eng
Содержание
СОДЕРЖАНИЕ
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Предисловиее . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Благодарности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Глава 1. Инженерная математика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.1.
Греческий алфавит . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.
Математические символы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.
Единицы измерения: СИ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.1.
Основные и дополнительные величины. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.2.
Производные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.3.
Единицы измерения, не входящие в систему СИ. . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.4.
Примечания относительно записи размерностей . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.5.
Дольные и кратные единицы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.
Коэффициенты преобразования для единиц измерения ФФС и СИ . . . . . 26
1.5.
Предпочтительные числа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6.
Определение размеров. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6.1.
Плоские фигуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6.2.
Объемные фигуры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.7.
Степени, корни и обратные величины. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.8.
Прогрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.8.1.
Арифметическая прогрессия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.8.2.
Геометрическая прогрессия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.8.3.
Гармоническая прогрессия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.9.
Тригонометрические формулы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.9.1.
Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.9.2.
Тождества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.9.3.
Составные формулы и формулы двойного угла . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.9.4.
Формулы «произведение-сумма» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.9.5.
Формулы треугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.10.
Круг и окружность: некоторые определения и свойства . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.10.1.
Круг: площадь и длина окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.11.
Квадратные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.12.
Натуральные логарифмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.13.
Статистика: введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.13.1.
Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.13.2.
Вероятность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.13.3.
Биномиальное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.13.4.
Распределение Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.13.5.
Нормальное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.14.
Дифференциальное исчисление (производные) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.15.
Интегральное исчисление (неопределенные интегралы) . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.15.1.
Интегрирование по частям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.15.2.
Определенные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.16. Бином Ньютона (биномиальная теорема) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.17.
Разложение в ряд Маклорена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.18.
Разложение в ряд Тейлора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Глава 2. Инженерная статика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.1.
Инженерная статика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.
Масса, сила и вес . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.1.
Масса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.2.
Сила. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.3.
Векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.4.
Вес. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.5.
Масса на единицу объема (плотность) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.6.
Вес в единицах объема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.7.
Относительная плотность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.8.
Давление (жидкости) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.
Векторные диаграммы сил: графическое решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.1.
Равнодействующие силы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.2.
Параллелограмм сил . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.3.
Уравновешивающая сила . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.4.
Разложение сил . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.5.
Равновесие трех сил (треугольник сил) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3.6.
Многоугольник сил: построение диаграммы Максвелла—Кремоны . . 54
2.3.7.
Непересекающиеся копланарные силы (веревочный
многоугольник). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4.
Моменты сил, центр тяжести и центры тяжести площадей . . . . . . . . . . . . 56
2.4.1.
Моменты сил . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4.2.
Принцип моментов (используемая терминология). . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4.3.
Принцип моментов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4.4.
Равновесие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.5.
Разновидности рычагов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.5.1.
Рычаги первого рода. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.5.2.
Рычаги второго рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.5.3.
Рычаги третьего рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.6.
Центр тяжести, геометрический центр фигуры и равновесие . . . . . . . . . . . 63
2.6.1.
Центр тяжести (твердое тело) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.6.2.
Центр тяжести неоднородных и составных твердых тел. . . . . . . . . . . 64
2.6.3.
Центр тяжести (тонкая пластина) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.6.4.
Геометрические центры фигур . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.6.5.
Равновесие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.7.
Трение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.7.1.
Смазка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.7.2.
Законы трения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.7.3.
Коэффициент трения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.7.4.
Угол трения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.7.5.
Трение на наклонной плоскости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.7.6.
Угол трения покоя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.8.
Напряжение и деформация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.8.1.
Нормальное напряжение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.8.2.
Напряжение сдвига. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.8.3.
Относительная линейная деформация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.8.4.
Деформация сдвига . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.8.5.
Модуль упругости (закон Гука) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.8.6.
Модуль сдвига . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.8.7.
Напряжение кручения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4
Содержание2.8.8. Кольцевое напряжение в тонких цилиндрических оболочках. . . . . . . 76
2.8.9.
Продольное напряжение в тонких цилиндрических оболочках . . . . . 77
2.9.
Балки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.9.1.
Усилие сдвига. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.9.2.
Изгибающий момент. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.9.3.
Диаграммы усилия сдвига и изгибающего момента . . . . . . . . . . . . . . 79
2.9.4.
Балки (консоль) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.10.
Напряжение, деформация и изгиб балок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.10.1.
Изгибающее напряжение и нейтральная линия . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.11.
Фермы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.11.1.
Метод сечений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.12.
Гидростатическое давление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.12.1.
Давление на поверхность, находящуюся в жидкости . . . . . . . . . . . . 94
2.12.2.
Закон Паскаля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Глава 3. Инженерная динамика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.1.
Инженерная динамика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.2.
Работа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.3.
Энергия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.3.1.
Сохранение энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.4.
Мощность. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.5.
Коэффициент полезного действия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.6.
Скорость и ускорение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.6.1.
Модуль скорости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.6.2.
Скорость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.6.3.
Ускорение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.6.4.
Уравнения, относящиеся к скорости и ускорению . . . . . . . . . . . . . 101
3.6.5.
Импульс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.6.6.
Законы механики Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.6.7.
Гравитация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.6.8.
Сохранение импульса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.6.9.
Воздействие струи жидкости на неподвижное тело . . . . . . . . . . . . . 103
3.6.10.
Инерция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.6.11.
Сопротивление движению . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.7.
Вращательное движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.7.1.
Радианы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.7.2.
Угол поворота. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.7.3.
Угловая скорость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.7.4.
Соотношение между угловой и линейной скоростями . . . . . . . . . . . 108
3.7.5.
Угловое ускорение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.7.6.
Момент вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.7.7.
Работа момента вращения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.7.8.
Центростремительное ускорение и центростремительная сила. . . . . 110
3.7.9.
Центробежная сила. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.8.
Уравновешивание вращающихся масс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.8.1.
Уравновешивание компланарных масс (статическое равновесие) . . . 112
3.8.2.
Уравновешивание компланарных масс (динамическое равновесие) 114
3.9.
Относительные скорости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.9.1.
Относительные скорости (несоединенные тела). . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.9.2.
Относительные скорости (соединенные тела) . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.10.
Кинематика. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.10.1.
Баллистика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.11.
Кинетика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.11.1.
Всемирное тяготение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Содержание 53.11.2. Линейное перемещение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.11.3.
Перемещение по криволинейной траектории. . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.11.4.
Конический маятник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.11.5.
Вращение тела вокруг неподвижной оси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.11.6.
Радиус кривизны. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.11.7.
Центр столкновения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.11.8.
Момент импульса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.12.
Простое гармоническое движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.12.1.
Математический маятник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.12.2.
Собственные колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.13.
Гидродинамика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.13.1.
Скорость течения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.13.2.
Непрерывность течения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.13.3.
Энергия движущейся текучей среды (уравнение Бернулли) . . . . . . 130
3.13.4.
Течение через отверстие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.13.5.
Вязкость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.13.6.
Формула Пуазёйля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.13.7.
Закон Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Глава 4. Крепежные детали . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.1.
Винтовые крепежные изделия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.1.1.
Размеры и соотношения на чертежах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.1.2.
Различные головки винтов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.1.3.
Различные концы винтов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.1.4.
Винты с шестигранным углублением в головке . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.1.5.
Практическое применение винтовых крепежных изделий . . . . . . . . 135
4.1.6.
Трапециидальная резьба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.1.7.
Прямоугольная резьба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.1.8.
Упорная резьба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.1.9.
Остроугольная резьба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.1.10.
Основная дюймовая резьба (55°): цилиндрическая резьба. . . . . . . . 137
4.1.11.
Формы ISO метрической и ISO 60 унифицированной резьбы . . . . 137
4.1.12.
Введение в винтовые крепежные изделия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.1.13.
BS EN ISO 4014: 2001. Болты с шестигранной головкой —
классы изделия А и В . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.1.14.
BS BS EN ISO 4016: 2001. Болты с шестигранной головкой —
класс изделия С . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.1.15.
BS EN ISO 4017: 2001. Винты с шестигранной головкой —
классы изделия А и В . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.1.16.
BS EN ISO 4018: 2001. Винты с шестигранной головкой —
класс изделия С . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.1.17.
BS EN ISO 4032: 2001. Шестигранные гайки исполнения 1 —
классы изделия А и В . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.1.18.
BS. EN ISO 4033: 2001. Шестигранные гайки исполнения 2 —
классы изделия А и В . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.1.19.
BS EN ISO 4034: 2001. Шестигранные гайки исполнения 1 —
класс изделия С . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.1.20.
BS EN ISO 4035: 2001. Шестигранные низкие гайки
(с фланцем) — классы изделия А и В . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.1.21.
BS EN ISO 4036: 2001. Шестигранные низкие гайки
(без фланца) — класс изделия В . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.1.22.
BS EN ISO 8765: 2001. Болты с шестигранной головкой
с метрической мелкой резьбой — классы изделия А и В . . . . . . . . 169
6
Содержание4.1.23. BS EN ISO 8676: 2001. Винты с шестигранной головкой
с метрической мелкой резьбой — классы изделия А и В . . . . . . . . . . . . 123
4.1.24.
BS EN ISO 8673: 2001. Шестигранные гайки исполнения 1
с метрической мелкой резьбой — классы изделия А и В . . . . . . . . . . . . 181
4.1.25.
BS EN ISO 8674: 2001. Шестиугольные гайки исполнения 2
с метрической мелкой резьбой — классы изделия А и В . . . . . . . . . . . . 183
4.1.26.
BS EN ISO 8675: 2001. Шестигранные низкие гайки
с метрической мелкой резьбой — классы изделия А и В . . . . . . . . . . . . 184
4.1.27.
BS 7764: 1994. Шестигранные прорезные и корончатые гайки . . . . . . . . 186
4.1.28.
BS EN ISO 898-1: 1999. Прочностные свойства крепежных изделий:
болты, винты и шпильки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
4.1.29.
BS EN ISO 898-1: 1999. Маркировка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
4.1.30.
BS EN 20898-2: 1994. Механические свойства крепежных изделий:
гайки с установленными значениями пробной нагрузки —
крупная резьба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
4.1.31.
BS EN ISO 898-6: 1996. Механические свойства крепежных изделий:
гайки с установленными значениями пробной нагрузки —
мелкая резьба. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
4.1.32.
BS EN 20898-7: 1995. Механические свойства крепежных изделий:
испытание на крутящий момент и минимальные крутящие моменты
для болтов и винтов с номинальными диаметрами 1–10 мм . . . . . . . . . 208
4.1.33.
BS EN ISO 4762: 2004. Метрический винт с цилиндрической головкой
и шестиграным углублением под ключ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
4.1.34.
BS EN ISO 10642: 2004. Винты с потайной головкой и шестиграным
углублением под ключ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
4.1.35.
BS4827 ISO метрические винтовые резьбы, миниатюрная серия . . . . . . 217
4.1.36.
BS3643-1/2 ISO метрические винтовые резьбы: серия с постоянным
шагом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
4.1.37.
BS EN ISO 228-1: 2003. Трубные резьбы не обеспечивающие
герметичность соединения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
4.1.38.
ISO. Трубная коническая резьба: основные размеры . . . . . . . . . . . . . . . 226
4.1.39.
Британская дюймовая резьба (BSW), болты и гайки . . . . . . . . . . . . . . . 228
4.1.40.
Британская мелкая дюймовая резьба (BSF), болты и гайки . . . . . . . . . . 229
4.1.41.
ISO унифицированная точность внутренней резьбы: ряд с крупной
резьбой (UNC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
4.1.42.
ISO унифицированная точность наружной резьбы: ряд с крупной
резьбой (UNC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
4.1.43.
ISO унифицированная точность внутренней резьбы: ряд с мелкой
резьбой (UNF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
4.1.44.
ISO унифицированная точность наружной резьбы: ряд с мелкой
резьбой (UNF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
4.1.45.
BA: профиль британской стандартной резьбы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
4.1.46.
BA: британские стандартные внутренние и наружные винтовые резьбы 234
4.1.47.
Размеры сверл для отверстий под BA резьбу и для сквозных отверстий
с зазором . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
4.1.48.
Размеры сверл для отверстий под ISO метрическую резьбу и
для сквозных отверстий с зазором: резьба с крупным шагом. . . . . . . . . 235
4.1.49.
Размеры сверл для отверстий под ISO метрическую резьбу и
для сквозных отверстий с зазором: ряд с крупной резьбой . . . . . . . . . . 236
4.1.50.
Размеры сверл для отверстий под ISO унифицированную резьбу и
для сквозных отверстий с зазором: резьба с мелким шагом. . . . . . . . . . 236
4.1.51.
Размеры сверл для отверстий под ISO унифицированную резьбу и
для сквозных отверстий с зазором: резьба с мелким шагом. . . . . . . . . . 237
Содержание 74.1.52. Размеры сверл для отверстий под ISO метрическую резьбу и для
сквозных отверстий с зазором: миниатюрная серия . . . . . . . . . . . . 238
4.1.53.
Размеры сверл для отверстий под BSW резьбу и для сквозных
отверстий с зазором резьбы, нарезные и прочищающие метчики . . 238
4.1.54.
Размеры сверл для отверстий под BSF резьбу и для сквозных
отверстий с зазором резьбы, нарезные и прочищающие метчики . . 238
4.1.55.
Плоские шайбы, чистые: метрический ряд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
4.1.56.
Плоские шайбы, черные: метрический ряд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
4.1.57.
Устройства для стопорения, основанные на трении . . . . . . . . . . . . 241
4.1.58.
Устройства для стопорения, основанные на механической
фиксации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
4.1.59.
Пружинная шайба с квадратным поперечным сечением:
метрический ряд, тип A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
4.1.60.
Пружинная шайба с прямоугольными концами: метрическая
серия, типы B и BP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
4.1.61.
Пружинная двухвитковая пшайба с прямоугольным поперечным
сечением: метрический ряд, исполнение D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
4.1.62.
Пружинные шайбы с зубьями, метрические . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
4.1.63.
Стопорная шайбы с зубьями, метрические . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
4.1.64.
ISO метрическая пружинная волнистая шайба: общее
машиностроение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
4.1.65.
Профиль пазов под Т-образную головку болта . . . . . . . . . . . . . . . . 251
4.1.66.
Размеры болтов и гаек к Т-образным пазам . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
4.1.67.
Размеры шпонок для Т-образных пазов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
4.2.
Заклепочные соединения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
4.2.1.
Типичные головки и стержни заклепок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
4.2.2.
Типичные заклепочные соединения внахлестку . . . . . . . . . . . . . . . . 256
4.2.3.
Типичные стыковые заклепочные соединения . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
4.2.4.
Соотношения между диаметром отверстия и длиной заклепки . . . . . 258
4.2.5.
Заклепки с полукруглой закладной головкой, изготовленные
холодной штамповкой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
4.2.6.
Заклепки с полукруглой закладной головкой, изготовленные
горячей штамповкой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
4.2.7.
Предполагаемый диапазон номинальных длин, связанных
с диаметром стержней . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
4.2.8.
POP® заклепки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
4.2.9.
Обзор видов POP® заклепок. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
4.2.10.
Практические рекомендации по использованию креплений . . . . . . 263
4.2.11.
Выбор POP® (или вытяжных) заклепок. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
4.2.12.
Рекомендации по проектированию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
4.2.13.
POP® «F» серия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
4.2.14.
Стандартные заклепки (с открытым торцом) из сплава алюминий-
магний 3,5%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
4.2.15.
Стандартные заклепки (с открытым торцом) из углеродистой стали 274
4.2.16.
