eng
Содержание
Содержание
Предисловие редактора перевода 13
Литература 17
Предисловие 18
Введение 20
Глава 1
Процессы радиационных повреждений 26
1.1.
Взаимодействия нейтронов с атомными ядрами 28
1.1.1.
Упругое рассеяние 28
1.1.2.
Неупругое рассеяние 36
1.1.3.
Реакции (n, 2n) 38
1.1.4.
Реакции (n, γ) 40
1.2.
Взаимодействие между ионами и атомами 42
1.2.1.
Межатомные потенциалы 42
1.2.2.
Кинематика столкновений 50
1.3.
Ионизация при столкновениях 72
1.3.1.
Теория потери энергии 72
1.3.2.
Диапазон вычислений 86
Обзор главы 93
Обозначения 94
Задачи 97
Литература 102
Глава 2
Смещение атомов 103
2.1.
Элементарная теория смещений 103
2.1.1.
Вероятность смещений 104
2.1.2.
Модель смещений атомов Кинчина и Пизе 106
2.1.3.
Энергия смещения 109
2.1.4.
Предел потери энергии электронов 115
2.2.
Модификация модели смещения Кинчина — Пизе 118
2.2.1.
Соображения о компенсации энергии Ed 118
2.2.2.
Реальные поперечные сечения передачи энергии 118
2.2.3.
Потеря энергии при возбуждении электронов 120
2.2.4.
Влияние кристаллической структуры 124
2.3.
Поперечное сечение смещения 140
2.3.1.
Упругое рассеяние 140
2.3.2.
Неупругое рассеяние 141
2.3.3.
(n, 2n)- и (n, γ)-смещения 142
2.3.4.
Модификации к модели K-P и полному поперечному
сечению смещения 143
2.4.
Скорости смещения 145
2.5.
Изменения свойств от дозы облучения 148
2.6.
Смещения при облучении заряженными частицами 150
Обозначения 154
Задачи 157
Литература 160
Глава 3
Каскадные повреждения 162
3.1.
Средний свободный путь смещения 162
3.2.
Первичный спектр энергий атомов отдачи 164
3.3.
Каскадная энергия повреждения и объем каскада 170
3.4.
Компьютерное моделирование радиационных повреждений 171
3.4.1.
Приближенный метод двойных столкновений (МДС) 172
3.4.2.
Метод молекулярной динамики (MD) 176
3.4.3.
Кинетический метод Монте-Карло (KMC) 179
3.5.
Стадии каскадного развития 180
3.6.
Поведение дефектов в каскаде 184
Обозначения 194
Задачи 196
Литература 196
Глава 4
Образование точечных дефектов и диффузия 198
4.1.
Свойства радиационно-индуцированных дефектов 198
4.1.1.
Межузельные атомы 199
4.1.2.
Дефекты внедрения межузельных атомов скопления 204
4.1.3.
Комплексы межузельных атомов с примесями 205
4.1.4.
Вакансии 206
4.1.5.
Скопления вакансий 207
4.1.6.
Кластеры растворенных и примесных атомов 207
4.2.
Термодинамика формирования точечных дефектов 207
4.3.
Диффузия точечных дефектов 212
4.3.1.
Макроскопическое описание диффузии 213
4.3.2.
Механизмы диффузии 214
4.3.3.
Микроскопическое описание диффузии 217
4.3.4.
Частота перескока Γ 220
4.3.5.
Частота перескока ω 221
4.3.6.
Уравнения для D 222
4.4.
Коррелированyая диффузия 226
4.5.
Диффузия в многокомпонентных системах 229
4.6.
Диффузия вдоль траекторий высокой диффузионной
подвижности 230
Обозначения 234
Задачи 236
Литература 237
Глава 5
Радиационно-ускоренная диффузия и теория скоростей
взаимодействия дефектов 239
5.1.
Уравнения баланса точечных дефектов 240
5.1.1.
Случай 1: низкая температура, низкая плотность стоков 243
5.1.2.
Случай 2: низкая температура, промежуточная
плотность стоков 246
5.1.3.
Случай 3: низкая температура, высокая плотность
стоков 246
5.1.4.
Случай 4: высокая температура 249
5.1.5.
Свойства точечных дефектов в уравнениях баланса 252
5.1.6.
Недостатки простой модели баланса точечных дефектов 253
5.2.
Радиационно-ускоренная диффузия 254
5.3.
Взаимодействие дефектов 258
5.3.1.
Образование радиационных дефектов 262
5.3.2.
Рекомбинация 262
5.3.3.
Потери на стоках 263
5.3.4.
Мощность стоков 263
5.4.
Контролируемые процессы скорости реакции 264
5.4.1.
Взаимодействие дефектов с порами 264
5.4.2.
Взаимодействие дислокаций с радиационными
дефектами 264
5.5.
Реакции, ограниченные диффузией 265
5.5.1.
Взаимодействие дефектов с порами 266
5.5.2.
Взаимодействие радиационных дефектов
с дислокациями 269
5.6.
Контроль скорости смешивания 271
5.7.
Взаимодействие радиационных дефектов с границами зерен 272
5.8.
Когерентные выделения и легирующие элементы
(растворенные элементы) 274
Обозначения 276
Задачи 278
Литература 283
Глава 6
Радиационно-индуцированные сегрегации 284
6.1.
RIS в концентрированных бинарных сплавах 287
6.1.1.
Решение системы дифференциальных уравнений
в частных производных 293
6.1.2.
Связи межузельных атомов 294
6.1.3.
Влияние размера растворенных атомов 296
6.1.4.
Влияние температуры 299
6.1.5.
Влияние скорости дозы 301
6.2.
Радиационно-индуцированные сегрегации в тройных
сплавах 302
6.3.
Влияние локальных изменений состава на RIS 307
6.4
Влияние растворенных элементов на СОС 312
6.5
Примеры СОС в аустенитных сплавах 316
6.6.
RIS в ферритных сплавах 318
Обозначения 322
Задачи 324
Литература 325
Глава 7
Микроструктура дислокаций 327
7.1.
Дислокационные линии 327
7.1.1.
Движение дислокации 332
7.1.2.
Описание дислокаций 335
7.1.3.
Перемещения, деформации и напряжения 338
7.1.4.
Энергия дислокации 341
7.1.5.
Натяжение линии дислокации 343
7.1.6.
Силы, действующие на дислокацию 347
7.1.7.
Взаимодействие между дислокациями 352
7.1.8.
Расщепленные дислокации 355
7.1.9.
Перегибы и ступеньки 357
7.2.
Дефектные петли и тетраэдры дефектов упаковки 359
7.3.
Кластеры дефектов 362
7.3.1
Доля дефектов, формирующих кластеры 362
7.3.2.
Типы кластеров 365
7.3.3.
Подвижность кластеров 369
7.4.
Разнесенные радиационные дефекты 373
7.5.
Эффективность образования радиационных дефектов 377
7.6.
Зарождение и рост дислокационных петель 380
7.6.2.
Теория образования кластеров 387
7.6.3.
Предпочтение при зарождении кластеров 390
Содержание 7
7.7.
Рост дислокационной петли 395
7.8.
Возврат 400
7.9.
Эволюция микроструктуры межузельных петель 403
Обозначения 407
Задачи 410
Литература 413
Глава 8
Радиационно-индуцированные поры и пузыри 416
8.1.
Зарождение пор 417
8.1.1.
Равновесное распределение пор по размерам 418
8.1.2.
Скорость образования пор 421
8.1.3.
Влияние инертного газа 431
8.1.4.
Предпочтительное зарождение пор 438
8.2.
Рост пор 441
8.2.1.
Скорости поглощения радиационных дефектов
и концентрации на поверхностях стока 443
8.2.2
Балансы точечных дефектов 448
8.3.
Уравнение роста поры 449
8.3.1.
Температурная зависимость 455
8.3.2.
Зависимость от дозы 459
8.3.3.
Роль дислокаций в качестве предпочтительных стоков 463
8.3.4.
Зависимость от скорости дозы 466
8.3.5.
Сдвиги переменных при облучении 467
8.3.6.
Зависимость от напряжений 473
8.3.7.
Эффект RIS 478
8.3.8.
Влияние предпочтения при образовании дефектов 481
8.3.9.
Решетки пор 485
8.3.10.
Влияние микроструктуры и состава 487
8.3.11.
Влияние эксплуатационных параметров облучения
в реакторе 494
8.4.
Рост пузырей 498
8.4.1.
Механика пузырей 499
8.4.2.
Закон роста 502
8.4.3.
Рост пузырей вследствие испускания дислокационных
петель 506
8.4.4.
Решетки пузырей 507
8.4.5.
Образование гелия 508
Обозначения 509
Задачи 513
Литература 516
8
Содержание
Глава 9
Стабильность фаз под облучением 519
9.1.
Радиационно-стимулированные сегрегации и образование
выделений 519
9.2.
Растворение за счет атомов отдачи 522
9.3.
Радиационное разупорядочение 533
9.4.
Образование некогерентных выделений 540
9.5.
Образование когерентных выделений 548
9.6.
Метастабильные фазы 552
9.6.1.
Превращение порядок-беспорядок 553
9.6.2.
Превращения кристаллической структуры 554
9.6.3.
Образование квазикристаллов 556
9.7.
Аморфизация 557
9.7.1.
Теплота формирования соединений и различия
кристаллических структур 558
9.7.2.
Области растворимости в соединениях и критическая
плотность дефектов 562
9.7.3.
Термодинамика и кинетика аморфизации 565
9.8.
Фазовая стабильность компонентов сплавов активной зоны
реактора 577
Обозначения 581
Задачи 585
Литература 587
Глава 10
Уникальные эффекты ионного облучения 590
10.1.
Методы ионного облучения 591
10.2.
Изменения состава 594
10.2.1.
Распыление 595
10.2.2.
Адсорбция Гиббса 603
10.2.3.
Имплантация атомов отдачи 605
10.2.4.
Смешивание в каскаде (изотропное смещение) 608
10.2.5.
Комбинация процессов изменения состава
поврежденной поверхности 621
10.2.6.
Перераспределение ионов во время ионной
имплантации 626
10.3.
Другие эффекты ионной имплантации 630
10.3.1.
Рост зерна 630
10.3.2.
Текстура 632
10.3.3.
Дислокационная микроструктура 634
Содержание 9
10.4.
Газовое нагружение большой дозой: блистеринг
и отслаивание 637
10.5.
Твердые фазы и решетка пузырей инертного газа 643
Обозначения 644
Задачи 647
Литература 650
Глава 11
Моделирование влияния нейтронного облучения посредством
облучения ионами 654
11.1.
Мотивация использования ионного облучения взамен
нейтронного облучения 654
11.2.
Обзор аспектов радиационных повреждений, полученных
посредством ионного облучения 657
11.3.
Зависимость RIS от типа частиц 661
11.4.
Преимущества и недостатки при использовании
различных типов частиц 669
11.4.1.
Электроны 672
11.4.2.
Тяжелые ионы 674
11.4.3.
Протоны 677
11.5.
Радиационные параметры облучения частицами 679
11.6.
Имитация нейтронного повреждения посредством
облучения протонами 682
Обозначения 689
Задачи 690
Литература 691
Глава 12
Радиационное упрочнение и деформация 693
12.1.
Упругая и пластическая деформация 694
12.1.1.
Упругость 694
12.1.2.
Пластичность 700
12.1.3.
Испытание на растяжение 702
12.1.4.
Предел текучести 707
12.2.
Радиационное упрочнение 709
12.2.1.
Источники упрочнения 709
12.2.2.
Тормозное упрочнение (упрочнение при трении) 713
12.2.3.
Суперпозиция механизмов упрочнения 724
12.2.4.
Упрочнение поликристаллов 731
12.2.5.
Насыщение радиационного упрочнения 733
10
Содержание
12.2.6.
Сравнение расчетных значений упрочнения с данными
измерений 737
12.2.7.
Радиационное упрочнение при отжиге 742
12.2.8.
Корреляция между твердостью и пределом текучести 743
12.3.
Деформация облученных металлов 747
12.3.1.
Карты механизмов деформации 750
12.3.2.
Локализованная деформация 754
Обозначения 759
Задачи 762
Литература 765
Глава 13
Разрушение и охрупчивание 769
13.1.
Виды разрушения 770
13.2.
Когезионная прочность металлов 770
13.3.
Механика разрушения 774
13.4.
Испытания в механике разрушения 781
13.5.
Механика упруго-пластичного разрушения 783
13.6.
Хрупкое разрушение 786
13.7.
Радиационно-индуцированное охрупчивание ферритных
сталей 794
13.7.1.
Ударные испытания надрезанных образцов 794
13.7.2.
DBTT и снижение энергии верхней полки 798
13.7.3.
Метод образований кривой 800
13.7.4.
Факторы, влияющие на охрупчивание 805
13.7.5.
Хрупкость ферритно-мартенситных сталей 811
13.7.6.
Отжиг и повторное облучение 813
13.7.7.
Усталость 815
13.8.
Разрушение и усталость аустенитных сплавов при низких
и промежуточных температурах 820
13.8.1.
Влияние облучения на вязкость разрушения 820
13.8.2.
Влияние облучения на усталость 824
13.9.
Высокотемпературное охрупчивание 826
13.9.1.
Поры по границам зерен и пузыри 828
13.9.2.
Скольжение по границам зерен 833
13.9.3.
Рост трещин по границам зерен 836
13.9.4.
Карты механизмов разрушения 839
Обозначения 840
Задачи 842
Литература 845
Глава 14
Радиационная ползучесть и рост 848
14.1.
Тепловая ползучесть 849
14.1.1.
Дислокационная ползучесть 854
14.1.2.
Диффузионная ползучесть 862
14.2.
Радиационная ползучесть 865
14.2.1.
Стимулированное напряжением предпочтительное
зарождение петель (SIPN) 866
14.2.2.
Стимулированное напряжением предпочтительное
поглощение (SIPA) 870
14.2.3.
Восхождение и скольжение за счет предпочтительного
поглощения (PAG) 872
14.2.4.
Восхождение и скольжение за счет дислокационного
предпочтения 875
14.2.5.
Неустановившаяся ползучесть 877
14.2.6.
Перестройка петель 881
14.2.7.
Ползучесть при возврате 883
14.2.8.
Диффузионная ползучесть: почему отсутствует
влияние облучения? 884
14.2.9.
Сравнение теории с данными по ползучести 885
14.2.10.
Модифицированная облучением карта механизмов
деформации 891
14.3.
Радиационный рост и ползучесть сплавов циркония 892
14.3.1.
Микроструктура облученных сплавов циркония 894
14.3.2.
Радиационный рост 896
14.3.3.
Радиационная ползучесть 900
Обозначения 904
Задачи 907
Литература 910
Глава 15
Растрескивание облученных металлов и сплавов в коррозионной среде 913
15.1.
Коррозионное растрескивание под напряжением:
обучающая программа 916
15.1.1.
Испытания SCC 919
15.1.2.
Процессы SCC 922
15.1.3.
Металлургические условия 924
15.1.4.
Возникновение и распространение трещины 926
15.1.5.
Механизмы коррозионного растрескивания под
напряжением 934
15.1.6.
Модель распространения трещины 938
12
Содержание
15.1.7.
Механические модели разрушения 941
15.1.8.
Коррозионная усталость 942
15.1.9.
Водородное охрупчивание 943
15.2.
Влияние облучения на химию воды 945
15.2.1.
Радиолиз и его влияние на потенциал коррозии 945
15.2.2.
Влияние потенциала коррозии на IASCC 948
15.3.
Эксплуатационные и лабораторные наблюдения
за влиянием облучения на SCC 951
15.3.1.
Аустенитные сплавы 951
15.3.2.
Ферритные сплавы 958
15.4.
Механизмы IASCC 961
15.4.1.
Снижение хрома на границах зерен 961
15.4.2.
Радиационное упрочнение 962
15.4.3.
Режим деформации 963
15.4.4.
Селективное внутреннее окисление 965
15.4.5.
Радиационно-индуцированная ползучесть 966
Обозначения 967
Задачи 969
Литература 969
Предметный указатель 974
предисловие редактора перевода
Элементы конструкций ядерных энергетических установок различного
функционального назначения работают в условиях облучения. Это со-
провождается изменением теплофизических, упругих и прочностных ха-
рактеристик конструкционных материалов. Повреждаемость материала
в условиях нейтронного облучения определяет ресурс и безопасность экс-
плуатации основных узлов ядерной техники. Поэтому возникает необхо-
димость в изучении физических механизмов взаимодействия нейтрон-
ного облучения с металлами и сплавами. Понимание физических основ
протекающих процессов позволит полнее использовать имеющиеся ма-
териалы и наметить пути получения принципиально новых материалов
для удовлетворения все возрастающих потребностей ядерной техники.
Отдельным аспектом взаимодействия нейтронов и заряженных частиц
с металлами посвящены многочисленные публикации. Они, как пра-
вило, рассматривают конкретные вопросы того или иного направления
исследований и не претендуют на полноту представления. Отсюда с оче-
видностью вытекает необходимость обобщения теоретических моделей
и экспериментальных результатов по радиационному повреждению кон-
струкционных материалов. Такое обобщение с исчерпывающей полно-
той представлено в предлагаемой монографии. Она посвящена вопросам
радиационного материаловедения металлов и сплавов. Далее кратко за-
тронем неоспоримые достоинства предлагаемого издания монографии на
русском языке при поддержке Российского фонда фундаментальных ис-
следований (РФФИ).
Хорошо известно, что уровень развития любой технической циви-
лизации определяется используемыми материалами. Они должны в пол-
ной мере отвечать эксплуатационным потребностям новой техники. Ис-
пользование ядерной энергии для обеспечения современной технической
цивилизации вплотную поставило вопрос о поведении известных мате-
риалов в условиях облучения. Этому направлению исследований в пол-
ной мере отвечает новое материаловедческое направление под названием
«радиационное материаловедение металлов и сплавов». Несомненным до-
стоинством монографии под таким названием является исчерпывающая
полнота изложения в сочетании с детальными подробностями. Единый
подход к рассматриваемым вопросам содержит в своей основе основные
законы физики. Это лишний раз свидетельствует о единстве всех при-
родных явлений, которые подчиняются известным физическим закономерностям
.С этих позиций радиационное поведение металлов и сплавов
органически вписывается в общефизические процессы. Отсюда непо-
средственно следует физическая прозрачность радиационных явлений,
поскольку они по большому счету подчиняются лишь незначительному
набору физических законов (например, законы сохранения).
Если исключить мелкие детали различных ответвлений, то основу
взаимодействия нейтронного облучения металлов составляет образова-
ние радиационных точечных дефектов: вакансий и межузельных атомов.
Они получили название пар Френкеля, так как образуются и исчезают
при аннигиляции парами. Радиационные точечные дефекты ничем не
отличаются от обычных точечных дефектов металлов и сплавов. В самом
деле, металл «не знает», что именно привело его к образованию точеч-
ных дефектов: то ли силовая, то ли радиационная нагрузки. Разумеется,
для металла при нейтронном облучении явилось полной неожиданно-
стью образование каскада точечных дефектов за весьма короткое время
по сравнению с традиционными внешними воздействиями (силовыми
или температурными). Однако образованные при нейтронном облучении
точечные дефекты никоим образом не отличаются от соответствующих
точечных дефектов металла. Поэтому они также взаимодействуют с дру-
гими несовершенствами металла (например, с краевыми дислокациями
или клиновыми дисклинациями). Другими словами, структурные несо-
вершенства металла не различают точечные дефекты в зависимости от их
происхождения. Единое описание всего многообразия точечных дефек-
тов прослеживается на протяжении всей монографии при рассмотрении
самых разнообразных процессов радиационной повреждаемости метал-
ла. Естественно, для радиационных точечных дефектов можно выделить
некоторые характерные особенности. К ним относятся, прежде всего,
образование в равных количествах вакансий и межузельных атомов не-
равновесной концентрации. Известно, что каждой температуре соответ-
ствует своя равновесная концентрация вакансий и межузельных атомов.
При этом концентрация последних существенно ниже по сравнению с ва-
кансиями из-за более высокой энергии образования межузельного атома
в обычных условиях, то есть без облучения. При понижении температу-
ры возникает неравновесная концентрация вакансий, заведомо превы-
шающая концентрацию межузельных атомов. Неравновесные вакансии
диффузионно мигрируют на стоки практически без аннигиляции с ме-
жузельными атомами, которых весьма мало. Диффузионная миграция
радиационных точечных дефектов сопровождается их аннигиляцией,
Предисловие редактора перевода 15
поскольку противоположные дефекты образуются в равных количествах
(пары Френкеля).
Все процессы радиационного повреждения металлов и сплавов на
их основе описываются в континуальном приближении. Это означает,
что концентрация точечных дефектов является непрерывной функцией
координат. В таком же приближении рассматриваются и процессы диф-
фузионной миграции точечных дефектов на различные стоки. При опи-
сании кинетических закономерностей применяют уравнения в частных
производных параболического типа или уравнения первого порядка по
аналогии с химическими реакциями. В последнем случае скорость из-
менения концентрации точечных дефектов прямо пропорциональна
первой степени концентрации. Следует отметить еще одну особенность
при образовании радиационных точечных дефектов. Для их описания
вводится понятие «число смещений на атом» (сна), которое достаточно
устойчиво присутствует в радиационном материаловедении. Между тем
эта характеристика определяет всего лишь безразмерную концентрацию
пар Френкеля. Радиационные точечные дефекты мигрируют на стоки
вследствие упругого взаимодействия с другими несовершенствами ме-
талла. Такое взаимодействие обусловлено наличием полей внутренних
напряжений в окрестности структурных дефектов металла. Их описание
осуществляют также континуальном приближении с использованием
математических моделей механики сплошной среды. Привлекательность
использования континуального приближения заключается в том, что для
количественного описания процессов радиационного повреждения ме-
таллов можно применять хорошо разработанные и освоенные уравнения
математической физики.
Для описания радиационной повреждаемости металлов и сплавов
при нейтронном облучении использованы достаточно простые и вместе
с тем ясные с физической точки зрения модели. Такие модели позволя-
ют получать аналитические зависимости с набором физически обосно-
ванных постоянных. Хорошо известно, что аналитические методы реше-
ния задач по своей образности и емкости находятся вне конкуренции по
сравнению с другими методами (например, численными или экспери-
ментальными). Аналитические соотношения на простых моделях дают
возможность оценить предельные возможности конструктивной схемы,
свойств материала и эксплуатационных параметров. На протяжении все-
го содержания монографии превалируют именно аналитические методы
решения соответствующих задач. Это позволяет достаточно зримо пред-
ставить физическую сущность процесса и возможные направления его
протекания. Применение численных методов (например, метод молеку-
лярной динамики) используется исключительно для более полного опи-
сания радиационной повреждаемости металла на начальном этапе облу-
чения (например, образование каскада точечных дефектов). Значительно
полнее представлены экспериментальные результаты. Они неукосни-
тельно сопровождают математические модели протекающих процессов,
что лишний раз подчеркивает правомочность используемых физических
моделей.
Следует отметить безупречно стройную логику построения моно-
графии. Она состоит из трех самостоятельных, но взаимосвязанных ча-
стей. Первая часть монографии посвящена физическим процессам ради-
ационного повреждения металлов и сплавов при облучении. Логическим
продолжением первой части является исследование влияния облучения
на физические характеристики металлов и сплавов в широком смысле
этого слова. И, наконец, третья часть монографии достаточно подроб-
но затрагивает влияние радиационных повреждений на механические
и прочностные свойства металлов. По мере перехода от одной части моно-
графии к другой содержание приобретает практическую направленность.
В поле зрения читателя монографии оказываются многие вопросы, с ко-
торыми исследователи соприкасаются при длительной эксплуатации эле-
ментов конструкций ядерной техники. Каждая часть монографии состоит
из отдельных глав, между которыми также прослеживается внутренняя
связь. При этом в каждой главе монографии содержится необходимый на-
бор сведений для понимания содержания и проведения математических
преобразований. Поэтому каждую главу монографии можно изучать, не
обращаясь к содержанию остальных глав. Все математические преоб-
разования выполнены с особой тщательностью вплоть до тривиальных
подробностей. Это существенно облегчает решение предложенных задач,
которые имеются в каждой главе монографии.
Содержание монографии представляет несомненный интерес для
специалистов в области радиационного материаловедения. Студенты,
аспиранты и преподаватели могут воспользоваться конкретными науч-
ными результатами, а также методическим подходом при построении ма-
тематических моделей соответствующих процессов.
Н. М. Власов, О. И. Челяпина
Литература
А. Дамаск, Дж. Динс. Точечные дефекты в ме [1]. таллах. Пер. с англ. М.:
Мир, 1966, 288с.
[2]. Дж. Маннинд. Кинетика диффузии атомов в кристаллах. Пер.
с англ. М.: Мир, 1971, 271 с.
[3]. Дж. Хирт, И. Лоте. Теория дислокаций. Пер. с англ. М.: Атомиздат,
1972, 583 с.
[4]. М. Томпсон. Дефекты и радиационные повреждения в металлах.
Пер. с англ. М.: Мир, 1971, 364 с.
[5]. С. П. Тимошенко, Дж. Гудьер. Теория упругости. Пер. с англ. М: На-
ука, 1979, 554с.
[6]. Фазовые превращения при облучении. Пер. с англ. Челябинск, Ме-
таллургия, 1989, 303 с.
[7]. Н. М. Власов, И. И. Федик. Тепловыделяющие элементы ядерных
ракетных двигателей. М.: ЦНИИатоминформ, 2001, 205 с.
[8]. Ю. Г. Драгунов, Н. М. Власов, С. Д Иванов, И. И. Федик. Самоурав-
новешенные внутренние напряжения. М.: МГОУ, 2010, 357 с.
[9]. К. Теодосиу. Упругие модели дефектов в кристаллах. Пер. с англ. М:
Мир, 1985, 351 с.
[10]. Р. А. Андриевский. А. М. Глезер, Прочность наноструктур. УФН,
2009, т. 179, № 4, с. 338—358.
[11]. Р. А. Андриевский. Влияние облучения на свойства наноматериа-
лов. ФММ, 2010, т. 110, № 3, с. 243—252.
[12]. Й. Чадек. Ползучесть металлических материалов. Пер. с чешского.
М.: Мир, 1987, 302 с.
[13]. Н. М. Власов, А. В. Звягинцева. Математическое моделирование во-
дородной проницаемости металлов. Воронеж, ВГТУ, 2012, 247 с.
[14]. Челяпина О. И. Термонапряженное состояние сферической оболоч-
ки с неоднородным коэффициентом теплопроводности. // Пробле-
мы машиностроения и автоматизации. 2014. № 1. С. 131—135.
Предисловие
Задача монографии заключается в изложении основ радиационной теории
и механизмов влияния облучения на металлы и сплавы. Весь текст разде-
лен на три части, каждая из которых включает отдельные главы, представ-
ляющие объединенную картину влияния облучения на изменение струк-
туры и свойств металлических материалов. Первая часть состоит из трех
глав, где изложены сведения о процессах радиационного повреждения
и математическом аппарате для количественной оценки пространствен-
ной структуры повреждений. В главе 1 рассматриваются передача энергии
и взаимодействие между налетающими частицами и атомами вещества.
Глава 2 посвящена определению числа смещений атомов при облучении
частицами, а в главе 3 описываются пространственные конфигурации
образующихся дефектов. В то время как радиационные повреждения ха-
рактеризуют состояние облученного материала, радиационное влияние
определяется поведением дефектов после их формирования в материале.
Во второй части (главы 4—11) рассмотрены последствия влияния облуче-
ния на физические характеристики металлов. В главе 4 дана оценка равно-
весной концентрации точечных дефектов и описано их влияние на диффу-
зию. В главе 5 обсуждаются взаимодействия между точечными дефектами
и диффузия дефектов под облучением, определяющие радиационное пове-
дение. В главе 6 описываются явления сегрегации, вызванные ускоренной
диффузией атомов под облучением. Главы 7 и 8 обращаются к явлениям
образования дислокаций, росту дислокационных петель и пор-дефектов,
определяющих особенности поведения облучаемых сплавов. Глава 9 по-
священа стабильности индуцированных облучением фаз, выпадением
частиц и их растворением. В главе 10 обсуждается влияние облучения ио-
нами на изменение состава за счет распыления, расслаивания и т. д. Нако-
нец, в главе 11 описывается моделирование нейтронного облучения путем
облучения ионами. Влияние радиационных повреждений на механиче-
ские свойства (часть III) отличается от воздействия на физические свой-
ства появлением напряжений. Упрочнение и деформация сплавов под
облучением обсуждаются в главе 12. Влияние облучения на образование
и распространение трещин при статическом или усталостном нагруже-
ниях описано в главе 13. Наконец, ползучесть и рост скорости деформа-
ции рассмотрены в главе 14. Облучение также сильно влияет на коррозию
и коррозионное растрескивание под напряжением. Возникновение этих
явлений может ограничить реализацию многих реакторных проектов.
В главе 15 рассматривается комбинированное влияние среды и облучения
на процессы коррозии под напряжениями и коррозионное растрескива-
ние, ухудшающие поведение сплавов. Главы содержат примеры и иллю-
страции воздействия радиации, а также расчетные количественные оцен-
ки описанных явлений. В конце каждой главы предлагаются вопросы для
закрепления главных понятий, вызывающих у читателя интерес к затро-
нутой теме. Текст, примеры, иллюстрации и задачи в конце главы обе-
спечивают всестороннее обсуждение радиационных явлений в металлах
и сплавах. Многие рассматриваемые вопросы опираются на элементарные
понятия термодинамики и металловедения. Сведения о кристаллической
структуре, дефектах и дислокациях, упругости и пластичности, дефор-
мации и разрушении, коррозии и коррозионном разрушении под напря-
жением дают основу для понимания радиационных явлений. Книга либо
представляет необходимые исходные данные по каждому из этих вопросов,
либо предлагает ссылки на другие источники с убедительной трактовкой
темы. Эта монография должна быть полезной для ученых, которые хотели
бы получить новые сведения про облучение материалов, или студентам,
желающим приобрести обобщенное представление о радиационных яв-
лениях. Несмотря на то что главы дополняют друг друга и каждая глава
основывается на сумме знаний, изложенных в предыдущих, возможно
также чтение выбранной главы только по определенной теме. В качестве
последнего замечания автор хотел бы отметить, что монография написана
на основе тщательного отбора и обобщения информации из многочислен-
ных журналов и докладов конференций в целях всестороннего охвата про-
цессов радиационного материаловедения. Проведена тщательная работа
по выбору надежных ссылок на источники разработок, графиков и таблиц,
содержащихся в книге. Автор обязан многим издателям, предоставившим
иллюстрации для монографии. Наконец, автор желает выразить благо-
дарность многим коллегам, студентам и друзьям, которые помогли ему
советами в этой работе. В частности, особая благодарность выражается
Джереми Басби, Toду Аллену, Майклу Ацмону, Роджеру Столлеру, Юрию
Осетски, Яну Робертсону и Брайену Вирсу за их реальный вклад в содер-
жание книги; Элайн Вести, Брайену Вагнеру и Син Лемеху за подготовку
иллюстраций; Черелин Дэвису и Овиду Тоадеру за их помощь в подготовке
рукописи и кино; Линн Рену, Дону Оландеру, Артуру Мотту, Майклу На-
стази, Стиву Цинклу, K. Фаллосу Mурти, Лу Мансуру и Питеру Андресену
за обзоры глав, Джону Кингу и Арденн Бементи за поддержку автора при
выполнении намеченной темы много лет тому назад.
