eng
Содержание
Содержание
Предисловие ..................................................................................... 4
Предисловие редактора серии «Шедевры науки» .......................10
Предисловие к четвертому изданию ............................................11
Предисловие к первому изданию .................................................13
Глава 1. Отпечатки пальцев ..........................................................14
Глава 2. Пустая полоса ..................................................................29
Глава 3. Знания о числах ...............................................................42
Глава 4. Последнее число ..............................................................59
Глава 5. Символы ...........................................................................75
Глава 6. Невыразимое ....................................................................93
Глава 7. Этот неустойчивый мир ................................................ 109
Глава 8. Искусство становления ................................................. 125
Глава 9. Заполнение пробелов .................................................... 147
Глава 10. Территория чисел ........................................................ 159
Глава 11. Анатомия бесконечности ............................................ 180
Глава 12. Две реальности ............................................................. 199
Приложение А. О записи чисел ................................................... 215
Приложение Б. Истории о целых числах ................................... 229
Приложение В. О корнях и радикалах ....................................... 250
Приложение Г. О принципах и аргументах ............................... 269
Послесловие .................................................................................. 282
Замечания ...................................................................................... 288
Предисловие
Книга, которую вы держите в руках, – результат многолетних размышлений
о Числе и ода красоте математики.
Это классическое произведение, посвященное эволюции понятия
Числа. Да, Число развивалось, и будет продолжать развиваться.
Но как оно появилось? Мы можем только предполагать.
Возможно, впервые Число появилось в языке в качестве прилагательного?
Три коровы, три дня, три мили. Представьте, какое возбуждение
вы бы почувствовали, если бы вы были первым человеком,
которого внезапно посетила блестящая мысль о том, что единая
нить связывает «три коровы» с «тремя днями» и что, возможно,
стоит иметь дело с их общей «тройственностью». Если когда-либо
так и случилось с одним человеком в один момент, то это стало
колоссальным скачком вперед. Ведь отделенное понятие «тройственности
», собирательное три, охватывает намного больше, чем коровы
или дни. Ведь теперь достигнута стадия, когда можно сравнить,
например, один день с тремя днями, понимая, что вторая продолжительность
втрое больше, чем первая; представляя с еще одной
точки зрения «три», т.е. связывая его с действием утроения. Три,
если хотите, воплощено в глаголе утраивать.
А возможно число появилось совсем иначе, в результате некоего
волшебства, например, как в детском стишке «Раз, два, три –
елочка гори».
Однако число появилось, и история продолжается, и Число,
скромное Число, больше чем когда-либо приковывает к себе наше
внимание. Мы пытаемся понять, что же это такое. Ранние пифагорейцы
должны бы танцевать в своих пещерах.
Если бы я был человеком, который стремится побольше узнать
о математике, но у которого никогда на это не было времени,
и если бы я оказался в одиночестве на пресловутом «необитаемом
острове», то первая книга, которую я надеялся бы взять с
собой, по правде говоря, была бы хорошим руководством по плаванию.
Но вот второй книгой вполне могла бы быть эта. Поскольку
Данцигу удалось решить самые важные задачи научного
изложения: сделать его доступным для читателей с математическим
образованием, не превышающим объем средней школы; ясно
и отчетливо изложить материал самый существенный для рассказываемых
историй; рассказать наиболее важные истории и – что
крайне редко удается авторам – объяснить идеи, а не просто указать
на них.
Один из самых интересных сюжетов в истории Числа связан с
изменением этого понятия по мере расширения республики чисел:
от натуральных чисел
1, 2, 3, …
к государству, в которое вошли отрицательные числа и ноль
… –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …
затем дроби, действительные числа, комплексные числа, а потом,
посредством различных форм колонизации, бесконечность и иерархия
бесконечностей. Данциг выясняет причины таких расширений
– именно этот лейтмотив придает целостность истории, связывая
отдельные шаги в единый рассказ. Обсуждая расширение
понятия числа, Данциг цитирует Луи XIV. Когда короля Луи XIV
спросили, в чем заключается основополагающий принцип его внешней
политики, он цинично ответил: «Аннексия! Потом всегда можно
найти толкового юриста, чтобы оправдать это действие». Но сам
Данциг ничего не оставляет юристам. Он предлагает внимательно
взглянуть на муки рождения новых понятий в математике, при
этом всегда сосредотачиваясь на жизненно важном вопросе, пронизывающем
всю эту историю: Что означает, что математический
объект существует? Данциг, комментируя появление комплексных
чисел, говорит: «Столетиями [комплексные числа] играли роль
мистической связи между разумом и воображением». Он цитирует
Лейбница, чтобы выразить это смятение в умах:
«Божественный дух нашел чудесное убежище в этом чуде анализа,
знамении идеального мира, почти амфибии между бытием
и небытием, которое мы называем мнимым корнем из отрицательного
числа». (с. 178)
Данциг описывает и свои первоначальные затруднения:
«Вспоминаю свои собственные впечатления, когда я впервые
был посвящен в тайны комплексных чисел. Я помню свое недоумение,
поскольку величины очевидно невозможные тем не менее
допускают манипуляции, что приводит к конкретным результатам.
Я чувствовал неудовлетворенность, беспокойство, желание
наполнить содержанием эти иллюзорные создания, эти пустые
символы. Затем я узнал о конкретной геометрической интерпретации
этих величин. И это принесло немедленное облегчение,
поскольку загадка была раскрыта и призрак, внушавший мне
опасения, оказался совсем не призраком, а частью привычного
окружения». (с. 212)
Взаимодействие между алгеброй и геометрией – это еще одна
из великих глав в истории математики. Магия школьной аналитической
геометрии, которая позволяет нам описывать интригующие
геометрические кривые простыми алгебраическими формулами
и выявлять скрытые свойства геометрии, решая простые
уравнения, в современной математике выросла в могущественную
взаимосвязь алгебраического и геометрического мышлений,
взаимно укрепляющих друг друга. Рене Декарт заявил: «Я позаимствую
все лучшее из геометрического анализа и из алгебры, и
исправлю все недостатки первого с помощью второй». Сэр Майкл
Атьи, сравнивая геометрическую интуицию с чрезвычайной эффективностью
алгебраических методов, написал недавно:
«Алгебра это предложение, сделанное дьяволом математику.
Дьявол говорит: Я дам тебе мощный механизм, который ответит
на любой твой вопрос. Все, что тебе нужно сделать, это отдать
мне свою душу – откажись от геометрии и ты получишь этот
удивительный механизм»1.
Какой такт потребовался от Данцига, чтобы рассказать о тысячелетнем
флирте между арифметикой и геометрией, не сглаживая
Фаустовы углы этой любовной истории!
В книге Евклида «Элементы геометрии» мы встречаем такое
определение прямой: «Определение 2. Прямая это длина без ширины». Теперь мы смотрим на этот важнейший элемент планиметрии
немного под другим углом. Мы видим числовую ось, представленную
горизонтальной прямой линией, которая продолжается
бесконечно в обоих направлениях и на которой все числа: положительные,
отрицательные, целые, дробные, или иррациональные –
занимают свое место. Чтобы изобразить изменение во времени,
мы также обращаемся к грубой модели, временной шкале, снова
представленной горизонтальной прямой линией, которая продолжается
бесконечно в обоих направлениях, и обозначаем ею совершенную,
никогда не постижимую, вечно движущуюся систему
прошлого/настоящего/будущего, в которой, как нам кажется, мы
живем. История о том, как эти различные концепции прямой линии
уживаются одна с другой – еще один сюжет в истории Данцига.
Данциг искренне отстаивает свою точку зрения в дискуссии
о взаимосвязи времени с математикой. Он противопостав-
1 Atiyah, Sir Michael. Special article: Mathematics in the 20th Century. Page 7.
Bulletin of the London Mathematical Society, 34 (2002), 1–15.
ляет теорию Кантора, в которой активно используются бесконечные
процессы, теорию которую он называет «откровенно динамичной», теории Дедекинда, о которой отзывается как о «статичной». Нигде в определении действительного числа, говорит Данциг, Дедекинд даже «не использует явно ни слово бесконечный,
ни такие слова, как стремится, возрастает бесконечно, сходится,
предел, меньше любой заранее заданной величины и тому
подобные».