Закрытые заклепки из сплава алюминий-магний 5%. . . . . . . . . . . . 276
4.2.17.
Заклепочные гайки («гаечные заклепки») . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
4.2.18.
POP® резьбовые заклепки: применение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
4.2.19.
POP® резьбовые заклепки: установка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
4.2.20.
POP® Гайка: Сталь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
4.3.
Фальцевые соединения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
4.3.1.
Фальцевые соединения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
4.3.2.
Припуски на фальцевые соединения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
4.4.
Различные крепежные изделия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
4.4.1.
Конические штифты, незакаленные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
8
Содержание4.4.2. Пружинные наружные кольца: метрическая серия . . . . . . . . . . . . . 285
4.4.3.
Стопорные кольца, внутренние: метрическая серия . . . . . . . . . . . . 288
4.5.
Склеивание металлов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
4.5.1.
Анаэробные клеи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
4.5.2.
Клеи УФ-отверждения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
4.5.3.
Цианоакрилатные клеи — анионная полимеризация . . . . . . . . . . . . 293
4.5.4.
Модифицированные акриловые клеи — отверждение
с использованием активаторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
4.5.5.
Клеи, отверждение которых происходит под воздействием
влажности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
4.5.6.
Эпоксидные клеи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
4.5.7.
Восстановительный процесс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
4.5.8.
Клеевое соединение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
Глава 5. Механические передачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
5.1.
Механические передачи: зубчатые передачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
5.1.1.
Некоторые типичные зубчатые передачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
5.1.2.
Простые прямозубые цилиндрические передачи . . . . . . . . . . . . . . . 301
5.1.3.
Ступенчатая прямозубая зубчатая передача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
5.1.4.
Эвольвента кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
5.1.5.
Основы геометрии зубчатого колеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
5.1.6.
Шаг зацепления зубьев. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
5.1.7.
Высота зубьев колеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
5.1.8.
Элементы стандартного зубчатого колеса (дюймы) . . . . . . . . . . . . . 309
5.1.9.
Элементы мелкомодульного зубчатого колеса (дюймы) . . . . . . . . . . 309
5.1.10.
Элементы стандартного зубчатого колеса с укороченными зубьями
(дюймы) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
5.1.11.
Элементы стандартного зубчатого колеса (метрическая система) . . . 311
5.1.12.
Буквенные обозначения для размерностей зубчатого колеса и
вычисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
5.1.13.
Основные формулы для прямозубого цилиндрического зубчатого
колеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
5.1.14.
Основные уравнения косозубого цилиндрического зубчатого колеса 314
5.1.15.
Вспомогательные уравнения для зубчатого колеса. . . . . . . . . . . . . . 315
5.1.16.
Терминология прямозубой конической зубчатой передачи . . . . . . . 316
5.1.17.
Терминология червячного зацепления (червяк и червячное колесо) 316
5.2.
Механические передачи: ременные передачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
5.2.1.
Простые плоскоременные передачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
5.2.2.
Ступенчатые плоскоременные передачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
5.2.3.
Типичные натяжные устройства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
5.2.4.
Типичные применения клиновых и синхронных ременных передач 320
5.2.5.
ULTRAFLEX® клиновые ремни с оберткой боковых граней и
узким сечением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
5.2.6.
FO®-Z мощные зубчатые клиновые ремни без обертки боковых
граней . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
5.2.7.
MULTIFLEX® клиновые ремни с оберткой боковых граней
и классическим сечением. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
5.2.8.
MULTIBELT многоручьевые клиновые ремни . . . . . . . . . . . . . . . . 326
5.2.9.
Шкивы клиновых ремней, соответствующие стандартам BS 3790
и DIN 2211 для ремней FO®-Z и ULTRAFLEX®. Rz xx
обозначает шероховатость поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
5.2.10.
Шкивы клиновых ремней, соответствующие стандарту DIN 2217
Часть 1 для ремней FO®-Z и MULTIFLEX® . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
5.2.11.
Шкивы с глубокими канавками . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
Содержание 95.2.12. Синхронные ременные передачи: введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
5.2.13.
Синхронные ременные передачи: типы и размеры ремней . . . . . . . 334
5.2.14.
Синхронные ременные передачи: шкивы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
5.2.15.
SYNCHROBELT® HTD Конструкция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
5.2.16.
SYNCHROBELT® HTD синхронные (зубчатые) ремни: профили
распределения зубьев . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
5.2.17.
Синхронные (зубчатые) ремни: измерение длины . . . . . . . . . . . . . . 346
5.2.18.
SYNCHROBELT® HTD зубчатые шкивы: предпочтительные
размеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
5.3.
Механические передачи: цепные передачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
5.3.1.
Рабочие характеристики цепей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
5.3.2.
Коэффициент износа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
5.3.3.
Типы цепей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
5.3.4.
Международные стандарты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
5.3.5.
Нормативные ссылки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
5.3.6.
Преимущества цепных передач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
5.3.7.
Преимущества цепных приводов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
5.3.8.
Совместимость звездочки и цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
5.3.9.
Расположение привода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
5.3.10.
Метод выбора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
5.3.11.
Оценка характеристик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
5.3.12.
Оценка характеристик цепей, изготовленных по
Европейскому стандарту. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
5.3.13.
Оценка характеристик цепей, изготовленных по стандарту ANSI . . 373
5.3.14.
Провисание цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
5.3.15.
Смазывание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
5.3.16.
Методы смазывания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
5.3.17.
Подъемные устройства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
5.3.18.
ANSI X-диапазон . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
5.3.19.
Факторы, влияющие на срок службы цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
5.3.20.
Удлинение цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
5.3.21.
Согласование (выравнивание) цепей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
5.3.22.
Измерение износа цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
5.3.23.
Ремонт и замена. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
5.3.24.
Регулировка цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
5.3.25.
Конструкторские идеи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
5.3.26.
Таблица коэффициентов диаметра начальной окружности . . . . . . . 388
5.3.27.
Приводы шаг за шагом: пример первый . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
5.3.28.
Приводы шаг за шагом: пример второй . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
5.3.29.
Приводы шаг за шагом: пример третий. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
5.3.30.
Предостережения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
5.4.
Механическая передача: валы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
5.4.1.
Квадратные и прямоугольные призматические шпонки,
метрическая серия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
5.4.2.
Размеры и допуски для квадратных и прямоугольных
призматических шпонок. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
5.4.3.
Квадратные и прямоугольные клиновые шпонки, метрическая
серия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
5.4.4.
Размеры и допуски для квадратных и прямоугольных клиновых
шпонок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
5.4.5.
Сегментные шпонки и пазы для шпонок, метрическая серия . . . . . 406
5.4.6.
Размеры и допуски для сегментных шпонок . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
5.4.7.
Типы концов валов: основные соотношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
10
Содержание5.4.8. Размеры и допуски цилиндрических концов валов, длинное
и короткое исполнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
5.4.9.
Размеры конических концов валов с призматическими шпонками,
длинное исполнение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
5.4.10.
Размеры конических концов валов с диаметрами свыше 220 мм
с пазами для шпонок, параллельными поверхности вала, длинное
исполнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
5.4.11.
Размеры конических концов валов с призматическими шпонками,
короткое исполнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
5.4.12.
Допускаемые вращающие моменты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
5.4.13.
Прямобочные шлицы для цилиндрических валов, метрические . . . . 418
5.5.
Конусы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
5.5.1.
Самозажимные Морзе и метрические 5% конусы . . . . . . . . . . . . . . 421
5.5.2.
Конусные концы шпинделей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
5.5.3.
Конусы для хвостовиков инструментов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
5.5.4.
Фланцы инструментальной оправки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
5.5.5.
Конус Бриджпорт R8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
5.6.
Системы объемной передачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
5.6.1.
Типичная пневматическая система . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
5.6.2.
Типичная гидравлическая система . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
5.6.3.
Виды воздушных компрессоров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
5.6.4.
Гидравлические насосы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
5.6.5.
Исполнительные механизмы (линейные) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
5.6.6.
Исполнительные механизмы (вращательные) . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
5.6.7.
Исполнительные механизмы смешанного типа . . . . . . . . . . . . . . . . 454
5.6.8.
Обозначения для гидравлических систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
5.6.9.
Данные для расчетов объемной гидропередачи (основные
формулы) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
5.6.10.
Проектные данные объемной гидропередачи (гидравлические
цилиндры) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
5.6.11.
Данные для расчетов объемной гидропередачи (гидравлические
трубы и шланги) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
5.6.12.
Данные для расчетов объемной гидропередачи (рабочие жидкости,
герметики и контроль загрязненности) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
5.6.13.
Данные для расчетов объемной гидропередачи (гидравлические
аккумуляторы) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
5.6.14.
Данные для расчетов объемной гидропередачи (гидравлическое
охлаждение и нагрев) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
5.6.15.
Данные для расчетов объемной гидропередачи (клапаны) . . . . . . . . 465
5.6.16.
Данные для расчетов объемной гидропередачи (пневматические
цилиндры) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
5.6.17.
Проектные данные объемной гидропередачи (уплотнение,
фильтрация и смазка). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
5.6.18.
Данные для расчетов объемной гидропередачи (воздушные
компрессоры) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
5.6.19.
Данные для расчетов объемной гидропередачи (таблицы
и коэффициенты пересчета в пневматике) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
5.6.20.
Нормативные ссылки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
Глава 6. Машиностроительные материалы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
6.1.
Механические свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
6.1.1.
Прочность на растяжение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
6.1.2.
Прочность на сжатие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
6.1.3.
Прочность на сдвиг . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
Содержание 116.1.4. Прочность при ударе: ударная вязкость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
6.1.5.
Упругость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
6.1.6.
Пластичность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
6.1.7.
Вязкость. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
6.1.8.
Ковкость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
6.1.9.
Твердость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
6.1.10.
Испытание на растяжение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
6.1.11.
Интерпретация испытания на растяжение: материала
с выраженным пределом текучести . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
6.1.12.
Интерпретация испытания на растяжение: условный предел
текучести . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
6.1.13.
Интерпретация испытания на растяжение: секущий модуль . . . . . . 483
6.1.14.
Испытание на ударную вязкость: по Изоду . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
6.1.15.
Испытание на ударную вязкость: по Шарпи . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
6.1.16.
Интерпретация результатов испытания на ударную вязкость . . . . . . 485
6.1.17.
Определение твердости по Бринелю . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
6.1.18.
Определение твердости по Виккерсу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
6.1.19.
Определение твердости по Роквеллу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
6.1.20.
Определение твердости по Роквеллу (при уменьшенных
по сравнению с обычными нагрузками) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
6.1.21.
Сравнительная шкала твердости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
6.2.
Черные металлы и сплавы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
6.2.1.
Черные металлы: нелегированная углеродистая сталь . . . . . . . . . . . 489
6.2.2.
Влияние содержания углерода на структуру, свойства
и применение нелегированных углеродистых сталей . . . . . . . . . . . . 490
6.2.3.
Черные металлы: легирующие элементы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
6.2.4.
Британские стандарты, относящиеся к черным металлам . . . . . . . . 492
6.2.5.
Некоторые типичные стали и их применение . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
6.2.6.
Некоторые типичные инструментальные стали . . . . . . . . . . . . . . . . 502
6.2.7.
Чугун (серый) с пластинчатым графитом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504
6.2.8.
BS EN 1561: 1997 Серые чугуны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
6.2.9.
Ковкие чугуны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508
6.2.10.
Чугун с шаровидным графитом. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
6.2.11.
Легированные чугуны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
6.2.12.
Состав, свойства и применение некоторых типичных чугунов. . . . . 514
6.3.
Цветные металлы и сплавы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
6.3.1.
Цветные металлы и сплавы. Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
6.3.2.
Сплавы с высоким содержанием меди . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
6.3.3.
Кованая медь и медные сплавы: код состояния. . . . . . . . . . . . . . . . 516
6.3.4.
Британские стандарты, относящиеся к меди и медным сплавам . . . 517
6.3.5.
Прутки и профили из меди и медных сплавов . . . . . . . . . . . . . . . . 518
6.3.6.
Деформируемая медь и медные сплавы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
6.3.7.
Деформируемая медь и медные сплавы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
6.3.8.
Листовая, полосовая медь и медная фольга. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
6.3.9.
Латунные листы, полосы и фольга: двухкомпонентные (бинарные)
сплавы меди и цинка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
6.3.10.
Латунные листы, полосы и фольга: специальные сплавы
и легированная латунь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
6.3.11.
Листы, полосы и фольга из фосфористой бронзы . . . . . . . . . . . . . . 532
6.3.12.
Сплавы алюминиевой бронзы. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534
6.3.13.
Листы, полосы и фольга из алюминиевой бронзы. . . . . . . . . . . . . . 534
6.3.14.
Медно-никелевые (купро-никелевые) листы, полосы и фольга . . . . 535
6.3.15.
Никель-серебряные листы, полосы и фольга. . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
6.3.16.
Смешанные деформируемые медные сплавы. . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
12
Содержание6.3.17. Медные сплавы для литья: группа A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540
6.3.18.
Медные сплавы для литья: группа B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542
6.3.19.
Медные сплавы для литья: группа C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544
6.3.20.
Медные сплавы для литья: типичные свойства и значения
жесткости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
6.3.21.
Алюминий и алюминиевые сплавы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548
6.3.22.
Британские стандарты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
6.3.23.
Плиты, листы и полосы из чистого алюминия . . . . . . . . . . . . . . . . 549
6.3.24.
Плиты, листы и полосы из алюминиевого сплава:
без термической обработки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550
6.3.25.
Плиты, листы и полосы из алюминиевого сплава:
термическая обработка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552
6.3.26.
Прутки, штампованные трубы и профили из алюминия
и алюминиевого сплава для общего машиностроения:
без термической обработки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554
6.3.27.
Прутки, штампованные трубы и профили из алюминиевого
сплава для общего машиностроения: термическая обработка . . . . . 555
6.3.28.
Литые алюминиевые сплавы, группа A: общее назначение . . . . . . . 557
6.3.29.
Литые алюминиевые сплавы, группа B: специальное назначение . . 558
6.3.30.
Литые алюминиевые сплавы, группа C: специальное назначение
и ограниченная применимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559
6.3.31.
Литые алюминиевые сплавы: механические свойства . . . . . . . . . . . 560
6.3.32.
BS EN 29453: 1993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561
6.3.33.
Типичные применения мягкого припоя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
6.3.34.
Пайка серебряным припоем (пайка твердым припоем) . . . . . . . . . . 563
6.3.35.
Группа AG: пайка серебряным твердым припоем . . . . . . . . . . . . . . 564
6.4.
Размеры металлических изделий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565
6.4.1.
Размеры металлических изделий: введение в BS 6722:1986 . . . . . . . 565
6.4.2.
Рекомендуемые диаметры проволоки, метрические . . . . . . . . . . . . . 566
6.4.3.
Рекомендуемые размеры прутков и плоских изделий . . . . . . . . . . . 567
6.4.4.
Рекомендуемые ширина и длина плоских изделий . . . . . . . . . . . . . 567
6.4.5.
Масса метрических прутков круглого и квадратного сечения . . . . . 568
6.4.6.
Размеры прутков шестиугольного сечения для винтовых крепежей,
метрические . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569
6.4.7.
Размеры калибров и их эквиваленты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570
6.5.
Полимерные материалы (пластмассы) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571
6.5.1.
Полимерные материалы (пластмассы). Введение . . . . . . . . . . . . . . . 571
6.5.2.
Некоторые важные термореактивные полимеры . . . . . . . . . . . . . . . 573
6.5.3.
