eng
Содержание
Содержание
Список сокращений 8
Список основных обозначений 10
Предисловие 15
Глава 1. Введение в адаптивную обработку сигналов 20
1.1.
Введение 20
1.2.
Требования к адаптивным фильтрам 24
1.3.
Критерии функционирования адаптивных фильтров 31
1.4.
Идентификация неизвестной линейной системы 33
1.5.
Компенсация эхо-сигналов 37
1.6.
Выравнивание характеристик электрических каналов связи 44
1.7.
Адаптивные антенные решетки 51
1.8.
Шумоочистка сигналов 53
1.9.
Линейное предсказание сигналов 57
1.10.
Выводы по главе 58
Глава 2. Оператор комплексного градиента и его применение
в теории адаптивной фильтрации сигналов 59
2.1.
Введение 59
2.2.
Несколько простых примеров дифференцирования функций
действительных и комплексных переменных 60
2.3.
Дифференцирование комплексных и действительных функций
комплексного переменного 63
2.4.
Свойства оператора комплексного градиента 69
2.5.
Выводы по главе 71
Глава 3. Основы адаптивной фильтрации сигналов 72
3.1.
Введение 72
3.2.
Корреляционная матрица 73
3.3.
Собственные числа и собственные векторы
корреляционной матрицы 78
3.4.
Винеровская фильтрация 86
3.5.
Поверхность среднеквадратической ошибки 89
3.6.
Пример расчета собственных чисел, собственных векторов
корреляционной матрицы и поверхности среднеквадратической
ошибки 99
3.7.
Линейно-ограниченная винеровская фильтрация 102
3.8.
Выводы по главе 109
Глава 4. Поиск винеровского решения 110
4.1.
Введение 110
4.2.
Алгоритм Ньютона 111
4.3.
Постоянные времени алгоритма Ньютона 114
4.4.
Алгоритм наискорейшего спуска 118
4.5.
Постоянные времени алгоритма наискорейшего спуска 120
4.6.
Другая интерпретация алгоритма Ньютона 131
4.7.
Выводы по главе 134
Глава 5. LMS-алгоритм и его свойства 135
5.1.
Введение 135
5.2.
LMS-алгоритм 135
5.3.
Переходные процессы в LMS-алгоритме 139
5.4.
Качество адаптивной фильтрации сигналов
с помощью LMS-алгоритма 146
5.5.
NLMS-алгоритм 166
5.6.
Градиентные алгоритмы с переменным шагом сходимости 171
5.7.
Линейно-ограниченные LMS- и NLMS-алгоритмы 173
5.8.
Выводы по главе 181
Глава 6. Рекурсивная адаптивная фильтрация
по критерию наименьших квадратов 182
6.1.
Введение 182
6.2.
Задача наименьших квадратов и ее решение 182
6.3.
Основные свойства LS-решения 186
6.4.
Геометрическая интерпретация метода наименьших квадратов 190
6.5.
Рекурсивная задача наименьших квадратов 194
6.6.
Решение рекурсивной задачи наименьших квадратов 196
6.7.
Качество адаптивной фильтрации с помощью RLS-алгоритма 205
6.8.
Выводы по главе 217
Глава 7. Рекурсивная адаптивная фильтрация по критерию наименьших
квадратов на основе обратного QR-разложения 218
7.1.
Введение 218
7.2.
RLS-фильтрация с помощью прямого QR-разложения 219
7.3.
Рекурсивное вычисление вектора весовых коэффициентов 222
7.4.
Рекурсивное вычисление некоторых переменных 225
7.5.
Обратное QR-разложение 228
7.6.
Вычисление обратного разложения Холецкого 236
7.7.
Параллельная реализация IQRD RLS-алгоритма 239
7.8.
Выводы по главе 243
СодГлава 8. Рекурсивная адаптивная фильтрация по критерию наименьших
квадратов на базе прямого QR-разложения 244
8.1.
Введение 244
8.2.
Рекурсивная форма прямого QR-разложения 245
8.3.
Рекурсивное вычисление ошибок 250
8.4.
Параллельная реализация QRD RLS-алгоритма 257
8.5.
Выводы по главе 259
Глава 9. Уменьшение вычислительной сложности рекурсивных алгоритмов
адаптивной фильтрации по критерию наименьших квадратов 260
9.1.
Введение 260
9.2.
Преобразование Хаусхолдера 261
9.3.
RLS-алгоритм, использующий преобразование Хаусхолдера 265
9.4.
Исключение операций извлечения квадратного корня
в алгоритмах на основе обратного QR-разложения 270
9.5.
Исключение операций извлечения квадратного корня
в алгоритмах на основе прямого QR-разложения 277
9.6.
Выводы по главе 283
Глава 10. Линейно-ограниченная рекурсивная адаптивная фильтрация
по критерию наименьших квадратов 284
10.1.
Введение 284
10.2.
Постановка и решение линейно-ограниченной RLS-задачи
адаптивной фильтрации 284
10.3.
Линейно-ограниченный RLS-алгоритм 287
10.4.
Двойное ограничение в RLS-алгоритме 291
10.5.
RLS-алгоритм с двойным ограничением и линейной
вычислительной сложностью 293
10.6.
Выводы по главе 297
Глава 11. Быстрые рекурсивные адаптивные алгоритмы
по критерию наименьших квадратов 298
11.1.
Введение 298
11.2.
Линейное предсказание вперед 300
11.3.
Линейное предсказание назад 304
11.4.
Быстрое вычисление вектора коэффициентов Калмана 307
11.5.
Соотношение между апостериорными и априорными ошибками 312
11.6.
Рекурсивное вычисление отношения ошибок 313
11.7.
Быстрый алгоритм Калмана 315
11.8.
FTF-алгоритм 317
11.9.
FAEST-алгоритм 320
11.10.
Выводы по главе 323
Глава 12. Быстрые лестничные алгоритмы 324
12.1.
Введение 324
12.2.
Рекурсивное вычисление энергий ошибок линейного предсказания 325
12.3.
Рекурсивное вычисление ошибок линейного предсказания
и коэффициентов отражения 330
12.4.
Рекурсивное вычисление ошибок моделирования требуемого
сигнала адаптивного фильтра 334
12.5.
Рекурсивные адаптивные алгоритмы на основе вычисления
априорных и апостериорных ошибок 338
12.6.
Рекурсивные адаптивные алгоритмы с обратными связями
на основе вычисления априорных и апостериорных ошибок 343
12.7.
Нормализованный лестничный алгоритм 350
12.8.
Алгоритм на основе QR-разложения с операциями извлечения
квадратного корня 359
12.9.
Алгоритм на основе QR-разложения без операций извлечения
квадратного корня 370
12.10.
Алгоритм на основе QR-разложения с операциями извлечения
квадратного корня в пространстве состояний 373
12.11.
Выводы по главе 376
Глава 13. Многоканальные RLS-алгоритмы 377
13.1.
Введение 377
13.2.
B-SUSD линейное предсказание 378
13.3.
B-SUSD-вычисление векторов коэффициентов Калмана
и отношений ошибок линейного предсказания 385
13.4.
B-SUSD быстрые RLS-алгоритмы 392
13.5.
1-SUSD линейное предсказание 398
13.6.
1-SUSD вычисление векторов коэффициентов Калмана
и отношений ошибок линейного предсказания 402
13.7.
1-SUSD быстрые RLS-алгоритмы 411
13.8.
Выводы по главе 418
Глава 14. Другие разновидности RLS-алгоритмов 419
14.1.
Введение 419
14.2.
Быстрые алгоритмы на основе обратного QR-разложения 420
14.3.
Регуляризация RLS-алгоритмов 425
14.4.
RLS-алгоритмы со скользящим окном 428
14.5.
Одновременное использование скользящего окна
и регуляризации в RLS-алгоритмах 432
14.6.
Параллельные RLS-алгоритмы, допускающие вычисления
с помощью двух или четырех процессоров 438
14.7.
Особенности построения быстрых многоканальных алгоритмов
аффинных проекций 443
14.8.
Инициализация RLS-алгоритмов 458
14.9.
Выводы по главе 463
Глава 15. Применение адаптивных алгоритмов 464
15.1.
Введение 464
15.2.
Моделирование адаптивных фильтров с помощью
приложений DSP System Toolbox языка MATLAB 466
15.3.
Нестандартные программные средства для моделирования
адаптивных фильтров на языке MATLAB 471
15.4.
Моделирование приложений адаптивной фильтрации с помощью
Adaptive Filter Toolkit среды разработки LabVIEW 472
15.5.
Нестандартные программные средства для моделирования
адаптивных фильтров в среде разработки LabVIEW 484
15.6.
Моделирование приложений адаптивной фильтрации с помощью
Adaptive Equalization Library среды разработки SystemVue 489
15.7.
Библиотека адаптивной фильтрации для ЦСП отечественного
семейства «Мультикор» 494
15.8.
Приложения адаптивной фильтрации для цифровых
сигнальных процессоров компаний Texas Instruments,
Analog Devices и Freescale Semiconductor 498
15.9.
Выводы по главе 501
Заключение 502
Список литературы 505
Предметный указатель 521
Adaptive Signal Filtering: Theory and Algorithms
by Victor I. Djigan
http://www.linkedin.com/pub/victor-djigan/0/a49/31
E-mail: victor.dzhigan@huawei.com
Tel.: +7-925-008-0903 (mobile office), +7-905-589-0703 (mobile home)
2013
Publisher: Technosphera (Moscow, Russia)
http://www.technosphera.ru/page/tsphera_en?lang=en
ISBN: 978-5-94836-342-4
Publisher contacts are available on the above link
Abstract
The book considers the basic structures of adaptive filters and the filters applications in radio and communication systems. Mathematical background used in adaptive filtering is presented. The methods of the adaptive filtering development, computational procedures of the algorithms and the algorithms properties are considered. The considered algorithms are Newton, Steepest Descent, Least Mean Square (LMS), Recursive Least Squares (RLS) and Fast (computationally effective) RLS, multichannel RLS, RLS for non stationary signal processing and multichannel Affine Projection. The description of standard and non-standard tools for adaptive filters simulation in modern software like MATLAB, LabVIEW and SystemVue, as well as the results of the implementation of adaptive filters in modern Digital Signal Processors, are presented.
The theory is presented for the most general case of adaptive filters, i.e. adaptive filters with complex-valued weights, multichannel adaptive filters and adaptive filters for non stationary signal processing.
The book is the first systematic description of adaptive filter theory in Russian language.
It can be useful for scientists, engineers, under and post graduation students, who deals with radio and communication systems design and investigation, digital signal processing and particularly with adaptive signal processing.
Published in Russian http://www.technosphera.ru/lib/book/333 , the book has 528 pages; 152 numbered pictures (236 unnumbered pictures), 55 tables; 1488 numbered formulas and a number of unnumbered formulas.
About the Author
Victor I. Dzhigan (known as Victor I. Djigan), was born in 1958 Ukraine. He has DSc, PhD, MS and BS degrees, all in Radioengineering. He is an IEEE Senior Member, a Member of Russian Radioengineering Society and a Real Member of Academia of Applied Electronics Sciences (Ukraine). Presently he is a Chief Senior Scientist in Russian Research Center Huawei (Moscow, Russia). Previously he was employed in Samsung (Korea), PMC-Sierra (Irealand), LG (Russia) and in a number of Russian companies. He is also a part-time professor in Radioengineering Department in National Research University of Electronic Technology (Moscow, Russia). Dr. Dzhigan is the author of about 200 scientific papers and 4 books on Adaptive Signal Processing and related topics. He has long time experience in Adaptrive Siganal Processing field.
Contents
Page
ABBREVIATION ………………………………………………….. 8
FORMULA NOTATIONS …………………………………………. 10
PREFACE …………………………………………………............... 15
ABBREVIATIONS ……………………………………………..….. 18
1.
INTRODUCTION TO ADAPTIVE SIGNAL PROCESSING …… 20
1.1.
Chapter introduction ……………………………………………… 20
1.2.
Adaptive filter specification ………………………………………... 24
1.3.
Cost functions of adaptive filters ………………………………….... 31
1.4.
Linear system identification ………………………………………... 33
1.5.
Echo cancellation ………………………………………………….. 37
1.6.
Channel equalization …...................................................................... 44
1.7.
Adaptive arrays ……………………………………………………... 51
1.8.
Noise cancellation …………………………………………………... 53
1.9.
Linear prediction ………………………………................................. 57
1.10.
Chapter conclusion ………………………………………………..... 58
33
numbered pictures (81 unnumbered pictures), 0 tables; 15 numbered formulas.
2.
COMPLEX GRADIENT OPERATOR AND ITS APPLICATION IN ADAPTIVE SIGNAL PROCESSING ..........................................
59
2.1.
Chapter introduction ………………………………………………... 59
2.2.
A few simple examples of differentiation of real-values and complex-valued functions ………………………………..................
60
2.3.
Differentiation of complex-valued and real-valued functions of complex-valued variables …………………………………………...
63
2.4.
Properties of complex gradient operator …………………................ 69
2.5.
Chapter conclusion ………………………………………………..... 71
0
numbered pictures (0 unnumbered pictures), 0 tables; 62 numbered formulas.
3.
FUNDAMENTALS OF ADAPTIVE FILTERING ……………… 72
3.1.
Chapter introduction ………………………………………………... 72
3.2.
Correlation matrix …………………………………………………... 73
3.3.
Eigenvalues and eigenvectors of correlation matrix ………………... 78
3.4.
Wiener filtering ……………………………………………………... 86
3.5.
Mean square error surface ………………………………………….. 89
3.6.
Example of the calculation of eigenvalues and eigenvectors of correlation matrix, and mean square error surface …………………...... 99
3.7
Linearly constrained Wiener filtering ………………………………. 102
3.8.
Chapter conclusion ………………………………………………..... 109
17
numbered pictures (18 unnumbered pictures), 0 tables; 109 numbered formulas.
4.
WIENER FILTERING SOLUTION ……………………………….. 110
4.1
Chapter introduction ……………………………………………… 110
4.2
Newton algorithm ………………………………………………....... 111
4.3
Time constants of Newton algorithm ………………………………. 114
4.4
Steepest descent algorithm …………………………………………. 118
4.5
Time constants of steepest descent algorithm ……………………… 120
4.6
Another interpretation of Newton algorithm ……………………… 131
4.7
Chapter conclusion ………………………………………………... 134
20
numbered pictures (20 unnumbered pictures), 0 tables; 57 numbered formulas.
5.
LMS ALGORITHM AND ITS PROPERTIES …………………….. 135
5.1.
Chapter introduction ………………………………………………... 135
5.2.
LMS algorithm .…………………………………………………….. 135
5.3.
Transient responses of LMS algorithm ………………….…………. 139
5.4.
Quality of adaptive filtering by means of LMS algorithms ……… 146
5.5.
NLMS algorithm .…………………………………………………... 166
5.6.
Gradient algorithms with variable step-size ………………………... 171
5.7.
Linearly constrained LMS- and NLMS-algorithms ………………... 173
5.8.
Chapter conclusion ………………………………………………..... 181
16
numbered pictures (16 unnumbered pictures), 6 tables; 204 numbered formulas.
6.
RECURSIVE LEAST SQUARES ADAPTIVE FILTERING ……... 182
6.1.
Chapter introduction ………………………………………………... 182
6.2.
Least squares problem and its solution ……………………………... 182
6.3.
Basic properties of least squares solution …………………………... 186
6.4.
Geometric interpretation of least squares method ………………….. 190
6.5.
Recursive least squares problem ……………………………………. 194
6.6.
Recursive least squares problem solution …………………………... 196
6.7.
Quality of adaptive filtering by means of RLS algorithms ……… 205
6.8.
Chapter conclusion ………………………………………………..... 217
9
numbered pictures (9 unnumbered pictures), 1 table; 141 numbered formulas.
7.
RECURSIVE LEAST SQUARES ADAPTIVE FILTERING ALGORITHMS BASED ON INVERSE QR DECOMPOSITION
218
7.1.
Chapter introduction ………………………………………………... 218
7.2.
RLS filtering based on direct QR decomposition …………………... 219
7.3.
Recursive computation of weight vector …………………………… 222
7.4.
Recursive computation of some variables ………………………….. 225
7.5.
Inverse QR decomposition …………………………………………. 228
7.6.
Computation of inverse Cholesky factorization ………………….. 236
7.7.
Parallel implementation of IQRD RLS algorithms ………………… 239
7.8.
Chapter conclusion ………………………………………………..... 243
4
numbered pictures (5 unnumbered pictures); 1 table; 130 numbered formulas.
8.
RECURSIVE LEAST SQUARES ADAPTIVE FILTERING ALGORITHMS BASED ON DIRECT QR DECOMPOSITION ….
244
8.1.
Chapter introduction ………………………………………………... 244
8.2.
Recursive form of direct QR decomposition ……………………….. 245
8.3.
Recursive computation of errors ………………………………......... 250
8.4.
Parallel implementation of QRD RLS algorithms …………………. 257
8.5.
Chapter conclusion ………………………………………………... 259
2
numbered pictures (2 unnumbered pictures); 1 table; 60 numbered formulas.
9.
COMPUTATION COMPLEXITY DECREASING IN RECURSIVE LEAST SQUARES ADAPTIVE FILTERING ALGORITHMS ……………………………………………………..
260
9.1.
Chapter introduction ………………………………………………... 260
9.2.
Householder transform ……………………………………………... 261
9.3.
RLS algorithm, based on Householder transform ………………….. 265
9.4.
Elimination of square roots in inverse QRD algorithms …………… 270
9.5.
Elimination of square roots in direct QRD algorithms ……………... 277
9.6.
Chapter conclusion ………………………………………………..... 283
1
numbered picture (1 unnumbered picture); 3 tables; 144 numbered formulas.
10.
LINEARLY CONSTRAINED LEAST SQUARES ADAPTIVE FILTERING ………………………………………….……………...
284
10.1.
Chapter introduction ………………………………………………... 284
10.2.
Linearly constrained RLS problem and its solution ………............... 284
10.3.
Linearly constrained RLS algorithm ……………………………….. 287
10.4.
Double constraint in RLS algorithm ………………………………... 291
10.5.
Double constraint in RLS algorithm with linear computational complexity ……………………………………………………………….
293
10.6.
Chapter conclusion ………………………………………………... 297
0
numbered pictures (0 unnumbered pictures); 3 tables; 54 numbered formulas.
11.
FAST RECURSIVE LEAST SQUARES ALGORITHMS ………... 298
11.1.
Chapter introduction ………………………………………………... 298
11.2.
Linear forward prediction …………………………………............... 300
11.3.
Linear backward prediction ………………………………………… 304
11.4.
Fast computation of Kalman gain ………........................................... 307
11.5.
A posteriori and a priori errors relationships ……………………….. 312
11.6.
Recursive computation of error ratios ………………….................... 313
11.7.
Fast Kalman algorithm ……………………………………………... 315
11.8.
FTF algorithm ………………………………………………………. 317
11.9.
FAEST algorithm …………………………………………………... 320
11.10.
Chapter conclusion ………………………………………………... 323
2
numbered pictures (2 unnumbered pictures); 4 tables; 111 numbered formulas.
12.
LATTICE ALGORITHMS ………………………………………… 324
12.1.
Chapter introduction ………………………………………………... 324
12.2.
Recursive computation of linear prediction error energies ………… 325
12.3.
Recursive computation of linear prediction errors and reflection coefficients …………………………………………………………
330
12.4.
Recursive computation of join process errors ……………………… 334
12.5.
Recursive adaptive filtering algorithms based on a priory and a posteriori linear prediction errors of input signal and join process estimation ……………………………………………………………
338
12.6.
Feedback recursive adaptive filtering algorithms based on a priory and a posteriori linear prediction errors of input signal and join process estimation ………………...…………………………………
343
12.7.
Normalized lattice algorithm ……………………………………….. 350
12.8.
Square roots QRD based algorithm ……………………….………... 359
12.9.
Square roots free QRD based algorithm ……………………………. 370
12.10.
Square roots QRD based algorithm in state-space …….………........ 373
12.11.
Chapter conclusion ………………………………………………... 376
6
numbered pictures (6 unnumbered pictures); 11 tables; 193 numbered formulas.
13.
MULTICHANNEL RLS ALGORITHMS …………………………. 377
13.1
Chapter introduction ……………………………………………...… 377
13.2.
B-SUSD linear prediction …………………………………...……… 378
13.3.
B-SUSD calculation of Kalman gains and the relations of prediction errors ………………………………………………………………...
385
13.4.
B-SUSD fast RLS algorithms ………………………………………. 392
13.5.
1-SUSD linear prediction …………………………………...……… 398
13.6.
1-SUSD calculation of Kalman gains and the relations of prediction errors ………………………………………………………………...
402
13.7.
1-SUSD fast RLS algorithms ………………………………………. 411
13.8.
Chapter conclusion ………………………………………………... 418
0
numbered pictures (0 unnumbered pictures); 7 tables; 153 numbered formulas.
14.
OTHER RLS ALGOROTHMS ……………………………………. 419
14.1.
Chapter introduction ……………………………………………...… 419
14.2.
Fast QR RLS algorithms ……………………………………………. 420
14.3.
Regularization of RLS algorithms …………………………………. 425
14.4.
Sliding window RLS algorithms …………………………................ 428
14.5.
Simultaneous using od sliding window and regularization in RLS algorithms …………………………………………………………
432
14.6.
Parallel RLS-алгоритмы for implementation in two or four processors …………………………………………………………………..
438
14.7.
Peculiarities of multichannel fast affine projection algorithms …… 443
14.8
Initialization of RLS algorithms …………………………………… 458
14.9
Chapter conclusion ………………………………………………... 463
15
numbered pictures (23 unnumbered pictures); 14 tables; 55 numbered formulas.
15.
SIMULATION AND IMPLEMENTATION OF ADAPTIVE FILTERS ………………………………………………………........
464
15.1
Chapter introduction ……………………………………………...… 464
15.2
Simulation of adaptive filters by means of functions of DSP System Toolbox in MATLAB ……………………………………………….
466
15.3
Nonstandard software for simulation of adaptive filters in MATLAB …………………………………………………………
471
15.4
Simulation of adaptive filters applications by means of Adaptive Filter Toolkit in LabVIEW ………………………………………….
472
15.5
Nonstandard software for simulation of adaptive filters in LabVIEW …………………………………………………………… 484
15.6
Simulation of adaptive filters applications by means of Adaptive Equalization Library in SystemVue ………………………………... 489
15.7
Adaptive Filter Library for signal controllers of «Multicore» family 494
15.8
Adaptive filters in Applied Libraries of Texas Instruments, Analog Device, Freescale Semiconductor DSPs ……………………………. 498
15.9
Chapter conclusion ………………………………………………... 501
27
numbered pictures (53 unnumbered pictures); 4 tables; 0 numbered formulas.
CONCLUTION ……………………………………………………. 502
REFERENCES …………………………………………………… 505
231
titles.
INDEX ……………………………………………………………… 521-528
Book Short Preface
The Digital Signal Processing (DSP) today is widely used in modern radiosystem engineering as well as in products of consumer electronics due to the big theoretical achievements in DSP and due to the electronic industry achievements, that allow to manufacture high performance digital VLSI for the real-time signal processing. Adaptive signal processing is a subfield in modern DSP.
Practical using of adaptive signal processing appeared due to the elaboration of the first adaptive filter based on Least Mean Square (LMS) criterion algorithm by B. Widrow (Stanford University, US) in 50-ths of the last century.
When is it needed to use the adaptive filtering of the signals? The adaptive filters is used if the filters with fixed parameters cannot solve a task, when the conditions of filtering are changed in time or when a specification to a filter cannot be defined in advance.
Adaptive filter is a filter, whose weights are changed during its operation. Dependently to a task the filter can be single-channel or multi-channel one with real-valued or complex-valued weights. The algorithms used to the weights calculations can be computationally and algorithmically simple like LMS algorithms or computationally complex like Recursive Least Squares (RLS) algorithms.
Today, there are lots of radio devices and equipment whose performance is almost impossible without the adaptive filters using . The examples are adaptive antenna arrays, acoustic and electrical echo cancellers, adaptive channel equalizers, noise cancellers etc. Adaptive filter which is a basic element of the above adaptive devices demonstrates different efficiency dependently the algorithm used for the filter weight calculation. To answer the question: ‘What the reason of the different efficiency?’, it is needed to understand what adaptive filtering is from mathematical point of view.
The answer on the questions are located in the journal and conference papers and DSP related books. The given book in one more book on the subject and the first book where the theory (mathematics) and practice (algorithms) are systematically presented in Russian language. The book considers lots of different adaptive filtering algorithms: from the simplest algorithms based on the gradient search strategy to the complex algorithms based on Least Square (LS) criterion. The materials are presented for the complex-valued signal filtering. The book has lots of pictures that are the results of numerical experiments. Some applications of adaptive filters are also discussed.
The book is organized as follow.
Chapter 1 considers the basics of adaptive filtering, architectures and costs functions of adaptive filters, as well as quality parameters, used in adaptive filters. Some examples of adaptive filters applications that are used in radio systems are also considered. They are adaptive echo-cancellers, equalizers, adaptive arrays, adaptive noise cancellers and adaptive filters of narrow-band signals.
