eng
Содержание
Содержание
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Глава 1. Историяв опроса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Глава 2. Полная энергияи волновая функция свободной частицы....... 12
Глава 3. Уравнениякв антовой механики с физическими
переменными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Глава 4. Инфинитное движение квантовой частицы
в квазигидродинамическом представлении . . . . . . . . . . . . 19
Глава 5. Тепловой эффект на аноде при автоэлектронной эмиссии 21
Глава 6. Эффект охлажденияанода при автоэлектронной эмиссии
с катода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Глава 7. О тепловыделении альфа-источников . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Глава 8. Измерение энергии квантовых частиц, совершающих
инфинтное движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Глава 9. Квантовый статистический резонанс при взаимодействии
пучка электронов с лазерным излучением . . . . . . . . . . . . . 43
Глава 10. Движение частицы в поле потенциальной ступеньки . . . . . 47
Глава 11. Туннелирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Приложение 1. Вывод квантовых уравнений движения
в квазигидродинамическом представлении . . . . . . . . 60
Приложение 2. Движение квантовых частиц в стационарных
внешних полях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61
Приложение 3. Решение квантовых гидродинамических уравнений
дляс вободной частицы. . . . . . . . . . . . . . . 63. . . . . . . .
Приложение 4. Движение заряженной частицы в электромагнитном
поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Об авторе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
ВВЕДЕНИЕ
В науке нет широкой столбовой дороги,
и только тот достигнет ее сияющих вершин,
кто не страшась усталости, тревоги
карабкается по ее каменистым тропам.
К. Маркс
Во все времена новые технологии способствовали развитию науки.
Не исключением являются и нанотехнологии. Это новое науч-
но-прикладное направление, выявляющее фундаментальные свой-
ства материи на нанометровых масштабах и использующее их в
интересах людей. Человечество вправе ожидать от развитияи ис-
пользованиянанотехнологий резкого улучшениякачества жизни.
Экспериментальные исследованияинфинитного (неограничен-
ного хотябы в одном направлении) движенияквантовых частиц с
применением зондовых нанотехнологий [1] показали, что нужно
более пристально посмотреть на прежние представленияоб их
движении. А именно, наряду с классической кинетической энер-
гией частицы переносят энергию квантовой нелокальности движе-
ния, иначе говоря, участвуют одновременно в двух движениях.
Квантоваясоставля ющаяэнергии движенияможет быть в некото-
рых случаях значительной. На основе этого явления предсказано и
экспериментально доказано несколько новых эффектов.
Испытан прототип экспериментального холодильного элемен-
та, в котором наблюдаетсяохлаждение катода за счет переноса
квантовой составляющей энергии движения — энергии Ферми.
Расчеты показывают, что эффективность такого элемента может
достигать до 60%. Разработана экспериментальнаяметодика опре-
деленияразности энергий Ферми электродов. Показано, что при
альфа-распаде радиоактивных ядер полнаяэнергиячастиц отлича-
етсяот их кинетической энергии на несколько процентов. Этот
результат важен при создании прецизионных альфа-источников
тепла и электричества.
Предсказан эффект, который показывает, что можно «накачи-
вать» квантовую составляющую движения частиц. Дело в том, что
в энергии взаимодействующих частиц при химических и ядерных
реакциях можно уменьшить кинетическую (тепловую) составляю-
щую энергии за счет увеличенияквантовой составляющей. В этом
случае можно говорить о «холодных» реакциях.
Решен ряд тестовых задач дляинфинитного движениякванто -
вых частиц, снимающих существующие теоретические проблемы в
понимании явлений и укрепляющих веру в то, что развиваемый
подход к описанию инфинитного движения является более адек-
ватным. Понимаяприкладное значение предлагаемого подхода к
описанию инфинитного движенияквантовых частиц, идеи, опи-
санные в этой книге, популяризованы в ряде периодических изда-
ний [2—4].
Автор выражает благодарность своим учителям А.А. Кокину и
за обсуждение начальных подходов к описанию
инфинитного движенияквантовых частиц.
Литература
1. Неволин В.К. Зондовые нанотехнологии в электронике. — М.: Техно-
сфера, 2006. — 159 с.
2. Неволин В.К. Нанотехнологии и квантоваяфизика. — Электроника:
НТБ, 2009, № 5, с. 100.
3. Неволин В.К. Зондовые нанотехнологии в достижениях электроники.—
Наука и технологии в промышленности, 2009, № 3, с. 76.