Некоторые важные термопластичные полимеры . . . . . . . . . . . . . . . 574
Глава 7. Назначение линейных и геометрических допусков . . . . . . . . . . . . . . . . . 575
7.1.
Назначение линейных допусков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575
7.1.1.
Допуски и посадки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575
7.1.2.
Типы посадок. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577
7.1.3.
Точность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577
7.2.
Стандартная система допусков и посадок. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . 578
7.2.1.
Применение таблиц допусков и посадок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579
7.2.2.
Выбор точности допуска. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580
7.3.
Назначение допусков формы и расположения поверхностей . . . . . . . . . . . 583
7.3.1.
Назначение допусков формы (основные понятия). . . . . . . . . . . . . . 584
7.3.2.
Рамка допуска . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586
7.3.3.
Допуск формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586
7.3.4.
Поле допуска . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586
7.3.5.
Зависимый допуск . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587
Содержание 137.3.6. Области применения допусков формы и расположения
поверхностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588
7.4.
Действительный размер. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590
7.5.
Экономический эффект допуска формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591
Глава 8. Автоматизированное конструирование. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593
8.1.
ЧПУ типа CNC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593
8.1.1.
Типичные области применения числового программного
управления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593
8.1.2.
Преимущества и ограничения ЧПУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593
8.1.3.
Управляемые координаты станков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595
8.1.4.
Системы управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596
8.1.5.
Формат и терминология программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597
8.1.6.
Формат с адресом в каждом слове . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598
8.1.7.
Кодированная информация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598
8.1.8.
Входные данные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602
8.1.9.
Коррекция на длину инструмента: фрезерование . . . . . . . . . . . . . . 602
8.1.10.
Компенсация на диаметр фрезы: фрезерование. . . . . . . . . . . . . . . . 603
8.1.11.
Методы программирования: фрезерование и сверление. . . . . . . . . . 605
8.1.12.
Пример программы: фрезерование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606
8.1.13.
Коррекция на инструмент: обработка на токарном станке. . . . . . . . 608
8.1.14.
Коррекция на радиус вершины резца: токарный станок . . . . . . . . . 609
8.1.15.
Методы программирования: обработка на токарном станке. . . . . . . 610
8.1.16.
Пример программы: обработка на токарном станке . . . . . . . . . . . . 612
8.1.17.
Словарь терминов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614
8.2.
Автоматизированное проектирование (CAD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617
8.2.1.
Введение в автоматизированное проектирование . . . . . . . . . . . . . . . 617
8.2.2.
Аппаратное обеспечение системы CAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619
8.2.3.
Программное обеспечение системы CAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622
8.2.4.
Автоматизированное проектирование и производство. . . . . . . . . . . . 623
8.2.5.
Преимущества и ограничения CAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624
8.3.
Промышленные роботы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624
8.3.1.
Введение в робототехнику . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624
8.3.2.
Управление роботом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625
8.3.3.
Геометрия руки робота. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626
Алфавитный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Содержание
ВВЕДЕНИЕ
Прошло уже 14 лет с тех пор, как первое издание Справочника инженера-ме-
ханика было выпущено в его существующем формате. Хотя в текст второго из-
дания, опубликованного приблизительно 7 лет назад, было включено множе-
ство обновлений британских стандартов, структура книги не изменилась.
В течение 14 лет, с момента выхода первого издания Справочника инжене-
ра-механика, британское машиностроение претерпело ряд существенных из-
менений с перемещением акцента с производства на проектирование и разви-
тие. В то же самое время производство в значительной степени переместилось
в Восточную Европу, Азию и на Дальний Восток с целью уменьшения эксплу-
атационных расходов в условиях все большей конкуренции на глобальном
рынке.
Поэтому перед выпуском этого третьего издания справочника издатели и
автор предприняли широкое изучение рынка. Главные результаты этого иссле-
дования показали, что:
• потребность в справочнике по технологии производства сменилась по-
требностью в справочнике по инженерному проектированию;
• больше информации требуется по таким областям, как роликовые цеп-
ные приводы, пневматические и гидравлические системы в разделе, по-
священном механическим передачам;
• больше информации требуется по вопросам инженерной статики, дина-
мики и математики;
• разделы, интерес к которым снизился, касаются режущих инструментов.
В настоящее время данные о режущих инструментах представляются ме-
нее важными, поскольку акцент сместился от производства к проектиро-
ванию. Кроме того, данные о режущих инструментах теперь широко
представлены на интернет-страницах производителей режущих инстру-
ментов. Перечень полезных веб-сайтов включен в Приложение 4.
Роджер Л. Тимингс (2005
B
22 Глава 1. Инженерная математика
1.3. Единицы измерения: СИ
1.3.1. Основные и дополнительные единицы
В основе Международной системы единиц измерения (СИ) лежат девять фи-
зических величин.
Физическая величина
Единица измерения
название обозначение
Длина метр м
Масса килограмм кг
Время секунда с
Плоский угол радиан рад
Количество вещества моль моль
Электрический ток ампер А
Сила света кандела кд
Телесный угол стерадиан ср
Термодинамическая температура кельвин К
1.3.2. Производные единицы
Производные единицы получены путем соответствующего умножения и/или
деления единиц, приведенных выше. Некоторым из них присвоены специаль-
ные названия.
Физическая величина
Единица измерения
Вывод формулы
название обозначение
Электрическая емкость Фарад(а) Ф (А2·с4)/(кг·м2)
Электрический заряд Кулон Кл А·с
Электрическая проводимость Сименс См (А2·с3)/(кг·м2)
Электрическая разность потенциалов Вольт В (кг·м2)/(А2·с3)
Электрическое сопротивление Ом Ом (кг·м2)/(А·с3)
Энергия Джоуль Дж (кг·м2)/с2
Сила Ньютон Н (кг·м)/с2
Частота Герц Гц 1/с
Освещённость Люкс лк (кд·срад)/м2
Индуктивность Генри Гн (кг·м2)/(А2 с2)
Световой поток Люмен лм кд·ср
Магнитный поток Вебер Вб (кг·м2)/(А·с2)
Плотность магнитного потока Тесла Тл кг/(А·с2)
Мощность Ватт Вт (кг·м2)/с3
Давление Паскаль Па кг/(м·с2)
1.3. Единицы измерения: СИ 23
Некоторые другие производные единицы, не имеющие специальных на-
званий.
Физическая величина Название единицы измерения
Обозначение
единицы
измерения
Ускорение Метр на секунду в квадрате м/с2
Угловая скорость Радиан в секунду рад/с
Площадь Метр в квадрате м2
Плотность тока Ампер на метр в квадрате А/м2
Плотность Килограмм на метр в кубе кг/м3
Динамическая вязкость Паскаль секунда Па·с
Плотность электрического заряда Кулон на метр в кубе Кл/м3
Напряжённость электрического поля Вольт на метр В/м
Плотность энергии Джоуль на метр в кубе Дж/м3
Теплоёмкость Джоуль на кельвин Дж/К
Плотность теплового потока Ватт на метр в квадрате Вт/м2
Кинематическая вязкость Метр в квадрате на секунду м2/с
Яркость Кандела на метр в квадрате кд/м2
Напряжённость магнитного поля Ампер на метр А/м
Момент силы Ньютон метр Н·м
Магнитная постоянная Генри на метр Гн/м
Ээлектрическая постоянная Фарад на метр Ф/м
Удельный объем Метр в кубе на килограмм м3/кг
Поверхностное натяжение Ньютон на метр Н/м
Теплопроводность Ватт на метр кельвин Вт/(м·К)
Скорость Метр в секунду м/с
Объем Метр в кубе м3
1.3.3. Единицы измерения, не входящие в систему СИ
Представлены некоторые единицы, не входящие в систему СИ, но используе-
мые наряду с системой СИ.
Физическая величина Название единицы
измерения
Обозначение
единицы
измерения
Вывод формулы
Угол Градус ° ( /180) рад
Угол Минута ( /10800) рад
Угол Секунда ( /648000) рад
Температура по Цельсию Градус Цельсия °C K-273,2 (для K см.1.3.1)
Динамическая вязкость Пуаз П 10-1 Па·с
Энергия Калория кал Ј4,18 Дж
Температура по
Фаренгейту
Градус Фаренгейта °F 9
5
°C + 32
Сила Килограмм сила кгс Ј9,807 Н
Кинематическая вязкость Стокс Ст 10-4 м2/с
Длина Дюйм дюйм 2,54 Ї 10-2 м
Длина Микрон м 106
м
Масса Фунт фунт Ј0,454 кг
24 Глава 1. Инженерная математика
Физическая величина Название единицы
измерения
Обозначение
единицы
измерения
Вывод формулы
Масса Тонна т 103 кг
Давление Атмосфера атм 101325 Па
Давление Бар бар 105 Па
Давление Миллиметры ртут-
ного столба
мм рт. ст. Ј133,322 Па
Давление Торр Торр Ј133,322 Па
Термодинамическая
температура
Градус Ранкина °Ra °F + 459,7
Время Минута мин 60 с
Время Час час 3600 с
Время День день 86400 с
1.3.4. Примечания относительно записи размерностей
Размерности физических величин следует писать прямым шрифтом: см, а не см.
В единственном и множественном числе размерности записываются одинако-
во: см. Следует ставить пробел при обозначении произведения двух размерно-
стей: Н м, а не Нм. При записи обозначений можно использовать показатели
степени: м/с можно записать как м с1,
а Вт/(м К) — как Вт м1
К1.
1.3.5. Дольные и кратные единицы
Для величин, которые намного больше или намного меньше приведенных
единиц измерения, используются дольные и кратные единицы.
На международном уровне приняты следующие приставки для образова-
ния дольных и кратных единиц.
Доля малых величин Для больших величин
дольность приставка обозначение дольность приставка обозначение
10-1 деци д 10 дека да
10-2 санти с 102 хекто х
10-3 мили м 103 кило к
10-6 микро мк 106 мега М
10-9 нано н 109 гига Г
10-12 пико п 1012 тера Т
10-15 фемто ф 1015 пета П
10-18 атто а 1018 экса Е
Примечание.
Приставка используется с граммом, а не с килограммом: Мг, а не ккг.
Приставку можно использовать для одного или более обозначений единиц измерения. Таким
образом, допустимо использование всех следующих обозначений: кН м, Н мм и кН мм.
Составные приставки не используются: нс, а не ммс.
1.3. Единицы измерения: СИ 25
Окончание
1.4. Коэффициенты преобразования
для единиц измерения ФФС и СИ
Коэффициенты преобразования, представленные ниже, приведены с точно-
стью до пятой значащей цифры. Здесь ФФС (фут—фунт—секунда) — Британ-
ская система единиц измерения.
Единицы измерения ФФС в единицы СИ Единицы измерения СИ в единицы ФФС
Ускорение
1 фут/с2 =0,30480 м/с2 1 м/с2 =3,2808 фут/с2
Угловая скорость
1 оборот/мин =0,10472 рад/с 1 рад/с =9,5493 оборот/мин.
Площадь
1 дюйм2 =6,4516 см2 1 см2 =0,15500 дюйм2
1 фут2 =0,092903 м2 1 м2 =10,764 фут2
1 ярд2 =0,83613м2 1м2 =1,1960 ярд2
1 акр =0,40469 га 1 га =2,4711 акр
Плотность
1 фунт/фут3 =16,018 кг/м3 1 кг/м3 =0,062428 фунт/фут3
Энергия
1 фут паундаль =0,042140 Дж 1 Дж =23,730 фут паундаль
1 фут фунт-сила =1,355 82 Дж 1 Дж =0,73756 фут фунт-сила
1 кВт час =3,6000 МДж 1 МДж =0,27778 кВт час
1 терм =0,10551 ГДж 1 ГДж =9,4781 терм
Сила
1 паундаль =0,13826 Н 1 Н =7,2330 паундаль
1 фунт-сила =4,4482 Н 1 Н =0,22481 фунт-сила
Длина
1 дюйм =2,5400 см 1 см =0,39370 дюйм
1 фут = 0,30480 м 1 м =3,2808 фут
1 ярд = 0,91440 м 1 м =1,0936 ярд
1 миля = 1,6093 км 1 км =0,62137 миля
Масса
1 унция =28,350 г 1 г =0,035274 унция
1 фунт =0,453 59 кг 1 кг =2,2046 фунт
1 англ. центнер =50,802 кг 1 кг =0,019684 англ. центнер
1 англ. тонна =1,0161 тонна 1 тонна =0,98421 англ. тонна
Момент силы
1 фунт-сила фут = 1,3558 Н м 1 Н м =0,73756 фунт-сила фут
Плоский угол
1° =0,01745 рад 1 рад =57,296°
Мощность
1 фут фунт-сила/с =1,3558 Вт 1 Вт =0,73756 фут фунт-сила/с
1 л.с. =0,745 70 кВт 1 кВт =1,3410 л.с.
Давление и напряжение
1 дюйм рт.ст. =33,864 мбар 1 мбар =0,02953 дюйм рт.ст.
1 фунт-сила/дюйм2 =6,8948 кПа 1 кПа =0,14504 фунт-сила/дюйм2
1 англ. тонна-сила/дюйм2 =15,444 Н/мм2 1 Н/мм2 =0,064749 англ. тонна-си-
ла/дюйм2
26 Глава 1. Инженерная математика
Единицы измерения ФФС в единицы СИ Единицы измерения СИ в единицы ФФС
Удельная теплоемкость
1 Британская тепловая
единица/(фунт °F)
=4,1868 кДж/(кг °C) 1 кДж/(кг °C) =0,23885 Британская теп-
ловая единица/(фунт °F)
Скорость
1 фут/с =0,30480 м/с 1 м/с =3,2808 фут/с
1 миля/ч =1,6093 км/ч 1 км/ч =0,62137 миль/ч
Объем
1 дюйм3 =16,387 см3 1см3 =0,061024 дюйм3
1фут3 =0,028317 м3 1м3 =35,315 фут3
1ярд3 =0,76456 м3 1м3 =1,3080 ярд3
1 пинта =0,56826 л 1 л =1,7598 пинта
1 галлон =4,5461 л 1 л =0,21997 галлон
1.5. Предпочтительные числа
Когда человек покупает, например, электрическую лампу для использования в
быту, обычно в наличии имеются лампы мощностью 15, 25, 40, 60, 100 Вт и
т.д. Эти значения мощности следуют одно за другим примерно в геометриче-
ской прогрессии, причем относительные изменения светового излучения меж-
ду соседними значениями мощностей в этой последовательности остаются
приблизительно постоянными. Как правило, соотношения между параметрами
изделий не случайны, а основаны на системе предпочтительных чисел. (Пара-
метр продукции — это количественная характеристика ее свойств. Наиболее
важными параметрами являются размерные, весовые, энергетические характе-
ристики продукции. — Примеч. пер.)
Предпочтительные числа базируются на R-числах, изобретенных полков-
ником Шарлем Ренаром. В основном используются ряды — R5, R10, R20, R40
и R80 и подгруппы этих рядов. Значения в каждом ряду представляют собой
приблизительные геометрические прогрессии со знаменателями 5 10, 1010,
2010, 4010 и 8010, при этом значения вутри рядов изменяются на 58 % для ряда
R5, на 26% для ряда R10, на 12% для R20, на 6% для R40 и на 3% для ряда
R80.