Chapter 2 considers the complex-valued gradient operator and its properties. It considers the operator application in real-valued and complex-valued cost functions used in adaptive filtering. The results are compared to the real-valued gradient operator application with the real-valued cost functions.
Chapter 3 considers such fundamental objects of adaptive signal processing, condition-less and conditional (linearly constrained) Wiener filtering of the signals.
Chapter 4 considers two methods of Wiener filtering problem solution. They are Newton and steepest descent algorithms. The properties of the algorithms are analyzed. The results of numerical simulation are presented.
Chapter 5 considers the LMS adaptive filtering algorithm. The properties of the algorithm are analyzed. The results of numerical simulation are presented. Besides Normalized LMS (NLMS), LMS and NLMS with variable (gradient adaptive) step-size and linearly constrained LMS and NLMS algorithms are presented.
Chapter 6 considers the LS problem and its solution. Besides, it considers the RLS adaptive filtering algorithm based on the Matrix Inversion Lemma (MIL). The algorithm is the recursive solution of the LS problem. In the algorithm the MIL is used for the recursive inversion of the correlation matrix of adaptive filter input signal. The properties of the algorithm are analyzed. The results of numerical simulation are presented.
Chapter 7 considers RLS algorithm based on the inverse QR decomposition of the input signal matrix with the using of Givens rotations. The steps of the algorithm development, the algorithm description and some peculiarities of hardware implementation of the algorithm by means of parallel computations are presented.
Chapter 8 considers the RLS adaptive filtering algorithm, based on direct QR decomposition with the using of Givens rotations. The steps of the algorithm development, the algorithm description and some peculiarities of hardware implementation of the algorithm by means of parallel computations are presented.
Chapter 9 considers the RLS algorithm of adaptive filtering, based on inverse QR decomposition with the using of Householder transform. The algorithm has only one square root and only one dividing operations. The number of the square root operations in direct and inverse QR decomposition based algorithms with Givens rotation is proportional to the number of the weights of an adaptive filter. A method of the square root operations removing in the QR decomposition based algorithms is considered.
Chapter 10 considers linearly-constrained RLS algorithms based on the using of MIL. Three such algorithms with quadratic and linear complexity in the linearly-constrained part of the algorithms are considered.
Chapter 11 considers fast, i.e. computationally efficient, linear complexity RLS adaptive filtering algorithms, based on the sell matrix inversion lemma. The algorithms are the result of the mathematically equivalent transforms of the RLS algorithm, considered in Chapter 6.
Chapter 12 considers the theory and elaboration of the lattice adaptive filtering algorithms that belong to fast linear complexity RLS algorithm family. Ten lattice algorithms are presented.
Chapter 13 considers two methods of the development of the multi-channel versions of the RLS algorithms, presented in Chapters 6 – 11, for the adaptive filters with equal and unequal number of weights in the channels of the filters. The methods are based on the using of the permutation matrices.
Chapter 14 considers a number of the RLS algorithms that can be built with the using of the methods from Chapters 6 – 13. These are fast QR decomposition based RLS algorithms, RLS algorithms for non-stationary signal processing and the parallel versions of the algorithms. The RLS algorithms for non-stationary signal processing can be used itself or as a portion of computations in Fast Affine Projection (FAP) algorithm of adaptive filtering. Multichannel FAP and linearly constrained AP algorithms are presented. Besides, the initialization of RLS and fast RLS algorithms is discussed.
Chapter 15 considers standard (developed by software manufactures) and nonstandard (developed by the author) tools for the simulation of adaptive filters in MATLAB, LabVIEW and SystemVue. Besides, some peculiarities of applied libraries of adaptive filters, implemented in modern Digital Signal Processors from TI, Analog Devices, Freescale and ELVEES (Russian manufactures) are discussed.
So, the book describes the basic theoretical aspects of modern adaptive signal processing and the adaptive filtering algorithms that are the result of the theory using. I hope, the readers of the book will receive a systematic knowledge in adaptive filtering and it will motivate the future studying and applications of the adaptive filtering theory and adaptive algorithms in practice.
This book will be useful for the senior as well as for beginning researchers and engineers, because all aspects of adaptive signal processing in the book are presented in details. So, from this point of view the book should be self-sufficient for the most of it’s readers.
Предисловие
Цифровая обработка сигналов (ЦОС) сегодня широко используется в радио-
локационных и радионавигационных системах, системах радио, проводной
и оптической связи; в вычислительной и бытовой технике. Это обусловлено
огромными теоретическими достижениями за последние шесть десятилетий
в ЦОС, а также технологическими достижениями электронной техники, по-
зволившими создавать одновременно компактные и высокопроизводительные
цифровые устройства для реализации алгоритмов ЦОС в реальном масштабе
времени. Столь длительное развитие теории и практики ЦОС привело к появ-
лению в этой области знаний ряда самостоятельных научно-технических на-
правлений. Адаптивная обработка сигналов — это одно из таких направлений.
Адаптивная обработка сигналов зарождалась в середине прошлого века.
Однако корни используемых в ней математических методов уходят в более дале-
кое прошлое. Затем эти методы были использованы Винером, Колмогоровым,
Крейном, Левинсоном и рядом других ученых для формирования основных
принципов адаптивной обработки сигналов. Использованию же адаптивной об-
работки сигналов на практике человечество обязано Бэрнарду Уидроу (Bernard
Widrow), который в конце 50-х годов прошлого века разработал и реализовал
первый адаптивный фильтр на базе Least Mean Square (LMS) алгоритма, также
известного как алгоритм по методу наименьшего квадрата (МНК).
Когда же требуется использовать адаптивную обработку сигналов, под ко-
торой обычно понимается адаптивная фильтрация? Тогда, когда с поставлен-
ной задачей не могут справиться фильтры с фиксированными параметрами.
Как правило, это случаи когда условия фильтрации меняются, а потому требо-
вания к параметрам фильтра не могут быть сформулированы заранее.
Адаптивный фильтр — это фильтр с перестраиваемыми весовыми коэффи-
циентами (ВК). В зависимости от решаемой задачи он может быть одноканаль-
ным или многоканальным, иметь действительные или комплексные ВК. Алго-
ритмы вычисления ВК могут быть простыми, как, например, LMS-алгоритм,
или сложными, как, например, Recursive Least Squares (RLS) алгоритм, также
известный как рекурсивный метод наименьших квадратов (РМНК).
Сегодня существует огромное число радиоэлектронных изделий, показа-
тели работы которых немыслимы без использования адаптивных фильтров.
16 Предисловие
Примерами таких изделий являются адаптивные антенные решетки, адаптив-
ные компенсаторы сигналов электрического и акустического эха, адаптивные
эквалайзеры (выравниватели) электрических характеристик каналов связи,
адаптивные компенсаторы шумов и ряд других устройств. Адаптивные филь-
тры, входящие в состав этих устройств, в зависимости от используемого алго-
ритма вычисления ВК демонстрируют различную функциональную эффектив-
ность. Для ответа на вопросы, почему это так и от чего это зависит, необходимо
понимать, что представляет собой адаптивная фильтрация сигналов с матема-
тической точки зрения.
Ответы на эти вопросы содержатся в многочисленных публикациях в пе-
риодических изданиях, трудах научно-технических конференций и техни-
ческих книгах, посвященных адаптивной обработке сигналов, в основном
на английском языке и труднодоступных большинству российских читателей.
Перевод ные книги [1—3] не содержат в себе многих важных аспектов адап-
тивной обработки сигналов, а также уже являются библиографической редко-
стью. Книги российских авторов [4, 5] являются узкоспециализированными,
так как отражают лишь аспекты адаптивной обработки сигналов в антенных
решетках.
Настоящая книга является первым систематическим изложением теории
(математических основ) и алгоритмов (практики) адаптивной фильтрации
на русском языке. В книге рассматривается большое число разнообразных алго-
ритмов адаптивной фильтрации: от простейших алгоритмов на базе стратегий
градиентного спуска до сложных алгоритмов по критерию наименьших квадра-
тов. Изложение материала дается для общего случая фильтрации комплексных
сигналов, в то время как в большинстве других книг аналогичные материалы из-
лагаются, как правило, лишь для случая фильтрации действительных сигналов.
Рассматриваются алгоритмы для одноканальных и многоканальных адаптив-
ных фильтров. Книга иллюстрирована большим числом рисунков и графиков,
отражающих результаты численных экспериментов. И хотя в книге не пресле-
дуется цель описания приложений адаптивных фильтров, в ней приводятся об-
щие сведения о таких наиболее известных приложениях, как адаптивные ан-
тенные решетки, эхо-компенсаторы, эквалайзеры каналов связи и ряд других.
Книга структурирована следующим образом.
В главе 1 приводятся общие сведения об адаптивной обработке сигналов,
о структурах, целевых функциях и критериях работы адаптивных фильтров,
а также показателях их качества. Рассматриваются примеры применения адап-
тивных фильтров при решении практических задач, встречающихся в радио-
технике и связи.
В главе 2 дается определение оператора комплексного градиента и рассма-
триваются его свойства. Анализируются результаты применения этого опера-
тора к действительным и комплексным целевым функциям. Эти результаты
также сравниваются с результатами применения оператора действительного
градиента к действительным целевым функциям.
Глава 3 посвящена фундаментальным понятиям адаптивной обработки
сигналов, таким как корреляционная матрица, собственные числа и соб-
ственные векторы этой матрицы, поверхность среднеквадратической ошибки,
безусловная и условная (линейно-ограниченная) винеровская фильтрация
сигналов.
В главе 4 описываются два способа поиска решения задачи винеровской
фильтрации: алгоритм Ньютона и алгоритм наискорейшего спуска. Анализи-
руются свойства этих алгоритмов и приводятся результаты их численного мо-
делирования.
В главе 5 рассматривается LMS-алгоритм адаптивной фильтрации. Ана-
лизируются свойства этого алгоритма и приводятся результаты его числен-
ного моделирования. Также рассматриваются нормализованная версия LMS-
алгоритма (NLMS-алгоритм), LMS- и NLMS-алгоритмы с переменным шагом
сходимости, изменяемым по градиентному закону, и линейно-ограниченные
версии LMS- и NLMS-алгоритмов.
В главе 6 рассматриваются постановка и решение задачи идентификации ли-
нейных объектов по критерию наименьших квадратов, а также RLS-алгоритм
адаптивной фильтрации, вытекающий из этой задачи и полученный с помо-
щью леммы об обращении матриц для рекурсивного обращения корреляцион-
ной матрицы входных сигналов адаптивного фильтра. Анализируются свойства
этого алгоритма и приводятся результаты его численного моделирования.
В главе 7 рассматривается RLS-алгоритм адаптивной фильтрации сигна-
лов на основе обратного QR-разложения с использованием вращений Гивенса.
Представлены основные шаги получения алгоритма, его вычислительная про-
цедура, а также вопросы аппаратной реализации, ориентированной на парал-
лельные вычисления.
В главе 8 рассматривается RLS-алгоритм адаптивной фильтрации сигналов,
основанный на прямом QR-разложении с использованием вращений Гивенса.
В главе 9 рассматривается RLS-алгоритм адаптивной фильтрации сигна-
лов, основанный на обратном QR-разложении с использованием преобразо-
вания Хаусхолдера. Также описывается способ исключения операций извле-
чения квадратного корня в RLS-алгоритмах на основе прямого и обратного
QR-разложений с использованием вращений Гивенса.
В главе 10 описаны три алгоритма линейно-ограниченной рекурсивной
адаптивной фильтрации сигналов по критерию наименьших квадратов, осно-
ванные на использовании леммы об обращении матриц.
18 Предисловие
В главе 11 рассматриваются быстрые, т. е. вычислительно эффективные,
RLS-алгоритмы адаптивной фильтрации, основанные на использовании лемм
об обращении клеточных матриц.
Главе 12 посвящена вопросам построения быстрых лестничных RLS-
алгоритмов. Приводятся вычислительные процедуры десяти разновидностей
таких алгоритмов.
В главе 13 рассматриваются многоканальные версии быстрых RLS-
алгоритмов, рассмотренных в главах 6—11, для адаптивных фильтров с неоди-
наковым числом весовых коэффициентов в каналах.
В главе 14 рассматривается ряд RLS-алгоритмов адаптивной фильтрации,
которые могут быть построены на основе приемов, описанных в главах 6—13.
Это быстрые алгоритмы на основе QR-разложения, а также алгоритмы обработ-
ки нестационарных сигналов и их параллельные версии, которые могут исполь-
зоваться как самостоятельно, так и в качестве части вычислительных процедур
в быстрых алгоритмах аффинных проекций. Кроме того, в главе освещены во-
просы инициализации (задания начальных значений ВК) RLS-алгоритмов.
В главе 15 приводятся сведения о стандартных и нестандартных средствах
моделирования адаптивных фильтров и их приложений на языке программи-
рования MATLAB, LabVIEW и SystemVue. Кроме того, приводятся сведения о
прикладных адаптивных фильтрах, реализованных на современных цифровых
сигнальных процессорах отечественного и зарубежного производства.
Таким образом, в книге изложены основные теоретические вопросы адап-
тивной обработки комплексных сигналов, рассмотрены алгоритмы вычисле-
ния ВК для одно- и многоканальных адаптивных фильтров, включая фильтры,
предназначенные для обработки нестационарных сигналов. В ней обобщены
и представлены с единой точки зрения как известные, так и оригинальные све-
дения, которые отражают результаты моих многолетних исследований в области
адаптивной обработки сигналов.
Я надеюсь, что у читателей сложится систематическое представление
об адаптивной обработке сигналов, а полученные знания вызовут мотивацию
для ее дальнейшего изучения, развития и использования на практике.
Книга будет полезна как зрелым, так и начинающим научным работникам,
инженерам, а также аспирантам и студентам. Книга получилась достаточно
объемной, хотя многие вопросы адаптивной обработки сигналов остались за ее
рамками. Подробное изложение делает эту книгу самодостаточной, а потому
простой и понятной.
Насколько это удалось, судить читателям. Я буду признателен за любые за-
мечания и пожелания, касающиеся этой книги. Ваши отзывы можно направ-
лять по адресу электронной почты djigan@yandex.ru.
Пользуясь случаем, я хотел бы выразить благодарность моим учителям
Незлину Д. В., Бецу В. П., Колюскину В. А. и Мингазину А. Т. за полученные
под их руководством знания за время учебы в Московском институте электрон-
ной техники (сейчас Национальный исследовательский университет «МИЭТ»),
приведшие меня в конечном итоге в адаптивную обработку сигналов, а также
коллегам и друзьям Александрову Ю. Н., Архипкину В. Я., Ако пяну А. Г., Бы-
строву А. Н., Брюханову Ю. А., Вечтомову В. А., Витязеву В. В., Витязеву С. В.,
Головенко Ю. Н., Гринкевичу В. Э., Гудковой Н. В., Гурееву А. В., Егорову С. И.,
Засову В. А., Захарову Ю. В., Земляку А. М., Лесникову В. А., Лупину С. А., Пе-
тричковичу Я. Я., Петрову А. С., Петрову В. Г., Плетневой И. Д., Приорову А. Л.,
Карпенко А. Л., Комарову В. Т., Коплович Е. А., Светлову А. Ю., Семушину И. В.,
Сергиенко А. Б., Солохиной Т. В., Ханяну Г. С., Хрящеву В. В., Чистюхину В. В.,
Чобану М. К. и Щербакову С. В. за постоянную поддержку и оценку моей рабо-
ты.
Отдельная благодарность сотрудникам российских представительств ком-
паний Agilent Technologies и National Instruments Бардашовой О. Н., Бурма-
тову А. В., Жигунову Б. С., Иванисову А. В., Кондратьеву Д. Е., Петренко Б. П.,
Подольскому А. С., Руданову Г. С., Сепояну П. Р. и Чутко О. В. за поддержку моих
работ и предоставление информационных материалов по программным про-
дуктам LabVIEW и SystemVue, вошедших в главу 15 настоящей книги.
Я также выражаю благодарность своим зарубежным коллегам Джо-
ну М. Чиоф фи (John M. Cioffi ), Стивену Л. Гранту (Steven L. Grant) и Эдварду
Джонсу (Edward Jones), внесшим свой вклад в формирование моего профессио-
нального интереса к адаптивной обработке сигналов.
Я благодарю сестру Александру и брата Василия за их постоянную под-
держку.
Особая благодарность моей жене Галине и дочерям Марии и Ольге за их по-
нимание и поддержку на протяжении написания этой книги и в повседневной
жизни.
ГЛАВА 1
ВВЕДЕНИЕ В АДАПТИВНУЮ ОБРАБОТКУ СИГНАЛОВ
Настоящая глава является введением в теорию адаптивной обработки сигналов.
В ней приводятся общие сведения об адаптивных фильтрах, их структурах, це-
левых функциях, критериях работы, а также показателях качества. Рассматри-
ваются примеры применения адаптивных фильтров при решении практических
задач, встречающихся в радиотехнике и связи: адаптивные эхо-компенсаторы,
эквалайзеры, антенные решетки, адаптивная шумоочистка и адаптивная филь-
трация узкополосных сигналов.
1.1. Введение
Согласно разным оценкам на сегодняшний день в научно-технических жур-
налах и трудах научно-технических конференций насчитывается более 10
тысяч публикаций, освещающих самые разные вопросы теории и практики
адаптивной обработки сигналов. Эти вопросы также рассматриваются в ряде
книг [1—33]. Такое число публикаций свидетельствует об огромных теорети-
ческих достижениях в этой области, нашедших свое отражение в адаптивных
устройствах, применяемых на протяжении уже многих десятилетий в различ-
ных радиоэлектронных изделиях. Примерами адаптивных устройств являют-
ся компенсаторы сигналов электрического и акустического эха, эквалайзеры
(выравниватели) характеристик электрических и акустических каналов связи,
адаптивные антенные и акустические решетки [34—36]. Сегодня можно конста-
тировать тот факт, что адаптивные устройства — это неотъемлемые элементы
оборудования современных радиотехнических систем и систем связи, тактико-
технические характеристики которых порой недостижимы без использования
адаптивной обработки сигналов.
Действительно, сигналы ближнего и дальнего эха являются источниками
помех для модемов, работающих в дуплексном режиме, а межсимвольная ин-
терференция является источником помех в каналах связи с ограниченной по-
лосой пропускания. Для достижения модемами высоких скоростей передачи
и приема цифровых данных эти помехи должны быть подавлены, что осущест-
вляется с помощью адаптивных эхо-компенсаторов и эквалайзеров.
Положительная обратная акустическая связь, возникающая в оборудо-
вании озвучивания помещений (концертные залы, залы для совещаний)
и в устройствах голосовой связи («hands-free»), устраняется с помощью адап-
тивных компенсаторов сигналов акустического эха. Выравнивание акустиче-
ских характеристик помещений при использовании оборудования высокока-
чественного воспроизведения звука осуществляется с помощью адаптивных
эквалайзеров.
Подавление активных помех, частотный диапазон которых совпадает с ча-
стотным диапазоном полезного сигнала, в радиолокации, гидролокации и свя-
зи осуществляется с помощью адаптивных антенных и акустических решеток.
Эти решетки являются пространственными фильтрами. Они обеспечивают
подавление сигналов помех, направления на источники которых отличаются
от направления на источник полезного сигнала.
Практические результаты адаптивной обработки сигналов во многом се-
годня обязаны технологическим достижениям в электронике и микроэлектро-
нике, благодаря которым появились одновременно высокопроизводительные
и компактные цифровые устройства на базе программируемых логических
интегральных схем (ПЛИС) и сверхбольших интегральных схем (СБИС) циф-
ровых сигнальных процессоров (ЦСП). Эти устройства обеспечивают реализа-
цию сложных алгоритмов ЦОС в реальном масштабе времени, т. е. на требуемой
частоте дискретизации обрабатываемых сигналов.
Таким образом, многолетние теоретические и практические достижения
в адаптивной обработке сигналов позволяют считать ее сложившимся научно-
техническим направлением в современных радиотехнике и связи.
Но что такое адаптивная обработка сигналов, или, в более широком смысле,
адаптация? Вот лишь некоторые определения этого термина [3]. «Адаптация —
это:
• действие, процесс приспособления;
• состояние приспосабливаемого, приспособление;
• любое изменение в структуре или функции организма или любой из его
частей в результате естественного отбора, с помощью которого организм
становится более приспособленным для выживания и размножения
в окружающей его среде; видоизменение формы или структуры в соот-
ветствии с изменением окружающей среды;
• ослабление отклика сенсорных рецепторов, таких как зрение, осязание,
температура, обоняние, слух и боль, на изменяющиеся, постоянно воз-
действующие условия окружающей среды;
• регулирование зрачком количества света, поступающего в глаз;
• медленное, обычно не осознанное изменение индивидуальной и соци-
альной деятельностей в процессе приспособления к культурной среде».
Перечисленные определения термина «адаптация» характеризуют в основ-
ном живой мир. Однако этот термин применим и к искусственным устройствам
и системам, которые в процессе своего функционирования могут самообучать-
ся. В основе большинства исскуственных адаптивных устройств лежит адап-
тивный фильтр.
Фильтрация сигналов — это такая их обработка, целью которой являет-
ся извлечение интересуемой информации, например сигналов, обладающих
определенными характеристиками. Обработка сигналов может выполняться
как аналоговым, так и цифровым способом. В книге мы будем рассматривать
только цифровую фильтрацию, предполагая, что обрабатываемые сигналы дис-
кретизованы с частотой, регламентируемой теоремой Котельникова, известной
в зарубежной литературе как теорема отсчетов, и оцифрованы с числом разря-
дов, определяемым динамическим диапазоном этих сигналов.
Известно, что свойства цифрового фильтра с фиксированными параметра-
ми обычно определяются его передаточной функцией. В свою очередь, пере-
даточная функция определяет структуру фильтра и его вычислительную слож-
ность. Если требования к передаточной функции невозможно сформулировать
заранее или эти требования могут меняться в процессе работы фильтра, то вме-
сто фильтра с фиксированными параметрами необходимо использовать фильтр
с изменяемыми параметрами, например адаптивный.
Так как параметры адаптивного фильтра меняются в процессе его работы,
то очевидно, что такой фильтр является нелинейным устройством. Однако
при каждом фиксированном значении параметров адаптивный фильтр пред-
ставляет собой линейное устройство, так как между его входными и выход-
ными сигналами обычно существует линейная зависимость, определяемая
текущим набором ВК, подобно линейным фильтрам с фиксированными па-
раметрами.
Таким образом, адаптивный фильтр — это фильтр с изменяемыми в процес-
се работы параметрами, набор которых во многом зависит от критерия работы
адаптивного фильтра. Этим критерием часто является достижение минимума
некоторой целевой функции, как правило, квадратичной функции ошибки
между так называемым требуемым и выходным сигналами адаптивного филь-
тра. Достижение минимума целевой функции означает, что выходной сигнал
адаптивного фильтра «близок» к требуемому сигналу, т. е. повторяет по форме
этот сигнал.
Выходной сигнал адаптивного фильтра приближается к требуемому сигналу
за счет изменения ВК, рассчитываемых на основе обработки требуемого и вход-
ного (входных в многоканальном случае) сигналов. В установившемся режиме
значения ВК соответствуют минимуму целевой функции или находятся в не-
большой окрестности этого минимума. Так как состояние адаптивного фильтра
меняется в процессе настройки ВК, то считается, что он приспосабливается или
адаптируется к существующим условиям функционирования. Поэтому и такой
фильтр, и алгоритм вычисления его ВК называют адаптивными.
Адаптивные алгоритмы являются основным предметом рассмотрения в на-
стоящей книге. Это, собственно, алгоритмы фильтрации, т. е. вычисления вы-
ходного сигнала адаптивного фильтра, и алгоритмы вычисления его ВК. Со-
вокупность данных алгоритмов будем равнозначно называть или адаптивным
фильтром, или адаптивным алгоритмом.
Анализ адаптивных фильтров как нелинейных устройств является более
сложным, чем анализ фильтров с фиксированными параметрами. Но адаптив-
ные фильтры являются самонастраивающимся и с этой точки зрения они более
простые, так как не требуют использования сложных и ресурсоемких методов
расчета, применяемых при синтезе фильтров с фиксированными ВК.
Если условия функционирования меняются, то адаптивный фильтр может
эти изменения в некоторой степени отслеживать. При этом следует понимать,
что адаптивный фильтр и следящая система — это не совсем одно и то же. Адап-
тивный фильтр, подобно фильтрам с фиксированными ВК, характеризуется
длительностью переходного процесса. Если изменения в системе медленные,
т. е. происходят за время, существенно превышающее длительность переходного
процесса адаптивного фильтра, то этот фильтр такие изменения, как правило,
отслеживает. По мере же увеличения скорости изменений в системе эффектив-
ность адаптивного фильтра падает, так как за время изменения он не успевает
«полностью настроиться», т. е. перейти в установившийся режим, когда его пе-
реходный процесс считается законченным.