Дочитав до этого места повествование Данцига, мы можем
подумать, что мы нашли то, что так долго искали, поскольку
Данциг пишет:
«На первый взгляд кажется, что здесь [в определении Дедекинда
действительных чисел] мы полностью освободили концепцию
числа от гнета интуитивного представления о времени». (с. 156)
Конечно, эта иллюзия «полного освобождения» едва ли выдержит
второй взгляд Данцига; и вечные вопросы, касающиеся
времени и его математического представления, касающиеся континуума
и его взаимосвязи с физическим временем или нашим
реальным временем, – проблемы, известные со времен Зенона, –
постоянно сопровождают повествование о развитии числа, которое
вы читаете.
Данциг спрашивает: Насколько критично мир, научный мир,
оценивает влияние математического мира, и наоборот?
«Человек науки будет действовать, как если бы этот мир был
абсолютным и подчинялся законам, не зависящим от мыслей и
действий человека. И когда он открывает закон, удивительный
по своей простоте или всеохватности, или закон, указывающий
на совершенную гармонию мироздания, то вполне разумно поинтересоваться,
какую роль его разум сыграл в этом открытии?
Раскрывает ли прекрасный образ, который человек увидел в осколке
бесконечности, природу этой бесконечности, или это просто
отражение его собственного разума».
Данциг пишет:
«Математика можно сравнить с дизайнером одежды, который
довольно часто забывает о тех людях, которым его одежда могла
бы подойти. Конечно, его искусство возникло из необходимости
одевать этих людей, но это было очень давно; а наша одежда
иногда принимает настолько причудливые формы, что кажется
созданной ради себя самой. Поэтому нет конца восхитительным
сюрпризам!»
Это несколько напоминает по тону знаменитое эссе Юджина
Вигнера «Необъяснимая эффективность математики в естественных
науках». Но Данциг идет дальше, предлагая читателям свои
собственные, глубоко продуманные представления о субъективной
реальности и объективной реальности. Объективная реальность,
согласно Данцигу, это впечатляюще большое вместилище, в котором
хранятся все знания, полученные человечеством (в том числе
и данные, полученные при помощи научной аппаратуры). Он принимает
определение, которое дал Пуанкаре: «объективная реальность
– это то, что общо нескольким мыслящим существам и могло
бы быть общо всем», чтобы подготовить плацдарм для своего
анализа взаимосвязи между Числом и объективной истиной.
По крайней мере в одном из переопределений этих могущественных
слов субъект и объект, сделанных Иммануилом Кантом,
ведущую роль играет такое тонкое понятие, введенное Кантом, как
«sensus communis». Так он называл внутренний «общий голос», каким-
то образом встроенный в каждого из нас и позволяющий нам
предполагать, какие выводы сделает остальная часть человечества.
Объективной реальности Пуанкаре и Данцига, кажется, также
необходимо, чтобы мы обладали некой способностью, чемто
вроде внутреннего голоса, который сообщал бы нам что-то о
других людях. Объективная реальность Пуанкаре-Данцига – это
фундаментальное субъективное согласие о том, что общее или
то, что могло бы быть общим, является объективным. Этот взгляд
уже предупреждает нас об основополагающем порочном круге,
скрывающемся за многими рассуждениями относительно объективности
и числа и, в частности, за сентиментальностями эссе
Вигнера.
Мы с братом Джо подарили нашему отцу книгу «Число –
язык Науки», когда ему было чуть больше 70 лет. У отца не
было специального математического образования, но сохранилась
пылкая любовь к алгебре, которую он учил в школе. Давным-
давно, когда мы были совсем юными, наш отец посвятил
нас в некоторые чудеса алгебры. «Я расскажу вам секрет», –
начал он заговорщическим голосом. Он рассказал нам, как, используя
магическую силу символа X, мы сможем найти число,
которое после удвоения и прибавления единицы дает 11. Я был
абсолютно буквально мыслящим малышом и действительно думал,
что X – это наш семейный секрет, до тех пор пока меня не
вывели из заблуждения об этом присвоении через несколько
лет на уроке математики.
Мы удивительно верно выбрали в подарок книгу Данцига.
Отец работал над этой книгой, исписал поля замечаниями, вычислениями,
толкованиями; он перечитывал ее снова и снова.
Он увлекся числами из этой книги; он проверил свои собственные
варианты проблемы Гольдбаха и назвал вариациями на тему
Гольдбаха. Одним словом, он был в восторге.
И в этом нет ничего удивительного, поскольку книга Данцига
захватывает и ум, и душу; это одна из немногих великих книг, в
которых популярно излагается классическая математика, действительно
доступных каждому.
Барри Мазур
Текст этого издания книги основан на четвертом издании, опубликованном
в 1954 году. В это издание включены новые предисловие,
послесловие, раздел пояснений в конце книги и снабженная
комментариями библиография, оригинальные иллюстрации
были перерисованы.
Четвертое издание было поделено на две части. Первая часть
«Развитие понятия числа» состояла из 12 глав, составляющих текст
настоящего издания. Вторая часть «Проблемы старые и новые»
была более специализированной, и в ней глубоко обсуждались
конкретные концепции. В этом издании сохранены обе части,
только теперь вторая часть вынесена из основного текста в приложения
и название «часть» убрано из обоих разделов.
Вторая часть книги Данцига содержит меньше описаний и больше
формул; в ней меньше рассказывается об идеях и больше о
методах, что позволяет Данцигу изложить технические подробности
в более сжатой форме. Поэтому к этой части не требуется
пояснений и дополнительных комментариев. Можно было бы
ожидать, что пятьдесят лет развития математики приведут к необходимости
внесения изменений в раздел «Проблемы старые и новые
», но это название обманчиво. Проблемы, рассмотренные в
этом разделе, не старые и не новые; это подборка классических
задач, выбранных автором, чтобы показать, что такое математика.
В предыдущем издании параграфы внутри каждой главы были
пронумерованы. Поскольку такая схема нумерации служила лишь
для того, чтобы подчеркнуть переход к новой мысли, в данном
издании номера параграфов устранены и заменены увеличенным
междустрочным интервалом.
Предисловие к четвертом изданию
С тех пор как я написал эту книгу, прошло около четверти века.
У меня есть основания считать ее первопроходческой, поскольку
эволюция концепции числа, хотя и является предметом оживленной
дискуссии среди профессиональных математиков, логиков и
философов, никогда еще не выносилась на суд широкой публики
в качестве вопроса культуры. Действительно, в то время никто не
знал, достаточно ли много непрофессионалов интересуется этими
вопросами, чтобы издание книги было оправданно. Одобрительная
реакция на книгу, как у нас, так и за рубежом, и множество
книг примерно по той же тематике, появившихся вслед за
ней, развеяли эти сомнения. Существование громадного количества
читателей, интересующихся культурными аспектами математики
и наук, зависящих от математики, теперь стало подтвержденным
фактом.
Автора, находящегося уже в преклонном возрасте, вдохновляет
сознание того, что постоянные требования читателей стали
причиной нового издания его первой литературной пробы; и
именно с таким настроением я подошел к переработке этой книги.
Но в процессе работы я чрезвычайно много узнал об удивительных
изменениях, которые произошли с момента последнего
издания книги. Прогресс в технологии, широкое распространение
статистических методов, успехи электроники, появление ядерной
физики и, самое главное, возрастающее значение электронных
вычислительных машин – все это превосходит ожидания
той категории людей, которые косвенно связаны с математической
деятельностью; в то же время значительно вырос уровень
математического образования. Таким образом, сейчас я столкнусь
не просто с более широкой аудиторией, но с гораздо более
умудренной и требовательной аудиторией, чем та, к которой я
обращался более двадцати лет назад. Эти здравые размышления
оказали решающее влияние на план нового издания. Удалось ли
мне ответить на вызов, брошенный изменившимся временем, –
об этом судить читателю.
За исключением нескольких абзацев, измененных в соответствии
с новыми данными, первая часть «Развитие понятия числа
» в настоящем издании является дословным воспроизведением
первоначального текста. Однако вторая часть «Проблемы старые
и новые» – в сущности, новая книга. Более того, хотя в первой
части больше рассказывается о концепциях и идеях, все же вторую часть не следует рассматривать как комментарии к первоначальному
тексту; она является целостным изложением истории
развития методов и доказательств в теории чисел. Отсюда можно
сделать вывод, что четыре главы раздела «Проблемы старые и
новые» более насыщенны в техническом плане, чем все первоначальные
двенадцать глав, и это действительно так. С другой стороны,
среди рассматриваемых там предметов очень мало тем,
представляющих общий интерес, и читатель может легко пропустить
технические разделы, не теряя общей нити рассуждений.