Более подробную информацию о значениях и использовании предпочтите-
льных чисел можно найти в BS (British Standards) 2045:1965. (В настоящее вре-
мя действует ГОСТ 8032-84 «Предпочтительные числа и ряды предпочтитель-
ных чисел». Утвержден: Госстандарт СССР, 09.08.1984. В нем предусмотрены
ряды — R5, R10, R20, R40. — Примеч. пер.) Для ряда R5 округленные значения
равны 1,00, 1,60, 2,50, 4,00, 6,30 и 10,00; таким образом, приведенные выше
значения номинальных мощностей электрических ламп базируются на ряде
R5. Большинство используемых стандартов основано на рядах предпочтитель-
ных чисел; в том числе стандарты на толщину листового металла и калибр
проволоки, размеры гаек и болтов, стандарт электрического тока (А) и скоро-
сти вращения инструментальных шпинделей в станках.
1.5. Предпочтительные числа 27
Окончание
1.6. Определение размеров
1.6.1. Плоские фигуры
28 Глава 1. Инженерная математика
Квадрат
Сторона b
Площадь = b2
Длина диагонали = 2
b
Прямоугольник
Сторона b, высота h
Площадь =b h
Длина диагонали = b2 h2
Параллелограмм
Сторона b, высота h
Площадь =b h
Трапеция
Основания a и b, высота h
Площадь =
1
2
(a b)
h
Треугольник
Сторона b, высота h
Площадь =
1
2
b
h
Круг
Радиус r
Площадь =
r 2
Периметр = 2
r
Существует несколько методов определения площади заштрихованной об-
ласти. Для этого используются правило средних прямоугольников, правило
трапеций и правило Симпсона. В качестве примера приведем формулу Симп-
сона. Разделим отрезок x1x2 на четное количество равных отрезков длиной d
каждый. Пусть p, q, r, … — длины вертикальных линий, измеренные относи-
тельно некоторого уровня отсчета и пусть A — приблизительная площадь не-
правильного многоугольника, выделенного штриховкой. В таком случае:
A
d
p t q s r
d
p t u w v
3
4 2
3
[( ) ( ) ] [( ) 4( ) 2].
В общем, правило Симпсона формулируется следующим образом:
приблизительная площадь =
=(d ) [( ) ( ) (
3
первая последняя 4сумма їетных 2сумма неїетных)],
где первая, последняя, четные и нечетные — это длины соответствующих вер-
тикальных линий, а d — длина равных отрезков на уровне линии отсчета.
1.6. Определение размеров 29
Сектор круга
Радиус r, центральный угол , дуга s
Площадь =
1
2
r 2
Длина дуги s = r
( в радианах)
Эллипс
Радиусы a и b
Площадь =
a
b
Периметр =
(a b)
Неправильный многоугольник
Уровень
отсчета
1.6.2. Объемные фигуры
30 Глава 1. Инженерная математика
Прямоугольная призма
Объем = bhl
Площадь поверхности = 2(bh hl lb)
Цилиндр
Объем = r h 2
Площадь поверхности = 2 r(r h)
Конус
Объем =
1
3
r2h
Площадь поверхности = r(l r)
Усеченный конус
Объем =
1
3
h(R2 Rr r2)
Площадь поверхности = l(R r) (R2 r2)
Сфера
Объем =
4
3
r 3
Площадь поверхности = 4 r 2
Пояс сферы
Объем =
h
h R r
6
2 32 3
1
( 2)
Площадь поверхности = 2 2
1
rh (R r 2),
где r — радиус сферы
Для определения объема тела неправильной формы можно использовать
различные методы; один из них основан на применении формулы Симпсона
(смотри ранее в этом разделе). Твердое тело следует разделить на четное коли-
чество секций параллельными плоскостями, расположенными на равных рас-
стояниях d одна от другой и имеющими площади A1, A2, A3, … . Если исполь-
зуется, например, семь таких плоскостей, то:
Приблизительный объем =
d
A A A A A A A
3
[( 1 7) 4( 2 4 6) 2( 3 5)].
1.6. Определение размеров 31
Пирамида
Объем =
1
3
Ah,
где A — площадь основания,
h — высота пирамиды
Твердые тела правильной формы
Объем любого твердого тела правильной
формы можно найти при помощи форму-
лы Симпсона. Учитываются три парал-
лельные плоскости с площадями A1, A3 и
A2, соответственно расположенные на кра-
ях и в центре твердого тела. Тогда:
Объем =
l
A A A
6
(1 4 2 3),
где l — длина твердого тела.
Твердые тела неправильной формы
1.7. Степени, корни и обратные величины
n n2 n 10n n n3 n 1
3 10 1
n 3 100 1
n 3 1
n
1 1 1,000 3,162 1 1,000 2,154 4,642 1,00000
2 4 1,414 4,472 8 1,260 2,714 5,848 0,50000
3 9 1,732 5,477 27 1,442 3,107 6,694 0,33333
4 16 2,000 6,325 64 1,587 3,420 7,368 0,25000
5 25 2,236 7,071 125 1,710 3,684 7,937 0,20000
6 36 2,449 7,746 216 1,817 3,915 8,434 0,16667
7 49 2,646 8,367 343 1,913 4,121 8,879 0,14286
8 64 2,828 8,944 512 2,000 4,309 9,283 0,12500
9 81 3,000 9,487 729 2,080 4,481 9,655 0,11111
10 100 3,162 10,000 1000 2,154 4,642 10,000 0,10000
11 121 3,317 10,488 1331 2,224 4,791 10,323 0,09091
12 144 3,464 10,954 1738 2,289 4,932 10,627 0,08333
13 169 3,606 11,402 2197 2,351 5,066 10,914 0,07692
14 196 3,742 11,832 2,744 2,410 5,192 11,187 0,07143
15 225 3,873 12,247 3375 2,466 5,313 11,447 0,06667
16 256 4,000 12,649 4096 2,520 5,429 11,696 0,06250
17 289 4,123 13,038 4913 2,571 5,540 11,935 0,05882
18 324 4,243 13416 5832 2,621 5,646 12,164 0,05556
19 361 4,359 13784 6859 2,668 5,749 12,386 0,05263
20 400 4,472 14,142 8000 2,714 5,848 12,599 0,05000
21 441 4,583 14,491 9261 2,759 5,944 12,806 0,04762
22 484 4,690 14832 10648 2,802 6,037 13,006 0,04545
23 529 4,796 15,166 12167 2,844 6,127 13,200 0,04348
24 576 4,899 15492 13824 2,884 6,214 13,389 0,04167
25 625 5,000 15,811 15625 2,924 6,300 13,572 0,04000
26 676 5,099 16,125 17576 2,962 6,383 13,751 0,03846
27 729 5,196 16,432 19683 3,000 6,463 13,925 0,03704
28 784 5,292 16,733 21952 3,037 6,542 14,095 0,03571
29 841 5,385 17,029 24389 3,072 6,619 14,260 0,03448
30 900 5,477 17,321 27000 3,107 6,694 14,422 0,03333
31 961 5,568 17,607 29791 3,141 6,768 14,581 0,03226
32 1024 5,657 17,889 32768 3,175 6,840 14,736 0,03125
33 1089 5,745 18,166 35937 3,208 6910 14,888 0,03030
34 1156 5,831 18,439 39304 3,240 6,980 15,037 0,02941
35 1225 5,916 18,708 42875 3,271 7,047 15,183 0,02857
36 1296 6,000 18,974 46656 3,302 7,114 15,326 0,02778
37 1369 6,083 19,235 50653 3,332 7,179 15,467 0,02703
38 1444 6,164 19,494 54872 3,362 7,243 15,605 0,02632
39 1521 6,245 19,748 59319 3,391 7,306 15,741 0,02564
40 1600 6,325 20,000 64000 3,420 7,368 15,874 0,02500
41 1681 6,430 20,248 68921 3,448 7,429 16,005 0,02439
42 1764 6,481 20,494 74088 3,476 7,489 16,134 0,02381
43 1849 6,557 20,736 79,507 3,503 7,548 16,261 0,02326
44 1936 6,633 20,976 85184 3,530 7,606 16,386 0,02273
45 2025 6,708 21,213 91125 3,557 7,663 16,510 0,02222
46 2116 6,782 21,448 97,336 3,583 7,719 16,631 0,02174
47 2209 6,856 21,679 103823 3,609 7,775 16,751 0,02128
48 2304 6,928 21,909 110592 3,634 7,830 16,869 0,02083
49 2401 7,000 22,136 117649 3,659 7,884 16,985 0,02041
32 Глава 1. Инженерная математика
n n2 n 10n n3 n 1
3 10 1
n 3 100 1
n 3 1
n
50 2500 7,071 22,361 125000 3,684 7,937 17,100 0,02000
51 2601 7,141 22,583 132651 3,708 7,990 17,213 0,01961
52 2704 7,211 22,804 140608 3,733 8,041 17,325 0,01923
53 2809 7,280 23,022 148877 3,756 8,093 17,435 0,01887
54 2916 7,348 23,238 157464 3,780 8,143 17,544 0,01852
55 3025 7,416 23,452 166375 3,803 8,193 17,652 0,01818
56 3136 7,483 23,664 175616 3,826 8,243 17,758 0,01786
57 3249 7,550 23,875 185193 3,849 8,291 17,863 0,01754
58 3364 7,616 24,083 195112 3,871 8,340 17,967 0,01724
59 3481 7,681 24,290 205379 3,893 8,387 18,070 0,01695
60 3600 7,746 24,495 216000 3,915 8,434 18,171 0,01667
61 3721 7,810 24,698 226981 3,936 8,481 18,272 0,01639
62 3844 7,874 24,900 238328 3,958 8,527 18,371 0,01613
63 3969 7,937 25,100 250047 3,979 8,573 18,469 0,01587
64 4096 8,000 25,298 262144 4,000 8,618 18,566 0,01562
65 4225 8,062 25,495 274625 4,021 8,662 18,663 0,01538
66 4356 8,124 25,690 287496 4,041 8,707 18,758 0,01515
67 4489 8,185 25,884 300763 4,062 8,750 18,852 0,01493
68 4624 8,246 26,077 314432 4,082 8,794 18,945 0,01471
69 4761 8,307 26,268 328,509 4,102 8,837 19,038 0,01449
70 4900 8367 26,458 343000 4,121 8,879 19,129 0,01429
71 5041 8,426 26,646 357911 4,141 8,921 19,220 0,01408
72 5184 8,485 26,833 373,248 4,160 8,963 19,310 0,01389
73 5329 8,544 27,019 389017 4,179 9,004 19,399 0,01370
74 5476 8,602 27,203 405224 4,198 9,045 19,487 0,01351
75 5625 8,660 27,386 421875 4,217 9,086 19,574 0,01333
76 5776 8,718 27,568 438976 4,236 9,126 19,661 0,01316
77 5929 8,775 27,749 456,533 4,254 9,166 19,747 0,01299
78 6084 8,832 27,928 474552 4,273 9,205 19,832 0,01282
79 6241 8,888 28,107 493039 4,291 9,244 19,916 0,01266
80 6400 8,944 28,284 512,000 4,309 9,283 20,000 0,01250
81 6561 9,000 28,460 531441 4,327 9,322 20,083 0,01235
82 6724 9,055 28,636 551368 4,344 9,360 20,165 0,01220
83 6889 9,110 28,810 571787 4,362 9,398 20,247 0,01205
84 7056 9,165 28,983 592,704 4,380 9,435 20,328 0,01190
85 7225 9,220 29,155 614125 4,397 9,473 20,408 0,01176
86 7396 9,274 29,326 636056 4,414 9,510 20,488 0,01163
87 7569 9,327 29,496 658503 4,431 9,546 20,567 0,01149
88 7744 9,381 29,665 681472 4,448 9,583 20,646 0,01136
89 7921 9,434 29,833 704969 4,465 9,619 20,724 0,01124
90 8100 9,487 30,000 729000 4,481 9,655 20,801 0,01111
91 8281 9,539 30,166 753,571 4,498 9,691 20,878 0,01099
92 8464 9,592 30,332 778688 4,514 9,726 20,954 0,01087
93 8649 9,644 30,496 804357 4,531 9,761 21,029 0,01075
94 8836 9,695 30,659 830584 4,547 9,796 21,105 0,01064
95 9025 9,747 30,822 857375 4,563 9,830 21,179 0,01053
96 9216 9,798 30,984 884736 4,579 9,865 21,253 0,01042
97 9409 9,849 31,145 912673 4,595 9,899 21,327 0,01031
98 9604 9,899 31,305 941192 4,610 9,933 21,400 0,01020
99 9801 9,950 31,464 970299 4,626 9,967 21,472 0,01010
1.7. Степени, корни и обратные величины 33
Окончание
1.8. Прогрессии
Последовательность чисел, в которой каждое число связано со последующим
числом в соответствии с каким-либо законом, называется прогрессией.
1.8.1. Арифметическая прогрессия
Последовательные числа арифметической прогрессии связаны общей разно-
стью. Каждый из членов последовательности 3, 6, 9, 12, 15, … получен прибав-
лением числа 3 к предыдущему члену последовательности, т.е. разность про-
грессии равна 3. В общем случае, если a — первый член прогрессии, а d — ее
разность, арифметическая прогрессия имеет следующий вид:
Член прогрессии 1-й 2-й 3-й 4-й последний
Значение a a+d a+ 2d a+ 3d, … a + (n — 1)d
где n — количество членов прогрессии.
Сумма Sn всех членов прогрессии определяется как среднее значение чле-
нов, умноженное на количество членов прогрессии, т.е.:
Sn [(первый последний) / 2]
(їисло їленов)
[(a a (n 1)d) /2]
n (n/2)[2a (n 1)d].
1.8.2. Геометрическая прогрессия
Последовательные числа геометрической прогрессии связаны общим знамена-
телем. Каждый из членов последовательности 3, 6, 12, 24, 48, … получен ум-
ножением предыдущего члена последовательности на 2. В общем случае, если
a — первый член прогрессии, а r — знаменатель, то геометрическая прогрес-
сия имеет вид:
Член прогрессии 1-й 2-й 3-й 4-й последний
Значение a ar ar2 ar3, ... arn-1
где n — количество членов прогрессии.
Сумму Sn всех членов прогрессии можно найти следующим образом:
Sn a ar ar ar ar
2 3 n 1
. (1)
Умножая каждый член уравнения (1) на r, получаем
rSn ar ar ar ar ar
2 3 n 1 n
. (2)
Вычитание уравнения (2) из уравнения (1) приводит к результату:
Sn r a ar
(1 ) n ,
Sn a r r
[ (1 n)] / (1 ). (3)
Или же, умножая числитель и знаменатель последнего уравнения на 1,
получаем:
Sn ar r
[ ( n 1)] / ( 1). (4)
34 Глава 1. Инженерная математика
Обычно используется уравнение (3), когда r < 1, и (4), когда r > 1.
Когда 1
< r < 1, каждый член геометрической прогрессии меньше, чем
предыдущий; в этом случае говорят, что последовательность сходится. Можно
найти сумму всех членов сходящейся последовательности. Такую сумму назы-
вают суммой бесконечной геометрической прогрессии. Членa(1 rn)/1 r
можно переписать в виде [a/(1 r)] [arn /1 r]. Поскольку r меньше 1, r n
становится все меньше и меньше при возрастании n. Когда n становится очень
большим, значение r n практически равно нулю, и таким образом[ar n/1 r]
становится равным нулю. Отсюда следует, что сумма бесконечной геометриче-
ской прогрессии равнаa/ (1 r) для случая 1
< r < 1.
1.8.3. Гармоническая прогрессия
Гармоническую прогрессию образуют числа, обратные последовательным чле-
нам арифметической прогрессии. Так, для арифметической прогрессии 1, 2, 3,
4, 5, … соответствующая гармоническая прогрессия имеет вид: 1, 1/2, 1/3, 1/4,
1/5, … .