Анн-Арбор, май 2007. Гэри С. Вас
Введение
Радиационное материаловедение, рассматривающее взаимодействие об-
лучения с материалом, представляет широкую отрасль знаний, охватыва-
ющую многие источники и виды облучения и материалов. Большая часть
наиболее сильных взаимодействий облучения с материалами происходит
в активной зоне ядерного реактора, где атомы конструкционных матери-
алов много раз смещаются за эксплуатационное время службы. Послед-
ствия воздействия радиации на конструкционные элементы включают:
изменения их формы и объема на десятки процентов, увеличение твер-
дости в пять и более раз, серьезное снижение пластичности, повышение
хрупкости и снижение коррозионной стойкости материалов в средах.
Для сохранения служебных характеристик элементов реактора требует-
ся глубокое понимание влияния облучения на материалы еще на стадии
проектирования и учет его либо путем выбора надлежащих эксплуата-
ционных режимов работы реактора, либо за счет создания новых, более
стойких к радиации материалов.
Привлекательность ядерной энергетики в настоящее время вызвана
большими достижениями в эксплуатации реакторов и четким понимани-
ем радиационной деградации технических систем. Кроме того, будущее
развитие ядерной энергетики обусловлено разработанными концепция-
ми безопасности и надежности создаваемых реакторов, предлагаемыми
усовершенствованиями переработки радиоактивных отходов, повыше-
нием эффективности выработки энергии и снижением издержек про-
изводства. Предполагается также, что дешевое производство водорода
экологически чистыми процессами в будущем приведет к развитию водо-
родной энергетики. Все это увеличивает затраты, большая часть которых
связана с новыми требованиями к материалам при проектировании ре-
акторов. Предполагается, что материалы будут эксплуатироваться в бо-
лее агрессивных условиях: при более высоких температурах и дозах об-
лучения. В статье журнала «Природа» Батлер [1], рассматривая проблемы
создания современных реакторов, считает, что поведение материалов,
определяемое специфичной радиационной средой реактора, делает науку
радиационного материаловедения главенствующей в мире будущей ядер-
ной энергетики. Именно с учетом этого была сформулирована цель дан-
ной монографии, направленная на ясное фундаментальное понимание
радиационного воздействия на конструкционные материалы.
Основными конструкционными материалами в реакторных систе-
мах являются кристаллические металлические сплавы. Фактически все
конструкционные материалы в реакторах являются металлическими
и многие из материалов, предлагаемых для использования в современных
реакторах при более агрессивных условиях эксплуатации, также являют-
ся металлами. Различные виды облучения: ионы, нейтроны, электроны
и гамма-лучи — обладают способностью смещать атомы из регулярных
положений решетки, что является основополагающей причиной измене-
ния свойств конструкционных материалов. Включение в круг рассмотре-
ния вопросов ионного облучения обусловлено их применением в других
областях техники, таких как ускорители для переработки ядерных отхо-
дов, или в создании новых материалов за счет использования ионных по-
токов. Все понятия по взаимодействию ионов с твердыми телами, пред-
ставленные в этой книге, применимы также к областям радиационных
процессов в атомном реакторе.
Влияние облучения на материалы основывается, в первую очередь,
на взаимодействии частицы, обладающей определенной энергией, с ве-
ществом. Так как это явление обусловлено несколькими этапами и про-
цессами, то первичным является смещение атома из регулярного поло-
жения решетки. Поскольку в книге главным образом рассматриваются
кристаллические твердые тела, в которых положение атома определяет-
ся кристаллической структурой, то облучение вызывает смещение ато-
ма из его регулярного положения и приводит к образованию вакансии.
Смещенный атом в конечном счете останавливается в промежутке между
участками решетки, становясь межузельным атомом. Образование пары
«вакансия — межузельный атом» является определяющим событием
в проявлении радиации в кристаллических твердых телах и известно под
названием « пара Френкеля» (ПФ). Присутствие ПФ и других радиацион-
ных повреждений определяет физические свойства, а с появлением на-
пряжений — и механическое поведение материалов при облучении.
Радиационный процесс повреждения, детально рассмотренный
в главе 1, заканчивается локализацией смещенного атома, обычно на-
зываемого первичным выбитым атомом (ПВА) (primary knock-on atom,
PKA), в промежуточном положении кристаллической решетки за время
приблизительно 10−11 с. Последующие явления, рассматриваемые как
физические следствия облучения, включают распухание, рост, фазовые
превращения, сегрегации и т. д. Например, кубик чистого никеля с разме-
ром каждой грани 1 см после облучения в реакторе (1022 н/cм2) изменится
до размера 1,06 см на сторону, вызвав изменение объема на 20 %. Измене-
ние объема или распухание протекает изотропно за счет формирования
в материале пор (см., например, рис. 8.1). Другой пример — радиационный
рост. Цилиндрический урановый образец длиной 10 см и диаметром 1 см
после облучения флюенсом 1020 н/cм2 увеличивает длину до 30 см и сни-
жает размер диаметра до 0,58 см, оставляя объем неизменным на уровне
7,85 см3, но при сильном искажении формы образца. Искажение формы
образца под облучением при постоянном объеме называют радиацион-
ным ростом.
Под облучением также встречаются случаи фазовых превращений.
В твердых растворах сплава Ni-12,8at%Al, облученного ионами Ni+ с энер-
гией 5 МэВ флюенсом 1016 см−2, формируется отдельная и отличная от ро-
дительской фаза Ni3Al (см., например, рис. 9.3). Формирование новой
фазы при облучении, известное как радиационно-индуцированное фа-
зовое превращение, имеет большое значение как при ионных, так и при
нейтронных облучениях. Последний пример физических радиационных
изменений связан с явлениями сегрегации. Сплав Ni-1at % Si после бом-
бардировки ионами Ni+ при 525 ◦C и дозе одно смещение на атом (СНА)
(displacements per atom, dpa) обогащается атомами Si на поверхности
границ зерен в количестве, превышающем содержание в объеме в 20—
60 раз (см., например, рис. 6.5). Перераспределение легирующих эле-
ментов на отдельных структурных участках известно как радиационно-
индуцированные сегрегации.
Вызванные облучением физические изменения действительно могут
быть весьма существенными. Но как изменится конструкционная це-
лостность компонентов? Эта сфера радиационного влияния на механи-
ческое поведение проявляется только при возникновении напряжений.
В этих случаях сплавы ведут себя совсем иначе, чем необлученные об-
разцы. Например, ударная вязкость облученной стали может резко сни-
зиться. Для необлученной стали поглощенная энергия зависит от темпе-
ратуры и, если при низких температурах уровень поглощенной энергии
мал и сталь становится хрупкой, то с повышением температуры способ-
ность поглощения энергии стальным образцом резко увеличивается. Об-
лучение стали нейтронами может до 5 раз уменьшить деформацию и бо-
лее чем в 10 раз увеличить прочность. Облучение может также повлиять
на изменение деформационной способности материала при высокой тем-
пературе. Наблюдается почти полная утрата ползучести из-за сильного
охрупчивания материала при облучении. Наконец, облучение нейтрона-
ми флюенсом > 5 · 1020 н/cм2 (E > 1 MэВ) в легководных реакторах приво-
дит к ускоренному межзеренному растрескиванию железа в аустенитных
сплавах на основе никеля. Это явление растрескивания весьма распро-
странено, поскольку оно встречается в большинстве аустенитных сплавов
для всех видов водных реакторов. Ясно, что любое из этих повреждений
окажет серьезное влияние на целостность конструкционных элементов
реактора. Понимание механизмов радиационного воздействия является
основой проектирования устойчивых конструкций или разработки но-
вых сплавов, более устойчивых к радиационным воздействиям. Как ока-
зывается, почти все радиационные последствия обусловлены общими,
связанными между собой различными дефектами, такими как: изолиро-
ванные вакансии и межузельные атомы, кластеры вакансий и межузель-
ных атомов, дислокационные линии и петли, поры и пузыри. Читатель
должен иметь в виду, что все виды дефектов существенны при переходе
от рассмотрения случаев физических повреждений к радиационным ме-
ханическим последствиям. Сначала обратимся к случаям радиационных
повреждений, поскольку они являются основой для понимания всех по-
следствий облучения. Начнем с количественного определения степени
радиационного повреждения, то есть количественной оценки числа ва-
кансий и межузельных атомов при столкновении с бомбардирующими
частицами и описания развития физического процесса взаимодействия.
Не сделав этого, мы не получим возможности понять степень поврежде-
ния материала. Важность определения последствий облучения и количе-
ственные оценки образующихся дефектов обсуждены подробно в главах
2 и 3, здесь же дана простая иллюстрация.
Число смещений, созданных потоком нейтронов, находится в слож-
ной зависимости от энергии нейтронов. На верхнем рис. В.1 видим, что
предел текучести нержавеющей стали 316 находится в заметной зависи-
мости от флюенса нейтронов с индивидуальными спектрами энергий
нейтронов [2]. OWR — испытательный реактор с типичным нейтронным
спектром легководных реакторов (ЛВР); RTNS-II — источник, произво-
дящий чистый поток нейтронов с энергией 14 МэВ, и установка LASREF,
обладающая широким спектром нейтронов высоких энергий. Однако при
построении зависимости предела текучести сплава от числа смещений
(СНА) данные для всех трех видов источников нейтронов легко уклады-
ваются на единую кривую (нижний рис. В.1).
Поскольку корреляция предела текучести с флюенсом нейтронов
отсутствует, то удобнее представлять последствия влияния облучения
Число смещений на атом
Изменение предела текучести, МПа Изменение предела текучести, МПа
Рис. В.1. Сравнение изменений предела текучести нержавеющей стали
316, облученной источниками с тремя спектрами энергии ней-
тронов. В то время как корреляция предела текучести с флюен-
сом нейтронов отсутствует, существует четкая связь между пре-
делом текучести и числом смещений на атом (СНА) (на основе
работы [2])
Введение 25
на свойства материалов количественным числом смещений R (СНА)
в единице объема за единицу времени (cм3/c):
R N E E E
E
E =
⋅
= ∫ CHA
см с
d
3 i D i i φ( )σ ( )
ˆ
, (В.1)
где N — плотность числа атомов, Ê и Ě — максимальная и минимальная
энергия бомбардирующей частицы, φ(Ei) — энергия, зависимая от потока
частиц, и σD(Ei) — поперечное сечение смещений, зависящее от энергии
σ σ ν D i i ( ) ( ) ( )d
ˆ
E E T T
T
T = ∫ , (В.2)
где Τ — максимальная энергия, передаваемая при столкновении частицы
с энергией Ei атому решетки; Ť — минимальная энергия, переданная при
столкновении частицы с энергий Ei атому решетки, σ(Ei, T) — попереч-
ное сечение столк новения частицы с энергией Ei, приводящее к передаче
энергии T к повреждаемому атому; ν(T) — число смещений на первичный
атом отдачи. Таким образом, в конечном счете мы получаем
R N E E T T T E
T
T
E
E = ∫ ∫ φ( )σ( , )ν( )
ˆ ˆ
i i i d d . (В.3)
Две основные переменные в этом уравнении — σ(Ei, T) и ν(T). Член
σ(Ei, T) характеризует передачу энергии от налетающей частицы к пер-
вому атому, с которым произошло столкновение в мишени ( первичный
выбитый атом (ПВА)). Определение σ(Ei, T) — основная задача главы 1.
Вторая задача заключается в определении ν(T) (общего числа смещений),
которые ПВА продолжает вызывать в материале. Его определение под-
робно описано в главе 2. В целом обе задачи приводят к оценке общего
числа смещений, вызванных налетающей частицей с энергией Ei, и урав-
нение (В.3) учитывает распределение энергии этих частиц. В результате
получаем общее число смещений в мишени от потока частиц с известным
распределением энергии. Мы будем часто возвращаться к этому уравне-
нию, поскольку оно представляет сущность определения радиационных
повреждений в твердых телах.
ГЛАВА 1
ПРОЦЕССЫ РАДИОЦИОННЫХ ПОВРЕЖДЕНИЙ
Процессы радиационного повреждения обусловлены передачей энергии
налетающей частицы кристаллу и результирующим распределением ато-
мов в кристалле после завершения события. Радиационные повреждения
включают несколько разных процессов. Эти процессы и порядок их воз-
никновения следующие.
Взаимодействие частицы 1. высокой энергии с атомом кристалла.
2. Передача кинетической энергии атому решетки и образование
первичного выбитого атома (ПВА).
3. Смещение атома из участка решетки.
4. Перемещение смещенного атома в решетке и создание дополни-
тельных атомов отдачи.
5. Образование каскада смещений (набора точечных дефектов, соз-
данных ПВА).
6. Конечное состояние ПВА в виде межузельного атома.
Радиационные процессы повреждения заканчиваются, когда ПВА
останавливается и становится межузельным атомом в решетке. В резуль-
тате радиационного повреждения создается набор точечных дефектов
(вакансий и меж узельных атомов) и скоплений этих дефектов в кристал-
лической решетке. Стоит заметить, что вся эта цепь событий совершается
за время приблизительно 10–11 с (см. табл. 1.1). Последующие события, во-
влекающие перемещение точечных дефектов и их скоплений в кластер-
ные объединения или приводящие к их расслоению, классифицируются
как радиационные повреждения.
Чтобы понять и количественно охарактеризовать радиационные
повреждения, необходимо прежде всего знать, как описать взаимодей-
ствие частиц, вызывающее смещение в кристалле, и затем оценить этот
процесс количественно. Самая простая модель основывается на при-
ближенном рассмотрении столкновения твердых сфер с появлением
Процессы радиационных повреждений 27
смещений, когда переданная энергия достаточно высока, чтобы выве-
сти смещаемый атом из регулярного положения в решетке. В дополне-
ние к передаче энергии за счет столкновений твердых сфер движущийся
атом теряет энергию путем взаимодействия с электронами в кулонов-
ским поле соседних атомов периодической кристаллической решетки
и т. д. Проблема сводится к следующему. Если мы можем описать зависи-
мый от энергии поток падающих частиц и поперечное сечение передачи
энергии (вероятность) при столкновениях атомов, то можно определить
количество образова вшихся ПВА с различными энергиями и число сме-
щенных атомов.
В этой главе мы сосредоточим внимание на количественном опреде-
лении энергии, переданной при взаимодействии тел, а также на опреде-
лении поперечного сечения передачи энергии. Начнем с реакций взаимо-
действия нейтронов с ядрами, так как нейтральность нейтрона позволяет
оценивать взаимодействие более точно.
Таблица 1.1. Приближенный масштаб времени образования дефектов
в облучаемых металлах [1]
Время,
с
Процесс Результат
10–18 Передача энергии от падающей
частицы
Образование ПВА
10–13 Перемещение атомов в решетке
за счет взаимодействия с ПВА
Каскад смещений
10–11 Рассеяние энергии, спонтанная
рекомбинация и образование
кластеров
Стабильные пары Френкеля
и кластеры дефектов
10–8 Реакция дефектов и термическая
миграция
Рекомбинация ПФ, захват,
образование кластеров,
эмиссия дефектов
Вслед за созданием ПВА происходят дальнейшие взаимодействия
между атомами, при которых необходим учет положительных зарядов
ядер и отрицательных зарядов электронного облака. Фактически ме-
жатомные взаимодействия с низким порогом энергии взаимодействия
ион — атом в активной зоне и при ионном облучении в ускорителях с ши-
роким диапазоном энергий частиц могут привести к последнему типу
взаимодействия — ионизирующему столк новению.
1.1.Взаимодействие нейтронов с атомными ядрами
1.1.1. Упругое рассеяние
Благодаря электрической нейтральности упругие соударения нейтронов
с атомными ядрами могут быть представлены как столкновения твердых
сфер. При прохождении нейтронов через тело существует ограниченная
вероятность их столкновения с атомами решетки и передачи части энер-
гии атому отдачи. Эта вероятность определена двойным дифференциаль-
ным поперечным сечением рассеяния (по энергии и углу), σs(Ei, Ef, Ω), где,
Ei и Ef — начальная и конечная энергии, а Ω — пространственный угол
рассеяния нейтрона. Нас часто интересует только вероятность рассеяния
в зависимости от Ei и угла рассеяния. Однократное поперечное сечение
рассеяния представлено в виде
σs (Ei,Ω) = ∫σs (Ei,Ef ,Ω)dEf . (1.1)
Полная вероятность рассеяния нейтронов энергии Ei равна
σ σ s i s i (E ) = ∫ (E ,Ω)dΩ. (1.2)
В радиационных исследованиях мы заинтересованы поведением
столкну вшегося атома. Следовательно, мы ищем поперечное сечение
передачи энергии σs(Ei, T) или вероятность упругого рассеяния нейтрона
с энергий Ei на атоме массой М и передаче энергии отдачи T атому при
столкновении. Но сначала необходимо найти энергию T и угол рассея-
ния. Чтобы сделать это, следует рассмотреть динамику двойных упругих
соударений в системе центра масс и в лабораторной системе координат.
На рис. 1.1 показаны траектории пути нейтрона и ядра мишени до и
после рассеяния, как это видно из лабораторной системы отсчета и из си-
стемы центра масс. Самый легкий способ получения соотношения меж-
ду энергией взаимодействующего нейтрона, угла рассеяния и передан-
ной энергией заключается в анализе динамики столкновения в системе
центра масс (СМ). Когда столкновение рассматривается в системе цен-
тра масс, столкнувшиеся частицы, кажется, перемещаются в противопо-
ложных друг от друга направлениях. Закон сохранения импульса по оси
сближения и отталкивания приводит к соотношениям
υ
υ
c c
c c
m VM
m VM
− =
′ − ′ =
0
0
,
,
(1.3)
1.1. Взаимодействия нейтронов с атомными ядрами 29
закон сохранения кинетической энергии дает
1
2
1
2
1
2
1
2
mυ2 MV 2 mυ 2 MV 2 c c c c + = ′ + ′. (1.4)
Используя уравнение (1.3) для исключения υc и υxc, получаем
a
б
Лабораторное
состояние
Состояние СМ После СМ
Послелабораторное
фсостояние
Рис. 1.1. Векторы скорости (a) в лабораторной системе и в системе центра
масс (ЦМ); диаграмма (б), связывающая скорости в этих двух
системах
30 Глава 1. Процессы радиационных повреждений
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
m 2
M
m
M V m
M
m
M V ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
+
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
= ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
+
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
′ c c. (1.5)
Поскольку Vc = Vcx, то υc = υxc, так как ядра мишени в лабораторной си-
стеме координат находятся в покое и перемещаются налево со скоростью
Vс в системе СМ, то сама система СМ должна перемещаться направо от-
носительно лабораторной системы с той же самой скоростью Vc. Таким
образом, если мы используем VCM для обозначения скорости системы СМ
относительно лабораторной системы, то величины VCM и Vc должны быть
одними и теми же (но противо положенных направлений), что можно
представить в следующем виде:
υ υ υ c CM c = − = − V V. (1.7)
Используя уравнение (1.3), получим VCM:
V
m
M m CM =
+
⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
υ. (1.8)
Напомним, что мы хотим связать энергию T, переданную соударяе-
мому атому под углом рассеяния φ в системе СМ. Используя векторное
сложение, мы можем связать скорости ядер отдачи мишени в лаборатор-
ной системе Vx под углом φ, как показано на рис. 1.1б. Используя схемы,
представленные на рис. 1.1а, с учетом закона косинуса получим
V ′ =V +V ′ − V V ′
2 2 2 2 CM c CM c cosφ. (1.9)
Скорости в уравнениях 1.9 могут быть записаны в энергетических
единицах:
V ′ =
T
M
2 2 , V
E
m
m
m M CM
2 i
2 2 =
+
⎛⎝ ⎜⎞⎠ ⎟
и V ′ = ′
m
M
E c m
2
2
2 .
Подставив эти выражения в (1.9), получим
T
mM
m M
E
m
M
E
m
m M
= E E
( + ) + ′ −
+
⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
( ′ ) 2
1 2 2 i m i m
/ cosφ, (1.10a)
или
T = η η E + η E′ − (E E′ )
η
η φ 1 2
1
2
1
1 2 2 i m i m
/ cos , (1.10б)
где η1 = m / (m + M) и η2 = M / (m + M).
1.1. Взаимодействия нейтронов с атомными ядрами 31
Так как мы хотим найти переданную энергию T в функции только на-
чальной энергии и угла рассеяния, то используем соотношения между Ei
и Exm для исключения Exm. Из (1.7) и (1.8) видно, что
′= −
+
⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
=
+
⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
υ υ υ υ c
m
m M
M
m M
. (1.11)
Записывая (1.11) в энергетических единицах, получим
′ =
+
⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
E E =
M
m M
E m i i η2
2 . (1.12)
Подставив это выражение в (1.10б), получим в упрощенном виде
T = γ E ( − φ)
2
1 i cos , (1.13)
где
γ =
( + ) =
( + )
4 4
1 2 2
mM
M m
A
A
. (1.14)
Если 1 = m и A = M, то T зависит только от одного неизвестного φ,
как показано на рис. 1.2. Передаваемая энергия возрастает от 0 при φ = 0
до максимума γEi при φ = π, или Tmin = Ť = 0 и Tmax = Τ = γEi. Таким образом,
переданная энергия максимальна при появлении обратного рассеяния
и минимальна, когда частица не попадает в цель, не вызывая какого-либо
изменения ее направления (φ = 0).
Горизонтальный угол рассеяния,
(1–cos )
Энергия ПВА, T
Рис. 1.2. Передача энергии в зависимости от угла рассеяния в системе
центра масс
32 Глава 1. Процессы радиационных повреждений
Пример 1.1. Для случая столкновения нейтрона с водородным атомом
Τ n-H/Ei = 1,0, а при столкновении нейтрона с атомом урана Τ n-U/Ei = 0,017.
Наоборот, при сравнении взаимодействия атома железа с ионами ксе-
нона 100 кэВ Xe+ или с электронами, значение γ при взаимодействии
Xe-Fe равно 0,83, приводя к значению T = 83 000 эВ. Однако величина
γ при взаимодействии с e—-Fe 0,00004 дает значение T, равное только
4 эВ, что, как будет видно из главы 2, явно недостаточно для смещения
проникающей частицы (θ) и атома отдачи (α) могут быть написаны
в терминах углов рассеяния (φ) в системе центра масс с использовани-
ем векторной диаграммы рис. 1.1б. Применим закон синусов к рис. 1.1б
′
υ ′
υ
sin( ) sin
c ,
где υxc представлено уравнениями (1.6) и (1.7):
′= −
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
υ υ
c CM
CM
V
V
1 ,
и, используя (1.8), получим
υ′ = cc CM V
M
m
.
Применив закон косинусов к тому же треугольнику, получим
υ′ = υ′ + − υ′ ( π − φ)
2 2 2 2 c CM CM c V V cos .
Объединив три последних уравнения, выразим значение θ в функ-
ции φ:
tan
( )sin
( )cos
θ φ
φ
=
+
M m
1 M m
.
Применив закон синусов к векторной диаграмме рис. 1.lб, полу-
чим для смещенного атома
V
′ = V ′ c
sinα sinφ
.
Объединив этот результат с (1.6) и (1.9), где энергии выражены
в скоростных терминах, получим
tan
cos
α φ
=
1−
.
атома железа в решетке. Углы рассеяния в лабораторной системе для
для рассеянной частицы
υ′ = π −
θ
θ
⎛
⎝
⎞
⎠
C = M
cc C
c C
M υ ) C M 2V υ C 1+
sin
φ
1.1. Взаимодействия нейтронов с атомными ядрами 33
Мы по-прежнему заинтересованы в оценке вероятности передачи
данной энергии T атому отдачи. Это зависит от значения дифференци-
ального поперечного сечения рассеяния. Определим σs(Ei, φ) dΩ как веро-
ятность столкновения, представляющую рассеяние падающей частицы
от угла центра масс в диапазоне (φ, dΩ), где dΩ — элемент телесного угла
в направлении рассеяния φ. Так как вероятности рассеяния, написанные
в преобразованных переменных, эквивалентны, то σs(Ei, φ) может быть за-
писан в терминах переменных СМ:
σ σ φ s i s i (E ,T)dT = (E , )dΩ. (1.15)
Используя рис. 1.3 для связи dΩ с dφ и имея по определению
dΩ = dA r 2, (1.16)
получим из рис. l.4
d
d
Ω = d ( )=
r r
r
φ π φ
π φ φ
2
2 2
sin
sin . (1.17)
Подставив (1.17) в (1.15), получим
σ σ φ πσ φ φ φ s i s i s i (E ,T)dT = (E , )dΩ = 2 (E , )in d . (1.18)
Так как T = γ/2Ei (1 – cos φ), то dT = Ei sin φ dφ
и σ π
γ
σ φ s i
i
s i (E ,T) ( , )
E
= E 4 . (1.19)
На рис. 1.5 показано различие в дифференциальных поперечных се-
чениях рассеяния в единицах площади телесного угла в зависимости
dA
d
Полный конус с углом d
Рис. 1.3. Рассеяние в телесном угловом элементе dΩ, определяемом как
dA/r2
34 Глава 1. Процессы радиационных повреждений
от площади единицы угла в соответствии с уравнением (1.18). Хотя число
рассеянных атомов при приращении угла dφ около φ = π/2 больше, чем
при угловом приращении dφ вблизи значений φ = 0 или π (рис. 1.5а), число
охвата сферической поверхности в единицах телесного угла является по-
стоянным по всем углам φ (рис. 1.5б). Следовательно, значения dТ/dφ из-
меняются синусоидальным образом от φ, но dT/dΩ не зависит от φ.
Используя уравнения (1.2) и (1.18), получим полное упругое попереч-
ное сечение рассеяния
σs (Ei ) = ∫σs (Ei,φ)dΩ = 2π∫σs (Ei,φ)sinφdφ.
Если предположить, что упругое рассеяние в системе СМ не зависит
от угла рассеяния (то есть рассеяние изотропно, рис. 1.6), то
σ σ φ πσ φ φφ πσ φ S i S i S i S i (E ) = ∫ (E , )dΩ = 2 (E , )∫sin d = 4 (E , ) (1.20)
rd
d
rsin
Рис. 1. 4. Телесный угол dΩ, появляющийся при угле рассеяния φ, возрас-
тает с углом dφ
a б
(), борн/рад
(),
борн/стерадиан
Рис. 1.5. Изотропное дифференциальное поперечное сечение рассеяния
в единицах площади угла рассеяния (a) и (б) площади угла рас-
сеяния на единицу телесного угла
1.1. Взаимодействия нейтронов с атомными ядрами 35
и σ σ
γ S i
i
i
( , )
( )
E T
E
E
= S , (1.21)
что означает независимость от T! Таким образом, вероятность σs(Ei, T),
что нейтрон с энергией Ei, упруго рассеянный на атоме массы М, передаст
энергию отдачи T пораженному атому и не зависит от энергии отдачи. Те-
перь средняя энергия отдачи может быть вычислена как
T
T ET T
E T T
T T T E T
T
T
T = = + ≈ = ∫
∫
σ
σ
S i γ
S i
i
d
d
( , )
( , )
ˆ ˆ ˆ
ˆ
2 2 2
. (1.22)
Используя уравнение (1.22) для соударения нейтронов 1 MэВ с резкой
массой элементов, получим
1 МэВ n on C: γ = 0,28 Τ¯ = 0,14 МэВ
1 МэВ n on Fe: γ = 0,069 Τ¯ = 0,035 МэВ
1 МэВ n on U: γ = 0,017 Τ¯ = 0,009 МэВ.
В дополнение к только что обсужденному упругому рассеянию энер-
гия может передаваться неупругим рассеянием по реакциям (n, 2n) и (n, γ).
Первые две реакции становятся значимыми при энергиях нейтронов со-
ответственно выше 1,0 и 8,0 MэВ, в то время как на 235U это рассеяние про-
исходит при энергиях тепловых нейтронов.
cos
14 МэВ
0,5 МэВ
S()(миллибарн/стерадиан)
Рис. 1.6. Дифференциальное упругое поперечное сечение рассеяния для
C12 при энергии нейтронов 0,5 МэВ и 14 МэВ в функции косину-
са угла рассеяния в системе центра масс [2]
36 Глава 1. Процессы радиационных повреждений
1.1.2. Неупругое рассеяние
Неупругое рассеяние характеризуется реакцией, в которой испускаемая
частица та же, что и захваченная частица, но в системе осуществляется
потеря кинетической энергии, заключающаяся, например, в энергии воз-
буждения ядер элемента N14(p, p’)N14* или C14(n, n’)C14*. Различия в энерги-
ях групп рассеянных частиц соответствуют энергии возбужденных уров-
ней в ядрах элемента
−Q =ΣKE −ΣKE =ΣM c −ΣM c f
f
i
i
f
f
i
i
2 2.
При неупругом столкновении нейтрон поглощается ядром, формируя
составное ядро, которое испускает нейтрон и γ-лучи. Возможно испуска-
ние более чем одного γ-кванта и ядро может остаться в возбужденном
состоянии в процессе взаимодействия. Неупругое поперечное сечение
рассеяния может быть подразделено на разрешенные и неразрешенные
резонансные компоненты [3].
Для определенного (j-го резонанса) ядра мишени поперечное сечение
рассеяния является функцией Qj, энергия γ-распада остаточного ядра
всегда отрицательна. Аналогично уравнению (1.15) можно написать ра-
венства σs j(Ei, Qj, T)dT = σs j(Ei, Qj, φ) dΩ и получить
σ σ φ π φ φ
s i s i
d
d j j j j E Q T E Q
T
( , , ) = ( , , )2 sin . (1.23)
Однако выражение для T в уравнении (1.13) не выполняется для неу-
пругих столкновений, так как кинетическая энергия не сохраняется. Вме-
сто этого необходимо обратить внимание на сохранение полной энергии.