Тобиас Данциг
Пасифик Палисейдс (Pacific Palisades)
Калифорния
1-е сентября, 1953 год
Эта книга посвящена идеям, а не методам. Все не относящиеся к
делу технические подробности намерено опущены, и, чтобы понять
рассматриваемые вопросы, достаточно математической подготовки,
полученной в средней школе.
Но хотя эта книга и не предполагает со стороны читателя математического
образования, она предполагает нечто более редкостное:
способность воспринимать и оценивать идеи.
Более того, хотя в этой книге опущены технические аспекты
предмета, она написана не для тех, кого мучает неискоренимый
ужас перед символами, и не для тех, кто по своей сущности не
видит форм. Это книга по математике: в ней обсуждаются символы
и формы, а также идеи, скрывающиеся за символами и формами.
Автор считает, что наша школьная программа, отбрасывая
культурное содержание математики и оставляя лишь голый каркас
технических подробностей, подавляет многие светлые умы.
Цель этой книги – восстановить это культурное содержание и
представить эволюцию числа как часть истории человечества, чем
она, собственно, и является.
Это не книга по истории предмета. Однако исторический подход
использовался много раз, чтобы выявить ту роль, которую
интуиция сыграла в развитии математических концепций. История
числа здесь разворачивается как историческая процессия идей,
связанных с людьми, которые создавали эти идеи, и эпохами,
порождавшими этих людей.
Можно ли фундаментальные вопросы науки о числе представить
без привлечения всего хитроумного аппарата этой науки? Я
верю, что это можно сделать, и заявляю об этом своей книгой.
Судить будет тот, кто прочитает!
Тобиас Данциг
Вашингтон, федеральный округ Колумбия
3 мая, 1930 года
ГЛАВА_1
ОТПЕЧАТКИ ПАЛЬЦЕВ
Год Римлян кончался, когда десять раз луна обернется:
Десять считали они самым почетным числом;
Иль потому, что у нас на руках десять пальцев для счета,
Иль что в десятом всегда месяце жены родят,
Иль что десятка у нас граница во всех исчисленьях
И начинаем опять с новой десятки мы счет.
Овидий, Фасты, III
(Перевод Ф. Петровского)
Человек, даже на самых ранних стадиях развития, обладает даром,
который я, за неимением лучшего названия, назову чувством
числа. Этот дар позволяет ему осознавать, что в небольшом
наборе объектов что-то изменилось, когда достоверно неизвестно,
устранен какой-то объект или добавлен к набору.
Чувство числа не нужно путать со счетом, который, вероятно,
является более поздним приобретением и предполагает, как мы
увидим, более сложные умственные процессы. Счет, насколько
известно, является отличительным признаком человека, хотя некоторые
виды животных, кажется, обладают зачаточным чувством
числа, похожим на наше. Во всяком случае, таково мнение компетентных
наблюдателей за поведением животных, и эта теория
подтверждается значительным количеством фактов.
Многие птицы, к примеру, обладают таким чувством числа.
Если в гнезде лежит четыре яйца, то одно, не рискуя, можно
взять, но если убрать два, то птица, скорее всего, покинет гнездо.
Каким-то непостижимым образом птица может отличить два от
трех. Но эта способность присуща не только птицам. Фактически,
самым поразительным примером, который мы знаем, является
такое насекомое, как «пилюльная оса». Матка откладывает яйца
в отдельные ячейки, причем в каждую ячейку она кладет несколько
живых гусениц, которыми будет питаться личинка после того как
вылупится. Количество жертв остается удивительно постоянным
для данного вида ос: одни виды кладут 5 гусениц, другие – 12, а
Глава 1. Отпечатки пальцев 15
еще одни – в два раза больше, т.е. 24 гусеницы в одну ячейку. Но
самым удивительным примером является разновидность ос Genus
Eumenus, у которых мужская особь намного меньше женской.
Каким-то непостижимым способом матка узнает, мужского или
женского пола будет личинка, и соответственно выделяет количество
еды; она не изменяет вид или размер гусениц, но мужским
особям она оставляет пять жертв, а женским – десять.
Закономерность в действиях ос и то, что их действия связаны
с фундаментальной функцией в жизни насекомых, делают этот
последний пример менее убедительным, чем следующий. Здесь
действия птицы кажутся почти сознательными:
Один землевладелец решил застрелить ворону, которая свила
гнездо на сторожевой башне его имения. Неоднократно он пытался
застать птицу врасплох, но безуспешно: как только он приближался,
ворона оставляла свое гнездо. На отдаленном дереве
она настороженно выжидала, пока человек покинет башню, а
затем возвращалась к гнезду. Однажды землевладелец придумал
хитрость: два человека вошли в башню, один остался внутри, а
другой вышел из башни и ушел. Но птица не обманулась, она
держалась поодаль, пока не ушел и второй человек. В последующие
дни эксперимент повторили с двумя, тремя, затем с четырьмя
людьми, и все безуспешно. Наконец в башню направилось
пять человек; как и прежде, все вошли, один остался в башне,
тогда как четверо вышли и ушли. И тут ворона сбилась со счета.
Она не смогла отличить четыре от пяти и сразу же вернулась в
свое гнездо.
Против таких доказательств можно выдвинуть два аргумента.
Во-первых, видов животных, обладающих таким чувством числа,
чрезвычайно мало; среди млекопитающих их не найдено вообще,
и, кажется, даже обезьяны лишены такой способности. Вторым
аргументом является то, что во всех известных случаях чувство
числа у животных так ограниченно по объему, что им можно
пренебречь.
Первое можно понять. В самом деле, примечательно, что способность
воспринимать числа в той или иной форме присуща
только некоторым насекомым и птицам, а также людям. В наблюдениях
и экспериментах над собаками, лошадьми и другими
домашними животными не удалось выявить у них никакого чувства
чисел.
Второй аргумент не имеет большого значения, поскольку
чувство числа у человека также очень ограниченно по объему.
16 Числа – язык науки
Как показывать числа при помощи пальцев (из руководства, опубликованного в 1520 году)
На практике, когда цивилизованному человеку приходится различать
числа, он сознательно или бессознательно помогает непосредственному
чувству числа такими уловками, как распознавание
симметрии, мысленная группировка или счет. Счет в
особенность до такой степени стал неотъемлемой частью наших
мыслительных процессов, что психологические тесты на восприятие
чисел сталкиваются с серьезными трудностями. Тем не менее
в этой области достигнут некоторый прогресс; тщательно
выполненные эксперименты привели к неизбежному заключению,
что визуальное чувство числа среднего цивилизованного человека
редко выходит за пределы четырех, а тактильное чувство
числа еще более ограниченно по объему.
Это в значительной степени подтверждается антропологическими
исследованиями людей, находящихся в первобытном состоянии.
Обнаружено, что представители тех сообществ, которые
еще не достигли стадии счета на пальцах, почти полностью
лишены всякого восприятия числа. Такие эксперименты проводились
в различных племенах, живущих в Австралии, на островах
южных морей, в Южной Америке и в Африке. Этнограф Керр,
проводивший всесторонние исследования аборигенов Австралии,
утверждает, что лишь немногие из них могут отличить число четыре,
и никто из австралийцев, живущих в условиях первобытного
общества, не может распознать число семь. У бушменов Южной
Африки есть только три цифровых слова: один, два и много, и
эти слова такие невнятные, что можно усомниться, приписывают
ли аборигены этим словам ясное значение.
У нас нет причин верить и есть множество причин сомневаться
в том, что у наших далеких предков дела обстояли лучше;
практически все европейские языки несут на себе отпечатки таких
ограничений в древности. Английское слово thrice, как и латинское
ter, имеет два значения: «трижды» и «много». Безусловно,
существует связь между латинскими словами tres – т.е. «три»
и trans – «далеко», «за пределами». То же самое можно сказать о
французских словах tres – «очень» и trios – «три».
Происхождение числа спрятано за непроницаемым покровом
в глубине веков. Родилось ли это понятие из опыта, или накопление
опыта просто способствовало проявлению того, что неявно
уже присутствовало в скрытой форме в глубине древнего разума
– это увлекательный предмет для метафизических рассуждений
и именно поэтому выходит за пределы вопросов, обсуждаемых в
этой книге.
Если судить о наших далеких предках по уровню умственного
развития современных племен, нам придется сделать вывод,
что начало было чрезвычайно скромным. Современное понятие
развилось из рудиментарного чувства числа, не большего по
объему, чем то, которым обладают птицы. И нет сомнений, что
оставшись с этим непосредственным восприятием числа, человек
продвинулся бы не дальше в искусстве счета, чем птицы. Но
благодаря целому ряду примечательных обстоятельств, человек
научился подкреплять свое чрезвычайно ограниченное восприятие
чисел, используя находки, которым суждено было оказать
громадное влияние на всю его жизнь в будущем. Такой находкой
стал счет, и именно счету мы обязаны удивительным прогрессом,
которого мы достигли в стремлении выразить вселенную
числом.