В общем случае одноканальный адаптивный фильтр представляет со-
бой устройство, показанное на рис. 1.1. Здесь x(k) — входной сигнал, d(k) —
требуемый сигнал (используемый в обозначении символ «d» происходит
от английского слова «desired», т. е. требуемый), y(k) — выходной сигнал,
α(k) = d(k) – y(k) — сигнал ошибки, k — индекс дискретного времени или номер
отсчета обрабатываемого сигнала. Эти отсчеты обычно равномерно распреде-
лены на оси времени как t = kTS = k/FS , где TS — период дискретизации, а FS —
частота дискретизации обрабатываемых сигналов. Длительность одной ите-
рации адаптивного алгоритма, т. е. время, в течение которого осуществляется
расчет ВК, используемых для вычисления выходного сигнала адаптивного
фильтра на следующей итерации, в большинстве случаев равна одному перио-
ду дискретизации. Если расчет ВК ведется медленно, т. е. в течение нескольких
периодов дискретизации, то формирование сигнала y(k) все равно необходимо
осуществлять на каждом периоде дискретизации для удовлетворения требо-
ваниям теоремы Котельникова.
Адаптивный фильтр
Адаптивный алгоритм
d(k)
x(k) y(k)
(k)
Рис. 1.1. Адаптивный фильтр
Для работы адаптивного фильтра, как правило, недостаточно информации,
получаемой только из входного сигнала. Источником недостающей информации
обычно служит требуемый сигнал d(k), физическая природа которого опреде-
ляется конкретным приложением адаптивного фильтра. Приложение является
одним из факторов, определяющих требования, предъявляемые к адаптивному
фильтру на этапе его проектирования.
1.2. Требования к адаптивным фильтрам
Согласно [29] основные требования к адаптивному фильтру определяются та-
кими составляющими, как приложение, структура и алгоритм.
1. Приложения. Тип приложения определяется сигналами, поступающими
из окружающей среды в качестве входного x(k) и требуемого d(k) сигналов. Наи-
более известными и широко используемыми приложениями адаптивных филь-
тров являются уже упоминавшиеся эхо-компенсаторы, эквалайзеры, адаптив-
ные решетки и ряд других устройств. Данная книга не преследует своей целью
рассмотрение приложений адаптивных фильтров. Однако некоторые из них бу-
дут кратко рассмотрены в настоящей главе с целью демонстрации областей ис-
пользования адаптивных фильтров при решении задач радиотехники и связи.
2. Структуры адаптивных фильтров. Подобно фильтрам с фиксированными
ВК, существуют две основные структуры адаптивных фильтров. Это фильтры
с конечной импульсной характеристикой (КИХ), или трансверсальные, и филь-
тры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ), или рекурсивные.
Структура одноканального адаптивного КИХ-фильтра приведена на рис. 1.2.
Выходной сигнал y(k) адаптивного фильтра формируется как линейная
комбинация задержанных отсчетов входного сигнала x(k – n + 1), взятых с ве-
сами hn(k – 1), вычисляемыми на предыдущих итерациях (k – 1) по отношению
к текущим итерациям k, т. е. как
y k h k x k n k k n
n
N
N N ( )= ∗(−) (−+)= (−) ( )
= Σ
1 1 1
1
hH x , (1.1)
где N — число ВК фильтра, а hN n (k−1)=[h(k−1),h(k−1), ,h(k−1), , 1 2 … …
h k h k N− N − − ] 1 ( 1), ( 1)T — вектор ВК и xN(k)=[x(k), x(k−1),…, x(k−n+1),…,
x(k−N+2), x(k−N+1)]T — вектор сигналов в фильтре. Порядок фильтра опре-
деляется как N – 1, т. е. по числу линий задержки. Векторы hN(k) и xN(k) в общем
случае являются комплексными.
z1 z1 z1
h2(k 1)
h3(k 1)
1( 1)
h k N
hN (k 1)
h1(k 1)
x(k)
y(k)
x(k 1) x(k 2) x(k N 2) x(k N 1)
d(k)
x(k)
(k 1) h N
(k)
Рис. 1.2. Одноканальный адаптивный КИХ-фильтр
Здесь и далее верхний индекс T будет использоваться для обозначения опе-
рации транспонирования вектора или матрицы, а верхний индекс H — для обо-
значения операции эрмитова сопряжения, т. е. транспонирования и комплекс-
ного сопряжения, обозначаемого символом *, элементов вектора или матрицы.
Первый нижний индекс N в обозначениях векторов и матриц будет указывать
на число элементов в векторе или число элементов в квадратной матрице, опреде-
ляемое как N × N. Число элементов в прямоугольной матрице будет обозначаться
двумя первыми нижними индексами. Например, запись AT
NM будет обозначать
операцию транспонирования матрицы ANM , т. е. матрицу BMN = AT
NM . Таким образом, нижние индексы в обозначении матриц будут указывать на число элементов нетранспонированных матриц. В ряде случаев нижний индекс N также бу-
дет использоваться в обозначениях скалярных переменных, указывая на то, что
эти переменные являются функциями от N-мерных векторов для различения
одноименных скалярных переменных, являющихся функциями от (N + 1)-, N-
или (N – 1)-мерных векторов в быстрых алгоритмах адаптивной фильтрации.
Векторы везде будут обозначаться полужирными строчными символами,
а матрицы — полужирными заглавными. Элементы матриц и векторов будут
обозначаться соответственно обычными строчными и заглавными символа-
ми. Нижние индексы в элементах матриц и векторов будут обозначать номера
этих элементов в матрицах и векторах согласно общепринятой системе их ну-
мерации. В качестве других признаков в обозначениях векторов, матриц или
их элементов могут быть использованы различные символы в нижнем ин дексе,
26 Глава 1. Введение в адаптивную обработку сигналов
следующие через запятую после обозначения размера вектора или матрицы
или номеров их элементов, а также символы в верхнем индексе. Единичная ма-
трица (квадратная диагональная матрица с единицами на главной диагонали
и нулевыми остальными элементами) будет обозначаться символом IN , нулевые
матрицы (матрицы, содержащие только нулевые элементы) — символами ON
и ONM , единичный вектор (вектор, содержащий все единицы) — символом iN ,
а нулевой вектор (вектор, содержащий только нулевые элементы) — символом
0N . Под вектором обычно будет пониматься вектор-столбец.
Используя выходной сигнал адаптивного фильтра (1.1), можно вычислить
сигнал априорной ошибки моделирования требуемого сигнала d(k) как
α( ) ( ) ( ) ( ) k dk yk dk (k ) (k) N N = − = −hH −1x . (1.2)
Сигнал апостериорной ошибки определяется при ВК, равных hN(k), как
e k d k y k d k k k N N ( )= ( )− ˆ( )= ( )− ( ) ( ) hH x . (1.3)
Как видно, термины «априорный» и «апостериорный» связаны со значе-
ниями ВК адаптивного фильтра, вычисляемыми соответственно на предыду-
щей и текущей итерациях алгоритма адаптивной фильтрации.
На практике при работе адаптивного фильтра на его выходе наблюдаются
априорные ошибки (1.2), так как текущее значение выходного сигнала филь-
тра y(k) формируется по значениям ВК, вычисленным на предыдущей итера-
ции. Апостериорные ошибки (1.3) обычно используются в алгоритмах вы-
числения ВК и при формировании целевой функции работы адаптивного
фильтра, например среднеквадратической ошибки (Mean Square Error, MSE)
F=E{e(k)e∗(k)}=E{e(k)}2 , где E{•} — операция усреднения по ансамблю реа-
лизаций. В случае КИХ-фильтров такая функция, как будет показано в главе 3,
является действительной унимодальной квадратичной функцией в простран-
стве действительных или комплексных ВК, т. е. характеризуется единственным
минимумом.
В книге будут рассматриваться в основном адаптивные фильтры с комплекс-
ными ВК. Это обусловлено некоторыми математическими тонкостями, исполь-
зуемыми при получении алгоритмов вычисления ВК для таких фильтров, а так-
же тем, что переход от адаптивных алгоритмов для фильтров с действительными
ВК к алгоритмам для фильтров с комплексными ВК часто не очевиден, несмо-
тря на то, что он сводится в основном к правильной расстановке операций ком-
плексного сопряжения некоторых переменных, используемых в алгоритмах.
Поэтому в настоящей книге теория адаптивной фильтрации будет излагать-
ся применительно к фильтрам с комплексными ВК, так как в большинстве лите-
ратурных источников адаптивные алгоритмы рассматриваются в основном для
фильтров с действительными ВК. Переход от описания фильтров с комплекс-
1.2. Требования к адаптивным фильтрам 27
ными ВК к описанию фильтров с действительными ВК является тривиаль ным
и обычно сводится к исключению всех операций комплексного сопряжения
в матрицах, векторах и скалярных переменных. Этот переход, как будет пока-
зано в главе 2, сопровождается появлением в некоторых математических выра-
жениях фиксированного множителя, равного 2, который отсутствует в матема-
тических выражениях алгоритмов для адаптивных фильтров с комплексными
ВК.
В адаптивных антенные решетках (ААР) или эхо-компенсаторах и эква-
лайзерах оборудования цифровых систем связи с квадратурной модуляцией
обрабатываются комплексные сигналы. Это естественным образом приводит
к необ ходимости использования адаптивных фильтров с комплексными ВК.
В общем случае адаптивные КИХ-фильтры могут быть многоканальными
и при этом содержать неодинаковое число ВК в каналах (рис. 1.3). Вектор ВК
такого M-канального адаптивного фильтра
h h h h h h N N N N N N k k k k k
m M
( ) ( ), ( ), , ( ), , ( ), − = − − ⎡⎣
− − −
1 1 1 1 1
1 2 1
T T T T … … M
T k T ( ) − ⎤⎦
1
образуется из последовательности векторов ВК каналов
hNm m m n m Nm m Nm
(k) h (k ), h (k ), ,h (k ), ,h (k ), h , , , , , = − − − − 1 2 −1 1 1… 1… 1 m k( ) − ⎡⎣
⎤⎦
1
T ,
а вектор сигналов x x x x x x N N N N N N k k k k k k
m M M
( ) ( ), ( ), , ( ), , ( ), ( ) =⎡⎣
⎤⎦
1 2 −1
T T T T T T … … —
из последовательности векторов сигналов каналов
xNm m m m m m m m m
k x k x k x k n x k N x k N ( ) ( ), ( ), , ( ), , ( ), ( ) = − − + − + − + ⎡ 1 1 2 1 … … ⎣ ⎤⎦
T .
Суммарное число ВК многоканального фильтра определяется как N Nm
m
M
=
= Σ1
.
( 1) ( ) 1 1 k N k
HN
h x
( 1) ( ) 2 2 k k N
HN
h x
( 1) m k HN
h x (k) Nm
( 1) ( ) 1 1 k k M NM
HN
h x
(k 1) (k) M NM
HN
h x
Адаптивный алгоритм
d(k)
x1(k)
x2 (k)
x 1(k) M
xM (k)
x (k) m
(k)
Рис. 1.3. Многоканальный адаптивный КИХ-фильтр
28 Глава 1. Введение в адаптивную обработку сигналов
Неодинаковое число ВК в каналах многоканального адаптивного фильтра,
с одной стороны, часто диктуется физической природой задачи, а с другой —
обусловлено всегда существующими ограничениями на вычислительную слож-
ность реализации фильтров. Так как в адаптивных фильтрах вычислительная
сложность является функцией полного числа ВК N, то это число не следует уве-
личивать, если на то нет каких-либо причин, несмотря даже на то, что ряд ал-
горитмов, например для многоканальных адаптивных фильтров с одинаковым
числом ВК в каналах, математически (алгоритмически) «много проще» алго-
ритмов для фильтров с неодинаковым числом ВК в каналах.
Под вычислительной сложностью алгоритмов ЦОС, к которым принадле-
жат и алгоритмы адаптивной фильтрации сигналов, понимается число ариф-
метических операций (обычно сложений, вычитаний, умножений и делений,
а иногда и более сложных операций, например извлечения квадратных корней),
требуемых для выполнения одной итерации алгоритма.
Следует отметить две частные структуры адаптивного фильтра (см. рис. 1.3).
Это многоканальный фильтр с одним ВК (Nm = 1, m = 1, 2, ..., M) в каждом из ка-
налов, который используется в узкополосных ААР, и многоканальный фильтр
с одинаковым числом ВК в каналах N N NM
1= 2= = >1, который используется
в широкополосных акустических решетках [1, 4—6, 23] или многоканальных
компенсаторах сигналов акустического эха [37]. Структура многоканального
фильтра общего вида (см. рис. 1.3) также используется при реализации нели-
нейных полиномиальных адаптивных фильтров, в которых нелинейные ядра
представляют собой наборы из многоканальных фильтров с числом ВК в ка-
налах, изменяемым от N1 = 1 до NM = N с шагом, равным одному ВК [28]. Кроме
того, компенсатор сигналов ближнего и дальнего эха в модемах для проводных
каналов связи [38] или эквалайзер с обратной связью [39, 40] можно также рас-
сматривать как двухканальный адаптивный фильтр с неодинаковым числом
ВК в каналах.
В настоящей книге в основном будут рассматриваться одноканальные адап-
тивные фильтры. В главе 13 будут рассмотрены многоканальные адаптивные
фильтры общего вида (см. рис. 1.3).
Адаптивные БИХ-фильтры [16] на сегодняшний день пока еще не нашли
широкого применения на практике, так как, помимо проблем с устойчивостью,
им свойственна проблема многоэкстремальности (т. е. неунимодальности) це-
левой функции, что не позволяет в общем случае гарантировать сходимость
процесса вычисления ВК к глобальному (т. е. наилучшему) решению.
3. Алгоритмы. Адаптивный алгоритм — это процедура вычисления ВК,
обеспечивающих минимизацию целевой функции адаптивного фильтра, т. е.
выполнения критерия его работы. Алгоритм характеризуется видом исполь-
зуемой целевой функции, методом поиска оптимального решения и при родой
1.2. Требования к адаптивным фильтрам 29
сигналов ошибок. В адаптивных алгоритмах, как правило, используются
арифметические операции как над априорными, так и над апостериорными
ошибками. Процедуры вычисления выходных сигналов адаптивного фильтра
y k k k N N ( )=hH(−1)x( ) и ˆ
y(k) (k) (k) N N =hH x в уравнениях (1.2) и (1.3), т. е. собствен-
но фильтрация сигналов, также часто считаются составными частями адап-
тивного алгоритма.
Большинство вычислений в адаптивных алгоритмах представляет собой
итерационные процедуры. Эти итерации, как правило, совпадают по длитель-
ности с периодом дискретизации обрабатываемых сигналов. При этом вычис-
ляемые переменные обновляются на каждой итерации в результате прибавле-
ния некоторых добавок к предыдущим значениям или вычитания этих добавок
из предыдущих значений.
Например, вычисление ВК в адаптивном алгоритме по критерию наимень-
шего среднего квадрата (Least Mean Square, LMS) выполняется как
h h x N N N (k)= (k−1)+μ (k)α∗(k), (1.4)
т. е.
текущее
значение
вектора ВК
предыдущее
значение
векто
⎧
⎨ ⎪
⎩⎪
⎫
⎬ ⎪
⎭⎪
=
ра ВК
шаг
сходимости
вектор
входных
сигналов
⎧
⎨ ⎪
⎩⎪
⎫
⎬ ⎪
⎭⎪
+{ }⎧
⎨ ⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎬ ⎪
⎭⎪
{ошибка}.
В рекурсивных алгоритмах по критерию наименьших квадратов (Recursive
Least Squares, RLS) вычисление ВК выполняется как
h h g N N N (k)= (k−1)+ (k)α∗(k), (1.5)
т. е.
текущее
значение
вектора ВК
предыдущее
значение
векто
⎧
⎨ ⎪
⎩⎪
⎫
⎬ ⎪
⎭⎪
=
ра ВК
вектор
коэффициентов
Калмана
ошибка
⎧
⎨ ⎪
⎩⎪
⎫
⎬ ⎪ ⎭⎪
+
⎧
⎨ ⎪
⎩⎪
⎫
⎬ ⎪
⎭⎪
{ }.
Здесь текущие и предыдущие значения векторов ВК связаны с номерами
итераций алгоритма k и k – 1. В ряде других алгоритмов, например в алгоритмах
на основе QR-разложения и в лестничных алгоритмах, также используются ре-
курсивные вычисления, связанные с изменением порядка фильтра на единицу
на каждой итерации по k.
Выбор адаптивного алгоритма обычно обусловлен рядом таких требований,
как длительность переходного процесса, характеризующая скорость сходимо-
сти и следящие свойства адаптивного фильтра; значение остаточных ошибок
в установившемся режиме, характеризующее точность нахождения оптималь-
ного решения; вычислительная сложность алгоритма, характеризующая слож-
ность его аппаратной или программной реализации.
30 Глава 1. Введение в адаптивную обработку сигналов
К этим требованиям следует добавить понятие алгоритмической сложно-
сти, под которой понимается сложность математического представления алго-
ритмов, обусловленная числом и разнообразием математических выражений
(формул), являющихся, собственно, алгоритмом. Алгоритмическая сложность
и арифметическая сложность в конечном итоге влияют на сложность реализа-
ции алгоритмов.
С точки зрения сложности алгоритмы адаптивной обработки сигналов мож-
но условно разделить на несколько групп. Существуют вычислительно-простые
алгоритмы, т. е. с малым числом арифметических операций на одну итерацию.
Это алгоритмы с линейной вычислительной сложностью O(N) и малой алго-
ритмической сложностью. Такие алгоритмы обычно описываются всего лишь
несколькими простыми математическими выражениями. Примерами простых
алгоритмов являются LMS-алгоритм и другие адаптивные алгоритмы на осно-
ве стратегий градиентного поиска ВК. Алгоритм по критерию наименьших
квадратов (Least Squares, LS) характеризуется большой вычислительной слож-
ностью O(N3) и малой алгоритмической сложностью. RLS-алгоритмы харак-
теризуются средней вычислительной сложностью O(N2) и средней алгоритми-
ческой сложностью. Быстрые, т. е. вычислительно-эффективные или с малым
числом арифметических операций на одну итерацию, RLS-алгоритмы харак-
теризуются низкой вычислительной сложностью O(N) и большой алгоритми-
ческой сложностью, так как представляются достаточно большим числом раз-
нообразных математических формул.
При реализации адаптивных фильтров формально воспроизвести сложные
алгоритмы адаптивной обработки сигналов не всегда удается с первого раза.
Это происходит от того, что авторы книг и статей обычно не придерживаются
единого обозначения переменных в адаптивных алгоритмах, опускают важные
вопросы их инициализации, что не способствует однозначному пониманию
этих алгоритмов.
В результате, на практике до сих пор в основном используются адаптив-
ные фильтры на базе простых алгоритмов. Известный специалист в области
адаптивной фильтрации Джон Чиоффи (John Cioffi ) в 1996 году сказал: «Экс-
перты на протяжении уже многих лет разрабатывают сложные и эффективные
RLS-алгоритмы, однако инженеры их не любят, так как не понимают, а пото-
му предпочитают использовать в основном простые градиентные алгоритмы»
[41].
Такое отношение к сложным алгоритмам адаптивной фильтрации в прош-
лом было во многом обусловлено также и низкой производительностью цифро-
вой элементной базы. Чтобы при реализации сложных алгоритмов обеспечива-
лась требуемая частота дискретизации сигналов, необходимо было располагать
определенными вычислительными ресурсами, которые на то время были часто
1.3. Критерии функционирования адаптивных фильтров 31
недоступны. Однако сегодня такие алгоритмы [42] уже реализуемы на совре-
менной элементной базе [43, 44].
Поэтому цель настоящей книги — показать исследователям и разработчи-
кам адаптивных устройств, как синтезируются простые и сложные алгоритмы
адаптивной обработки сигналов, а также сравнить преимущества и недостат-
ки таких алгоритмов по отношению друг к другу. Это должно способствовать
использованию в современных приложениях не только простых, но и сложных
алгоритмов адаптивной фильтрации.
1.3. Êðèòåðèè ôóíêöèîíèðîâàíèÿ
àäàïòèâíûõ ôèëüòðîâ
В процессе работы адаптивного алгоритма осуществляется поиск таких пара-
метров адаптивного фильтра, как правило, вектора ВК hN(k), при которых значе-
ние заданной целевой функции является минимальным. Это обычно функция
входного, выходного и требуемого сигналов, т. е. F=f{x(k),y(k),d(k)}. Целе-
вую функцию можно рассматривать и как функцию ошибок, т. е. F=f{e(k)}.
Она должна быть действительной и неотрицательной, т. е. F ≥ 0 для всех x(k),
y(k) и d(k). При работе адаптивного фильтра hN(k) → hN,o , где hN,o — вектор коор-
динат минимума многомерной целевой функции в пространстве ВК. Дости-
жение минимума этой функции является критерием работы адаптивного
фильтра.
Существуют разные способы определения целевой функции адаптивного
фильтра, влияющие в конечном итоге на сложность алгоритмов ее миними-
зации. Целевыми функциями, наиболее часто используемыми в адаптивной
фильтрации, являются:
1) F=f{e(k)}=E{e(k)}2 — среднеквадратическая ошибка (MSE);
2) F f ek ei
i
k
= { }=
= Σ
( ) ( ) 2
1
— наименьшие квадраты ошибок (Least Squares, LS);
3) F f ek k i ei
i
k
= { }= −
= Σ
( ) λ ( ) 2
1
— взвешенные наименьшие квадраты ошибок
(Weighted Least Squares, WLS);
4) F = f{e(k)}= e(k) 2 — квадрат мгновенной ошибки.
На практике используются и другие критерии, например критерий пос-
тоянства модуля информационных символов (Constant Modulus, CM) [45], ча-
сто применяемый при адаптивной обработке сигналов в системах цифровой
связи. В основе этого критерия лежит минимизация функции ошибок между
значе нием модуля (комплексной огибающей) выходного сигнала адаптивного
фильтра и известным значением модуля (комплексной огибающей) информа-
32 Глава 1. Введение в адаптивную обработку сигналов
ционных символов, возведенных в некоторую степень. Эта минимизация обе-
спечивает приближение комплексной огибающей выходного сигнала адаптив-
ного фильтра к известному постоянному значению комплексной огибающей
информационных символов. Поэтому данный критерий получил свое назва-
ние не от названия целевой функции, а от названия требуемого конечного ре-
зультата, т. е. значения огибающей выходного сигнала адаптивного фильтра,
позволяющей корректно распознавать (обнаруживать) в этом сигнале прини-
маемые информационные символы.
Выбор квадратичных целевых функций в адаптивных фильтрах во многом
обусловлен тем, что в результате их использования можно получать алгорит-
мы адаптивной фильтрации в виде рекуррентных вычислительных процедур,
не содержащих логических операций, что отличает такие алгоритмы от вычис-
лительных процедур оптимизации общего вида. Кроме того, эти функции яв-
ляются унимодальными, что гарантирует сходимость алгоритмов адаптивной
фильтрации на их основе к единственному оптимальному решению.
Строго говоря, первая MSE-функция является лишь удобным математи-
ческим понятием, так как для ее вычисления требуется наличие бесконечного
объема данных, поскольку получение этой функции подразумевает усреднение
по ансамблю реализаций наблюдаемых сигналов. На практике она применяется
редко. MSE-функция используется, например, при анализе адаптивных филь-
тров или в оптимальной винеровской фильтрации, представляющей в основ-
ном теоретический интерес.
По словам Бернарда Уидроу (Bernard Widrow), автора LMS-алгоритма, ви-
неровская фильтрация является лишь красивой теоретической задачей: «Я был
знаком с теорией винеровской фильтрации в непрерывной и дискретной фор-
мах. Для построения фильтра Винера требуется знать автокорреляционную
функцию входного сигнала и взаимную корреляционную функцию между
входным и требуемым сигналами. Это замечательно, когда вы делаете домаш-
нее упражнение, но что делать на практике, когда статистику входных сигналов
никто вам не может предоставить? Все, что у вас есть, — это сами входные сиг-
налы…» [46].
Целевые функции со второй по четвертую отличаются как сложностью реа-
лизации алгоритмов на их основе, так и характеристиками сходимости и оста-
точными ошибками этих алгоритмов в установившемся режиме. Так, квадрат
мгновенной ошибки является самой простой с точки зрения реализации алго-
ритмов целевой функцией. Однако алгоритмы на основе этой функции характе-
ризуются медленной сходимостью, поскольку это сильно упрощенная целевая
функция. Целевая LS-функция обычно используется при обработке стацио-
нарных сигналов, а WLS — при обработке медленно меняющихся сигналов.
1.4. Идентификация неизвестной линейной системы 33
В большей части настоящей книги основное внимание будет сосредоточено
на алгоритмах, использующих в качестве целевых функций квадрат мгновен-
ной ошибки, LS- и WLS-функции. Для простоты алгоритмы, использующие
две последние функции, будут называться алгоритмами на основе критерия
наименьших квадратов.
1.4. Идентификация неизвестной линейной системы
Существует ряд известных приложений адаптивных фильтров. Наиболее про-
стым и легко понимаемым из них является прямая идентификация неизвестной
линейной системы (рис. 1.4), базирующаяся на определении импульсного от-
клика этой системы. При решении задачи идентификации сигнал x(k) являет-
ся входным и для идентифицируемой системы, и для адаптивного фильтра.
Поэтому минимизация некоторой функции ошибок α(k) между выходными
сигналами неизвестной системы d(k) и адаптивного фильтра y(k) означает, что
адаптивный фильтр моделирует неизвестную систему, т. е. h w N N (k)→ , так как
фильтр «воспроизводит» выходной сигнал системы y(k).
