eng
Содержание
Предисловие рецензента ......................................... 7
Глава 1
Введение ..................................................................... 11
Глава 2
Основные параметры оконных функций............ 15
Глава 3
Классические оконные функции .......................... 23
Глава 4
Сконструированные оконные функции............... 35
Глава 5
Оконные функции Кравченко............................... 47
Глава 6
Синтез новых высокоэффективных оконных
функций...................................................................... 51
6.1.
Алгоритм минимизации спектральных составляющих
оконной функции вне пределов заданного интервала..... 52
6.2.
Алгоритм минимизации различий формы и спектра
оконной функции ..................................................... 56
6.3.
Алгоритм максимизации спада уровней боковых лепест-
ков спектра оконной функции .................................... 63
6.4.
Использование метода перемножения относительных
спектров оконных функций ....................................... 71
Приложение 1
Синтез оптимальных сигналов, ограниченных
по спектру и практически ограниченных
по длительности........................................................ 85
Приложение 2
Синтез сигналов, форма которых совпадает
с огибающей их спектра.......................................... 97
Литература................................................................. 104
Предисловие рецензента
Оконные функции используются в большинстве задач цифровой об-
работки сигналов, поскольку нет возможности исследовать эти сиг-
налы на бесконечном интервале времени. Ограничение интервала
анализа сигналов также зачастую обусловлено их нестационарно-
стью. По этой причине особое внимание уделяется использованию
оконных функций при разработке кодирующих систем аудиосигна-
лов и анализа соответствий объективного и субъективного их вос-
приятия.
Использование оконного сглаживания позволяет рассчитывать
КИХ-фильтры под любые практические задачи для уменьшения эф-
фекта Гиббса и улучшения характеристик фильтра с аппроксимаци-
ей комплексного коэффициента передачи при линейной ФЧХ.
Особая область применения оконных функций разработка адап-
тивных антенных решеток, у которых параметры и, в частности, ха-
рактеристика диаграммы направленности изменяются автоматиче-
ски для обеспечения наилучших или приближающихся к наилучшим
условий приема полезного сигнала на фоне постоянно меняющихся
воздействий (помех). Выбранные оконные функции применяются
в качестве весового коэффициента к диаграмме направленности ан-
тенной решетки при синтезе системы с заданной частотной филь-
трацией.
Казалось: после публикации работы F.J. Herris ¾On the Use of
Windows for Harmonic Analysis with the Discrete Fourier Transform¿
(Proceedings of the IEEE, vol. 66, No. 1, January 1978) и ее перевода
на русский язык в журнале ТИИЭР (т. 66, 1978, № 1) возможно ли
разработать новые принципы построения оконных функций?
Эти публикации содержат подробную информацию о парамет-
рах и применении для обработки сигналов с использованием БПФ
классических оконных функций, начиная с прямоугольного окна Ди-
рихле и треугольного окна Файера–Бартлетта до окон Хеннинга и
Блекмана–Херриса, а также оконных функций, сконструированных
в виде произведений, сумм и сверток различных функций, в виде
отдельных участков известных окон различными авторами.
Для качественного спектрального анализа необходимо выбрать
оконную функцию так, чтобы уровень боковых лепестков ее спектра
был меньше динамического диапазона сигнала, а также определить
размер выборки БПФ для обеспечения требуемого разрешения по
частоте исходя из частоты дискретизации и свойств выбранной окон-
ной функции.
Поскольку все виды оконных функций симметричны относитель-
но середины временного интервала и ограничены по длительности
этим интервалом, они представимы в виде суммы ортогональных ко-
синусоидальных базисных функций с периодами, кратными этому
заданному интервалу.
С использованием этого однозначного представления окон авто-
ры разработали несколько вариантов создания новых оконных функ-
ций и оптимизации их параметров.
Один из них основан на использовании алгоритма минимизации
спектральных составляющих оконной функции вне пределов задан-
ного нормированного частотного интервала [−C,C]. С увеличени-
ем интервала максимальный боковой лепесток Фурье-образа окон-
ной функции Wmax плавно уменьшается (от −26 дБ при C = 1 до
−188 дБ при C = 7).
