eng
Содержание
Содержание
Предисловие ............................................................................................ 9
Введение ...................................................................................................... 11
Глава 1. Начало процесса. Обнаружение явления
в электронных системах. Первые
экспериментальные и теоретические
результаты........................................................................................ 19
1.1.
Введение....................................................................................................... 19
1.2.
Генерация хаоса в вакуумных приборах...................................................... 20
1.3.
Микрополосковые генераторы хаоса.......................................................... 23
1.4.
Моделирование генераторов хаоса.............................................................. 26
Глава 2. Радиофизические системы с собственной
сложной динамикой и методы их исследования.... 32
2.1.
Введение....................................................................................................... 32
2.2.
Кольцевые радиофизические системы........................................................ 34
2.3.
Теоретические предпосылки исследования сложной динамики
физическиx систем....................................................................................... 40
2.4.
Методы компьютерного моделирования.................................................... 42
2.5.
Экспериментальные методы исследования. Обработка данных................ 45
Глава 3. Хаотическая динамика кольцевых
автоколебательных систем с полутора
степенями свободы.................................................................... 47
3.1.
Введение....................................................................................................... 47
3.2.
Динамика автогенератора с инерционным запаздыванием первого
порядка......................................................................................................... 48
3.3.
Теоретическое и численное исследование влияния асимметрии
на динамику кольцевого автогенератора..................................................... 70
3.4.
Экспериментальное исследование автогенератора с асимметричной
характеристикой нелинейного элемента..................................................... 83
Глава 4. Динамический хаос в кольцевых системах
с произвольным числом степеней свободы............... 95
4.1.
Введение....................................................................................................... 95
4.2.
Странные аттракторы в кольцевых автоколебательных системах
с апериодическими звеньями...................................................................... 96
4
4.3.
Динамика модели с 2,5 степенями свободы и симметричной
характеристикой нелинейного элемента..................................................... 98
4.4.
Явление затягивания и переключения мод в системе с 2,5 степенями
свободы........................................................................................................114
4.5.
Развитие странных аттракторов с ростом надкритичности. Фазовые
переходы «хаос—гиперхаос».......................................................................119
4.6.
Динамика модели с 3,5 степенями свободы. Хаос на основе двух-
и трехчастотных колебаний........................................................................123
4.7.
Экспериментальное исследование системы с 2,5 степенями свободы
и асимметричной характеристикой нелинейного элемента......................125
Глава 5. Прецизионные генераторы хаоса..................................... 135
5.1.
Введение......................................................................................................135
5.2.
Понятие хаотического синхронного отклика............................................136
5.3.
Примеры декомпозиции автоколебательных систем................................138
5.4.
Оценка качества хаотического синхронного отклика...............................141
5.5.
Устойчивость отклика. Явление «on–off»-перемежаемости.....................142
5.6.
Критерий прецизионности генераторов....................................................146
5.7.
Структура прецизионных генераторов хаоса.............................................147
5.8.
Генератор хаоса с 1,5 степенями свободы..................................................149
5.9.
Генератор хаоса с 2,5 степенями свободы..................................................158
Глава 6. Синтез хаотических сигналов с заданным
спектром мощности................................................................ 166
6.1.
Введение......................................................................................................166
6.2.
Модель автоколебательной системы (АКС)...............................................166
6.3.
АКС с числами n = 1, m = 0..........................................................................168
6.4.
АКС с числами n = 2, m = 0..........................................................................171
6.5.
АКС с числами n = 1, m = 1..........................................................................173
6.6.
Динамические характеристики хаотических сигналов с заданными
спектральными характеристиками.............................................................174
Глава 7. Твердотельные источники хаотических
колебаний на базе автоколебательных систем
с малым числом степеней свободы............................... 177
7.1.
Введение......................................................................................................177
7.2.
Базовые модели низкоразмерных автоколебательных систем
на основе твердотельных активных элементов..........................................177
7.3.
Автоколебательная система с 1,5 степенями свободы...............................180
7.4.
Автоколебательная система с 2,5 степенями свободы...............................182
Содержание
5
7.5.
Задача формирования спектральных характеристик сигналов
в низкоразмерных автоколебательных системах.......................................189
7.6.
Спектральные характеристики автоколебательной системы
с 1,5 степенями свободы.............................................................................190
7.7.
Спектральные характеристики автоколебательной системы
с 2,5 степенями свободы.............................................................................195
7.8.
Автоколебательная система с 2,5 степенями свободы
с экспоненциальной характеристикой активного элемента.....................199
7.9.
Влияние размерности автоколебательной системы на спектральные
свойства хаотических сигналов..................................................................203
7.10.
Генерация хаотических колебаний с более сложными формами
спектра мощности.......................................................................................205
Глава 8. Компьютерное моделирование твердотельных
источников хаоса микроволнового диапазона..... 208
8.1.
Введение......................................................................................................208
8.2.
Принципы построения имитационных моделей для хаотических
систем микроволнового диапазона............................................................210
8.3.
Средства моделирования............................................................................211
8.4.
Модель твердотельного источника хаоса дециметрового диапазона........213
8.5.
Экспериментальный макет твердотельного источника хаоса
дециметрового диапазона...........................................................................223
8.6.
Модель твердотельного источника хаоса сантиметрового диапазона......227
8.7.
Экспериментальный макет твердотельного источника хаоса
сантиметрового диапазона..........................................................................228
8.8.
Сравнение расчетных и экспериментальных результатов.........................230
Глава 9. Генерация хаотических импульсов................................ 232
9.1.
Введение......................................................................................................232
9.2.
Модель неавтономной автоколебательной системы с 2,5 степенями
свободы........................................................................................................233
9.3.
Динамика низкоразмерной модели автоколебательной системы
при внешнем гармоническом воздействии................................................235
9.4.
Динамика низкоразмерной модели автоколебательной системы
при периодическом воздействии видеоимпульсами.................................237
9.5.
Генерация сложных идентичных импульсов.............................................239
9.6.
Модель неавтономной автоколебательной системы
с сосредоточенными параметрами.............................................................240
9.7.
Моделирование автоколебательной системы с сосредоточенными
параметрами под внешним управляющим воздействием.........................241
Содержание
6
9.8.
Идентичность импульсов............................................................................244
9.9.
Экспериментальный макет.........................................................................245
9.10.
Генерация импульсов. Эксперимент........................................................246
Глава 10. Твердотельные источники хаоса
микроволнового диапазона.............................................. 249
10.1.
Введение.....................................................................................................249
10.2.
Динамика некоторых простых автоколебательных систем
с сосредоточенными параметрами при учете эквивалентной схемы
корпуса транзистора....................................................................................249
10.3.
Источник хаоса микроволнового диапазона с одним источником
питания. Моделирование без учета топологии платы...............................256
10.4.
Источник хаоса микроволнового диапазона с одним источником
питания. Моделирование с учетом топологии платы................................258
10.5.
Экспериментальное исследование твердотельного источника хаоса
микроволнового диапазона с одним питанием..........................................260
10.6.
Источник хаоса микроволнового диапазона с одним источником
питания с печатными индуктивностями....................................................262
10.7.
Экспериментальное исследование динамических режимов
твердотельного источника хаоса микроволнового диапазона с одним
источником питания с печатными индуктивностями...............................267
10.8.
Экспериментальное исследование зависимости спектральных
характеристик сигнала от значений параметров системы.........................271
Глава 11. Генерация хаотических колебаний
в автоколебательной системе на основе
полевого транзистора........................................................... 275
11.1.
Введение.....................................................................................................275
11.2.
Модель автоколебательной системы с полевым транзистором
в качестве активного элемента....................................................................275
11.3.
Генерация хаоса на высоких частотах при заданной крутизне
характеристики транзистора.......................................................................279
11.4.
Моделирование с учетом реальных характеристик транзистора.............281
Глава 12. Моделирование твердотельных источников
хаоса микроволнового диапазона в виде
интегральных микросхем................................................... 285
12.1.
Введение.....................................................................................................285
12.2.
Моделирование твердотельных источников хаоса микроволнового
диапазона в виде интегральных микросхем на основе
кремний-германиевой технологии.............................................................286
Содержание
7
12.3.
Экспериментальная реализация твердотельного источника хаоса
микроволнового диапазона в виде интегральной микросхемы
на основе кремний-германиевой технологии............................................293
Глава 13. Распределенная автоколебательная система
с тремя активными элементами.................................... 294
13.1.
Введение.....................................................................................................294
13.2.
Структура автоколебательной системы....................................................294
13.3.
Экспериментальное исследование системы.............................................295
13.4.
Модель распределённой системы ............................................................299
13.5.
Исследование бифуркационных явлений................................................302
Глава 14. Система на сосредоточенных элементах................. 309
14.1.
Введение.....................................................................................................309
14.2.
Переход от системы с распределёнными элементами к структуре
на сосредоточенных элементах...................................................................309
14.3.
Динамика основных режимов колебаний................................................315
14.4.
Экспериментальное исследование системы.............................................320
14.5.
Изменение спектральных и энергетических свойств колебаний
при вариации количества активных элементов в кольце обратной
связи.............................................................................................................324
14.6.
Управление спектром автоколебаний......................................................326
Глава 15. Генерация хаоса в системе на КМОП-структуре..... 330
15.1.
Введение.....................................................................................................330
15.2.
Структура и модель системы.....................................................................331
15.3.
Исследование динамических свойств системы........................................334
15.4.
Управление диапазоном частот спектра мощности колебаний..............338
15.5.
Влияние длины канала КМОП-структуры на частотные
и энергетические характеристики хаотических колебаний.......................340
15.6.
Эксперимент..............................................................................................344
Процесс разработки экспериментального макета.......................................344
Исследование экспериментального макета.................................................348
Глава 16. Генерация хаотических импульсов
микроволнового диапазона в системе
на КМОП-структуре................................................................... 351
16.1.
Введение.....................................................................................................351
16.2.
Динамика системы при работе в импульсном режиме............................351
16.3.
Экспериментальное подтверждение возможности генерации
хаотических импульсов...............................................................................357
Содержание
8
Глава 17. Генераторы хаоса средней мощности
в микрополосковом исполнении................................. 359
17.1
Введение......................................................................................................359
17.2
Описание конструкции генератора и его динамических режимов..........359
17.3.
Низкочастотное периодическое воздействие на СВЧ-генератор............366
Глава 18. Феноменологические модели и их анализ.............. 369
18.1
Введение......................................................................................................369
18.2.
Динамика нелинейного осциллятора с р—n-переходом при внешнем
гармоническом воздействии. Численный эксперимент............................369
18.3.
Экспериментальное исследование физической модели нелинейного
осциллятора.................................................................................................377
18.4.
Нелинейный осциллятор при внешнем гармоническом воздействии
и постоянном смещении на р—n-переходе................................................383
18.5.
Низкочастотная модель генератора с варактором...................................386
Глава 19. Моделирование генерации микроволнового
хаоса повышенной мощности ....................................... 391
Литература .................................................................................................397
Предметный указатель ..............................................................................418
Предисловие
Нашим учителям и соратникам посвящается…
Динамический хаос — фундаментальное явление, отрытое в поведении нелиней-
ных систем в последней трети двадцатого века, детально исследовалось в после-
дующие годы учеными разных специальностей и к началу 90-х годов преврати-
лось их усилиями в зрелую область знаний. Тогда, а на самом деле даже раньше,
перед исследователями встал вопрос: как это явление может быть конструктивно
использовано в промышленности, медицине, бизнесе и других направлениях че-
ловеческой деятельности.
Встал этот вопрос и перед авторами предлагаемой книги, работающими в об-
ласти радиотехники, электроники и телекоммуникаций. К тому времени в Ин-
ституте радиотехники и электроники АН ССР (впоследствии РАН) был накоп-
лен значительный опыт разработки и применения источников хаотических коле-
баний радио- и СВЧ-диапазона. Это наталкивало на мысль использовать
хаотические колебания в системах беспроводной связи и радиолокации. Имелись
также теоретические представления о генерации хаотических колебаний в элек-
тронных системах с различным числом степеней свободы, в том числе с заданны-
ми спектральными характеристиками (Дмитриев и Кислов [1989]). Наконец, в это
время мысль об использовании хаотических колебаний в средствах беспроводной
связи витала в воздухе, и вскоре были опубликованы первые теоретические схе-
мы по передаче информации с его помощью.
Наши исследования в этом направлении, результаты которых обобщены в
книге (Дмитриев и Панас [2002]), привели к идее прямохаотической передачи ин-
формации (Дмитриев и др. [2001], [2002]).
Реализация этой идеи потребовала создания нового поколения источников
хаотических колебаний — компактных, небольшой мощности, работающих в за-
данных диапазонах частот и реализуемых (в перспективе) в виде интегральных
схем. Решение этой проблемы заняло несколько лет. В результате была создана
теория генерации хаоса, разработаны методы расчета и моделирования генерато-
ров хаотических колебаний, сконструирован и экспериментально исследован ряд
источников хаоса в различных участках радио- и СВЧ-диапазона.
Этим исследованиям и разработкам посвящена предлагаемая книга.
Создание компактных твердотельных генераторов хаоса позволило спроекти-
ровать и реализовать малогабаритные сверхширокополосные прямохаотические
приемопередатчики и начать использование этих коммуникационных средств в
беспроводных системах связи и сенсорных сетях.
В 2007 году метод прямохаотической передачи информации (передача с помо-
щью хаотических импульсов) был введен в стандарт сверхширокополосной бес-
проводной персональной связи IEEE 802.15.4a (Standard IEEE802.15.4a [2007]), и
тем самым международное научно-техническое сообщество впервые признало
динамический хаос в качестве нового эффективного носителя информации для
беспроводных систем связи.
В 2012 году сверхширокополосные хаотические импульсы были введены в ка-
честве носителя информации еще в один стандарт беспроводной персональной
связи — беспроводные нательные сенсорные сети (Standard IEEE 802.15.6 —
Wireless Body Area Networks — WBAN [2012]).
Так шаг за шагом осуществляется переход из области фундаментальных и при-
кладных исследований в практическую деятельность.
Во время проведения исследований и при подготовке самой книги нам по-
счастливилось работать и взаимодействовать со многими отечественными и зару-
бежными исследователями. Практически всегда это общение было не только
конструктивным, но и максимально дружеским. Особенно хотелось бы выделить
плодотворные дискуссии и обсуждения с В.С. Анищенко, Б.П. Безручко, В.Н. Бе-
лых, А.В. Гапоновым-Греховым, Г.Т. Гурия, С.А. Кащенко, М.В. Краюшкиным,
С.П. Кузнецовым, Д.С. Лукиным, В.Л. Майстренко, Ю.Л. Майстренко, Г.Г. Ма-
линецким, В.И. Некоркиным, Н.В. Рульковым, Ю.Г. Тратасом, Д.И. Трубецко-
вым, В.И. Федоренко, М. Хаслером, Л.О. Чуа, Н.П. Чубинским, Д.В. Шалфее-
вым, А.Н. Шарковским, В. Шварцем, Л.П. Шильниковым.
Авторы высоко ценят внимание к тематике книги и постоянную поддержку
исследований в области динамического хаоса со стороны руководства Института
радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН: Ю.В. Гуляева,
С.А. Никитова, В.А. Черепенина и И.И. Чусова.
Считаем своим приятным долгом выразить глубокую благодарность за сотруд-
ничество своим коллегам и соавторам ряда результатов, представленных в книге:
Ю.В. Андрееву, М.Ю. Герасимову, А.В. Клецову, Л.В. Кузьмину, Б.Е. Кяргин-
скому, В.А. Лазареву, А.М. Лактюшкину, Т.И. Мохсени, А.Ю. Никишову,
Д.Ю. Пузикову, А.И. Рыжову, Н.В. Румянцеву, В.И. Синякину, С.О. Старкову,
А.Д. Хилинскому.
Предисловие
Введение
Динамический (детерминированный) хаос, часто называемый просто хаосом, —
непериодические колебания в нелинейных детерминированных системах, демон-
стрирующие высокую чувствительность к начальным условиям. Эти колебания
имеют ряд общих черт со случайными процессами, в частности непредсказуе-
мость на длительные периоды времени и сплошной спектр мощности, но их при-
рода связана не со случайностью, а с нелинейными свойствами порождающих
эти колебания динамических систем.
Открытие и исследование динамического хаоса явились настоящей научной
революцией последней трети 20 века. Они привлекли пристальное внимание ис-
следователей из разных областей знаний своей красотой, широкой распростра-
ненностью как в естественных, так и в искусственных системах, простотой мате-
матических моделей, с помощью которых их можно исследовать, универсально-
стью бифуркационных механизмов и путей возникновения хаоса из регулярной
динамики. Изучение динамического хаоса и связанных с ним явлений потребова-
ло, по существу, создания нового раздела математики — математики нелинейных
динамических систем со сложным поведением.
Не менее важными явились и мировоззренческие следствия этого открытия.
Еще в начальный период исследований в области детерминированной сложной
динамики и хаоса Р. Мэй, обнаружив удивительное многообразие типов пове-
дения логистического отображения, пришел к выводу: «…Вероятно, для всех
нас было бы гораздо лучше, если бы не только при обучении или в научной ра-
боте, но и в повседневной, политической или экономической жизни как мож-
но большее число людей поняло, что простые динамические системы не обяза-
тельно приводят к простому динамическому поведению…» (May [1976]). И зна-
чительное число людей уже осознало, что малые изменения условий в
начальный момент могут приводить в результате через некоторое время не
только к малым, но и к большим изменениям («эффект бабочки»), а это озна-
чает, что системы, в том числе социальные, политические и другие, обладая
собственным сложным поведением, могут эффективно управляться с помощью
малых воздействий. Термины «хаос», «теория хаоса», «управляемый хаос» и
стоящее за ними содержание постепенно становятся элементом общей культу-
ры и часто используются как метафора.
Кроме общенаучного и мировоззренческого интереса, динамический хаос
представляет значительный интерес и обладает большими потенциальными воз-
можностями в сфере прикладных исследований и разработок, прежде всего в ра-
диофизике, электронике, системах передачи и защиты информации.
Усилиями многих коллективов у нас в стране и за рубежом был пройден ги-
гантский путь от экспериментального открытия этого явления, его осознания,
первого этапа исследований, через пришедшее понимание того, что динамиче-
ский хаос — явление вселенское в прямом смысле этого слова: оно присутствует и
наблюдается всюду в природе, в человеческом обществе — в искусственных объ-
ектах и системах, к целенаправленным исследованиям приборов и устройств, ге-
нерирующих хаос, изучению свойств этих процессов и поиску путей их применения.
Сегодня динамическому хаосу посвящены сотни книг и тысячи статей. В эти
книги вошли основополагающие теоретические и экспериментальные результа-
ты, описание исследований этого явления в разных областях науки, техники и
технологий. Почетное место в этом списке занимают книги математиков, ибо
именно математика является цементирующим раствором, позволившим иденти-
фицировать, систематизировать и дать прочное методологическое обоснование
для исследования хаоса во всех остальных областях знания.
Среди областей знаний, где наблюдаются и исследуются хаотические колеба-
ния, нелинейные электрические и электронные системы занимают особое место.
Во-первых, простые нелинейные устройства, состоящие из хорошо знакомых
со школы резисторов, емкостей и индуктивностей, дополненных нелинейными
элементами, оказались прекрасным экспериментальным полигоном для изуче-
ния бифуркационных явлений и хаоса.
Во-вторых, эти устройства являются моделями с достаточно хорошо контро-
лируемыми параметрами, и для них можно добиться хорошего совпадения (не
только качественного, но и количественного) между экспериментальными ре-
зультатами и моделированием.
И, наконец, в-третьих, радиотехника, электроника, информационные и теле-
коммуникационные технологии в целом являются очень привлекательными об-
ластями применения хаоса (хаотических колебаний).
Однако для практического применения хаоса в указанных областях недоста-
точно просто фиксации явления и его исследования в тех или иных объектах.
Нужно научиться создавать простые системы с контролируемыми параметрами,
способные генерировать хаос в нужных для решения той или иной задачи диапа-
зонах частот, и много чего другого.
Генерации хаоса в электронных устройствах посвящена предлагаемая книга.
За исключением первой обзорной главы, она содержит только оригинальные
материалы, в разное время опубликованные авторами в ведущих советских, рос-
сийских и зарубежных журналах.