1.9. Тригонометрические формулы
1.9.1. Основные определения
В прямоугольном треугольнике, показанном ниже, a — сторона, противолежа-
щая углу A (opp), b — гипотенуза треугольника (hyp), а с — сторона, прилежа-
щая углу A (adj). По определению:
sin / /
cos / /
/ /
A opp hyp a b
A adj hyp c b
A opp adj a c
tg
cosecA hyp opp b a A
A hyp adj b c A
ctgA
/ / / sin
/ / / cos
1
sec 1
adj/opp c/a 1 / tgA,
где opp — сторона, противолежащая
углу A, adj — сторона, прилежащая к
углу A, hyp — гипотенуза.
1.9.2. Тождества
sin2A cos2A 1
1 tg2A sec2A
1 ctg2A cosec2A
sin( A) sinA
cos( A) cosA
tg( A) tgA
1.9. Тригонометрические формулы 35
1.9.3. Составные формулы и формулы двойного угла
sin( ) sin cos cos A B A B AsinB
sin(A B) sinAcosB cosAsinB
cos(A B) cosAcosB sinAsinB
cos(A B) cosAcosB sinAsinB
tg(A B) (tgA tgB)/(1 tgA tgB)
tg(A B) (tgA tgB)/(1 tgA tgB)
sin2A 2sinAcos A
cos2A cos2A sin2A 2cos 2 A 1 1 2 sin2 A
tg2A (2tgA)/(1 tg 2A)
1.9.4. Формулы «произведение—сумма»
sinAcosB [sin(A B) sin(A B)] 1
2
cosAcosB [cos(A B) cos(A B)] 1
2
cosAsinB [sin(A B) sin(A B)] 1
2
sinAsinB [cos(A B) cos(A B)] 1
2
1.9.5. Формулы треугольника
С учетом обозначений, указанных на рисунке:
Теорема синуов:
a/ sinA b/ sinB c/ sinC.
Теорема косинусов:
a2 b2 c2 2bccosA
b2 a2 c2 2accosB
c2 a2 b2 2abcosC.
Площадь:
Площадь =
1
2
1
2
1
2
ab sinC bc sin A ca sinB
Также:
Площадь = s(s a)(s b)(s c),
где s — полупериметр, т.е.s (a b c)/ 2.
1.10. Круг и окружность: некоторые определения
и свойства
Для круга диаметром d и радиусом r:
Длина окружности равна d или 2 r.
Площадь круга равна d 2 / 4 или r 2 .
36 Глава 1. Инженерная математика
Дуга окружности — это ее часть.
Касательной к окружности называют прямую ли-
нию, соприкасающуюся с окружностью только в од-
ной точке. Радиус, проведенный в точку касания, об-
разует с касательной прямой угол.
Сектором круга называют область, ограниченную
дугой окружности и двумя радиусами. Площадь сектора
равна
1
2
r 2 , где — угол между радиусами в радианах.
Хордой называют прямую линию, соединяющую
две точки окружности. При пересечении двух хорд
произведение длин частей одной хорды равно произ-
ведению длин частей второй хорды. На рис. 1
AE
BE CE
ED.
Сегментом круга называют область, ограничен-
ную хордой и дугой окружности. Углы, построенные
на одном и том же сегменте, равны: на рис. 2 угол A =
= угол B.
1.10.1. Круг: площадь и длина окружности
Диаметр Площадь Длина
окружности Диаметр Площадь Длина
окружности Диаметр Площадь Длина
окружности
1 0,7854 3,142 24 452,39 75,40 47 1734,9 147,7
2 3,1416 6,283 25 490,87 78,54 48 1809,6 150,8
3 7,0686 9,425 26 530,93 81,68 49 1885,7 153,9
4 12,566 12,57 27 572,56 84,82 50 1963,5 157,1
5 19,635 15,71 28 616,75 87,96 51 2042,8 160,2
6 28,274 18,85 29 660,52 91,11 52 2123,7 163,4
7 38,485 21,99 30 706,86 94,25 53 2206,2 166,5
8 50,265 25,13 31 754,77 97,39 54 2290,2 169,6
9 63,617 28,27 32 804,25 100,5 55 2375,8 172,8
10 78,540 31,42 33 855,30 103,7 56 2463,0 175,9
11 95,033 34,56 34 907,92 106,8 57 2551,8 179,1
12 113,10 37,70 35 962,11 110,0 58 2642,1 182,2
13 132,73 40,84 36 1017,9 113,1 59 2734,0 185,4
14 153,94 43,98 37 1075,2 116,2 60 2827,4 188,4
15 176,71 47,12 38 1134,1 119,4 61 2922,5 191,6
16 201,06 50,27 39 1194,6 122,5 62 3019,1 194,8
17 226,98 53,41 40 1256,6 125,7 63 3117,2 197,9
18 254,47 56,55 41 1320,3 128,8 64 3217,0 201,1
19 283,53 59,69 42 1385,4 131,9 65 3318,3 204,2
20 314,16 62,83 43 1452,2 135,1 66 3421,2 207,3
21 346,36 65,97 44 1520,5 138,2 67 3525,7 210,5
22 380,13 69,11 45 1590,4 141,4 68 3631,7 213,6
23 415,48 72,26 46 1661,9 144,5 69 3739,3 216,8
1.9. Тригонометрические формулы 37
1
2
Диаметр Площадь Длина
окружности Диаметр Площадь Длина
окружности Диаметр Площадь Длина
окружности
70 3848,5 219,9 80 5026,5 251,3 90 6361,7 282,7
71 3959,2 223,1 81 5153,0 254,5 91 6503,9 285,9
72 4071,5 226,2 82 5381,0 257,6 92 6647,6 289,0
73 4185,4 229,3 83 5410,6 260,8 93 6792,9 292,2
74 4300,8 232,5 84 5541,8 263,9 94 6939,8 295,3
75 4417,9 235,6 85 5674,5 267,0 95 7088,2 298,5
76 4536,5 238,8 86 5808,8 270,2 96 7238,2 301,6
77 4656,6 241,9 87 5944,7 273,3 97 7389,8 304,7
78 4778,4 245,0 88 6082,1 276,5 98 7543,0 307,9
79 4901,7 248,2 89 6221,1 279,6 99 7697,7 311,0
1.11. Квадратные уравнения
Решением (корнем) квадратного уравнения:
ax 2 bx c 0
является:
x
b b ac
a
2 4
2
1.12. Натуральные логарифмы
Натуральный логарифм действительного числа x обозначается как ln x. По
определению, он равен такому числу, что:
eln x x,
где e = 2,1782 является основанием натурального логарифма.
Натуральный логарифм обладает следующими свойствами:
ln(xy) lnx lny
ln(x/y) lnx lny
ln(yx ) xlny
1.13. Статистика: введение
1.13.1. Основные понятия
В большинстве руководств, имеющих отношение к вопросам контроля качест-
ва, предполагается некоторый базовый уровень знаний по статистике, необхо-
димый для должного понимания углубленной статистики, лежащей в основе
этого предмета. В кратком вводном курсе, предлагаемом далее, содержатся
сведения, которые потребуются читателям при последующем изучении раз-
личных руководств, связанных с контролем качества.
38 Глава 1. Инженерная математика
Окончание
Среднее арифметическое или просто среднее — это среднее значение набора
данных. Чтобы его найти, нужно сложить вместе значения всех членов набора
данных и затем разделить сумму на количество членов в наборе. Математиче-
ски это можно выразить следующим образом:
X X (1 X2 XN)/N
Таким образом, среднее арифметическое набора чисел 4, 6, 9, 3 и 8 будет
(4 + 6 + 9 + 3 + 8)/5 = 6.
Медиана — это или серединное значение, или среднее двух серединных
значений последовательности чисел, расположенных в порядке возрастания.
Так, медиана последовательности 3, 4, 5, 6, 8, 9, 13 и 15 равна (6 + 8)/2 = 7, а
медиана последовательности 4, 5, 7, 9, 10, 11, 15, 17 и 19 равна 10.
Мода — это значение, которое наиболее часто встречается в наборе чисел.
Таким образом, мода набора 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 9 и 9 равна 6.
Размах набора чисел — это разность между максимальным и минималь-
ным значениями в наборе. Так, размах набора чисел 3, 2, 9, 7, 4, 1, 12, 3, 17 и
4 равен 17 1
= 16.
Стандартное отклонение, иногда называемое среднеквадратическим откло-
нением, определяется как:
s [(X1 X) (X X) (XN X) ] /N
2
2
2 2
.
.
Так, для чисел 2, 5 и 11 среднее значение равно (2 + 5 + 11)/3 = 6. Следова-
тельно, стандартное отклонение:
s [(2 6)2 (5 6)2 (11 6)2]/3 (16 1 25)/3 14 3,74.
Обычно s используется для обозначения стандартного отклонения гене-
ральной совокупности (полного набора чисел), а у используется для обозначе-
ния стандартного отклонения выборки.
1.13.2. Вероятность
Пусть x — количество элементарных событий, благоприятных для некоторого
события A, а n — полное количество всех возможных и равновероятных элемен-
тарных событий; тогда вероятность события A определяется как p = x/n. Вероят-
ность события есть число от 0 до 1. Если q — вероятность того, что данное со-
бытие не произойдет, то из сказанного ранее следует, что p + q = 1. Так, при
бросании правильной шестигранной игральной кости (т.е. кубика с цифрами),
вероятность выпадения определенного числа, например трех, равна 1/6, так как
у кубика шесть граней и число 3 присутствует только на одной из них.
1.13.3. Биномиальное распределение
Биномиальное распределение применительно к контролю качества может быть
определено следующим образом. Вероятность получить 0, 1, 2, 3, …, n дефект-
ных изделий в выборке из n изделий, полученной случайным образом из гене-
ральной совокупности, для которой вероятность появления дефектного изде-
лия равна p, а недефектного — q, определяется последовательными членами
разложения(q p)n начиная с правого члена разложения.
1.13. Статистика: введение 39
Так, если выборка, состоит, например, из четырех деталей, выбранных слу-
чайным образом из продукции станка, производящего в среднем 5 % дефектных
деталей, то вероятность получить 0, 1, 2, 3 или 4 дефектные детали в выборке мо-
жет быть определена следующим образом. Повторным умножением получаем:
(q p)4 q4 4q3p 6q2p2 4qp3 p4.
Значения q и p равны соответственно 0,95 и 0,05. Тогда:
(0,95 0,05)4 0,954 4
0,953
0,05 6
0,952
0,052 4
0,95 0 05
0 05 0 8145 0 1715 0 011354
3
4
,
, , , , ...
Это означает, что:
1) 81 % выборок, вероятно, не содержит дефектных деталей;
2) 17% выборок, вероятно, содержит одну дефектную деталь;
3) 1 % выборок, вероятно, содержит две дефектные детали;
4) маловероятно, что в выборке попадутся три или четыре дефектные детали.
Что касается контроля качества, то, если при повторных выборках такое
процентное соотношение приблизительно сохраняется, контролер может сде-
лать вывод, что станок продолжает производить около 5 % дефектных деталей.
Однако если процентное соотношение изменяется, то, вероятно, процент бра-
ка также изменяется. Точно так же покупатель, получающий большую партию
изделий, может, используя случайные выборки, подсчитать количество дефек-
тных изделий в выборках и с помощью биномиального распределения оценить
вероятное количество дефектных изделий во всей партии.
1.13.4. Распределение Пуассона
Вычисления с использованием биномиального распределения могут оказаться
очень трудоемкими, если количество n деталей в выборке больше шести или
семи. В этом случае распределение Пуассона является хорошим приближением
биномиального распределения. Оно определено следующим образом.
Если вероятность наступления события в любой момент постоянна и мате-
матическое ожидание np наступления события равно л, тогда вероятность на-
ступления события 0, 1, 2, 3, 4, … раз определяется как:
e , e , 2e /2!, 3e /3!, 4e /4!, ... ,
где e — константа 2,71828... и 2! = 2 Ї 1, 3! = 3 Ї 2 Ї 1, 4! = 4 Ї 3 Ї 2 Ї 1, и т.д.
(здесь 4! читается как «четыре факториал»).
Применение распределения Пуассона к использованному выше для иллю-
страции применения биномиального распределения примеру со станком, про-
изводящим 5 % дефектных деталей, дает:
математическое ожидание np = 4 Ї 0,05 = 0,2
вероятность отсутствия дефектных деталей равна e = e 0 2 , = 0,8187
вероятность наличия одной дефектной детали равна e = 0,2e 0,2 = 0,1637
вероятность наличия двух дефектных деталей равна 2e /2! = 0,22e 0,2/2 = 0,0164.
Можно видеть, что вероятности, приблизительно равные 82, 16 и 2 %, хо-
рошо согласуются с результатами, полученными ранее.
40 Глава 1. Инженерная математика
1.13.5. Нормальное распределение
Данные, связанные с измерением таких величин, как масса длина, время и
температура, называются непрерывными, так как они могут принимать любые
значения в заданном диапазоне. Предположим, что распределение длин де-
талей, произведенных некоторым стан-
ком, будет представлено в виде графи-
ка, как показано на рисунке; тогда форму
данного графика можно определить мате-
матически. Она определяется формулой
y (1/ ez, где z x2/ 2 2, — стан-
дартное отклонение набора данных; x —
частота, с которой данной значение встре-
чается. Такая кривая называется графиком
вероятности нормального распределения
или кривой нормального распределения.
Наиболее важными для контроля каче-
ства являются следующие свойства данной кривой.
1. Площадь области, ограниченной кривой и двумя вертикальными линия-
ми, отстоящими на ±1 стандартное отклонение от среднего значения, состав-
ляет примерно 67 % общей площади.
2. Площадь области, ограниченной кривой и вертикальными линиями, от-
стоящими на ±2 стандартных отклонения от среднего значения, составляет
примерно 95 % общей площади.
3. Площадь области, ограниченной кривой и вертикальными линиями, от-
стоящими на ±3 стандартных отклонения от среднего значения, составляет
примерно 99,75 % общей площади.
4. Область, ограниченная кривой, пропорциональна плотности вероятно-
сти в генеральной совокупности
Для иллюстрации использования данных свойств рассмотрим выборку, со-
сотоящую из 30 круглых деталей, полученную случайным образом из партии в
1000 деталей, произведенных станком. Измерением было установлено, что
средний диаметр образцов в выборке равен 0,503 см, а стандартное отклоне-
ние выборки составляет 0,0005 см.
Если допустимыми являются, например, только детали диаметром
0,502—0,504 см, то теоретическую кривую нормального распределения можно
использовать для предсказания процента брака. Допустимый разброс диаметров
деталей составляет 0,504—0,502 = 0,002 см. Так как стандартное отклонение рав-
но 0,0005 см, данный разброс соответствует ±2 стандартным отклонениям. Из
свойства (2), приведенного выше, следует, что 95 % деталей укладываются в до-
пустимый диапазон, т.е. в выборке содержится 28 или 29 допустимых деталей, а
в партии, вероятно, содержится 95 % от 1000, т. е. 950 допустимых деталей.
Данный пример был выбран так, что разброс был равен точно ±2 стандарт-
ным отклонениям. Однако существуют таблицы частичных площадей под кри-
вой нормального распределения, которые позволяют связать любое стандарт-
ное отклонение с площадью под кривой. (Обычно такая таблица называется
«Функция распределения нормированного и центрированного нормального
распределения». — Примеч. пер.)