Адаптивный фильтр
d(k)
x(k) y(k)
Неизвестная система
(k)
Рис. 1.4. Адаптивная идентификация неизвестной системы
На рис. 1.5 приведен пример моделирования работы адаптивного фильтра,
характеризуемого вектором ВК hN(k) (обозначен как «Фильтр», темная кривая),
при решении задачи идентификации импульсного отклика wN (обозначен как
«Система», светлая кривая) при N = 64. На этом рисунке показаны значения
ВК wN и hN(k) на разных итерациях k работы адаптивного фильтра. Видно, что
со временем, т. е. с увеличением номера итерации k, h w N N (k)→ .
На рис. 1.6 показаны сигналы, используемые при решении задачи иден-
тификации (см. рис. 1.5). В качестве сигнала x(k) использовался белый шум.
Из рис. 1.6а, рис. 1.6в—з видно, что по мере приближения ВК адаптивного филь-
тра к ВК идентифицируемой линейной системы выходной сигнал фильтра y(k)
(обозначен как «Фильтр», темная кривая) приближается к сигналу d(k) (обозна-
чен как «Система», светлая кривая), а сигнал ошибки (см. рис. 1.6б) уменьшает-
ся, т. е. α(k)→0 .
34 Глава 1. Введение в адаптивную обработку сигналов
Рис. 1.5. Идентификация неизвестной линейной системы: а) k = 100; б) k = 200;
в) k = 400; г) k = 800
0 10 20 30 40 50 60 70
–0.15
–0.1
–0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
n, отсчеты
w, h
Система
Фильтр
0 10 20 30 40 50 60 70
–0.15
–0.1
–0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
n, отсчеты
w, h
Система
Фильтр
0 10 20 30 40 50 60 70
–0.15
–0.1
–0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
n, отсчеты
w, h
Система
Фильтр
0 10 20 30 40 50 60 70
–0.15
–0.1
–0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
n, отсчеты
w, h
Система
Фильтр
а б
в г
Компенсация сигналов электрического или акустического эха является
примером решения задачи идентификации неизвестной системы. На качество
решения этой задачи, независимо от вида используемого алгоритма адаптивной
фильтрации, влияет наличие аддитивного шума eo(k) на входе требуемого сиг-
нала (рис. 1.7).
Шум eo(k) может быть как тепловым шумом в каналах проводной связи или
акустическим шумом в помещении, так и шумом, обусловленным не полной
идентификацией неизвестной системы из-за того, что точное число ВК иденти-
фицируемого импульсного отклика обычно неизвестно. Поэтому на практике
число ВК адаптивного фильтра Nh , как правило, меньше предполагаемого чис-
ла ВК Nw идентифицируемого импульсного отклика, что часто также обуслов-
лено и ограничениями на вычислительную сложность алгоритмов адаптивной
фильтрации, которая пропорциональна Nh .
Нескомпенсированная часть импульсного отклика образует шум, который
оценивается как
e k d k k k w x k n h k x k o N N n
n
n
n
N
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − − = ∗ − + − ( −) (
=
∞
∗
=
hH 1x Σ 1Σ 1
1 1
− + =
= ∗ − + + − + − −
=
∗
= +
∞
∗
=
Σ Σ Σ
n
w x k n w x k n h k x n
n
N
n
n N
n
n
N
1
1 1 1
1 1 1
)
( ) ( ) ( )(k n ) w x(k n ) n
n N
− + = ∗ − +
= +
∞Σ
1 1
1
(1.6)
Рис. 1.6. Идентификация неизвестной линейной системы: а) — сигналы d(k)
и y(k); б) — сигнал α(k); в) — з) сигналы d(k) и y(k) на разных интервалах
в 50 отсчетов (итераций)
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
–0.2
–0.15
–0.1
–0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
k, номер итерации
Амплитуда
Система
Фильтр
100 110 120 130 140 150
–0.2
–0.15
–0.1
–0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
k, номер итерации
Амплитуда
Система
Фильтр
200 210 220 230 240 250
–0.2
–0.15
–0.1
–0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
k, номер итерации
Амплитуда
Система
Фильтр
400 410 420 430 440 450
–0.2
–0.15
–0.1
–0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
k, номер итерации
Амплитуда
Система
Фильтр
800 810 820 830 840 850
–0.2
–0.15
–0.1
–0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
k, номер итерации
Амплитуда
Система
Фильтр
1600 1610 1620 1630 1640 1650
–0.2
–0.15
–0.1
–0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
k, номер итерации
Амплитуда
Система
Фильтр
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
–0.2
–0.15
–0.1
–0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
k, номер итерации
Амплитуда
Система
Фильтр
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
–0.2
–0.15
–0.1
–0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
k, номер итерации
Амплитуда
а б
в
д
г
е
ж з
в предположении, что
w x k n h k x k n n
n
N
n
n
N
∗
=
∗
=
Σ − + =Σ − − +
1 1
( 1) ( 1)( 1), (1.7)
т. е. некоторая (как правило, начальная) часть ВК неизвестной линейной систе-
мы w∞ в точности идентифицируется адаптивным фильтром, или, другими сло-
вами, hN(k – 1) = wN .
Рис. 1.7. Адаптивная идентификация неизвестной системы при наличии адди-
тивного шума
Адаптивный фильтр
d(k)
x(k) y(k)
Неизвестная система
eo (k)
(k)
На рис. 1.8 представлены графики рассогласования («misalignment») — одно-
го из показателей качества адаптивного фильтра, используемого в задачах иден-
тификации, при N N h w ≤ , где Nw = 64. Рассогласование — это эвклидова мера
расстояния между вектором ВК адаптивного фильтра h
Nh (k) и вектором коэф-
фициентов w
Nw N =[w w w] 1 2 , ,…, T , т. е.
ρ( ) lg
( )
lg
( )
k
k w h k
w
N N
N
n n
n
N
n
n
N
=
−
=
[ − ]
=
=
Σ
Σ
20 20 2
2
2
1
2
1
w h
w
w h
w
, (1.8)
где символ ||•|| обозначает норму вектора. При Nh < Nw вектор h
Nh (k) в уравнении
(1.8) дополняется нулями от Nh + 1 до Nw . Из рис. 1.8а следует, что при Nh < Nw дли-
тельность переходного процесса адаптивного фильтра в терминах ρ(k) умень-
шается, так как уменьшается «длина» фильтра (т. е. длина его импульсного
отклика или число ВК). Однако при этом возникает шум (1.6), влияющий на ка-
чество алгоритма адаптивной фильтрации. В частности, этот шум уменьшает
точность настройки ВК, характеризуемую рассогласованием (1.8).
Длительность переходного процесса адаптивного фильтра — это время,
в течение которого наблюдаемый показатель качества претерпевает «заметные»
изменения. За переходным процессом обычно следует установившийся режим,
в течение которого наблюдаемый показатель качества не претерпевает «замет-
ных» изменений.
В адаптивной фильтрации качество решения задачи идентификации также
принято характеризовать коэффициентом ослабления эхо-сигнала (Echo Return
Loss Enhancement, ERLE), который определяется как отношение энергии
1.5. Компенсация эхо-сигналов 37
требуемого сигнала d(k) к энергии сигнала остаточных ошибок α(k), именуемо-
го эхо-сигналом, т. е.
ERLE k
E d k
E k
( ) lg
( )
( )
= { }
{ } 10
2
α2
. (1.9)
Переходные процессы, аналогичные графикам на рис. 1.8а, в терминах ERLE
представлены на рис. 1.8б. Этот рисунок также подтверждает ухудшение ка-
чества решения задачи идентификации при N N h w ≤ , т. е. возрастание энергии
ошибок α(k), что обусловлено наличием шума eo(k), влияющего на качество ра-
боты адаптивного фильтра. При решении задачи идентификации число ВК Nh
по отношению к числу Nw выбирается, исходя из компромисса между требуе-
мым качеством идентификации и вычислительными ресурсами, требуемыми
для реализации адаптивного фильтра.
1.5. Компенсация эхо-сигналов
Ниже рассматривается пример идентификации неизвестного импульсного от-
клика в задачах эхо-компенсации. Необходимость решения этой задачи обу-
словлена архитектурой существующих систем проводной телефонной связи.
Так исторически сложилось, что из-за экономии проводников двунаправлен-
ная связь между телефонным аппаратом абонента и коммутационным оборудо-
ванием телефонной станции осуществляется с помощью двухпроводного кана-
ла связи без усиления сигналов (рис. 1.9), так как этот участок телефонной сети
во всем мире обычно не превышает нескольких километров и потери (ослабле-
ние) сигналов из-за сопротивления используемых проводников являют ся не-
существенными или допустимыми. Связь же между телефонными станциями
осуществляется на значительно большие расстояния, а значит, сигналы подвер-
Рис. 1.8. Идентификация импульсного отклика: а) — рассогласование; б) —
ERLE; 1 — Nh = 64; 2 — Nh = 60; 3 — Nh = 50; 4 — Nh = 32; 5 — Nh = 16
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
–40
–35
–30
–25
–20
–15
–10
–5
0
k, номер итерации
(k), дБ
5
4
3
1 2
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
–10
0
10
20
30
40
k, номер итерации
ERLE(k), дБ
1 2
4
3
5
а б
жены заметному ослаблению. Поэтому передаваемые между станциями сигна-
лы необходимо усиливать, отчего связь на этом участке сети может быть только
однонаправленной. Она осуществляется по двум однонаправленным двухпро-
водным каналам, т. е. по четырехпроводному каналу. Переход межу двух- и че-
тырехпроводными каналами осуществляется с помощью так называемых ги-
бридных или дифференциальных схем («hybrid circuits»). Один из возможных
вариантов такой схемы показан на рис. 1.10.
Гибридная
схема
Задержка
Задержка
Гибридная
схема
4-проводный
канал
2-проводный
канал 2-проводный
канал
Абонент Телефонная Абонент
станция
Телефонная
станция
Рис. 1.9. Устройство телефонной связи между двумя абонентами
Гибридная схема — это в идеале сбалансированный мост. Однако этот мост
невозможно сбалансировать во всем диапазоне частот обрабатываемых сиг-
налов, так как проводные линии связи характеризуются частотнозависимым
входным импедансом, в результате чего через гибридную схему (см. рис. 1.10)
происходит утечка части сигнала от удаленного абонента uAB(t) обратно к уда-
ленному абоненту, т. е. образуется эхо-сигнал | uCD(t) | < | uAB(t) | [47]. Действи-
тельно, условие баланса рассматриваемой гибридной схемы определяется как
Z R Z Z R Z i 1 i b 2 b ( + )= ( + ). Если R1 = Zi , то Zb = R2. Но R1 ≠ Zi , так как Zi — это ком-
плексный импеданс двухпроводной линии связи, нагруженной на развязываю-
щий трансформатор. Импеданс Zi зависит от топологии канала связи [48, 49].
Балансный импеданс Zb — это в большинстве случаев просто резистор. Поэтому
согласовать схему (см. рис. 1.10) во всей интересуемой полосе частот не пред-
ставляется возможным. Если условие баланса не соблюдается, то образуется
эхо-сигнал uCD(t) ≠ 0.
R1 R2
Сигнал от
удаленного
абонента
Сигнал к
удаленному
абоненту
Zi Zb
Гибридная схема 2-проводный
канал
C D
A
B
uAB(t)
uCD(t)
Рис. 1.10. Гибридная схема
Таким образом, передаваемый сигнал, будучи задержанным в силу конеч-
ной скорости распространения в проводниках, пройдя через гибридную схему,
возвращается (также с некоторой задержкой) обратно к удаленному абоненту.
Принятый удаленным абонентом собственный задержанный и ослабленный
сигнал называется сигналом электрического эха. Для обеспечения комфортно-
го разговора при связи эхо-сигнал необходимо тем больше подавлять, чем боль-
ше задержка (рис. 1.11) [50].
0 20 40 60 80 100
0
5
10
15
20
25
30
35
Задержка распространения сигнала, мс
Требуемое подавление, дБ
Рис. 1.11. Требуемое подавление эхо-сигнала
Известно, что гибридная схема моделируется линейным КИХ-фильтром [48,
49]. Поэтому задача подавления сигналов электрического эха формализуется
как задача идентификации импульсного отклика этого фильтра w∞ (рис. 1.12).
Здесь на рисунке аналого-цифровые и цифро-аналоговые преобразователи
(АЦП и ЦАП) для простоты не показаны.
Гибридная
схема,
2-проводный
канал
Абонент
w
Адаптивный
фильтр,
hN (k)
y(k)
d(k)
x(k)
Сигнал от
удаленного
абонента
Сигнал к
удаленному
абоненту –
подавленное
эхо
Неподавленное эхо
Оценка эхо-сигнала
(k)
Рис. 1.12. Подавление сигналов электрического эха в телефонных сетях
Аналогично решается задача подавления сигналов электрического эха в мо-
демах проводных систем связи, где также требуется разделять сигналы между
40 Глава 1. Введение в адаптивную обработку сигналов
двух- и четырехпроводными каналами, образующими каналы приема и пере-
дачи данных (рис. 1.13).
Адаптивный
фильтр,
hN (k)
y(k)
d(k) Неподавленное эхо
Оценка эхо-сигнала
2-проводный канал
к телефонной станции
Передатчик
модема
Приемник
модема
Модем
Гибридная
схема,
w
(k)
x(k)
Рис. 1.13. Подавление сигналов электрического эха в модемах
Акустическое эхо имеет несколько иную природу. Оно образуется за счет от-
ражения акустических сигналов, излучаемых, например, громкоговорителем,
от стен помещения и приема этих отражений микрофоном. Громкоговоритель
и микрофон могут быть элементами устройств озвучивания помещений или
устройств громкоговорящей связи. Акустическая среда характеризуется аку-
стическим импульсным откликом [51], поэтому принцип подавления сигна-
лов акустического эха (рис. 1.14) такой же, как и принцип подавления сигналов
электрического эха. Идентифицируемый импульсный отклик в данном случае
Акустический
импульсный отклик
Адаптивный алгоритм
Усилитель
Идентифицируемый импульсный отклик
Адаптивный фильтр
Эхо-сигнал
Шум
Сигнал от удаленного
абонента
Сигнал к удаленному
абоненту
Перестраиваемый фильтр
x(k)
d(k)
y(k)
eo (k)
(k)
Рис. 1.14. Подавление сигналов акустического эха
1.5. Компенсация эхо-сигналов 41
образуется как свертка импульсных откликов усилителя, громкоговорителя,
микрофона и акустического импульсного отклика помещения.
Рассмотрим эффективность применения адаптивной эхо-компенсации
на примере компенсации сигналов электрического эха [47]. Стандарт [52] регла-
ментирует численные модели ряда импульсных откликов, порождающих сиг-
налы электрического эха. На рис. 1.15а показан один их таких откликов (такой
же, как на рис. 1.5). Гибридная схема, характеризуемая этим импульсным от-
кликом, подавляет сигнал х(k) примерно на 7.6 дБ. Это подавление грубо мож-
но оценить по амплитудно-частотной характеристике (АЧХ) гибридной схемы
(см. рис. 1.15б), которая «примерно одинаковая» (–7…–8 дБ) в большей части по-
лосы частот телефонного канала 0…4 кГц.
Рис. 1.15. ERLE ≈ 7.6 дБ: а) импульсный отклик гибридной схемы; б) АЧХ ги-
бридной схемы
0 10 20 30 40 50 60 70
–0.15
–0.1
–0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
n, отсчеты
w
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
–50
–40
–30
–20
–10
0
f, Гц
| H ( f ) |, дБ
а б
Ослабление эхо-сигналов в терминах ERLE для гибридной схемы представ-
ляет собой отношение энергий входного сигнала и эхо-сигнала, т. е.
ERLE k
E x k
E d k
( ) lg
( )
( )
= { }
{ } 10
2
2 . (1.10)
На рис. 1.16 приведены результаты моделирования подавления эхо-
сигнала, образованного гибридной схемой с характеристиками, такими же,
как на рис. 1.15, с помощью адаптивного фильтра на базе простого нормали-
зованный алгоритма по критерию наименьшего среднего квадрата (Normalized
LMS, NLMS). Из рис. 1.16а видно, что эхо-сигнал имеет достаточно большую
амплитуду (средняя кривая на рисунке). Это означает, что данный сигнал будет
хорошо восприниматься человеческим ухом, создавая дискомфорт в разговоре,
а значит, должен быть подавлен. Видно, что адаптивный фильтр подавляет эхо-
сигнал (нижняя кривая). Аддитивный шум eo(k) в экспериментах составляет
примерно –30 дБ относительно среднего уровня эхо-сигналов.
42 Глава 1. Введение в адаптивную обработку сигналов
Параметр ERLE адаптивного фильтра для графиков (см. рис. 1.16б) опреде-
ляется как
ERLE k
E d k
E k
( ) lg
( )
( )
= { }
{ } 10
2
α2
, (1.11)
а для гибридной схемы и адаптивного фильтра — как
ERLE k
E x k
E k
( ) lg
( )
( )
= { }
{ } 10
2
α2
. (1.12)
Энергия сигналов в расчетах (1.10)—(1.12) для данного эксперимента опре-
делялась на скользящем окне в 256 отсчетов, что при частоте дискретизации
8 кГц, принятой при обработке сигналов в телефонных каналах, равно интер-
валу усреднения 256/(8 · 103) = 32 · 10–3 = 32 мс, т. е. условному интервалу стацио-
нарности речевого сигнала [53].
Результаты для RLS-алгоритма, аналогичные приведенным на рис. 1.16,
представлены на рис. 1.17. Из сравнения рис. 1.16 и 1.17 видно, что RLS-алгоритм
0 2 4 6 8
–0.5
0
0.5
x(k)
0 2 4 6 8
–0.5
0
0.5
d(k)
0 2 4 6 8
x 104
–0.5
0
0.5
k, номер итерации
(k) + eo (k)
0 2 4 6 8 10
x 104
0
10
20
30
40
50
60
70
80
k, номер итерации
ERLE(k), дБ
1
2
а б 3
Рис. 1.16. NLMS-алгоритм: 1) ERLE гибридной схемы; 2) ERLE адаптивного
фильтра; 3) ERLE — гибридной схемы и адаптивного фильтра
0 2 4 6 8
–0.5
0
0.5
d(k) x(k)
0 2 4 6 8
–0.5
0
0.5
0 2 4 6 8
x 104
–0.5
0
0.5
k, номер итерации (
k) +
e
(
k) o
0 2 4 6 8 10
x 104
0
10
20
30
40
50
60
70
80
k, номер итерации
ERLE(k), дБ
1
2
а б 3
Рис. 1.17. RLS-алгоритм: 1) ERLE гибридной схемы; 2) ERLE адаптивного
фильтра; 3) ERLE гибридной схемы и адаптивного фильтра
1.5. Компенсация эхо-сигналов 43
Рис. 1.18. Зашумленный остаточный эхо-сигнал α(k) + eo(k) (темная кривая)
и незашумленный остаточный эхо-сигнал α(k) (светлая кривая):
а) RLS-алгоритм; б) NLMS-алгоритм, μˆ = 0.1; в) NLMS-алгоритм,
μˆ = 0.2; г) NLMS-алгоритм, μˆ = 0.1; д) NLMS-алгоритм, μˆ = 0.075;
е) NLMS-алгоритм, μˆ = 0.05; ж) NLMS-алгоритм, μˆ = 0.025; з) NLMS-
алгоритм, μˆ = 0.01
0 2 4 6 8
x 104
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
x 10–3
k, номер итерации
0 2 4 6 8
x 104
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
x 10–3
k, номер итерации
0 2 4 6 8
x 104
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
x 10–3
k, номер итерации
(k) + (k)
0 2 4 6 8
x 104
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
x 10–3
k, номер итерации
0 2 4 6 8
x 104
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
x 10–3
k, номер итерации
0 2 4 6 8
x 10 4
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
x 10–3
k, номер итерации
0 2 4 6 8
x 104
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
x 10–3
k, номер итерации
0 2 4 6 8
x 104
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
x 10–3
k, номер итерации
а б
в г
д е
ж з
(k) + eo (k),(k) (k) + eo (k),(k) (k) + eo (k),(k) eo (k),
(k) + eo (k),(k) (k) + eo (k),(k) (k) + eo (k),(k) (k) + eo (k),(k)
более эффективен как в терминах достижимого ERLE, так и в терминах дли-
тельности переходных процессов с учетом того, что результаты для NLMS-
алгоритма получены при значении масштабирующего множителя шага сходи-
мости μˆ, обеспечивающего наибольшее значение параметра ERLE.
Из-за представления всех сигналов в одинаковом масштабе на рис. 1.16 и 1.17
визуально оценить уровни подавленных эхо-сигналов сложно. Графики пода-
вленных эхо-сигналов в увеличенном масштабе приведены на рис. 1.18. Темным
цветом показан сигнал α(k) + eo(k), т. е. наблюдаемый сигнал на выходе ошибки
адаптивного фильтра, а светлым — подавленное эхо α(k). Так как подавление
эхо-сигнала таково, что уровень остаточного эха ниже уровня шума, то визуаль-
но оценить качество эхо-компенсации не представляется возможным. Однако
при моделировании можно выделить только сигнал подавленного эха α(k), так
как реализация шумового сигнала является известной.
Из рис. 1.18 видно, что вычислительно более сложный RLS-алгоритм
являет ся и более эффективным, чем менее сложный NLMS-алгоритм, т. е. не-
смотря на то что в обоих случаях уровень подавленного эхо-сигнала сравним
или даже ниже уровня шума, человеческое ухо различает подавленный эхо-
сигнал в случае NLMS-алгоритма и не различает — в случае RLS-алгоритма.
Из рис. 1.18 также видно, что RLS-алгоритм обеспечивает демонстрируемое
качество (подавление эхо-сигнала и длительность переходного процесса) без
подбора параметров, в то время как качество NLMS-алгоритма зависит от па-
раметра μˆ. При увеличении μˆ длительность переходного процесса уменьшается,
но увеличивается остаточная ошибка в установившемся режиме, и наоборот.
Таким образом, рис. 1.4—1.18 иллюстрируют принципы решения прямой
задачи адаптивной идентификации неизвестной системы и результаты ее ис-
пользования для эхо-компенсации. Они также показывают большую функцио-
нальную эффективность сложных RLS-алгоритмов адаптивной фильтрации
по сравнению с простыми градиентными алгоритмами.
1.6. Выравнивание характеристик электрических каналов связи
Другим примером использования адаптивных фильтров является задача обрат-
ной идентификации объекта. Решение этой задачи широко используется для
выравнивания характеристик электрических каналов связи (рис. 1.19) с помо-
щью адаптивных эквалайзеров [39, 40].
Необходимость выравнивания канала связи возникает из-за того, что при
передаче цифровых данных по каналам с ограниченной полосой пропускания
возникает явление, называемое межсимвольной интерференцией. Межсим-
вольная интерференция, наряду с шумом канала z(k) (рис. 1.19), сказывается
на правильности решения о соответствии принятого информационного сим-
вола x k ( ) символу x(k), переданному по каналу связи. Если бы этот канал пред-
ставлял собой просто линию задержки на время t0 , то принимаемый сигнал
(информационные символы) можно было бы легко оценивать (различать). Од-
нако большинство каналов связи с математической точки зрения представляют
собой КИХ-фильтр с импульсным откликом w (рис. 1.20а).
Рис. 1.20. Выравнивание электрического канала связи
Импульсный отклик
канала связи
w(t)
t
t0 t + 3T 0 t + 2T 0 – 2T t0 – T t0 t + T 0
t0 t + 3T 0 t + 2T 0 – 2T t0 – T t0 t + T 0
t
(t0) Совместный импульсный отклик
канала связи и эквалайзера
а
б
Согласно рис. 1.20а в каждый отсчет времени k, совпадающий с моментом
смены информационных символов, следующих с периодом T, на выходе канала
образуется взвешенная сумма передаваемых подряд символов, т. е.
x t kT w t x t kT w t kT nT x t nT
n k
( ) ()( ) ( )( ) 0 0 0 0 0 + = + + + − −
≠ Σ
. (1.13)
Адаптивный фильтр
Задержка
Канал связи (k)
d(k)
y(k)
z(k)
x(k) x~(k)
Рис. 1.19. Выравнивание АЧХ электрического канала связи
, а остальные
являются шумом (межсимвольной интерференцией), который не позволяет пра-
вильно различать символы на приемной стороне. Чтобы повысить вероятность
правильного решения относительно принимаемых символов, исполь зуются эк-
валайзеры — устройства, которые уменьшают межсимвольную интерференцию.
Эквалайзер функционирует таким образом, что его АЧХ становится близ-
кой к обратной АЧХ канала связи. Другими словами, совместная АЧХ кана-
ла связи и эквалайзера становится близкой к равномерной. Это означает, что
свертка импульсных откликов канала связи w и эквалайзера h в моменты време-
ни kT близка к дельта-функции (см. рис. 1.20б), в результате чего межсимволь-
ная интерференция уменьшается. В этом случае выходной сигнал эквалайзера
определяется как
y t kT t x ( ) ()(t kT) 0 0 0 + =δ + +0 , (1.14)
т. е. информационный символ может быть правильно обнаружен (оценен и де-
кодирован).