Существуют первобытные языки, в которых есть название для
каждого цвета радуги, но нет слова, обозначающего «цвет»; существуют
и другие, в которых есть названия чисел, но нет слова
«число». То же самое справедливо и в отношении других понятий.
В английском языке есть множество исконно присущих ему
слов для обозначения определенных видов наборов; flock, herd,
set, lot, bunch – все эти слова применяются в конкретных случаях:
стадо, толпа, группа, пучок и т.д.; при том что слова aggregate,
collection, т.е. совокупность, множество – заимствованные.
Конкретное предшествует абстрактному. «Потребовалось много
веков, чтобы обнаружить, – говорит Бертран Рассел, – что и пара
фазанов, и пара дней – все это примеры числа два». До наших дней
в английском языке существует несколько способов выразить понятие
два: pair, couple, set, team, twin, brace и т.д., т.е. пара, двойка,
двойня, чета и т.п.
Поразительным примером чрезвычайной конкретности исходного
понятия числа может служить язык индейцев цимшиан в
Британской Колумбии. В нем существует семь различных наборов
числительных: один для плоских предметов и животных; второй
для круглых предметов и времени; третий для счета людей;
четвертый для длинных предметов и деревьев; пятый для каноэ;
шестой для мер и седьмой для счета предметов, которые нельзя
точно определить. Последние, вероятно, являются недавним достижением;
все остальные пришли из более древних времен, когда
представители племени еще не научились считать.
Именно счет объединил конкретные и, следовательно, разнородные
понятия множественности, характерные для первобытГлава
ных людей, в однородное понятие абстрактного числа, без которого
невозможна математика.
Хотя это может показаться странным, но можно прийти к
логическому, ясному понятию числа, не привлекая счет.
Мы входим в зал. Перед нами два набора: места в аудитории и
студенты. Не считая, мы можем установить, равны ли эти наборы,
и если неравны, то какой из них больше. Если все места заняты и
никто не стоит, мы знаем, не считая, что два набора равны. Если
все места заняты и кто-то в аудитории стоит, мы знаем, не считая,
что студентов больше, чем мест.
Мы узнали об этом, используя понятие, которое господствует
во всей математике и получило название взаимно однозначное соответствие.
Процесс установления взаимно однозначного соответствия
заключается в сопоставлении каждому объекту из одного
множества объекта из другого множества. Этот процесс
продолжается до тех пор, пока одно из множеств или оба не будут
исчерпаны.
Техника счета многих первобытных племен ограничена именно
таким сопоставлением или установлением соответствия. Они
хранят информацию о своих стадах и войсках при помощи зарубок
на дереве или камней в куче. О том, что наши собственные
предки были сведущи в таких методах, свидетельствует этимология
слов tally и calculate, из которых первое произошло от
латинского talea – «зарубка» и второе от латинского calculus –
«камень».
На первый взгляд, кажется, что метод установления соответствий
годится только для сравнения двух наборов, но не для создания
чисел в абсолютном значении этого слова. Однако переход
от относительных чисел к абсолютным не сложен. Необходимо
только создать эталонные наборы, с которыми затем сравнивать
каждый из исследуемых наборов. Оценка любого заданного набора
тогда сводится к выбору подходящего эталонного набора,
каждому элементу которого можно сопоставить элемент из исследуемого
набора.
Первобытный человек обнаруживает такие эталонные наборы
непосредственно вокруг себя: крылья птицы могут обозначать
число два, листья клевера – три, ноги животного – четыре, пальцы
его собственной руки – пять. Свидетельства именно такого
происхождения числительных можно найти во многих примитивных
языках. Конечно, после того как числительное создано и
принято, оно становится таким же хорошим эталонным набо20
ром, как и тот объект, который оно первоначально представляло.
Необходимость отличать объект, у которого позаимствовано название,
от названия самого числа, естественно привела к изменению
звучания слов, и с течением времени связь между названиями
была забыта. По мере того как человек учится все более
полагаться на свой язык, образы вытесняются обозначающими
их звуками и исходно конкретные объекты принимают абстрактную
форму названий чисел. Память и привычка придают конкретность
этим абстрактным формам; так простые слова становятся
мерой множественности.
Только что описанное понятие называется количественным числом.
Количественное число основано на принципе соответствия;
оно не предполагает счета. Для создания счета недостаточно иметь
совокупность составленных из различных элементов модельных
наборов, насколько бы полной такая совокупность ни была. Необходимо
разработать систему чисел: наши модельные наборы должны
быть выстроены в упорядоченную последовательность, такую
что порядок следования в ней определяется возрастанием величины,
т.е. в натуральный ряд: один, два, три… После того как подобная
система создана, пересчитать количество элементов в наборе
означает присваивать последовательно каждому элементу набора
число натурального ряда в порядке возрастания до тех пор, пока
набор не будет исчерпан. Число, присвоенное последнему элементу
набора, называется порядковым числом набора.
Система счета, основанная на порядковых числах, может принимать
конкретную форму четок, но это, конечно, не обязательно.
Порядковая система начинает существовать после того, как
слова, обозначающие несколько первых чисел, остаются в памяти
людей как упорядоченная последовательность и возникает фонетическая
схема, позволяющая для каждого сколь угодно большого
числа получать последующее число.
Мы с такой легкостью научились переходить от количественных
числительных к порядковым, что два подхода слились для
нас в один. Чтобы определить количество элементов в наборе,
т.е. ее порядковое число, нам больше не нужно искать подходящий
модельный набор с соответствующим количеством элементов
– мы можем просто посчитать. Тем, что мы научились отождествлять
два подхода к числу, обусловлен наш прогресс в
математике. Хотя на практике нам действительно нужны количественные
числа, они не позволяют создать арифметику. Арифметические
действия основаны на неявно подразумеваемом предГлава
1. Отпечатки пальцев 21
положении, что мы всегда можем от любого числа перейти к последующему,
и именно в этом заключается суть концепции порядковых
чисел.
Итак, сопоставление само по себе не позволяет создать искусство
вычислений. Без нашей способности выстраивать вещи в
упорядоченную последовательность прогресс был бы незначительным.
Соответствие и порядок следования – два принципа, пронизывающие
всю математику, более того, все области точного
мышления вплетены в саму ткань нашей системы счисления.
Теперь естественно поинтересоваться, повлияло ли это тонкое
различие между количественными и порядковыми числами
на начальную историю понятия числа. Хочется предположить,
что количественные числа, основанные на принципах сопоставления,
появились раньше порядковых, для которых требуется и
сопоставление, и упорядочивание. Однако самые тщательные
исследования первобытной культуры и филологии не выявили
такой закономерности. Повсюду, где существует хотя бы какаянибудь
техника счета, обнаружены оба подхода к числам.
Однако также повсюду, где существует хоть какая-то техника
счета, достойная этого названия, обнаруживается, что ей предшествовала
или параллельно с ней существует техника счета на пальцах.
Пальцы человека – это и есть тот инструмент, который позволяет
ему незаметно перейти от количественных чисел к порядковым.
Если человек хочет показать, что какой-то набор содержит четыре
элемента, то он одновременно загнет или оттопырит четыре пальца.
Если же он захочет сосчитать, сколько элементов в том же самом
наборе, он будет разгибать или загибать пальцы последовательно.
В первом случае он использует свои пальцы как количественный
модельный набор, во втором – как порядковую систему. Несомненные
указания на такое происхождение счета видны практически
в каждом примитивном языке. В большинстве из них слово
«пять» звучит так же, как «рука», слово десять – как «две руки»
или, иногда, как «человек». Более того, во многих примитивных
языках слова, обозначающие числа от одного до четырех, идентичны
названиям соответствующих пальцев.
Более развитые языки подверглись процессу истирания, в результате
которого потерялось первоначальное значение слов.
Однако и в них можно найти «отпечатки пальцев». Сравните слово
на санскрите pantcha, что означает пять, с соответствующим персидским
pentcha – «рука»; русское пять и слово «пясть», означающее
раскрытую ладонь с пятью пальцами.
Именно своим десяти гибким пальцам человек обязан своими
успехами в вычислениях. Именно эти пальцы научили его считать
и таким образом расширили возможность счета до бесконечности.