4. Неволин В.К. Квантовые измеренияв нанотехнологиях. — Мир изме-
рений, 2009, № 10 (104), с. 26.
Автор благодарен рецензентам Ю.И. Богданову и Э.А. Ильиче-
ву, сделавшим ценные замечания. В частности, отмечено, что ра-
бота носит остро дискуссионный характер, что может побудить
читателяглубже разобратьсяв основах квантовой механики и про-
стимулировать постановку новых экспериментов.
Дополнительнаялитература, предложеннаяЮ.И. Богдановым
1. Валиев К.А., Кокин А.А. Квантовые компьютеры: надежда и реаль-
ность. — Ижевск, РХД, 2001. — 352 с.
2. Валиев К.А. Квантовые компьютеры и квантовые вычисления. — УФН,
2005, т. 175, № 1, с. 3—39.
3. Богданов Ю.И., Валиев К.А, Кокин А.А. Квантовые компьютеры: до-
стижения, трудности реализации и перспективы. — Микроэлектрони-
ка, 2011, т. 40, № 4.
4. Нильсен М., Чанг И. Квантовые вычисленияи квантоваяинформа -
ция. — М.: Мир, 2006. — 824 с.
5. Прескилл Дж. Квантоваяинформацияи квантовые вычисления, т. 1. —
М.-Ижевск, РХД, 2008. — 464 с.
6. Холево А.С. Введение в квантовую теорию информации. — М.:
МЦНМО, 2002. — 128 с.
8 Введение
В.М. Елеонскому
ГЛАВА 1
ИСТОРИЯ ВОПРОСА
В начале прошлого века были проделаны эксперименты, результа-
ты которых не укладывались в понятия классической физики и
которые привели по существу к рождению квантовой физики.
В квантовой механике было введено понятие волновой функции,
котораянепосредственно не имеет физического смысла, но, тем
не менее, позволяет описать эволюцию квантовых систем во вре-
мени, а квадрат модуляволновой функции имеет смысл простран-
ственно-временного распределенияплотности вероятности этой
системы.
Наибольшее число вопросов вызывает изложение квантовой
механики инфинитного движениячастиц. С какой бы общностью
не пытались получить уравнение Шредингера [1, 2], все сводится
к одному (по Шредингеру). Взято классическое выражение для
энергии Е свободной частицы массой m, котораядвигаетсяс им-
пульсом p:
E p2/ 2m (1.1)
и написано дифференциальное уравнение на языке плоских волн
де Бройлядляэтого выражения:
( , ) p t Ae i
pr Et
. (1.2)
Получаетсяуравнение Шредингера длясвободной частицы, ко-
торое с помощью волновой функции описывает ее эволюцию в
пространстве и времени:
i
t
H
, (1.3)
где оператор Гамильтона длясводной частицы имеет вид:
H ( p ) / m
m m x y z
2
2 2 2
2
2
2
2
2
2
2 2
,
— постоянная Планка.
Уравнение Шредингера является комплексным, ему соответст-
вуют два действительных уравнения. Волноваяфункциятакже яв-
ляется комплексной и, как уже говорилось, не имеет физического
смысла. Физический смысл имеет плотность вероятности, собст-
венно она описывает эволюцию частицы в пространстве и вре-
мени:
( , ) *
r t , (1.4)
где * является комплексно сопряженной функцией.
И здесь возникает первое противоречие. Подставляя (1.2) в (1.4)
получаем, что плотность вероятности свободной частицы постоян-
на во всем пространстве. Это необъяснимый факт. Получается,
что плотность вероятности длясвободной частицы, движущейсяс
импульсом
P, не зависит от координат и времени, т. е. является
постоянной во всем пространстве. Это противоречит эксперимен-
тальным данным. Попытка воспользоватьсяпринципом суперпо-
зиции и создать волновой пакет ни к чему не привела. Волновой
пакет расплываетсяв пространстве и времени. В связи с этим
один из современных способов решенияквантовых задач инфи-
нитного движениязаключаетсяв описании движенияс помощью
огибающей волнового пакета на характерных размерах и време-
нах, много меньших, чем параметры расплыванияпакета. В даль-
нейшем при решении конкретных задач будут показаны и другие
противоречияописанияинфинитного движенияс помощью вол-
новой функции де Бройля.
