).
◄ Достаточно рассмотреть случай единичной энергии сигнала,
положив C  4 2k / — убедитесь, что в этом случае энергия сиг-
нала E  f t dt 

  ( )2 1, учитывая значение интеграла Пуассона
exp( ) 

  t 2 /2 dt 2 . Для упрощения выкладок проведем доказа-
тельство только для k  1/4, т. е. для несложно обобщаемого с ис-
пользованием свойства 3° преобразования Фурье на другие значе-
ния k0 случая f (t )  et 1
4 2
2 4

. Поскольку
1
2
2 2 1

t exp(t )dt 

  /2
(как выражение для дисперсии стандартного нормального закона),
то и для эффективной длительности сигнала во временной области
также получаем D t ft dt t 

  2 2 ( ) 1, т. е. t Dt  2  2.
Для производной спектральной плотности имеем:
       


  S  it dt
i
() e t e i t ( ) e i t d e t




1    
2
2
4
4 2
4 2
4
2 2 2 4


 
     



4  
2
2
4
2 4
0 0
4 2
 2 2

  i    
i d i t t
t
t
e e t ( )e i t

t S









 82 () .
Отсюда получаем следующее дифференциальное уравнение:
d lnS() d  82, интегрируя которое находим: S()  N e422 ,
где нормировочная константа N определяется из равенства Парсе-
валя:
1
4
4 2 2
2 4
2
2
2
  



  


 f t dt  S d 
N
( ) ()  e d( )





 N 2 8 .
48 Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального
представления функций
Окончательно, получаем спектральную плотность
S()  4 8 e422 . Тогда для эффективной полосы имеем:
D d d 
     

 
    


 


8  
8
4 4
2 8 4 4
2
2 4 2
2
2 2 2
e
( )
( )e ( )

 
 1
(4 )2
.
Отсюда 
   2 
1
2
D и t 1 . ►
Упражнение. Используя свойства 2° и 3° интеграла Фурье и ре-
зультаты примера 1.15, убедитесь, что для произвольного чис-
ла k0 гауссову импульсу f (t )  4 2k ekt
2 / соответствует спектр
S()  4 2 k e  k
2 2 / .
Заметим, что для сигнала любой формы его «сжатие» по аргу-
менту во временной области приводит к такому же масштабному
«растяжению» по аргументу в частотной области, см. свойство 3°
преобразования Фурье. Построив прямоугольную систему коор-
динат, осями которой являются время и частота, каждому сигна-
лу на полученной плоскости «ВремяЧастота» можно поставить
в соответствие некоторую прямоугольную область  локализации
сигнала с длинами сторон t и . При этом, если понимать t и 
в смысле эффективных значений, то для сигнала единичной энер-
гии площадь данной области в соответствии с теоремой 1.16 не мо-
жет быть меньше величины 1/.
Пример 1.16. Изобразить на плоскости «ВремяЧастота» область
  tлокализации сигнала из примера 1.14 для эффективных
значений полосы и длительности.
◄ Во временной области получаем среднее значение распределения
энергии:
m tft dtT
tdt
T
t
T   

  ( )  2
0
1
2
,
а для эффективной длительности:
D t ft dt m
t
T
dt
T T
t t
T     

  2 2 2
2
0
2 2
4 12
( ) , откуда t D T t  2  3 .
В частотной области
D S d
T
T
d
F
F
F
F
F
F
    


=lim ( ) =lim =
sin
 ( )



 2 2  2 
2
2 ,
1.7. Обобщенное преобразование Фурье 49
т. е. эффективная полоса сигнала в данном случае неограничена:
(;). Область   tотражена на рис. 1.8. ►
􀁑
t
􀀺
3
􀀧t 􀀠 T
T/2
Рис. 1.8. Время-частотная локализация функции из примера 1.14
1.7. Îáîáùåííîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå
Введем сначала важное для многих теоретических вопросов циф-
ровой обработки сигналов понятие -функции Дирака. Положим
для 0:
u t
t
 t
  
 
( )
, [ ; ]
, [ ; ]

 
 

1 2
0 2 2
/ при /2 /
при / /
.
Тогда для любой непрерывной функции f(t) на основании инте-
гральной теоремы о среднем найдется такая точка  [/2;/2],
что
u t f t dt f t dt f  


( ) ( ) ( ) ()
/
/



     1
2
2 .
Поэтому если f(t) — непрерывная в окрестности точки t  0 функ-
ция, то
lim ( ) ( ) ( )
  
  
0
u t f t dt f 0 .
Обозначим формально 
  ( ) lim ( ) ,
,
t ut t
t    
  0
0
0 0
при
при и будем на-
зывать (t) дельта-функцией Дирака (или -функцией). Основное
свойство -функции описывается равенством:

  (t ) f (t )dt lim u (t ) f (t )dt f ( )


 
    
0
0 ,
где f(t) — непрерывная в точке t  0 функция.
При выполнении условий теоремы 1.14 между сигналом и его
спектром существует взаимно однозначное соответствие:
50 Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального
представления функций
S()  f (t )e it dt

  2  f (t )  S( )e i t d

   2  .
Рассмотрим функцию g(t)  1. Условия теоремы 1.14, очевидно, для
нее не выполнены, и спектр Sg(), т. е. понимаемый в традицион-
ном смысле интеграл e

  2it dt , не существует. Однако если по-
ложить, что Sg()  (), то с учетом рассмотренного выше свойства
-функции запись обратного преобразования Фурье не вызывает
затруднений и дает точное восстановление функции g(t):
g t S d d g
( )  ( )e i t  ( )e i t 