Без этого приспособления техника счета человека не
продвинулась бы далеко за пределы зачаточного чувства числа.
Поэтому обоснованно можно предположить, что без пальцев безнадежно
затормозилось бы развитие понятия числа и, следовательно,
точных наук, которым мы обязаны нашим материальным
и интеллектуальным прогрессом.
Хотя наши дети все еще учатся считать на пальцах и мы сами
иногда прибегаем к жестикуляции в разговоре, чтобы подчеркнуть
свою мысль, все же искусство счета на пальцах практически утеряно
современным цивилизованным человечеством. Развитие письма,
упрощение исчисления и повсеместное образование сделали это
искусство устаревшим и ненужным. В таких условиях вполне естественно
недооценивать роль, которую сыграл счет на пальцах в истории
развития методов счета. Всего несколько сот лет назад он был
так широко распространен в Западной Европе, что ни одно руководство
по арифметике не могло считаться полным без подробных
объяснений, как пользоваться этим методом (см. с. 16).
Умение использовать свои пальцы для счета и для выполнения
простых арифметических действий было тогда одним из признаков
образованного человека. При разработке правил сложения и
умножения чисел с помощью собственных пальцев была продемонстрирована
величайшая находчивость. Так, до наших дней крестьяне
в центральной Франции (Оверни) используют удивительный
метод для умножения чисел больших пяти. Если нужно
умножить 9 8, они загибают 4 пальца на левой руке (4 указывает
насколько 9 больше, чем 5) и 3 пальца на правой руке (8 – 5 = 3).
После этого количество загнутых пальцев показывает количество
десятков результата (4 + 3 = 7), а произведение не загнутых пальцев
дает количество единиц (1 2 = 2).
Аналогичные изобретения можно найти в самых различных местах,
таких как Бессарабия, Сербия или Сирия. Их удивительная
схожесть и тот факт, что все эти страны входили когда-то в состав
великой Римской Империи, наводят на мысль о римском происхождении
этих методов. Однако с равной степенью правдоподобности
можно утверждать, что эти методы развились независимо, поскольку
похожие условия приводят к похожим результатам.
И в наши дни значительная часть человечества считает на
пальцах; мы должны помнить, что для людей, живущих в условиГлава
1. Отпечатки пальцев 23
ях первобытного общества, это единственный способ выполнения
простых вычислений в их повседневной жизни.
Сколько лет языку чисел? Невозможно точно указать период,
когда возникли числительные, однако существуют несомненные
доказательства того, что это произошло за много тысячелетий до
появления письменной истории. Один факт уже был упомянут:
все следы первоначальных значений числительных, за исключением,
может быть, слова пять, в европейских языках утеряны. Это
тем более примечательно, что словам, обозначающим числа, как
правило, свойственна чрезвычайная устойчивость. Несмотря на
то, что с течением времени происходят радикальные изменения во
многих областях языка, словарь чисел остается практически неизменным.
Филологи используют эту устойчивость, чтобы определять
степень родства между предположительно отдаленными группами
языков. Читатель может ознакомиться с таблицей в конце
этой главы, где приведены для сравнения названия цифр в языках,
принадлежащих к индоевропейской группе.
Почему же, несмотря на такую стабильность, мы не можем
найти никаких следов первоначальных значений этих слов? Можно
предположить, что слова, обозначающие числа, остались неизменными
с момента своего возникновения, а названия конкретных
предметов, позаимствованные для числительных, полностью
трансформировались.
Что же касается структуры языка чисел, то филологические
исследования выявили ее почти повсеместное единообразие. Везде,
во всех языках, десять пальцев человека оставили свой неизменный
отпечаток.
В самом деле, нет сомнений, что наши десять пальцев повлияли
на «выбор» основания системы счисления. Во всех языках индоевропейской
группы, а также в семитских, монгольских и многих
примитивных языках основанием исчисления является число
десять; т.е. существуют независимые названия чисел вплоть до
десяти, а свыше десяти и до 100 используется некий принцип составления.
Во всех этих языках есть независимые названия для 100
и 1000, а в некоторых и для более высоких степеней числа десять.
Существуют и обманчивые исключения, такие как английские слова
eleven и twelve или немецкие elf и zwölf, но эти слова произошли от
ein-lif и zwo-lif, а lif на старонемецком означает десять.
Необходимо также сказать, что кроме основания десять достаточно
широко распространены еще два основания системы счис24
Числа – язык науки
ления; но и их отличительные свойства подтверждают в значительной
степени антропоморфную природу нашей системы счета.
Эти две системы – пятеричная система с основанием 5 и двадцатеричная
с основанием 20.
В пятеричной системе существуют независимые названия чисел
вплоть до пяти, а составные начинаются дальше. (См. таблицу
в конце главы.) Такая система, очевидно, зародилась среди
людей, которые привыкли считать на пальцах одной руки. Но
почему люди ограничили себя счетом на одной руке? Возможное
объяснение состоит в том, что человек, живущий в первобытном
обществе, редко ходит безоружным. Если он хочет что-то сосчитать,
он берет оружие под мышку, как правило левой руки, и
считает на своей левой руке, используя свою правую руку для
отметки. Этим можно объяснить, почему правши почти всегда
используют для счета левую руку.
Многие языки несут на себе следы пятеричной системы, и
естественно предположить, что некоторые десятичные системы
счисления прошли через этот этап. Некоторые филологи утверждают,
что даже числительные индоевропейских языков имеют
пятеричное происхождение. Эти филологи указывают на греческое
слово pempazein, которое означает считать пятерками, а также
на бесспорно пятеричный характер римских числительных.
Однако других подтверждений этого факта нет, и гораздо более
вероятно, что языки нашей группы предварительно прошли этап
двадцатеричной системы.
Эта система, вероятно, зародилась в первобытных племенах,
где на пальцах ног считали так же, как и на пальцах рук. В качестве
самого поразительного примера можно привести систему,
которую использовали индейцы майя в Центральной Америке.
Аналогичная система в древности была и у ацтеков: день они
делили на 20 часов, а подразделение их армии состояло из 8000
воинов (8000 = 20 20 20).
Хотя в чистом виде двадцатеричная система встречается редко,
есть множество языков, в которых десятеричная и двадцатеричная
системы сливаются. В английском языке есть слова score
(20), two-score (40), three-score (60); во французском – vingt (20) и
quatre-vingt (4 20). Ранее во Франции эта форма использовалась
чаще. Госпиталь в Париже, первоначально построенный для 300
слепых ветеранов, имеет старомодное и необычное название
Quinze-Vingt (15 20), а название Onze-Vingt (11 20) дано корпусу
сержантов-полицейских, состоящему из 220 человек.
Глава 1. Отпечатки пальцев 25
В первобытных племенах Австралии и Африки используется
система счисления с основанием не 5, не 10 и не 20. Это двоичная
система, т.е. ее основанием является 2. Эти племена еще не достигли
стадии счета на пальцах. У них есть независимые названия
для чисел «один» и «два» и составные до шести. А все, что свыше
шести, обозначается словом «много».
Керр, на которого мы уже ссылались в связи с австралийскими
племенами, утверждает, что большинство из них считает парами.
Их привычка считать таким способом настолько сильна,
что если из семи булавок, расположенных в ряд, убрать две, то
абориген может этого и не заметить; однако если исчезнет одна
булавка, он сразу же об этом узнает. Его чувство парности сильнее,
чем чувство числа.
Достаточно удивительно, что эта простейшая система счисления
в относительно недавние времена приобрела такого выдающегося
защитника, как Лейбниц. В двоичном исчислении используются
всего два символа: 0 и 1, посредством которых выражаются
все остальные числа, как показано в следующей таблице:
Десятичная система 1 2 3 4 5 6 7 8
Двоичная система 1 10 11 100 101 110 111 1000
Десятичная система 9 10 11 12 13 14 15 16
Двоичная система 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000
Преимуществом системы с основанием два является минимальное
количество необходимых символов и чрезвычайная простота
вычислений. Следует помнить, что каждая система счисления требует
хранения в памяти таблиц сложения и умножения. Для двоичной
системы такие таблицы сводятся к двум правилам: 1 + 1 = 10 и
1 1 = 1; в то время как для десятичной системы каждая из таблиц
требует 100 ячеек. Однако это преимущество в значительной степени
компенсируется отсутствием краткости; так, десятичное число
4096 = 212 в двоичной системе выглядит как 1 000 000 000 000.