Собственно с этого начинаютсяфакты, лежащие в описании
инфинитного движенияв квантовой механике и не понятные до
сих пор. На наш взгляд, одной из причин такого положения явля-
етсято, что на заре зарожденияквантовой механики отказались от
описанияквантовых систем с помощью физических величин. Это
дорогаяплата за введение нефизической функции . Дело в том,
что при интерпретации квантовой механики в физических пере-
менных без использования можно не только продвинуться в
преодолении противоречий, имеющихсяв квантовой механике, но
и предсказать новые физические эффекты и экспериментально
доказать их.
Как оказалось, после публикации Э. Шредингером своего
уравненияна эту тему откликнулсяЕ. Маделунг и в 1926 году
опубликовал уравнениядвиженияквантовой частицы в физиче-
ских переменных, которые имели квазигидродинамический вид.
Одно из двух уравнений оказалось нелинейным. Раскопал всю эту
библиографию Д. Бом, американский физик, который в 1950-х го-
дах внес значительный вклад в развитие квазигидродинамического
представленияописанияквантовых систем [3, 4]. С тех пор нели-
нейный метод описаниядвиженияквантовых частиц с помощью
величин, имеющих физический смысл, использовалсядляреше -
нияквантовых задач. Например, при численных расчетах рассея-
нияквантовых частиц оказалось более удобным использовать ква-
зигидродинамическое представление [5]. В конечном счете, ис-
пользование квазигидродинамического представленияоправдано,
если получены новые результаты, которые подтверждаютсяэкспе -
риментально или могут иметь экспериментальное подтверждение.
Возможно, одной из причин того, что не «прижилось» квази-
гидродинамическое представление, является то, что одно из урав-
нений является нелинейным, которое весьма трудно решать ана-
литически. Впрочем, в квантовой механике не много решенных
аналитически задач даже с использованием линейного уравнения
Шредингера.
Поиск не тривиальных решений дляинфинитных одночастич-
ных состояний привел нас к решениям уравнения Шредингера в
гидродинамическом представлении. Квантовые гидродинамиче-
ские уравненияпозволя ют описывать последовательно инфинит-
ные состояния квантовых частиц. При необходимости полученные
результаты можно удостоверить с помощью традиционных реше-
ний уравнений Шредингера. Обращение к квантовым гидроди-
намическим уравнениям с физическими величинами позволяют
несколько иначе взглянуть на давно известные результаты для
одночастичных инфинитных состояний [6—8]. Заметим, что
квазигидродинамическое представление движениявстречается
с большими трудностями при описании системы взаимодействую-
щих частиц.
Литература
1. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. — М.: Наука, 1976. —
664 с.
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантоваямеханика. Нерелятивистская
теория. — М.: Гиз. ФМЛ, 1963. — 702 с.
3. Вопросы причинности в квантовой механике. Сб. переводов/Под ред.
Я.П. Терлецкого и А.А. Гусева. — М.: ИЛ 1955, с. 34.
4.Ghosh S. K., Deb B. M. Densities, Density-Functionals and Electron Fluids.
Physics Reports (Review Section of Physics Letters). 92 No 1 (1982).
5. Алексеев Б.В., Абакумов А.И. Об одном подходе к решению уравнения
Шредингера. Доклады РАН, 1982, т. 262, с. 1100.
6. Неволин В.К. Пространственнаялокализациясвободных квантовых
частиц. Наноматериалы и нанотехнологии, 2012, № 3, с. 39—44.
7. Неволин В.К. Атом водорода: что нового? Наноинженерия, 2012, № 12,
с. 44—46.
8. Неволин В.К. Атом водорода: что нового? Часть II. Наноинженерия,
2013. № 2, с. 46—48.
ГЛАВА 2
ПОЛНАЯ ЭНЕРГИЯ
И ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ
СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫ [2]
К сожалению, нередко в учебниках по квантовой механике выра-
жением для полной энергии свободной частицы считается форму-
ла (1.1). Напишем ее еще раз:
E p2/ 2m. (2.1)
Однако эта формула описывает только энергию поступательно-
го движения частицы. Частица совершает одновременно еще
квантовое движение и это ее неотъемлемое свойство, в каких бы
она состояниях не находилась — финитных или инфинитных. Та-
ким образом, свободная частица одновременно участвует в двух
движениях («корпускулярно-волновой дуализм») и каждому дви-
жению должна соответствовать своя энергия.