Несмотря на большое изменение параметра C, коэффициент ,
являющийся показателем качества оконной функции, изменяется не-
значительно от 4,7% при Wmax = −26 дБ до 6% при Wmax =
= −188 дБ. Приведена таблица параметров оконных функций, рас-
считанных путем минимизации мощности его спектральных компо-
нент вне пределов заданного интервала частот.
Синтез оконных функций, основанный на минимизации мощно-
сти его спектральных компонент вне пределов заданного интервала
частот, позволяет реализовать как известные стандартные оконные
функции, так и ряд новых функций с очень низким уровнем боковых
лепестков, пригодных для анализа сигналов с весьма малым уров-
нем мощности. Приведены подробные таблицы параметров таких
оконных функций.
Другой предложенный способ расчета оконных функций основан
на использовании алгоритма минимизации различий формы окна и
его нормированного спектра.
Приведены таблицы параметров оконных функций, рассчитан-
ных путем минимизации различий формы окна и его спектра при
различном числе используемых ортогональных базисных функций
M от 1 до 9. При этом различие форм окна и его спектра составля-
ет от 2,5% до 0,4·10−10%, а максимальный боковой лепесток Фурье-
образа оконной функции уменьшается от −31,5 дБ до −253 дБ. Ко-
эффициент , являющийся показателем качества оконной функции,
также мало изменяется от 4,12% при Wmax = −31,5 дБ до 6,09%
при Wmax = −253 дБ.
В ряде случаев интерес представляют оконные функции с макси-
мально возможной скоростью спада боковых лепестков ее спектра.
Предисловие рецензента 9
Авторами предложен метод расчета таких окон с применением алго-
ритмов максимизации спада уровней боковых лепестков их спектра.
Одним из вариантов таких функций являются косинусоидальные
временные функции четных степеней 2n, при этом в случае увели-
чения коэффициента от значения n к n +1, спад боковых лепестков
уменьшается на 12 дБ.
Приведены таблицы параметров оконных функций, рассчитан-
ных при максимизации спада уровней боковых лепестков их спектра
от n = 1 до n = 10 при изменении скорости спада боковых лепестков
спектра окна с −12 дБ до −126 дБ на октаву.
Разработанный алгоритм минимизации спектральных составляю-
щих оконной функции вне пределов заданного интервала аналогичен
используемому алгоритму построения оптимальных измерительных
сигналов, приведенному в Приложении 1.
В ряде случаев в измерительных системах требуется реализация
ограниченных по длительности и практически финитных по спектру
сигналов.
Очевидно, что финитная по спектру функция, состоящая из сум-
мы составляющих ansinc ( (x − n)) не может быть ограничена ко-
нечным временным интервалом, но при рационально подобранных
коэффициентах an может оказаться, что при финитности спектра эта
функция может быть почти ограниченной по длительности на неко-
тором интервале [x1, x2], когда изменения одних членов конечного
ряда вне пределов указанного интервала практически компенсиру-
ются изменениями других членов этого ряда.
Синтез оптимального сигнала для оценки импульсных характе-
ристик каналов связи реализован с использованием рассмотренных
критериев путем численного анализа результатов расчета при раз-
личных значениях параметра ограничения спектра C и различном
числе членов ряда, аппроксимирующих функцию. Приведены пара-
метры оптимального измерительного сигнала для разных значений
параметра C, показано, что такой сигнал практически нечувствите-
лен к ограничению полосы пропускания до его номинальной частоты
и несколько более чувствителен к искажениям частотных характери-
стик ТВ-канала в полосе его пропускания.
Использование импульсного способа оценки каналов связи не ис-
ключает измерений его частотных характеристик, поскольку погреш-
ности в оценке импульсной характеристики могут привести к су-
щественным локальным искажениям гармонических характеристик
(и наоборот). По этим причинам целесообразным способом оценки
свойств ТВ-канала является не только измерение формы импульс-
10 Предисловие рецензента
ного сигнала, но и оценка его спектра, что достаточно просто ре-
ализуется с использованием сигналов, форма которых совпадает с
огибающей их спектра.