Если ядро мишени М в лабораторной системе находится в покое и части-
ца M обладает энергией Ei, то баланс энергии в координатах ЦМ равен
M
M m
E Q E E j +
+ = ′ + ′ i m M, (1.24)
где Qj — энергия реакции и Exm и ExM — кинетические энергии в коорди-
натах ЦМ вылетающей частицы и ядра соответственно. Используя закон
сохранения импульса
mE′ =ME′ m M, (1.25)
и объединив уравнение (1.24) с уравнением (1.25) (в предположении, что
массы частицы и ядра мишени не изменяются после реакции), получим
1.1. Взаимодействия нейтронов с атомными ядрами 37
′ =
+
+
+
⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
E
M
M m
Q
M
M m
E m j i ,
E′ = Q + E m j i η η 2 2 ( ). (1.26)
Записывая общее выражение для T (l.l0б)
T = η η E + η E′ − E E′
η
η ϕ 1 2
1
2
1
2 1 2 i m i m ( ) / cos
и заменив Exm из выражения (1.26), получим
T E Q E E E Q
A
A
Q
A j j
j ( , , ) cos
/
i i i i φ γ γ φ = − + + ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
+
2 2 +
1
1
1 2
. (1.27)
Теперь выраж ение для dT/dφ имеет вид
d
d
i
i
i
T E Q
E
Q
E
A
A
j j ( , , )
sin
/ φ
ϕ
= γ ⎡ + + ϕ
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
2
1
1
1 2
. (1.28)
Заметим, что в случае упругих соударений Qj = 0 и уравнение (1.27)
превращается в (1.13). Если мы теперь предположим, что неупругое рас-
сеяние изотропно в системе ЦМ, то тогда получим
σ σ φ πσ φ s i s i s i d j j j j j j (E ,Q ) = ∫ (E ,Q , ) Ω = 4 (E ,Q , ) . (1.29)
Подстановка значений (1.28) и (1.29) в (1.23) приводит к соотношению
для неупругих соударений в разрешенной резонансной области
σ
σ
γ
s i
s i
i
i
j j
j j
j
E Q T
E Q
E
Q
E
A
A
( , , )
( , )
/ =
+ + ⎛
⎝ ⎜⎞
⎠ ⎟
1
1
1 2. (1.30)
Когда сложное ядро возбуждено при достаточно высоких энергиях,
уровни резонанса накладываются и больше индивидуально не различа-
ются. Поперечное сечение неупругого рассеяния рассматривается так же,
как для сплошной среды и описывается моделью испарения [3] в виде
σ σ is i
i m
i m
( , , ) ( )
( , )
( )/
E E T E
f E E
A
E E
i m′ = ′
+
4 ′
1
1
1 2
,
σ σ is i is i
i m
i m
m d m ( , ) ( )
( , )
( )/
max
E T E
f E E
A
E E
E
E = ′
+
′
′ ′ ∫
4
1
1
0 1 2
, (1.31)
где f(Ei, Exm) является функцией распределения энергии Exm рассеянного
нейтрона в системе ЦМ, которая представляет вероятность, что нейтрон
из движущегося составного ядра испарен. Его значение в системе ЦМ
представляется ? температурой ядра ED = kT
f E E
E
I E
E E ( , )
( )
/
i m
m
i
′ = e m D ′ (− ′ ) , (1.32)
I E E
E
E
( ) E E
max
max /
i D
m
D
e m D = − + ′ ⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
2 1 1 − ′ . (1.33)
Коэффициент нормировки имеет вид
f E E E
E
( , )
max
i m m d m ′ ′= ′ ∫ 1
0
. (1.34)
Максимальное значение Exm дано в уравнении (1.26) с самым низ-
ким энергетическим уровнем Q — Q1, и минимальное значение Exm равно
нулю.
1.1.3. Реакции (n, 2n)
Такие реакции, как (n, 2n), связанные с появлением дополнительных
нейтронов, приводят к заметным радиационным эффектам, способным
вызвать повреждения или трансмутацию ядер мишени. Согласно моде-
ли испускания 2n нейтронов, основанной на работах Oдетта [4] и Сего-
ва [5], второй нейтрон испускается, только если остаточное возбуждение
ядер после эмиссии первого нейтрона превышает энергию связи нейтро-
на в массе М нуклида. Энергия отдачи после эмиссии первого нейтрона
определяется средним значением (cos φ = 0 в выражении (1.10б)) и показа-
на на рис. 1.7a в лабораторной системе. Затем рассмотрим вторую реакцию
(эмиссию) в системе ЦМ, представленную на рис. 1.7б. Начнем с исполь-
зования закона косинусов для связи Vc с φ
V ′′ =V ′ +V ′′ − V ′V ′′
2 2 2 2 c ccosφ. (1.35)
Из рис. 1.7а имеем
1
2
MV ′2 =T или V ′ =
T
M
2 2 ,
а из рис. 1.7б имеем
1
2
(M −m)V ′′2 = E′′ c M или ′′ = ′′
−
V
E
M m c
2 M 2 .
1.1. Взаимодействия нейтронов с атомными ядрами 39
Используя закон сохранения импульса
(M −m)V ′′ = m ′′ c c υ, (1.36)
после возведения в квадрат получим
′′ =
−
⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
′′ =
( − ) V ′′
m
M m
m
M m
E c c m
2
2
2
2 υ . (1.37)
Далее с учетом (1.35) имеем
′′ = +
−
′′ −
−
⎛ ′′
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
V
T
M
m
M m
E
m
M m M
E T
2
2 2
1 2 2 2
2
2 2
( ) ( )
cos
/
m m φ, (1.38)
где Τ¯ = η1η2Ei + (η1/η2) Exm — среднее значение энергии отдачи после эмис-
сии первого нейтрона. Записывая V2 в терминах энергии, получим зна-
чение энергии отдачи после второй эмиссии
T = M −m V ′′ 1
2
( ) 2
= − +
−
′′ − ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
′′ M m
M
T
m
M m
E
m
M
E T m m 2
1 2
1 2
/
( ) / cosφ
= − +
−
′′ − ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
′′ A
A
T
A
E
A
T E
1 1
1
2
1 1 2
1 2
m m
/
( ) / cosφ
=
−
′′ + − −
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
′′ A
A
E
A
A
T TE
1
1
1 2
2
1
2
1 2
1 2 η
η
η
η
φ m m
/
( ) / cos . (1.39)
a б
Реакция после
1-го столкновения
Реакция после
2-го столкновения
Рис. 1.7. Векторы скорости для реакции (n, 2n) в лабораторной системе (a)
и в системе центра масс (б)
40 Глава 1. Процессы радиационных повреждений
Поперечное сечение реакции (n, 2n) представляет особый случай
неупругого поперечного сечения рассеяния, приведенного в уравнении
(1.31):
σ σ n n i m m n n i
m
i
m
i m
e m D
, , ( , , , ) ( )
( ) ( , ) 2 2 E E E T E
E
I E
E
I E E
′ ′′ = ′ E E ′′
′
− ′ e−Em′′ ED
и σn n i
m
i
m
i m
e m D e
i
m D
i
, ( , )
( ) ( , ) 2 0 0
E T
E
I E
E
I E E
E E
E U
E E
E = ′ ′′
′
− − ′ − − ′′ ∫ U E
E E
− ′ ∫ ′ ′′ m d d m m, (1.40)
где I(Ei) приведено в уравнении (1.33) при Exm
max = Ei – U и I(Ei, Exm) с Exmmax,
замененным на Em
max = Ei – U – Exm, и для реакции (n, 2n) U = 0 [3].
1.1.4. Реакции (n, γ)
Другой класс реакций, который может повлиять на степень радиацион-
ного повреждения, связан с эмиссией фотона. Эти реакции важны, так
как энергия выбитого ядра достаточна для смещения атома. Как позже
увидим, этот тип смещения особенно заметен при радиационном по-
вреждении активной зоны судовых реакторных корпусов под давлени-
ем, в которых поток гамма-лучей более сопоставим с потоком быстрых
нейтронов, чем с уровнем нейтронов активной зоны ядерного реактора.
Напомним законы сохранения импульса и энергии уравнений (1.3) и (1.4)
и схему рис. 1.1 с (n, γ)-реакцией. Ei ~ 0 (поскольку эта реакция проходит
с тепловыми нейтронами энергий 0,025 эВ), Ef ≡ 0 (так как нет рассеянных
нейтронов) и Q равноценно значению различия масс между начальными
частицами и составным ядром. Когда составное ядро не возбуждено, оно
испускает γ-квант с этой энергией. Сохранение импульса показывает, что
отдача ядра должна проходить с импульсом
(m + M)Vcx = Eγ/c. (1.41)
Заметим, что это является приближением, так как мы не исключи-
ли дефект массы из составного ядра. Возведение в квадрат обеих частей
уравнения (1.41) и деление на 2(m + M) дает
1
2 2
2
2
2 m M V
E
m M c
( + ) ′ =
c ( + )
γ .
Как в случае упругого рассеяния, T можно представить в виде
T V V V V
M m = + ′ − ′ ( ) + ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
CM c CM c
2 2 2
2
cosφ ,
1.1. Взаимодействия нейтронов с атомными ядрами 41
но, исключая VCM << Vcx, получим лучшую оценку
T
m M
V
E
M mc
≅ + ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
′ =
2 2( + )
2
2
c 2
γ .
Предположим далее, что это значение T представляет максимальную
энергию отдачи. Но так как не вся энергия Q будет испускаться γ-лучами,
то среднюю энергию отдачи следует оценить как половину значения мак-
симальной энергии отдачи
Таблица 1.2. Передача энергии и поперечное сечение передачи для раз-
личных видов соударения нейтронов с атомами
Вид соуда-
рения
Передача энергии и поперечное сечение передачи Урав-
нение
в тексте
Упругое
рассеяние T = E − γ φ
2
1 i( cos ) (1.13)
σ σ
γ s i
s i
i
( , )
( )
E T
E
E
= (1.21)
Неупругое
рассеяние T E Q E E E Q
A
A
Q
A j
j ( , , ) cos
/
i i i i i φ γ γ φ = − + + ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
+
2 2 +
1
1
1 2
(1.27)
резонансная область
σ
σ
γ
s i
s i
i
i
,
,
/ ( , , )
( , )
j j
j j
j
E Q T
E Q
E
Q
E
A
A
=
+ + ⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
1
1
1 2 (1.30)
неразрешенная резонансная область
σ σ is i is i
i m
i m
m d m ( , ) ( )
( , )
( , )/
max
E T E
f E E
A
E E
E
E = ′
+
′
′ ′ ∫
4
1
1
0 1 2 (1.31)
(n, 2n)
T
A
A
E
A
A
= T T E
−
′′ + − −
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
′′
1
1
1 2
2
1
2
1 2
1 2 η
η
η
η
φ m m
/
( ) / cos (1.39)
σn n i
m
i
m
i m
e m D e d
i
m D
, ( , )
( ) ( , ) 2 0
E T
E
I E
E
I E E
E E E
E U
= ′ ⋅ ′′ E E
′
− − ′ − ′′ ′ ∫ m m d i m ′′ − − ′ ∫ E
E U E
0 (1.40)
(n, γ)
T
E
M mc
≅
+
γ
2
4( ) 2
(1.42)
σ σ n γ i
i i
, ( )
( )/( )
E
E
E E E
=
[ − ] +
⎧⎨ ⎪
⎩⎪
⎫⎬ ⎪
⎭⎪
0
0
0
2
1
Γ 2 1 (1.44)
42 Глава 1. Процессы радиационных повреждений
T
E
M mc
≅
( + )
γ
2
4 2
. (1.42)
Поперечное сечение захвата при излучении получено по одноуров-
невой формуле Брейта — Вигнера, когда у ядер мишени собственный мо-
мент импульса равен нулю, а у составного ядра есть нейтронная ширина
Γn, радиационная ширина Γg, полная ширина Γ, а E0 — энергия резонанса
и λ — длина волны [6]:
σ πλ γ
γ
n i
n
i
, ( )
( ) ( )
E
E E
=
− +
2
0
2 2 2
Γ Γ
Γ
. (1.43)
Выразив уравнение (1.43) в терминах σ0, найдем максимальное значе-
ние поперечного сечения захвата при излучении (для E = Е0), приняв Γn
пропорционально 1/λ и E :
σ σ n γ i
i i
, ( )
( )/( )
E
E
E E E
=
[ − ] +
⎧⎨ ⎪
⎩⎪
⎫⎬ ⎪
⎭⎪ 0
0
0
2
1
Γ 2 1
. (1.44)
Табл. 1.2 предоставляет сводку выражений передачи энергии и по-
перечных сечений передачи энергии для различных типов реакций, рас-
смотренных в разделе 1.1.
1.2. Взаимодействие между ионами и атомами
Столкновение ионов с атомами или атомов с атомами определяется взаи-
модействиями электронных облаков, электронного облака с ядром и вза-
имодействием между ядрами. Эти взаимодействия описываются, как
известно, межатомными потенциалами. Для того чтобы определить по-
перечное сечение передачи энергии между взаимодействующими атома-
ми, необходимо представить функции потенциала, которые управляют
таким взаимодействием. К сожалению, не существует какой-либо единой
функции, описывающей все взаимодействия. Природа взаимодействия
в значительной степени зависит от энергии атома и, следовательно,
от наименьшего расстояния близких ядер. В следующем разделе рассма-
тривается сводка межатомных потенциалов [7].
1.2.1. Межатомные потенциалы
Конечный результат нейтронно-ядерного взаимодействия — создание
первичного атома отдачи с некоторым запасом кинетической энергии.
1.2. Взаимодействие между ионами и атомами 43
Этот атом осуществит последующие столкновения с другими атомами
кристалла. Знание сил, действующих между двумя соударяющимися ато-
мами, представляет основу задачи радиационного повреждения, без ко-
торого надлежащее описание первичного акта соударения и образования
последующих дефектов структуры невозможно. Нам необходимо опреде-
лить силы взаимодействия между подобными атомами, различными ато-
мами или ионами и атомами. Описание взаимодействий между атомами
проведено с использованием функции потенциала. Напомним, что ато-
мы (обычно) электрически нейтральны, но составлены из положитель-
ных и отрицательных компонентов, что не исключает их пространствен-
ного взаимодействия. Известно, что потенциальная энергия между двумя
зарядами одного знака, расположенными на расстоянии r, описывается
хорошо известным уравнением Кулона
V r k
r e ( )= ε2
, (1.45)
где ke = 1
4 0 πε
— постоянная Кулона, ε0 — электрическая постоянная, ε —
единичный электронный заряд и ε2 = 1,44 эВ/нм. Однако в случае с атома-
ми заряженные ядра окружены электронным облаком противоположного
знака. Очевидно, что функция потенциала, описывающая взаимодей-
ствие между атомами, намного более сложна. Даже в самых простых слу-
чаях V(r) никогда не определялся точно, но некоторые упрощенные со-
ображения показывают, что взаимодействие должно определяться двумя
различными вкладами в диапазоне интересующих нас расстояний. Воз-
можно, самой простой из всех потенциальных функций является модель
« твердые сферы». Этот потенциал описывается следующим образом:
V r
r r
r r
( )
.
=
>
∞ ≤
⎧⎨⎩
0 0
0
для
для
(1.46)
Эта функция потенциала описывает взаимодействие атомов на рас-
стояниях радиуса атома r0 и характеризуется резким спадом. На рассто-
яниях, превышающих этот радиус, взаимодействие исчезает, в то вре-
мя как на расстояниях, меньших r0, значение становится бесконечным.
Такой вид взаимодействия совпадает с поведением сталкивающихся
бильярдных шаров, и, следовательно, атомы этой модели действуют по-
добным образом. Ясно, что такое представление не дает реального описа-
ния межатомного взаимодействия, так как электронные оболочки могут
перекрываться.
На рис. 1.8 показано, как межатомный потенциал в действительно-
сти меняется с расстоянием. При больших расстояниях атомов основное
взаимодействие осуществляется силами Кулона, в то время как при мень-
ших расстояниях отталкивающая сила в центральном поле становится
доминирующей. Подобная зависимость применима ко всем кристаллам
независимо от природы связи. Во всех случаях существует гладкая кривая
с минимумом, соответствующим наименьшему расстоянию ближайших
атомов решетки (обычно обозначаемому D).
В описании взаимодействия между атомами использовано два ба-
зисных критерия отсчета. Один — радиус Бора водородного атома
(a0 = 0,053 нм), который обеспечивает определение положения атомных
оболочек. Другой определяет интервал между ближайшими атомами
в кристалле (обычно ~ 0,25 нм). Когда r << re, электроны занимают самые
низкие энергетические уровни (закрытые оболочки) индивидуальных
атомов и только на внешних оболочках имеются пустые валентные уров-
ни. При сближении двух атомов валентные оболочки начинают пере-
крываться и появляются слабые силы притяжения Ван-дер-Ваальса. Ког-
да a0 < r ≤ re, начинают перекрываться закрытые внутренние оболочки.
Вследствие принципа запрета Паули некоторые электроны меняют свои
уровни и перемещаются на более высокие энергетические уровни с за-
тратой дополнительной энергии, вызывающей сближение атомов с по-
ложительной потенциальной энергии взаимодействия. Это явление обу-
Рис. 1.8. Изменение межатомного потенциала с расстоянием r. Кулонов-
ские силы действуют на больших расстояниях (б), а централь-
ная отталкивающая сила доминирует на малых расстояниях
и промежуточных расстояниях (а). Существует гладкий переход
между этими двумя состояниями с минимумом, соответствую-
щим равновесному расстоянию re или D
1.2. Взаимодействие между ионами и атомами 45
словлено отталкиванием закрытых оболочек с известным потенциалом
Борна — Майера, который наиболее точно описывает эту область:
V (r ) = Aexp(−r B), (1.47)
где A и B — константы, определяемые из упругих модулей [8]. Хотя эта
функция сначала использовалась Борном и Майером для представления
отталкивания ядер ионов в их теории ионных кристаллов, она полно-
стью приемлема для равновесных расстояний порядка re и полезна при
оценках пороговых или близких к пороговым столкновений, где параметр
cоударения имеет значение порядка re.
Когда r << a0, кулоновское взаимодействие между ядрами доминирует
над всеми другими составляющими в уравнении V(r):
V r
Z Z
r
( )= 1 2
ε2. (1.48)
На небольших расстояниях ядерные заряды «электростатически»
экранируются пространственным зарядом самых внутренних электрон-
ных оболочек, вошедших в межъядерное пространство. Потенциал, опи-
сывающий такое поведение, известен как экранированный потенциал
Кулона [8, 9, 10, 11, 12]
V r
Z Z
r
( ) = exp( r a)
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
1 2 −
ε2 , (1.49)
a
Ca
Z Z
=
( + )
0
1
2 3
2
/ 2/3 1/2 или a
Ca
Z Z
=( )
0
1 2
1/6 , C = 0,8853,
где a0 — радиус Бора водородного атома
Более полно экранирование электронным облаком описывается
функцией экранирования χ(r), которая определяется отношением фак-
тического атомного потенциала для радиуса r к потенциалу Кулона.
Функция χ(r) должна понижать потенциал Кулона для описания взаи-
модействия между атомами на всех расстояниях, разделяющих атомы.
Для больших расстояний χ(r) стремится к нулю, а на очень маленьких
расстояниях χ(r) приближается к единице. Это один из путей, которым
можно воспользоваться для описания всех столкновений единой межа-
томной потенциальной функцией.
Мы теперь представили два режима взаимодействия. При малых рас-
стояниях (r << a0) экранированная составляющая Кулона доминирует над
всеми другими. Эффект экранирования спадает по экспоненте с увели-
чением расстояния. В области a0 < r ≤ re взаимодействие электронов до-
минирует и лучше всего описывается потенциалом Борна — Майера.
На промежуточных расстояниях удовлетворительного описания приро-
ды атомного взаимодействия нет. К сожалению, для обеспечения надле-
жащего аналитического описания радиационных повреждений именно
в этой области необходима более точная информация.
Тем не менее можно сделать первое приближение к общему потенциа-
лу, суммируя потенциалы, контролирующие взаимодействия на больших
и малых расстояниях:
V r
Z Z
r
( ) = 1 2 exp(−r a)+ Aexp(−r B)
ε2 , (1.50)
где A = 2,58 · 105(Z1Z2)11/4 эВ, B = 1,5a0 / (Z1Z2)1/6 являются эмпирическими
выражениями, предложенными Бринкманом [11] на основе наблюдений
за способностями к сжатию и значениями упругих модулей благородных
металлов Cu, Ag и Au. К сожалению, имеется не много эксперименталь-
ных данных о действующих силах между металлическими атомами, ко-
торые более всего нас интересуют. Из рис. 1.9 видно, что первый член до-
минирует на малых расстояниях, а второй — на больших.
Простой потенциал Кулона
Экранизованный
потенциал Кулона
Потенциал
Бора — Мейера
r, нм
Рис. 1.9. Изменение различных функций потенциала на расстояниях,
разделяющих атомы меди
1.2. Взаимодействие между ионами и атомами 47
Бринкман предложил модель взаимодействия между двумя идентич-
ными атомами, в которых ядро окружено четким распределением заряда
ρε, и, предполагая, что оба атома обладают экранированным кулоновским
полем одинакового вида, оределил
V r
Z
r
r
a
r a ( ) = − ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
−
2 2
1
2
ε
e . (1.51)
Эта формула близка к выражению кулоновских сил отталкивания,
поскольку при приближении r к нулю знак при r = 2a изменяется, стано-
вясь потенциалом со слабым притяжением при минимуме r = a(1 + 3 ).
Однако этот потенциал предсказывает сильную энергию взаимодействия
при больших расстояниях и, возможно, не определяет истинную физиче-
скую картину для металлов. Бринкман сформулировал новую потенци-
альную функцию
V r
AZ Z Br
Ar
( )
exp( )
exp( )
= −
− −
1 2
2
1
ε . (1.52)
Отметим, что при малых r потенциал приближается к значениям ку-
лоновских сил отталкивания, то есть
lim ( )
r
V r
Z Z
→ r
→
0
1 2
ε2 ,
и при больших расстояниях формула потенциала приближается к виду
показательной функции Борна — Майера
lim ( ) exp
r
V r AZ Z Br
→∞
→ (− ) 1 2
ε2 .
Константа B определена в виде B = Zеff
1/3Ca0, где Zеff = (Z1Z2)1/2 и C прини-
мает значение порядка 1,0 или 1,5. Константа A зависит от сжимаемости
и объемного модуля, которые зависят, в свою очередь, от перекрытия зам-
кнутых электронных оболочек. Эмпирическое выражение для А равно
A
a
= Z 0 95⋅10−6
0
7 6 , /
eff .
Подставив A, B и C ( = 1,5) в уравнение (1.52), получим
V r Z E
Z r a
Ze
( ) ,
exp ,
exp ,
/
/
= ⋅
(− )
− − ⋅
−
− 1 9 10
1 5
1 09510
6 12
1 3
0
eff R 6
eff
ff 7 6 r a
0
( / ), (1.53)
где ER = ε2/2a0 — энергия Ридберга (13,6 эВ).
48 Глава 1. Процессы радиационных повреждений
Следует отметить, что хотя потенциал является достаточно надежной
функцией для всех металлов, атомное число которых превышает 25 с диа-
пазоном r < 0,7re, он не должен использоваться вблизи значений r = re, так
как по определению неявно предполагалось, что все межатомные рассто-
яния должны быть близки к таковым значениям для Cu, Ag и Au. Для вы-
числения энергий формирования и миграции точечных дефектов необхо-
димо использовать только действительный потенциал.
Следует обсудить также два других потенциала. Первый из них — по-
тенциал Фирсова или Томаса — Ферми с двумя центрами. Эта потенци-
альная функция представляет модернизированный экранированный по-
тенциала Кулона с учетом изменения энергии электронов при взаимном
сближении ядер. Потенциал может быть записан в виде
V r
r
r
( )
( ) = χ ,
где χ(r) является экранирующей функцией. Для случая экранирующего
потенциала Кулона χ(r) имеет вид
χ(r ) = χ (r ) B ,
χ ε B(r ) = Z Z exp(−r a) 1 2
2 . (1.54)
Для потенциала Фирсова имеем
χ( ) χ ( ) χ / / /
r ra Z Z
r
a
= = ⎡( + )
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
TF 1
1 2
2
1 2 2 3 , (1.55)
V r
Z Z
r
Z Z
r
a
( ) / / / = + ( ) ⎡⎣
⎤⎦
1 2
2
1
1 2
2
ε χ 1 2 2 3 , (1.56)
где χ Z Z
r
a 1
1 2
1
/ 1/2 2/3 ⎡( + )
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
является экранирующей функцией.
Вторым представляющий интерес потенциалом является потенциал
с двумя центрами Томаса — Ферми — Дирака (ТФД). Статистическая мо-
дель атома ТФД использовалась для вычисления потенциала из первых
принципов. Как следствие, этот потенциал принимает во внимание, что
обменные эффекты происходят в местах с конечными границами, опре-
деляемыми значениями rb, в пространстве распределения электронного
облака плотностью ρε. Полученный потенциал для подобных атомов име-
ет вид
V r
Z
r
Z
r
a
Z ( ) / = ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
− +
2 2
1 3 εχ α Λ, (1.57)
где α ≅ 3,16 · l0–3ε2/a0 и Λ¯ — ряд интегралов по точным плотностям единич-
ных центров электронов.
Вычисления с использованием этого потенциала показали, что
для очень малых расстояний (менее чем ~0,3a0) V¯(r) хорошо согласуется
с другими теоретическими кривыми и с экспериментом, в то время как
в диапазоне ~0,3a0—3a0 V(r) лучше согласуется с другими теоретическими
расчетами и результатами эксперимента, чем с экранированным потен-
циалом Кулона или потенциалом Фирсова [7].
При выборе соответствующего потенциала для определенного случая
столкновений диапазон расстояний, разделяющих атомы, можно опре-
делить, приравняв имеющееся в распоряжении значение кинетической
энергии к потенциалу и затем рассчитав наименьшее расстояние между
атомами. Необходимое расчетное время взаимодействия также может
быть определено. Для определения времени взаимодействия металли-
ческих атомов при низких кинетических энергиях, от 10–1 до 103 эВ, до-
статочно иметь только один потенциал Борна — Maйe ра с константами,
приведенными в уравнении (1.50). Для случаев столкновений атомов
в каскаде с энергиями от 103 до 105 эВ чрезвычайно удобен обратный по-
тенциал энергии. Такой потенциал может быть получен с использовани-
ем функции C/r s к одной из вышеупомянутых потенциальных функций
в ограниченном диапазоне r. Например, функция может соответствовать
обратно пропорциональному квадрату (s = 2) экранированного потен-
циала Кулона при r = a, имея те же самые наклон, ординату и кривизну.
Эта функция имеет вид [13]
V r
Z Z a
r
( ) = 1 2 e−
2
2
1 ε . (1.58)
Для ограниченного диапазона r может использоваться приближен-
ный потенциал. Используя в уравнении (1.49) значение а, получим
V r
E
e
Z Z
a
r
( ) ( ) / = ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
2
1 2
5 6 0
2
R . (1.59)
Удобным вариантом численного вычисления служит факт, что
2ER/e ≅ l0 эВ,
V r Z Z
a
r
( ) ( ) / = ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
10 1 2
5 6 0
2
эВ. (1.60)
Этот потенциал можно использовать при облучении тяжелыми иона-
ми с энергиями в диапазоне 103—105 эВ. Для случая легких ионов с высо-
50 Глава 1. Процессы радиационных повреждений
кой энергией, например протонов 5 МэВ, достаточен простой потенциал
Кулона.
В табл. 1.3 суммированы различные функции потенциалов и об-
ласти их применения. Но как следует выбирать функцию потенциала?
Как определять, например, константы A и B в потенциале Борна — Майера
для определенного элемента? Так как потенциал Борна — Майера приго-
ден для малых смещений из положения равновесия (то есть re), мы можем
определить эти константы по измеренным объемным свойствам тела, на-
пример сжимаемости, упругим модулям и т. д. Если мы расширим потен-
циал V(r) до V
V
r
r
V
r
r 0
0
2
2
0
2 1 2 +⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
+
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
+ d
d
d
d
/ ..., то тогда коэффициент d
d
2
2
V
r
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
определяет значение кривизны функции энергии от расстояния при r = re
(см. рис. 1.8).
Как узнать, что данный потенциал пригоден или описывает взаимо-
действие не должным образом в области r? Мы можем это проверить пу-
тем измерения рассеяния или радиуса ионов в твердых телах. Так как V(r)
описывает природу столкновений, то это также подскажет нам о зависи-
мости σs(Ei), которая может быть определена из экспериментов по рассея-
нию. Кроме того, измерение диапазона рассеяния дает хорошую возмож-
ность определить количество столк новений, приведших к конечному
месторасположению иона. Оба набора этих экспериментов дадут инфор-
мацию об адекватности выбранной функции потенциала для точного
описания взаимодействия атомов в твердом теле.
Определив возможности оценок взаимодействия нейтральных атомов
или атомов с ионами, мы теперь подготовлены к описанию различных
столкновений, которые до определенной степени подобны другим видам
взаимодействия, весьма отличающимся от нейтронно-ядерных столкно-
вений. Рассмотренный формализм предоставляет инструментарий для
определения передаваемой энергии от падающей частицы к атому отдачи
наряду с оценкой поперечного сечения переноса энергии. Следующие ре-
шения описаны в работах Томпсона [13].
1.2.2. Кинематика столкновений
Орбиты двух сталкивающихся атомов массой M1 и М2 относительно цен-
тра масс показаны на рис. 1.10. Местоположения частиц более удобно
обозначить в полярных координатах (r1, ψ) и (r2, ψ) c массами M1 и М2 со-
ответственно. Параметрами воздействия b, ψ являются угол рассеяния
1.2. Взаимодействие между ионами и атомами 51
Таблица 1.3. Сводка функций потенциалов
Потенциал Уравнение для V(r) = Область применения Определения Уравнения
в тексте
Твердые сферы 0 для r > r0
∞ для r < r0
10–1 < T < 103 эВ r0 = размер атома (1.46)
Борн — Майер V(r) = A exp(–r/B) 10–1 < T < 103 эВ
a0 < r ≤ re
A, B вычислены по упругим зна-
чениям модуля
(1.47)
Простой потенциал
Кулона
Z Z
r
1 2
ε2 Легкие ионы высоких
энергий r << a0
(1.48)
Экранированный
потенциал Кулона
Z Z
r
1 2 r a
⎛ ε2
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
exp(− )
Легкие ионы r < a0 a0 = радиус Бора
a = экранированный радиус
(1.49)
Брикман I Z
r
r
a
r a
2 2
1
2
ε
e− − ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟r
<
a
a
≅
a0/Z1/3
(
1.51)
Брикман II AZ Z Br
Ar
1 2
2
1
ε exp( )
exp( )
−
− −
Z > 25
r < 0,7re
A
a
= Z 0 95⋅10−6
0
7 6 ,
эфф
B Z Ca
C
=
≅
эфф
1 3
0
1,5
(1.52)
Фирсов Z Z
r
Z Z
r
a
1 2
2
1
1 2
2
ε χ / 1/2 2/3 + ( ) ⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
r ≤ a0 χ = экранированная функция (1.56)
ТФД два центра Z
r
Z
r
a
Z
2 2
1 3 ε χ α / ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
− +Λ
r < rb(3a0) rb = радиус исчезновения плотно-
сти электронного облака
(1.57)
Экранированный
радиус
2
1 2
5 6 0
2 E
e
Z Z
a
r
r( )/ ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
a/2 < r < 5a Er = энергия Ридберга = 13,6 эВ (1.59)
52 Глава 1. Процессы радиационных повреждений
пораженного атома отдачи в лабораторной системе и асимптотический
угол рассеяния φ, когда межчастичные расстояния приближаются к бес-
конечности. Параметр воздействия определяется расстоянием между
асимптотическими траекториями столкнувшихся частиц, как показано
на рис. 1.10. Нас интересует возможность определять детальные орбиты,
выражая φ в зависимости от b. Этот результат тогда будет использован для
определения поперечного сечения рассеяния.