Пусть оператор Гамильтона частицы массы m, совершающей
свободное движение, имеет вид:
H (p )2/ 2m. (2.2)
В квантовой механике договорились и приняли, что реальной
физической величине соответствует квантово-механическое сред-
нее от соответствующего оператора. Тогда энергия частицы равна:
E H (p )2 / 2m p 2/ 2m ( p)2 / 2m. (2.3)
Здесь принято:
E H H d * r и (p p )2 ( p)2 .
Можно видеть, что квантовая частица одновременно участвует
в двух движениях: совершая поступательное движение с кинетиче-
ской энергией
Ek p m 2 / 2
и чисто квантовое с энергией квантовой нелокальности движения,
обусловленной флуктуациями импульса
( p)2 / 2m.
Таким образом,
E Ek . (2.4)
Используем принцип суперпозиции квантовых состояний для
частицы, участвующей одновременно в двух движениях, и запи-
шем волновую функцию в виде:
( , )
( ) ( )
r
p r p r
t e e
i Et i Et
0
2
1 1 2 2
. (2.5)
Положим:
p (p1 p2) / 2, p (p1
p2) / 2;
E1 p1 m
2 / 2 , E p m 2 2
2 / 2 , E (E E ) / 1 2 2.
Обозначим далее p p. Тогда плотность вероятности свобод-
ной частицы, совершающей инфинитное движение, будет иметь
вид:
r
p r p
t
( )
0
cos2
t /m
. (2.6)
Здесь предполагается, что начальная фаза волны равна нулю. Тог-
да один из максимумов плотности вероятности совпадает с клас-
сическим местоположением частицы, и этот центр перемещается в
пространстве с импульсом р. Использование большего числа вол-
новых функций для написания суперпозиции, описывающей дви-
жение свободной частицы, приводит к известной проблеме — рас-
плыванию в пространстве со временем для каждой частицы.
Принимая обозначения для полной энергии частицы Е и среднего
импульса р, волновую функцию частицы из формулы (2.5) можно
преобразовать к виду:
( , ) cos
( / ( )
r
p r p
t
t m
e
i pr Et
0
. (2.7)
Формула (2.7) показывает, что амплитуда плоской волны моду-
лируется гармонической функцией и ее максимум распространя-
ется в пространстве с классической скоростью р/m. Период осцил-
ляций амплитуды в пространстве подчиняется следующим соотно-
шениям для любого момента времени:
px x 2 , py y 2 , pz z 2 . (2.7а)
Глава 2. Полная энергия и волновая функция свободной частицы 13
Не трудно убедиться, что подстановка волновой функции (2.7)
в уравнение Шредингера длясвободной частицы дает выражение
дляполной энергии частицы в виде формулы (2.3).
Далее покажем, что выражение дляплотности вероятности сво-
бодной частицы (2.6) является аналитическим решением кванто-
вых уравнений движенияв квазигидродинамическом представле-
нии.
В общем случае волна плотности вероятности свободной части-
цы (2.6) совершает продольно-поперечные колебанияс волновым
вектором
k p / , (2.8)
частотой
( p / )(p / m) kv (2.9)
и линейным законом дисперсии, что существенно. С ее помощью
качественно можно объяснить известные экспериментальные ре-
зультаты по интерференции частицы самой с собой при прохожде-
нии двух щелей [1]. Заметим, что в монографии [1] при интерпре-
тации интерференционной картины на экране предлагаетсясупер-
позициядвух волновых функций (после прохождениящелей) для
описанияинфинитного движенияотдельной квантовой частицы.
Закон сохраненияэнергии движениядлясвободных частиц
(2.4) с помощью (2.6) можно записать в следующем виде:
E Ek ( k)2 / 2m, или E Ek ( / 2)( / 2Ek) 2k 2 / 2m, (2.10)
где k — поперечнаясоставля ющаяволнового вектора относи-
тельно направлениядвижения . Можно видеть, что квантоваясо -
ставляющаяэнергии свободного движениячастицы имеет волно-
вую природу и, по-видимому, связана с энергией квантовых коле-
баний плотности вероятности. Заметим, что гармонические коле-
банияплотности вероятности в соответствии с формулами (2.6) и
(2.9) происходят на удвоенной частоте.
Если не учитывать поперечную составляющую флуктуаций им-
пульса k 0 и положить, что квантоваясоставля ющаяэнергии
движенияравна кинетической энергии Ek / 2, то получаем
прежние постулаты квантовой механики длячастиц с ненулевой
массой:
E , P k.