Книга состоит из 19 глав, объединенных в 4 части.
Первая часть книги, состоящая из шести глав, посвящена построению теории
генерации хаоса в радиофизических системах.
В первой главе дан краткий экскурс в историю исследований хаотических ко-
лебаний в электронике СВЧ, в основном в ССР, до начала девяностых годов
(исследования в других странах, относящиеся к этому времени, авторам неизвестны).
В последующих главах в качестве модельных систем для построения теории
вводятся и исследуются кольцевые автоколебательные системы, которые включа-
ют в себя системы с числом степеней свободы от одной до бесконечности, демон-
стрируют богатый арсенал бифуркационных явлений, переходов к хаосу и хаоти-
ческих режимов и, что существенно, близки по своей структуре к классическим
генераторам электромагнитных колебаний радио- и СВЧ-диапазонов.
Здесь рассматриваются общие принципы построения радиофизических си-
стем со сложной динамикой и методов их исследований, вводятся кольцевые ав-
токолебательные системы с полутора степенями свободы, имеющие в качестве
единственного нелинейного элемента усилитель с падающим участком. Исследу-
ется их хаотическая динамика. Анализируется влияние различных факторов на
динамику этих систем, в том числе влияние асимметрии нелинейного элемента и
вырождения в систему, близкую к системе с одной степенью свободы, изучается
динамика простейших кольцевых автоколебательных систем при внешнем гар-
моническом воздействии. Главы 2, 3 представляют собой достаточно полную,
экспериментально подтвержденную теорию кольцевых автоколебательных си-
стем с полутора степенями свободы.
После этого центр тяжести исследований переносится на автоколебательные
системы с произвольным числом степеней свободы (глава 4). При этом детально
исследуются системы с 2,5 и 3,5 степенями свободы, прежде всего как системы, в
которых возможны новые, по отношению к системам с полутора степенями сво-
боды, механизмы перехода к хаосу и хаотические аттракторы повышенной раз-
мерности (гиперхаос).
Принципиальным вопросом для практического использования генераторов
хаоса является вопрос о воспроизводимости этих устройств от образца к образцу и
чувствительность хаотических режимов в этих устройствах к изменению внешних
и внутренних параметров. Разобраться с этим вопросом можно только путем со-
здания серии экспериментальных устройств и исследования вариабельности их
свойств для каждого из образцов. Естественно, при этом нужно сконструировать и
реализовать генераторы хаоса с контролируемыми параметрами — «прецизион-
ные генераторы хаоса», в которых, в частности, должны достаточно точно вос-
производиться нелинейные характеристики входящих в устройство компонентов.
Для решения этой задачи был предложен и исследован вариант кольцевого гене-
ратора с кусочно-линейной характеристикой усилителя и установлены условия
на точность значений компонентов, при которых достигается приемлемая точ-
ность воспроизведения характеристик генераторов. Было показано, как теорети-
чески, так и экспериментально, что это вполне реализуемая задача при использо-
вании имеющихся на рынке электронных компонентов (глава 5).
Использование хаоса в радиосвязи и других прикладных задачах требует со-
здания генераторов в нужном диапазоне частот с заранее определенной полосой,
а иногда и с заданной формой спектра мощности внутри полосы и скоростью его
спадания вне ее. Таким образом, речь идет о синтезе хаотических колебаний с за-
данным спектром мощности. Эта задача рассматривается и решается в послед-
ней, шестой главе первой части книги. Здесь вводятся модифицированные коль-
цевые автоколебательные системы, содержащие частотно-избирательные эле-
менты, и показывается их эффективная управляемость спектром колебаний уже в
системах с 2,5 и 3,5 степенями свободы.
В целом, в первой части книги построена модельная теория возбуждения, раз-
вития и синтеза хаотических колебаний с заданными спектральными характери-
стиками в системах с различным числом степеней свободы. Она используется в
последующих частях при создании структуры автоколебательных хаотических си-
стем микроволнового диапазона, разработке математических и функциональных
моделей генераторов хаоса, а также при интерпретации их поведения.
Вторая часть книги (главы 7—12) посвящена созданию твердотельных источ-
ников хаоса микроволнового диапазона на основе автоколебательных систем с
сосредоточенными параметрами.
Прежде всего формулируется и обсуждается задача построения микроволно-
вых источников хаоса. В теоретической части она в значительной степени опира-
ется на результаты первой части книги, но вместе с тем имеет ряд принципиаль-
ных отличий:
— практические схемы генераторов микроволнового хаоса должны использо-
вать в качестве активных элементов стандартные активные элементы электрони-
ки и микроэлектроники. Предпочтительнее всего биполярные и полевые транзи-
сторы, но они не имеют падающего участка;
— в таких устройствах не всегда можно реализовать развязывающие элементы;
— на высоких частотах как активные, так и пассивные элементы имеют доста-
точно сложные эквивалентные модели, которые должны быть учтены при моде-
лировании. Это, в частности, означает, что возможности математического моде-
лирования с помощью прямого описания модели на основе законов Кирхгофа
весьма ограничены и требуется переход к моделированию в специальных пакетах
для разработки нелинейных электронных устройств.
Базовая структура автоколебательных систем состоит из единственного нели-
нейного элемента и цепочки последовательно соединенных RLC-цепей (конту-
ров), между которыми отсутствуют буферные элементы. На примере емкостной
трехточечной схемы показано, что в генераторах с такой структурой можно полу-
чить спектр мощности, близкий к АЧХ петли обратной связи. Далее вводится мо-
дель генератора хаоса с 2,5 степенями свободы. Этот генератор получен из исход-
ной трехточечной схемы путем добавления в цепь обратной связи дополнитель-
ного RLC-звена, являющегося фильтром нижних частот второго порядка.
С увеличением числа степеней свободы, также как в модельных кольцевых ав-
токолебательных системах в первой части книги, увеличивается многообразие
форм АЧХ и, соответственно, спектров сигналов, реализуемых в системе. Так,
становится возможным получение спектров мощности, близких к полосовым.
При этом возрастает степень соответствия огибающей спектра форме АЧХ, а так-
же увеличиваются размеры зон хаотических режимов в пространстве параметров.
Кроме того, повышение размерности системы приводит к обогащению дина-
мики системы и возникновению новых сценариев перехода к хаосу.
Существенной характеристикой хаотических колебаний является степень из-
резанности их спектра мощности в полосе частот генерации. Показано, что в рас-
смотренных случаях она может регулироваться путем подбора параметров систе-
мы, на основе анализа двухпараметрической диаграммы показателей Ляпунова.
На основании полученных результатов сформулированы принципы построе-
ния транзисторных генераторов хаоса с заданными спектральными характери-
стиками.
Использование для исследования радиотехнических схем математических
моделей позволяет проанализировать основные особенности динамики систе-
мы. Однако при переходе от таких упрощенных математических моделей к ре-
альным радиотехническим устройствам возникает ряд проблем, связанных с
несоответствием параметров, при которых реализуются аналогичные режимы в
реальном устройстве и его математической модели. Это несоответствие затруд-
няет реализацию систем со сложной динамикой в виде электронных устройств.
Ведь в этом случае, помимо разработки и исследования упрощенной математи-
ческой модели, которую можно провести на компьютере, и разработки элек-
трической схемы устройства, необходимо провести экспериментальное иссле-
дование динамики и подстройку параметров системы для того, чтобы получить
характеристики, удовлетворяющие требованиям конкретной задачи. Для того
чтобы решить задачу перехода от математической модели генератора к радио-
техническому устройству, допускающему промышленное производство без до-
полнительной настройки, необходимо создать методику компьютерной разра-
ботки генераторов хаоса.
Предложенная методика включает в себя следующие этапы.
Первый этап — это выбор структуры генератора, включая выбор типа транзи-
стора (например биполярного), структуры, размерности и параметров пассивно-
го четырехполюсника так, чтобы обеспечить требуемую амплитудно-частотную
характеристику (АЧХ) петли обратной связи, а также, возможно, выбор конфигу-
рации цепи отвода сигнала.
Далее — создание математической модели устройства, поиск хаотических ре-
жимов, получение требуемых спектральных характеристик, регулировка изрезан-
ности спектра мощности.
Следующий этап — переход от математической модели к схемотехнической.
Здесь важнейший пункт — это выбор транзистора, пригодного для использова-
ния в предполагаемом частотном диапазоне.
Затем разрабатывается схемотехническая модель, собранная из идеальных
элементов, но с реальной моделью транзистора. Поскольку математические мо-
дели на основе кусочно-линейных или экспоненциальных характеристик транзи-
стора являются низкочастотными, то целесообразно вначале создать низкоча-
стотную схемотехническую модель, отладить ее, т. е. получить подходящий ре-
жим генерации, путем анализа бифуркационных диаграмм, после чего поднимать
рабочую частоту системы, пересчитывая ее параметры и при необходимости вно-
ся коррекцию, чтобы получить нужный режим. При повышении частоты до тре-
буемого диапазона проводится коррекция спектральных характеристик.
После этого идеальные элементы заменяются моделями реальных элементов и
проводится настройка характеристик и компенсация паразитных эффектов, воз-
никающих из-за неидеальности элементов схемы.
Далее необходимо учесть влияние топологии площадок платы и материала
подложки. Для этого разрабатывается топология будущей платы, учитываются
характеристики материала подложки, элементы, составляющие генератор, пере-
носятся на этот проект платы и проводятся расчеты с учетом влияния платы. По
результатам моделирования делается коррекция топологии платы или параме-
тров генератора для достижения режима генерации хаоса с требуемыми спек-
тральными характеристиками.
На конечном этапе изготовляется плата, создается макет генератора и прово-
дится его экспериментальное исследование. Неизбежные расхождения характе-
ристик могут быть скомпенсированы внесением соответствующих поправок в
модель генератора.
Описано применение разработанной методики при создании генератора ми-
кроволнового хаоса с биполярным транзистором в качестве активного элемента и
ряда других систем. Во всех системах имеет место хорошее совпадение расчетных
и экспериментальных результатов.
Разработанные в последующих главах теория, методики моделирования в спе-
циальных пакетах и методы экспериментальной отработки изготовленных
устройств применяются к решению следующих задач, имеющих принципиальное
значение в системах связи и локации, которые используют хаотические сигналы.
1. Формирование потока сверхширокополосных хаотических радиоимпульсов
с заданной частотой повторения и скважностью за счет внутренней модуляции
хаотической автоколебательной системы (глава 9).
2. Создание генератора полосового микроволнового хаоса на основе автоколе-
бательной системы с 2,5 степенями свободы с единственным источником пита-
ния и его исследование (глава 10).
3. Разработка автоколебательной системы с полевым транзистором в качестве
активного элемента (глава 11). Полевые транзисторы имеют некоторые преиму-
щества перед биполярными. Прежде всего они являются типичными элемента-
ми, применяемыми в технологии, основанной на комплементарной структуре
металл–оксид–полупроводник (КМОП). В настоящее время это наиболее актив-
но развивающаяся твердотельная технология, а так же наиболее дешевая как с
точки зрения разработки, так и массового производства устройств.
4. Создание источников хаоса микроволнового диапазона на основе автоколе-
бательных систем с сосредоточенными параметрами в виде интегральных микро-
схем. Рассмотрена задача разработки источников хаоса микроволнового диапазо-
на с биполярным транзистором в качестве активного элемента на основе крем-
ний-германиевой технологии 0,25 мкм (глава 12).
В первых двух частях книги рассматриваются кольцевые автоколебательные
системы с единственным активным элементом. Однако исторически первыми
микроволновыми генераторами хаоса были шумотроны — системы с распреде-
ленными параметрами, выполненные на двух лампах бегущей волны, включен-
ных в цепь обратной связи. Уже в начале 2000-х годов в результате эксперимен-
тальных исследований были созданы и твердотельные источники хаотических
колебаний с распределенными элементами — фрагментами полосковых линий в
цепи обратной связи. Переход к системам на сосредоточенных параметрах дает
новое качество: во-первых, резко уменьшаются размеры системы и технологиче-
ски становится осуществимой ее реализация в виде микросхемы и, во-вторых,
становится возможным применение развитых для систем с сосредоточенными
параметрами в предыдущих частях методов и подходов для моделирования и про-
ектирования микросхем генераторов хаоса. Таким образом, исследование воз-
можности создания хаотических кольцевых автоколебательных систем с несколь-
кими активными твердотельными элементами и генераторов хаоса на их основе
представляет несомненный интерес.
Третья часть книги посвящена генерации хаоса в кольцевых автоколебатель-
ных системах с несколькими активными элементами (главы 13—16).
Сначала в ней проведены теоретический анализ и моделирование экспери-
ментальной хаотической автоколебательной системы с тремя активными элемен-
тами, в результате чего определены условия возбуждения в системе автоколеба-
ний на разных частотах. После этого высказана идея, что условия возбуждения на
нескольких частотах могут быть реализованы и в системе с сосредоточенными
параметрами за счет запаздываний, вносимых активными элементами и пассив-
ными цепями на сосредоточенных параметрах. Предложена структура автоколе-
бательной системы, удовлетворяющая условиям возбуждения двух и более частот,
и проведено ее математическое и схемотехническое моделирование, которое по-
казало возможность генерации хаотических микроволновых колебаний с требуе-
мыми параметрами. Разработан и исследован макет генератора, генерирующий
хаос с характеристиками близкими, к расчетным.
Полученные результаты позволили перейти к созданию микросхем — генераторов
хаоса с несколькими активными элементами на основе КМОП-технологии. Рассмо-
трены основные этапы разработки, изготовления и исследования таких устройств.
В последней главе третьей части рассматривается и исследуется задача форми-
рования хаотических импульсов микроволнового диапазона в системе на КМОП-
структуре.
Полученные во второй и в третьей частях книги результаты позволяют проек-
тировать и создавать генераторы микроволнового хаоса. В основном в этих главах
шла речь о генераторах с выходной мощность от долей милливатта до десятков
милливатт. Такой уровень выходной мощности определяется требованиями со
стороны приложений, например, для беспроводных коммуникаций. Однако в
других потенциально интересных случаях требуется генерировать хаотические
колебания с мощностью от десятков до нескольких сотен милливатт.
Вопросы генерации микроволнового хаоса таких мощностей рассматриваются
в четвертой части книги (главы 17—19).
Здесь описывается экспериментально созданный генератор хаоса в микро-
волновом исполнении. Он имеет мощность ~ 200 мВт и коэффициент полезного
действия (КПД) около 25 %. К сожалению, его нельзя непосредственно исполь-
зовать в качестве основы для разработки других генераторов хаоса. Это связано с
двумя обстоятельствами. Первое — рассматриваемый генератор является генера-
тором с распределенными элементами (микрополосками), второе — у производи-
теля отсутствует детальная схемотехническая модель используемого в этом
устройстве активного элемента. Однако сама эквивалентная феноменологиче-
ская схема системы представляет интерес прежде всего с точки зрения получен-
ного в ней высокого КПД. Поэтому в ходе исследований анализируется эта фено-
менологическая модель автоколебательной системы, затем выбирается транзи-
стор повышенной мощности, работающий в нужном диапазоне частот и
имеющий схемотехническую модель от производителя.
Полученная модель с активным элементом повышенной мощности изучается
и оптимизируется при моделировании с использованием специализированных
пакетов. В результате показывается, что в генераторах с сосредоточенными пара-
метрами и использованием транзисторов повышенной мощности можно полу-
чать хаос с мощностью до несколько сотен милливатт при КПД ~20—25 %, что в
5—10 раз превышает расчетный КПД в маломощных генераторах (<~ 1 мВт).
В заключении суммируются изложенные результаты и делаются выводы.
Глава 1
Начало процесса. Обнаружение явления в электронных системах.
Первые экспериментальные и теоретические результаты
1.1. Введение
Разработка генераторов хаоса радио- и СВЧ-диапазонов ведется начиная с ше-
стидесятых годов двадцатого века. Созданию первых генераторов хаоса на ваку-
умных приборах предшествовало несколько лет интенсивных исследований по
получению шумовых колебаний в плазменно-пучковых системах. Плазменно-
пучковые системы с физической точки зрения были интересны тем, что хотя воз-
никновение шумовых колебаний в них связывалось с множеством степеней сво-
боды плазмы, выступающей в качестве рабочей среды, там явно присутствовала и
динамическая составляющая в виде усилителя и цепи обратной связи. В результа-
те интенсивность получаемых шумов была намного выше шумов «теплового
уровня». Эти работы базировались на статье (Ахиезер и Файнберг [1951]), в кото-
рой была обнаружена возможность усиления высокочастотной плотности моду-
ляции быстрого электронного пучка при прохождении его через электронно-
ионную плазму. С точки зрения радиоэлектроники появлялась принципиальная
возможность создания электронных усилителей и генераторов, в которых роль
замедляющих структур, обеспечивающих взаимодействие электромагнитных
волн с электромагнитным потоком, может играть прозрачная для электронного
потока плазма. В конце 50-х годов в ИРЭ АН СССР были поставлены теоретиче-
ские и экспериментальные исследования взаимодействия плазмы газового разря-
да с электронными потоками (Залогин и Кислов В.В. [2006]). В ходе теоретической
разработки и экспериментов была продемонстрирована возможность эффектив-
ного усиления электромагнитных волн в плазменных образованиях, пронизывае-
мых быстрым электронным потоком, как в модели Ахиезера и Файнберга, так и в
плазменно-пучковом образовании, находящемся в достаточно сильном продоль-
ном магнитном поле (Бернашевский и др. [1965]). Прибор представлял собой плаз-
менный аналог лампы обратной волны (ЛОВ).
При экспериментальном изучении генерации электромагнитных волн в плаз-
менно-пучковых системах с продольным магнитным полем был обнаружен неожи-
данный эффект излучения из такой системы интенсивных шумов в сантиметровом
диапазоне длин волн. Излучение имело интенсивность, которая многократно пре-
восходила тепловое излучение плазмы. Шум возникал сразу после включения
электронного пучка. Никаких переходных режимов не наблюдалось ни при увели-
чении тока электронного пучка, ни при увеличении магнитного поля.
На генератор шума, использующий обнаруженный эффект, Н.Н. Залогиным и
В.Я. Кисловым было получено авторское свидетельство (Залогин и Кислов В.Я.
[1963]). В развитие этого направления в середине 60-х годов шумовые колебания
были получены в системе «плазма — электронный пучок» и на прямых волнах.
Эти работы проводились в ИРЭ АН СССР и Харьковском физико-техническом
институте (ХФТИ). Макет генератора в ИРЭ представлял собой спиральную ЛБВ.
В системе при включении электронного пучка возникала генерация монохрома-
тических колебаний на одной из собственных частот. Эти колебания в сочетании
с воздействием пучка способствовали ионизации остаточного газа в баллоне и
возникновению в пространстве взаимодействия плазменно-пучкового разряда.
Образовавшаяся плазма существенно увеличивала импеданс связи медленных
волн с пучком, что приводило к одновременному возбуждению уже нескольких
типов таких волн на разных, неэквидистантных из-за дисперсионных свойств за-
магниченной плазмы, частотах. Конкуренция различных типов возбуждаемых
колебаний на нелинейностях системы «плазма — электронный пучок» в сочета-
нии с релаксационными пульсациями концентрации плазмы приводила к тому,
что результирующие колебания оказывались широкополосным шумом.
Уже в восьмидесятые годы после многолетних кропотливых теоретических и
экспериментальных исследований сотрудники ХФТИ пришли к выводу о том,
что генерация шума в плазменно-пучковых генераторах, так же как и в вакуум-
ных приборах, носит нелинейно-динамический характер.
1.2. Генерация хаоса в вакуумных приборах
В первых генераторах стохастических (хаотических) колебаний, разработанных в
ИРЭ АН СССР В.Я. Кисловым с сотрудниками, в качестве активного элемента
использовались вакуумные электронные приборы — лампы бегущей волны (Кис-
лов и др. [1967]; Кислов и др. [1979]; Кислов [1980]; Кислов и др. [1980]).