Проблемы синтеза таких сигналов симметричной и кососиммет-
ричной формы изложены в Приложении 2. Показано, что проблема
одновременной оценки импульсных и гармонических каналов связи
решается достаточно эффективно, если используются разработанные
сигналы.
В этом случае при одновременном воспроизведении на экране
индикатора формы импульсного сигнала и огибающей его спектра
при безыскаженной передаче указанные кривые должны совпадать.
При искажении частотных характеристик канала формы сигнала
и огибающей его спектра отличаются друг от друга, причем чув-
ствительность относительного изменения указанных кривых может
быть весьма существенной, что повышает точность оценки линейных
свойств канала связи. Приведены результаты расчетов изменения
формы оптимального сигнала и его спектра при различных искаже-
ниях АЧХ и ФЧХ канала связи.
Следует подчеркнуть, что данный труд авторов фундаменталь-
ных исследований, широко используемых в цифровой обработке ин-
формации, удивительно сочетается с множеством факторов, при-
дающих ему важную значимость для дальнейших исследований и
практического использования.
Доктор технических наук, профессор,
лауреат Государственной премии РФ,
заслуженный работник высшей школы РФ
Митрохин В.Н.
ГЛАВА 1
Введение
Основной задачей обработки сигналов с использованием оконных
функций является анализ их параметров на ограниченном интервале
времени при наличии различного рода помех. Для такого анализа
часто используют дискретное преобразование Фурье (ДПФ), обес-
печивающее разложение сигнала по базису, состоящему из простых
косинусоидальных и синусоидальных функций.
Обрабатываемый сигнал на заданном интервале преобразуется в
N эквидистантных отсчетов, а его гармонические оценки получаются
с помощью ДПФ, определяющего N соответствующих спектраль-
ных составляющих. Для получения удовлетворительных результа-
тов такого преобразования в случаях, когда длительность сигнала
не соответствует выбранному интервалу обработки или если период
следования сигнала не кратен этому интервалу, используются раз-
личные оконные функции, реализующие сглаживание спектральных
компонент. Следует отметить, что применение ДПФ предполагает
периодическое продолжение сигнала вне интервала обработки [1].
Таким образом, оконные функции, или окна, представляют собой
весовые функции, обеспечивающие уменьшение размывания спек-
тральных компонент, связанного с конечностью интервала наблюде-
ния. Влияние оконной функции приводит к существенному повыше-
нию гладкости исследуемого сигнала на границах его периодического
продолжения, если обеспечивается равенство или близость к нулю
максимального числа производных этой функции на границах вы-
бранного интервала обработки.
Все виды оконных функций симметричны относительно середи-
ны временного интервала −T/2 6 t 6 T/2 и ограничены по длитель-
ности этим интервалом. Следовательно, они могут быть представ-
лены с использованием ортогональных косинусоидальных базисных
функций с периодами, кратными интервалу T :
u (x) =
h
1 + 2
PM
m=1 am cos (2 mx)}
i
/S =
= b0 + 2
PM
m=1 bm cos (2 mx)}, |x| 6 1/2,
0, |x|>1/2,
(1)
12 Глава 1. Введение
где S = 1 + 2
PM
m=1 am, b0 = 1/S, bm = am/S, N число дискрет-
ных эквидистантных отсчетов сигнала на интервале T , x = t/T
нормированный временной интервал. Следует заметить, что для
классических оконных функций чаще всего используется M ≪ N/2.
Нормированный спектр такой функции может быть представлен
в виде:
F (y) = sinc ( y) +
MX
m=1
am [sinc ( (y + m)) + sinc ( (y−m)) ], (2)
где sinc (z) = sin (z) /(z), y=!T/(2 ) = fT нормированная часто-
та, |y| < ∞.
Эквидистантные отсчеты оконной функции (1), взятые на интер-
вале от 0 до T в точках tn = n T = nT/N, определяются соотноше-
нием:
u (n) =
1
S
"
1 + 2
MX
m=1
(−1)mamcos
2 mn
N
#
, 0 6 n 6 N − 1. (3)
Поскольку при ДПФ предполагается периодическое продолжение
последовательности (3), т.е. преобразуемая функция представима в
виде суммы компонент . . . u(n−2N) = u(n−N) = u(n) = u(n+N) =
= u(n+2N) . . . , спектральное окно ДПФ представимо в виде суммы
нормированных ядер Дирихле D(z) = ej z/N sin( z)
Nsin( z/N) :
FДПФ (y) = D(y) +
MX
m=1
(−1)mam [D(y + m) + D(y − m)]. (4)
Формулы (2) и (4) совпадают при N → ∞.