1.13. Статистика: введение 41
1.14. Дифференциальное исчисление (производные)
Еслиy xn то
dy
dx
nxn 1
Еслиy axn то
dy
dx
anxn 1
Если f(x) axn то f (x) anxn 1
Если y sin то
dy
d
cos
Если y cos то
dy
d
sin
Если y tg то
dy
d
sec 2
Если y ctg то
dy
d
cosec 2
Если y sec то
dy
d
tg sec
sin
cos 2
Если y cosec то
dy
d
ctg cosec
cos
sin2
Если y
x
a
sin 1 то
dy
dx a x
1
2 2
Если y
x
a
cos 1 то
dy
dx a x
1
2 2
Если y
x
a
tg 1 то
dy
dx
a
a x
2 2
Если y
x
a
ctg 1 то
dy
dx
a
a x
2 2
Если y
x
a
sec 1 то
dy
dx
a
x x a
2 2
Если y
x
a
cosec 1 то
dy
dx
a
x x a
2 2
Если y ex то
dy
dx
e x
Если y eax то
dy
dx
ae ax
Еслиy ax то
dy
dx
ax lna
Еслиy lnx то
dy
dx x
1
Производная произведения
Еслиy uv, где u и v — функции от x, тогда
dy
dx
u
dv
dx
v
du
dx
42 Глава 1. Инженерная математика
Производная частного
Еслиy u/v, где u и v — функции от x, тогда
dy
dx
v
du
dx
u
dv
dx
v
2
Производная сложной функции
Если y есть функция от x, тогда
dy
dx
dy
du
du
dx
Последовательное дифференцирование
Еслиy f(x), тогда ее первая производная записывается в виде
dy
dx
или f (x).
Если это выражение продифференцировать второй раз, то получится вторая
производная, которая записывается в виде
d y
dx
2
2
или f (x).
Прошло уже 14 лет с тех пор, как первое издание Справочника инженера-ме-
ханика было выпущено в его существующем формате. Хотя в текст второго из-
дания, опубликованного приблизительно 7 лет назад, было включено множе-
ство обновлений британских стандартов, структура книги не изменилась.
В течение 14 лет, с момента выхода первого издания Справочника инжене-
ра-механика, британское машиностроение претерпело ряд существенных из-
менений с перемещением акцента с производства на проектирование и разви-
тие. В то же самое время производство в значительной степени переместилось
в Восточную Европу, Азию и на Дальний Восток с целью уменьшения эксплу-
атационных расходов в условиях все большей конкуренции на глобальном
рынке.
Поэтому перед выпуском этого третьего издания справочника издатели и
автор предприняли широкое изучение рынка. Главные результаты этого иссле-
дования показали, что:
• потребность в справочнике по технологии производства сменилась по-
требностью в справочнике по инженерному проектированию;
• больше информации требуется по таким областям, как роликовые цеп-
ные приводы, пневматические и гидравлические системы в разделе, по-
священном механическим передачам;
• больше информации требуется по вопросам инженерной статики, дина-
мики и математики;
• разделы, интерес к которым снизился, касаются режущих инструментов.
В настоящее время данные о режущих инструментах представляются ме-
нее важными, поскольку акцент сместился от производства к проектиро-
ванию. Кроме того, данные о режущих инструментах теперь широко
представлены на интернет-страницах производителей режущих инстру-
ментов. Перечень полезных веб-сайтов включен в Приложение 4.
Роджер Л. Тимингс (2005
B
22 Глава 1. Инженерная математика
1.3. Единицы измерения: СИ
1.3.1. Основные и дополнительные единицы
В основе Международной системы единиц измерения (СИ) лежат девять фи-
зических величин.
Физическая величина
Единица измерения
название обозначение
Длина метр м
Масса килограмм кг
Время секунда с
Плоский угол радиан рад
Количество вещества моль моль
Электрический ток ампер А
Сила света кандела кд
Телесный угол стерадиан ср
Термодинамическая температура кельвин К
1.3.2. Производные единицы
Производные единицы получены путем соответствующего умножения и/или
деления единиц, приведенных выше. Некоторым из них присвоены специаль-
ные названия.
Физическая величина
Единица измерения
Вывод формулы
название обозначение
Электрическая емкость Фарад(а) Ф (А2·с4)/(кг·м2)
Электрический заряд Кулон Кл А·с
Электрическая проводимость Сименс См (А2·с3)/(кг·м2)
Электрическая разность потенциалов Вольт В (кг·м2)/(А2·с3)
Электрическое сопротивление Ом Ом (кг·м2)/(А·с3)
Энергия Джоуль Дж (кг·м2)/с2
Сила Ньютон Н (кг·м)/с2
Частота Герц Гц 1/с
Освещённость Люкс лк (кд·срад)/м2
Индуктивность Генри Гн (кг·м2)/(А2 с2)
Световой поток Люмен лм кд·ср
Магнитный поток Вебер Вб (кг·м2)/(А·с2)
Плотность магнитного потока Тесла Тл кг/(А·с2)
Мощность Ватт Вт (кг·м2)/с3
Давление Паскаль Па кг/(м·с2)
1.3. Единицы измерения: СИ 23
Некоторые другие производные единицы, не имеющие специальных на-
званий.
Физическая величина Название единицы измерения
Обозначение
единицы
измерения
Ускорение Метр на секунду в квадрате м/с2
Угловая скорость Радиан в секунду рад/с
Площадь Метр в квадрате м2
Плотность тока Ампер на метр в квадрате А/м2
Плотность Килограмм на метр в кубе кг/м3
Динамическая вязкость Паскаль секунда Па·с
Плотность электрического заряда Кулон на метр в кубе Кл/м3
Напряжённость электрического поля Вольт на метр В/м
Плотность энергии Джоуль на метр в кубе Дж/м3
Теплоёмкость Джоуль на кельвин Дж/К
Плотность теплового потока Ватт на метр в квадрате Вт/м2
Кинематическая вязкость Метр в квадрате на секунду м2/с
Яркость Кандела на метр в квадрате кд/м2
Напряжённость магнитного поля Ампер на метр А/м
Момент силы Ньютон метр Н·м
Магнитная постоянная Генри на метр Гн/м
Ээлектрическая постоянная Фарад на метр Ф/м
Удельный объем Метр в кубе на килограмм м3/кг
Поверхностное натяжение Ньютон на метр Н/м
Теплопроводность Ватт на метр кельвин Вт/(м·К)
Скорость Метр в секунду м/с
Объем Метр в кубе м3
1.3.3. Единицы измерения, не входящие в систему СИ
Представлены некоторые единицы, не входящие в систему СИ, но используе-
мые наряду с системой СИ.
Физическая величина Название единицы
измерения
Обозначение
единицы
измерения
Вывод формулы
Угол Градус ° ( /180) рад
Угол Минута ( /10800) рад
Угол Секунда ( /648000) рад
Температура по Цельсию Градус Цельсия °C K-273,2 (для K см.1.3.1)
Динамическая вязкость Пуаз П 10-1 Па·с
Энергия Калория кал Ј4,18 Дж
Температура по
Фаренгейту
Градус Фаренгейта °F 9
5
°C + 32
Сила Килограмм сила кгс Ј9,807 Н
Кинематическая вязкость Стокс Ст 10-4 м2/с
Длина Дюйм дюйм 2,54 Ї 10-2 м
Длина Микрон м 106
м
Масса Фунт фунт Ј0,454 кг
24 Глава 1. Инженерная математика
Физическая величина Название единицы
измерения
Обозначение
единицы
измерения
Вывод формулы
Масса Тонна т 103 кг
Давление Атмосфера атм 101325 Па
Давление Бар бар 105 Па
Давление Миллиметры ртут-
ного столба
мм рт. ст. Ј133,322 Па
Давление Торр Торр Ј133,322 Па
Термодинамическая
температура
Градус Ранкина °Ra °F + 459,7
Время Минута мин 60 с
Время Час час 3600 с
Время День день 86400 с
1.3.4. Примечания относительно записи размерностей
Размерности физических величин следует писать прямым шрифтом: см, а не см.
В единственном и множественном числе размерности записываются одинако-
во: см. Следует ставить пробел при обозначении произведения двух размерно-
стей: Н м, а не Нм. При записи обозначений можно использовать показатели
степени: м/с можно записать как м с1,
а Вт/(м К) — как Вт м1
К1.
1.3.5. Дольные и кратные единицы
Для величин, которые намного больше или намного меньше приведенных
единиц измерения, используются дольные и кратные единицы.
На международном уровне приняты следующие приставки для образова-
ния дольных и кратных единиц.
Доля малых величин Для больших величин
дольность приставка обозначение дольность приставка обозначение
10-1 деци д 10 дека да
10-2 санти с 102 хекто х
10-3 мили м 103 кило к
10-6 микро мк 106 мега М
10-9 нано н 109 гига Г
10-12 пико п 1012 тера Т
10-15 фемто ф 1015 пета П
10-18 атто а 1018 экса Е
Примечание.
Приставка используется с граммом, а не с килограммом: Мг, а не ккг.
Приставку можно использовать для одного или более обозначений единиц измерения. Таким
образом, допустимо использование всех следующих обозначений: кН м, Н мм и кН мм.
Составные приставки не используются: нс, а не ммс.
1.3. Единицы измерения: СИ 25
Окончание
1.4. Коэффициенты преобразования
для единиц измерения ФФС и СИ
Коэффициенты преобразования, представленные ниже, приведены с точно-
стью до пятой значащей цифры. Здесь ФФС (фут—фунт—секунда) — Британ-
ская система единиц измерения.
Единицы измерения ФФС в единицы СИ Единицы измерения СИ в единицы ФФС
Ускорение
1 фут/с2 =0,30480 м/с2 1 м/с2 =3,2808 фут/с2
Угловая скорость
1 оборот/мин =0,10472 рад/с 1 рад/с =9,5493 оборот/мин.
Площадь
1 дюйм2 =6,4516 см2 1 см2 =0,15500 дюйм2
1 фут2 =0,092903 м2 1 м2 =10,764 фут2
1 ярд2 =0,83613м2 1м2 =1,1960 ярд2
1 акр =0,40469 га 1 га =2,4711 акр
Плотность
1 фунт/фут3 =16,018 кг/м3 1 кг/м3 =0,062428 фунт/фут3
Энергия
1 фут паундаль =0,042140 Дж 1 Дж =23,730 фут паундаль
1 фут фунт-сила =1,355 82 Дж 1 Дж =0,73756 фут фунт-сила
1 кВт час =3,6000 МДж 1 МДж =0,27778 кВт час
1 терм =0,10551 ГДж 1 ГДж =9,4781 терм
Сила
1 паундаль =0,13826 Н 1 Н =7,2330 паундаль
1 фунт-сила =4,4482 Н 1 Н =0,22481 фунт-сила
Длина
1 дюйм =2,5400 см 1 см =0,39370 дюйм
1 фут = 0,30480 м 1 м =3,2808 фут
1 ярд = 0,91440 м 1 м =1,0936 ярд
1 миля = 1,6093 км 1 км =0,62137 миля
Масса
1 унция =28,350 г 1 г =0,035274 унция
1 фунт =0,453 59 кг 1 кг =2,2046 фунт
1 англ. центнер =50,802 кг 1 кг =0,019684 англ. центнер
1 англ. тонна =1,0161 тонна 1 тонна =0,98421 англ. тонна
Момент силы
1 фунт-сила фут = 1,3558 Н м 1 Н м =0,73756 фунт-сила фут
Плоский угол
1° =0,01745 рад 1 рад =57,296°
Мощность
1 фут фунт-сила/с =1,3558 Вт 1 Вт =0,73756 фут фунт-сила/с
1 л.с. =0,745 70 кВт 1 кВт =1,3410 л.с.
Давление и напряжение
1 дюйм рт.ст. =33,864 мбар 1 мбар =0,02953 дюйм рт.ст.
1 фунт-сила/дюйм2 =6,8948 кПа 1 кПа =0,14504 фунт-сила/дюйм2
1 англ. тонна-сила/дюйм2 =15,444 Н/мм2 1 Н/мм2 =0,064749 англ. тонна-си-
ла/дюйм2
26 Глава 1. Инженерная математика
Единицы измерения ФФС в единицы СИ Единицы измерения СИ в единицы ФФС
Удельная теплоемкость
1 Британская тепловая
единица/(фунт °F)
=4,1868 кДж/(кг °C) 1 кДж/(кг °C) =0,23885 Британская теп-
ловая единица/(фунт °F)
Скорость
1 фут/с =0,30480 м/с 1 м/с =3,2808 фут/с
1 миля/ч =1,6093 км/ч 1 км/ч =0,62137 миль/ч
Объем
1 дюйм3 =16,387 см3 1см3 =0,061024 дюйм3
1фут3 =0,028317 м3 1м3 =35,315 фут3
1ярд3 =0,76456 м3 1м3 =1,3080 ярд3
1 пинта =0,56826 л 1 л =1,7598 пинта
1 галлон =4,5461 л 1 л =0,21997 галлон
1.5. Предпочтительные числа
Когда человек покупает, например, электрическую лампу для использования в
быту, обычно в наличии имеются лампы мощностью 15, 25, 40, 60, 100 Вт и
т.д. Эти значения мощности следуют одно за другим примерно в геометриче-
ской прогрессии, причем относительные изменения светового излучения меж-
ду соседними значениями мощностей в этой последовательности остаются
приблизительно постоянными. Как правило, соотношения между параметрами
изделий не случайны, а основаны на системе предпочтительных чисел. (Пара-
метр продукции — это количественная характеристика ее свойств. Наиболее
важными параметрами являются размерные, весовые, энергетические характе-
ристики продукции. — Примеч. пер.)
Предпочтительные числа базируются на R-числах, изобретенных полков-
ником Шарлем Ренаром. В основном используются ряды — R5, R10, R20, R40
и R80 и подгруппы этих рядов. Значения в каждом ряду представляют собой
приблизительные геометрические прогрессии со знаменателями 5 10, 1010,
2010, 4010 и 8010, при этом значения вутри рядов изменяются на 58 % для ряда
R5, на 26% для ряда R10, на 12% для R20, на 6% для R40 и на 3% для ряда
R80.
Более подробную информацию о значениях и использовании предпочтите-
льных чисел можно найти в BS (British Standards) 2045:1965. (В настоящее вре-
мя действует ГОСТ 8032-84 «Предпочтительные числа и ряды предпочтитель-
ных чисел». Утвержден: Госстандарт СССР, 09.08.1984. В нем предусмотрены
ряды — R5, R10, R20, R40. — Примеч. пер.) Для ряда R5 округленные значения
равны 1,00, 1,60, 2,50, 4,00, 6,30 и 10,00; таким образом, приведенные выше
значения номинальных мощностей электрических ламп базируются на ряде
R5. Большинство используемых стандартов основано на рядах предпочтитель-
ных чисел; в том числе стандарты на толщину листового металла и калибр
проволоки, размеры гаек и болтов, стандарт электрического тока (А) и скоро-
сти вращения инструментальных шпинделей в станках.
1.5. Предпочтительные числа 27
Окончание
1.6. Определение размеров
1.6.1. Плоские фигуры
28 Глава 1. Инженерная математика
Квадрат
Сторона b
Площадь = b2
Длина диагонали = 2
b
Прямоугольник
Сторона b, высота h
Площадь =b h
Длина диагонали = b2 h2
Параллелограмм
Сторона b, высота h
Площадь =b h
Трапеция
Основания a и b, высота h
Площадь =
1
2
(a b)
h
Треугольник
Сторона b, высота h
Площадь =
1
2
b
h
Круг
Радиус r
Площадь =
r 2
Периметр = 2
r
Существует несколько методов определения площади заштрихованной об-
ласти. Для этого используются правило средних прямоугольников, правило
трапеций и правило Симпсона. В качестве примера приведем формулу Симп-
сона. Разделим отрезок x1x2 на четное количество равных отрезков длиной d
каждый. Пусть p, q, r, … — длины вертикальных линий, измеренные относи-
тельно некоторого уровня отсчета и пусть A — приблизительная площадь не-
правильного многоугольника, выделенного штриховкой. В таком случае:
A
d
p t q s r
d
p t u w v
3
4 2
3
[( ) ( ) ] [( ) 4( ) 2].