Если сравнить схемы на рис. 1.4 и 1.19, то можно заметить, что в последнем
случае также решается задача идентификации линейной системы, определяю-
щей задержку приема передаваемого сигнала. Известно, что импульсная харак-
теристика линии задержки равна дельта-функции (т. е. одному ненулевому ВК),
а АЧХ, как следствие, является равномерной. Идентификация импульсной харак-
теристики линии задержки осуществляется с помощью каскадного соединения
КИХ-фильтра с фиксированными ВК (т. е. канала связи) и КИХ-фильтра с изме-
няемыми ВК (т. е. адаптивного фильтра). Это означает, что свертка фиксирован-
ного импульсного отклика канала связи с изменяемым импульсным откликом
адаптивного фильтра в процессе адаптации приближается к дельта-функции,
а АЧХ становится равномерной. Для обеспечения этого условия АЧХ адаптивно-
го фильтра при адаптации приближается к обратной АЧХ канала связи.
Рис. 1.19 демонстрирует лишь принцип работы эквалайзера. На практике
требуемый сигнал «не поступает» по отдельному каналу связи. Он формируется
на приемной стороне в течение протокола установления модемом связи, когда
известная (тренировочная) последовательность символов передается модемом
источника информации на противоположном конце канала связи. После на-
стройки адаптивного фильтра эквалайзера, т. е. когда канал связи уже выровнен,
вместо известной тренировочной последовательности передаются собственно
неизвестные данные, а в качестве сигнала d(k) используется сигнал y k ( ), т. е. вы-
ходной сигнал адаптивного фильтра y(k), «квантованный» по критерию мини-
мума расстояния до элементов созвездия алфавита передаваемых данных.
Существует два типа эквалайзеров (рис. 1.21): без обратной связи и с об-
ратной связью [39, 40]. Адаптивный фильтр эквалайзера с обратной связью
можно рассматривать как двухканальный адаптивный фильтр. Эквалайзеры
с обратной связью обеспечивают более качественное выравнивание характе-
ристик канала, так как выходной сигнал такого эквалайзера после обучения
частично формируется из уже ранее принятых «правильных» символов. Ре-
зультаты моделирования, подтверждающие это высказывание, представлены
на рис. 1.22—1.24.
F (k)
h N
~y(k
B (k)
h N
Решение
Обучение
d(k)
y(k) )
w Hx(k) z(k)
(k)
а
б
h N (k) Решение
Обучение
(k) d(k)
w Hx(k) z(k) y(k) ~y(k)
Рис. 1.21. Адаптивные эквалайзеры: а) без обратной связи; б) с обратной связью
Из рис. 1.22 и 1.23 следует, что эквалайзер без обратной связи выравни вает
характеристики канала несколько хуже, чем эквалайзер с обратной связью.
Это проявляется в том, что после адаптации свертка импульсных откликов ка-
нала связи и эквалайзера (см. рис. 1.23) в меньшей степени напоминает дельта-
функцию, чем в случае, приведенном на рис. 1.22. Как следствие, провал в АЧХ
канала связи (–60 дБ в рассматриваемом случае) выравнивается по-разному.
Поэтому передаваемые информационные символы, в данном случае с квадра-
турной фазовой модуляцией (Phase Shift Keying, PSK-8), после выравнивания
канала различаются также по-разному (см. рис. 1.24).
На рис. 1.24 показаны результаты выравнивания канала связи в терминах со-
звездий наблюдаемых информационных символов. Здесь символы «Данные» —
это созвездие символов источника информации, т. е. данных, передаваемых по ка-
налу связи. Символы «Канал» — созвездие на выходе канала связи. Видно, что
без принятия каких-то дополнительных мер эти данные невозможно различить.
Такой «дополнительной мерой» является выравнивание канала связи. Из рис. 1.24
(см. созвездие, обозначенное как «Эквалайзер») следует очевидное превосходство
эквалайзера с обратной связью перед эквалайзером без обратной связи.
48 Глава 1. Введение в адаптивную обработку сигналов
Если же сравнить поведение рассмотренных эквалайзеров с эквалайзерами
на базе NLMS-алгоритма, то в обоих случаях результаты будут худшими. Эквалай-
зер на базе этого алгоритма требует в десятки раз превышающую по длительности
тренировочную последовательность для обеспечения сходимости, а также некото-
рого искусства при выборе оптимального значения параметра μˆ. Это также свиде-
тельствует о превосходстве адаптивных фильтров на базе вычислительно-сложных
RLS-алгоритмов перед фильтрами на базе простых градиентных алгоритмов.
Следует также отметить, что для выравнивания каналов связи могут при-
меняться и так называемые слепые эквалайзеры, т. е. не требующие трениро-
вочных последовательностей. Один из возможных способов построения таких
устройств основывается на использовании CM-критерия [45] в случае, если пе-
редаваемые информационные символы удовлетворяют этому критерию. Адап-
тивные алгоритмы на основе СМ-критерия применяются для обработки PSK-
сигналов (рис. 1.25), а также других сигналов, характеризуемых постоянным
значением модуля информационных символов. Каждый СМ-символ ai , пред-
ставляющий собой комплексное число Re a jIm a i i { }+ { }, обладает свойством
a aa s i i i = * = =const , где i = 1, 2, ..., I, I — число символов алфавита (используется
0 5 10 15 20 25 30 35
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
n, отсчеты
w
0 20 40 60 80 100 120
–1.5
–1
–0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
n, отсчеты
h
0 20 40 60 80 100 120 140
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
n, отсчеты
h
0 100 200 300 400 500 600
–80
–60
–40
–20
0
20
40
Частота (спектральные составляющие)
Амплитуда, дБ
1
2
3
а б
в г
Рис. 1.22. Выравнивание канала, RLS-алгоритм, эквалайзер с обратной связью:
а) импульсный отклик канала связи; б) импульсный отклик эквалай-
зера; с) свертка импульсных откликов канала связи и эквалайзера;
в) АЧХ: 1) канала связи, 2) эквалайзера, 3) канала связи и эквалайзера
1.6. Выравнивание характеристик электрических каналов связи 49
Рис. 1.23. Выравнивание канала, RLS-алгоритм, эквалайзер без обратной свя-
зи: а) импульсный отклик канала связи; б) импульсный отклик эк-
валайзера; с) свертка импульсных откликов канала связи и эквалай-
зера, в) АЧХ: 1) — канала связи, 2) — эквалайзера, 3) — канала связи
и эквалайзера
0 5 10 15 20 25 30 35
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
n, отсчеты
w
0 20 40 60 80 100 120
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
n, отсчеты
h
0 20 40 60 80 100 120 140 160
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
n, отсчеты
h
0 100 200 300 400 500 600
–80
–60
–40
–20
0
20
40
Частота, спектральные составляющие
Амплитуда, дБ
1
2
3
а б
в г
–2 –1 0 1 2
–2
–1.5
–1
–0.5
0
0.5
1
1.5
2
Im
Re
Канал
Эквалайзер
Данные
–2 –1 0 1 2
–2
–1.5
–1
–0.5
0
0.5
1
1.5
2
Im
Re
Канал
Эквалайзер
Данные
а б
Рис. 1.24. Выравнивание канала, RLS-алгоритм: а) эквалайзер с обратной свя-
зью; б) эквалайзер без обратной связи
в обозначении PSK-I), а j= −1 — мнимая единица. Значение модуля информа-
ционных символов s на приемной стороне является известным.
СМ-критерий для адаптивного фильтра формулируется как
E sp y k p q
{ − ( ) }→min, (1.15)
а соответствующие адаптивные алгоритмы обозначаются как СМ(p, q).
Целевая функция в уравнении (1.15) является многоэкстремальной, а по-
тому использование простых градиентных алгоритмов для ее минимизации
часто приводит к локальным решениям. Алгоритмы по критерию наименьших
квадратов, например RLS-алгоритмы, напрямую не могут быть использованы
в этом случае. В то же время согласно [54] при p = q = 2 целевая функция в урав-
нении (1.15) может быть сведена к квадратичной функции, что позволяет для
ее минимизации использовать незначительно модифицированные алгоритмы
оптимизации квадратичных целевых функций.
–1 –0.5 0 0.5 1
–1
–0.5
0
0.5
1
Im
Re
–1 –0.5 0 0.5 1
–1
–0.5
0
0.5
1
Im
Re
–1 –0.5 0 0.5 1
–1
–0.5
0
0.5
1
Im Re
–1 –0.5 0 0.5 1
–1
–0.5
0
0.5
1
Im
Re
а б
в г
Рис. 1.25. Созвездия информационных символов: а) PSK-4; б) PSK-8; в) PSK-16;
г) PSK-32
1.7. Адаптивные антенные решетки
Еще одним широко используемым приложением адаптивных фильтров являют-
ся ААР [1, 4—6, 23]. ААР (рис. 1.26) представляет собой многоканальный адап-
тивный фильтр (см. рис. 1.3) с одним ВК в канале. В общем случае в алгоритмах
вычисления ВК для ААР используются входные сигналы x1(k), x2(k), …, xm(k), …,
xM(k), выходной y(k) и требуемый d(k) сигналы. В то же время в ААР могут так-
же применяться алгоритмы, не требующие сигнала d(k), если полезным при-
нимаемым сигналом является СМ-сигнал или направление приема полезного
сигнала известно. В последнем случае это направление может быть использова-
но в качестве характеристики полезного сигнала путем «введения в алгоритм»
линейного ограничения, обеспечивающего необходимый уровень полезного
сигнала на выходе ААР.
Адаптивный алгоритм
w1
2 Выходной сигнал
антенной решетки
Опорный сигнал
антенной решетки
Входные сигналы антенной решетки
d(k)
y(k)
x1(k)
x2(k)
xm(k)
xM(k)
h1
h2
hm
hM
Рис. 1.26. Адаптивная антенная решетка
Для обеспечения цифровой обработки необходимо усиливать входные сиг-
налы ААР до уровня, обеспечивающего преобразование аналогового сигнала
в цифровой код, и понизить частоту этих сигналов до нулевой несущей частоты
(до информационной полосы частот), с целью уменьшения требований к бы-
стродействию устройств, обеспечивающих ЦОС. В [55] показано (см. также раз-
дел 3.7), что обработка сигналов в информационной полосе частот эквивалентна
формированию выходного сигнала на несущей частоте путем традиционного
аналогового умножения и сложения.
Антенная решетка характеризуется диаграммой направленности (ДН), т. е.
амплитудно-угловой характеристикой |F(θ)|, которая, подобно АЧХ обычного
цифрового фильтра, с помощью ВК может менять свою форму, обеспечивая тре-
буемые значения в направлениях на источники принимаемых сигналов, напри-
мер, единичное в направлении на источник полезного сигнала и нулевое или
52 Глава 1. Введение в адаптивную обработку сигналов
«очень маленькое» в направлениях на источники помех. ААР с комплексными
ВК характеризуется наличием M степеней свободы. Она может принимать, на-
пример, один полезный сигнал и полностью подавлять M – 1 сигналов источ-
ников пространственноразнесенных помех.
На рис. 1.27 приведены примеры моделирования подавления помех с по-
мощью 8-элементной эквидистантой линейной ААР (M = 8). Направления
на источники принимаемых сигналов обозначены вертикальными стрелками
в верхней части рис. 1.27а. Источник полезного сигнала располагался в направ-
лении максимума основного лепестка ДН, а источники помех — в симметрич-
–80 –60 –40 –20 0 20 40 60 80
–100
–80
–60
–40
–20
0
, град.
Исходная
Конечная
0.5 1 1.5 2 2.5
x 105
–120
–100
–80
–60
–40
–20
0
20
k, номер итерации
0.5 1 1.5 2 2.5
x 105
–120
–100
–80
–60
–40
–20
0
20
k, номер итерации
0.5 1 1.5 2 2.5
x 105
–120
–100
–80
–60
–40
–20
0
20
k, номер итерации
0.5 1 1.5 2 2.5
x 105
–120
–100
–80
–60
–40
–20
0
20
k, номер итерации
0.5 1 1.5 2 2.5
x 105
–120
–100
–80
–60
–40
–20
0
20
k, номер итерации
а б
в г
д е
| F () |, дБ | F () |, дБ | F () |, дБ
| F () |, дБ | F () |, дБ | F () |, дБ
Рис. 1.27. Адаптивная антенная решетка: а) ДН; б) RLS-алгоритм; в) NLMS-
алгоритм, μˆ = 0.0008; г) NLMS-алгоритм, μˆ = 0.0004; д) NLMS-
алгоритм, μˆ = 0.0002; ж) NLMS-алгоритм, μˆ = 0.0001
ных направлениях максимумов двух первых боковых лепестков. Уровни этих
лепестков примерно равны –13 дБ. Поэтому если любая из помех на 13 дБ пре-
вышает уровень полезного сигнала, то ее вклад в выходной сигнал ААР будет
соизмеримым с полезным сигналом.
Из рис. 1.27а следует, что ААР в результате адаптации так меняет свои ВК,
что в направлении источника полезного сигнала сохраняется заданный уровень
основного лепестка ДН, равный 0 дБ в рассматриваемом случае, а в направлениях
на источники помех в ДН образуются глубокие провалы. Это означает, что при-
нимаемые из этих направлений помехи будут значительно ослаблены. В данном
случае дополнительное ослабление помех за счет адаптивной пространственной
фильтрации составляет примерно –13 – (–100) = 87 дБ. При этом изменения ДН
во всех других направлениях не имеют принципиального значения, так как ис-
точники каких-либо сигналов в этих направлениях отсутствуют.
На остальных графиках (см. рис. 1.27) показано, как в процессе адаптации
в направлениях на источники принимаемых сигналов меняется ДН, т. е. эти
рисунки представляют собой переходной процесс ААР в терминах значений
ее ДН. Из рис. 1.27б—рис. 1.27ж видно, что заданный уровень ДН (0 дБ) в на-
правлении на источник полезного сигнала выдерживается на всех итерациях
алгоритма (прямая линия в верхней части графиков), а длительность пере-
ходного процесса (в итерациях алгоритма) и достижимые уровни ДН в уста-
новившемся режиме в направлениях на источники помех (показаны темной
и серой кривыми) меняют ся в зависимости от используемого алгоритма и его
параметров. При μˆ = 0.0001 NLMS-алгоритм в установившемся режиме обе-
спечивает примерно такие же уровни ДН в направлениях на источники по-
мех, как и RLS-алгоритм, но при этом длительность переходного процесса
NLMS-алгоритма примерно в 10 раз превышает длительность переходного про-
цесса RLS-алгоритма. При увеличении μˆ длительность переходного процесса
в NLMS-алгоритме уменьшается. Однако при этом также уменьшается и дости-
гаемая глубина провалов ДН в направления на источники помех. Эти результа-
ты в очередной раз свидетельствуют о превосходстве вычислительно-сложных
адаптивных RLS-алгоритмов над простыми градиентными алгоритмами.
Цифровая обработка сигналов (ЦОС) сегодня широко используется в радио-
локационных и радионавигационных системах, системах радио, проводной
и оптической связи; в вычислительной и бытовой технике. Это обусловлено
огромными теоретическими достижениями за последние шесть десятилетий
в ЦОС, а также технологическими достижениями электронной техники, по-
зволившими создавать одновременно компактные и высокопроизводительные
цифровые устройства для реализации алгоритмов ЦОС в реальном масштабе
времени. Столь длительное развитие теории и практики ЦОС привело к появ-
лению в этой области знаний ряда самостоятельных научно-технических на-
правлений. Адаптивная обработка сигналов — это одно из таких направлений.
Адаптивная обработка сигналов зарождалась в середине прошлого века.
Однако корни используемых в ней математических методов уходят в более дале-
кое прошлое. Затем эти методы были использованы Винером, Колмогоровым,
Крейном, Левинсоном и рядом других ученых для формирования основных
принципов адаптивной обработки сигналов. Использованию же адаптивной об-
работки сигналов на практике человечество обязано Бэрнарду Уидроу (Bernard
Widrow), который в конце 50-х годов прошлого века разработал и реализовал
первый адаптивный фильтр на базе Least Mean Square (LMS) алгоритма, также
известного как алгоритм по методу наименьшего квадрата (МНК).
Когда же требуется использовать адаптивную обработку сигналов, под ко-
торой обычно понимается адаптивная фильтрация? Тогда, когда с поставлен-
ной задачей не могут справиться фильтры с фиксированными параметрами.
Как правило, это случаи когда условия фильтрации меняются, а потому требо-
вания к параметрам фильтра не могут быть сформулированы заранее.
Адаптивный фильтр — это фильтр с перестраиваемыми весовыми коэффи-
циентами (ВК). В зависимости от решаемой задачи он может быть одноканаль-
ным или многоканальным, иметь действительные или комплексные ВК. Алго-
ритмы вычисления ВК могут быть простыми, как, например, LMS-алгоритм,
или сложными, как, например, Recursive Least Squares (RLS) алгоритм, также
известный как рекурсивный метод наименьших квадратов (РМНК).
Сегодня существует огромное число радиоэлектронных изделий, показа-
тели работы которых немыслимы без использования адаптивных фильтров.
16 Предисловие
Примерами таких изделий являются адаптивные антенные решетки, адаптив-
ные компенсаторы сигналов электрического и акустического эха, адаптивные
эквалайзеры (выравниватели) электрических характеристик каналов связи,
адаптивные компенсаторы шумов и ряд других устройств. Адаптивные филь-
тры, входящие в состав этих устройств, в зависимости от используемого алго-
ритма вычисления ВК демонстрируют различную функциональную эффектив-
ность. Для ответа на вопросы, почему это так и от чего это зависит, необходимо
понимать, что представляет собой адаптивная фильтрация сигналов с матема-
тической точки зрения.
Ответы на эти вопросы содержатся в многочисленных публикациях в пе-
риодических изданиях, трудах научно-технических конференций и техни-
ческих книгах, посвященных адаптивной обработке сигналов, в основном
на английском языке и труднодоступных большинству российских читателей.
Перевод ные книги [1—3] не содержат в себе многих важных аспектов адап-
тивной обработки сигналов, а также уже являются библиографической редко-
стью. Книги российских авторов [4, 5] являются узкоспециализированными,
так как отражают лишь аспекты адаптивной обработки сигналов в антенных
решетках.
Настоящая книга является первым систематическим изложением теории
(математических основ) и алгоритмов (практики) адаптивной фильтрации
на русском языке. В книге рассматривается большое число разнообразных алго-
ритмов адаптивной фильтрации: от простейших алгоритмов на базе стратегий
градиентного спуска до сложных алгоритмов по критерию наименьших квадра-
тов. Изложение материала дается для общего случая фильтрации комплексных
сигналов, в то время как в большинстве других книг аналогичные материалы из-
лагаются, как правило, лишь для случая фильтрации действительных сигналов.
Рассматриваются алгоритмы для одноканальных и многоканальных адаптив-
ных фильтров. Книга иллюстрирована большим числом рисунков и графиков,
отражающих результаты численных экспериментов. И хотя в книге не пресле-
дуется цель описания приложений адаптивных фильтров, в ней приводятся об-
щие сведения о таких наиболее известных приложениях, как адаптивные ан-
тенные решетки, эхо-компенсаторы, эквалайзеры каналов связи и ряд других.
Книга структурирована следующим образом.
В главе 1 приводятся общие сведения об адаптивной обработке сигналов,
о структурах, целевых функциях и критериях работы адаптивных фильтров,
а также показателях их качества. Рассматриваются примеры применения адап-
тивных фильтров при решении практических задач, встречающихся в радио-
технике и связи.
В главе 2 дается определение оператора комплексного градиента и рассма-
триваются его свойства. Анализируются результаты применения этого опера-
тора к действительным и комплексным целевым функциям. Эти результаты
также сравниваются с результатами применения оператора действительного
градиента к действительным целевым функциям.
Глава 3 посвящена фундаментальным понятиям адаптивной обработки
сигналов, таким как корреляционная матрица, собственные числа и соб-
ственные векторы этой матрицы, поверхность среднеквадратической ошибки,
безусловная и условная (линейно-ограниченная) винеровская фильтрация
сигналов.
В главе 4 описываются два способа поиска решения задачи винеровской
фильтрации: алгоритм Ньютона и алгоритм наискорейшего спуска. Анализи-
руются свойства этих алгоритмов и приводятся результаты их численного мо-
делирования.
В главе 5 рассматривается LMS-алгоритм адаптивной фильтрации. Ана-
лизируются свойства этого алгоритма и приводятся результаты его числен-
ного моделирования. Также рассматриваются нормализованная версия LMS-
алгоритма (NLMS-алгоритм), LMS- и NLMS-алгоритмы с переменным шагом
сходимости, изменяемым по градиентному закону, и линейно-ограниченные
версии LMS- и NLMS-алгоритмов.
В главе 6 рассматриваются постановка и решение задачи идентификации ли-
нейных объектов по критерию наименьших квадратов, а также RLS-алгоритм
адаптивной фильтрации, вытекающий из этой задачи и полученный с помо-
щью леммы об обращении матриц для рекурсивного обращения корреляцион-
ной матрицы входных сигналов адаптивного фильтра. Анализируются свойства
этого алгоритма и приводятся результаты его численного моделирования.
В главе 7 рассматривается RLS-алгоритм адаптивной фильтрации сигна-
лов на основе обратного QR-разложения с использованием вращений Гивенса.
Представлены основные шаги получения алгоритма, его вычислительная про-
цедура, а также вопросы аппаратной реализации, ориентированной на парал-
лельные вычисления.
В главе 8 рассматривается RLS-алгоритм адаптивной фильтрации сигналов,
основанный на прямом QR-разложении с использованием вращений Гивенса.
В главе 9 рассматривается RLS-алгоритм адаптивной фильтрации сигна-
лов, основанный на обратном QR-разложении с использованием преобразо-
вания Хаусхолдера. Также описывается способ исключения операций извле-
чения квадратного корня в RLS-алгоритмах на основе прямого и обратного
QR-разложений с использованием вращений Гивенса.
В главе 10 описаны три алгоритма линейно-ограниченной рекурсивной
адаптивной фильтрации сигналов по критерию наименьших квадратов, осно-
ванные на использовании леммы об обращении матриц.
18 Предисловие
В главе 11 рассматриваются быстрые, т. е. вычислительно эффективные,
RLS-алгоритмы адаптивной фильтрации, основанные на использовании лемм
об обращении клеточных матриц.
Главе 12 посвящена вопросам построения быстрых лестничных RLS-
алгоритмов. Приводятся вычислительные процедуры десяти разновидностей
таких алгоритмов.
В главе 13 рассматриваются многоканальные версии быстрых RLS-
алгоритмов, рассмотренных в главах 6—11, для адаптивных фильтров с неоди-
наковым числом весовых коэффициентов в каналах.
В главе 14 рассматривается ряд RLS-алгоритмов адаптивной фильтрации,
которые могут быть построены на основе приемов, описанных в главах 6—13.
Это быстрые алгоритмы на основе QR-разложения, а также алгоритмы обработ-
ки нестационарных сигналов и их параллельные версии, которые могут исполь-
зоваться как самостоятельно, так и в качестве части вычислительных процедур
в быстрых алгоритмах аффинных проекций. Кроме того, в главе освещены во-
просы инициализации (задания начальных значений ВК) RLS-алгоритмов.
В главе 15 приводятся сведения о стандартных и нестандартных средствах
моделирования адаптивных фильтров и их приложений на языке программи-
рования MATLAB, LabVIEW и SystemVue. Кроме того, приводятся сведения о
прикладных адаптивных фильтрах, реализованных на современных цифровых
сигнальных процессорах отечественного и зарубежного производства.
Таким образом, в книге изложены основные теоретические вопросы адап-
тивной обработки комплексных сигналов, рассмотрены алгоритмы вычисле-
ния ВК для одно- и многоканальных адаптивных фильтров, включая фильтры,
предназначенные для обработки нестационарных сигналов. В ней обобщены
и представлены с единой точки зрения как известные, так и оригинальные све-
дения, которые отражают результаты моих многолетних исследований в области
адаптивной обработки сигналов.
Я надеюсь, что у читателей сложится систематическое представление
об адаптивной обработке сигналов, а полученные знания вызовут мотивацию
для ее дальнейшего изучения, развития и использования на практике.
Книга будет полезна как зрелым, так и начинающим научным работникам,
инженерам, а также аспирантам и студентам. Книга получилась достаточно
объемной, хотя многие вопросы адаптивной обработки сигналов остались за ее
рамками. Подробное изложение делает эту книгу самодостаточной, а потому
простой и понятной.
Насколько это удалось, судить читателям. Я буду признателен за любые за-
мечания и пожелания, касающиеся этой книги. Ваши отзывы можно направ-
лять по адресу электронной почты djigan@yandex.ru.
Пользуясь случаем, я хотел бы выразить благодарность моим учителям
Незлину Д. В., Бецу В. П., Колюскину В. А. и Мингазину А. Т. за полученные
под их руководством знания за время учебы в Московском институте электрон-
ной техники (сейчас Национальный исследовательский университет «МИЭТ»),
приведшие меня в конечном итоге в адаптивную обработку сигналов, а также
коллегам и друзьям Александрову Ю. Н., Архипкину В. Я., Ако пяну А. Г., Бы-
строву А. Н., Брюханову Ю. А., Вечтомову В. А., Витязеву В. В., Витязеву С. В.,
Головенко Ю. Н., Гринкевичу В. Э., Гудковой Н. В., Гурееву А. В., Егорову С. И.,
Засову В. А., Захарову Ю. В., Земляку А. М., Лесникову В. А., Лупину С. А., Пе-
тричковичу Я. Я., Петрову А. С., Петрову В. Г., Плетневой И. Д., Приорову А. Л.,
Карпенко А. Л., Комарову В. Т., Коплович Е. А., Светлову А. Ю., Семушину И. В.,
Сергиенко А. Б., Солохиной Т. В., Ханяну Г. С., Хрящеву В. В., Чистюхину В. В.,
Чобану М. К. и Щербакову С. В. за постоянную поддержку и оценку моей рабо-
ты.