Эти формулы в соответствии с (2.10) описывают возможный
частный случай.
14 Глава 2. Полная энергия и волновая функция свободной частицы
Литература
1. Физика квантовой информации/Под ред. Д. Боумейстера, А. Экерта,
А.Цайлингера. — М.: Постмаркет, 2002, с. 18. (The Physics of Quantum
Information edited by D. Bouwmeester, A. Ekert, A. Zeilinger. Springer-
Verlag Berlin Heidelberg 2000).
2. Неволин В.К. Об энергии движениясвободных квантовых частиц в
разреженных пучках. — Инженернаяфизика, 2009, № 5, с. 20.
В науке нет широкой столбовой дороги,
и только тот достигнет ее сияющих вершин,
кто не страшась усталости, тревоги
карабкается по ее каменистым тропам.
К. Маркс
Во все времена новые технологии способствовали развитию науки.
Не исключением являются и нанотехнологии. Это новое науч-
но-прикладное направление, выявляющее фундаментальные свой-
ства материи на нанометровых масштабах и использующее их в
интересах людей. Человечество вправе ожидать от развитияи ис-
пользованиянанотехнологий резкого улучшениякачества жизни.
Экспериментальные исследованияинфинитного (неограничен-
ного хотябы в одном направлении) движенияквантовых частиц с
применением зондовых нанотехнологий [1] показали, что нужно
более пристально посмотреть на прежние представленияоб их
движении. А именно, наряду с классической кинетической энер-
гией частицы переносят энергию квантовой нелокальности движе-
ния, иначе говоря, участвуют одновременно в двух движениях.
Квантоваясоставля ющаяэнергии движенияможет быть в некото-
рых случаях значительной. На основе этого явления предсказано и
экспериментально доказано несколько новых эффектов.
Испытан прототип экспериментального холодильного элемен-
та, в котором наблюдаетсяохлаждение катода за счет переноса
квантовой составляющей энергии движения — энергии Ферми.
Расчеты показывают, что эффективность такого элемента может
достигать до 60%. Разработана экспериментальнаяметодика опре-
деленияразности энергий Ферми электродов. Показано, что при
альфа-распаде радиоактивных ядер полнаяэнергиячастиц отлича-
етсяот их кинетической энергии на несколько процентов. Этот
результат важен при создании прецизионных альфа-источников
тепла и электричества.
Предсказан эффект, который показывает, что можно «накачи-
вать» квантовую составляющую движения частиц. Дело в том, что
в энергии взаимодействующих частиц при химических и ядерных
реакциях можно уменьшить кинетическую (тепловую) составляю-
щую энергии за счет увеличенияквантовой составляющей. В этом
случае можно говорить о «холодных» реакциях.
Решен ряд тестовых задач дляинфинитного движениякванто -
вых частиц, снимающих существующие теоретические проблемы в
понимании явлений и укрепляющих веру в то, что развиваемый
подход к описанию инфинитного движения является более адек-
ватным. Понимаяприкладное значение предлагаемого подхода к
описанию инфинитного движенияквантовых частиц, идеи, опи-
санные в этой книге, популяризованы в ряде периодических изда-
ний [2—4].
Автор выражает благодарность своим учителям А.А. Кокину и
за обсуждение начальных подходов к описанию
инфинитного движенияквантовых частиц.
Литература
1. Неволин В.К. Зондовые нанотехнологии в электронике. — М.: Техно-
сфера, 2006. — 159 с.
2. Неволин В.К. Нанотехнологии и квантоваяфизика. — Электроника:
НТБ, 2009, № 5, с. 100.
3. Неволин В.К. Зондовые нанотехнологии в достижениях электроники.—
Наука и технологии в промышленности, 2009, № 3, с. 76.
4. Неволин В.К. Квантовые измеренияв нанотехнологиях. — Мир изме-
рений, 2009, № 10 (104), с. 26.
Автор благодарен рецензентам Ю.И. Богданову и Э.А. Ильиче-
ву, сделавшим ценные замечания. В частности, отмечено, что ра-
бота носит остро дискуссионный характер, что может побудить
читателяглубже разобратьсяв основах квантовой механики и про-
стимулировать постановку новых экспериментов.
Дополнительнаялитература, предложеннаяЮ.И. Богдановым
1. Валиев К.А., Кокин А.А. Квантовые компьютеры: надежда и реаль-
ность. — Ижевск, РХД, 2001. — 352 с.