Радиальная и поперечная скорости массы M1 на расстояниях r˙1 и r1ψ˙
в полярных координатах позволяют получить результирующую ско-
рость (r˙1
2 + r˙1
2ψ˙ 2)1/2. Скоростные компоненты те же, что для массы M2, с за-
меной подстрочного индекса 2 на 1. Сохранение энергии требует, чтобы
полная энергия любой системы оставалась постоянной. Энергия в ла-
бораторной системе координат только E M E i T = = 1
2 1
υ2 . Напомним, что
V
M
M M CM =
+
1
1 2
υ , кинетическая энергия в системе центра масс идентична
в лабораторной системе:
E М МV
М
М М
E СМ СМ i = + =
+
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
1
2 1 2
2 1
1 2
( ) .
Следовательно, энергия в системе СМ, доступная для преобразова-
ния, являясь полной кинетической энергией без энергии движения си-
стемы СМ,
Рис. 1.10. Орбиты столкновения в системе центра масс
1.2. Взаимодействие между ионами и атомами 53
E E E E E E
M
M M
= − = − =
+
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
T CM i CM i
2
1 2
. (1.61)
При упругом соударении сумма потенциальных и кинетических энер-
гий в любой точке орбиты должна равняться асимптотической сумме ки-
нетических энергий
E
M
M M
M r r M r r V r r i
2
1 2
1 1
2
1
2 2
2 2
2
2
2 2
1
1
2
1
+ 2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
= ( + ψ )+ ( + ψ )+ ( + 2). (1.62)
асимптот.
энергия;
сумма кинетич. энергии
в любой точке орбиты;
потенциальная
энергия
Считая, что r = r1 + r2 представляет полное расстояние между атомами
r1 = М2 / (M1 + M2); r2 = M1 / (M1 + M2) и соотношение энергий в уравнении
(1.62) может быть упрощено:
ηE μ r r ψ V r i= ( + )+ 1
2
2 2 2 ( ), (1.63)
где
η=
+
M
M M
2
1 2
и μ =
+
M M
M M
1 2
1 2
представляют собой приведенные массы.
Закон сохранения момента импульса требует, чтобы его значение
в любой точке орбиты равнялось асимптотическому значению. Напом-
ним, что:
υ υ υ 1
2
1 2
= − =
+
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
V
M
M M CM и V V
M
M M 2
1
1 2
= =
+
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
CM υ ,
так, чтобы асимптотическое значение момента импульса могло быть
M b M b
M M
M M
b b b 1 1 1 2 2 2
1 2
1 2
1 2 υ + υ = υ μ υ
+
( + ) = . (1.64)
Момент импульса в любой точке равен
M r M r M
M
M M
r M
M
M M
r 1 1
2
2 2
2
1
2
1 2
2
2
1
1 2
2
ψ + ψ =
+
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
+
+
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
⎡
⎣ ⎢⎢
⎤
⎦ ⎥⎥
⎥
ψ = μr 2ψ , (1.65)
следовательно,
μr 2ψ = μbυ. (1.66)
54 Глава 1. Процессы радиационных повреждений
Заменяя выражение (1.66) в уравнении (1.63) для исключения ψ˙ и опре-
деления r˙, получаем
r E
b
r
= V r
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
−
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
−
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
2
1
1 2 2
2
1 2
μ
η
/ /
( ) i . (1.67)
Следующий шаг вычислений имеет следующий вид. Умножив члены
уравнения (1.63), получим
ηE μr μ
v b
r
V r i− = + 1
2
1
2
2
2 2
2 ( )
и после преобразований имеем
ηE μ μ
v b
r
r V r i− = + 1
2
1
2
2 2
2
2 ( ). (1.68)
Напомним, что Ei = 1 / 2M1υ
2 и поэтому υ
2 = 2Ei / M1, и мы можем ис-
ключить υ , так, чтобы второй член в левой части уравнения (1.68) стал
− μb E
M r
2
1
2
i :
μ =
+
M M
M M
1 2
1 2
и μ M η 1 = ,
η η μ
E E
b
r
r
V r i i − = +
2
2
2
2
( ) и η μ
E
b
r
r
V r i 1
2
2
2
2
−
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟= +
( ),
или r E
b
r
= V r
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
−
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
−
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
2
1
1 2 2
2
1 2
μ
η
/ /
( ) i ,
что является тем же, что и в уравнении (1.67). Заметим, что r становится
минимальным при r˙ = 0. В этом случае имеем
V E
b
(ρ) η
ρ
= −
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
i 1
2
2, (1.69)
и Vmax = ηEi (при b = 0) представляет « лобовое» столкновение. Так, если ча-
стица ударяет атом мишени равной массы, то Vmax = 1/2Ei. Когда r → ∞, то
V (r )→ r = E , r E M , E M r
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
0 = =
2
2 2 2 1 2
1 1
и или 2 i i i
μ
η
( ), / r = υ at r →∞ ⇒ E = M υ i 1 2 1
2 .
1.2. Взаимодействие между ионами и атомами 55
Напомним, что мы ищем φ в функции b. Возвратившись к (1.67) и по-
делив r˙ в уравнении (1.67) на ψ˙ из (1.66), имеем
r r
E
b
r
V r
r
ψ ψ μ b
μ
υ
= =− ⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
−
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
−
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
d
d i
2
1
1 2 2
2
1 2
/ / 2
( ) . (1.70)
Знак «минус» перед значением правой части равенства приведен по-
тому, что для первой половины орбиты r˙ уменьшается с увеличением ψ.
После преобразований получим
d
d i
r
b
E r r b r V r
ψ υ μ
= − μ
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
− ( )− ⎡⎣
⎤⎦
1 2 1 2
4 2 2 4
1 2
/
/
( ) . (1.71)
Разделив выражение под квадратным корнем на ηEib2, имеем
d
d i
i
r
b
E b
r
b
V r
E
r
ψ υ μ
η
η
= −
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
( ) −
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
−
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
1 2
1
1 2
1 2
4
2
2
/
/ ( )
1/2
. (1.72)
Так как 1/2M1υ
2 = Ei, тогда υ = (2Ei/M1)1/2, и, заменив υ , получим
d
d
r M
E
E
r
b
V r
E
r
i
i
i ψ μ
η
η
= −
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
−
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
−
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
=
=
2
2
1 1
1 2 4
2
2
/ 1/2
( )
M r
b
V r
E
r
r
b
V r 1
1 2 4
2
2
1 2
4
2 1 1
μ
η
η η
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
−
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
−
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
= − −
/ /
( ) ( )
i E
r
i
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
−
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
2
1/2
.
(1.73)
Замена x = 1/r приведет к следующему:
d
d i
x
b
V x
E
x
ψ η
= −
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
−
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
1
1 2
2
1 2
( )
/
. (1.74)
Это есть уравнение орбиты (ψ = f(x)).
Угол рассеяния φ определим, выразив dψ через x и dx и интегрируя
в соответствующих пределах от x = 0 до 1/ρ. Этими пределами являются,
как показано на рис. 1.10, соответственно φ/2 и π/2. Проведя интегриро-
вание для первой половины орбиты, получаем
d d
i
ψ
η
ρ
φ
π = −
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
−
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
−
∫ ∫ 1
1 2
2
1 2
0
1
2
2
b
V x
E
x x
( )
/
/
/
/ (1.75)
и φ π
η
ρ = − −
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
−
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
−
2∫
1
1 2
2
1 2
0
1
b
V x
E
x x
( )
/
/
i
d . (1.76)
56 Глава 1. Процессы радиационных повреждений
Число ρ в верхнем пределе x обозначает r, когда ψ = π/2 и, следова-
тельно, представляет наибольшее сближение. Так как dx/dψ = 0, то при
ψ = π/2 для ρ из уравнения (1.74) имеем
η ρ
ρ
E
V
b i =
−
( )
1
2
2
. (1.77)
Уравнения (1.76) и (1.77) обеспечивают связь между ψ и b.
Мы должны все же определить поперечное сечение для нашего случая
рассеяния. Это может быть сделано следующим образом. Если частицы
M1 бомбардируют атом мишени М2 (см. рис. 1.11), то ионы, которые пере-
секают область 2πbdb проложенными кругами радиусов b и b + db, будут
рассеяны в пространстве dφ около угла φ. Так как отношение между db
и dφ может быть получено из уравнения (1.76), д ифференциальное попе-
речное сечение будет
σ(E ,T) T πb b i d = 2 d и σ π
φ
φ
(E ,T) b
b
T i
d
d
d
d
= 2 . (1.78)
Знание V(r) позволяет написать φ в терминах b2, используя уравнение
(1.76), и затем в терминах T, используя уравнение (1.13). Дифференцирова-
ние приводит к выражению2πbdb в функции T и dT. Затем из уравнения
(1.78) будет получено дифференциальное поперечное сечение для стол-
кновений с энергиями отдачи dT вблизи T. Полное поперечное сечение
для столкновений с T в любой точке диапазона от Ť до γEi запишется как
σ σ γ
(E ) (E ,T) T
T
E
i i d i = ∫ . (1.79)
Поэтапный процесс определения энергии поперечного сечения про-
ходит следующим образом:
1. Выбрать потенциальную функцию V(r).
2. Использовать (1.76), чтобы получить b в функции φ, b = f(φ).
3. Использовать (1.13) для расчета φ в функции T, φ = g(T).
4. Использовать зависимость между b и φ, между φ и T в (1.78), чтобы
получить поперечное сечение передачи энергии.
Предыдущее описание расчета поперечного сечения переноса энер-
гии подчеркивает важность знания функций потенциала, описываю-
щих специфическое взаимодействие иона с атомом или атома с атомом.
Без точного знания функции потенциала дальнейшее описание процес-
са столкновения и последующей структуры дефектов становится невоз-
можным. К сожалению, явная оценка интеграла в уравнении (1.76) воз-
1.2. Взаимодействие между ионами и атомами 57
d
z
2bdb
Рис. 1.11. Поперечное сечение рассеяния ионов в пересекающихся обла-
стях 2πbdb в угловых значениях dφ от φ
можна только для простых потенциальных функций. Перед дальнейшим
рассмотрением различных функций потенциала и их применением для
определения энергии поперечного сечения переноса необходимо сначала
рассмотреть возможные классы ионов и их соответствующих энергий.
Классификация ионов
Существует три важных класса ионов при рассмотрении столкновений
ионов с атомами. Первый класс — легкие ионы с энергией Ei > 1 МэВ. Вто-
рой — тяжелые ионы с очень высокой энергией (Ei ~ 102 МэВ), подобные
осколкам деления (М ~ 102). Третий класс — тяжелые ионы с более низкой
энергией, получаемые в ускорителях, или ионы, которые могут появить-
ся в результате высокоэнергетических соударений с первично выбитыми
атомами. Энергия этих ионов обычно меньше 1 МэВ.
Для каждого вида взаимодействия необходимо выбрать соответствую-
щую функцию потенциала. Удобной для такого выбора становится зави-
симость, представляющая отношение ρ/a расстояния сближения частиц
к экранированному радиусу в зависимости от передаваемой энергии T.
Для выбора соответствующего потенциала на рис. 1.12 изображены при-
близительные зависимости ρ от T. Представлены три кривые с ранее об-
сужденными ионами трех классов: (1) 20 МэВ протоны, (2) 70 МэВ оскол-
ки деления и (3) 50 кэВ ионы меди. Кривая столкновений (1) относится
к режиму, где ρ << a соответствует простому потенциалу Кулона. У кривой
столкновения (2), представляющей лобовой удар, ρ << a будет таким же.
Но для косых ударов с ρ ~ a будет более удобен экранированный потенци-
ал Кулона. Кривая (3) представляет область, где а < ρ << 5a и где уместно
было бы применить обратную квадратную зависимость потенциала или
потенциал Бринкмана, так как оба потенциала близки к зависимостям
Борна — Майера и экранированного Кулона.
58 Глава 1. Процессы радиационных повреждений
Соударение твердых сфер
Потенциал соударений твердых сфер соответствует энергиям иона не-
много ниже 50 кэВ и близок к энергиям лобовых упругих соударений.
Здесь ρ ~ re и атомы будут вести себя, как твердые сферы. В лобовом стол-
кновении b = 0 из уравнением (1.77) мы имеем
ηE V ρ i = ( ). (1.80)
Когда b отлично от нуля, то столкновение может быть изображено
схемой рис. 1.13, где мы определяем R
M
M M 1
2
1 2
=
+
ρ и R
M
M M 2
1
1 2
=
+
ρ . Если ρ
известно, то тогда из рисунка следует
b = ρ φ
cos
2
. (1.81)
Теперь напомним, что
σ π s i (E ,T)dT = 2 bdb .
Используя абсолютное значение производной d
d
b
φ
как положительную
величину, получим
T, эВ
20 МэВ
70 МэВ
50 КэВ
Простой
потенциал
Кулона
Бор — Майер
Экранированный
потенциал Кулона
Обратноквадратичный
потенциал
Рис. 1.12. Наименьшее относительное значение расстояния ρ/a в зависи-
мости от энергии T для (1) протонов 20 МэВ в Cu, (2) 70 МэВ
ионов Xe+ в Cu и (3) 50 кэВ Cu+ атомов отдачи ([12])
1.2. Взаимодействие между ионами и атомами 59
σ π
φ
φ
s i
d
d
d
d
(E ,T) b
b
T
= 2 , (1.82)
где d
d
b
φ
=1 2ρsinφ 2 из b = ρ cos φ/2 и d
d i
φ
T γE φ
= 2
sin
из T
E = γ i ( − φ)
2
1 cos ,
σ πρ φ
γ φ
( , ) cos
sin
E T
E i
i
=2 2
2 ,
σ πρ
γ s i
i
(E ,T)
E
=
2
. (1.83)
Напомним, что для нейтронно-ядерных взаимодействий
σs(Εi, T) = σs(Еi) / γЕi. Используя это соотношение, мы можем получить
представление о размере поперечного сечения переноса энергии при
нейтронно-ядерных взаимодействиях по результатам соударения атома
с атомом:
σ
σ
πρ
σ
( , ) π
( , ) ( )
E T ( )
E T E
a a
n nuclear
i
i s i
−
−
−
− =
2 82
24
8 10
10
10 .
Эта энергия взаимодействия приблизительно на восемь порядков
больше, чем при нейтронно-ядерных взаимодействиях.
Полное поперечное сечение рассеяния равно
σ σ πρ
γ
πρ
γ
γ πρ γ γ
s i s i
i i
i d d i i (E ) (E ,T) T
E
T
E
E T
T
E
T
E = = = − ⎡⎣
⎤⎦
∫ ∫ =
2 2
2. (1.84)
Отметим, что σs(Ei) независимо от Ei (потому что ρ ≠ f(Ei)) и что σs(Ei, T)
α1/Ei независимо от T. Мы можем найти σs(Ei, T) явным образом, приме-
Рис. 1.13. Столкновение атомов по схеме соударения твердых сфер
60 Глава 1. Процессы радиационных повреждений
нив соответствующую функцию потенциала для нахождения значения ρ
из V(r). Возвратимся к рассмотрению столкновений в разделе 1.2.1, когда
параметр взаимодействия находится на уровне равновесного разделения
атомов, самым приемлемым будет потенциал Борна — Maйeра с энергия-
ми около l0 кэВ (Это означает, что мы отходим от представлений чистой
модели твердых сфер.) Следовательно, мы должны использовать зависи-
мость V(r) = A exp(–r/B), где A и B определяются уравнением (1.47). Ис-
пользуя уравнение (1.80), приходим к виду
V A B E ( ) exp( ) ρ ρ η = − =i (1.85)
или
ρ
η
=
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
B
A
E
ln
i
. (1.86)
Так как b = ρ cos φ/2 = B ln(А/ηEi)cos φ/2, поперечное сечение переноса
энергии равно
σ π
γ η s i
i i
(E ,T) ln
B
E
A
E
=
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
2 2
. (1.87)
Полное поперечное сечение рассеяния предстает тогда в виде инте-
грала поперечного сечения переноса энергии с пределами Ť и γEi
σ π
η γ
γ
s i
i i
d i (E ) B ln
A
E E
T
T
E =
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
∫ 2
2
1
. (1.88)
Из этого выражения мы можем вычислить значения полного попереч-
ного сечения рассеяния для всех допустимых Т. Отметим, что полное по-
перечное сечение рассеяния зависит от Ei. Кроме того, типичные значе-
ния A, B и Ť (25 эВ), значение σs(Ei) при взаимодействии атома с атомом
приблизительно в 108 раз больше, чем при нейтронно-ядерных соударе-
ниях.
Рассеяние Резерфорда
Обратимся теперь ко второму примеру использования чистого потенциа-
ла рассеяния Кулона, чтобы продемонстрировать резерфордовское рас-
сеяние. По нашей классификации ионов по энергии и массе первый вид
столкновений соответствует (m ~ 1 до 4) и энергиям ионов (E > МэВ), где
ρ << a. Столкновения такого вида соответствуют простому потенциалу
Кулона, представленному уравнением (1.48)
1.2. Взаимодействие между ионами и атомами 61
V r
Z Z
r
( )= 1 2
ε2 .
Предположим, что Z1 и Z2 представляют ядерные заряды и что стол-
кновение происходит при высоких энергиях так, что электроны удалены
с ядер и взаимодействие существует только между ядрами.
В нашем описании траекторий частиц в системе СМ мы нашли, что
в случае наибольшего сближения dx/dψ = 0 и из уравнения (1.77) полу-
чим
η
ρ
ρ
E
V
b i = ( )
1−
2
2
.
Замена V(r) приводит к следующему:
Z Z
E
b 1 2
2 2
2 1
ε
ρ
η
ρ
= −
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
i . (1.89)
Определяя
b
Z Z
E 0
1 2
2
=
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
ε
η i
, (1.90)
получим
b b 0
2
2 1
ρ ρ
= − (1.91)
и ρ = + +
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
⎡
⎣ ⎢⎢
⎤
⎦ ⎥⎥b
b
b 0
2
0
2
1 2
1 1
4
/
. (1.92)
Следовательно, наименьшее расстояние является функцией параме-
тра взаимодействия b. Для лобовых столкновений b = 0 и минимальное
значение ρ зависит от Ei
ρ ρ ε
η
b b
Z Z
E
( = 0) = = = 0 0
1 2
2
i
. (1.93)
Отметим, что для этого типа столкновения ρ зависит от Ei, в отличие
от независимости от Ei в модели твердых сфер. Возвращаясь к орбиталь-
ному уравнению (1.75), оценим теперь его с помощью определенного ин-
теграла
dψ d
π
φ
2 ρ
2
2
0
2
2
1 2
1
0 1 ∫ = ∫ ⎡ − −
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
−
b
b
b
х х x
/
. (1.94)
Так как ψ = π/2 при r = ρ(x = 1/ρ) и ψ = φ/2 при r = ∞ (x = 0), то при
y = x + b0/2b2 получим
62 Глава 1. Процессы радиационных повреждений
φ π
ρ 2 2
2 2 1 2
1
2
2
0
2
0
2 − = − ⎡⎣
⎤⎦
−
+ ∫ c y y b
b
b
b
/
d, (1.95)
где c2 = (1/b2 + b0
2/4b4). Тогда орбиты будут равны
φ π
ρ
ρ
2 2 2
1 1
2
1
1
2
2 1 0
2
1 0
0
2
0
2
− =⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
− = − +
+
sin sin− sin−
y
c
b
b c
b
b b
b
b
b
2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
. (1.96)
Так как
sin− + sin− ( )
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
1 0 = =
2
1 1 1
2
1 2
c
b
ρ b
π ,
то
sinφ 2
2
0
2 = b
b c
. (1.97)
Заменив c из уравнения (1.97), получим
sin2
2
0
2
2
1
1
4
φ =
+ b
b
. (1.98)
Используя тригонометрические соотношения для sin2φ/2, найдем
b
b = 0
2
cotφ 2. (1.99)
Теперь мы имеем зависимость между параметром воздействия b
и асимптотическим углом рассеяния φ. Отметим, что b есть функция Ei
через b0 (уравнение (1.93)).
Далее мы хотим получить выражение для поперечного сечения рас-
сеяния. Используя уравнение (1.82) для σs(Ei, T), получаем
σ σ φ π π φ
s i s i (E ,T) dT = (E , )dΩ = 2 bdb = b cot db
2 0 , (1.100)
и, подставив db из уравнения (1.99), имеем
σ
φ s i ( , )
sin ( )
E T
b =⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
0
2
4 4
1
2
, (1.101)
что является обратным законом Резерфорда рассеяния четвертой сте-
пени. Поперечное сечение для атомов отдачи идентично и для упругих
соударений (1.13) и, следовательно,
σ σ φ s i s i
d
d
(E ,T) (E , )
T
= Ω
1.2. Взаимодействие между ионами и атомами 63
или
σ π γ
s i
(E ,T) i
b E
T
= 0
2
4 2
. (1.102)
Отметим, что в отличие от нейтронно-ядерных столкновений и рас-
сеяния твердых сфер поперечное сечение рассеяния Резерфорда на-
ходится в сильной зависимости от T. Это выражение также показывает,
что поперечное сечение рассеяния σs(Ei, T) → ∞ при T → 0. Но это только
отражает факт, что при φ → 0 и b → ∞ потенциал Кулона представляет
зависимость для диапазона больших расстояний. В действительности су-
ществует резкий спад b и, следовательно, φ за счет электронного экрани-
рования. Как видно будет далее, этот спад связан с энергией смещения Ed,
представляющей среднее значение переданной энергии
T
T E T T
E T T
T T T
T
T
T
T
T
T =
∫
∫
=
−
ˆ
ˆ
( , )
( , )
ln(
ˆ
/ )
ˆ
σ
σ
s i
s i
d
d 1
. (1.103)
Для Τ = γEi и Ť = Ed и так как γEi >> Ed, то
T E
E
E
≈
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
d
i
d
ln
γ , (1.104)
что является весьма низким значением для всех энергий Ei, отражая силь-
ную зависимость 1/T2 по уравнению (1.102).
Интеграл уравнения (1.102) по T дает полное поперечное сечение для
случая смещения ионов с энергий Ei
σ π π
s i
d
d
d
( )
ˆ
ˆ
ˆ
E bT
T
T
b T
E E
= ∫T = −
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
4 4
1 0
2
2
0
2
, (1.105)
и так как при высоких энергиях Τ /Ed >> 1, то для Τ = γEi имеем
σ π γ
s i
(E ) i
b E
E
≈ 0
2
4
, (1.106)
что представляет весьма большую величину.
Возникающий при рассмотрении вышеупомянутых явлений вопрос
заключается в определении условий применения потенциала рассеяния
Резерфорда. Ответ должен быть связан с определением, какая основная
часть рассеяния во время столкновения произошла в диапазоне расстоя-
ний r << a. Но это будет лишь качественной оценкой. Для количественно-
го определения необходимо рассмотреть два случая.
64 Глава 1. Процессы радиационных повреждений
Случай 1: столкновения, близкие к « лобовым», с высокой энергией T.
Для близкого к лобовому столкновению с ρ0 << a или Ei >> Ea, когда Eа мог-
ло бы принять значение Ei при ρ0 = a, экранированный потенциал Кулона
имеет вид
Ea = 2E Z Z M +М М e 1 2
7 6
R 1 2 2 ( ) / ( ) / ( ), (1.107)
который получен после перенормировки экранированного потенциала
Кулона (уравнение (1.49)) в форме обратно квадратичной зависимости
(1.59) с ε2 = 2a0ER и после приравнивания r = a и использования зависимо-
сти для лобового столк новения V(r) = ηEi = [M2/(M1 + M2)]Ei.
Случай 2: косые удары (низкое T).
Здесь рассматриваются только те столкновения, у которых b ≤ a или в ре-
зультате которых перенос энергии Ť ~ Ed при b = a. Для простых кулонов-
ских столкновений с b = a имеем из уравнений (1.98) и (1.13)
T
e E
E
= a
2 2
4
γ
i
или E
e E
T
a
i =
2 2
4
γ (1.108)
и, задав эту величину Ei и обозначив Eb при T = Ť, имеем
E
e E
T b
= a
2 2
4
γ
где
T = Ed, (1.109)
и это уравнение действительно для всех Ei >> Eb. По существу, Eb — это зна-
чение Ei, которое приводит к передаче энергии T ≥ Ed при b = a. Или ина-
че условия Eb < Ei, приводящие к значениям T << Ť, можно не принимать
во внимание, так как ρ ≥ a, и этими столкновениями можно пренебречь.
В табл. 1.4 представлены примеры значений Eа и Eb при столкновениях
различных частиц разной энергии с атомами мишени.
Из табл. 1.4, учитывая что Ea < Eb, мы можем принять, что Ei долж-
но быть >> Eb, чтобы достоверно описать рассеяние простым законом
Кулона.
В итоге для столкновений, близких к лобовым, при Ei >> Ea можно ис-
пользовать простой потенциал Кулона. Если Ei >> Eb, то этот потенци-
ал может использоваться для всех интересующих нас столкновений при
оценке радиационных повреждений. Легкие заряженные частицы, такие
как протоны и альфа-частицы с Ei > 1 МэВ, попадают в эту категорию,
в то время как осколки деления находятся в режиме Ea < Ei < Eb и у атомов
отдачи Ei ≤ Ea. Далее это будет обсуждено. Но сначала мы представляем
пример рассеяния Резерфорда.
1.2. Взаимодействие между ионами и атомами 65
Пример 1.2. 2 МэВ протоны на алюминии.
Для этого случая имеем
ˆ
T = E = , ( )
( + )
γ = i МэВ МэВ
4 27
27 1
2 028 2 ,
эВ ,
T E
E
=
⎝ ⎜
⎠ ⎟
= d
d
ln эВ
233 .
Мы можем также рассчитать соударения E a ~ 200 эВ и E b ~ 4000 эВ
(для сравнения 2 МэВ He+ — на Аl, E a ~ 1 кэВ и E b > 25 кэВ). Также
для 2 МэВ H+ на Au, E a ~ 1,6 кэВ и E b ~ 38 кэВ и для 2 МэВ He+ на Au,
E a ~ 8 кэВ и E b ~ 69 кэВ. Начиная с Ei >> E b для этих ви дов столкнове-
ний действителен простой закон Кулона. Поэтому σ(Ei) ~ 4 · 10–22 см2,
и так как средний свободный путь между столкновениями λ = 1/σN
и N ~ 6 · 1022 a/см3, то λ ~0,04 см или приблизительно 400 мкм, что поч-
Далее исследуем другие классы столкновений ионов с атомами, таких
как тяжелые ионы с большой энергией, тяжелые медленные ионы и высо-
коэнергетические электроны.
4( 0 28 T = 25 эВ,
E
⎛
⎛
⎝
⎞
⎞
⎠
i
γ
ти в 10 раз больше длины пробега 2 МэВ протона в Аl. Это означает,
что в среднем только одно рассеивающее столкновение Резерфорда
приходится на каждые 10 налетающих протонов на Аl.
Таблица 1.4. Значения Ea и Eb для различных комбинаций атомов мише-
ни и налетающих частиц [13]
Случайная
частица
Норма
атома
Ea(eV) Eb(eV)
С C 2 · 103 8 · 105
Al Al 1 · 104 2 · 107
Cu Cu 7 · 104 1 · 109
Au Au 7 · 105 1 · 1011
Xe U 5 · 105 3 · 1010
D+ C 1,5 · 102 2 · 103
D+ Cu 1 · 103 2 · 104
D+ U 4 · 103 1 · 105
66 Глава 1. Процессы радиационных повреждений
Тяжелые энергетические ионы
Для тяжелых энергетических ионов, таких как осколки деления,
из рис. 1.12 следует, что потенциал должен соответствовать экранирован-
ному закону Кулона с отталкиванием закрытых оболочек. Рассмотрим
сначала простой потенциал Кулона как грубое приближение, зная, что
его использование оправдано только для энергий атомов отдачи, прибли-
жающихся к значению γEi при ρ << a.
Напомним, что
σ π γ
(E )
b E
E i
i
d
= 0
2
4
и b
Z
E
M M
M M
M
M M 0
1 1 2
1 2
2
2
1 2
4 α
γ
γ η
i
, = ,
( + ) =
+
,
поперечное сечение по сравнению с σs для легких ионов резко возрастает:
σ
σ
тяж
легк
i тяж
i легк
= ≈
z M
E
z M
E
1
2
1
1
2
1
106
для осколков деления с выходом продуктов деления урана, M1
легк 96 aем
(атомная единица массы), E1
легк 95 МэВ и M1
тяж 137 aем, E1
тяж 55 МэВ.
По сравнению с соударением 2 МэВ протона с Аl для осколков деления
поперечное сечение в 104 раз больше! Поэтому их средний свободный
путь пробега в 10–4 меньше, чем у протона в Al.
Напомним, что σ(Ei, T) изменяется как 1/T2. Но это верно только при
условии γЕi(ρ << a). При более низких энергиях экранирование уменьша-
ет зависимость от энергии. Таким образом, для лучшего описания взаи-
модействия тяжелых ионов больших энергий с атомами мишени следует
использовать выражение Бринкмана (уравнение (1.50)), которое при им-
пульсном воздействии (см. [13]) приходит к виду
T
M
M
A
E
F
b
B
F
b
B
= ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
− − ( ) + ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
1
2
2 2
1 1
i
α, α α, ,
где A, B даны в уравнении (1.50) и
F
b
B
b
B
e dx
x b a
b
B
n K
b
B
x
b a ax
α,
( ) ( )
( ) / /
⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟= −
− −
= +
−
−
∞ ∫ 2 2 212 2 0 1
1
e
(1 ) ,
0
+ ⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
=
∞Σ
n
n
α (1.111)
где K0(y) является функцией Бесселя мнимого аргумента. Член α представ-
ляет отношение потенциала Борна — Майера к экранированному потенци-
1.2. Взаимодействие между ионами и атомами 67
алу Кулона, как при r = a, так и вообще при α < 1. T может быть найдено из b
и уравнения (1.110). Дифференцирование приводит к значению σ = 2πbdb.
Однако из-за сложности уравнения (1.110) требуется численное решение.
Тем не менее можно вычислить число атомов отдачи dN от (dT по T), про-
изведенное осколком деления при замедлении его до остановки:
d d
d
d
d
d
N n x n d d
T
E
x
E T = = − ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
−
σ σ 1
, (1.112)
где n — плотность атомов и
N T T n
T
E
X
E T
E
( )d
d
d
d
d d i = ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
−
∫ σ 1
0
. (1.113)
Бринкман выполнил эти вычисления для легких и тяжелых осколков
235U, замедленных в уране. Результаты показаны на рис. 1.14. Заметим,
что N(T) уменьшается быстрее, чем T–1, и, следовательно, большинство
перемещений атомов вызваны атомами отдачи с низкой энергией. Поэ-
тому всеми высокоэнергетическими атомами отдачи можно пренебречь.
Другой способ рассмотрения заключается в том, что простой потенциал
Кулона действителен только в диапазоне энергии, который не вызывает
значительных смещений.