Отдельная благодарность сотрудникам российских представительств ком-
паний Agilent Technologies и National Instruments Бардашовой О. Н., Бурма-
тову А. В., Жигунову Б. С., Иванисову А. В., Кондратьеву Д. Е., Петренко Б. П.,
Подольскому А. С., Руданову Г. С., Сепояну П. Р. и Чутко О. В. за поддержку моих
работ и предоставление информационных материалов по программным про-
дуктам LabVIEW и SystemVue, вошедших в главу 15 настоящей книги.
Я также выражаю благодарность своим зарубежным коллегам Джо-
ну М. Чиоф фи (John M. Cioffi ), Стивену Л. Гранту (Steven L. Grant) и Эдварду
Джонсу (Edward Jones), внесшим свой вклад в формирование моего профессио-
нального интереса к адаптивной обработке сигналов.
Я благодарю сестру Александру и брата Василия за их постоянную под-
держку.
Особая благодарность моей жене Галине и дочерям Марии и Ольге за их по-
нимание и поддержку на протяжении написания этой книги и в повседневной
жизни.
ГЛАВА 1
ВВЕДЕНИЕ В АДАПТИВНУЮ ОБРАБОТКУ СИГНАЛОВ
Настоящая глава является введением в теорию адаптивной обработки сигналов.
В ней приводятся общие сведения об адаптивных фильтрах, их структурах, це-
левых функциях, критериях работы, а также показателях качества. Рассматри-
ваются примеры применения адаптивных фильтров при решении практических
задач, встречающихся в радиотехнике и связи: адаптивные эхо-компенсаторы,
эквалайзеры, антенные решетки, адаптивная шумоочистка и адаптивная филь-
трация узкополосных сигналов.
1.1. Введение
Согласно разным оценкам на сегодняшний день в научно-технических жур-
налах и трудах научно-технических конференций насчитывается более 10
тысяч публикаций, освещающих самые разные вопросы теории и практики
адаптивной обработки сигналов. Эти вопросы также рассматриваются в ряде
книг [1—33]. Такое число публикаций свидетельствует об огромных теорети-
ческих достижениях в этой области, нашедших свое отражение в адаптивных
устройствах, применяемых на протяжении уже многих десятилетий в различ-
ных радиоэлектронных изделиях. Примерами адаптивных устройств являют-
ся компенсаторы сигналов электрического и акустического эха, эквалайзеры
(выравниватели) характеристик электрических и акустических каналов связи,
адаптивные антенные и акустические решетки [34—36]. Сегодня можно конста-
тировать тот факт, что адаптивные устройства — это неотъемлемые элементы
оборудования современных радиотехнических систем и систем связи, тактико-
технические характеристики которых порой недостижимы без использования
адаптивной обработки сигналов.
Действительно, сигналы ближнего и дальнего эха являются источниками
помех для модемов, работающих в дуплексном режиме, а межсимвольная ин-
терференция является источником помех в каналах связи с ограниченной по-
лосой пропускания. Для достижения модемами высоких скоростей передачи
и приема цифровых данных эти помехи должны быть подавлены, что осущест-
вляется с помощью адаптивных эхо-компенсаторов и эквалайзеров.
Положительная обратная акустическая связь, возникающая в оборудо-
вании озвучивания помещений (концертные залы, залы для совещаний)
и в устройствах голосовой связи («hands-free»), устраняется с помощью адап-
тивных компенсаторов сигналов акустического эха. Выравнивание акустиче-
ских характеристик помещений при использовании оборудования высокока-
чественного воспроизведения звука осуществляется с помощью адаптивных
эквалайзеров.
Подавление активных помех, частотный диапазон которых совпадает с ча-
стотным диапазоном полезного сигнала, в радиолокации, гидролокации и свя-
зи осуществляется с помощью адаптивных антенных и акустических решеток.
Эти решетки являются пространственными фильтрами. Они обеспечивают
подавление сигналов помех, направления на источники которых отличаются
от направления на источник полезного сигнала.
Практические результаты адаптивной обработки сигналов во многом се-
годня обязаны технологическим достижениям в электронике и микроэлектро-
нике, благодаря которым появились одновременно высокопроизводительные
и компактные цифровые устройства на базе программируемых логических
интегральных схем (ПЛИС) и сверхбольших интегральных схем (СБИС) циф-
ровых сигнальных процессоров (ЦСП). Эти устройства обеспечивают реализа-
цию сложных алгоритмов ЦОС в реальном масштабе времени, т. е. на требуемой
частоте дискретизации обрабатываемых сигналов.
Таким образом, многолетние теоретические и практические достижения
в адаптивной обработке сигналов позволяют считать ее сложившимся научно-
техническим направлением в современных радиотехнике и связи.
Но что такое адаптивная обработка сигналов, или, в более широком смысле,
адаптация? Вот лишь некоторые определения этого термина [3]. «Адаптация —
это:
• действие, процесс приспособления;
• состояние приспосабливаемого, приспособление;
• любое изменение в структуре или функции организма или любой из его
частей в результате естественного отбора, с помощью которого организм
становится более приспособленным для выживания и размножения
в окружающей его среде; видоизменение формы или структуры в соот-
ветствии с изменением окружающей среды;
• ослабление отклика сенсорных рецепторов, таких как зрение, осязание,
температура, обоняние, слух и боль, на изменяющиеся, постоянно воз-
действующие условия окружающей среды;
• регулирование зрачком количества света, поступающего в глаз;
• медленное, обычно не осознанное изменение индивидуальной и соци-
альной деятельностей в процессе приспособления к культурной среде».
Перечисленные определения термина «адаптация» характеризуют в основ-
ном живой мир. Однако этот термин применим и к искусственным устройствам
и системам, которые в процессе своего функционирования могут самообучать-
ся. В основе большинства исскуственных адаптивных устройств лежит адап-
тивный фильтр.
Фильтрация сигналов — это такая их обработка, целью которой являет-
ся извлечение интересуемой информации, например сигналов, обладающих
определенными характеристиками. Обработка сигналов может выполняться
как аналоговым, так и цифровым способом. В книге мы будем рассматривать
только цифровую фильтрацию, предполагая, что обрабатываемые сигналы дис-
кретизованы с частотой, регламентируемой теоремой Котельникова, известной
в зарубежной литературе как теорема отсчетов, и оцифрованы с числом разря-
дов, определяемым динамическим диапазоном этих сигналов.
Известно, что свойства цифрового фильтра с фиксированными параметра-
ми обычно определяются его передаточной функцией. В свою очередь, пере-
даточная функция определяет структуру фильтра и его вычислительную слож-
ность. Если требования к передаточной функции невозможно сформулировать
заранее или эти требования могут меняться в процессе работы фильтра, то вме-
сто фильтра с фиксированными параметрами необходимо использовать фильтр
с изменяемыми параметрами, например адаптивный.
Так как параметры адаптивного фильтра меняются в процессе его работы,
то очевидно, что такой фильтр является нелинейным устройством. Однако
при каждом фиксированном значении параметров адаптивный фильтр пред-
ставляет собой линейное устройство, так как между его входными и выход-
ными сигналами обычно существует линейная зависимость, определяемая
текущим набором ВК, подобно линейным фильтрам с фиксированными па-
раметрами.
Таким образом, адаптивный фильтр — это фильтр с изменяемыми в процес-
се работы параметрами, набор которых во многом зависит от критерия работы
адаптивного фильтра. Этим критерием часто является достижение минимума
некоторой целевой функции, как правило, квадратичной функции ошибки
между так называемым требуемым и выходным сигналами адаптивного филь-
тра. Достижение минимума целевой функции означает, что выходной сигнал
адаптивного фильтра «близок» к требуемому сигналу, т. е. повторяет по форме
этот сигнал.
Выходной сигнал адаптивного фильтра приближается к требуемому сигналу
за счет изменения ВК, рассчитываемых на основе обработки требуемого и вход-
ного (входных в многоканальном случае) сигналов. В установившемся режиме
значения ВК соответствуют минимуму целевой функции или находятся в не-
большой окрестности этого минимума. Так как состояние адаптивного фильтра
меняется в процессе настройки ВК, то считается, что он приспосабливается или
адаптируется к существующим условиям функционирования. Поэтому и такой
фильтр, и алгоритм вычисления его ВК называют адаптивными.
Адаптивные алгоритмы являются основным предметом рассмотрения в на-
стоящей книге. Это, собственно, алгоритмы фильтрации, т. е. вычисления вы-
ходного сигнала адаптивного фильтра, и алгоритмы вычисления его ВК. Со-
вокупность данных алгоритмов будем равнозначно называть или адаптивным
фильтром, или адаптивным алгоритмом.
Анализ адаптивных фильтров как нелинейных устройств является более
сложным, чем анализ фильтров с фиксированными параметрами. Но адаптив-
ные фильтры являются самонастраивающимся и с этой точки зрения они более
простые, так как не требуют использования сложных и ресурсоемких методов
расчета, применяемых при синтезе фильтров с фиксированными ВК.
Если условия функционирования меняются, то адаптивный фильтр может
эти изменения в некоторой степени отслеживать. При этом следует понимать,
что адаптивный фильтр и следящая система — это не совсем одно и то же. Адап-
тивный фильтр, подобно фильтрам с фиксированными ВК, характеризуется
длительностью переходного процесса. Если изменения в системе медленные,
т. е. происходят за время, существенно превышающее длительность переходного
процесса адаптивного фильтра, то этот фильтр такие изменения, как правило,
отслеживает. По мере же увеличения скорости изменений в системе эффектив-
ность адаптивного фильтра падает, так как за время изменения он не успевает
«полностью настроиться», т. е. перейти в установившийся режим, когда его пе-
реходный процесс считается законченным.
В общем случае одноканальный адаптивный фильтр представляет со-
бой устройство, показанное на рис. 1.1. Здесь x(k) — входной сигнал, d(k) —
требуемый сигнал (используемый в обозначении символ «d» происходит
от английского слова «desired», т. е. требуемый), y(k) — выходной сигнал,
α(k) = d(k) – y(k) — сигнал ошибки, k — индекс дискретного времени или номер
отсчета обрабатываемого сигнала. Эти отсчеты обычно равномерно распреде-
лены на оси времени как t = kTS = k/FS , где TS — период дискретизации, а FS —
частота дискретизации обрабатываемых сигналов. Длительность одной ите-
рации адаптивного алгоритма, т. е. время, в течение которого осуществляется
расчет ВК, используемых для вычисления выходного сигнала адаптивного
фильтра на следующей итерации, в большинстве случаев равна одному перио-
ду дискретизации. Если расчет ВК ведется медленно, т. е. в течение нескольких
периодов дискретизации, то формирование сигнала y(k) все равно необходимо
осуществлять на каждом периоде дискретизации для удовлетворения требо-
ваниям теоремы Котельникова.
Адаптивный фильтр
Адаптивный алгоритм
d(k)
x(k) y(k)
(k)
Рис. 1.1. Адаптивный фильтр
Для работы адаптивного фильтра, как правило, недостаточно информации,
получаемой только из входного сигнала. Источником недостающей информации
обычно служит требуемый сигнал d(k), физическая природа которого опреде-
ляется конкретным приложением адаптивного фильтра. Приложение является
одним из факторов, определяющих требования, предъявляемые к адаптивному
фильтру на этапе его проектирования.
1.2. Требования к адаптивным фильтрам
Согласно [29] основные требования к адаптивному фильтру определяются та-
кими составляющими, как приложение, структура и алгоритм.
1. Приложения. Тип приложения определяется сигналами, поступающими
из окружающей среды в качестве входного x(k) и требуемого d(k) сигналов. Наи-
более известными и широко используемыми приложениями адаптивных филь-
тров являются уже упоминавшиеся эхо-компенсаторы, эквалайзеры, адаптив-
ные решетки и ряд других устройств. Данная книга не преследует своей целью
рассмотрение приложений адаптивных фильтров. Однако некоторые из них бу-
дут кратко рассмотрены в настоящей главе с целью демонстрации областей ис-
пользования адаптивных фильтров при решении задач радиотехники и связи.
2. Структуры адаптивных фильтров. Подобно фильтрам с фиксированными
ВК, существуют две основные структуры адаптивных фильтров. Это фильтры
с конечной импульсной характеристикой (КИХ), или трансверсальные, и филь-
тры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ), или рекурсивные.
Структура одноканального адаптивного КИХ-фильтра приведена на рис. 1.2.
Выходной сигнал y(k) адаптивного фильтра формируется как линейная
комбинация задержанных отсчетов входного сигнала x(k – n + 1), взятых с ве-
сами hn(k – 1), вычисляемыми на предыдущих итерациях (k – 1) по отношению
к текущим итерациям k, т. е. как
y k h k x k n k k n
n
N
N N ( )= ∗(−) (−+)= (−) ( )
= Σ
1 1 1
1
hH x , (1.1)
где N — число ВК фильтра, а hN n (k−1)=[h(k−1),h(k−1), ,h(k−1), , 1 2 … …
h k h k N− N − − ] 1 ( 1), ( 1)T — вектор ВК и xN(k)=[x(k), x(k−1),…, x(k−n+1),…,
x(k−N+2), x(k−N+1)]T — вектор сигналов в фильтре. Порядок фильтра опре-
деляется как N – 1, т. е. по числу линий задержки. Векторы hN(k) и xN(k) в общем
случае являются комплексными.
z1 z1 z1
h2(k 1)
h3(k 1)
1( 1)
h k N
hN (k 1)
h1(k 1)
x(k)
y(k)
x(k 1) x(k 2) x(k N 2) x(k N 1)
d(k)
x(k)
(k 1) h N
(k)
Рис. 1.2. Одноканальный адаптивный КИХ-фильтр
Здесь и далее верхний индекс T будет использоваться для обозначения опе-
рации транспонирования вектора или матрицы, а верхний индекс H — для обо-
значения операции эрмитова сопряжения, т. е. транспонирования и комплекс-
ного сопряжения, обозначаемого символом *, элементов вектора или матрицы.
Первый нижний индекс N в обозначениях векторов и матриц будет указывать
на число элементов в векторе или число элементов в квадратной матрице, опреде-
ляемое как N × N. Число элементов в прямоугольной матрице будет обозначаться
двумя первыми нижними индексами. Например, запись AT
NM будет обозначать
операцию транспонирования матрицы ANM , т. е. матрицу BMN = AT
NM . Таким образом, нижние индексы в обозначении матриц будут указывать на число элементов нетранспонированных матриц. В ряде случаев нижний индекс N также бу-
дет использоваться в обозначениях скалярных переменных, указывая на то, что
эти переменные являются функциями от N-мерных векторов для различения
одноименных скалярных переменных, являющихся функциями от (N + 1)-, N-
или (N – 1)-мерных векторов в быстрых алгоритмах адаптивной фильтрации.
Векторы везде будут обозначаться полужирными строчными символами,
а матрицы — полужирными заглавными. Элементы матриц и векторов будут
обозначаться соответственно обычными строчными и заглавными символа-
ми. Нижние индексы в элементах матриц и векторов будут обозначать номера
этих элементов в матрицах и векторах согласно общепринятой системе их ну-
мерации. В качестве других признаков в обозначениях векторов, матриц или
их элементов могут быть использованы различные символы в нижнем ин дексе,
26 Глава 1. Введение в адаптивную обработку сигналов
следующие через запятую после обозначения размера вектора или матрицы
или номеров их элементов, а также символы в верхнем индексе. Единичная ма-
трица (квадратная диагональная матрица с единицами на главной диагонали
и нулевыми остальными элементами) будет обозначаться символом IN , нулевые
матрицы (матрицы, содержащие только нулевые элементы) — символами ON
и ONM , единичный вектор (вектор, содержащий все единицы) — символом iN ,
а нулевой вектор (вектор, содержащий только нулевые элементы) — символом
0N . Под вектором обычно будет пониматься вектор-столбец.
Используя выходной сигнал адаптивного фильтра (1.1), можно вычислить
сигнал априорной ошибки моделирования требуемого сигнала d(k) как
α( ) ( ) ( ) ( ) k dk yk dk (k ) (k) N N = − = −hH −1x . (1.2)
Сигнал апостериорной ошибки определяется при ВК, равных hN(k), как
e k d k y k d k k k N N ( )= ( )− ˆ( )= ( )− ( ) ( ) hH x . (1.3)
Как видно, термины «априорный» и «апостериорный» связаны со значе-
ниями ВК адаптивного фильтра, вычисляемыми соответственно на предыду-
щей и текущей итерациях алгоритма адаптивной фильтрации.
На практике при работе адаптивного фильтра на его выходе наблюдаются
априорные ошибки (1.2), так как текущее значение выходного сигнала филь-
тра y(k) формируется по значениям ВК, вычисленным на предыдущей итера-
ции. Апостериорные ошибки (1.3) обычно используются в алгоритмах вы-
числения ВК и при формировании целевой функции работы адаптивного
фильтра, например среднеквадратической ошибки (Mean Square Error, MSE)
F=E{e(k)e∗(k)}=E{e(k)}2 , где E{•} — операция усреднения по ансамблю реа-
лизаций. В случае КИХ-фильтров такая функция, как будет показано в главе 3,
является действительной унимодальной квадратичной функцией в простран-
стве действительных или комплексных ВК, т. е. характеризуется единственным
минимумом.
В книге будут рассматриваться в основном адаптивные фильтры с комплекс-
ными ВК. Это обусловлено некоторыми математическими тонкостями, исполь-
зуемыми при получении алгоритмов вычисления ВК для таких фильтров, а так-
же тем, что переход от адаптивных алгоритмов для фильтров с действительными
ВК к алгоритмам для фильтров с комплексными ВК часто не очевиден, несмо-
тря на то, что он сводится в основном к правильной расстановке операций ком-
плексного сопряжения некоторых переменных, используемых в алгоритмах.
Поэтому в настоящей книге теория адаптивной фильтрации будет излагать-
ся применительно к фильтрам с комплексными ВК, так как в большинстве лите-
ратурных источников адаптивные алгоритмы рассматриваются в основном для
фильтров с действительными ВК. Переход от описания фильтров с комплекс-
1.2. Требования к адаптивным фильтрам 27
ными ВК к описанию фильтров с действительными ВК является тривиаль ным
и обычно сводится к исключению всех операций комплексного сопряжения
в матрицах, векторах и скалярных переменных. Этот переход, как будет пока-
зано в главе 2, сопровождается появлением в некоторых математических выра-
жениях фиксированного множителя, равного 2, который отсутствует в матема-
тических выражениях алгоритмов для адаптивных фильтров с комплексными
ВК.
В адаптивных антенные решетках (ААР) или эхо-компенсаторах и эква-
лайзерах оборудования цифровых систем связи с квадратурной модуляцией
обрабатываются комплексные сигналы. Это естественным образом приводит
к необ ходимости использования адаптивных фильтров с комплексными ВК.
В общем случае адаптивные КИХ-фильтры могут быть многоканальными
и при этом содержать неодинаковое число ВК в каналах (рис. 1.3). Вектор ВК
такого M-канального адаптивного фильтра
h h h h h h N N N N N N k k k k k
m M
( ) ( ), ( ), , ( ), , ( ), − = − − ⎡⎣
− − −
1 1 1 1 1
1 2 1
T T T T … … M
T k T ( ) − ⎤⎦
1
образуется из последовательности векторов ВК каналов
hNm m m n m Nm m Nm
(k) h (k ), h (k ), ,h (k ), ,h (k ), h , , , , , = − − − − 1 2 −1 1 1… 1… 1 m k( ) − ⎡⎣
⎤⎦
1
T ,
а вектор сигналов x x x x x x N N N N N N k k k k k k
m M M
( ) ( ), ( ), , ( ), , ( ), ( ) =⎡⎣
⎤⎦
1 2 −1
T T T T T T … … —
из последовательности векторов сигналов каналов
xNm m m m m m m m m
k x k x k x k n x k N x k N ( ) ( ), ( ), , ( ), , ( ), ( ) = − − + − + − + ⎡ 1 1 2 1 … … ⎣ ⎤⎦
T .
Суммарное число ВК многоканального фильтра определяется как N Nm
m
M
=
= Σ1
.
( 1) ( ) 1 1 k N k
HN
h x
( 1) ( ) 2 2 k k N
HN
h x
( 1) m k HN
h x (k) Nm
( 1) ( ) 1 1 k k M NM
HN
h x
(k 1) (k) M NM
HN
h x
Адаптивный алгоритм
d(k)
x1(k)
x2 (k)
x 1(k) M
xM (k)
x (k) m
(k)
Рис. 1.3. Многоканальный адаптивный КИХ-фильтр
28 Глава 1. Введение в адаптивную обработку сигналов
Неодинаковое число ВК в каналах многоканального адаптивного фильтра,
с одной стороны, часто диктуется физической природой задачи, а с другой —
обусловлено всегда существующими ограничениями на вычислительную слож-
ность реализации фильтров. Так как в адаптивных фильтрах вычислительная
сложность является функцией полного числа ВК N, то это число не следует уве-
личивать, если на то нет каких-либо причин, несмотря даже на то, что ряд ал-
горитмов, например для многоканальных адаптивных фильтров с одинаковым
числом ВК в каналах, математически (алгоритмически) «много проще» алго-
ритмов для фильтров с неодинаковым числом ВК в каналах.
Под вычислительной сложностью алгоритмов ЦОС, к которым принадле-
жат и алгоритмы адаптивной фильтрации сигналов, понимается число ариф-
метических операций (обычно сложений, вычитаний, умножений и делений,
а иногда и более сложных операций, например извлечения квадратных корней),
требуемых для выполнения одной итерации алгоритма.
Следует отметить две частные структуры адаптивного фильтра (см. рис. 1.3).
Это многоканальный фильтр с одним ВК (Nm = 1, m = 1, 2, ..., M) в каждом из ка-
налов, который используется в узкополосных ААР, и многоканальный фильтр
с одинаковым числом ВК в каналах N N NM
1= 2= = >1, который используется
в широкополосных акустических решетках [1, 4—6, 23] или многоканальных
компенсаторах сигналов акустического эха [37]. Структура многоканального
фильтра общего вида (см. рис. 1.3) также используется при реализации нели-
нейных полиномиальных адаптивных фильтров, в которых нелинейные ядра
представляют собой наборы из многоканальных фильтров с числом ВК в ка-
налах, изменяемым от N1 = 1 до NM = N с шагом, равным одному ВК [28]. Кроме
того, компенсатор сигналов ближнего и дальнего эха в модемах для проводных
каналов связи [38] или эквалайзер с обратной связью [39, 40] можно также рас-
сматривать как двухканальный адаптивный фильтр с неодинаковым числом
ВК в каналах.
В настоящей книге в основном будут рассматриваться одноканальные адап-
тивные фильтры. В главе 13 будут рассмотрены многоканальные адаптивные
фильтры общего вида (см. рис. 1.3).
Адаптивные БИХ-фильтры [16] на сегодняшний день пока еще не нашли
широкого применения на практике, так как, помимо проблем с устойчивостью,
им свойственна проблема многоэкстремальности (т. е. неунимодальности) це-
левой функции, что не позволяет в общем случае гарантировать сходимость
процесса вычисления ВК к глобальному (т. е. наилучшему) решению.
3. Алгоритмы. Адаптивный алгоритм — это процедура вычисления ВК,
обеспечивающих минимизацию целевой функции адаптивного фильтра, т. е.
выполнения критерия его работы. Алгоритм характеризуется видом исполь-
зуемой целевой функции, методом поиска оптимального решения и при родой
1.2. Требования к адаптивным фильтрам 29
сигналов ошибок. В адаптивных алгоритмах, как правило, используются
арифметические операции как над априорными, так и над апостериорными
ошибками. Процедуры вычисления выходных сигналов адаптивного фильтра
y k k k N N ( )=hH(−1)x( ) и ˆ
y(k) (k) (k) N N =hH x в уравнениях (1.2) и (1.3), т. е. собствен-
но фильтрация сигналов, также часто считаются составными частями адап-
тивного алгоритма.
Большинство вычислений в адаптивных алгоритмах представляет собой
итерационные процедуры. Эти итерации, как правило, совпадают по длитель-
ности с периодом дискретизации обрабатываемых сигналов. При этом вычис-
ляемые переменные обновляются на каждой итерации в результате прибавле-
ния некоторых добавок к предыдущим значениям или вычитания этих добавок
из предыдущих значений.
Например, вычисление ВК в адаптивном алгоритме по критерию наимень-
шего среднего квадрата (Least Mean Square, LMS) выполняется как
h h x N N N (k)= (k−1)+μ (k)α∗(k), (1.4)
т. е.