Именно загадочная утонченность двоичной системы заставила
Лейбница воскликнуть: Omnimbus ex nihil ducendis sufficit unum (Единицы
достаточно, чтобы вывести все из ничего). Лаплас сказал:
«Лейбниц видел в двоичной системе прообраз Творения… Ему
представлялось, что единица представляет Божественное начало,
а ноль – небытие и что Высшее Существо создает все сущее из
небытия, точно так же как единица и ноль в его системе выража26
Числа – язык науки
ют все числа. Эта концепция так понравилась Лейбницу, что он
сообщил о ней иезуиту Гримальди – президенту китайского общества
математиков, в надежде, что этот образ Творения поможет
обратить в христианство императора Китая, который очень
увлекался науками. Я говорю об этом только лишь для того, чтобы
показать, как детские предубеждения могут затмить взор даже
такого великого человека!»
Интересно порассуждать, как изменилась бы история культуры,
если бы вместо гибких пальцев у человека было только две
неподвижные конечности. Если бы в таких условиях все же возникла
какая-либо система счисления, то, скорее всего, она была
бы двоичной.
То, что человечество приняло десятичную систему счисления, –
это физиологическая случайность. Тем, кто во всем видит руку
Провидения, придется признать, что с математикой у Провидения
плохо. Кроме того, что эта система наиболее удобна с физиологической
точки зрения, она мало чем привлекает. Почти любая
другая система, за исключением, быть может, девятеричной,
была бы так же хороша, а вероятно лучше.
В самом деле, если бы выбор был предоставлен группе экспертов,
то мы стали бы свидетелями конфликта между людьми
практичными, которые настаивали бы на числе с возможно большим
количеством делителей, таким как двенадцать, и математиками,
которые захотели бы выбрать в качестве основания простое
число, такое как семь или одиннадцать. Действительно, в
конце восемнадцатого века великий естествоиспытатель Бюффон
предложил повсеместно использовать двенадцатеричную систему
счисления. Он указывал на тот факт, что у числа 12 есть
четыре делителя, в то время как у 10 их только 2, и утверждал,
что в течение веков этот недостаток десятичной системы ощущался
настолько остро, что, несмотря на то что универсальным
основанием было число десять, большинство мер состоит из
12 частей.
С другой стороны, великий математик Лагранж заявлял, что
простое число в качестве основания системы счисления намного
предпочтительнее. Он указывал на тот факт, что в этом случае все
дроби по основанию системы счисления будут несократимыми и
поэтому числа будут представлены единственным образом. Например,
в нашей нынешней системе счисления десятичная дробь
0,36 обозначает в действительности много дробей: 36/100,18/50 и
9/25… Считается, что такая неопределенность уменьшилась бы,
Глава 1. Отпечатки пальцев 27
если бы в качестве основания было принято простое число, как
например, одиннадцать.
Но на чем бы ни остановилась группа экспертов, которой мы
доверили выбор основания системы, на простом числе или на
составном бы, можно гарантировать, что число десять вообще не
рассматривалось, поскольку оно не простое и не имеет достаточного
количества делителей.
В наше время, когда вычислительные устройства почти совершенно
вытеснили расчеты в уме, никто не воспринимает такие
предположения всерьез. Преимущества были бы так незначительны,
а традиции счета десятками настолько сильны, что
проблема кажется смехотворной.
С точки зрения истории культуры, изменение основания, вызванное
даже практическими соображениями, было бы крайне
нежелательно. Ведь пока человек считает десятками, его десять
пальцев напоминают ему о человеческом происхождении этой
наиболее важной области мышления. Так может быть, десятичная
система счисления призвана служить живым напоминанием
о том, что:
Человек – мера всех вещей.
Санскрит Древне- Латынь Немец- Англий- Француз- Русский
греческий кий ский ский
1 eka en unus eins one un один
2 dva duo duo zwei two deux два
3 tri tri tres drei three trois три
4 catur tetra quatuor vier four quatre четыре
5 panca pente quinque fünf five cinq пять
6 sas hex sex sechs six six шесть
7 sapta hepta septem sieben seven sept семь
8 asta octo octo acht eight huit восемь
9 nava ennea novem neun nine neuf девять
10 daca deca decem zehn ten dix десять
100 cata ecaton centum hundert hundred cent сто
1000 sehastre xilia mille tausend thousand mille тысяча
Числительные некоторых индоевропейских языков, иллюстрирующие
чрезвычайную устойчивость названий чисел
28 Числа – язык науки
Типичная двоичная система: язык Западного племени, Торресов
пролив
Слово Смысл
1 tai
2 lua
3 tolu
4 vari
5 luna рука
6 otai второй раз один
7 olua “–” два
8 otolu “–” три
9 ovair “–” четыре
10 luna lua две руки
Типичная пятеричная система: язык эпи, острова Новые Гебриды
1 hun 1
20 kal 20
202 bak 400
203 pic 8000
204 calab 160 000
205 kinchel 3 200 000
206 alce 64 000 000
1 urapun 3 okosa-urapun 5 okosa-okosa-urapun
2 okosa 4 okosa-okosa 6 okosa-okosa-okosa
Книга, которую вы держите в руках, – результат многолетних размышлений
о Числе и ода красоте математики.
Это классическое произведение, посвященное эволюции понятия
Числа. Да, Число развивалось, и будет продолжать развиваться.
Но как оно появилось? Мы можем только предполагать.
Возможно, впервые Число появилось в языке в качестве прилагательного?
Три коровы, три дня, три мили. Представьте, какое возбуждение
вы бы почувствовали, если бы вы были первым человеком,
которого внезапно посетила блестящая мысль о том, что единая
нить связывает «три коровы» с «тремя днями» и что, возможно,
стоит иметь дело с их общей «тройственностью». Если когда-либо
так и случилось с одним человеком в один момент, то это стало
колоссальным скачком вперед. Ведь отделенное понятие «тройственности
», собирательное три, охватывает намного больше, чем коровы
или дни. Ведь теперь достигнута стадия, когда можно сравнить,
например, один день с тремя днями, понимая, что вторая продолжительность
втрое больше, чем первая; представляя с еще одной
точки зрения «три», т.е. связывая его с действием утроения. Три,
если хотите, воплощено в глаголе утраивать.
А возможно число появилось совсем иначе, в результате некоего
волшебства, например, как в детском стишке «Раз, два, три –
елочка гори».
Однако число появилось, и история продолжается, и Число,
скромное Число, больше чем когда-либо приковывает к себе наше
внимание. Мы пытаемся понять, что же это такое. Ранние пифагорейцы
должны бы танцевать в своих пещерах.
Если бы я был человеком, который стремится побольше узнать
о математике, но у которого никогда на это не было времени,
и если бы я оказался в одиночестве на пресловутом «необитаемом
острове», то первая книга, которую я надеялся бы взять с
собой, по правде говоря, была бы хорошим руководством по плаванию.
Но вот второй книгой вполне могла бы быть эта. Поскольку
Данцигу удалось решить самые важные задачи научного
изложения: сделать его доступным для читателей с математическим
образованием, не превышающим объем средней школы; ясно
и отчетливо изложить материал самый существенный для рассказываемых
историй; рассказать наиболее важные истории и – что
крайне редко удается авторам – объяснить идеи, а не просто указать
на них.
Один из самых интересных сюжетов в истории Числа связан с
изменением этого понятия по мере расширения республики чисел:
от натуральных чисел
1, 2, 3, …
к государству, в которое вошли отрицательные числа и ноль
… –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …
затем дроби, действительные числа, комплексные числа, а потом,
посредством различных форм колонизации, бесконечность и иерархия
бесконечностей. Данциг выясняет причины таких расширений
– именно этот лейтмотив придает целостность истории, связывая
отдельные шаги в единый рассказ. Обсуждая расширение
понятия числа, Данциг цитирует Луи XIV. Когда короля Луи XIV
спросили, в чем заключается основополагающий принцип его внешней
политики, он цинично ответил: «Аннексия! Потом всегда можно
найти толкового юриста, чтобы оправдать это действие». Но сам
Данциг ничего не оставляет юристам. Он предлагает внимательно
взглянуть на муки рождения новых понятий в математике, при
этом всегда сосредотачиваясь на жизненно важном вопросе, пронизывающем
всю эту историю: Что означает, что математический
объект существует? Данциг, комментируя появление комплексных
чисел, говорит: «Столетиями [комплексные числа] играли роль
мистической связи между разумом и воображением». Он цитирует
Лейбница, чтобы выразить это смятение в умах:
«Божественный дух нашел чудесное убежище в этом чуде анализа,
знамении идеального мира, почти амфибии между бытием
и небытием, которое мы называем мнимым корнем из отрицательного
числа». (с. 178)
Данциг описывает и свои первоначальные затруднения:
«Вспоминаю свои собственные впечатления, когда я впервые
был посвящен в тайны комплексных чисел. Я помню свое недоумение,
поскольку величины очевидно невозможные тем не менее
допускают манипуляции, что приводит к конкретным результатам.