2. Валиев К.А. Квантовые компьютеры и квантовые вычисления. — УФН,
2005, т. 175, № 1, с. 3—39.
3. Богданов Ю.И., Валиев К.А, Кокин А.А. Квантовые компьютеры: до-
стижения, трудности реализации и перспективы. — Микроэлектрони-
ка, 2011, т. 40, № 4.
4. Нильсен М., Чанг И. Квантовые вычисленияи квантоваяинформа -
ция. — М.: Мир, 2006. — 824 с.
5. Прескилл Дж. Квантоваяинформацияи квантовые вычисления, т. 1. —
М.-Ижевск, РХД, 2008. — 464 с.
6. Холево А.С. Введение в квантовую теорию информации. — М.:
МЦНМО, 2002. — 128 с.
8 Введение
В.М. Елеонскому
ГЛАВА 1
ИСТОРИЯ ВОПРОСА
В начале прошлого века были проделаны эксперименты, результа-
ты которых не укладывались в понятия классической физики и
которые привели по существу к рождению квантовой физики.
В квантовой механике было введено понятие волновой функции,
котораянепосредственно не имеет физического смысла, но, тем
не менее, позволяет описать эволюцию квантовых систем во вре-
мени, а квадрат модуляволновой функции имеет смысл простран-
ственно-временного распределенияплотности вероятности этой
системы.
Наибольшее число вопросов вызывает изложение квантовой
механики инфинитного движениячастиц. С какой бы общностью
не пытались получить уравнение Шредингера [1, 2], все сводится
к одному (по Шредингеру). Взято классическое выражение для
энергии Е свободной частицы массой m, котораядвигаетсяс им-
пульсом p:
E p2/ 2m (1.1)
и написано дифференциальное уравнение на языке плоских волн
де Бройлядляэтого выражения:
( , ) p t Ae i
pr Et
. (1.2)
Получаетсяуравнение Шредингера длясвободной частицы, ко-
торое с помощью волновой функции описывает ее эволюцию в
пространстве и времени:
i
t
H
, (1.3)
где оператор Гамильтона длясводной частицы имеет вид:
H ( p ) / m
m m x y z
2
2 2 2
2
2
2
2
2
2
2 2
,
— постоянная Планка.
Уравнение Шредингера является комплексным, ему соответст-
вуют два действительных уравнения. Волноваяфункциятакже яв-
ляется комплексной и, как уже говорилось, не имеет физического
смысла. Физический смысл имеет плотность вероятности, собст-
венно она описывает эволюцию частицы в пространстве и вре-
мени:
( , ) *
r t , (1.4)
где * является комплексно сопряженной функцией.
И здесь возникает первое противоречие. Подставляя (1.2) в (1.4)
получаем, что плотность вероятности свободной частицы постоян-
на во всем пространстве. Это необъяснимый факт. Получается,
что плотность вероятности длясвободной частицы, движущейсяс
импульсом
P, не зависит от координат и времени, т. е. является
постоянной во всем пространстве. Это противоречит эксперимен-
тальным данным. Попытка воспользоватьсяпринципом суперпо-
зиции и создать волновой пакет ни к чему не привела. Волновой
пакет расплываетсяв пространстве и времени. В связи с этим
один из современных способов решенияквантовых задач инфи-
нитного движениязаключаетсяв описании движенияс помощью
огибающей волнового пакета на характерных размерах и време-
нах, много меньших, чем параметры расплыванияпакета. В даль-
нейшем при решении конкретных задач будут показаны и другие
противоречияописанияинфинитного движенияс помощью вол-
новой функции де Бройля.
Собственно с этого начинаютсяфакты, лежащие в описании
инфинитного движенияв квантовой механике и не понятные до
сих пор. На наш взгляд, одной из причин такого положения явля-
етсято, что на заре зарожденияквантовой механики отказались от
описанияквантовых систем с помощью физических величин. Это
дорогаяплата за введение нефизической функции . Дело в том,
что при интерпретации квантовой механики в физических пере-
менных без использования можно не только продвинуться в
преодолении противоречий, имеющихсяв квантовой механике, но
и предсказать новые физические эффекты и экспериментально
доказать их.
Как оказалось, после публикации Э. Шредингером своего
уравненияна эту тему откликнулсяЕ. Маделунг и в 1926 году
опубликовал уравнениядвиженияквантовой частицы в физиче-
ских переменных, которые имели квазигидродинамический вид.