Вот как вспоминает события, связанные с созданием шумотрона, их активный
участник Н.Н. Залогин (Залогин и Кислов В.В. [2006]):
«…В 1966 Е.А. Мясин, В.Я. Кислов и Е.В. Богданов обнаружили генерацию
интенсивного электромагнитного шума в устройстве, состоящем из двух ЛБВ,
замкнутых
в кольцо. Это явление имело место тогда, когда одна их них была на-
строена как усилитель мощности, а другая, с уменьшенным током электронного
пучка, была перегружена по току источника, что ослабляло сигнал с сильнейши-
ми нелинейными искажениями. При рассмотрении в Институте патентной экс-
пертизы поданной исследователями заявки на авторское свидетельство был обна-
ружен американский патент 1965 года, защищавший генератор шума на ЛБВ, вы-
ход которой был замкнут на вход. Поскольку схемы генераторов и трактовка их
функционирования сильно отличались друг от друга, авторское свидетельство на
«шумотрон» (Кислов В.Я. и др. [1967]) было выдано (с приоритетом от 31 июля
1967 года). Открытая публикация этого авторского свидетельства имела место
лишь через 17 лет в 1984 году…».
Вскоре после обнаружения эффекта началось детальное изучение физических
механизмов, приводящих к хаотичности генерируемых колебаний. Из-за отсут-
ствия в шестидесятых годах высокопроизводительных компьютеров и удобных
для исследователей систем программирования подавляющее большинство ре-
зультатов, выявляющих происхождение и особенности генерируемых шумов, бы-
ло получено экспериментальным путем.
В процессе исследований выяснилось, что природа возникновения хаоса в
сложных автоколебательных системах кроется не в узкой специфике характеристик
лампы с бегущей волной. Авторы пришли к выводу, что имеют дело с фундамен-
тальным свойством автоколебательных систем со многими степенями свободы при
наличии в них сильных нелинейностей определенного типа. Применительно к
электронным генераторам большое количество степеней свободы означает много-
контурность или запаздывающую обратную связь в широкой полосе частот.
Обнаружение эффекта шумовой генерации в детерминированной системе с
низким уровнем флуктуаций было воспринято вначале с недоверием многими
специалистами в области статистической радиофизики и нелинейной теории ко-
лебаний, поскольку в то время понятие «автогенератор» ассоциировалось с воз-
буждением гармонических или несинусоидальных периодических колебаний.
Лампа бегущей волны, особенно в нелинейном режиме, является сложным
электронным прибором, характеристики которого зависят от многих параметров.
Тем не менее в процессе исследований шумовой генерации удалось построить
ряд математических моделей, качественно адекватных поведению физической
системы в некоторых частных случаях. В результате проведенных экспериментов
и исследования динамики моделей было выявлено три основных сценария разви-
тия хаотических колебаний (Залогин и Кислов В.В. [2006]).
Первый сценарий (автомодуляционный) реализовывался при использовании в
качестве нелинейного элемента ЛБВ, амплитудная характеристика которой име-
ла острый пик насыщения и выраженный участок после насыщения.
С помощью аттенюатора в цепи обратной связи затухание постепенно умень-
шалось. Сначала происходило регенеративное усиление начальных собственных
шумов ЛБВ, наблюдаемое с помощью чувствительного анализатора спектра. Мак-
симумы шумового сигнала имели место на частотах, соответствующих балансу фаз
в цепи обратной связи. При некотором критическом значении затухания в системе
возникала генерация на одной частоте, соответствующей максимуму коэффициен-
та передачи в кольце обратной связи. При этом регенеративное усиление шумов на
других собственных частотах системы эффективно подавлялось. Такое подавление
особенно имело место в районе, соответствующем максимальной амплитуде гене-
рируемых колебаний, и в начале работы — на падающем участке. При сползании
рабочей точки (точка пересечения амплитудной характеристики с прямой обрат-
ной связи) в зону, где тангенс угла наклона амплитудной характеристики становил-
ся меньше -1 (наклон отрицательный и по модулю больше 45о), в системе возника-
ла автомодуляция — колебания амплитуды от обхода к обходу, период которой со-
ответствовал двойному времени обхода цепи обратной связи. Затем автомодуляция
усложнялась по закону удвоения (2, 4, 8, редко 16). Интервалы устойчивого суще-
ствования цикла монотонно уменьшались с ростом их порядка. Наконец возника-
ли шумовые колебания, которые имели вид амплитудной модуляции хорошо выде-
ленной несущей (симметрия спектра). Коэффициент модуляции был невелик, но
возрастал с уменьшением затухания в цепи обратной связи. При дальнейшем
уменьшении затухания в цепи обратной связи шумовой режим модуляции снова
вырождался в периодический. Период соответствовал трем периодам обхода в цепи
обратной связи. Далее опять следовало удвоение периода модуляции и снова воз-
никали шумовые колебания. Наиболее часто автомодуляционный сценарий на-
блюдался тогда, когда в цепь обратной связи включался фильтр, ограничивающий
количество собственных частот в системе.
Второй сценарий развития хаотических колебаний в шумотроне был связан с
особенностями фазовой характеристики ЛБВ, а именно с динамическим набегом
фазы в нелинейном режиме. Эксперименты показали, что в диапазоне входных
сигналов, соответствующем насыщению мощности, динамический набег фазы
положителен. На падающем же участке амплитудной характеристики ЛБВ имеет
место резкий отрицательный набег фазы с крутизной, достигающей (π/2) рад/дБ.
Третий сценарий возбуждения широкополосных хаотических колебаний пред-
ставлял собой резкий взрывной переход от узкополосного автомодуляционного ре-
жима к режиму возбуждения широкополосных шумовых колебаний. При обсужде-
нии этих экспериментов было предположено, что в системе при определенной раз-
вязке в цепи обратной связи начинают выполняться условия одновременного
возбуждения и конкуренции множества видов колебаний. Кроме того, при изуче-
нии эволюции спектров колебаний, возбуждаемых в системе, была отмечена неэк-
видистантность собственных частот автоколебательной системы, обусловленная
дисперсией фазовой скорости в ЛБВ. В результате комбинационные частоты, ро-
ждающиеся при нелинейном взаимодействии, не совпадали с собственными часто-
тами системы. Возможно, это одна из причин, обусловливающих континуальность
спектра генерируемых колебаний. Этот сценарий возникновения хаотических ко-
лебаний в шумотроне был впервые описан в статье (Анисимова и др. [1983]).
При дальнейших экспериментальных исследованиях генераторов с запазды-
вающей обратной связью на основе ЛБВ было подтверждено существование этих
переходов к хаосу, а также зафиксированы переход к хаосу через разрушение дву-
мерного тора и перемежаемость (Кац и Трубецков [1984]; Кац [1984]; Кац [1985]).
Вскоре после создания шумотрона была показана возможность генерации
хаотических колебаний в устройствах на основе лампы обратной волны (Безруч-
ко и др. [1979]; Безручко и др. [1983]) и других вакуумных приборах.
Современное состояние исследований по генерации хаоса подробно описано
в коллективной монографии (Короновский и др. [2009]).
В начале восьмидесятых годов возник интерес к генераторам хаоса радио- и
СВЧ-диапазонов на основе полупроводниковых активных элементов, таких как
транзисторы.
1.3. Микрополосковые генераторы хаоса
Первые генераторы хаоса с использованием биполярных транзисторов в качестве
активных элементов были созданы в ИРЭ АН СССР весной 1981 года (Кислов В.Я.
[1993]). Это были генераторы радиодиапазона, выполненные с применением ми-
крополосковых элементов. В том же году на основе этих результатов был разрабо-
тан передатчик хаотических сигналов «Шатер» для защиты информации в устрой-
ствах вычислительной техники от утечки по побочным излучениям. Передатчик
оказался очень эффективным и в различных модификациях выпускается и ис-
пользуется до настоящего времени.
В 1983—1984 годах были разработаны транзисторные генераторы хаоса в диа-
пазоне 3 ГГц и, таким образом, началось освоение СВЧ-диапазона. Ряд интерес-
ных динамических явлений в этих генераторах описан в работах (Максимов и Кис-
лов В.Я. [1983]; Максимов [1984]). В последующие несколько лет был разработан
ряд транзисторных генераторов хаоса в диапазоне до 6 ГГц. Все эти генераторы
были реализованы на микрополосковой технологии и имели выходные мощно-
сти от нескольких десятков милливатт до 1 Вт.
Пример генератора хаоса СВЧ-диапазона (Максимов [1984]) подробно описан
в главе 19.
В конце 90-х годов в связи с идеей использования динамического хаоса в си-
стемах связи встал вопрос о создании генераторов хаоса нового поколения. Су-
щественными характеристиками этих новых генераторов должны были стать: не-
большие мощности генерации (~ 1 мВТ), компактность, низкая стоимость и при-
годность к массовому производству.
Было ясно, что в перспективе задачу нужно решать путем создания хаотиче-
ских генераторов в виде монолитных интегральных схем (Губанов и др. [1999],
Дмитриев и др. [2000а]). Однако это был вопрос будущего, а эксперименты по пе-
редаче информации нужно было начинать немедленно. Поэтому с учетом имею-
щегося опыта в создании хаотических генераторов был разработан микрополо-
сковый генератор широкополосных хаотических колебаний дециметрового диа-
пазона (Дмитриев и др. [2002а]) (рис. 1.1).
В качестве активного элемента (Q) в генераторе использован транзистор
2Т938А-2. В основу конструкции была положена трехточечная схема. Функцию
резонансного элемента (пассивного осциллятора) выполнял резонатор на связан-
ных полосковых линиях (RE). С макетом генератора были проведены экспери-
менты, которые показали, что при соответствующем подборе параметров элемен-
тов схемы в генераторе возбуждаются хаотические колебания, полоса и неравно-
мерность спектра мощности которых определяются полосой пропускания и
неравномерностью амплитудно-частотной характеристики резонатора. На рис.
1.1, б представлен спектр мощности выходного сигнала генератора. По уровню
10 дБ полоса генерации составляет ~150 МГц, при центральной частоте ~950
МГц, неравномерность спектральной характеристики менее 5 дБ.
Весной 2000 года с применением этого генератора были проведены первые
эксперименты по беспроводной прямохаотической передаче информации (Дми-
триев и др. [2002], Dmitriev et al. [2001], Dmitriev et al. [2003а]).
В дальнейшем хаотические генераторы этого типа были созданы и в других
диапазонах СВЧ-частот.
Один из возможных подходов к созданию генераторов хаотических колебаний
предусматривает создание структуры из двух или нескольких взаимодействующих
осцилляторов. Подробно этот подход описан в работе (Максимов и Панас [2003];
Maximov & Panas [2004]). В этой же работе предложен генератор хаотических коле-
баний, построенный на основе двух взаимно связанных подсистем с идентичной
топологией (рис. 1.2). Связь между подсистемами осуществлялась с помощью не-
сбалансированного сумматора мощности и могла регулироваться емкостью Сс
(рис. 1.2, а). На рис. 1.2, б приведен спектр мощности хаотического сигнала генера-
тора. Ширина спектральной характеристики увеличилась примерно в 2,5 раза, а ее
изрезанность уменьшилась по сравнению с одиночным генератором.
Транзистор — не единственный элемент, который может быть использован в
качестве активного элемента при разработке источников хаоса микроволнового
диапазона. Так, в работах (Дмитриев и др. [2005а]; Дмитриев и др. [2005б]; Panas et
al. [2007]) предложен и описан генератор хаоса кольцевой структуры на основе
чип-усилителей.
Блок-схема источника хаоса представлена на рис. 1.3, а, а внешний вид его
экспериментального макета — на рис. 1.3, б. Система состоит из трех чип-усили-
телей, последовательно включенных и замкнутых в кольцевую схему через ми-
крополосковый разветвитель. Функция последнего — ответвить большую часть
сигнала из кольца обратной связи в нагрузку, а оставшуюся часть направить сно-
ва в кольцо. Основной волноведущей структурой генератора является 50-омная
микрополосковая линия. В качестве ЧИП-усилителей были использованы стан-
дартные, промышленно выпускаемые усилительные элементы, согласованные по
входу и выходу на 50 Ом.
Анализ сигналов на выходах усилителей показал, что первый из усилителей
(по направлению распространения сигнала по кольцевой схеме) работает в режи-
ме, близком к линейному, второй выполняет функцию усилителя средней мощ-
ности, а третий работает в режиме насыщения, играя тем самым роль основного
нелинейного элемента системы.
Макеты источников были реализованы по микрополосковой технологии.
В качестве подложки использовались диэлектрические материалы толщиной 1 мм
с ε = 2.8 и ε = 10.0. В процессе работы с экспериментальными макетами источни-
ков хаоса были опробованы различные ЧИП-усилители, отличающиеся как па-
раметрами, так и технологией их изготовления.
Было установлено, что диапазон и полоса частот генерируемых колебаний со-
ответствуют аналогичным параметрам усилителей. Так, если рабочая полоса
ЧИП-усилителя по паспортным данным находится в диапазоне 100—5500 МГц,
то именно ее и занимает спектр мощности выходного сигнала генератора. Один
из типовых спектров мощности выходного сигнала в режиме генерирования хао-
тических колебаний для случая использования усилителей МSA-0986 приведен
на рис. 1.4.
1.4. Моделирование генераторов хаоса
Динамический хаос является принципиально нелинейным явлением. В силу его
непериодичности, чувствительности к начальным условиям и непредсказуемости
траекторий на большие времена для него нельзя получить решение в замкнутом
аналитическом виде. Поэтому основная роль в теоретическом исследовании ди-
намических систем с хаотическим поведением принадлежит численному модели-
рованию на компьютерах в совокупности с методами развитой за последние деся-
тилетия качественной теории динамических систем. Сейчас это общая схема ис-
следования любой динамической системы со сложным поведением. Более сорока
лет назад, когда начиналась история генераторов хаоса, не было ни соответствую-
щих разделов теории динамических систем, ни мощных компьютеров с графиче-
ским интерфейсом, ни широкого взаимодействия специалистов различных спе-
циальностей из Горького, Москвы, Киева, Новосибирска, Саратова, Ярославля и
других научных центров по изучению явления динамического хаоса, которое
сформировали в СССР десятью годами позже. Не было даже термина «динамиче-
ский (детерминированный) хаос». Поэтому первые модельные представления о
характере явления, приводящего к генерации шумоподобных колебаний в элек-
тронных приборах, носили качественно описательный характер, вызывали насто-
роженное отношение коллег к реальности и физической природе полученных
шумоподобных колебаний и, конечно, не удовлетворяли самих авторов. Словом,
ситуация была типичной для результатов, претендующих на серьезное открытие:
а есть ли мальчик?
Но приборы работали, представления уточнялись, и к 1974 году В.Я. Кисло-
вым с сотрудниками были созданы первые математические модели шумотрона на
основе нелинейных разностных и дифференциально-разностных уравнений.
Модели качественно верно объясняли природу наблюдаемых нерегулярных коле-
баний. В силу специфики работы лаборатории эти результаты в открытой печати
были опубликованы несколько позже (Кислов В.Я. и др. [1979]; Кислов В.Я.
[1980а, б]). А в 1980 за цикл работ по генераторам хаоса авторскому коллективу
была присуждена Государственная премия СССР.
Итак, первые математические модели шумотрона помогли описать явление и
понять его природу.
Следующий этап моделирования генераторов хаоса связан с исследованием
электронных автоколебательных с малым числом степеней свободы. К ним отно-
сятся генератор на туннельном диоде (Пиковский и Рабинович [1978]; Кияшко и др.
[1980]), генератор с инерционной нелинейностью (Анищенко и др. [1982]), кольце-
вые генераторы (Дмитриев и Кислов В.Я. [1984]), цепи Чуа (Matzumoto [1984]), си-
стемы фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) (Endo & Chua [1988]; Алексеев и др.
[1994]) и некоторые другие схемы.
В отличие от первого этапа работ в области хаотической динамики, на этом
этапе детально изучались бифуркационные явления в моделях и свойства самого
хаоса. В частности, в ИРЭ АН СССР были предложены и детально исследованы
модели генераторов в виде кольцевых автоколебательных систем (Дмитриев и
Кислов В.Я. [1984]; Гуляев и др.[1985]; Дмитриев и Панас [1986а]; Дмитриев и Стар-
ков [1986а]; Dmitriev et al. [1988]). Модели отражали как часть существенных черт
шумотрона, так и помогали объяснить и понять бифуркационные явления в тран-
зисторных генераторах хаоса на микрополосковых элементах. Кроме того, на
этих моделях была показана принципиальная возможность формирования спек-
тра мощности хаотических колебаний, близкого к заданному спектру, в системах
с малым числом степеней свободы путем введения фильтров в цепь обратной свя-
зи генератора (Бельский и др. [1992]; Dmitriev et al. [1996]). В дальнейшем эти ре-
зультаты были использованы при создании СВЧ транзисторных генераторов с
заданной полосой частот.
Использование транзисторов в генераторах хаоса требовало создания матема-
тических моделей генераторов с этими активными элементами. Прежде всего,
это было нужно для понимания и исследования механизмов, приводящих к хао-
тизации колебаний, а затем уже можно было бы подумать и о синтезе генераторов
хаоса с заданными характеристиками.
Простая математическая модель генератора хаоса с 1,5 степенями свободы и
транзистором в качестве активного элемента была предложена в (Дмитриев и
Иванов [1988]). Там же были описаны эксперименты по возбуждению хаотиче-
ских колебаний в транзисторном генераторе с сосредоточенными элементами
мегагерцового диапазона частот.
Следующий важный шаг в разработке моделей транзисторных генераторов
хаоса был сделан в работе (Kennedy [1994]), где было показано, что классическая
емкостная трехточечная схема генератора (рис. 1.5, а) при определенном выборе
параметров может демонстрировать хаотическое поведение. Первые результаты
относились к генерации хаоса в области низких частот, впоследствии с помощью
моделирования в пакете PSpice была показана возможность получения хаотиче-
ских колебаний в генераторе Колпитца и в радиодиапазоне (Wegener & Kennedy
[1995]; Burykin & Panas [1997]). Эта система получила большую популярность, и
впоследствии ряд групп занимались исследованием хаотической динамики в ге-
нераторе Колпитца и его модификацях (Lindberg [1997]; Maggio et al. [1999]; Cenys
et al. [2003]; Tamaševicius [2004]; Максимов [2006]).
На рис. 1.5, б представлен типичный хаотический режим, наблюдаемый в ге-
нераторе Колпитца (Burykin & Panas [1997]).
Особенностью хаотического режима генератора Колпитца является широко-
полосность возбуждаемых в нем колебаний. В приведенном примере спектр
мощности сигнала простирается как в область очень низких частот, так и в об-
ласть высоких частот, во много раз превышающих основную частоту генерации
(рис. 1.5, б). С точки зрения применения генератора в системах связи такие режи-
мы малоперспективны, поскольку в этом случае необходимо получение хаотиче-
ских колебаний в ограниченной, наперед заданной полосе частот.
Для того чтобы получить возможность реализации полосовых хаотических
сигналов, в работе (Максимов и Панас [2000]) было предложено, как и в кольце-
вых системах, ввести в обратную связь генератора резонансный элемент (фильтр),
обеспечивающий ей необходимые частотно-избирательные свойства и тем самым
создающий условия для генерации колебаний преимущественно в полосе пропу-
скания резонансного элемента. При этом ширина и неравномерность спектра
мощности колебаний определяется соответствующими характеристиками резо-
нансного элемента.
Данный подход был апробирован в численном эксперименте. В качестве ак-
тивного осциллятора использовался генератор с емкостной трехточкой, а в каче-
стве пассивного осциллятора — частотно-избирательная система, составленная
из цепочки нескольких последовательно-параллельных RLC-звеньев, которые в
совокупности формировали полосно-пропускающий фильтр (Максимов и Панас
[2000]; Panas et al. [2000]).
До сих пор мы обсуждали применение математического и компьютерного мо-
делирования для целей исследования динамики генераторов хаоса. Но, как уже
отмечалось, «голубой мечтой» является полная или почти полная разработка ге-
нераторов хаоса радио- и СВЧ-диапазонов с помощью компьютерного моделиро-
вания. Что нового в моделировании требует эта задача?
Во-первых, нужно иметь конкретную электрическую схему создаваемого
устройства, которую можно аккуратно описать с помощью эволюционных урав-
нений. Поэтому предпочтительно иметь дело со схемой на сосредоточенных па-
раметрах. Схемы на сосредоточенных параметрах (без микрополосков) привлека-
тельны также с точки зрения простоты реализации их в виде интегральных моно-
литных микросхем.