Я чувствовал неудовлетворенность, беспокойство, желание
наполнить содержанием эти иллюзорные создания, эти пустые
символы. Затем я узнал о конкретной геометрической интерпретации
этих величин. И это принесло немедленное облегчение,
поскольку загадка была раскрыта и призрак, внушавший мне
опасения, оказался совсем не призраком, а частью привычного
окружения». (с. 212)
Взаимодействие между алгеброй и геометрией – это еще одна
из великих глав в истории математики. Магия школьной аналитической
геометрии, которая позволяет нам описывать интригующие
геометрические кривые простыми алгебраическими формулами
и выявлять скрытые свойства геометрии, решая простые
уравнения, в современной математике выросла в могущественную
взаимосвязь алгебраического и геометрического мышлений,
взаимно укрепляющих друг друга. Рене Декарт заявил: «Я позаимствую
все лучшее из геометрического анализа и из алгебры, и
исправлю все недостатки первого с помощью второй». Сэр Майкл
Атьи, сравнивая геометрическую интуицию с чрезвычайной эффективностью
алгебраических методов, написал недавно:
«Алгебра это предложение, сделанное дьяволом математику.
Дьявол говорит: Я дам тебе мощный механизм, который ответит
на любой твой вопрос. Все, что тебе нужно сделать, это отдать
мне свою душу – откажись от геометрии и ты получишь этот
удивительный механизм»1.
Какой такт потребовался от Данцига, чтобы рассказать о тысячелетнем
флирте между арифметикой и геометрией, не сглаживая
Фаустовы углы этой любовной истории!
В книге Евклида «Элементы геометрии» мы встречаем такое
определение прямой: «Определение 2. Прямая это длина без ширины». Теперь мы смотрим на этот важнейший элемент планиметрии
немного под другим углом. Мы видим числовую ось, представленную
горизонтальной прямой линией, которая продолжается
бесконечно в обоих направлениях и на которой все числа: положительные,
отрицательные, целые, дробные, или иррациональные –
занимают свое место. Чтобы изобразить изменение во времени,
мы также обращаемся к грубой модели, временной шкале, снова
представленной горизонтальной прямой линией, которая продолжается
бесконечно в обоих направлениях, и обозначаем ею совершенную,
никогда не постижимую, вечно движущуюся систему
прошлого/настоящего/будущего, в которой, как нам кажется, мы
живем. История о том, как эти различные концепции прямой линии
уживаются одна с другой – еще один сюжет в истории Данцига.
Данциг искренне отстаивает свою точку зрения в дискуссии
о взаимосвязи времени с математикой. Он противопостав-
1 Atiyah, Sir Michael. Special article: Mathematics in the 20th Century. Page 7.
Bulletin of the London Mathematical Society, 34 (2002), 1–15.
ляет теорию Кантора, в которой активно используются бесконечные
процессы, теорию которую он называет «откровенно динамичной», теории Дедекинда, о которой отзывается как о «статичной». Нигде в определении действительного числа, говорит Данциг, Дедекинд даже «не использует явно ни слово бесконечный,
ни такие слова, как стремится, возрастает бесконечно, сходится,
предел, меньше любой заранее заданной величины и тому
подобные».
Дочитав до этого места повествование Данцига, мы можем
подумать, что мы нашли то, что так долго искали, поскольку
Данциг пишет:
«На первый взгляд кажется, что здесь [в определении Дедекинда
действительных чисел] мы полностью освободили концепцию
числа от гнета интуитивного представления о времени». (с. 156)
Конечно, эта иллюзия «полного освобождения» едва ли выдержит
второй взгляд Данцига; и вечные вопросы, касающиеся
времени и его математического представления, касающиеся континуума
и его взаимосвязи с физическим временем или нашим
реальным временем, – проблемы, известные со времен Зенона, –
постоянно сопровождают повествование о развитии числа, которое
вы читаете.
Данциг спрашивает: Насколько критично мир, научный мир,
оценивает влияние математического мира, и наоборот?
«Человек науки будет действовать, как если бы этот мир был
абсолютным и подчинялся законам, не зависящим от мыслей и
действий человека. И когда он открывает закон, удивительный
по своей простоте или всеохватности, или закон, указывающий
на совершенную гармонию мироздания, то вполне разумно поинтересоваться,
какую роль его разум сыграл в этом открытии?
Раскрывает ли прекрасный образ, который человек увидел в осколке
бесконечности, природу этой бесконечности, или это просто
отражение его собственного разума».
Данциг пишет:
«Математика можно сравнить с дизайнером одежды, который
довольно часто забывает о тех людях, которым его одежда могла
бы подойти. Конечно, его искусство возникло из необходимости
одевать этих людей, но это было очень давно; а наша одежда
иногда принимает настолько причудливые формы, что кажется
созданной ради себя самой. Поэтому нет конца восхитительным
сюрпризам!»
Это несколько напоминает по тону знаменитое эссе Юджина
Вигнера «Необъяснимая эффективность математики в естественных
науках». Но Данциг идет дальше, предлагая читателям свои
собственные, глубоко продуманные представления о субъективной
реальности и объективной реальности. Объективная реальность,
согласно Данцигу, это впечатляюще большое вместилище, в котором
хранятся все знания, полученные человечеством (в том числе
и данные, полученные при помощи научной аппаратуры). Он принимает
определение, которое дал Пуанкаре: «объективная реальность
– это то, что общо нескольким мыслящим существам и могло
бы быть общо всем», чтобы подготовить плацдарм для своего
анализа взаимосвязи между Числом и объективной истиной.
По крайней мере в одном из переопределений этих могущественных
слов субъект и объект, сделанных Иммануилом Кантом,
ведущую роль играет такое тонкое понятие, введенное Кантом, как
«sensus communis». Так он называл внутренний «общий голос», каким-
то образом встроенный в каждого из нас и позволяющий нам
предполагать, какие выводы сделает остальная часть человечества.
Объективной реальности Пуанкаре и Данцига, кажется, также
необходимо, чтобы мы обладали некой способностью, чемто
вроде внутреннего голоса, который сообщал бы нам что-то о
других людях. Объективная реальность Пуанкаре-Данцига – это
фундаментальное субъективное согласие о том, что общее или
то, что могло бы быть общим, является объективным. Этот взгляд
уже предупреждает нас об основополагающем порочном круге,
скрывающемся за многими рассуждениями относительно объективности
и числа и, в частности, за сентиментальностями эссе
Вигнера.
Мы с братом Джо подарили нашему отцу книгу «Число –
язык Науки», когда ему было чуть больше 70 лет. У отца не
было специального математического образования, но сохранилась
пылкая любовь к алгебре, которую он учил в школе. Давным-
давно, когда мы были совсем юными, наш отец посвятил
нас в некоторые чудеса алгебры. «Я расскажу вам секрет», –
начал он заговорщическим голосом. Он рассказал нам, как, используя
магическую силу символа X, мы сможем найти число,
которое после удвоения и прибавления единицы дает 11. Я был
абсолютно буквально мыслящим малышом и действительно думал,
что X – это наш семейный секрет, до тех пор пока меня не
вывели из заблуждения об этом присвоении через несколько
лет на уроке математики.
Мы удивительно верно выбрали в подарок книгу Данцига.
Отец работал над этой книгой, исписал поля замечаниями, вычислениями,
толкованиями; он перечитывал ее снова и снова.
Он увлекся числами из этой книги; он проверил свои собственные
варианты проблемы Гольдбаха и назвал вариациями на тему
Гольдбаха. Одним словом, он был в восторге.
И в этом нет ничего удивительного, поскольку книга Данцига
захватывает и ум, и душу; это одна из немногих великих книг, в
которых популярно излагается классическая математика, действительно
доступных каждому.
Барри Мазур
Текст этого издания книги основан на четвертом издании, опубликованном
в 1954 году. В это издание включены новые предисловие,
послесловие, раздел пояснений в конце книги и снабженная
комментариями библиография, оригинальные иллюстрации
были перерисованы.