Поскольку оконная функция (1) строго ограничена на конечном
временном интервале, ее Фурье-спектр (2) теоретически не может
быть ограничен.
Предположим, что спектр сигнала f(t) ограничен некоторой ча-
стотой |!гр| 6 / T, тогда в соответствии с теоремой Котельнико-
ва–Найквиста его можно описать эквидистантной последовательно-
стью отсчетов f (n T ). Если ограничить эту последовательность на
некотором конечном временн´ом интервале T = N T , то при четном
числе N ее спектр можно определить конечной суммой:
F (!k) =
(NX/2)−1
n=−N/2
f (n T ) e−j!kn T . (5)
Глава 1. Введение 13
При сдвиге индекса суммирования на N/2 реализуется прямое ДПФ:
F (!k) =
XN
n=0
f (n T ) e−j!kn T , (6)
где !k = 2
N T k = 2
T k, k= 0, 1, . . . , N − 1.
Для оценки влияния окон на результаты преобразований предпо-
ложим, что спектр сигнала определяется функцией F(!), а спектр
оконной функции равен W(!). В таком случае результатом преобра-
зования произведения сигнала и оконной функции является свертка
спектров:
FW (!) = F (!) ∗W (!) . (7)
Это соотношение является ключом для оценки влияния конечной
длины последовательности данных на результаты их обработки.
Предположим, в качестве оконной функции используется наибо-
лее простое дискретное прямоугольное окно w (n T ), спектр кото-
рого W(!) определяется ядром Дирихле [2]:
W (!) = ej! T/2 sin (! TN/2)
sin (! T/2)
=ej!T/(2N) sin (!T/2)
sin (!T/(2N))
. (8)
Иначе, введя обозначения !T= 2 fT= 2 y, получим
W (y) = ej y/N sin ( y)
sin ( y/N)
,
и соотношение (7) представимо в виде FW (y) = F (y) ∗W (y).
Спектр этого окна имеет форму, изображенную на рис. 1.
Спектр свертки сигнала и окна FW(!) (7) на заданной часто-
те, например ! = !0, представляет собой сумму всех спектральных
компонент, взвешенных спектральным окном с центром на частоте
!0 (рис. 2) [2].
Оконные функции используются в большинстве задач цифровой об-
работки сигналов, поскольку нет возможности исследовать эти сиг-
налы на бесконечном интервале времени. Ограничение интервала
анализа сигналов также зачастую обусловлено их нестационарно-
стью. По этой причине особое внимание уделяется использованию
оконных функций при разработке кодирующих систем аудиосигна-
лов и анализа соответствий объективного и субъективного их вос-
приятия.
Использование оконного сглаживания позволяет рассчитывать
КИХ-фильтры под любые практические задачи для уменьшения эф-
фекта Гиббса и улучшения характеристик фильтра с аппроксимаци-
ей комплексного коэффициента передачи при линейной ФЧХ.
Особая область применения оконных функций разработка адап-
тивных антенных решеток, у которых параметры и, в частности, ха-
рактеристика диаграммы направленности изменяются автоматиче-
ски для обеспечения наилучших или приближающихся к наилучшим
условий приема полезного сигнала на фоне постоянно меняющихся
воздействий (помех). Выбранные оконные функции применяются
в качестве весового коэффициента к диаграмме направленности ан-
тенной решетки при синтезе системы с заданной частотной филь-
трацией.
Казалось: после публикации работы F.J. Herris ¾On the Use of
Windows for Harmonic Analysis with the Discrete Fourier Transform¿
(Proceedings of the IEEE, vol. 66, No. 1, January 1978) и ее перевода
на русский язык в журнале ТИИЭР (т. 66, 1978, № 1) возможно ли
разработать новые принципы построения оконных функций?