T, эВ
N(T) атомов отдачи (эВ) –1
Рис. 1.14. Диапазон энергий атомов отдачи N(T)dT, вызванных осколка-
ми деления, замедляющимися в уране. Показаны два случая:
M1 = 96, E1 = 95 МэВ и M1 = 137, E1 = 55 МэВ (из [13])
68 Глава 1. Процессы радиационных повреждений
Тяжелые медленные ионы
Эти ионы представлены кривой «3» на рис. 1.12. Это очень важный класс
столк новений, поскольку он покрывает большую область использова-
ния имплантационных процессов кВ-ионами в низкоэнергетических
МВ-ускорителях при материаловедческих исследованиях радиационных
повреждений тяжелыми ионами и моделировании радиационных воз-
действий. Численные оценки показывают, что с такими столкновениями
приходится иметь дело в диапазоне a < ρ < 10a. Формализм, использо-
ванный для осколков деления в предыдущем разделе, относится к косым
соударениям, а для лобовых столкновений необходим другой подход. Со-
ответствующий потенциал для диапазона a/5 ≤ ρ ≤ 5a определяется об-
ратным квадратным приближением с использованием потенциала сле-
дующего вида:
V r
E
e
Z Z
a
r
( ) / = ( ) ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
2
1 2
5 6 0
2
R .
Подставив функцию потенциала в орбитальное уравнение (1.76), по-
лучим
φ
π
= − +
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
−
1 1
2
2
1 2
a E
b E
a
i
/
. (1.114)
Используя уравнение (1.13) для выражения φ в терминах Т, получим
T E
a E
b E
= + a
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
⎡
⎣ ⎢⎢
⎤
⎦ ⎥⎥
−
γ π
i
i
cos
/
2
2
2
1 2
2
1 . (1.115)
Выразив b в терминах T и дифференцируя, имеем
σ α
γ α s i
i
( , )
( ) ( )/
E T
E a
E x x
= a
− [ − ]
4
1 4 1
2
2 2 2 1 2, (1.116)
где x = T/γEi и πα = cos–1x1/2.
Для малых x (передача низкой энергии) мы имеем
σ
π γ
s i
i
( , ) /
/ / E T
a E
E T
a =
2 2
1 2
8 1 2 3 2
. (1.117)
Отметим, что энергия поперечного сечения переноса зависит от T.
Средняя энергия отдачи равна
1.2. Взаимодействие между ионами и атомами 69
T
T E T T
E T T
T ET
E
T
E = = ∫
∫
σ
σ
γ
γ
γ
s i
s i
i
d
d
i
i
( , )
( , )
( )/
1 2. (1.118)
Полное поперечное сечение смещения принимает вид
σ γ σ π γ
s i s i
i
d i ( ) ( , )
( )
/
/ E ET T
a E
ET
a
T
E = ∫ =
2 2 1 2
4 1 2
. (1.119)
Релятивистские электроны
Радиационное повреждение от электронов не очень опасно для материа-
лов активной зоны реактора, но гораздо более интересно лабораторным
исследователям, занимающимся изучением радиационных повреждений
с использованием электронных микроскопов. Вследствие малой массы
электрона, чтобы вызвать смещения атомов в решетке, энергии должны
быть очень высоки. Так что для описания столкновений должна исполь-
зоваться релятивистская квантовая механика. Даже в этом случае пере-
данной высокой энергии достаточно только для появления ПВА без вто-
ричных смещенных атомов.
В релятивистской форме импульс электрона с массой покоя m0 и ки-
нетической энергией Ei имеет вид
p
E
c
E mc e
i
i
2
2 0
= ( + 2 2 ). (1.120)
Так как смещаемый атом отдачи отскакивает нерелятивистским об-
разом, то в выражении отдачи используется уравнение (1.9)
V ′ =V +V ′ − V V ′ = V ( − ) = V
2 2 2 2 2 2 1 4 2 2
2 CM c CM c CM CM cosφ cosφ sin φ .
Закон сохранения импульса дает
p m MV MV e CM CM = ( + ) ≅ 0 .
Заменяя скоростные члены на энергетические в выражении Vx2, по-
лучим
T
E
Mc
= (E + m c ) 2
2
2 0 2
i 2 2
i sin
φ, (1.121)
70 Глава 1. Процессы радиационных повреждений
ˆ
T
E
Mc
= (E + m c ) 2
2 2 0
i 2
i . (1.122)
Приближенное выражение уравнения Дирака для легких ионов [13]
приводит к дифференциальному поперечному сечению рассеяния
σ φ π β
β
β φ παβ φ
s 1 E
a Z E
m c
, R
sin ( ) sin( )
( )= − ×
× − + −
4 1
1 2 2 1
0
2
2
2 2
0
2 4
2
4
2 2 sin( ) cos( )csc ( ), φ φ φ 2 2 2 3 ( ) ⎡⎣
⎤⎦
×
(1.123)
где β = v/c и α = Z2/137. Это выражение приближается к закону рассея-
ния Резерфорда для малых β. С использованием уравнений (1.121) и (1.122)
дифференциальное поперечное сечение рассеяния может быть записано
в терминах T и Τ :
σ π β
β
β πα
β s i ( , ) ˆ ˆ ˆ
/
E T
a Z E
m c
T
T
T
T
T
T
R = − − + ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
− 4 1
0 1
2
2
2 2
0
2 4
2
4
2
1 2 ⎧⎧⎨ ⎪
⎩⎪
⎫⎬ ⎪
⎭⎪
⎡
⎣ ⎢⎢
⎤
⎦ ⎥⎥
ˆ
T
T 2. (1.124)
Полное поперечное сечение найдено интегрированием уравнения
(1.124) от Ť и Τ :
σ π β
β
β αβ s i ( )
ˆ
log
ˆ ˆ
E
a Z E
m c
T
T
T
T
T = R − −
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
− + 4 1
0 1 2
2
2
2 2
0
2 4
2
4
2
T
T
T
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
− −
1 2
1
/
log
ˆ
. (1.125)
Для электронов с энергиями выше порога повреждения и Τ /Ť немного
больше единицы имеем
σ π β
β s i
( ) R
ˆ
E
a Z E
m c
T
T
≅ − ⎛
⎝ ⎜⎞
⎠ ⎟
−
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
4 1
0 1
2
2
2 2
0
2 4
2
4
2
. (1.126)
На рис. 1.15 показано, что при достаточно высокой энергии σ(Ei) при-
ближается к асимптотической величине
σ π
s i
(E ) R
a Z E
TM c
→ 8 0
2
2
2 2
2
2 при E mc i >> 0
2. (1.127)
Следует подчеркнуть, однако, что эти поперечные сечения наиболее
точны для легких элементов, но серьезно недооценивают σs(Ei) для тяже-
лых элементов (Z > 50). Табл. 1.5 представляет сводку переносов энергии
и энергий поперечного сечения для различных видов взаимодействий
атомов, обсуждаемых в разделе 1.2.
1.2. Взаимодействие между ионами и атомами 71
(барн)
E, МэВ
Рис. 1.15. Поперечное сечение повреждений меди, облучаемой электро-
нами, Ed = 25 эВ ([13])
Таблица 1.5. Передача энергии и поперечное сечение передачи энергии
для различных видов межатомного взаимодействия
Виды столкновений Передача энергии
Поперечное сечение передачи энергии
Номер
уравнения
Столкновение твердых
сфер (потенциал
Борна — Майера)
ρ ~ re
σ π
γ η s i
i i
(E ,T ) ln
B
E
A
E
=
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥2
2
(1.87)
T = γEi 2 (1.13)
Рассеяние Резерфорда
(простой потенциал
Кулона)
ρ << а
σ π γ
s i
(E ,T ) i
b E
T
= 0
2
4 2
(1.102)
T E
E
E
≈
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
d
i
d
ln
γ (1.104)
Тяжелые ионы
(обратно квадратичная
зависимость)
а/5 ≤ ρ ≤ 5а
σ π γ
s i
i
( , )
/
/ / E T
a E
E T
= a
2 2 1 2
8 1 2 3 2 (1.117)
T = (γET ) / i
1 2 (1.118)
Релятивистские
электроны σ π β
β
β πα
β
( , )
ˆ ˆ ˆ
/
E T
a Z E
m c
T
T
T
T
T
i
= R − ×
× − + ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
−
4 1
1
0
2
2
2 2
0
2 4
2
4
2
1 2
T
T
T
⎧⎨ ⎪
⎩⎪
⎫⎬ ⎪
⎭⎪
⎡
⎣ ⎢⎢
⎤
⎦ ⎥⎥
ˆ
2
(1.124)
Элементы конструкций ядерных энергетических установок различного
функционального назначения работают в условиях облучения. Это со-
провождается изменением теплофизических, упругих и прочностных ха-
рактеристик конструкционных материалов. Повреждаемость материала
в условиях нейтронного облучения определяет ресурс и безопасность экс-
плуатации основных узлов ядерной техники. Поэтому возникает необхо-
димость в изучении физических механизмов взаимодействия нейтрон-
ного облучения с металлами и сплавами. Понимание физических основ
протекающих процессов позволит полнее использовать имеющиеся ма-
териалы и наметить пути получения принципиально новых материалов
для удовлетворения все возрастающих потребностей ядерной техники.
Отдельным аспектом взаимодействия нейтронов и заряженных частиц
с металлами посвящены многочисленные публикации. Они, как пра-
вило, рассматривают конкретные вопросы того или иного направления
исследований и не претендуют на полноту представления. Отсюда с оче-
видностью вытекает необходимость обобщения теоретических моделей
и экспериментальных результатов по радиационному повреждению кон-
струкционных материалов. Такое обобщение с исчерпывающей полно-
той представлено в предлагаемой монографии. Она посвящена вопросам
радиационного материаловедения металлов и сплавов. Далее кратко за-
тронем неоспоримые достоинства предлагаемого издания монографии на
русском языке при поддержке Российского фонда фундаментальных ис-
следований (РФФИ).
Хорошо известно, что уровень развития любой технической циви-
лизации определяется используемыми материалами. Они должны в пол-
ной мере отвечать эксплуатационным потребностям новой техники. Ис-
пользование ядерной энергии для обеспечения современной технической
цивилизации вплотную поставило вопрос о поведении известных мате-
риалов в условиях облучения. Этому направлению исследований в пол-
ной мере отвечает новое материаловедческое направление под названием
«радиационное материаловедение металлов и сплавов». Несомненным до-
стоинством монографии под таким названием является исчерпывающая
полнота изложения в сочетании с детальными подробностями. Единый
подход к рассматриваемым вопросам содержит в своей основе основные
законы физики. Это лишний раз свидетельствует о единстве всех при-
родных явлений, которые подчиняются известным физическим закономерностям
.С этих позиций радиационное поведение металлов и сплавов
органически вписывается в общефизические процессы. Отсюда непо-
средственно следует физическая прозрачность радиационных явлений,
поскольку они по большому счету подчиняются лишь незначительному
набору физических законов (например, законы сохранения).
Если исключить мелкие детали различных ответвлений, то основу
взаимодействия нейтронного облучения металлов составляет образова-
ние радиационных точечных дефектов: вакансий и межузельных атомов.
Они получили название пар Френкеля, так как образуются и исчезают
при аннигиляции парами. Радиационные точечные дефекты ничем не
отличаются от обычных точечных дефектов металлов и сплавов. В самом
деле, металл «не знает», что именно привело его к образованию точеч-
ных дефектов: то ли силовая, то ли радиационная нагрузки. Разумеется,
для металла при нейтронном облучении явилось полной неожиданно-
стью образование каскада точечных дефектов за весьма короткое время
по сравнению с традиционными внешними воздействиями (силовыми
или температурными). Однако образованные при нейтронном облучении
точечные дефекты никоим образом не отличаются от соответствующих
точечных дефектов металла. Поэтому они также взаимодействуют с дру-
гими несовершенствами металла (например, с краевыми дислокациями
или клиновыми дисклинациями). Другими словами, структурные несо-
вершенства металла не различают точечные дефекты в зависимости от их
происхождения. Единое описание всего многообразия точечных дефек-
тов прослеживается на протяжении всей монографии при рассмотрении
самых разнообразных процессов радиационной повреждаемости метал-
ла. Естественно, для радиационных точечных дефектов можно выделить
некоторые характерные особенности. К ним относятся, прежде всего,
образование в равных количествах вакансий и межузельных атомов не-
равновесной концентрации. Известно, что каждой температуре соответ-
ствует своя равновесная концентрация вакансий и межузельных атомов.
При этом концентрация последних существенно ниже по сравнению с ва-
кансиями из-за более высокой энергии образования межузельного атома
в обычных условиях, то есть без облучения. При понижении температу-
ры возникает неравновесная концентрация вакансий, заведомо превы-
шающая концентрацию межузельных атомов. Неравновесные вакансии
диффузионно мигрируют на стоки практически без аннигиляции с ме-
жузельными атомами, которых весьма мало. Диффузионная миграция
радиационных точечных дефектов сопровождается их аннигиляцией,
Предисловие редактора перевода 15
поскольку противоположные дефекты образуются в равных количествах
(пары Френкеля).
Все процессы радиационного повреждения металлов и сплавов на
их основе описываются в континуальном приближении. Это означает,
что концентрация точечных дефектов является непрерывной функцией
координат. В таком же приближении рассматриваются и процессы диф-
фузионной миграции точечных дефектов на различные стоки. При опи-
сании кинетических закономерностей применяют уравнения в частных
производных параболического типа или уравнения первого порядка по
аналогии с химическими реакциями. В последнем случае скорость из-
менения концентрации точечных дефектов прямо пропорциональна
первой степени концентрации. Следует отметить еще одну особенность
при образовании радиационных точечных дефектов. Для их описания
вводится понятие «число смещений на атом» (сна), которое достаточно
устойчиво присутствует в радиационном материаловедении. Между тем
эта характеристика определяет всего лишь безразмерную концентрацию
пар Френкеля. Радиационные точечные дефекты мигрируют на стоки
вследствие упругого взаимодействия с другими несовершенствами ме-
талла. Такое взаимодействие обусловлено наличием полей внутренних
напряжений в окрестности структурных дефектов металла. Их описание
осуществляют также континуальном приближении с использованием
математических моделей механики сплошной среды. Привлекательность
использования континуального приближения заключается в том, что для
количественного описания процессов радиационного повреждения ме-
таллов можно применять хорошо разработанные и освоенные уравнения
математической физики.
Для описания радиационной повреждаемости металлов и сплавов
при нейтронном облучении использованы достаточно простые и вместе
с тем ясные с физической точки зрения модели. Такие модели позволя-
ют получать аналитические зависимости с набором физически обосно-
ванных постоянных. Хорошо известно, что аналитические методы реше-
ния задач по своей образности и емкости находятся вне конкуренции по
сравнению с другими методами (например, численными или экспери-
ментальными). Аналитические соотношения на простых моделях дают
возможность оценить предельные возможности конструктивной схемы,
свойств материала и эксплуатационных параметров. На протяжении все-
го содержания монографии превалируют именно аналитические методы
решения соответствующих задач. Это позволяет достаточно зримо пред-
ставить физическую сущность процесса и возможные направления его
протекания. Применение численных методов (например, метод молеку-
лярной динамики) используется исключительно для более полного опи-
сания радиационной повреждаемости металла на начальном этапе облу-
чения (например, образование каскада точечных дефектов). Значительно
полнее представлены экспериментальные результаты. Они неукосни-
тельно сопровождают математические модели протекающих процессов,
что лишний раз подчеркивает правомочность используемых физических
моделей.
Следует отметить безупречно стройную логику построения моно-
графии. Она состоит из трех самостоятельных, но взаимосвязанных ча-
стей. Первая часть монографии посвящена физическим процессам ради-
ационного повреждения металлов и сплавов при облучении. Логическим
продолжением первой части является исследование влияния облучения
на физические характеристики металлов и сплавов в широком смысле
этого слова. И, наконец, третья часть монографии достаточно подроб-
но затрагивает влияние радиационных повреждений на механические
и прочностные свойства металлов. По мере перехода от одной части моно-
графии к другой содержание приобретает практическую направленность.
В поле зрения читателя монографии оказываются многие вопросы, с ко-
торыми исследователи соприкасаются при длительной эксплуатации эле-
ментов конструкций ядерной техники. Каждая часть монографии состоит
из отдельных глав, между которыми также прослеживается внутренняя
связь. При этом в каждой главе монографии содержится необходимый на-
бор сведений для понимания содержания и проведения математических
преобразований. Поэтому каждую главу монографии можно изучать, не
обращаясь к содержанию остальных глав. Все математические преоб-
разования выполнены с особой тщательностью вплоть до тривиальных
подробностей. Это существенно облегчает решение предложенных задач,
которые имеются в каждой главе монографии.
Содержание монографии представляет несомненный интерес для
специалистов в области радиационного материаловедения. Студенты,
аспиранты и преподаватели могут воспользоваться конкретными науч-
ными результатами, а также методическим подходом при построении ма-
тематических моделей соответствующих процессов.
Н. М. Власов, О. И. Челяпина
Литература
А. Дамаск, Дж. Динс. Точечные дефекты в ме [1]. таллах. Пер. с англ. М.:
Мир, 1966, 288с.
[2]. Дж. Маннинд. Кинетика диффузии атомов в кристаллах. Пер.
с англ. М.: Мир, 1971, 271 с.
[3]. Дж. Хирт, И. Лоте. Теория дислокаций. Пер. с англ. М.: Атомиздат,
1972, 583 с.
[4]. М. Томпсон. Дефекты и радиационные повреждения в металлах.
Пер. с англ. М.: Мир, 1971, 364 с.
[5]. С. П. Тимошенко, Дж. Гудьер. Теория упругости. Пер. с англ. М: На-
ука, 1979, 554с.
[6]. Фазовые превращения при облучении. Пер. с англ. Челябинск, Ме-
таллургия, 1989, 303 с.
[7]. Н. М. Власов, И. И. Федик. Тепловыделяющие элементы ядерных
ракетных двигателей. М.: ЦНИИатоминформ, 2001, 205 с.
[8]. Ю. Г. Драгунов, Н. М. Власов, С. Д Иванов, И. И. Федик. Самоурав-
новешенные внутренние напряжения. М.: МГОУ, 2010, 357 с.
[9]. К. Теодосиу. Упругие модели дефектов в кристаллах. Пер. с англ. М:
Мир, 1985, 351 с.
[10]. Р. А. Андриевский. А. М. Глезер, Прочность наноструктур. УФН,
2009, т. 179, № 4, с. 338—358.
[11]. Р. А. Андриевский. Влияние облучения на свойства наноматериа-
лов. ФММ, 2010, т. 110, № 3, с. 243—252.
[12]. Й. Чадек. Ползучесть металлических материалов. Пер. с чешского.
М.: Мир, 1987, 302 с.
[13]. Н. М. Власов, А. В. Звягинцева. Математическое моделирование во-
дородной проницаемости металлов. Воронеж, ВГТУ, 2012, 247 с.
[14]. Челяпина О. И. Термонапряженное состояние сферической оболоч-
ки с неоднородным коэффициентом теплопроводности. // Пробле-
мы машиностроения и автоматизации. 2014. № 1. С. 131—135.
Предисловие
Задача монографии заключается в изложении основ радиационной теории
и механизмов влияния облучения на металлы и сплавы. Весь текст разде-
лен на три части, каждая из которых включает отдельные главы, представ-
ляющие объединенную картину влияния облучения на изменение струк-
туры и свойств металлических материалов. Первая часть состоит из трех
глав, где изложены сведения о процессах радиационного повреждения
и математическом аппарате для количественной оценки пространствен-
ной структуры повреждений. В главе 1 рассматриваются передача энергии
и взаимодействие между налетающими частицами и атомами вещества.
Глава 2 посвящена определению числа смещений атомов при облучении
частицами, а в главе 3 описываются пространственные конфигурации
образующихся дефектов. В то время как радиационные повреждения ха-
рактеризуют состояние облученного материала, радиационное влияние
определяется поведением дефектов после их формирования в материале.
Во второй части (главы 4—11) рассмотрены последствия влияния облуче-
ния на физические характеристики металлов. В главе 4 дана оценка равно-
весной концентрации точечных дефектов и описано их влияние на диффу-
зию. В главе 5 обсуждаются взаимодействия между точечными дефектами
и диффузия дефектов под облучением, определяющие радиационное пове-
дение. В главе 6 описываются явления сегрегации, вызванные ускоренной
диффузией атомов под облучением. Главы 7 и 8 обращаются к явлениям
образования дислокаций, росту дислокационных петель и пор-дефектов,
определяющих особенности поведения облучаемых сплавов. Глава 9 по-
священа стабильности индуцированных облучением фаз, выпадением
частиц и их растворением. В главе 10 обсуждается влияние облучения ио-
нами на изменение состава за счет распыления, расслаивания и т. д. Нако-
нец, в главе 11 описывается моделирование нейтронного облучения путем
облучения ионами. Влияние радиационных повреждений на механиче-
ские свойства (часть III) отличается от воздействия на физические свой-
ства появлением напряжений. Упрочнение и деформация сплавов под
облучением обсуждаются в главе 12. Влияние облучения на образование
и распространение трещин при статическом или усталостном нагруже-
ниях описано в главе 13. Наконец, ползучесть и рост скорости деформа-
ции рассмотрены в главе 14. Облучение также сильно влияет на коррозию
и коррозионное растрескивание под напряжением. Возникновение этих
явлений может ограничить реализацию многих реакторных проектов.
В главе 15 рассматривается комбинированное влияние среды и облучения
на процессы коррозии под напряжениями и коррозионное растрескива-
ние, ухудшающие поведение сплавов. Главы содержат примеры и иллю-
страции воздействия радиации, а также расчетные количественные оцен-
ки описанных явлений. В конце каждой главы предлагаются вопросы для
закрепления главных понятий, вызывающих у читателя интерес к затро-
нутой теме. Текст, примеры, иллюстрации и задачи в конце главы обе-
спечивают всестороннее обсуждение радиационных явлений в металлах
и сплавах. Многие рассматриваемые вопросы опираются на элементарные
понятия термодинамики и металловедения. Сведения о кристаллической
структуре, дефектах и дислокациях, упругости и пластичности, дефор-
мации и разрушении, коррозии и коррозионном разрушении под напря-
жением дают основу для понимания радиационных явлений. Книга либо
представляет необходимые исходные данные по каждому из этих вопросов,
либо предлагает ссылки на другие источники с убедительной трактовкой
темы. Эта монография должна быть полезной для ученых, которые хотели
бы получить новые сведения про облучение материалов, или студентам,
желающим приобрести обобщенное представление о радиационных яв-
лениях. Несмотря на то что главы дополняют друг друга и каждая глава
основывается на сумме знаний, изложенных в предыдущих, возможно
также чтение выбранной главы только по определенной теме. В качестве
последнего замечания автор хотел бы отметить, что монография написана
на основе тщательного отбора и обобщения информации из многочислен-
ных журналов и докладов конференций в целях всестороннего охвата про-
цессов радиационного материаловедения. Проведена тщательная работа
по выбору надежных ссылок на источники разработок, графиков и таблиц,
содержащихся в книге. Автор обязан многим издателям, предоставившим
иллюстрации для монографии. Наконец, автор желает выразить благо-
дарность многим коллегам, студентам и друзьям, которые помогли ему
советами в этой работе. В частности, особая благодарность выражается
Джереми Басби, Toду Аллену, Майклу Ацмону, Роджеру Столлеру, Юрию
Осетски, Яну Робертсону и Брайену Вирсу за их реальный вклад в содер-
жание книги; Элайн Вести, Брайену Вагнеру и Син Лемеху за подготовку
иллюстраций; Черелин Дэвису и Овиду Тоадеру за их помощь в подготовке
рукописи и кино; Линн Рену, Дону Оландеру, Артуру Мотту, Майклу На-
стази, Стиву Цинклу, K. Фаллосу Mурти, Лу Мансуру и Питеру Андресену
за обзоры глав, Джону Кингу и Арденн Бементи за поддержку автора при
выполнении намеченной темы много лет тому назад.
Анн-Арбор, май 2007. Гэри С. Вас
Введение
Радиационное материаловедение, рассматривающее взаимодействие об-
лучения с материалом, представляет широкую отрасль знаний, охватыва-
ющую многие источники и виды облучения и материалов. Большая часть
наиболее сильных взаимодействий облучения с материалами происходит
в активной зоне ядерного реактора, где атомы конструкционных матери-
алов много раз смещаются за эксплуатационное время службы. Послед-
ствия воздействия радиации на конструкционные элементы включают:
изменения их формы и объема на десятки процентов, увеличение твер-
дости в пять и более раз, серьезное снижение пластичности, повышение
хрупкости и снижение коррозионной стойкости материалов в средах.
Для сохранения служебных характеристик элементов реактора требует-
ся глубокое понимание влияния облучения на материалы еще на стадии
проектирования и учет его либо путем выбора надлежащих эксплуата-
ционных режимов работы реактора, либо за счет создания новых, более
стойких к радиации материалов.
Привлекательность ядерной энергетики в настоящее время вызвана
большими достижениями в эксплуатации реакторов и четким понимани-
ем радиационной деградации технических систем. Кроме того, будущее
развитие ядерной энергетики обусловлено разработанными концепция-
ми безопасности и надежности создаваемых реакторов, предлагаемыми
усовершенствованиями переработки радиоактивных отходов, повыше-
нием эффективности выработки энергии и снижением издержек про-
изводства. Предполагается также, что дешевое производство водорода
экологически чистыми процессами в будущем приведет к развитию водо-
родной энергетики. Все это увеличивает затраты, большая часть которых
связана с новыми требованиями к материалам при проектировании ре-
акторов. Предполагается, что материалы будут эксплуатироваться в бо-
лее агрессивных условиях: при более высоких температурах и дозах об-
лучения. В статье журнала «Природа» Батлер [1], рассматривая проблемы
создания современных реакторов, считает, что поведение материалов,
определяемое специфичной радиационной средой реактора, делает науку
радиационного материаловедения главенствующей в мире будущей ядер-
ной энергетики. Именно с учетом этого была сформулирована цель дан-
ной монографии, направленная на ясное фундаментальное понимание
радиационного воздействия на конструкционные материалы.
Основными конструкционными материалами в реакторных систе-
мах являются кристаллические металлические сплавы. Фактически все
конструкционные материалы в реакторах являются металлическими
и многие из материалов, предлагаемых для использования в современных
реакторах при более агрессивных условиях эксплуатации, также являют-
ся металлами. Различные виды облучения: ионы, нейтроны, электроны
и гамма-лучи — обладают способностью смещать атомы из регулярных
положений решетки, что является основополагающей причиной измене-
ния свойств конструкционных материалов. Включение в круг рассмотре-
ния вопросов ионного облучения обусловлено их применением в других
областях техники, таких как ускорители для переработки ядерных отхо-
дов, или в создании новых материалов за счет использования ионных по-
токов. Все понятия по взаимодействию ионов с твердыми телами, пред-
ставленные в этой книге, применимы также к областям радиационных
процессов в атомном реакторе.
Влияние облучения на материалы основывается, в первую очередь,
на взаимодействии частицы, обладающей определенной энергией, с ве-
ществом. Так как это явление обусловлено несколькими этапами и про-
цессами, то первичным является смещение атома из регулярного поло-
жения решетки. Поскольку в книге главным образом рассматриваются
кристаллические твердые тела, в которых положение атома определяет-
ся кристаллической структурой, то облучение вызывает смещение ато-
ма из его регулярного положения и приводит к образованию вакансии.
Смещенный атом в конечном счете останавливается в промежутке между
участками решетки, становясь межузельным атомом. Образование пары
«вакансия — межузельный атом» является определяющим событием
в проявлении радиации в кристаллических твердых телах и известно под
названием « пара Френкеля» (ПФ). Присутствие ПФ и других радиацион-
ных повреждений определяет физические свойства, а с появлением на-
пряжений — и механическое поведение материалов при облучении.
Радиационный процесс повреждения, детально рассмотренный
в главе 1, заканчивается локализацией смещенного атома, обычно на-
зываемого первичным выбитым атомом (ПВА) (primary knock-on atom,
PKA), в промежуточном положении кристаллической решетки за время
приблизительно 10−11 с. Последующие явления, рассматриваемые как
физические следствия облучения, включают распухание, рост, фазовые
превращения, сегрегации и т. д. Например, кубик чистого никеля с разме-
ром каждой грани 1 см после облучения в реакторе (1022 н/cм2) изменится
до размера 1,06 см на сторону, вызвав изменение объема на 20 %. Измене-
ние объема или распухание протекает изотропно за счет формирования
в материале пор (см., например, рис. 8.1). Другой пример — радиационный
рост. Цилиндрический урановый образец длиной 10 см и диаметром 1 см
после облучения флюенсом 1020 н/cм2 увеличивает длину до 30 см и сни-
жает размер диаметра до 0,58 см, оставляя объем неизменным на уровне
7,85 см3, но при сильном искажении формы образца. Искажение формы
образца под облучением при постоянном объеме называют радиацион-
ным ростом.
Под облучением также встречаются случаи фазовых превращений.
В твердых растворах сплава Ni-12,8at%Al, облученного ионами Ni+ с энер-
гией 5 МэВ флюенсом 1016 см−2, формируется отдельная и отличная от ро-
дительской фаза Ni3Al (см., например, рис. 9.3). Формирование новой
фазы при облучении, известное как радиационно-индуцированное фа-
зовое превращение, имеет большое значение как при ионных, так и при
нейтронных облучениях. Последний пример физических радиационных
изменений связан с явлениями сегрегации. Сплав Ni-1at % Si после бом-
бардировки ионами Ni+ при 525 ◦C и дозе одно смещение на атом (СНА)
(displacements per atom, dpa) обогащается атомами Si на поверхности
границ зерен в количестве, превышающем содержание в объеме в 20—
60 раз (см., например, рис. 6.5). Перераспределение легирующих эле-
ментов на отдельных структурных участках известно как радиационно-
индуцированные сегрегации.
Вызванные облучением физические изменения действительно могут
быть весьма существенными. Но как изменится конструкционная це-
лостность компонентов? Эта сфера радиационного влияния на механи-
ческое поведение проявляется только при возникновении напряжений.
В этих случаях сплавы ведут себя совсем иначе, чем необлученные об-
разцы. Например, ударная вязкость облученной стали может резко сни-
зиться. Для необлученной стали поглощенная энергия зависит от темпе-
ратуры и, если при низких температурах уровень поглощенной энергии
мал и сталь становится хрупкой, то с повышением температуры способ-
ность поглощения энергии стальным образцом резко увеличивается. Об-
лучение стали нейтронами может до 5 раз уменьшить деформацию и бо-
лее чем в 10 раз увеличить прочность. Облучение может также повлиять
на изменение деформационной способности материала при высокой тем-
пературе. Наблюдается почти полная утрата ползучести из-за сильного
охрупчивания материала при облучении. Наконец, облучение нейтрона-
ми флюенсом > 5 · 1020 н/cм2 (E > 1 MэВ) в легководных реакторах приво-
дит к ускоренному межзеренному растрескиванию железа в аустенитных
сплавах на основе никеля. Это явление растрескивания весьма распро-
странено, поскольку оно встречается в большинстве аустенитных сплавов
для всех видов водных реакторов. Ясно, что любое из этих повреждений
окажет серьезное влияние на целостность конструкционных элементов
реактора. Понимание механизмов радиационного воздействия является
основой проектирования устойчивых конструкций или разработки но-
вых сплавов, более устойчивых к радиационным воздействиям. Как ока-
зывается, почти все радиационные последствия обусловлены общими,
связанными между собой различными дефектами, такими как: изолиро-
ванные вакансии и межузельные атомы, кластеры вакансий и межузель-
ных атомов, дислокационные линии и петли, поры и пузыри. Читатель
должен иметь в виду, что все виды дефектов существенны при переходе
от рассмотрения случаев физических повреждений к радиационным ме-
ханическим последствиям. Сначала обратимся к случаям радиационных
повреждений, поскольку они являются основой для понимания всех по-
следствий облучения. Начнем с количественного определения степени
радиационного повреждения, то есть количественной оценки числа ва-
кансий и межузельных атомов при столкновении с бомбардирующими
частицами и описания развития физического процесса взаимодействия.