В общем, правило Симпсона формулируется следующим образом:
приблизительная площадь =
=(d ) [( ) ( ) (
3
первая последняя 4сумма їетных 2сумма неїетных)],
где первая, последняя, четные и нечетные — это длины соответствующих вер-
тикальных линий, а d — длина равных отрезков на уровне линии отсчета.
1.6. Определение размеров 29
Сектор круга
Радиус r, центральный угол , дуга s
Площадь =
1
2
r 2
Длина дуги s = r
( в радианах)
Эллипс
Радиусы a и b
Площадь =
a
b
Периметр =
(a b)
Неправильный многоугольник
Уровень
отсчета
1.6.2. Объемные фигуры
30 Глава 1. Инженерная математика
Прямоугольная призма
Объем = bhl
Площадь поверхности = 2(bh hl lb)
Цилиндр
Объем = r h 2
Площадь поверхности = 2 r(r h)
Конус
Объем =
1
3
r2h
Площадь поверхности = r(l r)
Усеченный конус
Объем =
1
3
h(R2 Rr r2)
Площадь поверхности = l(R r) (R2 r2)
Сфера
Объем =
4
3
r 3
Площадь поверхности = 4 r 2
Пояс сферы
Объем =
h
h R r
6
2 32 3
1
( 2)
Площадь поверхности = 2 2
1
rh (R r 2),
где r — радиус сферы
Для определения объема тела неправильной формы можно использовать
различные методы; один из них основан на применении формулы Симпсона
(смотри ранее в этом разделе). Твердое тело следует разделить на четное коли-
чество секций параллельными плоскостями, расположенными на равных рас-
стояниях d одна от другой и имеющими площади A1, A2, A3, … . Если исполь-
зуется, например, семь таких плоскостей, то:
Приблизительный объем =
d
A A A A A A A
3
[( 1 7) 4( 2 4 6) 2( 3 5)].
1.6. Определение размеров 31
Пирамида
Объем =
1
3
Ah,
где A — площадь основания,
h — высота пирамиды
Твердые тела правильной формы
Объем любого твердого тела правильной
формы можно найти при помощи форму-
лы Симпсона. Учитываются три парал-
лельные плоскости с площадями A1, A3 и
A2, соответственно расположенные на кра-
ях и в центре твердого тела. Тогда:
Объем =
l
A A A
6
(1 4 2 3),
где l — длина твердого тела.
Твердые тела неправильной формы
1.7. Степени, корни и обратные величины
n n2 n 10n n n3 n 1
3 10 1
n 3 100 1
n 3 1
n
1 1 1,000 3,162 1 1,000 2,154 4,642 1,00000
2 4 1,414 4,472 8 1,260 2,714 5,848 0,50000
3 9 1,732 5,477 27 1,442 3,107 6,694 0,33333
4 16 2,000 6,325 64 1,587 3,420 7,368 0,25000
5 25 2,236 7,071 125 1,710 3,684 7,937 0,20000
6 36 2,449 7,746 216 1,817 3,915 8,434 0,16667
7 49 2,646 8,367 343 1,913 4,121 8,879 0,14286
8 64 2,828 8,944 512 2,000 4,309 9,283 0,12500
9 81 3,000 9,487 729 2,080 4,481 9,655 0,11111
10 100 3,162 10,000 1000 2,154 4,642 10,000 0,10000
11 121 3,317 10,488 1331 2,224 4,791 10,323 0,09091
12 144 3,464 10,954 1738 2,289 4,932 10,627 0,08333
13 169 3,606 11,402 2197 2,351 5,066 10,914 0,07692
14 196 3,742 11,832 2,744 2,410 5,192 11,187 0,07143
15 225 3,873 12,247 3375 2,466 5,313 11,447 0,06667
16 256 4,000 12,649 4096 2,520 5,429 11,696 0,06250
17 289 4,123 13,038 4913 2,571 5,540 11,935 0,05882
18 324 4,243 13416 5832 2,621 5,646 12,164 0,05556
19 361 4,359 13784 6859 2,668 5,749 12,386 0,05263
20 400 4,472 14,142 8000 2,714 5,848 12,599 0,05000
21 441 4,583 14,491 9261 2,759 5,944 12,806 0,04762
22 484 4,690 14832 10648 2,802 6,037 13,006 0,04545
23 529 4,796 15,166 12167 2,844 6,127 13,200 0,04348
24 576 4,899 15492 13824 2,884 6,214 13,389 0,04167
25 625 5,000 15,811 15625 2,924 6,300 13,572 0,04000
26 676 5,099 16,125 17576 2,962 6,383 13,751 0,03846
27 729 5,196 16,432 19683 3,000 6,463 13,925 0,03704
28 784 5,292 16,733 21952 3,037 6,542 14,095 0,03571
29 841 5,385 17,029 24389 3,072 6,619 14,260 0,03448
30 900 5,477 17,321 27000 3,107 6,694 14,422 0,03333
31 961 5,568 17,607 29791 3,141 6,768 14,581 0,03226
32 1024 5,657 17,889 32768 3,175 6,840 14,736 0,03125
33 1089 5,745 18,166 35937 3,208 6910 14,888 0,03030
34 1156 5,831 18,439 39304 3,240 6,980 15,037 0,02941
35 1225 5,916 18,708 42875 3,271 7,047 15,183 0,02857
36 1296 6,000 18,974 46656 3,302 7,114 15,326 0,02778
37 1369 6,083 19,235 50653 3,332 7,179 15,467 0,02703
38 1444 6,164 19,494 54872 3,362 7,243 15,605 0,02632
39 1521 6,245 19,748 59319 3,391 7,306 15,741 0,02564
40 1600 6,325 20,000 64000 3,420 7,368 15,874 0,02500
41 1681 6,430 20,248 68921 3,448 7,429 16,005 0,02439
42 1764 6,481 20,494 74088 3,476 7,489 16,134 0,02381
43 1849 6,557 20,736 79,507 3,503 7,548 16,261 0,02326
44 1936 6,633 20,976 85184 3,530 7,606 16,386 0,02273
45 2025 6,708 21,213 91125 3,557 7,663 16,510 0,02222
46 2116 6,782 21,448 97,336 3,583 7,719 16,631 0,02174
47 2209 6,856 21,679 103823 3,609 7,775 16,751 0,02128
48 2304 6,928 21,909 110592 3,634 7,830 16,869 0,02083
49 2401 7,000 22,136 117649 3,659 7,884 16,985 0,02041
32 Глава 1. Инженерная математика
n n2 n 10n n3 n 1
3 10 1
n 3 100 1
n 3 1
n
50 2500 7,071 22,361 125000 3,684 7,937 17,100 0,02000
51 2601 7,141 22,583 132651 3,708 7,990 17,213 0,01961
52 2704 7,211 22,804 140608 3,733 8,041 17,325 0,01923
53 2809 7,280 23,022 148877 3,756 8,093 17,435 0,01887
54 2916 7,348 23,238 157464 3,780 8,143 17,544 0,01852
55 3025 7,416 23,452 166375 3,803 8,193 17,652 0,01818
56 3136 7,483 23,664 175616 3,826 8,243 17,758 0,01786
57 3249 7,550 23,875 185193 3,849 8,291 17,863 0,01754
58 3364 7,616 24,083 195112 3,871 8,340 17,967 0,01724
59 3481 7,681 24,290 205379 3,893 8,387 18,070 0,01695
60 3600 7,746 24,495 216000 3,915 8,434 18,171 0,01667
61 3721 7,810 24,698 226981 3,936 8,481 18,272 0,01639
62 3844 7,874 24,900 238328 3,958 8,527 18,371 0,01613
63 3969 7,937 25,100 250047 3,979 8,573 18,469 0,01587
64 4096 8,000 25,298 262144 4,000 8,618 18,566 0,01562
65 4225 8,062 25,495 274625 4,021 8,662 18,663 0,01538
66 4356 8,124 25,690 287496 4,041 8,707 18,758 0,01515
67 4489 8,185 25,884 300763 4,062 8,750 18,852 0,01493
68 4624 8,246 26,077 314432 4,082 8,794 18,945 0,01471
69 4761 8,307 26,268 328,509 4,102 8,837 19,038 0,01449
70 4900 8367 26,458 343000 4,121 8,879 19,129 0,01429
71 5041 8,426 26,646 357911 4,141 8,921 19,220 0,01408
72 5184 8,485 26,833 373,248 4,160 8,963 19,310 0,01389
73 5329 8,544 27,019 389017 4,179 9,004 19,399 0,01370
74 5476 8,602 27,203 405224 4,198 9,045 19,487 0,01351
75 5625 8,660 27,386 421875 4,217 9,086 19,574 0,01333
76 5776 8,718 27,568 438976 4,236 9,126 19,661 0,01316
77 5929 8,775 27,749 456,533 4,254 9,166 19,747 0,01299
78 6084 8,832 27,928 474552 4,273 9,205 19,832 0,01282
79 6241 8,888 28,107 493039 4,291 9,244 19,916 0,01266
80 6400 8,944 28,284 512,000 4,309 9,283 20,000 0,01250
81 6561 9,000 28,460 531441 4,327 9,322 20,083 0,01235
82 6724 9,055 28,636 551368 4,344 9,360 20,165 0,01220
83 6889 9,110 28,810 571787 4,362 9,398 20,247 0,01205
84 7056 9,165 28,983 592,704 4,380 9,435 20,328 0,01190
85 7225 9,220 29,155 614125 4,397 9,473 20,408 0,01176
86 7396 9,274 29,326 636056 4,414 9,510 20,488 0,01163
87 7569 9,327 29,496 658503 4,431 9,546 20,567 0,01149
88 7744 9,381 29,665 681472 4,448 9,583 20,646 0,01136
89 7921 9,434 29,833 704969 4,465 9,619 20,724 0,01124
90 8100 9,487 30,000 729000 4,481 9,655 20,801 0,01111
91 8281 9,539 30,166 753,571 4,498 9,691 20,878 0,01099
92 8464 9,592 30,332 778688 4,514 9,726 20,954 0,01087
93 8649 9,644 30,496 804357 4,531 9,761 21,029 0,01075
94 8836 9,695 30,659 830584 4,547 9,796 21,105 0,01064
95 9025 9,747 30,822 857375 4,563 9,830 21,179 0,01053
96 9216 9,798 30,984 884736 4,579 9,865 21,253 0,01042
97 9409 9,849 31,145 912673 4,595 9,899 21,327 0,01031
98 9604 9,899 31,305 941192 4,610 9,933 21,400 0,01020
99 9801 9,950 31,464 970299 4,626 9,967 21,472 0,01010
1.7. Степени, корни и обратные величины 33
Окончание
1.8. Прогрессии
Последовательность чисел, в которой каждое число связано со последующим
числом в соответствии с каким-либо законом, называется прогрессией.
1.8.1. Арифметическая прогрессия
Последовательные числа арифметической прогрессии связаны общей разно-
стью. Каждый из членов последовательности 3, 6, 9, 12, 15, … получен прибав-
лением числа 3 к предыдущему члену последовательности, т.е. разность про-
грессии равна 3. В общем случае, если a — первый член прогрессии, а d — ее
разность, арифметическая прогрессия имеет следующий вид:
Член прогрессии 1-й 2-й 3-й 4-й последний
Значение a a+d a+ 2d a+ 3d, … a + (n — 1)d
где n — количество членов прогрессии.
Сумма Sn всех членов прогрессии определяется как среднее значение чле-
нов, умноженное на количество членов прогрессии, т.е.:
Sn [(первый последний) / 2]
(їисло їленов)
[(a a (n 1)d) /2]
n (n/2)[2a (n 1)d].
1.8.2. Геометрическая прогрессия
Последовательные числа геометрической прогрессии связаны общим знамена-
телем. Каждый из членов последовательности 3, 6, 12, 24, 48, … получен ум-
ножением предыдущего члена последовательности на 2. В общем случае, если
a — первый член прогрессии, а r — знаменатель, то геометрическая прогрес-
сия имеет вид:
Член прогрессии 1-й 2-й 3-й 4-й последний
Значение a ar ar2 ar3, ... arn-1
где n — количество членов прогрессии.
Сумму Sn всех членов прогрессии можно найти следующим образом:
Sn a ar ar ar ar
2 3 n 1
. (1)
Умножая каждый член уравнения (1) на r, получаем
rSn ar ar ar ar ar
2 3 n 1 n
. (2)
Вычитание уравнения (2) из уравнения (1) приводит к результату:
Sn r a ar
(1 ) n ,
Sn a r r
[ (1 n)] / (1 ). (3)
Или же, умножая числитель и знаменатель последнего уравнения на 1,
получаем:
Sn ar r
[ ( n 1)] / ( 1). (4)
34 Глава 1. Инженерная математика
Обычно используется уравнение (3), когда r < 1, и (4), когда r > 1.
Когда 1
< r < 1, каждый член геометрической прогрессии меньше, чем
предыдущий; в этом случае говорят, что последовательность сходится. Можно
найти сумму всех членов сходящейся последовательности. Такую сумму назы-
вают суммой бесконечной геометрической прогрессии. Членa(1 rn)/1 r
можно переписать в виде [a/(1 r)] [arn /1 r]. Поскольку r меньше 1, r n
становится все меньше и меньше при возрастании n. Когда n становится очень
большим, значение r n практически равно нулю, и таким образом[ar n/1 r]
становится равным нулю. Отсюда следует, что сумма бесконечной геометриче-
ской прогрессии равнаa/ (1 r) для случая 1
< r < 1.
1.8.3. Гармоническая прогрессия
Гармоническую прогрессию образуют числа, обратные последовательным чле-
нам арифметической прогрессии. Так, для арифметической прогрессии 1, 2, 3,
4, 5, … соответствующая гармоническая прогрессия имеет вид: 1, 1/2, 1/3, 1/4,
1/5, … .
1.9. Тригонометрические формулы
1.9.1. Основные определения
В прямоугольном треугольнике, показанном ниже, a — сторона, противолежа-
щая углу A (opp), b — гипотенуза треугольника (hyp), а с — сторона, прилежа-
щая углу A (adj). По определению:
sin / /
cos / /
/ /
A opp hyp a b
A adj hyp c b
A opp adj a c
tg
cosecA hyp opp b a A
A hyp adj b c A
ctgA
/ / / sin
/ / / cos
1
sec 1
adj/opp c/a 1 / tgA,
где opp — сторона, противолежащая
углу A, adj — сторона, прилежащая к
углу A, hyp — гипотенуза.
1.9.2. Тождества
sin2A cos2A 1
1 tg2A sec2A
1 ctg2A cosec2A
sin( A) sinA
cos( A) cosA
tg( A) tgA
1.9. Тригонометрические формулы 35
1.9.3. Составные формулы и формулы двойного угла
sin( ) sin cos cos A B A B AsinB
sin(A B) sinAcosB cosAsinB
cos(A B) cosAcosB sinAsinB
cos(A B) cosAcosB sinAsinB
tg(A B) (tgA tgB)/(1 tgA tgB)
tg(A B) (tgA tgB)/(1 tgA tgB)
sin2A 2sinAcos A
cos2A cos2A sin2A 2cos 2 A 1 1 2 sin2 A
tg2A (2tgA)/(1 tg 2A)
1.9.4. Формулы «произведение—сумма»
sinAcosB [sin(A B) sin(A B)] 1
2
cosAcosB [cos(A B) cos(A B)] 1
2
cosAsinB [sin(A B) sin(A B)] 1
2
sinAsinB [cos(A B) cos(A B)] 1
2
1.9.5. Формулы треугольника
С учетом обозначений, указанных на рисунке:
Теорема синуов:
a/ sinA b/ sinB c/ sinC.