Эти публикации содержат подробную информацию о парамет-
рах и применении для обработки сигналов с использованием БПФ
классических оконных функций, начиная с прямоугольного окна Ди-
рихле и треугольного окна Файера–Бартлетта до окон Хеннинга и
Блекмана–Херриса, а также оконных функций, сконструированных
в виде произведений, сумм и сверток различных функций, в виде
отдельных участков известных окон различными авторами.
Для качественного спектрального анализа необходимо выбрать
оконную функцию так, чтобы уровень боковых лепестков ее спектра
был меньше динамического диапазона сигнала, а также определить
размер выборки БПФ для обеспечения требуемого разрешения по
частоте исходя из частоты дискретизации и свойств выбранной окон-
ной функции.
Поскольку все виды оконных функций симметричны относитель-
но середины временного интервала и ограничены по длительности
этим интервалом, они представимы в виде суммы ортогональных ко-
синусоидальных базисных функций с периодами, кратными этому
заданному интервалу.
С использованием этого однозначного представления окон авто-
ры разработали несколько вариантов создания новых оконных функ-
ций и оптимизации их параметров.
Один из них основан на использовании алгоритма минимизации
спектральных составляющих оконной функции вне пределов задан-
ного нормированного частотного интервала [−C,C]. С увеличени-
ем интервала максимальный боковой лепесток Фурье-образа окон-
ной функции Wmax плавно уменьшается (от −26 дБ при C = 1 до
−188 дБ при C = 7).
Несмотря на большое изменение параметра C, коэффициент ,
являющийся показателем качества оконной функции, изменяется не-
значительно от 4,7% при Wmax = −26 дБ до 6% при Wmax =
= −188 дБ. Приведена таблица параметров оконных функций, рас-
считанных путем минимизации мощности его спектральных компо-
нент вне пределов заданного интервала частот.
Синтез оконных функций, основанный на минимизации мощно-
сти его спектральных компонент вне пределов заданного интервала
частот, позволяет реализовать как известные стандартные оконные
функции, так и ряд новых функций с очень низким уровнем боковых
лепестков, пригодных для анализа сигналов с весьма малым уров-
нем мощности. Приведены подробные таблицы параметров таких
оконных функций.
Другой предложенный способ расчета оконных функций основан
на использовании алгоритма минимизации различий формы окна и
его нормированного спектра.
Приведены таблицы параметров оконных функций, рассчитан-
ных путем минимизации различий формы окна и его спектра при
различном числе используемых ортогональных базисных функций
M от 1 до 9. При этом различие форм окна и его спектра составля-
ет от 2,5% до 0,4·10−10%, а максимальный боковой лепесток Фурье-
образа оконной функции уменьшается от −31,5 дБ до −253 дБ. Ко-
эффициент , являющийся показателем качества оконной функции,
также мало изменяется от 4,12% при Wmax = −31,5 дБ до 6,09%
при Wmax = −253 дБ.
В ряде случаев интерес представляют оконные функции с макси-
мально возможной скоростью спада боковых лепестков ее спектра.
Предисловие рецензента 9
Авторами предложен метод расчета таких окон с применением алго-
ритмов максимизации спада уровней боковых лепестков их спектра.
Одним из вариантов таких функций являются косинусоидальные
временные функции четных степеней 2n, при этом в случае увели-
чения коэффициента от значения n к n +1, спад боковых лепестков
уменьшается на 12 дБ.
Приведены таблицы параметров оконных функций, рассчитан-
ных при максимизации спада уровней боковых лепестков их спектра
от n = 1 до n = 10 при изменении скорости спада боковых лепестков
спектра окна с −12 дБ до −126 дБ на октаву.
Разработанный алгоритм минимизации спектральных составляю-
щих оконной функции вне пределов заданного интервала аналогичен
используемому алгоритму построения оптимальных измерительных
сигналов, приведенному в Приложении 1.
В ряде случаев в измерительных системах требуется реализация
ограниченных по длительности и практически финитных по спектру
сигналов.