Одно из двух уравнений оказалось нелинейным. Раскопал всю эту
библиографию Д. Бом, американский физик, который в 1950-х го-
дах внес значительный вклад в развитие квазигидродинамического
представленияописанияквантовых систем [3, 4]. С тех пор нели-
нейный метод описаниядвиженияквантовых частиц с помощью
величин, имеющих физический смысл, использовалсядляреше -
нияквантовых задач. Например, при численных расчетах рассея-
нияквантовых частиц оказалось более удобным использовать ква-
зигидродинамическое представление [5]. В конечном счете, ис-
пользование квазигидродинамического представленияоправдано,
если получены новые результаты, которые подтверждаютсяэкспе -
риментально или могут иметь экспериментальное подтверждение.
Возможно, одной из причин того, что не «прижилось» квази-
гидродинамическое представление, является то, что одно из урав-
нений является нелинейным, которое весьма трудно решать ана-
литически. Впрочем, в квантовой механике не много решенных
аналитически задач даже с использованием линейного уравнения
Шредингера.
Поиск не тривиальных решений дляинфинитных одночастич-
ных состояний привел нас к решениям уравнения Шредингера в
гидродинамическом представлении. Квантовые гидродинамиче-
ские уравненияпозволя ют описывать последовательно инфинит-
ные состояния квантовых частиц. При необходимости полученные
результаты можно удостоверить с помощью традиционных реше-
ний уравнений Шредингера. Обращение к квантовым гидроди-
намическим уравнениям с физическими величинами позволяют
несколько иначе взглянуть на давно известные результаты для
одночастичных инфинитных состояний [6—8]. Заметим, что
квазигидродинамическое представление движениявстречается
с большими трудностями при описании системы взаимодействую-
щих частиц.
Литература
1. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. — М.: Наука, 1976. —
664 с.
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантоваямеханика. Нерелятивистская
теория. — М.: Гиз. ФМЛ, 1963. — 702 с.
3. Вопросы причинности в квантовой механике. Сб. переводов/Под ред.
Я.П. Терлецкого и А.А. Гусева. — М.: ИЛ 1955, с. 34.
4.Ghosh S. K., Deb B. M. Densities, Density-Functionals and Electron Fluids.
Physics Reports (Review Section of Physics Letters). 92 No 1 (1982).
5. Алексеев Б.В., Абакумов А.И. Об одном подходе к решению уравнения
Шредингера. Доклады РАН, 1982, т. 262, с. 1100.
6. Неволин В.К. Пространственнаялокализациясвободных квантовых
частиц. Наноматериалы и нанотехнологии, 2012, № 3, с. 39—44.
7. Неволин В.К. Атом водорода: что нового? Наноинженерия, 2012, № 12,
с. 44—46.
8. Неволин В.К. Атом водорода: что нового? Часть II. Наноинженерия,
2013. № 2, с. 46—48.
ГЛАВА 2
ПОЛНАЯ ЭНЕРГИЯ
И ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ
СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫ [2]
К сожалению, нередко в учебниках по квантовой механике выра-
жением для полной энергии свободной частицы считается форму-
ла (1.1). Напишем ее еще раз:
E p2/ 2m. (2.1)
Однако эта формула описывает только энергию поступательно-
го движения частицы. Частица совершает одновременно еще
квантовое движение и это ее неотъемлемое свойство, в каких бы
она состояниях не находилась — финитных или инфинитных. Та-
ким образом, свободная частица одновременно участвует в двух
движениях («корпускулярно-волновой дуализм») и каждому дви-
жению должна соответствовать своя энергия.
Пусть оператор Гамильтона частицы массы m, совершающей
свободное движение, имеет вид:
H (p )2/ 2m. (2.2)
В квантовой механике договорились и приняли, что реальной
физической величине соответствует квантово-механическое сред-
нее от соответствующего оператора. Тогда энергия частицы равна:
E H (p )2 / 2m p 2/ 2m ( p)2 / 2m. (2.3)
Здесь принято:
E H H d * r и (p p )2 ( p)2 .
Можно видеть, что квантовая частица одновременно участвует
в двух движениях: совершая поступательное движение с кинетиче-
ской энергией
Ek p m 2 / 2
и чисто квантовое с энергией квантовой нелокальности движения,
обусловленной флуктуациями импульса
( p)2 / 2m.