   2      2   1.
Для того чтобы расширить класс функций, для которых при-
менимо интегральное преобразование Фурье (1.18), положим,
по определению, что
e ( )


 2it dt    . (1.22)
Замечание. Эквивалентными соотношению (1.22) являются следу-
ющие определения. В силу вещественности -функции:
e2it dt () ()

    .
В силу симметрии выражения (1.22) относительно переменных 
и t:
e2it d e 2it d (t )

 

     .
Покажем, что интеграл e

  2it dt действительно проявляет
свойства дельта-функции. Пусть (t) — некоторая непрерывная
в окрестности точки t  0 функция, отвечающая условиям теоремы
1.14. Тогда
e ( ) ( )e









   
 

 


 

 
2it d  t dt   t 2it dt d   


S d  ()  (0) ,
что соответствует основному свойству -функции:
(t )(t )dt ( ).

   0
Вводя в рассмотрение представление (1.22), мы сразу же расши-
рили область применимости интегральных преобразований (1.17)
и (1.18), превратив ряды Фурье для периодических функций ((1.15),
(1.16)) в частный случай интегральных преобразований. Действи-
тельно, исходя из (1.22), функции 

k
i
T
kt
(t )  e
2
соответствует обоб-
щенный спектр
1.7. Обобщенное преобразование Фурье 51
S dt dt
k
k T
i
T
kt i t
it
k
T


 
 
   ( ) e e e     



   
 
 


 
2
2
2

 
.
Поэтому для произвольной функции периода T, представимой
в виде ряда (1.15), f t c t k k k
( )  ( ) 
   , обобщенное интегральное
преобразование дает спектр
S c t dt c t dt k k
k
i t
k k
()    ( ) e    ( )e it
 

 









   2 2
k
k
k
c
k
 T


     
 
 
  ,
по которому функция может быть восстановлена в результате об-
ратного преобразования Фурье:
f t c
k
T
d c
k
T k
k
i t
k ( ) e e   
 
 

 

 
  
 
 




    2     2it 
k
d




  
 

 

 



  c  c t k
i
T
kt
k
k k
k
e ()
2
 .
Таким образом, интегралы в преобразовании Фурье (1.17)
и (1.18) мы будем далее понимать обобщенно. Для обозначения пре-
образования Фурье будем использовать следующие сокращенные
записи:
S()    f (t ) — прямое преобразование (1.18),
f (t )    S( ) 1  — обратное преобразование (1.17).
Определение. Решетчатой будем называть функцию вида
g x g x m x m m
( )  (  ) 
    , где {gm} — вещественные или ком-
плексные числа, а константа (шаг аргумента) x 0.
Из рассмотренного выше следует важное наблюдение: если
функция (сигнал) f(t) является Т-периодической, то ее спектр
S c
k
T k k
( )      
 
 

  является решетчатой функцией и прини-
мает ненулевые значения лишь для определенных равноотстоя-
щих значений аргумента , а именно k  k/T, k. Таким образом,
спектр периодических функций полностью характеризуется набо-
ром коэффициентов (1.16) ряда (1.15):
f t c S c
k
T k
i
T
kt
k
k
k
( ) ( )     
 
 



  e 
2
   . (1.23)
По этой причине под амплитудным спектром для периодических
функций понимают набор модулей коэффициентов Фурье {|ck|},
а под фазовым спектром — набор их аргументов {arg ck}.
52 Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального
представления функций
Упражнение. Найдите обобщенный спектр функций cos t, sin t.
Преобразования (1.17) и (1.18) имеют сходную природу, отлича-
ясь только знаком при мнимом показателе подынтегральной экс-
поненты. Вследствие этого преобразования (1.17), (1.18) обладают
и сходными дуальными свойствами, которые мы уже наблюдали.
Например, произведению функций соответствует свертка в области
преобразований (см. свойства 6°, 7° интеграла Фурье). Установив,
что T-периодическому сигналу соответствует решетчатый спектр
с дискретным шагом частоты   1/T, мы можем ожидать, что для
решетчатых функций вида f t f t k t k k
( )     
    , принимающих
ненулевые значения лишь для равноотстоящих значений дискрет-
ного аргумента tk  kt, в частотной области спектр S() имеет пери-
од, равный 1/t. То есть периодическая функция в одной области
соответствует решетчатой функции в другой области, и наоборот.
Упражнение. Используя свойства 2° и 4° преобразования Фурье, по-
кажите, что спектр решетчатой функции f t f t k t k k
( )     
   
имеет вид S f S
t k
i k t
k
( ) e        
 
 


  2  1

.
Установленное выше влияние периодического или решетчато-
го характера функции на свойства ее преобразования Фурье дела-
ет практически очевидным вывод, что периодическая решетчатая
функция имеет спектр, который также представляет собой решет-
чатую периодическую функцию. Убедимся в этом.
Пример 1.17. Найти спектр функции f t t f t k t k k
( )     
     ,
где fk  fkN.
◄ Очевидно, что функция f(t)  f(t  T), где период T  Nt:
f t N t t f t k N t t f t k t f k
k
k N
k f
k
(  )   (  )      



 
         (t ).
На основании (1.23) ее спектр представляет собой решетчатую
функцию S c k k k
()     
   , где   1/T, причем
c
T
f t dt
t
T
f t m t k
i
k
T
t
t
T
t
m
m
     
 

 





  1 2
2
2
( )e






Учитываем m m t
t
N t
i
k
T
t
t
N
dt
: ;
e
  