текущее
значение
вектора ВК
предыдущее
значение
векто
⎧
⎨ ⎪
⎩⎪
⎫
⎬ ⎪
⎭⎪
=
ра ВК
шаг
сходимости
вектор
входных
сигналов
⎧
⎨ ⎪
⎩⎪
⎫
⎬ ⎪
⎭⎪
+{ }⎧
⎨ ⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎬ ⎪
⎭⎪
{ошибка}.
В рекурсивных алгоритмах по критерию наименьших квадратов (Recursive
Least Squares, RLS) вычисление ВК выполняется как
h h g N N N (k)= (k−1)+ (k)α∗(k), (1.5)
т. е.
текущее
значение
вектора ВК
предыдущее
значение
векто
⎧
⎨ ⎪
⎩⎪
⎫
⎬ ⎪
⎭⎪
=
ра ВК
вектор
коэффициентов
Калмана
ошибка
⎧
⎨ ⎪
⎩⎪
⎫
⎬ ⎪ ⎭⎪
+
⎧
⎨ ⎪
⎩⎪
⎫
⎬ ⎪
⎭⎪
{ }.
Здесь текущие и предыдущие значения векторов ВК связаны с номерами
итераций алгоритма k и k – 1. В ряде других алгоритмов, например в алгоритмах
на основе QR-разложения и в лестничных алгоритмах, также используются ре-
курсивные вычисления, связанные с изменением порядка фильтра на единицу
на каждой итерации по k.
Выбор адаптивного алгоритма обычно обусловлен рядом таких требований,
как длительность переходного процесса, характеризующая скорость сходимо-
сти и следящие свойства адаптивного фильтра; значение остаточных ошибок
в установившемся режиме, характеризующее точность нахождения оптималь-
ного решения; вычислительная сложность алгоритма, характеризующая слож-
ность его аппаратной или программной реализации.
30 Глава 1. Введение в адаптивную обработку сигналов
К этим требованиям следует добавить понятие алгоритмической сложно-
сти, под которой понимается сложность математического представления алго-
ритмов, обусловленная числом и разнообразием математических выражений
(формул), являющихся, собственно, алгоритмом. Алгоритмическая сложность
и арифметическая сложность в конечном итоге влияют на сложность реализа-
ции алгоритмов.
С точки зрения сложности алгоритмы адаптивной обработки сигналов мож-
но условно разделить на несколько групп. Существуют вычислительно-простые
алгоритмы, т. е. с малым числом арифметических операций на одну итерацию.
Это алгоритмы с линейной вычислительной сложностью O(N) и малой алго-
ритмической сложностью. Такие алгоритмы обычно описываются всего лишь
несколькими простыми математическими выражениями. Примерами простых
алгоритмов являются LMS-алгоритм и другие адаптивные алгоритмы на осно-
ве стратегий градиентного поиска ВК. Алгоритм по критерию наименьших
квадратов (Least Squares, LS) характеризуется большой вычислительной слож-
ностью O(N3) и малой алгоритмической сложностью. RLS-алгоритмы харак-
теризуются средней вычислительной сложностью O(N2) и средней алгоритми-
ческой сложностью. Быстрые, т. е. вычислительно-эффективные или с малым
числом арифметических операций на одну итерацию, RLS-алгоритмы харак-
теризуются низкой вычислительной сложностью O(N) и большой алгоритми-
ческой сложностью, так как представляются достаточно большим числом раз-
нообразных математических формул.
При реализации адаптивных фильтров формально воспроизвести сложные
алгоритмы адаптивной обработки сигналов не всегда удается с первого раза.
Это происходит от того, что авторы книг и статей обычно не придерживаются
единого обозначения переменных в адаптивных алгоритмах, опускают важные
вопросы их инициализации, что не способствует однозначному пониманию
этих алгоритмов.
В результате, на практике до сих пор в основном используются адаптив-
ные фильтры на базе простых алгоритмов. Известный специалист в области
адаптивной фильтрации Джон Чиоффи (John Cioffi ) в 1996 году сказал: «Экс-
перты на протяжении уже многих лет разрабатывают сложные и эффективные
RLS-алгоритмы, однако инженеры их не любят, так как не понимают, а пото-
му предпочитают использовать в основном простые градиентные алгоритмы»
[41].
Такое отношение к сложным алгоритмам адаптивной фильтрации в прош-
лом было во многом обусловлено также и низкой производительностью цифро-
вой элементной базы. Чтобы при реализации сложных алгоритмов обеспечива-
лась требуемая частота дискретизации сигналов, необходимо было располагать
определенными вычислительными ресурсами, которые на то время были часто
1.3. Критерии функционирования адаптивных фильтров 31
недоступны. Однако сегодня такие алгоритмы [42] уже реализуемы на совре-
менной элементной базе [43, 44].
Поэтому цель настоящей книги — показать исследователям и разработчи-
кам адаптивных устройств, как синтезируются простые и сложные алгоритмы
адаптивной обработки сигналов, а также сравнить преимущества и недостат-
ки таких алгоритмов по отношению друг к другу. Это должно способствовать
использованию в современных приложениях не только простых, но и сложных
алгоритмов адаптивной фильтрации.
1.3. Êðèòåðèè ôóíêöèîíèðîâàíèÿ
àäàïòèâíûõ ôèëüòðîâ
В процессе работы адаптивного алгоритма осуществляется поиск таких пара-
метров адаптивного фильтра, как правило, вектора ВК hN(k), при которых значе-
ние заданной целевой функции является минимальным. Это обычно функция
входного, выходного и требуемого сигналов, т. е. F=f{x(k),y(k),d(k)}. Целе-
вую функцию можно рассматривать и как функцию ошибок, т. е. F=f{e(k)}.
Она должна быть действительной и неотрицательной, т. е. F ≥ 0 для всех x(k),
y(k) и d(k). При работе адаптивного фильтра hN(k) → hN,o , где hN,o — вектор коор-
динат минимума многомерной целевой функции в пространстве ВК. Дости-
жение минимума этой функции является критерием работы адаптивного
фильтра.
Существуют разные способы определения целевой функции адаптивного
фильтра, влияющие в конечном итоге на сложность алгоритмов ее миними-
зации. Целевыми функциями, наиболее часто используемыми в адаптивной
фильтрации, являются:
1) F=f{e(k)}=E{e(k)}2 — среднеквадратическая ошибка (MSE);
2) F f ek ei
i
k
= { }=
= Σ
( ) ( ) 2
1
— наименьшие квадраты ошибок (Least Squares, LS);
3) F f ek k i ei
i
k
= { }= −
= Σ
( ) λ ( ) 2
1
— взвешенные наименьшие квадраты ошибок
(Weighted Least Squares, WLS);
4) F = f{e(k)}= e(k) 2 — квадрат мгновенной ошибки.
На практике используются и другие критерии, например критерий пос-
тоянства модуля информационных символов (Constant Modulus, CM) [45], ча-
сто применяемый при адаптивной обработке сигналов в системах цифровой
связи. В основе этого критерия лежит минимизация функции ошибок между
значе нием модуля (комплексной огибающей) выходного сигнала адаптивного
фильтра и известным значением модуля (комплексной огибающей) информа-
32 Глава 1. Введение в адаптивную обработку сигналов
ционных символов, возведенных в некоторую степень. Эта минимизация обе-
спечивает приближение комплексной огибающей выходного сигнала адаптив-
ного фильтра к известному постоянному значению комплексной огибающей
информационных символов. Поэтому данный критерий получил свое назва-
ние не от названия целевой функции, а от названия требуемого конечного ре-
зультата, т. е. значения огибающей выходного сигнала адаптивного фильтра,
позволяющей корректно распознавать (обнаруживать) в этом сигнале прини-
маемые информационные символы.
Выбор квадратичных целевых функций в адаптивных фильтрах во многом
обусловлен тем, что в результате их использования можно получать алгорит-
мы адаптивной фильтрации в виде рекуррентных вычислительных процедур,
не содержащих логических операций, что отличает такие алгоритмы от вычис-
лительных процедур оптимизации общего вида. Кроме того, эти функции яв-
ляются унимодальными, что гарантирует сходимость алгоритмов адаптивной
фильтрации на их основе к единственному оптимальному решению.
Строго говоря, первая MSE-функция является лишь удобным математи-
ческим понятием, так как для ее вычисления требуется наличие бесконечного
объема данных, поскольку получение этой функции подразумевает усреднение
по ансамблю реализаций наблюдаемых сигналов. На практике она применяется
редко. MSE-функция используется, например, при анализе адаптивных филь-
тров или в оптимальной винеровской фильтрации, представляющей в основ-
ном теоретический интерес.
По словам Бернарда Уидроу (Bernard Widrow), автора LMS-алгоритма, ви-
неровская фильтрация является лишь красивой теоретической задачей: «Я был
знаком с теорией винеровской фильтрации в непрерывной и дискретной фор-
мах. Для построения фильтра Винера требуется знать автокорреляционную
функцию входного сигнала и взаимную корреляционную функцию между
входным и требуемым сигналами. Это замечательно, когда вы делаете домаш-
нее упражнение, но что делать на практике, когда статистику входных сигналов
никто вам не может предоставить? Все, что у вас есть, — это сами входные сиг-
налы…» [46].
Целевые функции со второй по четвертую отличаются как сложностью реа-
лизации алгоритмов на их основе, так и характеристиками сходимости и оста-
точными ошибками этих алгоритмов в установившемся режиме. Так, квадрат
мгновенной ошибки является самой простой с точки зрения реализации алго-
ритмов целевой функцией. Однако алгоритмы на основе этой функции характе-
ризуются медленной сходимостью, поскольку это сильно упрощенная целевая
функция. Целевая LS-функция обычно используется при обработке стацио-
нарных сигналов, а WLS — при обработке медленно меняющихся сигналов.
1.4. Идентификация неизвестной линейной системы 33
В большей части настоящей книги основное внимание будет сосредоточено
на алгоритмах, использующих в качестве целевых функций квадрат мгновен-
ной ошибки, LS- и WLS-функции. Для простоты алгоритмы, использующие
две последние функции, будут называться алгоритмами на основе критерия
наименьших квадратов.
1.4. Идентификация неизвестной линейной системы
Существует ряд известных приложений адаптивных фильтров. Наиболее про-
стым и легко понимаемым из них является прямая идентификация неизвестной
линейной системы (рис. 1.4), базирующаяся на определении импульсного от-
клика этой системы. При решении задачи идентификации сигнал x(k) являет-
ся входным и для идентифицируемой системы, и для адаптивного фильтра.
Поэтому минимизация некоторой функции ошибок α(k) между выходными
сигналами неизвестной системы d(k) и адаптивного фильтра y(k) означает, что
адаптивный фильтр моделирует неизвестную систему, т. е. h w N N (k)→ , так как
фильтр «воспроизводит» выходной сигнал системы y(k).
Адаптивный фильтр
d(k)
x(k) y(k)
Неизвестная система
(k)
Рис. 1.4. Адаптивная идентификация неизвестной системы
На рис. 1.5 приведен пример моделирования работы адаптивного фильтра,
характеризуемого вектором ВК hN(k) (обозначен как «Фильтр», темная кривая),
при решении задачи идентификации импульсного отклика wN (обозначен как
«Система», светлая кривая) при N = 64. На этом рисунке показаны значения
ВК wN и hN(k) на разных итерациях k работы адаптивного фильтра. Видно, что
со временем, т. е. с увеличением номера итерации k, h w N N (k)→ .
На рис. 1.6 показаны сигналы, используемые при решении задачи иден-
тификации (см. рис. 1.5). В качестве сигнала x(k) использовался белый шум.
Из рис. 1.6а, рис. 1.6в—з видно, что по мере приближения ВК адаптивного филь-
тра к ВК идентифицируемой линейной системы выходной сигнал фильтра y(k)
(обозначен как «Фильтр», темная кривая) приближается к сигналу d(k) (обозна-
чен как «Система», светлая кривая), а сигнал ошибки (см. рис. 1.6б) уменьшает-
ся, т. е. α(k)→0 .
34 Глава 1. Введение в адаптивную обработку сигналов
Рис. 1.5. Идентификация неизвестной линейной системы: а) k = 100; б) k = 200;
в) k = 400; г) k = 800
0 10 20 30 40 50 60 70
–0.15
–0.1
–0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
n, отсчеты
w, h
Система
Фильтр
0 10 20 30 40 50 60 70
–0.15
–0.1
–0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
n, отсчеты
w, h
Система
Фильтр
0 10 20 30 40 50 60 70
–0.15
–0.1
–0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
n, отсчеты
w, h
Система
Фильтр
0 10 20 30 40 50 60 70
–0.15
–0.1
–0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
n, отсчеты
w, h
Система
Фильтр
а б
в г
Компенсация сигналов электрического или акустического эха является
примером решения задачи идентификации неизвестной системы. На качество
решения этой задачи, независимо от вида используемого алгоритма адаптивной
фильтрации, влияет наличие аддитивного шума eo(k) на входе требуемого сиг-
нала (рис. 1.7).
Шум eo(k) может быть как тепловым шумом в каналах проводной связи или
акустическим шумом в помещении, так и шумом, обусловленным не полной
идентификацией неизвестной системы из-за того, что точное число ВК иденти-
фицируемого импульсного отклика обычно неизвестно. Поэтому на практике
число ВК адаптивного фильтра Nh , как правило, меньше предполагаемого чис-
ла ВК Nw идентифицируемого импульсного отклика, что часто также обуслов-
лено и ограничениями на вычислительную сложность алгоритмов адаптивной
фильтрации, которая пропорциональна Nh .
Нескомпенсированная часть импульсного отклика образует шум, который
оценивается как
e k d k k k w x k n h k x k o N N n
n
n
n
N
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − − = ∗ − + − ( −) (
=
∞
∗
=
hH 1x Σ 1Σ 1
1 1
− + =
= ∗ − + + − + − −
=
∗
= +
∞
∗
=
Σ Σ Σ
n
w x k n w x k n h k x n
n
N
n
n N
n
n
N
1
1 1 1
1 1 1
)
( ) ( ) ( )(k n ) w x(k n ) n
n N
− + = ∗ − +
= +
∞Σ
1 1
1
(1.6)
Рис. 1.6. Идентификация неизвестной линейной системы: а) — сигналы d(k)
и y(k); б) — сигнал α(k); в) — з) сигналы d(k) и y(k) на разных интервалах
в 50 отсчетов (итераций)
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
–0.2
–0.15
–0.1
–0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
k, номер итерации
Амплитуда
Система
Фильтр
100 110 120 130 140 150
–0.2
–0.15
–0.1
–0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
k, номер итерации
Амплитуда
Система
Фильтр
200 210 220 230 240 250
–0.2
–0.15
–0.1
–0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
k, номер итерации
Амплитуда
Система
Фильтр
400 410 420 430 440 450
–0.2
–0.15
–0.1
–0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
k, номер итерации
Амплитуда
Система
Фильтр
800 810 820 830 840 850
–0.2
–0.15
–0.1
–0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
k, номер итерации
Амплитуда
Система
Фильтр
1600 1610 1620 1630 1640 1650
–0.2
–0.15
–0.1
–0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
k, номер итерации
Амплитуда
Система
Фильтр
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
–0.2
–0.15
–0.1
–0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
k, номер итерации
Амплитуда
Система
Фильтр
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
–0.2
–0.15
–0.1
–0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
k, номер итерации
Амплитуда
а б
в
д
г
е
ж з
в предположении, что
w x k n h k x k n n
n
N
n
n
N
∗
=
∗
=
Σ − + =Σ − − +
1 1
( 1) ( 1)( 1), (1.7)
т. е. некоторая (как правило, начальная) часть ВК неизвестной линейной систе-
мы w∞ в точности идентифицируется адаптивным фильтром, или, другими сло-
вами, hN(k – 1) = wN .
Рис. 1.7. Адаптивная идентификация неизвестной системы при наличии адди-
тивного шума
Адаптивный фильтр
d(k)
x(k) y(k)
Неизвестная система
eo (k)
(k)
На рис. 1.8 представлены графики рассогласования («misalignment») — одно-
го из показателей качества адаптивного фильтра, используемого в задачах иден-
тификации, при N N h w ≤ , где Nw = 64. Рассогласование — это эвклидова мера
расстояния между вектором ВК адаптивного фильтра h
Nh (k) и вектором коэф-
фициентов w
Nw N =[w w w] 1 2 , ,…, T , т. е.
ρ( ) lg
( )
lg
( )
k
k w h k
w
N N
N
n n
n
N
n
n
N
=
−
=
[ − ]
=
=
Σ
Σ
20 20 2
2
2
1
2
1
w h
w
w h
w
, (1.8)
где символ ||•|| обозначает норму вектора. При Nh < Nw вектор h
Nh (k) в уравнении
(1.8) дополняется нулями от Nh + 1 до Nw . Из рис. 1.8а следует, что при Nh < Nw дли-
тельность переходного процесса адаптивного фильтра в терминах ρ(k) умень-
шается, так как уменьшается «длина» фильтра (т. е. длина его импульсного
отклика или число ВК). Однако при этом возникает шум (1.6), влияющий на ка-
чество алгоритма адаптивной фильтрации. В частности, этот шум уменьшает
точность настройки ВК, характеризуемую рассогласованием (1.8).
Длительность переходного процесса адаптивного фильтра — это время,
в течение которого наблюдаемый показатель качества претерпевает «заметные»
изменения. За переходным процессом обычно следует установившийся режим,
в течение которого наблюдаемый показатель качества не претерпевает «замет-
ных» изменений.
В адаптивной фильтрации качество решения задачи идентификации также
принято характеризовать коэффициентом ослабления эхо-сигнала (Echo Return
Loss Enhancement, ERLE), который определяется как отношение энергии
1.5. Компенсация эхо-сигналов 37
требуемого сигнала d(k) к энергии сигнала остаточных ошибок α(k), именуемо-
го эхо-сигналом, т. е.
ERLE k
E d k
E k
( ) lg
( )
( )
= { }
{ } 10
2
α2
. (1.9)
Переходные процессы, аналогичные графикам на рис. 1.8а, в терминах ERLE
представлены на рис. 1.8б. Этот рисунок также подтверждает ухудшение ка-
чества решения задачи идентификации при N N h w ≤ , т. е. возрастание энергии
ошибок α(k), что обусловлено наличием шума eo(k), влияющего на качество ра-
боты адаптивного фильтра. При решении задачи идентификации число ВК Nh
по отношению к числу Nw выбирается, исходя из компромисса между требуе-
мым качеством идентификации и вычислительными ресурсами, требуемыми
для реализации адаптивного фильтра.
1.5. Компенсация эхо-сигналов
Ниже рассматривается пример идентификации неизвестного импульсного от-
клика в задачах эхо-компенсации. Необходимость решения этой задачи обу-
словлена архитектурой существующих систем проводной телефонной связи.
Так исторически сложилось, что из-за экономии проводников двунаправлен-
ная связь между телефонным аппаратом абонента и коммутационным оборудо-
ванием телефонной станции осуществляется с помощью двухпроводного кана-
ла связи без усиления сигналов (рис. 1.9), так как этот участок телефонной сети
во всем мире обычно не превышает нескольких километров и потери (ослабле-
ние) сигналов из-за сопротивления используемых проводников являют ся не-
существенными или допустимыми. Связь же между телефонными станциями
осуществляется на значительно большие расстояния, а значит, сигналы подвер-
Рис. 1.8. Идентификация импульсного отклика: а) — рассогласование; б) —
ERLE; 1 — Nh = 64; 2 — Nh = 60; 3 — Nh = 50; 4 — Nh = 32; 5 — Nh = 16
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
–40
–35
–30
–25
–20
–15
–10
–5
0
k, номер итерации
(k), дБ
5
4
3
1 2
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
–10
0
10
20
30
40
k, номер итерации
ERLE(k), дБ
1 2
4
3
5
а б
жены заметному ослаблению. Поэтому передаваемые между станциями сигна-
лы необходимо усиливать, отчего связь на этом участке сети может быть только
однонаправленной. Она осуществляется по двум однонаправленным двухпро-
водным каналам, т. е. по четырехпроводному каналу. Переход межу двух- и че-
тырехпроводными каналами осуществляется с помощью так называемых ги-
бридных или дифференциальных схем («hybrid circuits»). Один из возможных
вариантов такой схемы показан на рис. 1.10.
Гибридная
схема
Задержка
Задержка
Гибридная
схема
4-проводный
канал
2-проводный
канал 2-проводный
канал
Абонент Телефонная Абонент
станция
Телефонная
станция
Рис. 1.9. Устройство телефонной связи между двумя абонентами
Гибридная схема — это в идеале сбалансированный мост. Однако этот мост
невозможно сбалансировать во всем диапазоне частот обрабатываемых сиг-
налов, так как проводные линии связи характеризуются частотнозависимым
входным импедансом, в результате чего через гибридную схему (см. рис. 1.10)
происходит утечка части сигнала от удаленного абонента uAB(t) обратно к уда-
ленному абоненту, т. е. образуется эхо-сигнал | uCD(t) | < | uAB(t) | [47]. Действи-
тельно, условие баланса рассматриваемой гибридной схемы определяется как
Z R Z Z R Z i 1 i b 2 b ( + )= ( + ). Если R1 = Zi , то Zb = R2. Но R1 ≠ Zi , так как Zi — это ком-
плексный импеданс двухпроводной линии связи, нагруженной на развязываю-
щий трансформатор. Импеданс Zi зависит от топологии канала связи [48, 49].
Балансный импеданс Zb — это в большинстве случаев просто резистор. Поэтому
согласовать схему (см. рис. 1.10) во всей интересуемой полосе частот не пред-
ставляется возможным. Если условие баланса не соблюдается, то образуется
эхо-сигнал uCD(t) ≠ 0.
R1 R2
Сигнал от
удаленного
абонента
Сигнал к
удаленному
абоненту
Zi Zb
Гибридная схема 2-проводный
канал
C D
A
B
uAB(t)
uCD(t)
Рис. 1.10. Гибридная схема
Таким образом, передаваемый сигнал, будучи задержанным в силу конеч-
ной скорости распространения в проводниках, пройдя через гибридную схему,
возвращается (также с некоторой задержкой) обратно к удаленному абоненту.
Принятый удаленным абонентом собственный задержанный и ослабленный
сигнал называется сигналом электрического эха. Для обеспечения комфортно-
го разговора при связи эхо-сигнал необходимо тем больше подавлять, чем боль-
ше задержка (рис. 1.11) [50].
0 20 40 60 80 100
0
5
10
15
20
25
30
35
Задержка распространения сигнала, мс
Требуемое подавление, дБ
Рис. 1.11. Требуемое подавление эхо-сигнала
Известно, что гибридная схема моделируется линейным КИХ-фильтром [48,
49]. Поэтому задача подавления сигналов электрического эха формализуется
как задача идентификации импульсного отклика этого фильтра w∞ (рис. 1.12).
Здесь на рисунке аналого-цифровые и цифро-аналоговые преобразователи
(АЦП и ЦАП) для простоты не показаны.
Гибридная
схема,
2-проводный
канал
Абонент
w
Адаптивный
фильтр,
hN (k)
y(k)
d(k)
x(k)
Сигнал от
удаленного
абонента
Сигнал к
удаленному
абоненту –
подавленное
эхо
Неподавленное эхо
Оценка эхо-сигнала
(k)
Рис. 1.12. Подавление сигналов электрического эха в телефонных сетях
Аналогично решается задача подавления сигналов электрического эха в мо-
демах проводных систем связи, где также требуется разделять сигналы между
40 Глава 1. Введение в адаптивную обработку сигналов
двух- и четырехпроводными каналами, образующими каналы приема и пере-
дачи данных (рис. 1.13).
Адаптивный
фильтр,
hN (k)
y(k)
d(k) Неподавленное эхо
Оценка эхо-сигнала
2-проводный канал
к телефонной станции
Передатчик
модема
Приемник
модема
Модем
Гибридная
схема,
w
(k)
x(k)
Рис. 1.13. Подавление сигналов электрического эха в модемах
Акустическое эхо имеет несколько иную природу. Оно образуется за счет от-
ражения акустических сигналов, излучаемых, например, громкоговорителем,
от стен помещения и приема этих отражений микрофоном. Громкоговоритель
и микрофон могут быть элементами устройств озвучивания помещений или
устройств громкоговорящей связи. Акустическая среда характеризуется аку-
стическим импульсным откликом [51], поэтому принцип подавления сигна-
лов акустического эха (рис. 1.14) такой же, как и принцип подавления сигналов
электрического эха. Идентифицируемый импульсный отклик в данном случае
Акустический
импульсный отклик
Адаптивный алгоритм
Усилитель
Идентифицируемый импульсный отклик
Адаптивный фильтр
Эхо-сигнал
Шум
Сигнал от удаленного
абонента
Сигнал к удаленному
абоненту
Перестраиваемый фильтр
x(k)
d(k)
y(k)
eo (k)
(k)
Рис. 1.14. Подавление сигналов акустического эха
1.5. Компенсация эхо-сигналов 41
образуется как свертка импульсных откликов усилителя, громкоговорителя,
микрофона и акустического импульсного отклика помещения.