Не сделав этого, мы не получим возможности понять степень поврежде-
ния материала. Важность определения последствий облучения и количе-
ственные оценки образующихся дефектов обсуждены подробно в главах
2 и 3, здесь же дана простая иллюстрация.
Число смещений, созданных потоком нейтронов, находится в слож-
ной зависимости от энергии нейтронов. На верхнем рис. В.1 видим, что
предел текучести нержавеющей стали 316 находится в заметной зависи-
мости от флюенса нейтронов с индивидуальными спектрами энергий
нейтронов [2]. OWR — испытательный реактор с типичным нейтронным
спектром легководных реакторов (ЛВР); RTNS-II — источник, произво-
дящий чистый поток нейтронов с энергией 14 МэВ, и установка LASREF,
обладающая широким спектром нейтронов высоких энергий. Однако при
построении зависимости предела текучести сплава от числа смещений
(СНА) данные для всех трех видов источников нейтронов легко уклады-
ваются на единую кривую (нижний рис. В.1).
Поскольку корреляция предела текучести с флюенсом нейтронов
отсутствует, то удобнее представлять последствия влияния облучения
Число смещений на атом
Изменение предела текучести, МПа Изменение предела текучести, МПа
Рис. В.1. Сравнение изменений предела текучести нержавеющей стали
316, облученной источниками с тремя спектрами энергии ней-
тронов. В то время как корреляция предела текучести с флюен-
сом нейтронов отсутствует, существует четкая связь между пре-
делом текучести и числом смещений на атом (СНА) (на основе
работы [2])
Введение 25
на свойства материалов количественным числом смещений R (СНА)
в единице объема за единицу времени (cм3/c):
R N E E E
E
E =
⋅
= ∫ CHA
см с
d
3 i D i i φ( )σ ( )
ˆ
, (В.1)
где N — плотность числа атомов, Ê и Ě — максимальная и минимальная
энергия бомбардирующей частицы, φ(Ei) — энергия, зависимая от потока
частиц, и σD(Ei) — поперечное сечение смещений, зависящее от энергии
σ σ ν D i i ( ) ( ) ( )d
ˆ
E E T T
T
T = ∫ , (В.2)
где Τ — максимальная энергия, передаваемая при столкновении частицы
с энергией Ei атому решетки; Ť — минимальная энергия, переданная при
столкновении частицы с энергий Ei атому решетки, σ(Ei, T) — попереч-
ное сечение столк новения частицы с энергией Ei, приводящее к передаче
энергии T к повреждаемому атому; ν(T) — число смещений на первичный
атом отдачи. Таким образом, в конечном счете мы получаем
R N E E T T T E
T
T
E
E = ∫ ∫ φ( )σ( , )ν( )
ˆ ˆ
i i i d d . (В.3)
Две основные переменные в этом уравнении — σ(Ei, T) и ν(T). Член
σ(Ei, T) характеризует передачу энергии от налетающей частицы к пер-
вому атому, с которым произошло столкновение в мишени ( первичный
выбитый атом (ПВА)). Определение σ(Ei, T) — основная задача главы 1.
Вторая задача заключается в определении ν(T) (общего числа смещений),
которые ПВА продолжает вызывать в материале. Его определение под-
робно описано в главе 2. В целом обе задачи приводят к оценке общего
числа смещений, вызванных налетающей частицей с энергией Ei, и урав-
нение (В.3) учитывает распределение энергии этих частиц. В результате
получаем общее число смещений в мишени от потока частиц с известным
распределением энергии. Мы будем часто возвращаться к этому уравне-
нию, поскольку оно представляет сущность определения радиационных
повреждений в твердых телах.
ГЛАВА 1
ПРОЦЕССЫ РАДИОЦИОННЫХ ПОВРЕЖДЕНИЙ
Процессы радиационного повреждения обусловлены передачей энергии
налетающей частицы кристаллу и результирующим распределением ато-
мов в кристалле после завершения события. Радиационные повреждения
включают несколько разных процессов. Эти процессы и порядок их воз-
никновения следующие.
Взаимодействие частицы 1. высокой энергии с атомом кристалла.
2. Передача кинетической энергии атому решетки и образование
первичного выбитого атома (ПВА).
3. Смещение атома из участка решетки.
4. Перемещение смещенного атома в решетке и создание дополни-
тельных атомов отдачи.
5. Образование каскада смещений (набора точечных дефектов, соз-
данных ПВА).
6. Конечное состояние ПВА в виде межузельного атома.
Радиационные процессы повреждения заканчиваются, когда ПВА
останавливается и становится межузельным атомом в решетке. В резуль-
тате радиационного повреждения создается набор точечных дефектов
(вакансий и меж узельных атомов) и скоплений этих дефектов в кристал-
лической решетке. Стоит заметить, что вся эта цепь событий совершается
за время приблизительно 10–11 с (см. табл. 1.1). Последующие события, во-
влекающие перемещение точечных дефектов и их скоплений в кластер-
ные объединения или приводящие к их расслоению, классифицируются
как радиационные повреждения.
Чтобы понять и количественно охарактеризовать радиационные
повреждения, необходимо прежде всего знать, как описать взаимодей-
ствие частиц, вызывающее смещение в кристалле, и затем оценить этот
процесс количественно. Самая простая модель основывается на при-
ближенном рассмотрении столкновения твердых сфер с появлением
Процессы радиационных повреждений 27
смещений, когда переданная энергия достаточно высока, чтобы выве-
сти смещаемый атом из регулярного положения в решетке. В дополне-
ние к передаче энергии за счет столкновений твердых сфер движущийся
атом теряет энергию путем взаимодействия с электронами в кулонов-
ским поле соседних атомов периодической кристаллической решетки
и т. д. Проблема сводится к следующему. Если мы можем описать зависи-
мый от энергии поток падающих частиц и поперечное сечение передачи
энергии (вероятность) при столкновениях атомов, то можно определить
количество образова вшихся ПВА с различными энергиями и число сме-
щенных атомов.
В этой главе мы сосредоточим внимание на количественном опреде-
лении энергии, переданной при взаимодействии тел, а также на опреде-
лении поперечного сечения передачи энергии. Начнем с реакций взаимо-
действия нейтронов с ядрами, так как нейтральность нейтрона позволяет
оценивать взаимодействие более точно.
Таблица 1.1. Приближенный масштаб времени образования дефектов
в облучаемых металлах [1]
Время,
с
Процесс Результат
10–18 Передача энергии от падающей
частицы
Образование ПВА
10–13 Перемещение атомов в решетке
за счет взаимодействия с ПВА
Каскад смещений
10–11 Рассеяние энергии, спонтанная
рекомбинация и образование
кластеров
Стабильные пары Френкеля
и кластеры дефектов
10–8 Реакция дефектов и термическая
миграция
Рекомбинация ПФ, захват,
образование кластеров,
эмиссия дефектов
Вслед за созданием ПВА происходят дальнейшие взаимодействия
между атомами, при которых необходим учет положительных зарядов
ядер и отрицательных зарядов электронного облака. Фактически ме-
жатомные взаимодействия с низким порогом энергии взаимодействия
ион — атом в активной зоне и при ионном облучении в ускорителях с ши-
роким диапазоном энергий частиц могут привести к последнему типу
взаимодействия — ионизирующему столк новению.
1.1.Взаимодействие нейтронов с атомными ядрами
1.1.1. Упругое рассеяние
Благодаря электрической нейтральности упругие соударения нейтронов
с атомными ядрами могут быть представлены как столкновения твердых
сфер. При прохождении нейтронов через тело существует ограниченная
вероятность их столкновения с атомами решетки и передачи части энер-
гии атому отдачи. Эта вероятность определена двойным дифференциаль-
ным поперечным сечением рассеяния (по энергии и углу), σs(Ei, Ef, Ω), где,
Ei и Ef — начальная и конечная энергии, а Ω — пространственный угол
рассеяния нейтрона. Нас часто интересует только вероятность рассеяния
в зависимости от Ei и угла рассеяния. Однократное поперечное сечение
рассеяния представлено в виде
σs (Ei,Ω) = ∫σs (Ei,Ef ,Ω)dEf . (1.1)
Полная вероятность рассеяния нейтронов энергии Ei равна
σ σ s i s i (E ) = ∫ (E ,Ω)dΩ. (1.2)
В радиационных исследованиях мы заинтересованы поведением
столкну вшегося атома. Следовательно, мы ищем поперечное сечение
передачи энергии σs(Ei, T) или вероятность упругого рассеяния нейтрона
с энергий Ei на атоме массой М и передаче энергии отдачи T атому при
столкновении. Но сначала необходимо найти энергию T и угол рассея-
ния. Чтобы сделать это, следует рассмотреть динамику двойных упругих
соударений в системе центра масс и в лабораторной системе координат.
На рис. 1.1 показаны траектории пути нейтрона и ядра мишени до и
после рассеяния, как это видно из лабораторной системы отсчета и из си-
стемы центра масс. Самый легкий способ получения соотношения меж-
ду энергией взаимодействующего нейтрона, угла рассеяния и передан-
ной энергией заключается в анализе динамики столкновения в системе
центра масс (СМ). Когда столкновение рассматривается в системе цен-
тра масс, столкнувшиеся частицы, кажется, перемещаются в противопо-
ложных друг от друга направлениях. Закон сохранения импульса по оси
сближения и отталкивания приводит к соотношениям
υ
υ
c c
c c
m VM
m VM
− =
′ − ′ =
0
0
,
,
(1.3)
1.1. Взаимодействия нейтронов с атомными ядрами 29
закон сохранения кинетической энергии дает
1
2
1
2
1
2
1
2
mυ2 MV 2 mυ 2 MV 2 c c c c + = ′ + ′. (1.4)
Используя уравнение (1.3) для исключения υc и υxc, получаем
a
б
Лабораторное
состояние
Состояние СМ После СМ
Послелабораторное
фсостояние
Рис. 1.1. Векторы скорости (a) в лабораторной системе и в системе центра
масс (ЦМ); диаграмма (б), связывающая скорости в этих двух
системах
30 Глава 1. Процессы радиационных повреждений
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
m 2
M
m
M V m
M
m
M V ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
+
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
= ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
+
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
′ c c. (1.5)
Поскольку Vc = Vcx, то υc = υxc, так как ядра мишени в лабораторной си-
стеме координат находятся в покое и перемещаются налево со скоростью
Vс в системе СМ, то сама система СМ должна перемещаться направо от-
носительно лабораторной системы с той же самой скоростью Vc. Таким
образом, если мы используем VCM для обозначения скорости системы СМ
относительно лабораторной системы, то величины VCM и Vc должны быть
одними и теми же (но противо положенных направлений), что можно
представить в следующем виде:
υ υ υ c CM c = − = − V V. (1.7)
Используя уравнение (1.3), получим VCM:
V
m
M m CM =
+
⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
υ. (1.8)
Напомним, что мы хотим связать энергию T, переданную соударяе-
мому атому под углом рассеяния φ в системе СМ. Используя векторное
сложение, мы можем связать скорости ядер отдачи мишени в лаборатор-
ной системе Vx под углом φ, как показано на рис. 1.1б. Используя схемы,
представленные на рис. 1.1а, с учетом закона косинуса получим
V ′ =V +V ′ − V V ′
2 2 2 2 CM c CM c cosφ. (1.9)
Скорости в уравнениях 1.9 могут быть записаны в энергетических
единицах:
V ′ =
T
M
2 2 , V
E
m
m
m M CM
2 i
2 2 =
+
⎛⎝ ⎜⎞⎠ ⎟
и V ′ = ′
m
M
E c m
2
2
2 .
Подставив эти выражения в (1.9), получим
T
mM
m M
E
m
M
E
m
m M
= E E
( + ) + ′ −
+
⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
( ′ ) 2
1 2 2 i m i m
/ cosφ, (1.10a)
или
T = η η E + η E′ − (E E′ )
η
η φ 1 2
1
2
1
1 2 2 i m i m
/ cos , (1.10б)
где η1 = m / (m + M) и η2 = M / (m + M).
1.1. Взаимодействия нейтронов с атомными ядрами 31
Так как мы хотим найти переданную энергию T в функции только на-
чальной энергии и угла рассеяния, то используем соотношения между Ei
и Exm для исключения Exm. Из (1.7) и (1.8) видно, что
′= −
+
⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
=
+
⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
υ υ υ υ c
m
m M
M
m M
. (1.11)
Записывая (1.11) в энергетических единицах, получим
′ =
+
⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
E E =
M
m M
E m i i η2
2 . (1.12)
Подставив это выражение в (1.10б), получим в упрощенном виде
T = γ E ( − φ)
2
1 i cos , (1.13)
где
γ =
( + ) =
( + )
4 4
1 2 2
mM
M m
A
A
. (1.14)
Если 1 = m и A = M, то T зависит только от одного неизвестного φ,
как показано на рис. 1.2. Передаваемая энергия возрастает от 0 при φ = 0
до максимума γEi при φ = π, или Tmin = Ť = 0 и Tmax = Τ = γEi. Таким образом,
переданная энергия максимальна при появлении обратного рассеяния
и минимальна, когда частица не попадает в цель, не вызывая какого-либо
изменения ее направления (φ = 0).
Горизонтальный угол рассеяния,
(1–cos )
Энергия ПВА, T
Рис. 1.2. Передача энергии в зависимости от угла рассеяния в системе
центра масс
32 Глава 1. Процессы радиационных повреждений
Пример 1.1. Для случая столкновения нейтрона с водородным атомом
Τ n-H/Ei = 1,0, а при столкновении нейтрона с атомом урана Τ n-U/Ei = 0,017.
Наоборот, при сравнении взаимодействия атома железа с ионами ксе-
нона 100 кэВ Xe+ или с электронами, значение γ при взаимодействии
Xe-Fe равно 0,83, приводя к значению T = 83 000 эВ. Однако величина
γ при взаимодействии с e—-Fe 0,00004 дает значение T, равное только
4 эВ, что, как будет видно из главы 2, явно недостаточно для смещения
проникающей частицы (θ) и атома отдачи (α) могут быть написаны
в терминах углов рассеяния (φ) в системе центра масс с использовани-
ем векторной диаграммы рис. 1.1б. Применим закон синусов к рис. 1.1б
′
υ ′
υ
sin( ) sin
c ,
где υxc представлено уравнениями (1.6) и (1.7):
′= −
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
υ υ
c CM
CM
V
V
1 ,
и, используя (1.8), получим
υ′ = cc CM V
M
m
.
Применив закон косинусов к тому же треугольнику, получим
υ′ = υ′ + − υ′ ( π − φ)
2 2 2 2 c CM CM c V V cos .
Объединив три последних уравнения, выразим значение θ в функ-
ции φ:
tan
( )sin
( )cos
θ φ
φ
=
+
M m
1 M m
.
Применив закон синусов к векторной диаграмме рис. 1.lб, полу-
чим для смещенного атома
V
′ = V ′ c
sinα sinφ
.
Объединив этот результат с (1.6) и (1.9), где энергии выражены
в скоростных терминах, получим
tan
cos
α φ
=
1−
.
атома железа в решетке. Углы рассеяния в лабораторной системе для
для рассеянной частицы
υ′ = π −
θ
θ
⎛
⎝
⎞
⎠
C = M
cc C
c C
M υ ) C M 2V υ C 1+
sin
φ
1.1. Взаимодействия нейтронов с атомными ядрами 33
Мы по-прежнему заинтересованы в оценке вероятности передачи
данной энергии T атому отдачи. Это зависит от значения дифференци-
ального поперечного сечения рассеяния. Определим σs(Ei, φ) dΩ как веро-
ятность столкновения, представляющую рассеяние падающей частицы
от угла центра масс в диапазоне (φ, dΩ), где dΩ — элемент телесного угла
в направлении рассеяния φ. Так как вероятности рассеяния, написанные
в преобразованных переменных, эквивалентны, то σs(Ei, φ) может быть за-
писан в терминах переменных СМ:
σ σ φ s i s i (E ,T)dT = (E , )dΩ. (1.15)
Используя рис. 1.3 для связи dΩ с dφ и имея по определению
dΩ = dA r 2, (1.16)
получим из рис. l.4
d
d
Ω = d ( )=
r r
r
φ π φ
π φ φ
2
2 2
sin
sin . (1.17)
Подставив (1.17) в (1.15), получим
σ σ φ πσ φ φ φ s i s i s i (E ,T)dT = (E , )dΩ = 2 (E , )in d . (1.18)
Так как T = γ/2Ei (1 – cos φ), то dT = Ei sin φ dφ
и σ π
γ
σ φ s i
i
s i (E ,T) ( , )
E
= E 4 . (1.19)
На рис. 1.5 показано различие в дифференциальных поперечных се-
чениях рассеяния в единицах площади телесного угла в зависимости
dA
d
Полный конус с углом d
Рис. 1.3. Рассеяние в телесном угловом элементе dΩ, определяемом как
dA/r2
34 Глава 1. Процессы радиационных повреждений
от площади единицы угла в соответствии с уравнением (1.18). Хотя число
рассеянных атомов при приращении угла dφ около φ = π/2 больше, чем
при угловом приращении dφ вблизи значений φ = 0 или π (рис. 1.5а), число
охвата сферической поверхности в единицах телесного угла является по-
стоянным по всем углам φ (рис. 1.5б). Следовательно, значения dТ/dφ из-
меняются синусоидальным образом от φ, но dT/dΩ не зависит от φ.
Используя уравнения (1.2) и (1.18), получим полное упругое попереч-
ное сечение рассеяния
σs (Ei ) = ∫σs (Ei,φ)dΩ = 2π∫σs (Ei,φ)sinφdφ.
Если предположить, что упругое рассеяние в системе СМ не зависит
от угла рассеяния (то есть рассеяние изотропно, рис. 1.6), то
σ σ φ πσ φ φφ πσ φ S i S i S i S i (E ) = ∫ (E , )dΩ = 2 (E , )∫sin d = 4 (E , ) (1.20)
rd
d
rsin
Рис. 1. 4. Телесный угол dΩ, появляющийся при угле рассеяния φ, возрас-
тает с углом dφ
a б
(), борн/рад
(),
борн/стерадиан
Рис. 1.5. Изотропное дифференциальное поперечное сечение рассеяния
в единицах площади угла рассеяния (a) и (б) площади угла рас-
сеяния на единицу телесного угла
1.1. Взаимодействия нейтронов с атомными ядрами 35
и σ σ
γ S i
i
i
( , )
( )
E T
E
E
= S , (1.21)
что означает независимость от T! Таким образом, вероятность σs(Ei, T),
что нейтрон с энергией Ei, упруго рассеянный на атоме массы М, передаст
энергию отдачи T пораженному атому и не зависит от энергии отдачи. Те-
перь средняя энергия отдачи может быть вычислена как
T
T ET T
E T T
T T T E T
T
T
T = = + ≈ = ∫
∫
σ
σ
S i γ
S i
i
d
d
( , )
( , )
ˆ ˆ ˆ
ˆ
2 2 2
. (1.22)
Используя уравнение (1.22) для соударения нейтронов 1 MэВ с резкой
массой элементов, получим
1 МэВ n on C: γ = 0,28 Τ¯ = 0,14 МэВ
1 МэВ n on Fe: γ = 0,069 Τ¯ = 0,035 МэВ
1 МэВ n on U: γ = 0,017 Τ¯ = 0,009 МэВ.
В дополнение к только что обсужденному упругому рассеянию энер-
гия может передаваться неупругим рассеянием по реакциям (n, 2n) и (n, γ).
Первые две реакции становятся значимыми при энергиях нейтронов со-
ответственно выше 1,0 и 8,0 MэВ, в то время как на 235U это рассеяние про-
исходит при энергиях тепловых нейтронов.
cos
14 МэВ
0,5 МэВ
S()(миллибарн/стерадиан)
Рис. 1.6. Дифференциальное упругое поперечное сечение рассеяния для
C12 при энергии нейтронов 0,5 МэВ и 14 МэВ в функции косину-
са угла рассеяния в системе центра масс [2]
36 Глава 1. Процессы радиационных повреждений
1.1.2. Неупругое рассеяние
Неупругое рассеяние характеризуется реакцией, в которой испускаемая
частица та же, что и захваченная частица, но в системе осуществляется
потеря кинетической энергии, заключающаяся, например, в энергии воз-
буждения ядер элемента N14(p, p’)N14* или C14(n, n’)C14*. Различия в энерги-
ях групп рассеянных частиц соответствуют энергии возбужденных уров-
ней в ядрах элемента
−Q =ΣKE −ΣKE =ΣM c −ΣM c f
f
i
i
f
f
i
i
2 2.
При неупругом столкновении нейтрон поглощается ядром, формируя
составное ядро, которое испускает нейтрон и γ-лучи. Возможно испуска-
ние более чем одного γ-кванта и ядро может остаться в возбужденном
состоянии в процессе взаимодействия. Неупругое поперечное сечение
рассеяния может быть подразделено на разрешенные и неразрешенные
резонансные компоненты [3].
Для определенного (j-го резонанса) ядра мишени поперечное сечение
рассеяния является функцией Qj, энергия γ-распада остаточного ядра
всегда отрицательна. Аналогично уравнению (1.15) можно написать ра-
венства σs j(Ei, Qj, T)dT = σs j(Ei, Qj, φ) dΩ и получить
σ σ φ π φ φ
s i s i
d
d j j j j E Q T E Q
T
( , , ) = ( , , )2 sin . (1.23)
Однако выражение для T в уравнении (1.13) не выполняется для неу-
пругих столкновений, так как кинетическая энергия не сохраняется. Вме-
сто этого необходимо обратить внимание на сохранение полной энергии.
Если ядро мишени М в лабораторной системе находится в покое и части-
ца M обладает энергией Ei, то баланс энергии в координатах ЦМ равен
M
M m
E Q E E j +
+ = ′ + ′ i m M, (1.24)
где Qj — энергия реакции и Exm и ExM — кинетические энергии в коорди-
натах ЦМ вылетающей частицы и ядра соответственно. Используя закон
сохранения импульса
mE′ =ME′ m M, (1.25)
и объединив уравнение (1.24) с уравнением (1.25) (в предположении, что
массы частицы и ядра мишени не изменяются после реакции), получим
1.1. Взаимодействия нейтронов с атомными ядрами 37
′ =
+
+
+
⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
E
M
M m
Q
M
M m
E m j i ,
E′ = Q + E m j i η η 2 2 ( ). (1.26)
Записывая общее выражение для T (l.l0б)
T = η η E + η E′ − E E′
η
η ϕ 1 2
1
2
1
2 1 2 i m i m ( ) / cos
и заменив Exm из выражения (1.26), получим
T E Q E E E Q
A
A
Q
A j j
j ( , , ) cos
/
i i i i φ γ γ φ = − + + ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
+
2 2 +
1
1
1 2
. (1.27)
Теперь выраж ение для dT/dφ имеет вид
d
d
i
i
i
T E Q
E
Q
E
A
A
j j ( , , )
sin
/ φ
ϕ
= γ ⎡ + + ϕ
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
2
1
1
1 2
. (1.28)
Заметим, что в случае упругих соударений Qj = 0 и уравнение (1.27)
превращается в (1.13). Если мы теперь предположим, что неупругое рас-
сеяние изотропно в системе ЦМ, то тогда получим
σ σ φ πσ φ s i s i s i d j j j j j j (E ,Q ) = ∫ (E ,Q , ) Ω = 4 (E ,Q , ) . (1.29)
Подстановка значений (1.28) и (1.29) в (1.23) приводит к соотношению
для неупругих соударений в разрешенной резонансной области
σ
σ
γ
s i
s i
i
i
j j
j j
j
E Q T
E Q
E
Q
E
A
A
( , , )
( , )
/ =
+ + ⎛
⎝ ⎜⎞
⎠ ⎟
1
1
1 2. (1.30)
Когда сложное ядро возбуждено при достаточно высоких энергиях,
уровни резонанса накладываются и больше индивидуально не различа-
ются. Поперечное сечение неупругого рассеяния рассматривается так же,
как для сплошной среды и описывается моделью испарения [3] в виде
σ σ is i
i m
i m
( , , ) ( )
( , )
( )/
E E T E
f E E
A
E E
i m′ = ′
+
4 ′
1
1
1 2
,
σ σ is i is i
i m
i m
m d m ( , ) ( )
( , )
( )/
max
E T E
f E E
A
E E
E
E = ′
+
′
′ ′ ∫
4
1
1
0 1 2
, (1.31)
где f(Ei, Exm) является функцией распределения энергии Exm рассеянного
нейтрона в системе ЦМ, которая представляет вероятность, что нейтрон
из движущегося составного ядра испарен. Его значение в системе ЦМ
представляется ? температурой ядра ED = kT
f E E
E
I E
E E ( , )
( )
/
i m
m
i
′ = e m D ′ (− ′ ) , (1.32)
I E E
E
E
( ) E E
max
max /
i D
m
D
e m D = − + ′ ⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
2 1 1 − ′ . (1.33)
Коэффициент нормировки имеет вид
f E E E
E
( , )
max
i m m d m ′ ′= ′ ∫ 1
0
. (1.34)
Максимальное значение Exm дано в уравнении (1.26) с самым низ-
ким энергетическим уровнем Q — Q1, и минимальное значение Exm равно
нулю.
1.1.3. Реакции (n, 2n)
Такие реакции, как (n, 2n), связанные с появлением дополнительных
нейтронов, приводят к заметным радиационным эффектам, способным
вызвать повреждения или трансмутацию ядер мишени. Согласно моде-
ли испускания 2n нейтронов, основанной на работах Oдетта [4] и Сего-
ва [5], второй нейтрон испускается, только если остаточное возбуждение
ядер после эмиссии первого нейтрона превышает энергию связи нейтро-
на в массе М нуклида. Энергия отдачи после эмиссии первого нейтрона
определяется средним значением (cos φ = 0 в выражении (1.10б)) и показа-
на на рис. 1.7a в лабораторной системе. Затем рассмотрим вторую реакцию
(эмиссию) в системе ЦМ, представленную на рис. 1.7б. Начнем с исполь-
зования закона косинусов для связи Vc с φ
V ′′ =V ′ +V ′′ − V ′V ′′
2 2 2 2 c ccosφ. (1.35)
Из рис. 1.7а имеем
1
2
MV ′2 =T или V ′ =
T
M
2 2 ,
а из рис. 1.7б имеем
1
2
(M −m)V ′′2 = E′′ c M или ′′ = ′′
−
V
E
M m c
2 M 2 .
1.1. Взаимодействия нейтронов с атомными ядрами 39
Используя закон сохранения импульса
(M −m)V ′′ = m ′′ c c υ, (1.36)
после возведения в квадрат получим
′′ =
−
⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
′′ =
( − ) V ′′
m
M m
m
M m
E c c m
2
2
2
2 υ . (1.37)
Далее с учетом (1.35) имеем
′′ = +
−
′′ −
−
⎛ ′′
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
V
T
M
m
M m
E
m
M m M
E T
2
2 2
1 2 2 2
2
2 2
( ) ( )
cos
/
m m φ, (1.38)
где Τ¯ = η1η2Ei + (η1/η2) Exm — среднее значение энергии отдачи после эмис-
сии первого нейтрона. Записывая V2 в терминах энергии, получим зна-
чение энергии отдачи после второй эмиссии
T = M −m V ′′ 1
2
( ) 2
= − +
−
′′ − ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
′′ M m
M
T
m
M m
E
m
M
E T m m 2
1 2
1 2
/
( ) / cosφ
= − +
−
′′ − ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
′′ A
A
T
A
E
A
T E
1 1
1
2
1 1 2
1 2
m m
/
( ) / cosφ
=
−
′′ + − −
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
′′ A
A
E
A
A
T TE
1
1
1 2
2
1
2
1 2
1 2 η
η
η
η
φ m m
/
( ) / cos . (1.39)
a б
Реакция после
1-го столкновения
Реакция после
2-го столкновения
Рис. 1.7. Векторы скорости для реакции (n, 2n) в лабораторной системе (a)
и в системе центра масс (б)
40 Глава 1. Процессы радиационных повреждений
Поперечное сечение реакции (n, 2n) представляет особый случай
неупругого поперечного сечения рассеяния, приведенного в уравнении
(1.31):
σ σ n n i m m n n i
m
i
m
i m
e m D
, , ( , , , ) ( )
( ) ( , ) 2 2 E E E T E
E
I E
E
I E E
′ ′′ = ′ E E ′′
′
− ′ e−Em′′ ED
и σn n i
m
i
m
i m
e m D e
i
m D
i
, ( , )
( ) ( , ) 2 0 0
E T
E
I E
E
I E E
E E
E U
E E
E = ′ ′′
′
− − ′ − − ′′ ∫ U E
E E
− ′ ∫ ′ ′′ m d d m m, (1.40)
где I(Ei) приведено в уравнении (1.33) при Exm
max = Ei – U и I(Ei, Exm) с Exmmax,
замененным на Em
max = Ei – U – Exm, и для реакции (n, 2n) U = 0 [3].
1.1.4. Реакции (n, γ)
Другой класс реакций, который может повлиять на степень радиацион-
ного повреждения, связан с эмиссией фотона. Эти реакции важны, так
как энергия выбитого ядра достаточна для смещения атома. Как позже
увидим, этот тип смещения особенно заметен при радиационном по-
вреждении активной зоны судовых реакторных корпусов под давлени-
ем, в которых поток гамма-лучей более сопоставим с потоком быстрых
нейтронов, чем с уровнем нейтронов активной зоны ядерного реактора.
Напомним законы сохранения импульса и энергии уравнений (1.3) и (1.4)
и схему рис. 1.1 с (n, γ)-реакцией. Ei ~ 0 (поскольку эта реакция проходит
с тепловыми нейтронами энергий 0,025 эВ), Ef ≡ 0 (так как нет рассеянных
нейтронов) и Q равноценно значению различия масс между начальными
частицами и составным ядром. Когда составное ядро не возбуждено, оно
испускает γ-квант с этой энергией. Сохранение импульса показывает, что
отдача ядра должна проходить с импульсом
(m + M)Vcx = Eγ/c. (1.41)
Заметим, что это является приближением, так как мы не исключи-
ли дефект массы из составного ядра. Возведение в квадрат обеих частей
уравнения (1.41) и деление на 2(m + M) дает
1
2 2
2
2
2 m M V
E
m M c
( + ) ′ =
c ( + )
γ .
Как в случае упругого рассеяния, T можно представить в виде
T V V V V
M m = + ′ − ′ ( ) + ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
CM c CM c
2 2 2
2
cosφ ,
1.1. Взаимодействия нейтронов с атомными ядрами 41
но, исключая VCM << Vcx, получим лучшую оценку
T
m M
V
E
M mc
≅ + ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
′ =
2 2( + )
2
2
c 2
γ .