Очевидно, что финитная по спектру функция, состоящая из сум-
мы составляющих ansinc ( (x − n)) не может быть ограничена ко-
нечным временным интервалом, но при рационально подобранных
коэффициентах an может оказаться, что при финитности спектра эта
функция может быть почти ограниченной по длительности на неко-
тором интервале [x1, x2], когда изменения одних членов конечного
ряда вне пределов указанного интервала практически компенсиру-
ются изменениями других членов этого ряда.
Синтез оптимального сигнала для оценки импульсных характе-
ристик каналов связи реализован с использованием рассмотренных
критериев путем численного анализа результатов расчета при раз-
личных значениях параметра ограничения спектра C и различном
числе членов ряда, аппроксимирующих функцию. Приведены пара-
метры оптимального измерительного сигнала для разных значений
параметра C, показано, что такой сигнал практически нечувствите-
лен к ограничению полосы пропускания до его номинальной частоты
и несколько более чувствителен к искажениям частотных характери-
стик ТВ-канала в полосе его пропускания.
Использование импульсного способа оценки каналов связи не ис-
ключает измерений его частотных характеристик, поскольку погреш-
ности в оценке импульсной характеристики могут привести к су-
щественным локальным искажениям гармонических характеристик
(и наоборот). По этим причинам целесообразным способом оценки
свойств ТВ-канала является не только измерение формы импульс-
10 Предисловие рецензента
ного сигнала, но и оценка его спектра, что достаточно просто ре-
ализуется с использованием сигналов, форма которых совпадает с
огибающей их спектра.
Проблемы синтеза таких сигналов симметричной и кососиммет-
ричной формы изложены в Приложении 2. Показано, что проблема
одновременной оценки импульсных и гармонических каналов связи
решается достаточно эффективно, если используются разработанные
сигналы.
В этом случае при одновременном воспроизведении на экране
индикатора формы импульсного сигнала и огибающей его спектра
при безыскаженной передаче указанные кривые должны совпадать.
При искажении частотных характеристик канала формы сигнала
и огибающей его спектра отличаются друг от друга, причем чув-
ствительность относительного изменения указанных кривых может
быть весьма существенной, что повышает точность оценки линейных
свойств канала связи. Приведены результаты расчетов изменения
формы оптимального сигнала и его спектра при различных искаже-
ниях АЧХ и ФЧХ канала связи.
Следует подчеркнуть, что данный труд авторов фундаменталь-
ных исследований, широко используемых в цифровой обработке ин-
формации, удивительно сочетается с множеством факторов, при-
дающих ему важную значимость для дальнейших исследований и
практического использования.
Доктор технических наук, профессор,
лауреат Государственной премии РФ,
заслуженный работник высшей школы РФ
Митрохин В.Н.
ГЛАВА 1
Введение
Основной задачей обработки сигналов с использованием оконных
функций является анализ их параметров на ограниченном интервале
времени при наличии различного рода помех. Для такого анализа
часто используют дискретное преобразование Фурье (ДПФ), обес-
печивающее разложение сигнала по базису, состоящему из простых
косинусоидальных и синусоидальных функций.
Обрабатываемый сигнал на заданном интервале преобразуется в
N эквидистантных отсчетов, а его гармонические оценки получаются
с помощью ДПФ, определяющего N соответствующих спектраль-
ных составляющих. Для получения удовлетворительных результа-
тов такого преобразования в случаях, когда длительность сигнала
не соответствует выбранному интервалу обработки или если период
следования сигнала не кратен этому интервалу, используются раз-
личные оконные функции, реализующие сглаживание спектральных
компонент. Следует отметить, что применение ДПФ предполагает
периодическое продолжение сигнала вне интервала обработки [1].
Таким образом, оконные функции, или окна, представляют собой
весовые функции, обеспечивающие уменьшение размывания спек-
тральных компонент, связанного с конечностью интервала наблюде-
ния. Влияние оконной функции приводит к существенному повыше-
нию гладкости исследуемого сигнала на границах его периодического
продолжения, если обеспечивается равенство или близость к нулю
максимального числа производных этой функции на границах вы-
бранного интервала обработки.