Во-вторых, реальные транзисторы, также как и пассивные элементы схем, на
высоких частотах имеют значительно более сложную структуру, чем та, которую
отражают их простейшие математические модели. Поэтому, если в простейшем
случае модель транзистора — просто нелинейная функция, описывающая зави-
симость тока коллектора от напряжения база—эмиттер, то для адекватного опи-
сания поведения высокочастотного или СВЧ-генератора необходимо использо-
вать модели, содержащие десятки дифференциальных уравнений и соответствую-
щее число параметров. Для СВЧ-транзисторов имеется несколько типовых
моделей, и производители, как правило, предоставляют параметры своих
устройств для одной из них. То же самое относится и к пассивным элементам.
Но и этого недостаточно. Для моделирования нужно еще иметь специальные
программные средства, которые позволяли бы собирать модели из этих кубиков.
Кроме того, при проектировании необходимо учитывать реальные характеристи-
ки материала подложки, на которой реализуется схема. Только при выполнении
совокупности этих условий можно рассчитывать на то, что разрабатываемое
устройство будет вести себя так же, как построенная модель.
Программные средства, обеспечивающие такое адекватное моделирование,
начали создаваться еще в 70-е годы. Одной из первых разработок был пакет Spice,
созданный в Калифорнийском университете (Беркли). На его основе позднее
был создан пакет второго поколения Electronic Work Bench, предназначенный
первоначально для моделирования относительно низкочастотных устройств без
учета влияния подложки. Следует отметить, что начиная с 70-х годов прошлого
века возник, в первую очередь в США, новый сектор экономики, занимающийся
разработкой систем автоматического проектирования электронных устройств
(Electronic Design Automation — EDA). Объем продаж в этой отрасли в 2006 году
составил 6 млрд долл. В отрасли многократно происходила смена компаний-ли-
деров. Сейчас основными производителями программного обеспечения являют-
ся такие компании как Mentor Graphics, Cadence Design Systems и Synopsis. Хоро-
шие позиции на этом рынке имеет и компания HP со своим продуктом Advance
Design Systems (ADS).
Благодаря усилиям этих компаний на рынке имеется несколько программных
пакетов для разработки высокочастотных и СВЧ-устройств, хорошо зарекомен-
довавших себя при создании приборов, предназначенных для работы с регуляр-
ными сигналами.
Как правило, в таких пакетах имеется возможность работать как в частотной,
так и во временной области. В процессе моделирования обычно основная часть
исследования проводится в частотной области, а временная область используется
для анализа переходных характеристик и учета нелинейных свойств. При модели-
ровании во временной области широко применяются приближенные методы
описания динамики систем.
В случае систем с хаосом можно использовать только моделирование во вре-
менной области без использования приближенных методов. Поэтому возмож-
ность адекватного анализа динамики генераторов хаоса с использованием имею-
щихся на рынке пакетов схемотехнического моделирования, предназначенных,
вообще говоря, для решения других задач, неочевидна и потребовала серьезных
исследований. Успех этих исследований вместе с разработкой теории генерации
микроволнового хаоса в системах с конечным числом степеней свободы позво-
лил перейти от экспериментальной отработки генераторов хаоса к почти полно-
стью компьютерной разработке с последующей экспериментальной проверкой и
доводкой.
Генерация хаотических колебаний как научное направление к концу 80-х го-
дов получила значительное развитие как в вакуумной, так и в полупроводнико-
вой электронике. Вместе с тем, к этому времени назрела потребность в разработ-
ке генераторов хаоса, пригодных к массовому производству, с малыми габарита-
ми и низким энергопотреблением, воспроизводимыми характеристиками, а
также возможностью их последующей реализации в виде микрочипа. Для
устройств с такими свойствами микрополосковая технология оказывается непри-
менимой.
Такими устройствами являются генераторы хаоса, выполненные на основе со-
средоточенных элементов. Результаты исследований в этом направлении подроб-
но рассматриваются в последующих главах книги.
Глава 2
Радиофизические системы с собственной сложной динамикой
и методы их исследования
2.1. Введение
Математические модели радиофизических и электронных систем с хаотическим
поведением описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями,
системами таких уравнений, дифференциально-разностными уравнениями,
уравнениями в частных производных и т. д. Уже это разнообразие математиче-
ских моделей, описывающих явление динамического хаоса в радиофизических
системах, говорит о том, что для понимания общих закономерностей динамики
таких систем целесообразно попытаться перейти от конкретных уравнений к не-
которой другой форме моделей, которая при ее математической трактовке поро-
ждала бы конкретные уравнения.
Такая постановка задачи представляет интерес не только с теоретической точ-
ки зрения, но и с практической. Рассмотрим проблемы, возникающие при разра-
ботке моделей генераторов хаотических колебаний радио- и СВЧ-диапазонов.
Большинство практических схем таких генераторов имеет относительно про-
стую структуру. Вместе с тем при попытках создания математических моделей ге-
нераторов с целью изучения закономерностей их динамики приходится сталки-
ваться со следующими трудностями:
— построение адекватной математической модели на основе законов Кирхго-
фа даже при наличии радиотехнической схемы оказывается весьма слож-
ной задачей;
— в зависимости от выбранных переменных получаются и изучаются разные
системы уравнений, т. е. разные математические модели, соответствующие
одной и той же радиофизической системе;
— возникают трудности с адекватным представлением характеристик нели-
нейных элементов, поэтому при различиях в поведении исходной системы
и ее модели остается открытым вопрос о причинах несоответствия (они
могут быть связаны как с неадекватным описанием нелинейных элемен-
тов, так и с неточным выбором структуры уравнений модели);
— неясно, насколько результаты исследования конкретных систем отражают
общие закономерности динамики генераторов хаотических колебаний.
Актуальность проблемы поиска и исследования общих закономерностей
сложной динамики радиофизических систем приводит к необходимости поиска
альтернативных по отношению к прямому написанию уравнений путей модели-
рования радиофизических систем. В качестве такого альтернативного подхода
рассмотрим подход, связанный с моделированием системы через совокупность
стандартных элементов, соответствующим образом связанных между собой.
В дальнейшем будем называть такие модели структурными.
Имеется ряд предпосылок для успешного построения, анализа и использова-
ния структурных моделей в интересах исследования общих закономерностей по-
ведения систем со сложной динамикой.
1. Наличие методов операторного описания систем из стандартных звеньев с
сосредоточенными параметрами (Фельдбаум и Бутковский [1971]): инте-
грирующих, усилительных, дифференцирующих, апериодических, колеба-
тельных. Имеется возможность описания в рамках такого подхода звеньев
распределенными параметрами (Бутковский [1977]) и нелинейных безы-
нерционных преобразований.
2. Прямое соответствие между стандартными звеньями и типовыми элемен-
тами радиофизических систем: усилителями, RC- и RLC-цепочками, филь-
трами и т. д. При наличии структурной схемы это дает возможность перей-
ти к ее реализации в радиофизическом эксперименте.
3. Универсальность языка моделей, состоящих из стандартных звеньев, и
применимость его не только при исследовании радиофизических систем,
но и в механике, теории управления, биологии и т. д.
Таким образом, подход к моделированию радиофизических систем, основан-
ный на применении типовых элементов, потенциально обладает большими воз-
можностями. Вместе с тем нужно отчетливо сознавать, что далеко не все реаль-
ные системы можно представить в виде простой, состоящей из типовых взаимо-
действующих элементов схемы. В некотором смысле простота структурной
модели определяет простоту и математической модели.
Хотя требование структурного представления и накладывает ограничения на
возможные модели радиофизических систем, множество таких моделей остается
все еще слишком широким для конструктивного исследования общих законо-
мерностей поведения систем со сложной собственной динамикой. К тому же не
объединенные общей идеологией, эти модели по-прежнему остаются слишком
частными, чтобы на основании их свойств можно было говорить об общности за-
кономерностей, приводящей к хаотической динамике и характеризующей ее раз-
витие.
Для выяснения этих закономерностей необходимо выявить роль различных
факторов, определяющих поведение систем. Поэтому желательно изучать не от-
дельные системы, а классы систем, в рамках которых можно исследовать роль
различных структурных элементов (числа степеней свободы, числа и характера
положений равновесия, фильтрующих свойств, различных нелинейностей и т. д.)
в формировании странных аттракторов и свойств этих аттракторов.
Применительно к радиофизическим и электронным системам класс (классы)
моделей должен удовлетворять следующим требованиям:
— содержать системы с произвольным числом степеней свободы и произ-
вольным числом положений равновесия при фиксированном числе степе-
ней свободы;
— обладать достаточно широким набором явлений сложной динамики;
— иметь возможно более простую структуру;
— допускать наряду с численным и теоретическим экспериментальное иссле-
дование;
— иметь отношение к практически используемым схемам;
— допускать ясную физическую трактовку элементов, составляющих систе-
му, и процессов, протекающих в них.
2.2. Кольцевые радиофизические системы
Рассмотрим совокупность систем, состоящих из замкнутых в кольцо, последова-
тельно включенных активных и пассивных элементов. Под активными элемента-
ми будем понимать линейные и нелинейные усилители и безынерционные эле-
менты, производящие нелинейное преобразование сигнала. В кольце одновре-
менно могут быть задействованы один или несколько активных элементов. В него
включаются также пассивные элементы: дифференцирующие, интегрирующие,
колебательные и апериодические звенья, которые могут быть как линейными,
так и нелинейными. Кроме элементов с сосредоточенными параметрами, в коль-
це могут присутствовать элементы с распределенными параметрами, простей-
шим из которых является задержка. Предполагается, что сигнал в кольце распро-
страняется только в одну сторону.
Таким образом, описанная совокупность выделяется из общего множества
структурных моделей двумя признаками: наличием единственной петли обрат-
ной связи и односторонним распространением сигнала в кольце.
С целью сделать задачу более конструктивной и обозримой в главах 2—5 рас-
сматриваются системы только с единственным активным нелинейным элемен-
том, а список применяемых пассивных элементов ограничивается апериодиче-
ским звеном, колебательным звеном, дифференцирующим звеном и задержкой.
В радиофизической трактовке апериодические звенья играют в кольцевых систе-
мах роль фильтров нижних частот первого порядка, колебательные звенья —
фильтров нижних частот второго порядка.
В главах 3, 4 будет показано, что в качестве класса автоколебательных систем
(АКС), обладающих достаточно широким набором явлений сложной динамики,
может рассматриваться совокупность кольцевых автоколебательных систем, со-
стоящих из замкнутых в кольцо нелинейного усилителя, N апериодических
звеньев и К колебательных звеньев. Система дифференциальных уравнений,
описывающая такие АКС, имеет вид
T X X FY
T X X X T X X X
Y Y
K
N N N N
1 1 1
2 2 2 1 1
1 11 1
+ =
+ = + =
+ +
−
( ),
,..., ,
2
1 1
2 2 2
1 Y X Y Y Y Y N K K K K K K K = + + = ,....., − ,
(2.1)
где Ti — постоянные времени апериодических звеньев, αi и ωi — коэффициенты
диссипации и резонансные частоты колебательных звеньев, F(Y) — характери-
стика нелинейного элемента.
Совокупность систем (2.1) будем рассматривать в дальнейшем как базовую,
включающую единственный нелинейный элемент, а в качестве линейных эле-
ментов — только апериодические звенья (RC-фильтры нижних частот первого
порядка) и колебательные звенья (RLC-фильтры нижних частот второго поряд-
ка). Модели (2.1) обеспечивают возможность достаточно эффективного изучения
общих закономерностей динамики радиофизических систем в смысле требова-
ний, выдвинутых выше.
Действительно, класс систем, описываемый уравнениями (2.1), содержит си-
стемы с произвольным числом степеней свободы, имеет очень простую структуру
(в частности поиск точек равновесия системы сводится просто к решению нели-
нейного уравнения X = F(X)), допускает наряду с численным и теоретическим
экспериментальное исследование при реализации апериодического и колеба-
тельного звеньев в виде фильтров нижних частот первого и второго порядков, а
нелинейного усилителя в виде последовательно соединенных нелинейного эле-
мента (например на основе р — п —р—n-структуры, глава 4) и линейного усилите-
ля. Многие практические схемы генераторов хаотических колебаний по своей
структуре близки к кольцевым схемам.
Остановимся несколько подробнее на трактовке физических процессов, про-
текающих в системе.
Одной из особенностей рассматриваемой базовой совокупности систем (2.1)
является возможность ее представления в виде последовательно соединенных и
замкнутых в кольцо нелинейного безынерционного элемента и линейного филь-
тра нижних частот. В таком представлении кольцевая автоколебательная система
представляет собой модель типичного генератора, состоящего из усилителя и
внешней цепи обратной связи. Правда, обычно при исследовании таких генера-
торов рассматривается случай резонансного усилителя (Андреев В.С. [1982]; Хар-
кевич [1956]).
Рассмотрим амплитудно-частотные и фазово-частотные характеристики (АЧХ
и ФЧХ) фильтра нижних частот первого порядка и фильтра нижних частот второ-
го порядка, входящих в цепь обратной связи кольцевой системы (рис. 2.1, а, б).
Оба этих фильтра характеризуются наличием фазового запаздывания выходного
сигнала относительно входного. На высоких частотах для RC-фильтра это запа-
здывание достигает 90°, а для RLC-фильтра — 180° (рис. 2.1, б). Используя метод
D‑разбиения по комплексному параметру, можно показать, что для возбуждения
автоколебаний в кольцевой системе с RC- и RLC-фильтрами должны выполнять-
ся условия баланса фаз для фазового запаздывания в усилителе φУ(ω) и в цепи
обратной связи φО.С.(ω)
. . ( ) + ( )=2n,n=1,2,.... (2.2)
и условие для коэффициента передачи усилителя KУ() и цепи обратной свя-
зи K . .()
K K . . ( ) ( )>1. (2.3)
Частота возбуждения колебаний ω определяется из соотношения (2.2). Из
(2.2) следует, что для возбуждения автоколебаний в системе, содержащей только
RC-фильтры, требуется, чтобы их было не меньше трех при условии, что усили-
тель вносит сдвиг фаз, равный 180°. Если же усилитель вносит фазовый сдвиг,
равный нулю, то для возбуждения автоколебаний требуется наличие не менее пя-
ти RC-фильтров.
Проанализируем частотные характеристики двух комбинаций из RC- и
RLC‑фильтров: 1) RC-фильтр плюс RLC-фильтр; 2) RC-фильтр плюс два
RLC‑фильтра. АЧХ и ФЧХ этих линейных систем приведены на рис. 2.1, в, г. Из
рисунка следует, что возбуждение автоколебаний при замыкании обратной связи
первой системы возможно, если входящий в нее усилитель вносит фазовый сдвиг,
равный 180°. Во второй системе с двумя RLC-фильтрами возможно возбуждение
автоколебаний как при наличии усилителя, сдвигающего фазу сигнала на 180°,
так и в случае усилителя, обеспечивающего нулевой сдвиг фаз.
Из аналогичных рассуждений следует, что фазовые соотношения (2.2) допу-
скают возбуждение колебаний на двух частотах в системе с тремя RLC-фильтрами
и усилителем, инвертирующим фазу на 180°, или в системе с четырьмя RLC‑филь-
трами и усилителем, не сдвигающим фазу. Наконец, для дальнейшего рассмотре-
ния представляет интерес ситуация с возможностью возбуждения колебаний на
двух различных частотах уже в системе с 2,5 степенями свободы (двумя RLC‑филь-
трами), но в которой характеристика усилителя имеет как восходящий, так и па-
дающий участки.
Рассмотренные случаи связаны со сдвигом фаз в усилителе на 0° и 180° и при-
водят к наиболее простым математическим моделям. Однако в общем случае
сдвиг фаз в усилителе может быть произвольным и, кроме того, зависящим от ча-
стоты.
Помимо баланса фаз, возможность возбуждения колебаний на той или иной
частоте определяется также соотношением (2.3) для коэффициента передачи по
цепи обратной связи, величина которого при прочих равных условиях оказывает-
ся решающей для возбуждения того или иного автоколебательного режима.
Рис. 2.1. Амплитудные (а, в) и фазовые (б, г) характеристики фильтров нижних частот
и их комбинаций:
1 — RC-фильтра; 2 — RLC-фильтра с добротностью Q = 10; 3 — RC-фильтра и
RLC-фильтра; 4 — RC-фильтра и двух RLC-фильтров
а в
б г
Таким образом, в рамках кольцевых систем (2.1) можно трактовать и устанав-
ливать ряд закономерностей развития динамики на основе анализа традицион-
ных в радиофизике понятий, связанных с частотными характеристиками. Кроме
того, соотношение резонансных частот в RLC-фильтрах и частот среза RC-филь-
тра дает возможность предсказывать некоторые предельные случаи поведения
системы без детального исследования каждой конкретной ситуации.
Наряду с исследованием кольцевых систем, описываемых маломерными си-
стемами обыкновенных дифференциальных уравнений, представляет интерес
изучение и другого предельного случая — поведения кольцевых систем с очень
большим числом степеней свободы. Каковы уравнения, описывающие динамику
таких моделей?
Пусть в кольцевую автоколебательную систему входит N одинаковых линей-
ных элементов. Представим линейный элемент, входящий в состав системы, в
виде четырехполюсника (рис. 2.2, а).
В общем случае линейный четырехполюсник описывается двумя уравнениями:
I GU G U I G U G U 1 11 1 12 2 2 21 1 22 = + , = + 2 2, (2.4)
которые связывают между собой четыре переменные величины — ток и напряже-
ние на входе четырехполюсника с током и напряжением на его выходе. Типичны-
ми четырехполюсниками являются RC-, LC- и RLC-звенья (рис. 2.2, б—г).
Рассмотрим цепочку, состоящую из RC-звеньев. Разобьем ее на T-образные
элементы (рис. 2.3). Применяя к каждому из Т-образных элементов законы Кирх-
гофа для комплексных амплитуд тока и напряжения, приходим к уравнениям
U U RI U U RI CPU I I n n n n n n n n n + = − = = − + + + +
0 0
1 1 1
0
1 /2, /2, , (2.5)
где С — емкость, Р — оператор дифференцирования.
а
в
б
г
Рис. 2.2. Четырехполюсники:
а) общая схема; б) RC-звено; в) LC-звено; г) RLC-звено
Глава 2. Радиофизические системы с собственной сложной динамикой
и методы их исследования
39
Непосредственно из (2.5) получаем
U U U RCU n+ n+ n n − + = 2 1 2 , (2.6)
откуда при условии малости сдвига фаз в каждом отдельном четырехполюснике
на данной частоте по сравнению с 2π и предельном переходе при N → ∞ получаем
уравнение
=
2
2
U
X
RC
U
t
. (2.7)
Уравнение в частных производных (2.7) есть не что иное, как уравнение диф-
фузии.
Аналогично в предельном случае для цепочки из LC-звеньев приходим к вол-
новому уравнению
=
2
2
2
2
U
X
LC
U
t
, (2.8)
а в случае цепочки из RLC-звеньев — к уравнению
=
+
2
2
2
2
U
X
RC
U
t
LC
U
t
. (2.9)
Таким образом, в пределе N → ∞ цепочка RC-звеньев эквивалентна уравне-
нию диффузии, а цепочка, состоящая из RLC-звеньев, — волновому уравнению
для среды с потерями.
В кольцевых системах, описываемых уравнениями (2.1), в качестве базовых ли-
нейных элементов используются не RC- и RLC-звенья, a RC- и RLC-фильтры с
единичными коэффициентами передачи. Эти элементы, в отличие от RC- и .RLC-
звеньев, невзаимны, и соответствующие им четырехполюсники можно представить
в виде, изображенном на рис. 2.4. На этом рисунке У — усилитель, играющий роль
развязывающего элемента. Для случая RC-фильтра (рис. 2.4, а) из соотношения
RCU U U n n n
+ + + = 1 1 или U U RCPU n n n − = +1 +1, (2.10)
где Р — оператор дифференцирования, следует, что выход RC-звена нагружен на
высокоомный импеданс. Поэтому токи в конденсаторе и в резисторе практиче-
ски равны друг другу. Выход усилителя также высокоомный (это источник на-
пряжения).
Рис. 2.3. T-образный элемент цепоч-
ки четырехполюсников
2.2. Кольцевые радиофизические системы
40
Из (2.10) имеем в пределе N → ∞
+
=
U
X
RC
U
t
0. (2.11)
Решение уравнения (2.10) — волна, движущаяся слева направо:
U = U (X – t/RC).