Теорема косинусов:
a2 b2 c2 2bccosA
b2 a2 c2 2accosB
c2 a2 b2 2abcosC.
Площадь:
Площадь =
1
2
1
2
1
2
ab sinC bc sin A ca sinB
Также:
Площадь = s(s a)(s b)(s c),
где s — полупериметр, т.е.s (a b c)/ 2.
1.10. Круг и окружность: некоторые определения
и свойства
Для круга диаметром d и радиусом r:
Длина окружности равна d или 2 r.
Площадь круга равна d 2 / 4 или r 2 .
36 Глава 1. Инженерная математика
Дуга окружности — это ее часть.
Касательной к окружности называют прямую ли-
нию, соприкасающуюся с окружностью только в од-
ной точке. Радиус, проведенный в точку касания, об-
разует с касательной прямой угол.
Сектором круга называют область, ограниченную
дугой окружности и двумя радиусами. Площадь сектора
равна
1
2
r 2 , где — угол между радиусами в радианах.
Хордой называют прямую линию, соединяющую
две точки окружности. При пересечении двух хорд
произведение длин частей одной хорды равно произ-
ведению длин частей второй хорды. На рис. 1
AE
BE CE
ED.
Сегментом круга называют область, ограничен-
ную хордой и дугой окружности. Углы, построенные
на одном и том же сегменте, равны: на рис. 2 угол A =
= угол B.
1.10.1. Круг: площадь и длина окружности
Диаметр Площадь Длина
окружности Диаметр Площадь Длина
окружности Диаметр Площадь Длина
окружности
1 0,7854 3,142 24 452,39 75,40 47 1734,9 147,7
2 3,1416 6,283 25 490,87 78,54 48 1809,6 150,8
3 7,0686 9,425 26 530,93 81,68 49 1885,7 153,9
4 12,566 12,57 27 572,56 84,82 50 1963,5 157,1
5 19,635 15,71 28 616,75 87,96 51 2042,8 160,2
6 28,274 18,85 29 660,52 91,11 52 2123,7 163,4
7 38,485 21,99 30 706,86 94,25 53 2206,2 166,5
8 50,265 25,13 31 754,77 97,39 54 2290,2 169,6
9 63,617 28,27 32 804,25 100,5 55 2375,8 172,8
10 78,540 31,42 33 855,30 103,7 56 2463,0 175,9
11 95,033 34,56 34 907,92 106,8 57 2551,8 179,1
12 113,10 37,70 35 962,11 110,0 58 2642,1 182,2
13 132,73 40,84 36 1017,9 113,1 59 2734,0 185,4
14 153,94 43,98 37 1075,2 116,2 60 2827,4 188,4
15 176,71 47,12 38 1134,1 119,4 61 2922,5 191,6
16 201,06 50,27 39 1194,6 122,5 62 3019,1 194,8
17 226,98 53,41 40 1256,6 125,7 63 3117,2 197,9
18 254,47 56,55 41 1320,3 128,8 64 3217,0 201,1
19 283,53 59,69 42 1385,4 131,9 65 3318,3 204,2
20 314,16 62,83 43 1452,2 135,1 66 3421,2 207,3
21 346,36 65,97 44 1520,5 138,2 67 3525,7 210,5
22 380,13 69,11 45 1590,4 141,4 68 3631,7 213,6
23 415,48 72,26 46 1661,9 144,5 69 3739,3 216,8
1.9. Тригонометрические формулы 37
1
2
Диаметр Площадь Длина
окружности Диаметр Площадь Длина
окружности Диаметр Площадь Длина
окружности
70 3848,5 219,9 80 5026,5 251,3 90 6361,7 282,7
71 3959,2 223,1 81 5153,0 254,5 91 6503,9 285,9
72 4071,5 226,2 82 5381,0 257,6 92 6647,6 289,0
73 4185,4 229,3 83 5410,6 260,8 93 6792,9 292,2
74 4300,8 232,5 84 5541,8 263,9 94 6939,8 295,3
75 4417,9 235,6 85 5674,5 267,0 95 7088,2 298,5
76 4536,5 238,8 86 5808,8 270,2 96 7238,2 301,6
77 4656,6 241,9 87 5944,7 273,3 97 7389,8 304,7
78 4778,4 245,0 88 6082,1 276,5 98 7543,0 307,9
79 4901,7 248,2 89 6221,1 279,6 99 7697,7 311,0
1.11. Квадратные уравнения
Решением (корнем) квадратного уравнения:
ax 2 bx c 0
является:
x
b b ac
a
2 4
2
1.12. Натуральные логарифмы
Натуральный логарифм действительного числа x обозначается как ln x. По
определению, он равен такому числу, что:
eln x x,
где e = 2,1782 является основанием натурального логарифма.
Натуральный логарифм обладает следующими свойствами:
ln(xy) lnx lny
ln(x/y) lnx lny
ln(yx ) xlny
1.13. Статистика: введение
1.13.1. Основные понятия
В большинстве руководств, имеющих отношение к вопросам контроля качест-
ва, предполагается некоторый базовый уровень знаний по статистике, необхо-
димый для должного понимания углубленной статистики, лежащей в основе
этого предмета. В кратком вводном курсе, предлагаемом далее, содержатся
сведения, которые потребуются читателям при последующем изучении раз-
личных руководств, связанных с контролем качества.
38 Глава 1. Инженерная математика
Окончание
Среднее арифметическое или просто среднее — это среднее значение набора
данных. Чтобы его найти, нужно сложить вместе значения всех членов набора
данных и затем разделить сумму на количество членов в наборе. Математиче-
ски это можно выразить следующим образом:
X X (1 X2 XN)/N
Таким образом, среднее арифметическое набора чисел 4, 6, 9, 3 и 8 будет
(4 + 6 + 9 + 3 + 8)/5 = 6.
Медиана — это или серединное значение, или среднее двух серединных
значений последовательности чисел, расположенных в порядке возрастания.
Так, медиана последовательности 3, 4, 5, 6, 8, 9, 13 и 15 равна (6 + 8)/2 = 7, а
медиана последовательности 4, 5, 7, 9, 10, 11, 15, 17 и 19 равна 10.
Мода — это значение, которое наиболее часто встречается в наборе чисел.
Таким образом, мода набора 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 9 и 9 равна 6.
Размах набора чисел — это разность между максимальным и минималь-
ным значениями в наборе. Так, размах набора чисел 3, 2, 9, 7, 4, 1, 12, 3, 17 и
4 равен 17 1
= 16.
Стандартное отклонение, иногда называемое среднеквадратическим откло-
нением, определяется как:
s [(X1 X) (X X) (XN X) ] /N
2
2
2 2
.
.
Так, для чисел 2, 5 и 11 среднее значение равно (2 + 5 + 11)/3 = 6. Следова-
тельно, стандартное отклонение:
s [(2 6)2 (5 6)2 (11 6)2]/3 (16 1 25)/3 14 3,74.
Обычно s используется для обозначения стандартного отклонения гене-
ральной совокупности (полного набора чисел), а у используется для обозначе-
ния стандартного отклонения выборки.
1.13.2. Вероятность
Пусть x — количество элементарных событий, благоприятных для некоторого
события A, а n — полное количество всех возможных и равновероятных элемен-
тарных событий; тогда вероятность события A определяется как p = x/n. Вероят-
ность события есть число от 0 до 1. Если q — вероятность того, что данное со-
бытие не произойдет, то из сказанного ранее следует, что p + q = 1. Так, при
бросании правильной шестигранной игральной кости (т.е. кубика с цифрами),
вероятность выпадения определенного числа, например трех, равна 1/6, так как
у кубика шесть граней и число 3 присутствует только на одной из них.
1.13.3. Биномиальное распределение
Биномиальное распределение применительно к контролю качества может быть
определено следующим образом. Вероятность получить 0, 1, 2, 3, …, n дефект-
ных изделий в выборке из n изделий, полученной случайным образом из гене-
ральной совокупности, для которой вероятность появления дефектного изде-
лия равна p, а недефектного — q, определяется последовательными членами
разложения(q p)n начиная с правого члена разложения.
1.13. Статистика: введение 39
Так, если выборка, состоит, например, из четырех деталей, выбранных слу-
чайным образом из продукции станка, производящего в среднем 5 % дефектных
деталей, то вероятность получить 0, 1, 2, 3 или 4 дефектные детали в выборке мо-
жет быть определена следующим образом. Повторным умножением получаем:
(q p)4 q4 4q3p 6q2p2 4qp3 p4.
Значения q и p равны соответственно 0,95 и 0,05. Тогда:
(0,95 0,05)4 0,954 4
0,953
0,05 6
0,952
0,052 4
0,95 0 05
0 05 0 8145 0 1715 0 011354
3
4
,
, , , , ...
Это означает, что:
1) 81 % выборок, вероятно, не содержит дефектных деталей;
2) 17% выборок, вероятно, содержит одну дефектную деталь;
3) 1 % выборок, вероятно, содержит две дефектные детали;
4) маловероятно, что в выборке попадутся три или четыре дефектные детали.
Что касается контроля качества, то, если при повторных выборках такое
процентное соотношение приблизительно сохраняется, контролер может сде-
лать вывод, что станок продолжает производить около 5 % дефектных деталей.
Однако если процентное соотношение изменяется, то, вероятно, процент бра-
ка также изменяется. Точно так же покупатель, получающий большую партию
изделий, может, используя случайные выборки, подсчитать количество дефек-
тных изделий в выборках и с помощью биномиального распределения оценить
вероятное количество дефектных изделий во всей партии.
1.13.4. Распределение Пуассона
Вычисления с использованием биномиального распределения могут оказаться
очень трудоемкими, если количество n деталей в выборке больше шести или
семи. В этом случае распределение Пуассона является хорошим приближением
биномиального распределения. Оно определено следующим образом.
Если вероятность наступления события в любой момент постоянна и мате-
матическое ожидание np наступления события равно л, тогда вероятность на-
ступления события 0, 1, 2, 3, 4, … раз определяется как:
e , e , 2e /2!, 3e /3!, 4e /4!, ... ,
где e — константа 2,71828... и 2! = 2 Ї 1, 3! = 3 Ї 2 Ї 1, 4! = 4 Ї 3 Ї 2 Ї 1, и т.д.
(здесь 4! читается как «четыре факториал»).
Применение распределения Пуассона к использованному выше для иллю-
страции применения биномиального распределения примеру со станком, про-
изводящим 5 % дефектных деталей, дает:
математическое ожидание np = 4 Ї 0,05 = 0,2
вероятность отсутствия дефектных деталей равна e = e 0 2 , = 0,8187
вероятность наличия одной дефектной детали равна e = 0,2e 0,2 = 0,1637
вероятность наличия двух дефектных деталей равна 2e /2! = 0,22e 0,2/2 = 0,0164.
Можно видеть, что вероятности, приблизительно равные 82, 16 и 2 %, хо-
рошо согласуются с результатами, полученными ранее.
40 Глава 1. Инженерная математика
1.13.5. Нормальное распределение
Данные, связанные с измерением таких величин, как масса длина, время и
температура, называются непрерывными, так как они могут принимать любые
значения в заданном диапазоне. Предположим, что распределение длин де-
талей, произведенных некоторым стан-
ком, будет представлено в виде графи-
ка, как показано на рисунке; тогда форму
данного графика можно определить мате-
матически. Она определяется формулой
y (1/ ez, где z x2/ 2 2, — стан-
дартное отклонение набора данных; x —
частота, с которой данной значение встре-
чается. Такая кривая называется графиком
вероятности нормального распределения
или кривой нормального распределения.
Наиболее важными для контроля каче-
ства являются следующие свойства данной кривой.
1. Площадь области, ограниченной кривой и двумя вертикальными линия-
ми, отстоящими на ±1 стандартное отклонение от среднего значения, состав-
ляет примерно 67 % общей площади.
2. Площадь области, ограниченной кривой и вертикальными линиями, от-
стоящими на ±2 стандартных отклонения от среднего значения, составляет
примерно 95 % общей площади.
3. Площадь области, ограниченной кривой и вертикальными линиями, от-
стоящими на ±3 стандартных отклонения от среднего значения, составляет
примерно 99,75 % общей площади.
4. Область, ограниченная кривой, пропорциональна плотности вероятно-
сти в генеральной совокупности
Для иллюстрации использования данных свойств рассмотрим выборку, со-
сотоящую из 30 круглых деталей, полученную случайным образом из партии в
1000 деталей, произведенных станком. Измерением было установлено, что
средний диаметр образцов в выборке равен 0,503 см, а стандартное отклоне-
ние выборки составляет 0,0005 см.
Если допустимыми являются, например, только детали диаметром
0,502—0,504 см, то теоретическую кривую нормального распределения можно
использовать для предсказания процента брака. Допустимый разброс диаметров
деталей составляет 0,504—0,502 = 0,002 см. Так как стандартное отклонение рав-
но 0,0005 см, данный разброс соответствует ±2 стандартным отклонениям. Из
свойства (2), приведенного выше, следует, что 95 % деталей укладываются в до-
пустимый диапазон, т.е. в выборке содержится 28 или 29 допустимых деталей, а
в партии, вероятно, содержится 95 % от 1000, т. е. 950 допустимых деталей.
Данный пример был выбран так, что разброс был равен точно ±2 стандарт-
ным отклонениям. Однако существуют таблицы частичных площадей под кри-
вой нормального распределения, которые позволяют связать любое стандарт-
ное отклонение с площадью под кривой. (Обычно такая таблица называется
«Функция распределения нормированного и центрированного нормального
распределения». — Примеч. пер.)
1.13. Статистика: введение 41
1.14. Дифференциальное исчисление (производные)
Еслиy xn то
dy
dx
nxn 1
Еслиy axn то
dy
dx
anxn 1
Если f(x) axn то f (x) anxn 1
Если y sin то
dy
d
cos
Если y cos то
dy
d
sin
Если y tg то
dy
d
sec 2
Если y ctg то
dy
d
cosec 2
Если y sec то
dy
d
tg sec
sin
cos 2
Если y cosec то
dy
d
ctg cosec
cos
sin2
Если y
x
a
sin 1 то
dy
dx a x
1
2 2
Если y
x
a
cos 1 то
dy
dx a x
1
2 2
Если y
x
a
tg 1 то
dy
dx
a
a x
2 2
Если y
x
a
ctg 1 то
dy
dx
a
a x
2 2
Если y
x
a
sec 1 то
dy
dx
a
x x a
2 2
Если y
x
a
cosec 1 то
dy
dx
a
x x a
2 2
Если y ex то
dy
dx
e x
Если y eax то
dy
dx
ae ax
Еслиy ax то
dy
dx
ax lna
Еслиy lnx то
dy
dx x
1
Производная произведения
Еслиy uv, где u и v — функции от x, тогда
dy
dx
u
dv
dx
v
du
dx
42 Глава 1. Инженерная математика
Производная частного
Еслиy u/v, где u и v — функции от x, тогда
dy
dx
v
du
dx
u
dv
dx
v
2
Производная сложной функции
Если y есть функция от x, тогда
dy
dx
dy
du
du
dx
Последовательное дифференцирование
Еслиy f(x), тогда ее первая производная записывается в виде
dy
dx
или f (x).
Если это выражение продифференцировать второй раз, то получится вторая
производная, которая записывается в виде
d y
dx
2
2
или f (x).