Рассмотрим эффективность применения адаптивной эхо-компенсации
на примере компенсации сигналов электрического эха [47]. Стандарт [52] регла-
ментирует численные модели ряда импульсных откликов, порождающих сиг-
налы электрического эха. На рис. 1.15а показан один их таких откликов (такой
же, как на рис. 1.5). Гибридная схема, характеризуемая этим импульсным от-
кликом, подавляет сигнал х(k) примерно на 7.6 дБ. Это подавление грубо мож-
но оценить по амплитудно-частотной характеристике (АЧХ) гибридной схемы
(см. рис. 1.15б), которая «примерно одинаковая» (–7…–8 дБ) в большей части по-
лосы частот телефонного канала 0…4 кГц.
Рис. 1.15. ERLE ≈ 7.6 дБ: а) импульсный отклик гибридной схемы; б) АЧХ ги-
бридной схемы
0 10 20 30 40 50 60 70
–0.15
–0.1
–0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
n, отсчеты
w
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
–50
–40
–30
–20
–10
0
f, Гц
| H ( f ) |, дБ
а б
Ослабление эхо-сигналов в терминах ERLE для гибридной схемы представ-
ляет собой отношение энергий входного сигнала и эхо-сигнала, т. е.
ERLE k
E x k
E d k
( ) lg
( )
( )
= { }
{ } 10
2
2 . (1.10)
На рис. 1.16 приведены результаты моделирования подавления эхо-
сигнала, образованного гибридной схемой с характеристиками, такими же,
как на рис. 1.15, с помощью адаптивного фильтра на базе простого нормали-
зованный алгоритма по критерию наименьшего среднего квадрата (Normalized
LMS, NLMS). Из рис. 1.16а видно, что эхо-сигнал имеет достаточно большую
амплитуду (средняя кривая на рисунке). Это означает, что данный сигнал будет
хорошо восприниматься человеческим ухом, создавая дискомфорт в разговоре,
а значит, должен быть подавлен. Видно, что адаптивный фильтр подавляет эхо-
сигнал (нижняя кривая). Аддитивный шум eo(k) в экспериментах составляет
примерно –30 дБ относительно среднего уровня эхо-сигналов.
42 Глава 1. Введение в адаптивную обработку сигналов
Параметр ERLE адаптивного фильтра для графиков (см. рис. 1.16б) опреде-
ляется как
ERLE k
E d k
E k
( ) lg
( )
( )
= { }
{ } 10
2
α2
, (1.11)
а для гибридной схемы и адаптивного фильтра — как
ERLE k
E x k
E k
( ) lg
( )
( )
= { }
{ } 10
2
α2
. (1.12)
Энергия сигналов в расчетах (1.10)—(1.12) для данного эксперимента опре-
делялась на скользящем окне в 256 отсчетов, что при частоте дискретизации
8 кГц, принятой при обработке сигналов в телефонных каналах, равно интер-
валу усреднения 256/(8 · 103) = 32 · 10–3 = 32 мс, т. е. условному интервалу стацио-
нарности речевого сигнала [53].
Результаты для RLS-алгоритма, аналогичные приведенным на рис. 1.16,
представлены на рис. 1.17. Из сравнения рис. 1.16 и 1.17 видно, что RLS-алгоритм
0 2 4 6 8
–0.5
0
0.5
x(k)
0 2 4 6 8
–0.5
0
0.5
d(k)
0 2 4 6 8
x 104
–0.5
0
0.5
k, номер итерации
(k) + eo (k)
0 2 4 6 8 10
x 104
0
10
20
30
40
50
60
70
80
k, номер итерации
ERLE(k), дБ
1
2
а б 3
Рис. 1.16. NLMS-алгоритм: 1) ERLE гибридной схемы; 2) ERLE адаптивного
фильтра; 3) ERLE — гибридной схемы и адаптивного фильтра
0 2 4 6 8
–0.5
0
0.5
d(k) x(k)
0 2 4 6 8
–0.5
0
0.5
0 2 4 6 8
x 104
–0.5
0
0.5
k, номер итерации (
k) +
e
(
k) o
0 2 4 6 8 10
x 104
0
10
20
30
40
50
60
70
80
k, номер итерации
ERLE(k), дБ
1
2
а б 3
Рис. 1.17. RLS-алгоритм: 1) ERLE гибридной схемы; 2) ERLE адаптивного
фильтра; 3) ERLE гибридной схемы и адаптивного фильтра
1.5. Компенсация эхо-сигналов 43
Рис. 1.18. Зашумленный остаточный эхо-сигнал α(k) + eo(k) (темная кривая)
и незашумленный остаточный эхо-сигнал α(k) (светлая кривая):
а) RLS-алгоритм; б) NLMS-алгоритм, μˆ = 0.1; в) NLMS-алгоритм,
μˆ = 0.2; г) NLMS-алгоритм, μˆ = 0.1; д) NLMS-алгоритм, μˆ = 0.075;
е) NLMS-алгоритм, μˆ = 0.05; ж) NLMS-алгоритм, μˆ = 0.025; з) NLMS-
алгоритм, μˆ = 0.01
0 2 4 6 8
x 104
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
x 10–3
k, номер итерации
0 2 4 6 8
x 104
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
x 10–3
k, номер итерации
0 2 4 6 8
x 104
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
x 10–3
k, номер итерации
(k) + (k)
0 2 4 6 8
x 104
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
x 10–3
k, номер итерации
0 2 4 6 8
x 104
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
x 10–3
k, номер итерации
0 2 4 6 8
x 10 4
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
x 10–3
k, номер итерации
0 2 4 6 8
x 104
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
x 10–3
k, номер итерации
0 2 4 6 8
x 104
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
x 10–3
k, номер итерации
а б
в г
д е
ж з
(k) + eo (k),(k) (k) + eo (k),(k) (k) + eo (k),(k) eo (k),
(k) + eo (k),(k) (k) + eo (k),(k) (k) + eo (k),(k) (k) + eo (k),(k)
более эффективен как в терминах достижимого ERLE, так и в терминах дли-
тельности переходных процессов с учетом того, что результаты для NLMS-
алгоритма получены при значении масштабирующего множителя шага сходи-
мости μˆ, обеспечивающего наибольшее значение параметра ERLE.
Из-за представления всех сигналов в одинаковом масштабе на рис. 1.16 и 1.17
визуально оценить уровни подавленных эхо-сигналов сложно. Графики пода-
вленных эхо-сигналов в увеличенном масштабе приведены на рис. 1.18. Темным
цветом показан сигнал α(k) + eo(k), т. е. наблюдаемый сигнал на выходе ошибки
адаптивного фильтра, а светлым — подавленное эхо α(k). Так как подавление
эхо-сигнала таково, что уровень остаточного эха ниже уровня шума, то визуаль-
но оценить качество эхо-компенсации не представляется возможным. Однако
при моделировании можно выделить только сигнал подавленного эха α(k), так
как реализация шумового сигнала является известной.
Из рис. 1.18 видно, что вычислительно более сложный RLS-алгоритм
являет ся и более эффективным, чем менее сложный NLMS-алгоритм, т. е. не-
смотря на то что в обоих случаях уровень подавленного эхо-сигнала сравним
или даже ниже уровня шума, человеческое ухо различает подавленный эхо-
сигнал в случае NLMS-алгоритма и не различает — в случае RLS-алгоритма.
Из рис. 1.18 также видно, что RLS-алгоритм обеспечивает демонстрируемое
качество (подавление эхо-сигнала и длительность переходного процесса) без
подбора параметров, в то время как качество NLMS-алгоритма зависит от па-
раметра μˆ. При увеличении μˆ длительность переходного процесса уменьшается,
но увеличивается остаточная ошибка в установившемся режиме, и наоборот.
Таким образом, рис. 1.4—1.18 иллюстрируют принципы решения прямой
задачи адаптивной идентификации неизвестной системы и результаты ее ис-
пользования для эхо-компенсации. Они также показывают большую функцио-
нальную эффективность сложных RLS-алгоритмов адаптивной фильтрации
по сравнению с простыми градиентными алгоритмами.
1.6. Выравнивание характеристик электрических каналов связи
Другим примером использования адаптивных фильтров является задача обрат-
ной идентификации объекта. Решение этой задачи широко используется для
выравнивания характеристик электрических каналов связи (рис. 1.19) с помо-
щью адаптивных эквалайзеров [39, 40].
Необходимость выравнивания канала связи возникает из-за того, что при
передаче цифровых данных по каналам с ограниченной полосой пропускания
возникает явление, называемое межсимвольной интерференцией. Межсим-
вольная интерференция, наряду с шумом канала z(k) (рис. 1.19), сказывается
на правильности решения о соответствии принятого информационного сим-
вола x k ( ) символу x(k), переданному по каналу связи. Если бы этот канал пред-
ставлял собой просто линию задержки на время t0 , то принимаемый сигнал
(информационные символы) можно было бы легко оценивать (различать). Од-
нако большинство каналов связи с математической точки зрения представляют
собой КИХ-фильтр с импульсным откликом w (рис. 1.20а).
Рис. 1.20. Выравнивание электрического канала связи
Импульсный отклик
канала связи
w(t)
t
t0 t + 3T 0 t + 2T 0 – 2T t0 – T t0 t + T 0
t0 t + 3T 0 t + 2T 0 – 2T t0 – T t0 t + T 0
t
(t0) Совместный импульсный отклик
канала связи и эквалайзера
а
б
Согласно рис. 1.20а в каждый отсчет времени k, совпадающий с моментом
смены информационных символов, следующих с периодом T, на выходе канала
образуется взвешенная сумма передаваемых подряд символов, т. е.
x t kT w t x t kT w t kT nT x t nT
n k
( ) ()( ) ( )( ) 0 0 0 0 0 + = + + + − −
≠ Σ
. (1.13)
Адаптивный фильтр
Задержка
Канал связи (k)
d(k)
y(k)
z(k)
x(k) x~(k)
Рис. 1.19. Выравнивание АЧХ электрического канала связи
, а остальные
являются шумом (межсимвольной интерференцией), который не позволяет пра-
вильно различать символы на приемной стороне. Чтобы повысить вероятность
правильного решения относительно принимаемых символов, исполь зуются эк-
валайзеры — устройства, которые уменьшают межсимвольную интерференцию.
Эквалайзер функционирует таким образом, что его АЧХ становится близ-
кой к обратной АЧХ канала связи. Другими словами, совместная АЧХ кана-
ла связи и эквалайзера становится близкой к равномерной. Это означает, что
свертка импульсных откликов канала связи w и эквалайзера h в моменты време-
ни kT близка к дельта-функции (см. рис. 1.20б), в результате чего межсимволь-
ная интерференция уменьшается. В этом случае выходной сигнал эквалайзера
определяется как
y t kT t x ( ) ()(t kT) 0 0 0 + =δ + +0 , (1.14)
т. е. информационный символ может быть правильно обнаружен (оценен и де-
кодирован).
Если сравнить схемы на рис. 1.4 и 1.19, то можно заметить, что в последнем
случае также решается задача идентификации линейной системы, определяю-
щей задержку приема передаваемого сигнала. Известно, что импульсная харак-
теристика линии задержки равна дельта-функции (т. е. одному ненулевому ВК),
а АЧХ, как следствие, является равномерной. Идентификация импульсной харак-
теристики линии задержки осуществляется с помощью каскадного соединения
КИХ-фильтра с фиксированными ВК (т. е. канала связи) и КИХ-фильтра с изме-
няемыми ВК (т. е. адаптивного фильтра). Это означает, что свертка фиксирован-
ного импульсного отклика канала связи с изменяемым импульсным откликом
адаптивного фильтра в процессе адаптации приближается к дельта-функции,
а АЧХ становится равномерной. Для обеспечения этого условия АЧХ адаптивно-
го фильтра при адаптации приближается к обратной АЧХ канала связи.
Рис. 1.19 демонстрирует лишь принцип работы эквалайзера. На практике
требуемый сигнал «не поступает» по отдельному каналу связи. Он формируется
на приемной стороне в течение протокола установления модемом связи, когда
известная (тренировочная) последовательность символов передается модемом
источника информации на противоположном конце канала связи. После на-
стройки адаптивного фильтра эквалайзера, т. е. когда канал связи уже выровнен,
вместо известной тренировочной последовательности передаются собственно
неизвестные данные, а в качестве сигнала d(k) используется сигнал y k ( ), т. е. вы-
ходной сигнал адаптивного фильтра y(k), «квантованный» по критерию мини-
мума расстояния до элементов созвездия алфавита передаваемых данных.
Существует два типа эквалайзеров (рис. 1.21): без обратной связи и с об-
ратной связью [39, 40]. Адаптивный фильтр эквалайзера с обратной связью
можно рассматривать как двухканальный адаптивный фильтр. Эквалайзеры
с обратной связью обеспечивают более качественное выравнивание характе-
ристик канала, так как выходной сигнал такого эквалайзера после обучения
частично формируется из уже ранее принятых «правильных» символов. Ре-
зультаты моделирования, подтверждающие это высказывание, представлены
на рис. 1.22—1.24.
F (k)
h N
~y(k
B (k)
h N
Решение
Обучение
d(k)
y(k) )
w Hx(k) z(k)
(k)
а
б
h N (k) Решение
Обучение
(k) d(k)
w Hx(k) z(k) y(k) ~y(k)
Рис. 1.21. Адаптивные эквалайзеры: а) без обратной связи; б) с обратной связью
Из рис. 1.22 и 1.23 следует, что эквалайзер без обратной связи выравни вает
характеристики канала несколько хуже, чем эквалайзер с обратной связью.
Это проявляется в том, что после адаптации свертка импульсных откликов ка-
нала связи и эквалайзера (см. рис. 1.23) в меньшей степени напоминает дельта-
функцию, чем в случае, приведенном на рис. 1.22. Как следствие, провал в АЧХ
канала связи (–60 дБ в рассматриваемом случае) выравнивается по-разному.
Поэтому передаваемые информационные символы, в данном случае с квадра-
турной фазовой модуляцией (Phase Shift Keying, PSK-8), после выравнивания
канала различаются также по-разному (см. рис. 1.24).
На рис. 1.24 показаны результаты выравнивания канала связи в терминах со-
звездий наблюдаемых информационных символов. Здесь символы «Данные» —
это созвездие символов источника информации, т. е. данных, передаваемых по ка-
налу связи. Символы «Канал» — созвездие на выходе канала связи. Видно, что
без принятия каких-то дополнительных мер эти данные невозможно различить.
Такой «дополнительной мерой» является выравнивание канала связи. Из рис. 1.24
(см. созвездие, обозначенное как «Эквалайзер») следует очевидное превосходство
эквалайзера с обратной связью перед эквалайзером без обратной связи.
48 Глава 1. Введение в адаптивную обработку сигналов
Если же сравнить поведение рассмотренных эквалайзеров с эквалайзерами
на базе NLMS-алгоритма, то в обоих случаях результаты будут худшими. Эквалай-
зер на базе этого алгоритма требует в десятки раз превышающую по длительности
тренировочную последовательность для обеспечения сходимости, а также некото-
рого искусства при выборе оптимального значения параметра μˆ. Это также свиде-
тельствует о превосходстве адаптивных фильтров на базе вычислительно-сложных
RLS-алгоритмов перед фильтрами на базе простых градиентных алгоритмов.
Следует также отметить, что для выравнивания каналов связи могут при-
меняться и так называемые слепые эквалайзеры, т. е. не требующие трениро-
вочных последовательностей. Один из возможных способов построения таких
устройств основывается на использовании CM-критерия [45] в случае, если пе-
редаваемые информационные символы удовлетворяют этому критерию. Адап-
тивные алгоритмы на основе СМ-критерия применяются для обработки PSK-
сигналов (рис. 1.25), а также других сигналов, характеризуемых постоянным
значением модуля информационных символов. Каждый СМ-символ ai , пред-
ставляющий собой комплексное число Re a jIm a i i { }+ { }, обладает свойством
a aa s i i i = * = =const , где i = 1, 2, ..., I, I — число символов алфавита (используется
0 5 10 15 20 25 30 35
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
n, отсчеты
w
0 20 40 60 80 100 120
–1.5
–1
–0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
n, отсчеты
h
0 20 40 60 80 100 120 140
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
n, отсчеты
h
0 100 200 300 400 500 600
–80
–60
–40
–20
0
20
40
Частота (спектральные составляющие)
Амплитуда, дБ
1
2
3
а б
в г
Рис. 1.22. Выравнивание канала, RLS-алгоритм, эквалайзер с обратной связью:
а) импульсный отклик канала связи; б) импульсный отклик эквалай-
зера; с) свертка импульсных откликов канала связи и эквалайзера;
в) АЧХ: 1) канала связи, 2) эквалайзера, 3) канала связи и эквалайзера
1.6. Выравнивание характеристик электрических каналов связи 49
Рис. 1.23. Выравнивание канала, RLS-алгоритм, эквалайзер без обратной свя-
зи: а) импульсный отклик канала связи; б) импульсный отклик эк-
валайзера; с) свертка импульсных откликов канала связи и эквалай-
зера, в) АЧХ: 1) — канала связи, 2) — эквалайзера, 3) — канала связи
и эквалайзера
0 5 10 15 20 25 30 35
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
n, отсчеты
w
0 20 40 60 80 100 120
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
n, отсчеты
h
0 20 40 60 80 100 120 140 160
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
n, отсчеты
h
0 100 200 300 400 500 600
–80
–60
–40
–20
0
20
40
Частота, спектральные составляющие
Амплитуда, дБ
1
2
3
а б
в г
–2 –1 0 1 2
–2
–1.5
–1
–0.5
0
0.5
1
1.5
2
Im
Re
Канал
Эквалайзер
Данные
–2 –1 0 1 2
–2
–1.5
–1
–0.5
0
0.5
1
1.5
2
Im
Re
Канал
Эквалайзер
Данные
а б
Рис. 1.24. Выравнивание канала, RLS-алгоритм: а) эквалайзер с обратной свя-
зью; б) эквалайзер без обратной связи
в обозначении PSK-I), а j= −1 — мнимая единица. Значение модуля информа-
ционных символов s на приемной стороне является известным.
СМ-критерий для адаптивного фильтра формулируется как
E sp y k p q
{ − ( ) }→min, (1.15)
а соответствующие адаптивные алгоритмы обозначаются как СМ(p, q).
Целевая функция в уравнении (1.15) является многоэкстремальной, а по-
тому использование простых градиентных алгоритмов для ее минимизации
часто приводит к локальным решениям. Алгоритмы по критерию наименьших
квадратов, например RLS-алгоритмы, напрямую не могут быть использованы
в этом случае. В то же время согласно [54] при p = q = 2 целевая функция в урав-
нении (1.15) может быть сведена к квадратичной функции, что позволяет для
ее минимизации использовать незначительно модифицированные алгоритмы
оптимизации квадратичных целевых функций.
–1 –0.5 0 0.5 1
–1
–0.5
0
0.5
1
Im
Re
–1 –0.5 0 0.5 1
–1
–0.5
0
0.5
1
Im
Re
–1 –0.5 0 0.5 1
–1
–0.5
0
0.5
1
Im Re
–1 –0.5 0 0.5 1
–1
–0.5
0
0.5
1
Im
Re
а б
в г
Рис. 1.25. Созвездия информационных символов: а) PSK-4; б) PSK-8; в) PSK-16;
г) PSK-32
1.7. Адаптивные антенные решетки
Еще одним широко используемым приложением адаптивных фильтров являют-
ся ААР [1, 4—6, 23]. ААР (рис. 1.26) представляет собой многоканальный адап-
тивный фильтр (см. рис. 1.3) с одним ВК в канале. В общем случае в алгоритмах
вычисления ВК для ААР используются входные сигналы x1(k), x2(k), …, xm(k), …,
xM(k), выходной y(k) и требуемый d(k) сигналы. В то же время в ААР могут так-
же применяться алгоритмы, не требующие сигнала d(k), если полезным при-
нимаемым сигналом является СМ-сигнал или направление приема полезного
сигнала известно. В последнем случае это направление может быть использова-
но в качестве характеристики полезного сигнала путем «введения в алгоритм»
линейного ограничения, обеспечивающего необходимый уровень полезного
сигнала на выходе ААР.
Адаптивный алгоритм
w1
2 Выходной сигнал
антенной решетки
Опорный сигнал
антенной решетки
Входные сигналы антенной решетки
d(k)
y(k)
x1(k)
x2(k)
xm(k)
xM(k)
h1
h2
hm
hM
Рис. 1.26. Адаптивная антенная решетка
Для обеспечения цифровой обработки необходимо усиливать входные сиг-
налы ААР до уровня, обеспечивающего преобразование аналогового сигнала
в цифровой код, и понизить частоту этих сигналов до нулевой несущей частоты
(до информационной полосы частот), с целью уменьшения требований к бы-
стродействию устройств, обеспечивающих ЦОС. В [55] показано (см. также раз-
дел 3.7), что обработка сигналов в информационной полосе частот эквивалентна
формированию выходного сигнала на несущей частоте путем традиционного
аналогового умножения и сложения.
Антенная решетка характеризуется диаграммой направленности (ДН), т. е.
амплитудно-угловой характеристикой |F(θ)|, которая, подобно АЧХ обычного
цифрового фильтра, с помощью ВК может менять свою форму, обеспечивая тре-
буемые значения в направлениях на источники принимаемых сигналов, напри-
мер, единичное в направлении на источник полезного сигнала и нулевое или
52 Глава 1. Введение в адаптивную обработку сигналов
«очень маленькое» в направлениях на источники помех. ААР с комплексными
ВК характеризуется наличием M степеней свободы. Она может принимать, на-
пример, один полезный сигнал и полностью подавлять M – 1 сигналов источ-
ников пространственноразнесенных помех.
На рис. 1.27 приведены примеры моделирования подавления помех с по-
мощью 8-элементной эквидистантой линейной ААР (M = 8). Направления
на источники принимаемых сигналов обозначены вертикальными стрелками
в верхней части рис. 1.27а. Источник полезного сигнала располагался в направ-
лении максимума основного лепестка ДН, а источники помех — в симметрич-
–80 –60 –40 –20 0 20 40 60 80
–100
–80
–60
–40
–20
0
, град.
Исходная
Конечная
0.5 1 1.5 2 2.5
x 105
–120
–100
–80
–60
–40
–20
0
20
k, номер итерации
0.5 1 1.5 2 2.5
x 105
–120
–100
–80
–60
–40
–20
0
20
k, номер итерации
0.5 1 1.5 2 2.5
x 105
–120
–100
–80
–60
–40
–20
0
20
k, номер итерации
0.5 1 1.5 2 2.5
x 105
–120
–100
–80
–60
–40
–20
0
20
k, номер итерации
0.5 1 1.5 2 2.5
x 105
–120
–100
–80
–60
–40
–20
0
20
k, номер итерации
а б
в г
д е
| F () |, дБ | F () |, дБ | F () |, дБ
| F () |, дБ | F () |, дБ | F () |, дБ
Рис. 1.27. Адаптивная антенная решетка: а) ДН; б) RLS-алгоритм; в) NLMS-
алгоритм, μˆ = 0.0008; г) NLMS-алгоритм, μˆ = 0.0004; д) NLMS-
алгоритм, μˆ = 0.0002; ж) NLMS-алгоритм, μˆ = 0.0001
ных направлениях максимумов двух первых боковых лепестков. Уровни этих
лепестков примерно равны –13 дБ. Поэтому если любая из помех на 13 дБ пре-
вышает уровень полезного сигнала, то ее вклад в выходной сигнал ААР будет
соизмеримым с полезным сигналом.
Из рис. 1.27а следует, что ААР в результате адаптации так меняет свои ВК,
что в направлении источника полезного сигнала сохраняется заданный уровень
основного лепестка ДН, равный 0 дБ в рассматриваемом случае, а в направлениях
на источники помех в ДН образуются глубокие провалы. Это означает, что при-
нимаемые из этих направлений помехи будут значительно ослаблены. В данном
случае дополнительное ослабление помех за счет адаптивной пространственной
фильтрации составляет примерно –13 – (–100) = 87 дБ. При этом изменения ДН
во всех других направлениях не имеют принципиального значения, так как ис-
точники каких-либо сигналов в этих направлениях отсутствуют.
На остальных графиках (см. рис. 1.27) показано, как в процессе адаптации
в направлениях на источники принимаемых сигналов меняется ДН, т. е. эти
рисунки представляют собой переходной процесс ААР в терминах значений
ее ДН. Из рис. 1.27б—рис. 1.27ж видно, что заданный уровень ДН (0 дБ) в на-
правлении на источник полезного сигнала выдерживается на всех итерациях
алгоритма (прямая линия в верхней части графиков), а длительность пере-
ходного процесса (в итерациях алгоритма) и достижимые уровни ДН в уста-
новившемся режиме в направлениях на источники помех (показаны темной
и серой кривыми) меняют ся в зависимости от используемого алгоритма и его
параметров. При μˆ = 0.0001 NLMS-алгоритм в установившемся режиме обе-
спечивает примерно такие же уровни ДН в направлениях на источники по-
мех, как и RLS-алгоритм, но при этом длительность переходного процесса
NLMS-алгоритма примерно в 10 раз превышает длительность переходного про-
цесса RLS-алгоритма. При увеличении μˆ длительность переходного процесса
в NLMS-алгоритме уменьшается. Однако при этом также уменьшается и дости-
гаемая глубина провалов ДН в направления на источники помех. Эти результа-
ты в очередной раз свидетельствуют о превосходстве вычислительно-сложных
адаптивных RLS-алгоритмов над простыми градиентными алгоритмами.