В случае RLC-фильтра (рис. 2.4, б) в результате аналогичных выкладок прихо-
дим к параболическому уравнению в частных производных
+
+
=
U
X
RC
U
t
LC
U
t
2
2 0. (2.12)
Интересно отметить, что элемент системы, описываемый уравнением (2.11),
также как длинная линия, может быть использован в качестве задержки для коль-
цевой автоколебательной системы. При этом в отличие от длинной линии, опи-
сываемой волновым уравнением второго порядка, в цепочке из RC-фильтров при
любых значениях параметров элемента, стоящего на выходе цепочки, отсутствует
отраженная волна.
2.3. Теоретические предпосылки исследования
сложной динамики физическиx систем
Рассмотрим детерминированную модель радиофизической системы, описывае-
мую для определенности нелинейными обыкновенными дифференциальными
уравнениями
X =f(X,μ), (2.13)
где X — вектор размерности n, f(·) — вектор-функция размерности n, μ — вектор
параметров размерности p. Пусть при μ = 0 (2.13) имеет по меньшей мере одно
устойчивое положение равновесия Хо и находится в нем в начальный момент вре-
мени. При изменении параметров системы положение равновесия может потерять
устойчивость, и система перейдет в новый режим. Этим режимом может быть но-
вое устойчивое положение равновесия или другой аттрактор, на который система
попадает в случае жесткой потери устойчивости. В общем случае при жесткой поте-
ре устойчивости фазовая траектория системы уходит в удаленную от первоначаль-
ного положения равновесия область фазового пространства, и ее дальнейшее пове-
дение не связано со строением окрестности потерявшего устойчивость положения
равновесия. Другой тип потери устойчивости — мягкая потеря устойчивости, при
которой возникающее новое решение лежит в окрестности бывшей устойчивой не-
подвижной точки. Наиболее интересным с точки зрения рассматриваемых в дан-
ной работе вопросов здесь является возникновение нового типа решений — авто-
колебаний. Мягкому рождению автоколебаний соответствует выход системы на
«безопасную» границу устойчивости (Баутин и Шильников [1980]; Баутин [1984]).
С дальнейшим изменением μ автоколебания также могут потерять устойчи-
вость. Классификация типичных случаев потери устойчивости автоколебаний
приведена в (Арнольд [1978]; Арнольд [1979]). В частности, при последовательном
усложнении характера динамических режимов типичными являются три случая:
1) одно из собственных значений линеаризованного в окрестности неподвижной
точки отображения Пуанкаре выходит из единичного круга в точке +1; 2) одно из
собственных значений линеаризованного в окрестности неподвижной точки ото-
бражения Пуанкаре выходит из единичного круга в точке —1; 3) пара комплекс-
но-сопряженных собственных значений выходит из единичного круга. Первый
случай соответствует жесткой потере устойчивости автоколебаний. Во втором
случае при выходе через «безопасную» границу происходит мягкое рождение
цикла удвоенного периода, и наконец, в третьем в спектре колебаний возникает
вторая частота, а в фазовом пространстве рождается двумерный тор.
Перечисленные режимы в основном исчерпывают регулярные типы колеба-
ний в нелинейных системах. Спектры этих колебаний могут быть как простыми,
например в момент рождения предельного цикла из потерявшего устойчивость
фокуса, так и достаточно сложными, содержащими гармоники основных частот,
комбинационные составляющие, субгармоники и т. д. Общим свойством спек-
тров регулярных колебаний является их линейчатый характер.
Другим важным классом режимов в нелинейных системах являются хаотиче-
ские колебания, которые в отличие от регулярных колебаний обладают многими
свойствами случайных процессов: сплошным спектром мощности, затухающей
автокорреляционной функцией, предсказуемостью поведения траектории лишь
на ограниченные интервалы времени. Математическим образом таких колебаний
в фазовом пространстве является хаотический (странный) аттрактор. Общим
свойством хаотических аттракторов является экспоненциальное в среднем разбе-
гание на них первоначально близких траекторий, порождаемое экспоненциаль-
ной в среднем неустойчивостью траекторий.
Ниже свойство экспоненциального разбегания траекторий будет использо-
ваться в качестве операционного определения странного аттрактора. Хотя такое
определение в ряде случаев сильно огрубляет картину, оно весьма удобно для
идентификации типа колебательного режима. Непосредственный способ выяс-
нения принадлежности данного режима к хаотическому или регулярному заклю-
чается в вычислении максимального ляпуновского показателя, величина которо-
го и характеризует тип колебаний.
Для определения тонкой структуры многочастотных и хаотических колебаний
и анализа механизмов перехода между различными колебательными режимами
недостаточно изучения какой-то одной характеристики колебаний. Решение
этой задачи требует привлечения совокупности различных характеристик, таких
как реализации колебательного процесса, фазовые портреты, спектральная плот-
ность мощности, размерность аттрактора, спектр ляпуновских характеристиче-
ских показателей, отображение Пуанкаре, бифуркационные диаграммы и т. д.
Строгие результаты, относящиеся к этому вопросу, имеются для гиперболиче-
ских аттракторов (Синай [1979]; Синай [1981]) и утверждают, что динамическая
стохастичность, вызванная гиперболичностью, «сильнее» стохастичности, вы-
званной малыми случайными добавками. Точнее, при малом случайном возму-
щении динамической системы со свойствами гиперболичности ее свойства меня-
ются мало.
Рассмотрим основные характеристики, используемые при исследовании си-
стем со сложной динамикой, и возможности их получения в численном и физи-
ческом экспериментах.
Нашим учителям и соратникам посвящается…
Динамический хаос — фундаментальное явление, отрытое в поведении нелиней-
ных систем в последней трети двадцатого века, детально исследовалось в после-
дующие годы учеными разных специальностей и к началу 90-х годов преврати-
лось их усилиями в зрелую область знаний. Тогда, а на самом деле даже раньше,
перед исследователями встал вопрос: как это явление может быть конструктивно
использовано в промышленности, медицине, бизнесе и других направлениях че-
ловеческой деятельности.
Встал этот вопрос и перед авторами предлагаемой книги, работающими в об-
ласти радиотехники, электроники и телекоммуникаций. К тому времени в Ин-
ституте радиотехники и электроники АН ССР (впоследствии РАН) был накоп-
лен значительный опыт разработки и применения источников хаотических коле-
баний радио- и СВЧ-диапазона. Это наталкивало на мысль использовать
хаотические колебания в системах беспроводной связи и радиолокации. Имелись
также теоретические представления о генерации хаотических колебаний в элек-
тронных системах с различным числом степеней свободы, в том числе с заданны-
ми спектральными характеристиками (Дмитриев и Кислов [1989]). Наконец, в это
время мысль об использовании хаотических колебаний в средствах беспроводной
связи витала в воздухе, и вскоре были опубликованы первые теоретические схе-
мы по передаче информации с его помощью.
Наши исследования в этом направлении, результаты которых обобщены в
книге (Дмитриев и Панас [2002]), привели к идее прямохаотической передачи ин-
формации (Дмитриев и др. [2001], [2002]).
Реализация этой идеи потребовала создания нового поколения источников
хаотических колебаний — компактных, небольшой мощности, работающих в за-
данных диапазонах частот и реализуемых (в перспективе) в виде интегральных
схем. Решение этой проблемы заняло несколько лет. В результате была создана
теория генерации хаоса, разработаны методы расчета и моделирования генерато-
ров хаотических колебаний, сконструирован и экспериментально исследован ряд
источников хаоса в различных участках радио- и СВЧ-диапазона.
Этим исследованиям и разработкам посвящена предлагаемая книга.
Создание компактных твердотельных генераторов хаоса позволило спроекти-
ровать и реализовать малогабаритные сверхширокополосные прямохаотические
приемопередатчики и начать использование этих коммуникационных средств в
беспроводных системах связи и сенсорных сетях.
В 2007 году метод прямохаотической передачи информации (передача с помо-
щью хаотических импульсов) был введен в стандарт сверхширокополосной бес-
проводной персональной связи IEEE 802.15.4a (Standard IEEE802.15.4a [2007]), и
тем самым международное научно-техническое сообщество впервые признало
динамический хаос в качестве нового эффективного носителя информации для
беспроводных систем связи.
В 2012 году сверхширокополосные хаотические импульсы были введены в ка-
честве носителя информации еще в один стандарт беспроводной персональной
связи — беспроводные нательные сенсорные сети (Standard IEEE 802.15.6 —
Wireless Body Area Networks — WBAN [2012]).
Так шаг за шагом осуществляется переход из области фундаментальных и при-
кладных исследований в практическую деятельность.
Во время проведения исследований и при подготовке самой книги нам по-
счастливилось работать и взаимодействовать со многими отечественными и зару-
бежными исследователями. Практически всегда это общение было не только
конструктивным, но и максимально дружеским. Особенно хотелось бы выделить
плодотворные дискуссии и обсуждения с В.С. Анищенко, Б.П. Безручко, В.Н. Бе-
лых, А.В. Гапоновым-Греховым, Г.Т. Гурия, С.А. Кащенко, М.В. Краюшкиным,
С.П. Кузнецовым, Д.С. Лукиным, В.Л. Майстренко, Ю.Л. Майстренко, Г.Г. Ма-
линецким, В.И. Некоркиным, Н.В. Рульковым, Ю.Г. Тратасом, Д.И. Трубецко-
вым, В.И. Федоренко, М. Хаслером, Л.О. Чуа, Н.П. Чубинским, Д.В. Шалфее-
вым, А.Н. Шарковским, В. Шварцем, Л.П. Шильниковым.
Авторы высоко ценят внимание к тематике книги и постоянную поддержку
исследований в области динамического хаоса со стороны руководства Института
радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН: Ю.В. Гуляева,
С.А. Никитова, В.А. Черепенина и И.И. Чусова.
Считаем своим приятным долгом выразить глубокую благодарность за сотруд-
ничество своим коллегам и соавторам ряда результатов, представленных в книге:
Ю.В. Андрееву, М.Ю. Герасимову, А.В. Клецову, Л.В. Кузьмину, Б.Е. Кяргин-
скому, В.А. Лазареву, А.М. Лактюшкину, Т.И. Мохсени, А.Ю. Никишову,
Д.Ю. Пузикову, А.И. Рыжову, Н.В. Румянцеву, В.И. Синякину, С.О. Старкову,
А.Д. Хилинскому.
Предисловие
Введение
Динамический (детерминированный) хаос, часто называемый просто хаосом, —
непериодические колебания в нелинейных детерминированных системах, демон-
стрирующие высокую чувствительность к начальным условиям. Эти колебания
имеют ряд общих черт со случайными процессами, в частности непредсказуе-
мость на длительные периоды времени и сплошной спектр мощности, но их при-
рода связана не со случайностью, а с нелинейными свойствами порождающих
эти колебания динамических систем.
Открытие и исследование динамического хаоса явились настоящей научной
революцией последней трети 20 века. Они привлекли пристальное внимание ис-
следователей из разных областей знаний своей красотой, широкой распростра-
ненностью как в естественных, так и в искусственных системах, простотой мате-
матических моделей, с помощью которых их можно исследовать, универсально-
стью бифуркационных механизмов и путей возникновения хаоса из регулярной
динамики. Изучение динамического хаоса и связанных с ним явлений потребова-
ло, по существу, создания нового раздела математики — математики нелинейных
динамических систем со сложным поведением.
Не менее важными явились и мировоззренческие следствия этого открытия.
Еще в начальный период исследований в области детерминированной сложной
динамики и хаоса Р. Мэй, обнаружив удивительное многообразие типов пове-
дения логистического отображения, пришел к выводу: «…Вероятно, для всех
нас было бы гораздо лучше, если бы не только при обучении или в научной ра-
боте, но и в повседневной, политической или экономической жизни как мож-
но большее число людей поняло, что простые динамические системы не обяза-
тельно приводят к простому динамическому поведению…» (May [1976]). И зна-
чительное число людей уже осознало, что малые изменения условий в
начальный момент могут приводить в результате через некоторое время не
только к малым, но и к большим изменениям («эффект бабочки»), а это озна-
чает, что системы, в том числе социальные, политические и другие, обладая
собственным сложным поведением, могут эффективно управляться с помощью
малых воздействий. Термины «хаос», «теория хаоса», «управляемый хаос» и
стоящее за ними содержание постепенно становятся элементом общей культу-
ры и часто используются как метафора.
Кроме общенаучного и мировоззренческого интереса, динамический хаос
представляет значительный интерес и обладает большими потенциальными воз-
можностями в сфере прикладных исследований и разработок, прежде всего в ра-
диофизике, электронике, системах передачи и защиты информации.
Усилиями многих коллективов у нас в стране и за рубежом был пройден ги-
гантский путь от экспериментального открытия этого явления, его осознания,
первого этапа исследований, через пришедшее понимание того, что динамиче-
ский хаос — явление вселенское в прямом смысле этого слова: оно присутствует и
наблюдается всюду в природе, в человеческом обществе — в искусственных объ-
ектах и системах, к целенаправленным исследованиям приборов и устройств, ге-
нерирующих хаос, изучению свойств этих процессов и поиску путей их применения.
Сегодня динамическому хаосу посвящены сотни книг и тысячи статей. В эти
книги вошли основополагающие теоретические и экспериментальные результа-
ты, описание исследований этого явления в разных областях науки, техники и
технологий. Почетное место в этом списке занимают книги математиков, ибо
именно математика является цементирующим раствором, позволившим иденти-
фицировать, систематизировать и дать прочное методологическое обоснование
для исследования хаоса во всех остальных областях знания.
Среди областей знаний, где наблюдаются и исследуются хаотические колеба-
ния, нелинейные электрические и электронные системы занимают особое место.
Во-первых, простые нелинейные устройства, состоящие из хорошо знакомых
со школы резисторов, емкостей и индуктивностей, дополненных нелинейными
элементами, оказались прекрасным экспериментальным полигоном для изуче-
ния бифуркационных явлений и хаоса.
Во-вторых, эти устройства являются моделями с достаточно хорошо контро-
лируемыми параметрами, и для них можно добиться хорошего совпадения (не
только качественного, но и количественного) между экспериментальными ре-
зультатами и моделированием.
И, наконец, в-третьих, радиотехника, электроника, информационные и теле-
коммуникационные технологии в целом являются очень привлекательными об-
ластями применения хаоса (хаотических колебаний).
Однако для практического применения хаоса в указанных областях недоста-
точно просто фиксации явления и его исследования в тех или иных объектах.
Нужно научиться создавать простые системы с контролируемыми параметрами,
способные генерировать хаос в нужных для решения той или иной задачи диапа-
зонах частот, и много чего другого.
Генерации хаоса в электронных устройствах посвящена предлагаемая книга.
За исключением первой обзорной главы, она содержит только оригинальные
материалы, в разное время опубликованные авторами в ведущих советских, рос-
сийских и зарубежных журналах.
Книга состоит из 19 глав, объединенных в 4 части.
Первая часть книги, состоящая из шести глав, посвящена построению теории
генерации хаоса в радиофизических системах.
В первой главе дан краткий экскурс в историю исследований хаотических ко-
лебаний в электронике СВЧ, в основном в ССР, до начала девяностых годов
(исследования в других странах, относящиеся к этому времени, авторам неизвестны).
В последующих главах в качестве модельных систем для построения теории
вводятся и исследуются кольцевые автоколебательные системы, которые включа-
ют в себя системы с числом степеней свободы от одной до бесконечности, демон-
стрируют богатый арсенал бифуркационных явлений, переходов к хаосу и хаоти-
ческих режимов и, что существенно, близки по своей структуре к классическим
генераторам электромагнитных колебаний радио- и СВЧ-диапазонов.
Здесь рассматриваются общие принципы построения радиофизических си-
стем со сложной динамикой и методов их исследований, вводятся кольцевые ав-
токолебательные системы с полутора степенями свободы, имеющие в качестве
единственного нелинейного элемента усилитель с падающим участком. Исследу-
ется их хаотическая динамика. Анализируется влияние различных факторов на
динамику этих систем, в том числе влияние асимметрии нелинейного элемента и
вырождения в систему, близкую к системе с одной степенью свободы, изучается
динамика простейших кольцевых автоколебательных систем при внешнем гар-
моническом воздействии. Главы 2, 3 представляют собой достаточно полную,
экспериментально подтвержденную теорию кольцевых автоколебательных си-
стем с полутора степенями свободы.
После этого центр тяжести исследований переносится на автоколебательные
системы с произвольным числом степеней свободы (глава 4). При этом детально
исследуются системы с 2,5 и 3,5 степенями свободы, прежде всего как системы, в
которых возможны новые, по отношению к системам с полутора степенями сво-
боды, механизмы перехода к хаосу и хаотические аттракторы повышенной раз-
мерности (гиперхаос).
Принципиальным вопросом для практического использования генераторов
хаоса является вопрос о воспроизводимости этих устройств от образца к образцу и
чувствительность хаотических режимов в этих устройствах к изменению внешних
и внутренних параметров. Разобраться с этим вопросом можно только путем со-
здания серии экспериментальных устройств и исследования вариабельности их
свойств для каждого из образцов. Естественно, при этом нужно сконструировать и
реализовать генераторы хаоса с контролируемыми параметрами — «прецизион-
ные генераторы хаоса», в которых, в частности, должны достаточно точно вос-
производиться нелинейные характеристики входящих в устройство компонентов.
Для решения этой задачи был предложен и исследован вариант кольцевого гене-
ратора с кусочно-линейной характеристикой усилителя и установлены условия
на точность значений компонентов, при которых достигается приемлемая точ-
ность воспроизведения характеристик генераторов. Было показано, как теорети-
чески, так и экспериментально, что это вполне реализуемая задача при использо-
вании имеющихся на рынке электронных компонентов (глава 5).
Использование хаоса в радиосвязи и других прикладных задачах требует со-
здания генераторов в нужном диапазоне частот с заранее определенной полосой,
а иногда и с заданной формой спектра мощности внутри полосы и скоростью его
спадания вне ее. Таким образом, речь идет о синтезе хаотических колебаний с за-
данным спектром мощности. Эта задача рассматривается и решается в послед-
ней, шестой главе первой части книги. Здесь вводятся модифицированные коль-
цевые автоколебательные системы, содержащие частотно-избирательные эле-
менты, и показывается их эффективная управляемость спектром колебаний уже в
системах с 2,5 и 3,5 степенями свободы.
В целом, в первой части книги построена модельная теория возбуждения, раз-
вития и синтеза хаотических колебаний с заданными спектральными характери-
стиками в системах с различным числом степеней свободы. Она используется в
последующих частях при создании структуры автоколебательных хаотических си-
стем микроволнового диапазона, разработке математических и функциональных
моделей генераторов хаоса, а также при интерпретации их поведения.
Вторая часть книги (главы 7—12) посвящена созданию твердотельных источ-
ников хаоса микроволнового диапазона на основе автоколебательных систем с
сосредоточенными параметрами.
Прежде всего формулируется и обсуждается задача построения микроволно-
вых источников хаоса. В теоретической части она в значительной степени опира-
ется на результаты первой части книги, но вместе с тем имеет ряд принципиаль-
ных отличий:
— практические схемы генераторов микроволнового хаоса должны использо-
вать в качестве активных элементов стандартные активные элементы электрони-
ки и микроэлектроники. Предпочтительнее всего биполярные и полевые транзи-
сторы, но они не имеют падающего участка;
— в таких устройствах не всегда можно реализовать развязывающие элементы;
— на высоких частотах как активные, так и пассивные элементы имеют доста-
точно сложные эквивалентные модели, которые должны быть учтены при моде-
лировании. Это, в частности, означает, что возможности математического моде-
лирования с помощью прямого описания модели на основе законов Кирхгофа
весьма ограничены и требуется переход к моделированию в специальных пакетах
для разработки нелинейных электронных устройств.
Базовая структура автоколебательных систем состоит из единственного нели-
нейного элемента и цепочки последовательно соединенных RLC-цепей (конту-
ров), между которыми отсутствуют буферные элементы. На примере емкостной
трехточечной схемы показано, что в генераторах с такой структурой можно полу-
чить спектр мощности, близкий к АЧХ петли обратной связи. Далее вводится мо-
дель генератора хаоса с 2,5 степенями свободы. Этот генератор получен из исход-
ной трехточечной схемы путем добавления в цепь обратной связи дополнитель-
ного RLC-звена, являющегося фильтром нижних частот второго порядка.