Предположим далее, что это значение T представляет максимальную
энергию отдачи. Но так как не вся энергия Q будет испускаться γ-лучами,
то среднюю энергию отдачи следует оценить как половину значения мак-
симальной энергии отдачи
Таблица 1.2. Передача энергии и поперечное сечение передачи для раз-
личных видов соударения нейтронов с атомами
Вид соуда-
рения
Передача энергии и поперечное сечение передачи Урав-
нение
в тексте
Упругое
рассеяние T = E − γ φ
2
1 i( cos ) (1.13)
σ σ
γ s i
s i
i
( , )
( )
E T
E
E
= (1.21)
Неупругое
рассеяние T E Q E E E Q
A
A
Q
A j
j ( , , ) cos
/
i i i i i φ γ γ φ = − + + ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
+
2 2 +
1
1
1 2
(1.27)
резонансная область
σ
σ
γ
s i
s i
i
i
,
,
/ ( , , )
( , )
j j
j j
j
E Q T
E Q
E
Q
E
A
A
=
+ + ⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
1
1
1 2 (1.30)
неразрешенная резонансная область
σ σ is i is i
i m
i m
m d m ( , ) ( )
( , )
( , )/
max
E T E
f E E
A
E E
E
E = ′
+
′
′ ′ ∫
4
1
1
0 1 2 (1.31)
(n, 2n)
T
A
A
E
A
A
= T T E
−
′′ + − −
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
′′
1
1
1 2
2
1
2
1 2
1 2 η
η
η
η
φ m m
/
( ) / cos (1.39)
σn n i
m
i
m
i m
e m D e d
i
m D
, ( , )
( ) ( , ) 2 0
E T
E
I E
E
I E E
E E E
E U
= ′ ⋅ ′′ E E
′
− − ′ − ′′ ′ ∫ m m d i m ′′ − − ′ ∫ E
E U E
0 (1.40)
(n, γ)
T
E
M mc
≅
+
γ
2
4( ) 2
(1.42)
σ σ n γ i
i i
, ( )
( )/( )
E
E
E E E
=
[ − ] +
⎧⎨ ⎪
⎩⎪
⎫⎬ ⎪
⎭⎪
0
0
0
2
1
Γ 2 1 (1.44)
42 Глава 1. Процессы радиационных повреждений
T
E
M mc
≅
( + )
γ
2
4 2
. (1.42)
Поперечное сечение захвата при излучении получено по одноуров-
невой формуле Брейта — Вигнера, когда у ядер мишени собственный мо-
мент импульса равен нулю, а у составного ядра есть нейтронная ширина
Γn, радиационная ширина Γg, полная ширина Γ, а E0 — энергия резонанса
и λ — длина волны [6]:
σ πλ γ
γ
n i
n
i
, ( )
( ) ( )
E
E E
=
− +
2
0
2 2 2
Γ Γ
Γ
. (1.43)
Выразив уравнение (1.43) в терминах σ0, найдем максимальное значе-
ние поперечного сечения захвата при излучении (для E = Е0), приняв Γn
пропорционально 1/λ и E :
σ σ n γ i
i i
, ( )
( )/( )
E
E
E E E
=
[ − ] +
⎧⎨ ⎪
⎩⎪
⎫⎬ ⎪
⎭⎪ 0
0
0
2
1
Γ 2 1
. (1.44)
Табл. 1.2 предоставляет сводку выражений передачи энергии и по-
перечных сечений передачи энергии для различных типов реакций, рас-
смотренных в разделе 1.1.
1.2. Взаимодействие между ионами и атомами
Столкновение ионов с атомами или атомов с атомами определяется взаи-
модействиями электронных облаков, электронного облака с ядром и вза-
имодействием между ядрами. Эти взаимодействия описываются, как
известно, межатомными потенциалами. Для того чтобы определить по-
перечное сечение передачи энергии между взаимодействующими атома-
ми, необходимо представить функции потенциала, которые управляют
таким взаимодействием. К сожалению, не существует какой-либо единой
функции, описывающей все взаимодействия. Природа взаимодействия
в значительной степени зависит от энергии атома и, следовательно,
от наименьшего расстояния близких ядер. В следующем разделе рассма-
тривается сводка межатомных потенциалов [7].
1.2.1. Межатомные потенциалы
Конечный результат нейтронно-ядерного взаимодействия — создание
первичного атома отдачи с некоторым запасом кинетической энергии.
1.2. Взаимодействие между ионами и атомами 43
Этот атом осуществит последующие столкновения с другими атомами
кристалла. Знание сил, действующих между двумя соударяющимися ато-
мами, представляет основу задачи радиационного повреждения, без ко-
торого надлежащее описание первичного акта соударения и образования
последующих дефектов структуры невозможно. Нам необходимо опреде-
лить силы взаимодействия между подобными атомами, различными ато-
мами или ионами и атомами. Описание взаимодействий между атомами
проведено с использованием функции потенциала. Напомним, что ато-
мы (обычно) электрически нейтральны, но составлены из положитель-
ных и отрицательных компонентов, что не исключает их пространствен-
ного взаимодействия. Известно, что потенциальная энергия между двумя
зарядами одного знака, расположенными на расстоянии r, описывается
хорошо известным уравнением Кулона
V r k
r e ( )= ε2
, (1.45)
где ke = 1
4 0 πε
— постоянная Кулона, ε0 — электрическая постоянная, ε —
единичный электронный заряд и ε2 = 1,44 эВ/нм. Однако в случае с атома-
ми заряженные ядра окружены электронным облаком противоположного
знака. Очевидно, что функция потенциала, описывающая взаимодей-
ствие между атомами, намного более сложна. Даже в самых простых слу-
чаях V(r) никогда не определялся точно, но некоторые упрощенные со-
ображения показывают, что взаимодействие должно определяться двумя
различными вкладами в диапазоне интересующих нас расстояний. Воз-
можно, самой простой из всех потенциальных функций является модель
« твердые сферы». Этот потенциал описывается следующим образом:
V r
r r
r r
( )
.
=
>
∞ ≤
⎧⎨⎩
0 0
0
для
для
(1.46)
Эта функция потенциала описывает взаимодействие атомов на рас-
стояниях радиуса атома r0 и характеризуется резким спадом. На рассто-
яниях, превышающих этот радиус, взаимодействие исчезает, в то вре-
мя как на расстояниях, меньших r0, значение становится бесконечным.
Такой вид взаимодействия совпадает с поведением сталкивающихся
бильярдных шаров, и, следовательно, атомы этой модели действуют по-
добным образом. Ясно, что такое представление не дает реального описа-
ния межатомного взаимодействия, так как электронные оболочки могут
перекрываться.
На рис. 1.8 показано, как межатомный потенциал в действительно-
сти меняется с расстоянием. При больших расстояниях атомов основное
взаимодействие осуществляется силами Кулона, в то время как при мень-
ших расстояниях отталкивающая сила в центральном поле становится
доминирующей. Подобная зависимость применима ко всем кристаллам
независимо от природы связи. Во всех случаях существует гладкая кривая
с минимумом, соответствующим наименьшему расстоянию ближайших
атомов решетки (обычно обозначаемому D).
В описании взаимодействия между атомами использовано два ба-
зисных критерия отсчета. Один — радиус Бора водородного атома
(a0 = 0,053 нм), который обеспечивает определение положения атомных
оболочек. Другой определяет интервал между ближайшими атомами
в кристалле (обычно ~ 0,25 нм). Когда r << re, электроны занимают самые
низкие энергетические уровни (закрытые оболочки) индивидуальных
атомов и только на внешних оболочках имеются пустые валентные уров-
ни. При сближении двух атомов валентные оболочки начинают пере-
крываться и появляются слабые силы притяжения Ван-дер-Ваальса. Ког-
да a0 < r ≤ re, начинают перекрываться закрытые внутренние оболочки.
Вследствие принципа запрета Паули некоторые электроны меняют свои
уровни и перемещаются на более высокие энергетические уровни с за-
тратой дополнительной энергии, вызывающей сближение атомов с по-
ложительной потенциальной энергии взаимодействия. Это явление обу-
Рис. 1.8. Изменение межатомного потенциала с расстоянием r. Кулонов-
ские силы действуют на больших расстояниях (б), а централь-
ная отталкивающая сила доминирует на малых расстояниях
и промежуточных расстояниях (а). Существует гладкий переход
между этими двумя состояниями с минимумом, соответствую-
щим равновесному расстоянию re или D
1.2. Взаимодействие между ионами и атомами 45
словлено отталкиванием закрытых оболочек с известным потенциалом
Борна — Майера, который наиболее точно описывает эту область:
V (r ) = Aexp(−r B), (1.47)
где A и B — константы, определяемые из упругих модулей [8]. Хотя эта
функция сначала использовалась Борном и Майером для представления
отталкивания ядер ионов в их теории ионных кристаллов, она полно-
стью приемлема для равновесных расстояний порядка re и полезна при
оценках пороговых или близких к пороговым столкновений, где параметр
cоударения имеет значение порядка re.
Когда r << a0, кулоновское взаимодействие между ядрами доминирует
над всеми другими составляющими в уравнении V(r):
V r
Z Z
r
( )= 1 2
ε2. (1.48)
На небольших расстояниях ядерные заряды «электростатически»
экранируются пространственным зарядом самых внутренних электрон-
ных оболочек, вошедших в межъядерное пространство. Потенциал, опи-
сывающий такое поведение, известен как экранированный потенциал
Кулона [8, 9, 10, 11, 12]
V r
Z Z
r
( ) = exp( r a)
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
1 2 −
ε2 , (1.49)
a
Ca
Z Z
=
( + )
0
1
2 3
2
/ 2/3 1/2 или a
Ca
Z Z
=( )
0
1 2
1/6 , C = 0,8853,
где a0 — радиус Бора водородного атома
Более полно экранирование электронным облаком описывается
функцией экранирования χ(r), которая определяется отношением фак-
тического атомного потенциала для радиуса r к потенциалу Кулона.
Функция χ(r) должна понижать потенциал Кулона для описания взаи-
модействия между атомами на всех расстояниях, разделяющих атомы.
Для больших расстояний χ(r) стремится к нулю, а на очень маленьких
расстояниях χ(r) приближается к единице. Это один из путей, которым
можно воспользоваться для описания всех столкновений единой межа-
томной потенциальной функцией.
Мы теперь представили два режима взаимодействия. При малых рас-
стояниях (r << a0) экранированная составляющая Кулона доминирует над
всеми другими. Эффект экранирования спадает по экспоненте с увели-
чением расстояния. В области a0 < r ≤ re взаимодействие электронов до-
минирует и лучше всего описывается потенциалом Борна — Майера.
На промежуточных расстояниях удовлетворительного описания приро-
ды атомного взаимодействия нет. К сожалению, для обеспечения надле-
жащего аналитического описания радиационных повреждений именно
в этой области необходима более точная информация.
Тем не менее можно сделать первое приближение к общему потенциа-
лу, суммируя потенциалы, контролирующие взаимодействия на больших
и малых расстояниях:
V r
Z Z
r
( ) = 1 2 exp(−r a)+ Aexp(−r B)
ε2 , (1.50)
где A = 2,58 · 105(Z1Z2)11/4 эВ, B = 1,5a0 / (Z1Z2)1/6 являются эмпирическими
выражениями, предложенными Бринкманом [11] на основе наблюдений
за способностями к сжатию и значениями упругих модулей благородных
металлов Cu, Ag и Au. К сожалению, имеется не много эксперименталь-
ных данных о действующих силах между металлическими атомами, ко-
торые более всего нас интересуют. Из рис. 1.9 видно, что первый член до-
минирует на малых расстояниях, а второй — на больших.
Простой потенциал Кулона
Экранизованный
потенциал Кулона
Потенциал
Бора — Мейера
r, нм
Рис. 1.9. Изменение различных функций потенциала на расстояниях,
разделяющих атомы меди
1.2. Взаимодействие между ионами и атомами 47
Бринкман предложил модель взаимодействия между двумя идентич-
ными атомами, в которых ядро окружено четким распределением заряда
ρε, и, предполагая, что оба атома обладают экранированным кулоновским
полем одинакового вида, оределил
V r
Z
r
r
a
r a ( ) = − ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
−
2 2
1
2
ε
e . (1.51)
Эта формула близка к выражению кулоновских сил отталкивания,
поскольку при приближении r к нулю знак при r = 2a изменяется, стано-
вясь потенциалом со слабым притяжением при минимуме r = a(1 + 3 ).
Однако этот потенциал предсказывает сильную энергию взаимодействия
при больших расстояниях и, возможно, не определяет истинную физиче-
скую картину для металлов. Бринкман сформулировал новую потенци-
альную функцию
V r
AZ Z Br
Ar
( )
exp( )
exp( )
= −
− −
1 2
2
1
ε . (1.52)
Отметим, что при малых r потенциал приближается к значениям ку-
лоновских сил отталкивания, то есть
lim ( )
r
V r
Z Z
→ r
→
0
1 2
ε2 ,
и при больших расстояниях формула потенциала приближается к виду
показательной функции Борна — Майера
lim ( ) exp
r
V r AZ Z Br
→∞
→ (− ) 1 2
ε2 .
Константа B определена в виде B = Zеff
1/3Ca0, где Zеff = (Z1Z2)1/2 и C прини-
мает значение порядка 1,0 или 1,5. Константа A зависит от сжимаемости
и объемного модуля, которые зависят, в свою очередь, от перекрытия зам-
кнутых электронных оболочек. Эмпирическое выражение для А равно
A
a
= Z 0 95⋅10−6
0
7 6 , /
eff .
Подставив A, B и C ( = 1,5) в уравнение (1.52), получим
V r Z E
Z r a
Ze
( ) ,
exp ,
exp ,
/
/
= ⋅
(− )
− − ⋅
−
− 1 9 10
1 5
1 09510
6 12
1 3
0
eff R 6
eff
ff 7 6 r a
0
( / ), (1.53)
где ER = ε2/2a0 — энергия Ридберга (13,6 эВ).
48 Глава 1. Процессы радиационных повреждений
Следует отметить, что хотя потенциал является достаточно надежной
функцией для всех металлов, атомное число которых превышает 25 с диа-
пазоном r < 0,7re, он не должен использоваться вблизи значений r = re, так
как по определению неявно предполагалось, что все межатомные рассто-
яния должны быть близки к таковым значениям для Cu, Ag и Au. Для вы-
числения энергий формирования и миграции точечных дефектов необхо-
димо использовать только действительный потенциал.
Следует обсудить также два других потенциала. Первый из них — по-
тенциал Фирсова или Томаса — Ферми с двумя центрами. Эта потенци-
альная функция представляет модернизированный экранированный по-
тенциала Кулона с учетом изменения энергии электронов при взаимном
сближении ядер. Потенциал может быть записан в виде
V r
r
r
( )
( ) = χ ,
где χ(r) является экранирующей функцией. Для случая экранирующего
потенциала Кулона χ(r) имеет вид
χ(r ) = χ (r ) B ,
χ ε B(r ) = Z Z exp(−r a) 1 2
2 . (1.54)
Для потенциала Фирсова имеем
χ( ) χ ( ) χ / / /
r ra Z Z
r
a
= = ⎡( + )
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
TF 1
1 2
2
1 2 2 3 , (1.55)
V r
Z Z
r
Z Z
r
a
( ) / / / = + ( ) ⎡⎣
⎤⎦
1 2
2
1
1 2
2
ε χ 1 2 2 3 , (1.56)
где χ Z Z
r
a 1
1 2
1
/ 1/2 2/3 ⎡( + )
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
является экранирующей функцией.
Вторым представляющий интерес потенциалом является потенциал
с двумя центрами Томаса — Ферми — Дирака (ТФД). Статистическая мо-
дель атома ТФД использовалась для вычисления потенциала из первых
принципов. Как следствие, этот потенциал принимает во внимание, что
обменные эффекты происходят в местах с конечными границами, опре-
деляемыми значениями rb, в пространстве распределения электронного
облака плотностью ρε. Полученный потенциал для подобных атомов име-
ет вид
V r
Z
r
Z
r
a
Z ( ) / = ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
− +
2 2
1 3 εχ α Λ, (1.57)
где α ≅ 3,16 · l0–3ε2/a0 и Λ¯ — ряд интегралов по точным плотностям единич-
ных центров электронов.
Вычисления с использованием этого потенциала показали, что
для очень малых расстояний (менее чем ~0,3a0) V¯(r) хорошо согласуется
с другими теоретическими кривыми и с экспериментом, в то время как
в диапазоне ~0,3a0—3a0 V(r) лучше согласуется с другими теоретическими
расчетами и результатами эксперимента, чем с экранированным потен-
циалом Кулона или потенциалом Фирсова [7].
При выборе соответствующего потенциала для определенного случая
столкновений диапазон расстояний, разделяющих атомы, можно опре-
делить, приравняв имеющееся в распоряжении значение кинетической
энергии к потенциалу и затем рассчитав наименьшее расстояние между
атомами. Необходимое расчетное время взаимодействия также может
быть определено. Для определения времени взаимодействия металли-
ческих атомов при низких кинетических энергиях, от 10–1 до 103 эВ, до-
статочно иметь только один потенциал Борна — Maйe ра с константами,
приведенными в уравнении (1.50). Для случаев столкновений атомов
в каскаде с энергиями от 103 до 105 эВ чрезвычайно удобен обратный по-
тенциал энергии. Такой потенциал может быть получен с использовани-
ем функции C/r s к одной из вышеупомянутых потенциальных функций
в ограниченном диапазоне r. Например, функция может соответствовать
обратно пропорциональному квадрату (s = 2) экранированного потен-
циала Кулона при r = a, имея те же самые наклон, ординату и кривизну.
Эта функция имеет вид [13]
V r
Z Z a
r
( ) = 1 2 e−
2
2
1 ε . (1.58)
Для ограниченного диапазона r может использоваться приближен-
ный потенциал. Используя в уравнении (1.49) значение а, получим
V r
E
e
Z Z
a
r
( ) ( ) / = ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
2
1 2
5 6 0
2
R . (1.59)
Удобным вариантом численного вычисления служит факт, что
2ER/e ≅ l0 эВ,
V r Z Z
a
r
( ) ( ) / = ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
10 1 2
5 6 0
2
эВ. (1.60)
Этот потенциал можно использовать при облучении тяжелыми иона-
ми с энергиями в диапазоне 103—105 эВ. Для случая легких ионов с высо-
50 Глава 1. Процессы радиационных повреждений
кой энергией, например протонов 5 МэВ, достаточен простой потенциал
Кулона.
В табл. 1.3 суммированы различные функции потенциалов и об-
ласти их применения. Но как следует выбирать функцию потенциала?
Как определять, например, константы A и B в потенциале Борна — Майера
для определенного элемента? Так как потенциал Борна — Майера приго-
ден для малых смещений из положения равновесия (то есть re), мы можем
определить эти константы по измеренным объемным свойствам тела, на-
пример сжимаемости, упругим модулям и т. д. Если мы расширим потен-
циал V(r) до V
V
r
r
V
r
r 0
0
2
2
0
2 1 2 +⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
+
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
+ d
d
d
d
/ ..., то тогда коэффициент d
d
2
2
V
r
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
определяет значение кривизны функции энергии от расстояния при r = re
(см. рис. 1.8).
Как узнать, что данный потенциал пригоден или описывает взаимо-
действие не должным образом в области r? Мы можем это проверить пу-
тем измерения рассеяния или радиуса ионов в твердых телах. Так как V(r)
описывает природу столкновений, то это также подскажет нам о зависи-
мости σs(Ei), которая может быть определена из экспериментов по рассея-
нию. Кроме того, измерение диапазона рассеяния дает хорошую возмож-
ность определить количество столк новений, приведших к конечному
месторасположению иона. Оба набора этих экспериментов дадут инфор-
мацию об адекватности выбранной функции потенциала для точного
описания взаимодействия атомов в твердом теле.
Определив возможности оценок взаимодействия нейтральных атомов
или атомов с ионами, мы теперь подготовлены к описанию различных
столкновений, которые до определенной степени подобны другим видам
взаимодействия, весьма отличающимся от нейтронно-ядерных столкно-
вений. Рассмотренный формализм предоставляет инструментарий для
определения передаваемой энергии от падающей частицы к атому отдачи
наряду с оценкой поперечного сечения переноса энергии. Следующие ре-
шения описаны в работах Томпсона [13].
1.2.2. Кинематика столкновений
Орбиты двух сталкивающихся атомов массой M1 и М2 относительно цен-
тра масс показаны на рис. 1.10. Местоположения частиц более удобно
обозначить в полярных координатах (r1, ψ) и (r2, ψ) c массами M1 и М2 со-
ответственно. Параметрами воздействия b, ψ являются угол рассеяния
1.2. Взаимодействие между ионами и атомами 51
Таблица 1.3. Сводка функций потенциалов
Потенциал Уравнение для V(r) = Область применения Определения Уравнения
в тексте
Твердые сферы 0 для r > r0
∞ для r < r0
10–1 < T < 103 эВ r0 = размер атома (1.46)
Борн — Майер V(r) = A exp(–r/B) 10–1 < T < 103 эВ
a0 < r ≤ re
A, B вычислены по упругим зна-
чениям модуля
(1.47)
Простой потенциал
Кулона
Z Z
r
1 2
ε2 Легкие ионы высоких
энергий r << a0
(1.48)
Экранированный
потенциал Кулона
Z Z
r
1 2 r a
⎛ ε2
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
exp(− )
Легкие ионы r < a0 a0 = радиус Бора
a = экранированный радиус
(1.49)
Брикман I Z
r
r
a
r a
2 2
1
2
ε
e− − ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟r
<
a
a
≅
a0/Z1/3
(
1.51)
Брикман II AZ Z Br
Ar
1 2
2
1
ε exp( )
exp( )
−
− −
Z > 25
r < 0,7re
A
a
= Z 0 95⋅10−6
0
7 6 ,
эфф
B Z Ca
C
=
≅
эфф
1 3
0
1,5
(1.52)
Фирсов Z Z
r
Z Z
r
a
1 2
2
1
1 2
2
ε χ / 1/2 2/3 + ( ) ⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
r ≤ a0 χ = экранированная функция (1.56)
ТФД два центра Z
r
Z
r
a
Z
2 2
1 3 ε χ α / ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
− +Λ
r < rb(3a0) rb = радиус исчезновения плотно-
сти электронного облака
(1.57)
Экранированный
радиус
2
1 2
5 6 0
2 E
e
Z Z
a
r
r( )/ ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
a/2 < r < 5a Er = энергия Ридберга = 13,6 эВ (1.59)
52 Глава 1. Процессы радиационных повреждений
пораженного атома отдачи в лабораторной системе и асимптотический
угол рассеяния φ, когда межчастичные расстояния приближаются к бес-
конечности. Параметр воздействия определяется расстоянием между
асимптотическими траекториями столкнувшихся частиц, как показано
на рис. 1.10. Нас интересует возможность определять детальные орбиты,
выражая φ в зависимости от b. Этот результат тогда будет использован для
определения поперечного сечения рассеяния.
Радиальная и поперечная скорости массы M1 на расстояниях r˙1 и r1ψ˙
в полярных координатах позволяют получить результирующую ско-
рость (r˙1
2 + r˙1
2ψ˙ 2)1/2. Скоростные компоненты те же, что для массы M2, с за-
меной подстрочного индекса 2 на 1. Сохранение энергии требует, чтобы
полная энергия любой системы оставалась постоянной. Энергия в ла-
бораторной системе координат только E M E i T = = 1
2 1
υ2 . Напомним, что
V
M
M M CM =
+
1
1 2
υ , кинетическая энергия в системе центра масс идентична
в лабораторной системе:
E М МV
М
М М
E СМ СМ i = + =
+
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
1
2 1 2
2 1
1 2
( ) .
Следовательно, энергия в системе СМ, доступная для преобразова-
ния, являясь полной кинетической энергией без энергии движения си-
стемы СМ,
Рис. 1.10. Орбиты столкновения в системе центра масс
1.2. Взаимодействие между ионами и атомами 53
E E E E E E
M
M M
= − = − =
+
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
T CM i CM i
2
1 2
. (1.61)
При упругом соударении сумма потенциальных и кинетических энер-
гий в любой точке орбиты должна равняться асимптотической сумме ки-
нетических энергий
E
M
M M
M r r M r r V r r i
2
1 2
1 1
2
1
2 2
2 2
2
2
2 2
1
1
2
1
+ 2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
= ( + ψ )+ ( + ψ )+ ( + 2). (1.62)
асимптот.
энергия;
сумма кинетич. энергии
в любой точке орбиты;
потенциальная
энергия
Считая, что r = r1 + r2 представляет полное расстояние между атомами
r1 = М2 / (M1 + M2); r2 = M1 / (M1 + M2) и соотношение энергий в уравнении
(1.62) может быть упрощено:
ηE μ r r ψ V r i= ( + )+ 1
2
2 2 2 ( ), (1.63)
где
η=
+
M
M M
2
1 2
и μ =
+
M M
M M
1 2
1 2
представляют собой приведенные массы.
Закон сохранения момента импульса требует, чтобы его значение
в любой точке орбиты равнялось асимптотическому значению. Напом-
ним, что:
υ υ υ 1
2
1 2
= − =
+
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
V
M
M M CM и V V
M
M M 2
1
1 2
= =
+
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
CM υ ,
так, чтобы асимптотическое значение момента импульса могло быть
M b M b
M M
M M
b b b 1 1 1 2 2 2
1 2
1 2
1 2 υ + υ = υ μ υ
+
( + ) = . (1.64)
Момент импульса в любой точке равен
M r M r M
M
M M
r M
M
M M
r 1 1
2
2 2
2
1
2
1 2
2
2
1
1 2
2
ψ + ψ =
+
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
+
+
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
⎡
⎣ ⎢⎢
⎤
⎦ ⎥⎥
⎥
ψ = μr 2ψ , (1.65)
следовательно,
μr 2ψ = μbυ. (1.66)
54 Глава 1. Процессы радиационных повреждений
Заменяя выражение (1.66) в уравнении (1.63) для исключения ψ˙ и опре-
деления r˙, получаем
r E
b
r
= V r
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
−
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
−
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
2
1
1 2 2
2
1 2
μ
η
/ /
( ) i . (1.67)
Следующий шаг вычислений имеет следующий вид. Умножив члены
уравнения (1.63), получим
ηE μr μ
v b
r
V r i− = + 1
2
1
2
2
2 2
2 ( )
и после преобразований имеем
ηE μ μ
v b
r
r V r i− = + 1
2
1
2
2 2
2
2 ( ). (1.68)
Напомним, что Ei = 1 / 2M1υ
2 и поэтому υ
2 = 2Ei / M1, и мы можем ис-
ключить υ , так, чтобы второй член в левой части уравнения (1.68) стал
− μb E
M r
2
1
2
i :
μ =
+
M M
M M
1 2
1 2
и μ M η 1 = ,
η η μ
E E
b
r
r
V r i i − = +
2
2
2
2
( ) и η μ
E
b
r
r
V r i 1
2
2
2
2
−
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟= +
( ),
или r E
b
r
= V r
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
−
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
−
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
2
1
1 2 2
2
1 2
μ
η
/ /
( ) i ,
что является тем же, что и в уравнении (1.67). Заметим, что r становится
минимальным при r˙ = 0. В этом случае имеем
V E
b
(ρ) η
ρ
= −
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
i 1
2
2, (1.69)
и Vmax = ηEi (при b = 0) представляет « лобовое» столкновение. Так, если ча-
стица ударяет атом мишени равной массы, то Vmax = 1/2Ei. Когда r → ∞, то
V (r )→ r = E , r E M , E M r
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
0 = =
2
2 2 2 1 2
1 1
и или 2 i i i
μ
η
( ), / r = υ at r →∞ ⇒ E = M υ i 1 2 1
2 .
1.2. Взаимодействие между ионами и атомами 55
Напомним, что мы ищем φ в функции b. Возвратившись к (1.67) и по-
делив r˙ в уравнении (1.67) на ψ˙ из (1.66), имеем
r r
E
b
r
V r
r
ψ ψ μ b
μ
υ
= =− ⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
−
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
−
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
d
d i
2
1
1 2 2
2
1 2
/ / 2
( ) . (1.70)
Знак «минус» перед значением правой части равенства приведен по-
тому, что для первой половины орбиты r˙ уменьшается с увеличением ψ.
После преобразований получим
d
d i
r
b
E r r b r V r
ψ υ μ
= − μ
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
− ( )− ⎡⎣
⎤⎦
1 2 1 2
4 2 2 4
1 2
/
/
( ) . (1.71)
Разделив выражение под квадратным корнем на ηEib2, имеем
d
d i
i
r
b
E b
r
b
V r
E
r
ψ υ μ
η
η
= −
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
( ) −
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
−
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
1 2
1
1 2
1 2
4
2
2
/
/ ( )
1/2
. (1.72)
Так как 1/2M1υ
2 = Ei, тогда υ = (2Ei/M1)1/2, и, заменив υ , получим
d
d
r M
E
E
r
b
V r
E
r
i
i
i ψ μ
η
η
= −
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
−
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
−
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
=
=
2
2
1 1
1 2 4
2
2
/ 1/2
( )
M r
b
V r
E
r
r
b
V r 1
1 2 4
2
2
1 2
4
2 1 1
μ
η
η η
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
−
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
−
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
= − −
/ /
( ) ( )
i E
r
i
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
−
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
2
1/2
.
(1.73)
Замена x = 1/r приведет к следующему:
d
d i
x
b
V x
E
x
ψ η
= −
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
−
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
1
1 2
2
1 2
( )
/
. (1.74)
Это есть уравнение орбиты (ψ = f(x)).
Угол рассеяния φ определим, выразив dψ через x и dx и интегрируя
в соответствующих пределах от x = 0 до 1/ρ. Этими пределами являются,
как показано на рис. 1.10, соответственно φ/2 и π/2. Проведя интегриро-
вание для первой половины орбиты, получаем
d d
i
ψ
η
ρ
φ
π = −
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
−
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
−
∫ ∫ 1
1 2
2
1 2
0
1
2
2
b
V x
E
x x
( )
/
/
/
/ (1.75)
и φ π
η
ρ = − −
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
−
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
−
2∫
1
1 2
2
1 2
0
1
b
V x
E
x x
( )
/
/
i
d . (1.76)
56 Глава 1. Процессы радиационных повреждений
Число ρ в верхнем пределе x обозначает r, когда ψ = π/2 и, следова-
тельно, представляет наибольшее сближение. Так как dx/dψ = 0, то при
ψ = π/2 для ρ из уравнения (1.74) имеем
η ρ
ρ
E
V
b i =
−
( )
1
2
2
. (1.77)
Уравнения (1.76) и (1.77) обеспечивают связь между ψ и b.