Таким образом,
E Ek . (2.4)
Используем принцип суперпозиции квантовых состояний для
частицы, участвующей одновременно в двух движениях, и запи-
шем волновую функцию в виде:
( , )
( ) ( )
r
p r p r
t e e
i Et i Et
0
2
1 1 2 2
. (2.5)
Положим:
p (p1 p2) / 2, p (p1
p2) / 2;
E1 p1 m
2 / 2 , E p m 2 2
2 / 2 , E (E E ) / 1 2 2.
Обозначим далее p p. Тогда плотность вероятности свобод-
ной частицы, совершающей инфинитное движение, будет иметь
вид:
r
p r p
t
( )
0
cos2
t /m
. (2.6)
Здесь предполагается, что начальная фаза волны равна нулю. Тог-
да один из максимумов плотности вероятности совпадает с клас-
сическим местоположением частицы, и этот центр перемещается в
пространстве с импульсом р. Использование большего числа вол-
новых функций для написания суперпозиции, описывающей дви-
жение свободной частицы, приводит к известной проблеме — рас-
плыванию в пространстве со временем для каждой частицы.
Принимая обозначения для полной энергии частицы Е и среднего
импульса р, волновую функцию частицы из формулы (2.5) можно
преобразовать к виду:
( , ) cos
( / ( )
r
p r p
t
t m
e
i pr Et
0
. (2.7)
Формула (2.7) показывает, что амплитуда плоской волны моду-
лируется гармонической функцией и ее максимум распространя-
ется в пространстве с классической скоростью р/m. Период осцил-
ляций амплитуды в пространстве подчиняется следующим соотно-
шениям для любого момента времени:
px x 2 , py y 2 , pz z 2 . (2.7а)
Глава 2. Полная энергия и волновая функция свободной частицы 13
Не трудно убедиться, что подстановка волновой функции (2.7)
в уравнение Шредингера длясвободной частицы дает выражение
дляполной энергии частицы в виде формулы (2.3).
Далее покажем, что выражение дляплотности вероятности сво-
бодной частицы (2.6) является аналитическим решением кванто-
вых уравнений движенияв квазигидродинамическом представле-
нии.
В общем случае волна плотности вероятности свободной части-
цы (2.6) совершает продольно-поперечные колебанияс волновым
вектором
k p / , (2.8)
частотой
( p / )(p / m) kv (2.9)
и линейным законом дисперсии, что существенно. С ее помощью
качественно можно объяснить известные экспериментальные ре-
зультаты по интерференции частицы самой с собой при прохожде-
нии двух щелей [1]. Заметим, что в монографии [1] при интерпре-
тации интерференционной картины на экране предлагаетсясупер-
позициядвух волновых функций (после прохождениящелей) для
описанияинфинитного движенияотдельной квантовой частицы.
Закон сохраненияэнергии движениядлясвободных частиц
(2.4) с помощью (2.6) можно записать в следующем виде:
E Ek ( k)2 / 2m, или E Ek ( / 2)( / 2Ek) 2k 2 / 2m, (2.10)
где k — поперечнаясоставля ющаяволнового вектора относи-
тельно направлениядвижения . Можно видеть, что квантоваясо -
ставляющаяэнергии свободного движениячастицы имеет волно-
вую природу и, по-видимому, связана с энергией квантовых коле-
баний плотности вероятности. Заметим, что гармонические коле-
банияплотности вероятности в соответствии с формулами (2.6) и
(2.9) происходят на удвоенной частоте.
Если не учитывать поперечную составляющую флуктуаций им-
пульса k 0 и положить, что квантоваясоставля ющаяэнергии
движенияравна кинетической энергии Ek / 2, то получаем
прежние постулаты квантовой механики длячастиц с ненулевой
массой:
E , P k.
Эти формулы в соответствии с (2.10) описывают возможный
частный случай.
14 Глава 2. Полная энергия и волновая функция свободной частицы
Литература
1. Физика квантовой информации/Под ред. Д. Боумейстера, А. Экерта,
А.Цайлингера. — М.: Постмаркет, 2002, с. 18. (The Physics of Quantum
Information edited by D. Bouwmeester, A. Ekert, A. Zeilinger. Springer-
Verlag Berlin Heidelberg 2000).
2. Неволин В.К. Об энергии движениясвободных квантовых частиц в
разреженных пучках. — Инженернаяфизика, 2009, № 5, с. 20.