С увеличением числа степеней свободы, также как в модельных кольцевых ав-
токолебательных системах в первой части книги, увеличивается многообразие
форм АЧХ и, соответственно, спектров сигналов, реализуемых в системе. Так,
становится возможным получение спектров мощности, близких к полосовым.
При этом возрастает степень соответствия огибающей спектра форме АЧХ, а так-
же увеличиваются размеры зон хаотических режимов в пространстве параметров.
Кроме того, повышение размерности системы приводит к обогащению дина-
мики системы и возникновению новых сценариев перехода к хаосу.
Существенной характеристикой хаотических колебаний является степень из-
резанности их спектра мощности в полосе частот генерации. Показано, что в рас-
смотренных случаях она может регулироваться путем подбора параметров систе-
мы, на основе анализа двухпараметрической диаграммы показателей Ляпунова.
На основании полученных результатов сформулированы принципы построе-
ния транзисторных генераторов хаоса с заданными спектральными характери-
стиками.
Использование для исследования радиотехнических схем математических
моделей позволяет проанализировать основные особенности динамики систе-
мы. Однако при переходе от таких упрощенных математических моделей к ре-
альным радиотехническим устройствам возникает ряд проблем, связанных с
несоответствием параметров, при которых реализуются аналогичные режимы в
реальном устройстве и его математической модели. Это несоответствие затруд-
няет реализацию систем со сложной динамикой в виде электронных устройств.
Ведь в этом случае, помимо разработки и исследования упрощенной математи-
ческой модели, которую можно провести на компьютере, и разработки элек-
трической схемы устройства, необходимо провести экспериментальное иссле-
дование динамики и подстройку параметров системы для того, чтобы получить
характеристики, удовлетворяющие требованиям конкретной задачи. Для того
чтобы решить задачу перехода от математической модели генератора к радио-
техническому устройству, допускающему промышленное производство без до-
полнительной настройки, необходимо создать методику компьютерной разра-
ботки генераторов хаоса.
Предложенная методика включает в себя следующие этапы.
Первый этап — это выбор структуры генератора, включая выбор типа транзи-
стора (например биполярного), структуры, размерности и параметров пассивно-
го четырехполюсника так, чтобы обеспечить требуемую амплитудно-частотную
характеристику (АЧХ) петли обратной связи, а также, возможно, выбор конфигу-
рации цепи отвода сигнала.
Далее — создание математической модели устройства, поиск хаотических ре-
жимов, получение требуемых спектральных характеристик, регулировка изрезан-
ности спектра мощности.
Следующий этап — переход от математической модели к схемотехнической.
Здесь важнейший пункт — это выбор транзистора, пригодного для использова-
ния в предполагаемом частотном диапазоне.
Затем разрабатывается схемотехническая модель, собранная из идеальных
элементов, но с реальной моделью транзистора. Поскольку математические мо-
дели на основе кусочно-линейных или экспоненциальных характеристик транзи-
стора являются низкочастотными, то целесообразно вначале создать низкоча-
стотную схемотехническую модель, отладить ее, т. е. получить подходящий ре-
жим генерации, путем анализа бифуркационных диаграмм, после чего поднимать
рабочую частоту системы, пересчитывая ее параметры и при необходимости вно-
ся коррекцию, чтобы получить нужный режим. При повышении частоты до тре-
буемого диапазона проводится коррекция спектральных характеристик.
После этого идеальные элементы заменяются моделями реальных элементов и
проводится настройка характеристик и компенсация паразитных эффектов, воз-
никающих из-за неидеальности элементов схемы.
Далее необходимо учесть влияние топологии площадок платы и материала
подложки. Для этого разрабатывается топология будущей платы, учитываются
характеристики материала подложки, элементы, составляющие генератор, пере-
носятся на этот проект платы и проводятся расчеты с учетом влияния платы. По
результатам моделирования делается коррекция топологии платы или параме-
тров генератора для достижения режима генерации хаоса с требуемыми спек-
тральными характеристиками.
На конечном этапе изготовляется плата, создается макет генератора и прово-
дится его экспериментальное исследование. Неизбежные расхождения характе-
ристик могут быть скомпенсированы внесением соответствующих поправок в
модель генератора.
Описано применение разработанной методики при создании генератора ми-
кроволнового хаоса с биполярным транзистором в качестве активного элемента и
ряда других систем. Во всех системах имеет место хорошее совпадение расчетных
и экспериментальных результатов.
Разработанные в последующих главах теория, методики моделирования в спе-
циальных пакетах и методы экспериментальной отработки изготовленных
устройств применяются к решению следующих задач, имеющих принципиальное
значение в системах связи и локации, которые используют хаотические сигналы.
1. Формирование потока сверхширокополосных хаотических радиоимпульсов
с заданной частотой повторения и скважностью за счет внутренней модуляции
хаотической автоколебательной системы (глава 9).
2. Создание генератора полосового микроволнового хаоса на основе автоколе-
бательной системы с 2,5 степенями свободы с единственным источником пита-
ния и его исследование (глава 10).
3. Разработка автоколебательной системы с полевым транзистором в качестве
активного элемента (глава 11). Полевые транзисторы имеют некоторые преиму-
щества перед биполярными. Прежде всего они являются типичными элемента-
ми, применяемыми в технологии, основанной на комплементарной структуре
металл–оксид–полупроводник (КМОП). В настоящее время это наиболее актив-
но развивающаяся твердотельная технология, а так же наиболее дешевая как с
точки зрения разработки, так и массового производства устройств.
4. Создание источников хаоса микроволнового диапазона на основе автоколе-
бательных систем с сосредоточенными параметрами в виде интегральных микро-
схем. Рассмотрена задача разработки источников хаоса микроволнового диапазо-
на с биполярным транзистором в качестве активного элемента на основе крем-
ний-германиевой технологии 0,25 мкм (глава 12).
В первых двух частях книги рассматриваются кольцевые автоколебательные
системы с единственным активным элементом. Однако исторически первыми
микроволновыми генераторами хаоса были шумотроны — системы с распреде-
ленными параметрами, выполненные на двух лампах бегущей волны, включен-
ных в цепь обратной связи. Уже в начале 2000-х годов в результате эксперимен-
тальных исследований были созданы и твердотельные источники хаотических
колебаний с распределенными элементами — фрагментами полосковых линий в
цепи обратной связи. Переход к системам на сосредоточенных параметрах дает
новое качество: во-первых, резко уменьшаются размеры системы и технологиче-
ски становится осуществимой ее реализация в виде микросхемы и, во-вторых,
становится возможным применение развитых для систем с сосредоточенными
параметрами в предыдущих частях методов и подходов для моделирования и про-
ектирования микросхем генераторов хаоса. Таким образом, исследование воз-
можности создания хаотических кольцевых автоколебательных систем с несколь-
кими активными твердотельными элементами и генераторов хаоса на их основе
представляет несомненный интерес.
Третья часть книги посвящена генерации хаоса в кольцевых автоколебатель-
ных системах с несколькими активными элементами (главы 13—16).
Сначала в ней проведены теоретический анализ и моделирование экспери-
ментальной хаотической автоколебательной системы с тремя активными элемен-
тами, в результате чего определены условия возбуждения в системе автоколеба-
ний на разных частотах. После этого высказана идея, что условия возбуждения на
нескольких частотах могут быть реализованы и в системе с сосредоточенными
параметрами за счет запаздываний, вносимых активными элементами и пассив-
ными цепями на сосредоточенных параметрах. Предложена структура автоколе-
бательной системы, удовлетворяющая условиям возбуждения двух и более частот,
и проведено ее математическое и схемотехническое моделирование, которое по-
казало возможность генерации хаотических микроволновых колебаний с требуе-
мыми параметрами. Разработан и исследован макет генератора, генерирующий
хаос с характеристиками близкими, к расчетным.
Полученные результаты позволили перейти к созданию микросхем — генераторов
хаоса с несколькими активными элементами на основе КМОП-технологии. Рассмо-
трены основные этапы разработки, изготовления и исследования таких устройств.
В последней главе третьей части рассматривается и исследуется задача форми-
рования хаотических импульсов микроволнового диапазона в системе на КМОП-
структуре.
Полученные во второй и в третьей частях книги результаты позволяют проек-
тировать и создавать генераторы микроволнового хаоса. В основном в этих главах
шла речь о генераторах с выходной мощность от долей милливатта до десятков
милливатт. Такой уровень выходной мощности определяется требованиями со
стороны приложений, например, для беспроводных коммуникаций. Однако в
других потенциально интересных случаях требуется генерировать хаотические
колебания с мощностью от десятков до нескольких сотен милливатт.
Вопросы генерации микроволнового хаоса таких мощностей рассматриваются
в четвертой части книги (главы 17—19).
Здесь описывается экспериментально созданный генератор хаоса в микро-
волновом исполнении. Он имеет мощность ~ 200 мВт и коэффициент полезного
действия (КПД) около 25 %. К сожалению, его нельзя непосредственно исполь-
зовать в качестве основы для разработки других генераторов хаоса. Это связано с
двумя обстоятельствами. Первое — рассматриваемый генератор является генера-
тором с распределенными элементами (микрополосками), второе — у производи-
теля отсутствует детальная схемотехническая модель используемого в этом
устройстве активного элемента. Однако сама эквивалентная феноменологиче-
ская схема системы представляет интерес прежде всего с точки зрения получен-
ного в ней высокого КПД. Поэтому в ходе исследований анализируется эта фено-
менологическая модель автоколебательной системы, затем выбирается транзи-
стор повышенной мощности, работающий в нужном диапазоне частот и
имеющий схемотехническую модель от производителя.
Полученная модель с активным элементом повышенной мощности изучается
и оптимизируется при моделировании с использованием специализированных
пакетов. В результате показывается, что в генераторах с сосредоточенными пара-
метрами и использованием транзисторов повышенной мощности можно полу-
чать хаос с мощностью до несколько сотен милливатт при КПД ~20—25 %, что в
5—10 раз превышает расчетный КПД в маломощных генераторах (<~ 1 мВт).
В заключении суммируются изложенные результаты и делаются выводы.
Глава 1
Начало процесса. Обнаружение явления в электронных системах.
Первые экспериментальные и теоретические результаты
1.1. Введение
Разработка генераторов хаоса радио- и СВЧ-диапазонов ведется начиная с ше-
стидесятых годов двадцатого века. Созданию первых генераторов хаоса на ваку-
умных приборах предшествовало несколько лет интенсивных исследований по
получению шумовых колебаний в плазменно-пучковых системах. Плазменно-
пучковые системы с физической точки зрения были интересны тем, что хотя воз-
никновение шумовых колебаний в них связывалось с множеством степеней сво-
боды плазмы, выступающей в качестве рабочей среды, там явно присутствовала и
динамическая составляющая в виде усилителя и цепи обратной связи. В результа-
те интенсивность получаемых шумов была намного выше шумов «теплового
уровня». Эти работы базировались на статье (Ахиезер и Файнберг [1951]), в кото-
рой была обнаружена возможность усиления высокочастотной плотности моду-
ляции быстрого электронного пучка при прохождении его через электронно-
ионную плазму. С точки зрения радиоэлектроники появлялась принципиальная
возможность создания электронных усилителей и генераторов, в которых роль
замедляющих структур, обеспечивающих взаимодействие электромагнитных
волн с электромагнитным потоком, может играть прозрачная для электронного
потока плазма. В конце 50-х годов в ИРЭ АН СССР были поставлены теоретиче-
ские и экспериментальные исследования взаимодействия плазмы газового разря-
да с электронными потоками (Залогин и Кислов В.В. [2006]). В ходе теоретической
разработки и экспериментов была продемонстрирована возможность эффектив-
ного усиления электромагнитных волн в плазменных образованиях, пронизывае-
мых быстрым электронным потоком, как в модели Ахиезера и Файнберга, так и в
плазменно-пучковом образовании, находящемся в достаточно сильном продоль-
ном магнитном поле (Бернашевский и др. [1965]). Прибор представлял собой плаз-
менный аналог лампы обратной волны (ЛОВ).
При экспериментальном изучении генерации электромагнитных волн в плаз-
менно-пучковых системах с продольным магнитным полем был обнаружен неожи-
данный эффект излучения из такой системы интенсивных шумов в сантиметровом
диапазоне длин волн. Излучение имело интенсивность, которая многократно пре-
восходила тепловое излучение плазмы. Шум возникал сразу после включения
электронного пучка. Никаких переходных режимов не наблюдалось ни при увели-
чении тока электронного пучка, ни при увеличении магнитного поля.
На генератор шума, использующий обнаруженный эффект, Н.Н. Залогиным и
В.Я. Кисловым было получено авторское свидетельство (Залогин и Кислов В.Я.
[1963]). В развитие этого направления в середине 60-х годов шумовые колебания
были получены в системе «плазма — электронный пучок» и на прямых волнах.
Эти работы проводились в ИРЭ АН СССР и Харьковском физико-техническом
институте (ХФТИ). Макет генератора в ИРЭ представлял собой спиральную ЛБВ.
В системе при включении электронного пучка возникала генерация монохрома-
тических колебаний на одной из собственных частот. Эти колебания в сочетании
с воздействием пучка способствовали ионизации остаточного газа в баллоне и
возникновению в пространстве взаимодействия плазменно-пучкового разряда.
Образовавшаяся плазма существенно увеличивала импеданс связи медленных
волн с пучком, что приводило к одновременному возбуждению уже нескольких
типов таких волн на разных, неэквидистантных из-за дисперсионных свойств за-
магниченной плазмы, частотах. Конкуренция различных типов возбуждаемых
колебаний на нелинейностях системы «плазма — электронный пучок» в сочета-
нии с релаксационными пульсациями концентрации плазмы приводила к тому,
что результирующие колебания оказывались широкополосным шумом.
Уже в восьмидесятые годы после многолетних кропотливых теоретических и
экспериментальных исследований сотрудники ХФТИ пришли к выводу о том,
что генерация шума в плазменно-пучковых генераторах, так же как и в вакуум-
ных приборах, носит нелинейно-динамический характер.
1.2. Генерация хаоса в вакуумных приборах
В первых генераторах стохастических (хаотических) колебаний, разработанных в
ИРЭ АН СССР В.Я. Кисловым с сотрудниками, в качестве активного элемента
использовались вакуумные электронные приборы — лампы бегущей волны (Кис-
лов и др. [1967]; Кислов и др. [1979]; Кислов [1980]; Кислов и др. [1980]).
Вот как вспоминает события, связанные с созданием шумотрона, их активный
участник Н.Н. Залогин (Залогин и Кислов В.В. [2006]):
«…В 1966 Е.А. Мясин, В.Я. Кислов и Е.В. Богданов обнаружили генерацию
интенсивного электромагнитного шума в устройстве, состоящем из двух ЛБВ,
замкнутых
в кольцо. Это явление имело место тогда, когда одна их них была на-
строена как усилитель мощности, а другая, с уменьшенным током электронного
пучка, была перегружена по току источника, что ослабляло сигнал с сильнейши-
ми нелинейными искажениями. При рассмотрении в Институте патентной экс-
пертизы поданной исследователями заявки на авторское свидетельство был обна-
ружен американский патент 1965 года, защищавший генератор шума на ЛБВ, вы-
ход которой был замкнут на вход. Поскольку схемы генераторов и трактовка их
функционирования сильно отличались друг от друга, авторское свидетельство на
«шумотрон» (Кислов В.Я. и др. [1967]) было выдано (с приоритетом от 31 июля
1967 года). Открытая публикация этого авторского свидетельства имела место
лишь через 17 лет в 1984 году…».
Вскоре после обнаружения эффекта началось детальное изучение физических
механизмов, приводящих к хаотичности генерируемых колебаний. Из-за отсут-
ствия в шестидесятых годах высокопроизводительных компьютеров и удобных
для исследователей систем программирования подавляющее большинство ре-
зультатов, выявляющих происхождение и особенности генерируемых шумов, бы-
ло получено экспериментальным путем.
В процессе исследований выяснилось, что природа возникновения хаоса в
сложных автоколебательных системах кроется не в узкой специфике характеристик
лампы с бегущей волной. Авторы пришли к выводу, что имеют дело с фундамен-
тальным свойством автоколебательных систем со многими степенями свободы при
наличии в них сильных нелинейностей определенного типа. Применительно к
электронным генераторам большое количество степеней свободы означает много-
контурность или запаздывающую обратную связь в широкой полосе частот.
Обнаружение эффекта шумовой генерации в детерминированной системе с
низким уровнем флуктуаций было воспринято вначале с недоверием многими
специалистами в области статистической радиофизики и нелинейной теории ко-
лебаний, поскольку в то время понятие «автогенератор» ассоциировалось с воз-
буждением гармонических или несинусоидальных периодических колебаний.
Лампа бегущей волны, особенно в нелинейном режиме, является сложным
электронным прибором, характеристики которого зависят от многих параметров.
Тем не менее в процессе исследований шумовой генерации удалось построить
ряд математических моделей, качественно адекватных поведению физической
системы в некоторых частных случаях. В результате проведенных экспериментов
и исследования динамики моделей было выявлено три основных сценария разви-
тия хаотических колебаний (Залогин и Кислов В.В. [2006]).
Первый сценарий (автомодуляционный) реализовывался при использовании в
качестве нелинейного элемента ЛБВ, амплитудная характеристика которой име-
ла острый пик насыщения и выраженный участок после насыщения.
С помощью аттенюатора в цепи обратной связи затухание постепенно умень-
шалось. Сначала происходило регенеративное усиление начальных собственных
шумов ЛБВ, наблюдаемое с помощью чувствительного анализатора спектра. Мак-
симумы шумового сигнала имели место на частотах, соответствующих балансу фаз
в цепи обратной связи. При некотором критическом значении затухания в системе
возникала генерация на одной частоте, соответствующей максимуму коэффициен-
та передачи в кольце обратной связи. При этом регенеративное усиление шумов на
других собственных частотах системы эффективно подавлялось. Такое подавление
особенно имело место в районе, соответствующем максимальной амплитуде гене-
рируемых колебаний, и в начале работы — на падающем участке. При сползании
рабочей точки (точка пересечения амплитудной характеристики с прямой обрат-
ной связи) в зону, где тангенс угла наклона амплитудной характеристики становил-
ся меньше -1 (наклон отрицательный и по модулю больше 45о), в системе возника-
ла автомодуляция — колебания амплитуды от обхода к обходу, период которой со-
ответствовал двойному времени обхода цепи обратной связи. Затем автомодуляция
усложнялась по закону удвоения (2, 4, 8, редко 16). Интервалы устойчивого суще-
ствования цикла монотонно уменьшались с ростом их порядка. Наконец возника-
ли шумовые колебания, которые имели вид амплитудной модуляции хорошо выде-
ленной несущей (симметрия спектра). Коэффициент модуляции был невелик, но
возрастал с уменьшением затухания в цепи обратной связи. При дальнейшем
уменьшении затухания в цепи обратной связи шумовой режим модуляции снова
вырождался в периодический. Период соответствовал трем периодам обхода в цепи
обратной связи. Далее опять следовало удвоение периода модуляции и снова воз-
никали шумовые колебания. Наиболее часто автомодуляционный сценарий на-
блюдался тогда, когда в цепь обратной связи включался фильтр, ограничивающий
количество собственных частот в системе.
Второй сценарий развития хаотических колебаний в шумотроне был связан с
особенностями фазовой характеристики ЛБВ, а именно с динамическим набегом
фазы в нелинейном режиме. Эксперименты показали, что в диапазоне входных
сигналов, соответствующем насыщению мощности, динамический набег фазы
положителен. На падающем же участке амплитудной характеристики ЛБВ имеет
место резкий отрицательный набег фазы с крутизной, достигающей (π/2) рад/дБ.
Третий сценарий возбуждения широкополосных хаотических колебаний пред-
ставлял собой резкий взрывной переход от узкополосного автомодуляционного ре-
жима к режиму возбуждения широкополосных шумовых колебаний. При обсужде-
нии этих экспериментов было предположено, что в системе при определенной раз-
вязке в цепи обратной связи начинают выполняться условия одновременного
возбуждения и конкуренции множества видов колебаний. Кроме того, при изуче-
нии эволюции спектров колебаний, возбуждаемых в системе, была отмечена неэк-
видистантность собственных частот автоколебательной системы, обусловленная
дисперсией фазовой скорости в ЛБВ. В результате комбинационные частоты, ро-
ждающиеся при нелинейном взаимодействии, не совпадали с собственными часто-
тами системы. Возможно, это одна из причин, обусловливающих континуальность
спектра генерируемых колебаний. Этот сценарий возникновения хаотических ко-
лебаний в шумотроне был впервые описан в статье (Анисимова и др. [1983]).