Мы должны все же определить поперечное сечение для нашего случая
рассеяния. Это может быть сделано следующим образом. Если частицы
M1 бомбардируют атом мишени М2 (см. рис. 1.11), то ионы, которые пере-
секают область 2πbdb проложенными кругами радиусов b и b + db, будут
рассеяны в пространстве dφ около угла φ. Так как отношение между db
и dφ может быть получено из уравнения (1.76), д ифференциальное попе-
речное сечение будет
σ(E ,T) T πb b i d = 2 d и σ π
φ
φ
(E ,T) b
b
T i
d
d
d
d
= 2 . (1.78)
Знание V(r) позволяет написать φ в терминах b2, используя уравнение
(1.76), и затем в терминах T, используя уравнение (1.13). Дифференцирова-
ние приводит к выражению2πbdb в функции T и dT. Затем из уравнения
(1.78) будет получено дифференциальное поперечное сечение для стол-
кновений с энергиями отдачи dT вблизи T. Полное поперечное сечение
для столкновений с T в любой точке диапазона от Ť до γEi запишется как
σ σ γ
(E ) (E ,T) T
T
E
i i d i = ∫ . (1.79)
Поэтапный процесс определения энергии поперечного сечения про-
ходит следующим образом:
1. Выбрать потенциальную функцию V(r).
2. Использовать (1.76), чтобы получить b в функции φ, b = f(φ).
3. Использовать (1.13) для расчета φ в функции T, φ = g(T).
4. Использовать зависимость между b и φ, между φ и T в (1.78), чтобы
получить поперечное сечение передачи энергии.
Предыдущее описание расчета поперечного сечения переноса энер-
гии подчеркивает важность знания функций потенциала, описываю-
щих специфическое взаимодействие иона с атомом или атома с атомом.
Без точного знания функции потенциала дальнейшее описание процес-
са столкновения и последующей структуры дефектов становится невоз-
можным. К сожалению, явная оценка интеграла в уравнении (1.76) воз-
1.2. Взаимодействие между ионами и атомами 57
d
z
2bdb
Рис. 1.11. Поперечное сечение рассеяния ионов в пересекающихся обла-
стях 2πbdb в угловых значениях dφ от φ
можна только для простых потенциальных функций. Перед дальнейшим
рассмотрением различных функций потенциала и их применением для
определения энергии поперечного сечения переноса необходимо сначала
рассмотреть возможные классы ионов и их соответствующих энергий.
Классификация ионов
Существует три важных класса ионов при рассмотрении столкновений
ионов с атомами. Первый класс — легкие ионы с энергией Ei > 1 МэВ. Вто-
рой — тяжелые ионы с очень высокой энергией (Ei ~ 102 МэВ), подобные
осколкам деления (М ~ 102). Третий класс — тяжелые ионы с более низкой
энергией, получаемые в ускорителях, или ионы, которые могут появить-
ся в результате высокоэнергетических соударений с первично выбитыми
атомами. Энергия этих ионов обычно меньше 1 МэВ.
Для каждого вида взаимодействия необходимо выбрать соответствую-
щую функцию потенциала. Удобной для такого выбора становится зави-
симость, представляющая отношение ρ/a расстояния сближения частиц
к экранированному радиусу в зависимости от передаваемой энергии T.
Для выбора соответствующего потенциала на рис. 1.12 изображены при-
близительные зависимости ρ от T. Представлены три кривые с ранее об-
сужденными ионами трех классов: (1) 20 МэВ протоны, (2) 70 МэВ оскол-
ки деления и (3) 50 кэВ ионы меди. Кривая столкновений (1) относится
к режиму, где ρ << a соответствует простому потенциалу Кулона. У кривой
столкновения (2), представляющей лобовой удар, ρ << a будет таким же.
Но для косых ударов с ρ ~ a будет более удобен экранированный потенци-
ал Кулона. Кривая (3) представляет область, где а < ρ << 5a и где уместно
было бы применить обратную квадратную зависимость потенциала или
потенциал Бринкмана, так как оба потенциала близки к зависимостям
Борна — Майера и экранированного Кулона.
58 Глава 1. Процессы радиационных повреждений
Соударение твердых сфер
Потенциал соударений твердых сфер соответствует энергиям иона не-
много ниже 50 кэВ и близок к энергиям лобовых упругих соударений.
Здесь ρ ~ re и атомы будут вести себя, как твердые сферы. В лобовом стол-
кновении b = 0 из уравнением (1.77) мы имеем
ηE V ρ i = ( ). (1.80)
Когда b отлично от нуля, то столкновение может быть изображено
схемой рис. 1.13, где мы определяем R
M
M M 1
2
1 2
=
+
ρ и R
M
M M 2
1
1 2
=
+
ρ . Если ρ
известно, то тогда из рисунка следует
b = ρ φ
cos
2
. (1.81)
Теперь напомним, что
σ π s i (E ,T)dT = 2 bdb .
Используя абсолютное значение производной d
d
b
φ
как положительную
величину, получим
T, эВ
20 МэВ
70 МэВ
50 КэВ
Простой
потенциал
Кулона
Бор — Майер
Экранированный
потенциал Кулона
Обратноквадратичный
потенциал
Рис. 1.12. Наименьшее относительное значение расстояния ρ/a в зависи-
мости от энергии T для (1) протонов 20 МэВ в Cu, (2) 70 МэВ
ионов Xe+ в Cu и (3) 50 кэВ Cu+ атомов отдачи ([12])
1.2. Взаимодействие между ионами и атомами 59
σ π
φ
φ
s i
d
d
d
d
(E ,T) b
b
T
= 2 , (1.82)
где d
d
b
φ
=1 2ρsinφ 2 из b = ρ cos φ/2 и d
d i
φ
T γE φ
= 2
sin
из T
E = γ i ( − φ)
2
1 cos ,
σ πρ φ
γ φ
( , ) cos
sin
E T
E i
i
=2 2
2 ,
σ πρ
γ s i
i
(E ,T)
E
=
2
. (1.83)
Напомним, что для нейтронно-ядерных взаимодействий
σs(Εi, T) = σs(Еi) / γЕi. Используя это соотношение, мы можем получить
представление о размере поперечного сечения переноса энергии при
нейтронно-ядерных взаимодействиях по результатам соударения атома
с атомом:
σ
σ
πρ
σ
( , ) π
( , ) ( )
E T ( )
E T E
a a
n nuclear
i
i s i
−
−
−
− =
2 82
24
8 10
10
10 .
Эта энергия взаимодействия приблизительно на восемь порядков
больше, чем при нейтронно-ядерных взаимодействиях.
Полное поперечное сечение рассеяния равно
σ σ πρ
γ
πρ
γ
γ πρ γ γ
s i s i
i i
i d d i i (E ) (E ,T) T
E
T
E
E T
T
E
T
E = = = − ⎡⎣
⎤⎦
∫ ∫ =
2 2
2. (1.84)
Отметим, что σs(Ei) независимо от Ei (потому что ρ ≠ f(Ei)) и что σs(Ei, T)
α1/Ei независимо от T. Мы можем найти σs(Ei, T) явным образом, приме-
Рис. 1.13. Столкновение атомов по схеме соударения твердых сфер
60 Глава 1. Процессы радиационных повреждений
нив соответствующую функцию потенциала для нахождения значения ρ
из V(r). Возвратимся к рассмотрению столкновений в разделе 1.2.1, когда
параметр взаимодействия находится на уровне равновесного разделения
атомов, самым приемлемым будет потенциал Борна — Maйeра с энергия-
ми около l0 кэВ (Это означает, что мы отходим от представлений чистой
модели твердых сфер.) Следовательно, мы должны использовать зависи-
мость V(r) = A exp(–r/B), где A и B определяются уравнением (1.47). Ис-
пользуя уравнение (1.80), приходим к виду
V A B E ( ) exp( ) ρ ρ η = − =i (1.85)
или
ρ
η
=
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
B
A
E
ln
i
. (1.86)
Так как b = ρ cos φ/2 = B ln(А/ηEi)cos φ/2, поперечное сечение переноса
энергии равно
σ π
γ η s i
i i
(E ,T) ln
B
E
A
E
=
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
2 2
. (1.87)
Полное поперечное сечение рассеяния предстает тогда в виде инте-
грала поперечного сечения переноса энергии с пределами Ť и γEi
σ π
η γ
γ
s i
i i
d i (E ) B ln
A
E E
T
T
E =
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
∫ 2
2
1
. (1.88)
Из этого выражения мы можем вычислить значения полного попереч-
ного сечения рассеяния для всех допустимых Т. Отметим, что полное по-
перечное сечение рассеяния зависит от Ei. Кроме того, типичные значе-
ния A, B и Ť (25 эВ), значение σs(Ei) при взаимодействии атома с атомом
приблизительно в 108 раз больше, чем при нейтронно-ядерных соударе-
ниях.
Рассеяние Резерфорда
Обратимся теперь ко второму примеру использования чистого потенциа-
ла рассеяния Кулона, чтобы продемонстрировать резерфордовское рас-
сеяние. По нашей классификации ионов по энергии и массе первый вид
столкновений соответствует (m ~ 1 до 4) и энергиям ионов (E > МэВ), где
ρ << a. Столкновения такого вида соответствуют простому потенциалу
Кулона, представленному уравнением (1.48)
1.2. Взаимодействие между ионами и атомами 61
V r
Z Z
r
( )= 1 2
ε2 .
Предположим, что Z1 и Z2 представляют ядерные заряды и что стол-
кновение происходит при высоких энергиях так, что электроны удалены
с ядер и взаимодействие существует только между ядрами.
В нашем описании траекторий частиц в системе СМ мы нашли, что
в случае наибольшего сближения dx/dψ = 0 и из уравнения (1.77) полу-
чим
η
ρ
ρ
E
V
b i = ( )
1−
2
2
.
Замена V(r) приводит к следующему:
Z Z
E
b 1 2
2 2
2 1
ε
ρ
η
ρ
= −
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
i . (1.89)
Определяя
b
Z Z
E 0
1 2
2
=
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
ε
η i
, (1.90)
получим
b b 0
2
2 1
ρ ρ
= − (1.91)
и ρ = + +
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
⎡
⎣ ⎢⎢
⎤
⎦ ⎥⎥b
b
b 0
2
0
2
1 2
1 1
4
/
. (1.92)
Следовательно, наименьшее расстояние является функцией параме-
тра взаимодействия b. Для лобовых столкновений b = 0 и минимальное
значение ρ зависит от Ei
ρ ρ ε
η
b b
Z Z
E
( = 0) = = = 0 0
1 2
2
i
. (1.93)
Отметим, что для этого типа столкновения ρ зависит от Ei, в отличие
от независимости от Ei в модели твердых сфер. Возвращаясь к орбиталь-
ному уравнению (1.75), оценим теперь его с помощью определенного ин-
теграла
dψ d
π
φ
2 ρ
2
2
0
2
2
1 2
1
0 1 ∫ = ∫ ⎡ − −
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
−
b
b
b
х х x
/
. (1.94)
Так как ψ = π/2 при r = ρ(x = 1/ρ) и ψ = φ/2 при r = ∞ (x = 0), то при
y = x + b0/2b2 получим
62 Глава 1. Процессы радиационных повреждений
φ π
ρ 2 2
2 2 1 2
1
2
2
0
2
0
2 − = − ⎡⎣
⎤⎦
−
+ ∫ c y y b
b
b
b
/
d, (1.95)
где c2 = (1/b2 + b0
2/4b4). Тогда орбиты будут равны
φ π
ρ
ρ
2 2 2
1 1
2
1
1
2
2 1 0
2
1 0
0
2
0
2
− =⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
− = − +
+
sin sin− sin−
y
c
b
b c
b
b b
b
b
b
2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
. (1.96)
Так как
sin− + sin− ( )
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
1 0 = =
2
1 1 1
2
1 2
c
b
ρ b
π ,
то
sinφ 2
2
0
2 = b
b c
. (1.97)
Заменив c из уравнения (1.97), получим
sin2
2
0
2
2
1
1
4
φ =
+ b
b
. (1.98)
Используя тригонометрические соотношения для sin2φ/2, найдем
b
b = 0
2
cotφ 2. (1.99)
Теперь мы имеем зависимость между параметром воздействия b
и асимптотическим углом рассеяния φ. Отметим, что b есть функция Ei
через b0 (уравнение (1.93)).
Далее мы хотим получить выражение для поперечного сечения рас-
сеяния. Используя уравнение (1.82) для σs(Ei, T), получаем
σ σ φ π π φ
s i s i (E ,T) dT = (E , )dΩ = 2 bdb = b cot db
2 0 , (1.100)
и, подставив db из уравнения (1.99), имеем
σ
φ s i ( , )
sin ( )
E T
b =⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
0
2
4 4
1
2
, (1.101)
что является обратным законом Резерфорда рассеяния четвертой сте-
пени. Поперечное сечение для атомов отдачи идентично и для упругих
соударений (1.13) и, следовательно,
σ σ φ s i s i
d
d
(E ,T) (E , )
T
= Ω
1.2. Взаимодействие между ионами и атомами 63
или
σ π γ
s i
(E ,T) i
b E
T
= 0
2
4 2
. (1.102)
Отметим, что в отличие от нейтронно-ядерных столкновений и рас-
сеяния твердых сфер поперечное сечение рассеяния Резерфорда на-
ходится в сильной зависимости от T. Это выражение также показывает,
что поперечное сечение рассеяния σs(Ei, T) → ∞ при T → 0. Но это только
отражает факт, что при φ → 0 и b → ∞ потенциал Кулона представляет
зависимость для диапазона больших расстояний. В действительности су-
ществует резкий спад b и, следовательно, φ за счет электронного экрани-
рования. Как видно будет далее, этот спад связан с энергией смещения Ed,
представляющей среднее значение переданной энергии
T
T E T T
E T T
T T T
T
T
T
T
T
T =
∫
∫
=
−
ˆ
ˆ
( , )
( , )
ln(
ˆ
/ )
ˆ
σ
σ
s i
s i
d
d 1
. (1.103)
Для Τ = γEi и Ť = Ed и так как γEi >> Ed, то
T E
E
E
≈
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
d
i
d
ln
γ , (1.104)
что является весьма низким значением для всех энергий Ei, отражая силь-
ную зависимость 1/T2 по уравнению (1.102).
Интеграл уравнения (1.102) по T дает полное поперечное сечение для
случая смещения ионов с энергий Ei
σ π π
s i
d
d
d
( )
ˆ
ˆ
ˆ
E bT
T
T
b T
E E
= ∫T = −
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
4 4
1 0
2
2
0
2
, (1.105)
и так как при высоких энергиях Τ /Ed >> 1, то для Τ = γEi имеем
σ π γ
s i
(E ) i
b E
E
≈ 0
2
4
, (1.106)
что представляет весьма большую величину.
Возникающий при рассмотрении вышеупомянутых явлений вопрос
заключается в определении условий применения потенциала рассеяния
Резерфорда. Ответ должен быть связан с определением, какая основная
часть рассеяния во время столкновения произошла в диапазоне расстоя-
ний r << a. Но это будет лишь качественной оценкой. Для количественно-
го определения необходимо рассмотреть два случая.
64 Глава 1. Процессы радиационных повреждений
Случай 1: столкновения, близкие к « лобовым», с высокой энергией T.
Для близкого к лобовому столкновению с ρ0 << a или Ei >> Ea, когда Eа мог-
ло бы принять значение Ei при ρ0 = a, экранированный потенциал Кулона
имеет вид
Ea = 2E Z Z M +М М e 1 2
7 6
R 1 2 2 ( ) / ( ) / ( ), (1.107)
который получен после перенормировки экранированного потенциала
Кулона (уравнение (1.49)) в форме обратно квадратичной зависимости
(1.59) с ε2 = 2a0ER и после приравнивания r = a и использования зависимо-
сти для лобового столк новения V(r) = ηEi = [M2/(M1 + M2)]Ei.
Случай 2: косые удары (низкое T).
Здесь рассматриваются только те столкновения, у которых b ≤ a или в ре-
зультате которых перенос энергии Ť ~ Ed при b = a. Для простых кулонов-
ских столкновений с b = a имеем из уравнений (1.98) и (1.13)
T
e E
E
= a
2 2
4
γ
i
или E
e E
T
a
i =
2 2
4
γ (1.108)
и, задав эту величину Ei и обозначив Eb при T = Ť, имеем
E
e E
T b
= a
2 2
4
γ
где
T = Ed, (1.109)
и это уравнение действительно для всех Ei >> Eb. По существу, Eb — это зна-
чение Ei, которое приводит к передаче энергии T ≥ Ed при b = a. Или ина-
че условия Eb < Ei, приводящие к значениям T << Ť, можно не принимать
во внимание, так как ρ ≥ a, и этими столкновениями можно пренебречь.
В табл. 1.4 представлены примеры значений Eа и Eb при столкновениях
различных частиц разной энергии с атомами мишени.
Из табл. 1.4, учитывая что Ea < Eb, мы можем принять, что Ei долж-
но быть >> Eb, чтобы достоверно описать рассеяние простым законом
Кулона.
В итоге для столкновений, близких к лобовым, при Ei >> Ea можно ис-
пользовать простой потенциал Кулона. Если Ei >> Eb, то этот потенци-
ал может использоваться для всех интересующих нас столкновений при
оценке радиационных повреждений. Легкие заряженные частицы, такие
как протоны и альфа-частицы с Ei > 1 МэВ, попадают в эту категорию,
в то время как осколки деления находятся в режиме Ea < Ei < Eb и у атомов
отдачи Ei ≤ Ea. Далее это будет обсуждено. Но сначала мы представляем
пример рассеяния Резерфорда.
1.2. Взаимодействие между ионами и атомами 65
Пример 1.2. 2 МэВ протоны на алюминии.
Для этого случая имеем
ˆ
T = E = , ( )
( + )
γ = i МэВ МэВ
4 27
27 1
2 028 2 ,
эВ ,
T E
E
=
⎝ ⎜
⎠ ⎟
= d
d
ln эВ
233 .
Мы можем также рассчитать соударения E a ~ 200 эВ и E b ~ 4000 эВ
(для сравнения 2 МэВ He+ — на Аl, E a ~ 1 кэВ и E b > 25 кэВ). Также
для 2 МэВ H+ на Au, E a ~ 1,6 кэВ и E b ~ 38 кэВ и для 2 МэВ He+ на Au,
E a ~ 8 кэВ и E b ~ 69 кэВ. Начиная с Ei >> E b для этих ви дов столкнове-
ний действителен простой закон Кулона. Поэтому σ(Ei) ~ 4 · 10–22 см2,
и так как средний свободный путь между столкновениями λ = 1/σN
и N ~ 6 · 1022 a/см3, то λ ~0,04 см или приблизительно 400 мкм, что поч-
Далее исследуем другие классы столкновений ионов с атомами, таких
как тяжелые ионы с большой энергией, тяжелые медленные ионы и высо-
коэнергетические электроны.
4( 0 28 T = 25 эВ,
E
⎛
⎛
⎝
⎞
⎞
⎠
i
γ
ти в 10 раз больше длины пробега 2 МэВ протона в Аl. Это означает,
что в среднем только одно рассеивающее столкновение Резерфорда
приходится на каждые 10 налетающих протонов на Аl.
Таблица 1.4. Значения Ea и Eb для различных комбинаций атомов мише-
ни и налетающих частиц [13]
Случайная
частица
Норма
атома
Ea(eV) Eb(eV)
С C 2 · 103 8 · 105
Al Al 1 · 104 2 · 107
Cu Cu 7 · 104 1 · 109
Au Au 7 · 105 1 · 1011
Xe U 5 · 105 3 · 1010
D+ C 1,5 · 102 2 · 103
D+ Cu 1 · 103 2 · 104
D+ U 4 · 103 1 · 105
66 Глава 1. Процессы радиационных повреждений
Тяжелые энергетические ионы
Для тяжелых энергетических ионов, таких как осколки деления,
из рис. 1.12 следует, что потенциал должен соответствовать экранирован-
ному закону Кулона с отталкиванием закрытых оболочек. Рассмотрим
сначала простой потенциал Кулона как грубое приближение, зная, что
его использование оправдано только для энергий атомов отдачи, прибли-
жающихся к значению γEi при ρ << a.
Напомним, что
σ π γ
(E )
b E
E i
i
d
= 0
2
4
и b
Z
E
M M
M M
M
M M 0
1 1 2
1 2
2
2
1 2
4 α
γ
γ η
i
, = ,
( + ) =
+
,
поперечное сечение по сравнению с σs для легких ионов резко возрастает:
σ
σ
тяж
легк
i тяж
i легк
= ≈
z M
E
z M
E
1
2
1
1
2
1
106
для осколков деления с выходом продуктов деления урана, M1
легк 96 aем
(атомная единица массы), E1
легк 95 МэВ и M1
тяж 137 aем, E1
тяж 55 МэВ.
По сравнению с соударением 2 МэВ протона с Аl для осколков деления
поперечное сечение в 104 раз больше! Поэтому их средний свободный
путь пробега в 10–4 меньше, чем у протона в Al.
Напомним, что σ(Ei, T) изменяется как 1/T2. Но это верно только при
условии γЕi(ρ << a). При более низких энергиях экранирование уменьша-
ет зависимость от энергии. Таким образом, для лучшего описания взаи-
модействия тяжелых ионов больших энергий с атомами мишени следует
использовать выражение Бринкмана (уравнение (1.50)), которое при им-
пульсном воздействии (см. [13]) приходит к виду
T
M
M
A
E
F
b
B
F
b
B
= ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
− − ( ) + ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
1
2
2 2
1 1
i
α, α α, ,
где A, B даны в уравнении (1.50) и
F
b
B
b
B
e dx
x b a
b
B
n K
b
B
x
b a ax
α,
( ) ( )
( ) / /
⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟= −
− −
= +
−
−
∞ ∫ 2 2 212 2 0 1
1
e
(1 ) ,
0
+ ⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
=
∞Σ
n
n
α (1.111)
где K0(y) является функцией Бесселя мнимого аргумента. Член α представ-
ляет отношение потенциала Борна — Майера к экранированному потенци-
1.2. Взаимодействие между ионами и атомами 67
алу Кулона, как при r = a, так и вообще при α < 1. T может быть найдено из b
и уравнения (1.110). Дифференцирование приводит к значению σ = 2πbdb.
Однако из-за сложности уравнения (1.110) требуется численное решение.
Тем не менее можно вычислить число атомов отдачи dN от (dT по T), про-
изведенное осколком деления при замедлении его до остановки:
d d
d
d
d
d
N n x n d d
T
E
x
E T = = − ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
−
σ σ 1
, (1.112)
где n — плотность атомов и
N T T n
T
E
X
E T
E
( )d
d
d
d
d d i = ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
−
∫ σ 1
0
. (1.113)
Бринкман выполнил эти вычисления для легких и тяжелых осколков
235U, замедленных в уране. Результаты показаны на рис. 1.14. Заметим,
что N(T) уменьшается быстрее, чем T–1, и, следовательно, большинство
перемещений атомов вызваны атомами отдачи с низкой энергией. Поэ-
тому всеми высокоэнергетическими атомами отдачи можно пренебречь.
Другой способ рассмотрения заключается в том, что простой потенциал
Кулона действителен только в диапазоне энергии, который не вызывает
значительных смещений.
T, эВ
N(T) атомов отдачи (эВ) –1
Рис. 1.14. Диапазон энергий атомов отдачи N(T)dT, вызванных осколка-
ми деления, замедляющимися в уране. Показаны два случая:
M1 = 96, E1 = 95 МэВ и M1 = 137, E1 = 55 МэВ (из [13])
68 Глава 1. Процессы радиационных повреждений
Тяжелые медленные ионы
Эти ионы представлены кривой «3» на рис. 1.12. Это очень важный класс
столк новений, поскольку он покрывает большую область использова-
ния имплантационных процессов кВ-ионами в низкоэнергетических
МВ-ускорителях при материаловедческих исследованиях радиационных
повреждений тяжелыми ионами и моделировании радиационных воз-
действий. Численные оценки показывают, что с такими столкновениями
приходится иметь дело в диапазоне a < ρ < 10a. Формализм, использо-
ванный для осколков деления в предыдущем разделе, относится к косым
соударениям, а для лобовых столкновений необходим другой подход. Со-
ответствующий потенциал для диапазона a/5 ≤ ρ ≤ 5a определяется об-
ратным квадратным приближением с использованием потенциала сле-
дующего вида:
V r
E
e
Z Z
a
r
( ) / = ( ) ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
2
1 2
5 6 0
2
R .
Подставив функцию потенциала в орбитальное уравнение (1.76), по-
лучим
φ
π
= − +
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
−
1 1
2
2
1 2
a E
b E
a
i
/
. (1.114)
Используя уравнение (1.13) для выражения φ в терминах Т, получим
T E
a E
b E
= + a
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
⎡
⎣ ⎢⎢
⎤
⎦ ⎥⎥
−
γ π
i
i
cos
/
2
2
2
1 2
2
1 . (1.115)
Выразив b в терминах T и дифференцируя, имеем
σ α
γ α s i
i
( , )
( ) ( )/
E T
E a
E x x
= a
− [ − ]
4
1 4 1
2
2 2 2 1 2, (1.116)
где x = T/γEi и πα = cos–1x1/2.
Для малых x (передача низкой энергии) мы имеем
σ
π γ
s i
i
( , ) /
/ / E T
a E
E T
a =
2 2
1 2
8 1 2 3 2
. (1.117)
Отметим, что энергия поперечного сечения переноса зависит от T.
Средняя энергия отдачи равна
1.2. Взаимодействие между ионами и атомами 69
T
T E T T
E T T
T ET
E
T
E = = ∫
∫
σ
σ
γ
γ
γ
s i
s i
i
d
d
i
i
( , )
( , )
( )/
1 2. (1.118)
Полное поперечное сечение смещения принимает вид
σ γ σ π γ
s i s i
i
d i ( ) ( , )
( )
/
/ E ET T
a E
ET
a
T
E = ∫ =
2 2 1 2
4 1 2
. (1.119)
Релятивистские электроны
Радиационное повреждение от электронов не очень опасно для материа-
лов активной зоны реактора, но гораздо более интересно лабораторным
исследователям, занимающимся изучением радиационных повреждений
с использованием электронных микроскопов. Вследствие малой массы
электрона, чтобы вызвать смещения атомов в решетке, энергии должны
быть очень высоки. Так что для описания столкновений должна исполь-
зоваться релятивистская квантовая механика. Даже в этом случае пере-
данной высокой энергии достаточно только для появления ПВА без вто-
ричных смещенных атомов.
В релятивистской форме импульс электрона с массой покоя m0 и ки-
нетической энергией Ei имеет вид
p
E
c
E mc e
i
i
2
2 0
= ( + 2 2 ). (1.120)
Так как смещаемый атом отдачи отскакивает нерелятивистским об-
разом, то в выражении отдачи используется уравнение (1.9)
V ′ =V +V ′ − V V ′ = V ( − ) = V
2 2 2 2 2 2 1 4 2 2
2 CM c CM c CM CM cosφ cosφ sin φ .
Закон сохранения импульса дает
p m MV MV e CM CM = ( + ) ≅ 0 .
Заменяя скоростные члены на энергетические в выражении Vx2, по-
лучим
T
E
Mc
= (E + m c ) 2
2
2 0 2
i 2 2
i sin
φ, (1.121)
70 Глава 1. Процессы радиационных повреждений
ˆ
T
E
Mc
= (E + m c ) 2
2 2 0
i 2
i . (1.122)
Приближенное выражение уравнения Дирака для легких ионов [13]
приводит к дифференциальному поперечному сечению рассеяния
σ φ π β
β
β φ παβ φ
s 1 E
a Z E
m c
, R
sin ( ) sin( )
( )= − ×
× − + −
4 1
1 2 2 1
0
2
2
2 2
0
2 4
2
4
2 2 sin( ) cos( )csc ( ), φ φ φ 2 2 2 3 ( ) ⎡⎣
⎤⎦
×
(1.123)
где β = v/c и α = Z2/137. Это выражение приближается к закону рассея-
ния Резерфорда для малых β. С использованием уравнений (1.121) и (1.122)
дифференциальное поперечное сечение рассеяния может быть записано
в терминах T и Τ :
σ π β
β
β πα
β s i ( , ) ˆ ˆ ˆ
/
E T
a Z E
m c
T
T
T
T
T
T
R = − − + ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
− 4 1
0 1
2
2
2 2
0
2 4
2
4
2
1 2 ⎧⎧⎨ ⎪
⎩⎪
⎫⎬ ⎪
⎭⎪
⎡
⎣ ⎢⎢
⎤
⎦ ⎥⎥
ˆ
T
T 2. (1.124)
Полное поперечное сечение найдено интегрированием уравнения
(1.124) от Ť и Τ :
σ π β
β
β αβ s i ( )
ˆ
log
ˆ ˆ
E
a Z E
m c
T
T
T
T
T = R − −
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
− + 4 1
0 1 2
2
2
2 2
0
2 4
2
4
2
T
T
T
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
− −
1 2
1
/
log
ˆ
. (1.125)
Для электронов с энергиями выше порога повреждения и Τ /Ť немного
больше единицы имеем
σ π β
β s i
( ) R
ˆ
E
a Z E
m c
T
T
≅ − ⎛
⎝ ⎜⎞
⎠ ⎟
−
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
4 1
0 1
2
2
2 2
0
2 4
2
4
2
. (1.126)
На рис. 1.15 показано, что при достаточно высокой энергии σ(Ei) при-
ближается к асимптотической величине
σ π
s i
(E ) R
a Z E
TM c
→ 8 0
2
2
2 2
2
2 при E mc i >> 0
2. (1.127)
Следует подчеркнуть, однако, что эти поперечные сечения наиболее
точны для легких элементов, но серьезно недооценивают σs(Ei) для тяже-
лых элементов (Z > 50). Табл. 1.5 представляет сводку переносов энергии
и энергий поперечного сечения для различных видов взаимодействий
атомов, обсуждаемых в разделе 1.2.
1.2. Взаимодействие между ионами и атомами 71
(барн)
E, МэВ
Рис. 1.15. Поперечное сечение повреждений меди, облучаемой электро-
нами, Ed = 25 эВ ([13])
Таблица 1.5. Передача энергии и поперечное сечение передачи энергии
для различных видов межатомного взаимодействия
Виды столкновений Передача энергии
Поперечное сечение передачи энергии
Номер
уравнения
Столкновение твердых
сфер (потенциал
Борна — Майера)
ρ ~ re
σ π
γ η s i
i i
(E ,T ) ln
B
E
A
E
=
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥2
2
(1.87)
T = γEi 2 (1.13)
Рассеяние Резерфорда
(простой потенциал
Кулона)
ρ << а
σ π γ
s i
(E ,T ) i
b E
T
= 0
2
4 2
(1.102)
T E
E
E
≈
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
d
i
d
ln
γ (1.104)
Тяжелые ионы
(обратно квадратичная
зависимость)
а/5 ≤ ρ ≤ 5а
σ π γ
s i
i
( , )
/
/ / E T
a E
E T
= a
2 2 1 2
8 1 2 3 2 (1.117)
T = (γET ) / i
1 2 (1.118)
Релятивистские
электроны σ π β
β
β πα
β
( , )
ˆ ˆ ˆ
/
E T
a Z E
m c
T
T
T
T
T
i
= R − ×
× − + ⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
−
4 1
1
0
2
2
2 2
0
2 4
2
4
2
1 2
T
T
T
⎧⎨ ⎪
⎩⎪
⎫⎬ ⎪
⎭⎪
⎡
⎣ ⎢⎢
⎤
⎦ ⎥⎥
ˆ
2
(1.124)