Все виды оконных функций симметричны относительно середи-
ны временного интервала −T/2 6 t 6 T/2 и ограничены по длитель-
ности этим интервалом. Следовательно, они могут быть представ-
лены с использованием ортогональных косинусоидальных базисных
функций с периодами, кратными интервалу T :
u (x) =
h
1 + 2
PM
m=1 am cos (2 mx)}
i
/S =
= b0 + 2
PM
m=1 bm cos (2 mx)}, |x| 6 1/2,
0, |x|>1/2,
(1)
12 Глава 1. Введение
где S = 1 + 2
PM
m=1 am, b0 = 1/S, bm = am/S, N число дискрет-
ных эквидистантных отсчетов сигнала на интервале T , x = t/T
нормированный временной интервал. Следует заметить, что для
классических оконных функций чаще всего используется M ≪ N/2.
Нормированный спектр такой функции может быть представлен
в виде:
F (y) = sinc ( y) +
MX
m=1
am [sinc ( (y + m)) + sinc ( (y−m)) ], (2)
где sinc (z) = sin (z) /(z), y=!T/(2 ) = fT нормированная часто-
та, |y| < ∞.
Эквидистантные отсчеты оконной функции (1), взятые на интер-
вале от 0 до T в точках tn = n T = nT/N, определяются соотноше-
нием:
u (n) =
1
S
"
1 + 2
MX
m=1
(−1)mamcos
2 mn
N
#
, 0 6 n 6 N − 1. (3)
Поскольку при ДПФ предполагается периодическое продолжение
последовательности (3), т.е. преобразуемая функция представима в
виде суммы компонент . . . u(n−2N) = u(n−N) = u(n) = u(n+N) =
= u(n+2N) . . . , спектральное окно ДПФ представимо в виде суммы
нормированных ядер Дирихле D(z) = ej z/N sin( z)
Nsin( z/N) :
FДПФ (y) = D(y) +
MX
m=1
(−1)mam [D(y + m) + D(y − m)]. (4)
Формулы (2) и (4) совпадают при N → ∞.
Поскольку оконная функция (1) строго ограничена на конечном
временном интервале, ее Фурье-спектр (2) теоретически не может
быть ограничен.
Предположим, что спектр сигнала f(t) ограничен некоторой ча-
стотой |!гр| 6 / T, тогда в соответствии с теоремой Котельнико-
ва–Найквиста его можно описать эквидистантной последовательно-
стью отсчетов f (n T ). Если ограничить эту последовательность на
некотором конечном временн´ом интервале T = N T , то при четном
числе N ее спектр можно определить конечной суммой:
F (!k) =
(NX/2)−1
n=−N/2
f (n T ) e−j!kn T . (5)
Глава 1. Введение 13
При сдвиге индекса суммирования на N/2 реализуется прямое ДПФ:
F (!k) =
XN
n=0
f (n T ) e−j!kn T , (6)
где !k = 2
N T k = 2
T k, k= 0, 1, . . . , N − 1.
Для оценки влияния окон на результаты преобразований предпо-
ложим, что спектр сигнала определяется функцией F(!), а спектр
оконной функции равен W(!). В таком случае результатом преобра-
зования произведения сигнала и оконной функции является свертка
спектров:
FW (!) = F (!) ∗W (!) . (7)
Это соотношение является ключом для оценки влияния конечной
длины последовательности данных на результаты их обработки.
Предположим, в качестве оконной функции используется наибо-
лее простое дискретное прямоугольное окно w (n T ), спектр кото-
рого W(!) определяется ядром Дирихле [2]:
W (!) = ej! T/2 sin (! TN/2)
sin (! T/2)
=ej!T/(2N) sin (!T/2)
sin (!T/(2N))
. (8)
Иначе, введя обозначения !T= 2 fT= 2 y, получим
W (y) = ej y/N sin ( y)
sin ( y/N)
,
и соотношение (7) представимо в виде FW (y) = F (y) ∗W (y).
Спектр этого окна имеет форму, изображенную на рис. 1.
Спектр свертки сигнала и окна FW(!) (7) на заданной часто-
те, например ! = !0, представляет собой сумму всех спектральных
компонент, взвешенных спектральным окном с центром на частоте
!0 (рис. 2) [2].