При дальнейших экспериментальных исследованиях генераторов с запазды-
вающей обратной связью на основе ЛБВ было подтверждено существование этих
переходов к хаосу, а также зафиксированы переход к хаосу через разрушение дву-
мерного тора и перемежаемость (Кац и Трубецков [1984]; Кац [1984]; Кац [1985]).
Вскоре после создания шумотрона была показана возможность генерации
хаотических колебаний в устройствах на основе лампы обратной волны (Безруч-
ко и др. [1979]; Безручко и др. [1983]) и других вакуумных приборах.
Современное состояние исследований по генерации хаоса подробно описано
в коллективной монографии (Короновский и др. [2009]).
В начале восьмидесятых годов возник интерес к генераторам хаоса радио- и
СВЧ-диапазонов на основе полупроводниковых активных элементов, таких как
транзисторы.
1.3. Микрополосковые генераторы хаоса
Первые генераторы хаоса с использованием биполярных транзисторов в качестве
активных элементов были созданы в ИРЭ АН СССР весной 1981 года (Кислов В.Я.
[1993]). Это были генераторы радиодиапазона, выполненные с применением ми-
крополосковых элементов. В том же году на основе этих результатов был разрабо-
тан передатчик хаотических сигналов «Шатер» для защиты информации в устрой-
ствах вычислительной техники от утечки по побочным излучениям. Передатчик
оказался очень эффективным и в различных модификациях выпускается и ис-
пользуется до настоящего времени.
В 1983—1984 годах были разработаны транзисторные генераторы хаоса в диа-
пазоне 3 ГГц и, таким образом, началось освоение СВЧ-диапазона. Ряд интерес-
ных динамических явлений в этих генераторах описан в работах (Максимов и Кис-
лов В.Я. [1983]; Максимов [1984]). В последующие несколько лет был разработан
ряд транзисторных генераторов хаоса в диапазоне до 6 ГГц. Все эти генераторы
были реализованы на микрополосковой технологии и имели выходные мощно-
сти от нескольких десятков милливатт до 1 Вт.
Пример генератора хаоса СВЧ-диапазона (Максимов [1984]) подробно описан
в главе 19.
В конце 90-х годов в связи с идеей использования динамического хаоса в си-
стемах связи встал вопрос о создании генераторов хаоса нового поколения. Су-
щественными характеристиками этих новых генераторов должны были стать: не-
большие мощности генерации (~ 1 мВТ), компактность, низкая стоимость и при-
годность к массовому производству.
Было ясно, что в перспективе задачу нужно решать путем создания хаотиче-
ских генераторов в виде монолитных интегральных схем (Губанов и др. [1999],
Дмитриев и др. [2000а]). Однако это был вопрос будущего, а эксперименты по пе-
редаче информации нужно было начинать немедленно. Поэтому с учетом имею-
щегося опыта в создании хаотических генераторов был разработан микрополо-
сковый генератор широкополосных хаотических колебаний дециметрового диа-
пазона (Дмитриев и др. [2002а]) (рис. 1.1).
В качестве активного элемента (Q) в генераторе использован транзистор
2Т938А-2. В основу конструкции была положена трехточечная схема. Функцию
резонансного элемента (пассивного осциллятора) выполнял резонатор на связан-
ных полосковых линиях (RE). С макетом генератора были проведены экспери-
менты, которые показали, что при соответствующем подборе параметров элемен-
тов схемы в генераторе возбуждаются хаотические колебания, полоса и неравно-
мерность спектра мощности которых определяются полосой пропускания и
неравномерностью амплитудно-частотной характеристики резонатора. На рис.
1.1, б представлен спектр мощности выходного сигнала генератора. По уровню
10 дБ полоса генерации составляет ~150 МГц, при центральной частоте ~950
МГц, неравномерность спектральной характеристики менее 5 дБ.
Весной 2000 года с применением этого генератора были проведены первые
эксперименты по беспроводной прямохаотической передаче информации (Дми-
триев и др. [2002], Dmitriev et al. [2001], Dmitriev et al. [2003а]).
В дальнейшем хаотические генераторы этого типа были созданы и в других
диапазонах СВЧ-частот.
Один из возможных подходов к созданию генераторов хаотических колебаний
предусматривает создание структуры из двух или нескольких взаимодействующих
осцилляторов. Подробно этот подход описан в работе (Максимов и Панас [2003];
Maximov & Panas [2004]). В этой же работе предложен генератор хаотических коле-
баний, построенный на основе двух взаимно связанных подсистем с идентичной
топологией (рис. 1.2). Связь между подсистемами осуществлялась с помощью не-
сбалансированного сумматора мощности и могла регулироваться емкостью Сс
(рис. 1.2, а). На рис. 1.2, б приведен спектр мощности хаотического сигнала генера-
тора. Ширина спектральной характеристики увеличилась примерно в 2,5 раза, а ее
изрезанность уменьшилась по сравнению с одиночным генератором.
Транзистор — не единственный элемент, который может быть использован в
качестве активного элемента при разработке источников хаоса микроволнового
диапазона. Так, в работах (Дмитриев и др. [2005а]; Дмитриев и др. [2005б]; Panas et
al. [2007]) предложен и описан генератор хаоса кольцевой структуры на основе
чип-усилителей.
Блок-схема источника хаоса представлена на рис. 1.3, а, а внешний вид его
экспериментального макета — на рис. 1.3, б. Система состоит из трех чип-усили-
телей, последовательно включенных и замкнутых в кольцевую схему через ми-
крополосковый разветвитель. Функция последнего — ответвить большую часть
сигнала из кольца обратной связи в нагрузку, а оставшуюся часть направить сно-
ва в кольцо. Основной волноведущей структурой генератора является 50-омная
микрополосковая линия. В качестве ЧИП-усилителей были использованы стан-
дартные, промышленно выпускаемые усилительные элементы, согласованные по
входу и выходу на 50 Ом.
Анализ сигналов на выходах усилителей показал, что первый из усилителей
(по направлению распространения сигнала по кольцевой схеме) работает в режи-
ме, близком к линейному, второй выполняет функцию усилителя средней мощ-
ности, а третий работает в режиме насыщения, играя тем самым роль основного
нелинейного элемента системы.
Макеты источников были реализованы по микрополосковой технологии.
В качестве подложки использовались диэлектрические материалы толщиной 1 мм
с ε = 2.8 и ε = 10.0. В процессе работы с экспериментальными макетами источни-
ков хаоса были опробованы различные ЧИП-усилители, отличающиеся как па-
раметрами, так и технологией их изготовления.
Было установлено, что диапазон и полоса частот генерируемых колебаний со-
ответствуют аналогичным параметрам усилителей. Так, если рабочая полоса
ЧИП-усилителя по паспортным данным находится в диапазоне 100—5500 МГц,
то именно ее и занимает спектр мощности выходного сигнала генератора. Один
из типовых спектров мощности выходного сигнала в режиме генерирования хао-
тических колебаний для случая использования усилителей МSA-0986 приведен
на рис. 1.4.
1.4. Моделирование генераторов хаоса
Динамический хаос является принципиально нелинейным явлением. В силу его
непериодичности, чувствительности к начальным условиям и непредсказуемости
траекторий на большие времена для него нельзя получить решение в замкнутом
аналитическом виде. Поэтому основная роль в теоретическом исследовании ди-
намических систем с хаотическим поведением принадлежит численному модели-
рованию на компьютерах в совокупности с методами развитой за последние деся-
тилетия качественной теории динамических систем. Сейчас это общая схема ис-
следования любой динамической системы со сложным поведением. Более сорока
лет назад, когда начиналась история генераторов хаоса, не было ни соответствую-
щих разделов теории динамических систем, ни мощных компьютеров с графиче-
ским интерфейсом, ни широкого взаимодействия специалистов различных спе-
циальностей из Горького, Москвы, Киева, Новосибирска, Саратова, Ярославля и
других научных центров по изучению явления динамического хаоса, которое
сформировали в СССР десятью годами позже. Не было даже термина «динамиче-
ский (детерминированный) хаос». Поэтому первые модельные представления о
характере явления, приводящего к генерации шумоподобных колебаний в элек-
тронных приборах, носили качественно описательный характер, вызывали насто-
роженное отношение коллег к реальности и физической природе полученных
шумоподобных колебаний и, конечно, не удовлетворяли самих авторов. Словом,
ситуация была типичной для результатов, претендующих на серьезное открытие:
а есть ли мальчик?
Но приборы работали, представления уточнялись, и к 1974 году В.Я. Кисло-
вым с сотрудниками были созданы первые математические модели шумотрона на
основе нелинейных разностных и дифференциально-разностных уравнений.
Модели качественно верно объясняли природу наблюдаемых нерегулярных коле-
баний. В силу специфики работы лаборатории эти результаты в открытой печати
были опубликованы несколько позже (Кислов В.Я. и др. [1979]; Кислов В.Я.
[1980а, б]). А в 1980 за цикл работ по генераторам хаоса авторскому коллективу
была присуждена Государственная премия СССР.
Итак, первые математические модели шумотрона помогли описать явление и
понять его природу.
Следующий этап моделирования генераторов хаоса связан с исследованием
электронных автоколебательных с малым числом степеней свободы. К ним отно-
сятся генератор на туннельном диоде (Пиковский и Рабинович [1978]; Кияшко и др.
[1980]), генератор с инерционной нелинейностью (Анищенко и др. [1982]), кольце-
вые генераторы (Дмитриев и Кислов В.Я. [1984]), цепи Чуа (Matzumoto [1984]), си-
стемы фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) (Endo & Chua [1988]; Алексеев и др.
[1994]) и некоторые другие схемы.
В отличие от первого этапа работ в области хаотической динамики, на этом
этапе детально изучались бифуркационные явления в моделях и свойства самого
хаоса. В частности, в ИРЭ АН СССР были предложены и детально исследованы
модели генераторов в виде кольцевых автоколебательных систем (Дмитриев и
Кислов В.Я. [1984]; Гуляев и др.[1985]; Дмитриев и Панас [1986а]; Дмитриев и Стар-
ков [1986а]; Dmitriev et al. [1988]). Модели отражали как часть существенных черт
шумотрона, так и помогали объяснить и понять бифуркационные явления в тран-
зисторных генераторах хаоса на микрополосковых элементах. Кроме того, на
этих моделях была показана принципиальная возможность формирования спек-
тра мощности хаотических колебаний, близкого к заданному спектру, в системах
с малым числом степеней свободы путем введения фильтров в цепь обратной свя-
зи генератора (Бельский и др. [1992]; Dmitriev et al. [1996]). В дальнейшем эти ре-
зультаты были использованы при создании СВЧ транзисторных генераторов с
заданной полосой частот.
Использование транзисторов в генераторах хаоса требовало создания матема-
тических моделей генераторов с этими активными элементами. Прежде всего,
это было нужно для понимания и исследования механизмов, приводящих к хао-
тизации колебаний, а затем уже можно было бы подумать и о синтезе генераторов
хаоса с заданными характеристиками.
Простая математическая модель генератора хаоса с 1,5 степенями свободы и
транзистором в качестве активного элемента была предложена в (Дмитриев и
Иванов [1988]). Там же были описаны эксперименты по возбуждению хаотиче-
ских колебаний в транзисторном генераторе с сосредоточенными элементами
мегагерцового диапазона частот.
Следующий важный шаг в разработке моделей транзисторных генераторов
хаоса был сделан в работе (Kennedy [1994]), где было показано, что классическая
емкостная трехточечная схема генератора (рис. 1.5, а) при определенном выборе
параметров может демонстрировать хаотическое поведение. Первые результаты
относились к генерации хаоса в области низких частот, впоследствии с помощью
моделирования в пакете PSpice была показана возможность получения хаотиче-
ских колебаний в генераторе Колпитца и в радиодиапазоне (Wegener & Kennedy
[1995]; Burykin & Panas [1997]). Эта система получила большую популярность, и
впоследствии ряд групп занимались исследованием хаотической динамики в ге-
нераторе Колпитца и его модификацях (Lindberg [1997]; Maggio et al. [1999]; Cenys
et al. [2003]; Tamaševicius [2004]; Максимов [2006]).
На рис. 1.5, б представлен типичный хаотический режим, наблюдаемый в ге-
нераторе Колпитца (Burykin & Panas [1997]).
Особенностью хаотического режима генератора Колпитца является широко-
полосность возбуждаемых в нем колебаний. В приведенном примере спектр
мощности сигнала простирается как в область очень низких частот, так и в об-
ласть высоких частот, во много раз превышающих основную частоту генерации
(рис. 1.5, б). С точки зрения применения генератора в системах связи такие режи-
мы малоперспективны, поскольку в этом случае необходимо получение хаотиче-
ских колебаний в ограниченной, наперед заданной полосе частот.
Для того чтобы получить возможность реализации полосовых хаотических
сигналов, в работе (Максимов и Панас [2000]) было предложено, как и в кольце-
вых системах, ввести в обратную связь генератора резонансный элемент (фильтр),
обеспечивающий ей необходимые частотно-избирательные свойства и тем самым
создающий условия для генерации колебаний преимущественно в полосе пропу-
скания резонансного элемента. При этом ширина и неравномерность спектра
мощности колебаний определяется соответствующими характеристиками резо-
нансного элемента.
Данный подход был апробирован в численном эксперименте. В качестве ак-
тивного осциллятора использовался генератор с емкостной трехточкой, а в каче-
стве пассивного осциллятора — частотно-избирательная система, составленная
из цепочки нескольких последовательно-параллельных RLC-звеньев, которые в
совокупности формировали полосно-пропускающий фильтр (Максимов и Панас
[2000]; Panas et al. [2000]).
До сих пор мы обсуждали применение математического и компьютерного мо-
делирования для целей исследования динамики генераторов хаоса. Но, как уже
отмечалось, «голубой мечтой» является полная или почти полная разработка ге-
нераторов хаоса радио- и СВЧ-диапазонов с помощью компьютерного моделиро-
вания. Что нового в моделировании требует эта задача?
Во-первых, нужно иметь конкретную электрическую схему создаваемого
устройства, которую можно аккуратно описать с помощью эволюционных урав-
нений. Поэтому предпочтительно иметь дело со схемой на сосредоточенных па-
раметрах. Схемы на сосредоточенных параметрах (без микрополосков) привлека-
тельны также с точки зрения простоты реализации их в виде интегральных моно-
литных микросхем.
Во-вторых, реальные транзисторы, также как и пассивные элементы схем, на
высоких частотах имеют значительно более сложную структуру, чем та, которую
отражают их простейшие математические модели. Поэтому, если в простейшем
случае модель транзистора — просто нелинейная функция, описывающая зави-
симость тока коллектора от напряжения база—эмиттер, то для адекватного опи-
сания поведения высокочастотного или СВЧ-генератора необходимо использо-
вать модели, содержащие десятки дифференциальных уравнений и соответствую-
щее число параметров. Для СВЧ-транзисторов имеется несколько типовых
моделей, и производители, как правило, предоставляют параметры своих
устройств для одной из них. То же самое относится и к пассивным элементам.
Но и этого недостаточно. Для моделирования нужно еще иметь специальные
программные средства, которые позволяли бы собирать модели из этих кубиков.
Кроме того, при проектировании необходимо учитывать реальные характеристи-
ки материала подложки, на которой реализуется схема. Только при выполнении
совокупности этих условий можно рассчитывать на то, что разрабатываемое
устройство будет вести себя так же, как построенная модель.
Программные средства, обеспечивающие такое адекватное моделирование,
начали создаваться еще в 70-е годы. Одной из первых разработок был пакет Spice,
созданный в Калифорнийском университете (Беркли). На его основе позднее
был создан пакет второго поколения Electronic Work Bench, предназначенный
первоначально для моделирования относительно низкочастотных устройств без
учета влияния подложки. Следует отметить, что начиная с 70-х годов прошлого
века возник, в первую очередь в США, новый сектор экономики, занимающийся
разработкой систем автоматического проектирования электронных устройств
(Electronic Design Automation — EDA). Объем продаж в этой отрасли в 2006 году
составил 6 млрд долл. В отрасли многократно происходила смена компаний-ли-
деров. Сейчас основными производителями программного обеспечения являют-
ся такие компании как Mentor Graphics, Cadence Design Systems и Synopsis. Хоро-
шие позиции на этом рынке имеет и компания HP со своим продуктом Advance
Design Systems (ADS).
Благодаря усилиям этих компаний на рынке имеется несколько программных
пакетов для разработки высокочастотных и СВЧ-устройств, хорошо зарекомен-
довавших себя при создании приборов, предназначенных для работы с регуляр-
ными сигналами.
Как правило, в таких пакетах имеется возможность работать как в частотной,
так и во временной области. В процессе моделирования обычно основная часть
исследования проводится в частотной области, а временная область используется
для анализа переходных характеристик и учета нелинейных свойств. При модели-
ровании во временной области широко применяются приближенные методы
описания динамики систем.
В случае систем с хаосом можно использовать только моделирование во вре-
менной области без использования приближенных методов. Поэтому возмож-
ность адекватного анализа динамики генераторов хаоса с использованием имею-
щихся на рынке пакетов схемотехнического моделирования, предназначенных,
вообще говоря, для решения других задач, неочевидна и потребовала серьезных
исследований. Успех этих исследований вместе с разработкой теории генерации
микроволнового хаоса в системах с конечным числом степеней свободы позво-
лил перейти от экспериментальной отработки генераторов хаоса к почти полно-
стью компьютерной разработке с последующей экспериментальной проверкой и
доводкой.
Генерация хаотических колебаний как научное направление к концу 80-х го-
дов получила значительное развитие как в вакуумной, так и в полупроводнико-
вой электронике. Вместе с тем, к этому времени назрела потребность в разработ-
ке генераторов хаоса, пригодных к массовому производству, с малыми габарита-
ми и низким энергопотреблением, воспроизводимыми характеристиками, а
также возможностью их последующей реализации в виде микрочипа. Для
устройств с такими свойствами микрополосковая технология оказывается непри-
менимой.
Такими устройствами являются генераторы хаоса, выполненные на основе со-
средоточенных элементов. Результаты исследований в этом направлении подроб-
но рассматриваются в последующих главах книги.
Глава 2
Радиофизические системы с собственной сложной динамикой
и методы их исследования
2.1. Введение
Математические модели радиофизических и электронных систем с хаотическим
поведением описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями,
системами таких уравнений, дифференциально-разностными уравнениями,
уравнениями в частных производных и т. д. Уже это разнообразие математиче-
ских моделей, описывающих явление динамического хаоса в радиофизических
системах, говорит о том, что для понимания общих закономерностей динамики
таких систем целесообразно попытаться перейти от конкретных уравнений к не-
которой другой форме моделей, которая при ее математической трактовке поро-
ждала бы конкретные уравнения.
Такая постановка задачи представляет интерес не только с теоретической точ-
ки зрения, но и с практической. Рассмотрим проблемы, возникающие при разра-
ботке моделей генераторов хаотических колебаний радио- и СВЧ-диапазонов.
Большинство практических схем таких генераторов имеет относительно про-
стую структуру. Вместе с тем при попытках создания математических моделей ге-
нераторов с целью изучения закономерностей их динамики приходится сталки-
ваться со следующими трудностями:
— построение адекватной математической модели на основе законов Кирхго-
фа даже при наличии радиотехнической схемы оказывается весьма слож-
ной задачей;
— в зависимости от выбранных переменных получаются и изучаются разные
системы уравнений, т. е. разные математические модели, соответствующие
одной и той же радиофизической системе;
— возникают трудности с адекватным представлением характеристик нели-
нейных элементов, поэтому при различиях в поведении исходной системы
и ее модели остается открытым вопрос о причинах несоответствия (они
могут быть связаны как с неадекватным описанием нелинейных элемен-
тов, так и с неточным выбором структуры уравнений модели);
— неясно, насколько результаты исследования конкретных систем отражают
общие закономерности динамики генераторов хаотических колебаний.
Актуальность проблемы поиска и исследования общих закономерностей
сложной динамики радиофизических систем приводит к необходимости поиска
альтернативных по отношению к прямому написанию уравнений путей модели-
рования радиофизических систем. В качестве такого альтернативного подхода
рассмотрим подход, связанный с моделированием системы через совокупность
стандартных элементов, соответствующим образом связанных между собой.
В дальнейшем будем называть такие модели структурными.
Имеется ряд предпосылок для успешного построения, анализа и использова-
ния структурных моделей в интересах исследования общих закономерностей по-
ведения систем со сложной динамикой.
1. Наличие методов операторного описания систем из стандартных звеньев с
сосредоточенными параметрами (Фельдбаум и Бутковский [1971]): инте-
грирующих, усилительных, дифференцирующих, апериодических, колеба-
тельных. Имеется возможность описания в рамках такого подхода звеньев
распределенными параметрами (Бутковский [1977]) и нелинейных безы-
нерционных преобразований.
2. Прямое соответствие между стандартными звеньями и типовыми элемен-
тами радиофизических систем: усилителями, RC- и RLC-цепочками, филь-
трами и т. д. При наличии структурной схемы это дает возможность перей-
ти к ее реализации в радиофизическом эксперименте.
3. Универсальность языка моделей, состоящих из стандартных звеньев, и
применимость его не только при исследовании радиофизических систем,
но и в механике, теории управления, биологии и т. д.
Таким образом, подход к моделированию радиофизических систем, основан-
ный на применении типовых элементов, потенциально обладает большими воз-
можностями. Вместе с тем нужно отчетливо сознавать, что далеко не все реаль-
ные системы можно представить в виде простой, состоящей из типовых взаимо-
действующих элементов схемы. В некотором смысле простота структурной
модели определяет простоту и математической модели.
Хотя требование структурного представления и накладывает ограничения на
возможные модели радиофизических систем, множество таких моделей остается
все еще слишком широким для конструктивного исследования общих законо-
мерностей поведения систем со сложной собственной динамикой. К тому же не
объединенные общей идеологией, эти модели по-прежнему остаются слишком
частными, чтобы на основании их свойств можно было говорить об общности за-
кономерностей, приводящей к хаотической динамике и характеризующей ее раз-
витие.
Для выяснения этих закономерностей необходимо выявить роль различных
факторов, определяющих поведение систем. Поэтому желательно изучать не от-
дельные системы, а классы систем, в рамках которых можно исследовать роль
различных структурных элементов (числа степеней свободы, числа и характера
положений равновесия, фильтрующих свойств, различных нелинейностей и т. д.)
в формировании странных аттракторов и свойств этих аттракторов.
Применительно к радиофизическим и электронным системам класс (классы)
моделей должен удовлетворять следующим требованиям:
— содержать системы с произвольным числом степеней свободы и произ-
вольным числом положений равновесия при фиксированном числе степе-
ней свободы;
— обладать достаточно широким набором явлений сложной динамики;
— иметь возможно более простую структуру;
— допускать наряду с численным и теоретическим экспериментальное иссле-
дование;
— иметь отношение к практически используемым схемам;
— допускать ясную физическую трактовку элементов, составляющих систе-
му, и процессов, протекающих в них.
2.2. Кольцевые радиофизические системы
Рассмотрим совокупность систем, состоящих из замкнутых в кольцо, последова-
тельно включенных активных и пассивных элементов. Под активными элемента-
ми будем понимать линейные и нелинейные усилители и безынерционные эле-
менты, производящие нелинейное преобразование сигнала. В кольце одновре-
менно могут быть задействованы один или несколько активных элементов. В него
включаются также пассивные элементы: дифференцирующие, интегрирующие,
колебательные и апериодические звенья, которые могут быть как линейными,
так и нелинейными. Кроме элементов с сосредоточенными параметрами, в коль-
це могут присутствовать элементы с распределенными параметрами, простей-
шим из которых является задержка. Предполагается, что сигнал в кольце распро-
страняется только в одну сторону.
Таким образом, описанная совокупность выделяется из общего множества
структурных моделей двумя признаками: наличием единственной петли обрат-
ной связи и односторонним распространением сигнала в кольце.
С целью сделать задачу более конструктивной и обозримой в главах 2—5 рас-
сматриваются системы только с единственным активным нелинейным элемен-
том, а список применяемых пассивных элементов ограничивается апериодиче-
ским звеном, колебательным звеном, дифференцирующим звеном и задержкой.
В радиофизической трактовке апериодические звенья играют в кольцевых систе-
мах роль фильтров нижних частот первого порядка, колебательные звенья —
фильтров нижних частот второго порядка.
В главах 3, 4 будет показано, что в качестве класса автоколебательных систем
(АКС), обладающих достаточно широким набором явлений сложной динамики,
может рассматриваться совокупность кольцевых автоколебательных систем, со-
стоящих из замкнутых в кольцо нелинейного усилителя, N апериодических
звеньев и К колебательных звеньев. Система дифференциальных уравнений,
описывающая такие АКС, имеет вид
T X X FY
T X X X T X X X
Y Y
K
N N N N
1 1 1
2 2 2 1 1
1 11 1
+ =
+ = + =
+ +
−
( ),
,..., ,
2
1 1
2 2 2
1 Y X Y Y Y Y N K K K K K K K = + + = ,....., − ,
(2.1)
где Ti — постоянные времени апериодических звеньев, αi и ωi — коэффициенты
диссипации и резонансные частоты колебательных звеньев, F(Y) — характери-
стика нелинейного элемента.
Совокупность систем (2.1) будем рассматривать в дальнейшем как базовую,
включающую единственный нелинейный элемент, а в качестве линейных эле-
ментов — только апериодические звенья (RC-фильтры нижних частот первого
порядка) и колебательные звенья (RLC-фильтры нижних частот второго поряд-
ка). Модели (2.1) обеспечивают возможность достаточно эффективного изучения
общих закономерностей динамики радиофизических систем в смысле требова-
ний, выдвинутых выше.
Действительно, класс систем, описываемый уравнениями (2.1), содержит си-
стемы с произвольным числом степеней свободы, имеет очень простую структуру
(в частности поиск точек равновесия системы сводится просто к решению нели-
нейного уравнения X = F(X)), допускает наряду с численным и теоретическим
экспериментальное исследование при реализации апериодического и колеба-
тельного звеньев в виде фильтров нижних частот первого и второго порядков, а
нелинейного усилителя в виде последовательно соединенных нелинейного эле-
мента (например на основе р — п —р—n-структуры, глава 4) и линейного усилите-
ля. Многие практические схемы генераторов хаотических колебаний по своей
структуре близки к кольцевым схемам.
Остановимся несколько подробнее на трактовке физических процессов, про-
текающих в системе.
Одной из особенностей рассматриваемой базовой совокупности систем (2.1)
является возможность ее представления в виде последовательно соединенных и
замкнутых в кольцо нелинейного безынерционного элемента и линейного филь-
тра нижних частот. В таком представлении кольцевая автоколебательная система
представляет собой модель типичного генератора, состоящего из усилителя и
внешней цепи обратной связи. Правда, обычно при исследовании таких генера-
торов рассматривается случай резонансного усилителя (Андреев В.С. [1982]; Хар-
кевич [1956]).
Рассмотрим амплитудно-частотные и фазово-частотные характеристики (АЧХ
и ФЧХ) фильтра нижних частот первого порядка и фильтра нижних частот второ-
го порядка, входящих в цепь обратной связи кольцевой системы (рис. 2.1, а, б).
Оба этих фильтра характеризуются наличием фазового запаздывания выходного
сигнала относительно входного. На высоких частотах для RC-фильтра это запа-
здывание достигает 90°, а для RLC-фильтра — 180° (рис. 2.1, б). Используя метод
D‑разбиения по комплексному параметру, можно показать, что для возбуждения
автоколебаний в кольцевой системе с RC- и RLC-фильтрами должны выполнять-
ся условия баланса фаз для фазового запаздывания в усилителе φУ(ω) и в цепи
обратной связи φО.С.(ω)
. . ( ) + ( )=2n,n=1,2,.... (2.2)
и условие для коэффициента передачи усилителя KУ() и цепи обратной свя-
зи K . .()
K K . . ( ) ( )>1. (2.3)
Частота возбуждения колебаний ω определяется из соотношения (2.2). Из
(2.2) следует, что для возбуждения автоколебаний в системе, содержащей только
RC-фильтры, требуется, чтобы их было не меньше трех при условии, что усили-
тель вносит сдвиг фаз, равный 180°. Если же усилитель вносит фазовый сдвиг,
равный нулю, то для возбуждения автоколебаний требуется наличие не менее пя-
ти RC-фильтров.
Проанализируем частотные характеристики двух комбинаций из RC- и
RLC‑фильтров: 1) RC-фильтр плюс RLC-фильтр; 2) RC-фильтр плюс два
RLC‑фильтра. АЧХ и ФЧХ этих линейных систем приведены на рис. 2.1, в, г. Из
рисунка следует, что возбуждение автоколебаний при замыкании обратной связи
первой системы возможно, если входящий в нее усилитель вносит фазовый сдвиг,
равный 180°. Во второй системе с двумя RLC-фильтрами возможно возбуждение
автоколебаний как при наличии усилителя, сдвигающего фазу сигнала на 180°,
так и в случае усилителя, обеспечивающего нулевой сдвиг фаз.
Из аналогичных рассуждений следует, что фазовые соотношения (2.2) допу-
скают возбуждение колебаний на двух частотах в системе с тремя RLC-фильтрами
и усилителем, инвертирующим фазу на 180°, или в системе с четырьмя RLC‑филь-
трами и усилителем, не сдвигающим фазу. Наконец, для дальнейшего рассмотре-
ния представляет интерес ситуация с возможностью возбуждения колебаний на
двух различных частотах уже в системе с 2,5 степенями свободы (двумя RLC‑филь-
трами), но в которой характеристика усилителя имеет как восходящий, так и па-
дающий участки.
Рассмотренные случаи связаны со сдвигом фаз в усилителе на 0° и 180° и при-
водят к наиболее простым математическим моделям. Однако в общем случае
сдвиг фаз в усилителе может быть произвольным и, кроме того, зависящим от ча-
стоты.
Помимо баланса фаз, возможность возбуждения колебаний на той или иной
частоте определяется также соотношением (2.3) для коэффициента передачи по
цепи обратной связи, величина которого при прочих равных условиях оказывает-
ся решающей для возбуждения того или иного автоколебательного режима.
Рис. 2.1. Амплитудные (а, в) и фазовые (б, г) характеристики фильтров нижних частот
и их комбинаций:
1 — RC-фильтра; 2 — RLC-фильтра с добротностью Q = 10; 3 — RC-фильтра и
RLC-фильтра; 4 — RC-фильтра и двух RLC-фильтров
а в
б г
Таким образом, в рамках кольцевых систем (2.1) можно трактовать и устанав-
ливать ряд закономерностей развития динамики на основе анализа традицион-
ных в радиофизике понятий, связанных с частотными характеристиками. Кроме
того, соотношение резонансных частот в RLC-фильтрах и частот среза RC-филь-
тра дает возможность предсказывать некоторые предельные случаи поведения
системы без детального исследования каждой конкретной ситуации.
Наряду с исследованием кольцевых систем, описываемых маломерными си-
стемами обыкновенных дифференциальных уравнений, представляет интерес
изучение и другого предельного случая — поведения кольцевых систем с очень
большим числом степеней свободы. Каковы уравнения, описывающие динамику
таких моделей?
Пусть в кольцевую автоколебательную систему входит N одинаковых линей-
ных элементов. Представим линейный элемент, входящий в состав системы, в
виде четырехполюсника (рис. 2.2, а).
В общем случае линейный четырехполюсник описывается двумя уравнениями:
I GU G U I G U G U 1 11 1 12 2 2 21 1 22 = + , = + 2 2, (2.4)
которые связывают между собой четыре переменные величины — ток и напряже-
ние на входе четырехполюсника с током и напряжением на его выходе. Типичны-
ми четырехполюсниками являются RC-, LC- и RLC-звенья (рис. 2.2, б—г).
Рассмотрим цепочку, состоящую из RC-звеньев. Разобьем ее на T-образные
элементы (рис. 2.3). Применяя к каждому из Т-образных элементов законы Кирх-
гофа для комплексных амплитуд тока и напряжения, приходим к уравнениям
U U RI U U RI CPU I I n n n n n n n n n + = − = = − + + + +
0 0
1 1 1
0
1 /2, /2, , (2.5)
где С — емкость, Р — оператор дифференцирования.
а
в
б
г
Рис. 2.2. Четырехполюсники:
а) общая схема; б) RC-звено; в) LC-звено; г) RLC-звено
Глава 2. Радиофизические системы с собственной сложной динамикой
и методы их исследования
39
Непосредственно из (2.5) получаем
U U U RCU n+ n+ n n − + = 2 1 2 , (2.6)
откуда при условии малости сдвига фаз в каждом отдельном четырехполюснике
на данной частоте по сравнению с 2π и предельном переходе при N → ∞ получаем
уравнение
=
2
2
U
X
RC
U
t
. (2.7)
Уравнение в частных производных (2.7) есть не что иное, как уравнение диф-
фузии.
Аналогично в предельном случае для цепочки из LC-звеньев приходим к вол-
новому уравнению
=
2
2
2
2
U
X
LC
U
t
, (2.8)
а в случае цепочки из RLC-звеньев — к уравнению
=
+
2
2
2
2
U
X
RC
U
t
LC
U
t
. (2.9)
Таким образом, в пределе N → ∞ цепочка RC-звеньев эквивалентна уравне-
нию диффузии, а цепочка, состоящая из RLC-звеньев, — волновому уравнению
для среды с потерями.
В кольцевых системах, описываемых уравнениями (2.1), в качестве базовых ли-
нейных элементов используются не RC- и RLC-звенья, a RC- и RLC-фильтры с
единичными коэффициентами передачи. Эти элементы, в отличие от RC- и .RLC-
звеньев, невзаимны, и соответствующие им четырехполюсники можно представить
в виде, изображенном на рис. 2.4. На этом рисунке У — усилитель, играющий роль
развязывающего элемента. Для случая RC-фильтра (рис. 2.4, а) из соотношения
RCU U U n n n
+ + + = 1 1 или U U RCPU n n n − = +1 +1, (2.10)
где Р — оператор дифференцирования, следует, что выход RC-звена нагружен на
высокоомный импеданс. Поэтому токи в конденсаторе и в резисторе практиче-
ски равны друг другу. Выход усилителя также высокоомный (это источник на-
пряжения).
Рис. 2.3. T-образный элемент цепоч-
ки четырехполюсников
2.2. Кольцевые радиофизические системы
40
Из (2.10) имеем в пределе N → ∞
+
=
U
X
RC
U
t
0. (2.11)
Решение уравнения (2.10) — волна, движущаяся слева направо:
U = U (X – t/RC).
В случае RLC-фильтра (рис. 2.4, б) в результате аналогичных выкладок прихо-
дим к параболическому уравнению в частных производных
+
+
=
U
X
RC
U
t
LC
U
t
2
2 0. (2.12)
Интересно отметить, что элемент системы, описываемый уравнением (2.11),
также как длинная линия, может быть использован в качестве задержки для коль-
цевой автоколебательной системы. При этом в отличие от длинной линии, опи-
сываемой волновым уравнением второго порядка, в цепочке из RC-фильтров при
любых значениях параметров элемента, стоящего на выходе цепочки, отсутствует
отраженная волна.
2.3. Теоретические предпосылки исследования
сложной динамики физическиx систем
Рассмотрим детерминированную модель радиофизической системы, описывае-
мую для определенности нелинейными обыкновенными дифференциальными
уравнениями
X =f(X,μ), (2.13)
где X — вектор размерности n, f(·) — вектор-функция размерности n, μ — вектор
параметров размерности p. Пусть при μ = 0 (2.13) имеет по меньшей мере одно
устойчивое положение равновесия Хо и находится в нем в начальный момент вре-
мени. При изменении параметров системы положение равновесия может потерять
устойчивость, и система перейдет в новый режим. Этим режимом может быть но-
вое устойчивое положение равновесия или другой аттрактор, на который система
попадает в случае жесткой потери устойчивости. В общем случае при жесткой поте-
ре устойчивости фазовая траектория системы уходит в удаленную от первоначаль-
ного положения равновесия область фазового пространства, и ее дальнейшее пове-
дение не связано со строением окрестности потерявшего устойчивость положения
равновесия. Другой тип потери устойчивости — мягкая потеря устойчивости, при
которой возникающее новое решение лежит в окрестности бывшей устойчивой не-
подвижной точки. Наиболее интересным с точки зрения рассматриваемых в дан-
ной работе вопросов здесь является возникновение нового типа решений — авто-
колебаний. Мягкому рождению автоколебаний соответствует выход системы на
«безопасную» границу устойчивости (Баутин и Шильников [1980]; Баутин [1984]).
С дальнейшим изменением μ автоколебания также могут потерять устойчи-
вость. Классификация типичных случаев потери устойчивости автоколебаний
приведена в (Арнольд [1978]; Арнольд [1979]). В частности, при последовательном
усложнении характера динамических режимов типичными являются три случая:
1) одно из собственных значений линеаризованного в окрестности неподвижной
точки отображения Пуанкаре выходит из единичного круга в точке +1; 2) одно из
собственных значений линеаризованного в окрестности неподвижной точки ото-
бражения Пуанкаре выходит из единичного круга в точке —1; 3) пара комплекс-
но-сопряженных собственных значений выходит из единичного круга. Первый
случай соответствует жесткой потере устойчивости автоколебаний. Во втором
случае при выходе через «безопасную» границу происходит мягкое рождение
цикла удвоенного периода, и наконец, в третьем в спектре колебаний возникает
вторая частота, а в фазовом пространстве рождается двумерный тор.
Перечисленные режимы в основном исчерпывают регулярные типы колеба-
ний в нелинейных системах. Спектры этих колебаний могут быть как простыми,
например в момент рождения предельного цикла из потерявшего устойчивость
фокуса, так и достаточно сложными, содержащими гармоники основных частот,
комбинационные составляющие, субгармоники и т. д. Общим свойством спек-
тров регулярных колебаний является их линейчатый характер.
Другим важным классом режимов в нелинейных системах являются хаотиче-
ские колебания, которые в отличие от регулярных колебаний обладают многими
свойствами случайных процессов: сплошным спектром мощности, затухающей
автокорреляционной функцией, предсказуемостью поведения траектории лишь
на ограниченные интервалы времени. Математическим образом таких колебаний
в фазовом пространстве является хаотический (странный) аттрактор. Общим
свойством хаотических аттракторов является экспоненциальное в среднем разбе-
гание на них первоначально близких траекторий, порождаемое экспоненциаль-
ной в среднем неустойчивостью траекторий.
Ниже свойство экспоненциального разбегания траекторий будет использо-
ваться в качестве операционного определения странного аттрактора. Хотя такое
определение в ряде случаев сильно огрубляет картину, оно весьма удобно для
идентификации типа колебательного режима. Непосредственный способ выяс-
нения принадлежности данного режима к хаотическому или регулярному заклю-
чается в вычислении максимального ляпуновского показателя, величина которо-
го и характеризует тип колебаний.
Для определения тонкой структуры многочастотных и хаотических колебаний
и анализа механизмов перехода между различными колебательными режимами
недостаточно изучения какой-то одной характеристики колебаний. Решение
этой задачи требует привлечения совокупности различных характеристик, таких
как реализации колебательного процесса, фазовые портреты, спектральная плот-
ность мощности, размерность аттрактора, спектр ляпуновских характеристиче-
ских показателей, отображение Пуанкаре, бифуркационные диаграммы и т. д.
Строгие результаты, относящиеся к этому вопросу, имеются для гиперболиче-
ских аттракторов (Синай [1979]; Синай [1981]) и утверждают, что динамическая
стохастичность, вызванная гиперболичностью, «сильнее» стохастичности, вы-
званной малыми случайными добавками. Точнее, при малом случайном возму-
щении динамической системы со свойствами гиперболичности ее свойства меня-
ются мало.
Рассмотрим основные характеристики, используемые при исследовании си-
стем со сложной динамикой, и возможности их получения в численном и физи-
ческом экспериментах.