Четвертое издание было поделено на две части. Первая часть
«Развитие понятия числа» состояла из 12 глав, составляющих текст
настоящего издания. Вторая часть «Проблемы старые и новые»
была более специализированной, и в ней глубоко обсуждались
конкретные концепции. В этом издании сохранены обе части,
только теперь вторая часть вынесена из основного текста в приложения
и название «часть» убрано из обоих разделов.
Вторая часть книги Данцига содержит меньше описаний и больше
формул; в ней меньше рассказывается об идеях и больше о
методах, что позволяет Данцигу изложить технические подробности
в более сжатой форме. Поэтому к этой части не требуется
пояснений и дополнительных комментариев. Можно было бы
ожидать, что пятьдесят лет развития математики приведут к необходимости
внесения изменений в раздел «Проблемы старые и новые
», но это название обманчиво. Проблемы, рассмотренные в
этом разделе, не старые и не новые; это подборка классических
задач, выбранных автором, чтобы показать, что такое математика.
В предыдущем издании параграфы внутри каждой главы были
пронумерованы. Поскольку такая схема нумерации служила лишь
для того, чтобы подчеркнуть переход к новой мысли, в данном
издании номера параграфов устранены и заменены увеличенным
междустрочным интервалом.
Предисловие к четвертом изданию
С тех пор как я написал эту книгу, прошло около четверти века.
У меня есть основания считать ее первопроходческой, поскольку
эволюция концепции числа, хотя и является предметом оживленной
дискуссии среди профессиональных математиков, логиков и
философов, никогда еще не выносилась на суд широкой публики
в качестве вопроса культуры. Действительно, в то время никто не
знал, достаточно ли много непрофессионалов интересуется этими
вопросами, чтобы издание книги было оправданно. Одобрительная
реакция на книгу, как у нас, так и за рубежом, и множество
книг примерно по той же тематике, появившихся вслед за
ней, развеяли эти сомнения. Существование громадного количества
читателей, интересующихся культурными аспектами математики
и наук, зависящих от математики, теперь стало подтвержденным
фактом.
Автора, находящегося уже в преклонном возрасте, вдохновляет
сознание того, что постоянные требования читателей стали
причиной нового издания его первой литературной пробы; и
именно с таким настроением я подошел к переработке этой книги.
Но в процессе работы я чрезвычайно много узнал об удивительных
изменениях, которые произошли с момента последнего
издания книги. Прогресс в технологии, широкое распространение
статистических методов, успехи электроники, появление ядерной
физики и, самое главное, возрастающее значение электронных
вычислительных машин – все это превосходит ожидания
той категории людей, которые косвенно связаны с математической
деятельностью; в то же время значительно вырос уровень
математического образования. Таким образом, сейчас я столкнусь
не просто с более широкой аудиторией, но с гораздо более
умудренной и требовательной аудиторией, чем та, к которой я
обращался более двадцати лет назад. Эти здравые размышления
оказали решающее влияние на план нового издания. Удалось ли
мне ответить на вызов, брошенный изменившимся временем, –
об этом судить читателю.
За исключением нескольких абзацев, измененных в соответствии
с новыми данными, первая часть «Развитие понятия числа
» в настоящем издании является дословным воспроизведением
первоначального текста. Однако вторая часть «Проблемы старые
и новые» – в сущности, новая книга. Более того, хотя в первой
части больше рассказывается о концепциях и идеях, все же вторую часть не следует рассматривать как комментарии к первоначальному
тексту; она является целостным изложением истории
развития методов и доказательств в теории чисел. Отсюда можно
сделать вывод, что четыре главы раздела «Проблемы старые и
новые» более насыщенны в техническом плане, чем все первоначальные
двенадцать глав, и это действительно так. С другой стороны,
среди рассматриваемых там предметов очень мало тем,
представляющих общий интерес, и читатель может легко пропустить
технические разделы, не теряя общей нити рассуждений.
Тобиас Данциг
Пасифик Палисейдс (Pacific Palisades)
Калифорния
1-е сентября, 1953 год
Эта книга посвящена идеям, а не методам. Все не относящиеся к
делу технические подробности намерено опущены, и, чтобы понять
рассматриваемые вопросы, достаточно математической подготовки,
полученной в средней школе.
Но хотя эта книга и не предполагает со стороны читателя математического
образования, она предполагает нечто более редкостное:
способность воспринимать и оценивать идеи.
Более того, хотя в этой книге опущены технические аспекты
предмета, она написана не для тех, кого мучает неискоренимый
ужас перед символами, и не для тех, кто по своей сущности не
видит форм. Это книга по математике: в ней обсуждаются символы
и формы, а также идеи, скрывающиеся за символами и формами.
Автор считает, что наша школьная программа, отбрасывая
культурное содержание математики и оставляя лишь голый каркас
технических подробностей, подавляет многие светлые умы.
Цель этой книги – восстановить это культурное содержание и
представить эволюцию числа как часть истории человечества, чем
она, собственно, и является.
Это не книга по истории предмета. Однако исторический подход
использовался много раз, чтобы выявить ту роль, которую
интуиция сыграла в развитии математических концепций. История
числа здесь разворачивается как историческая процессия идей,
связанных с людьми, которые создавали эти идеи, и эпохами,
порождавшими этих людей.
Можно ли фундаментальные вопросы науки о числе представить
без привлечения всего хитроумного аппарата этой науки? Я
верю, что это можно сделать, и заявляю об этом своей книгой.
Судить будет тот, кто прочитает!
Тобиас Данциг
Вашингтон, федеральный округ Колумбия
3 мая, 1930 года
ГЛАВА_1
ОТПЕЧАТКИ ПАЛЬЦЕВ
Год Римлян кончался, когда десять раз луна обернется:
Десять считали они самым почетным числом;
Иль потому, что у нас на руках десять пальцев для счета,
Иль что в десятом всегда месяце жены родят,
Иль что десятка у нас граница во всех исчисленьях
И начинаем опять с новой десятки мы счет.
Овидий, Фасты, III
(Перевод Ф. Петровского)
Человек, даже на самых ранних стадиях развития, обладает даром,
который я, за неимением лучшего названия, назову чувством
числа. Этот дар позволяет ему осознавать, что в небольшом
наборе объектов что-то изменилось, когда достоверно неизвестно,
устранен какой-то объект или добавлен к набору.
Чувство числа не нужно путать со счетом, который, вероятно,
является более поздним приобретением и предполагает, как мы
увидим, более сложные умственные процессы. Счет, насколько
известно, является отличительным признаком человека, хотя некоторые
виды животных, кажется, обладают зачаточным чувством
числа, похожим на наше. Во всяком случае, таково мнение компетентных
наблюдателей за поведением животных, и эта теория
подтверждается значительным количеством фактов.
Многие птицы, к примеру, обладают таким чувством числа.
Если в гнезде лежит четыре яйца, то одно, не рискуя, можно
взять, но если убрать два, то птица, скорее всего, покинет гнездо.
Каким-то непостижимым образом птица может отличить два от
трех. Но эта способность присуща не только птицам. Фактически,
самым поразительным примером, который мы знаем, является
такое насекомое, как «пилюльная оса». Матка откладывает яйца
в отдельные ячейки, причем в каждую ячейку она кладет несколько
живых гусениц, которыми будет питаться личинка после того как
вылупится. Количество жертв остается удивительно постоянным
для данного вида ос: одни виды кладут 5 гусениц, другие – 12, а
Глава 1. Отпечатки пальцев 15
еще одни – в два раза больше, т.е. 24 гусеницы в одну ячейку. Но
самым удивительным примером является разновидность ос Genus
Eumenus, у которых мужская особь намного меньше женской.
Каким-то непостижимым способом матка узнает, мужского или
женского пола будет личинка, и соответственно выделяет количество
еды; она не изменяет вид или размер гусениц, но мужским
особям она оставляет пять жертв, а женским – десять.
Закономерность в действиях ос и то, что их действия связаны
с фундаментальной функцией в жизни насекомых, делают этот
последний пример менее убедительным, чем следующий. Здесь
действия птицы кажутся почти сознательными:
Один землевладелец решил застрелить ворону, которая свила
гнездо на сторожевой башне его имения. Неоднократно он пытался
застать птицу врасплох, но безуспешно: как только он приближался,
ворона оставляла свое гнездо. На отдаленном дереве
она настороженно выжидала, пока человек покинет башню, а
затем возвращалась к гнезду. Однажды землевладелец придумал
хитрость: два человека вошли в башню, один остался внутри, а
другой вышел из башни и ушел. Но птица не обманулась, она
держалась поодаль, пока не ушел и второй человек. В последующие
дни эксперимент повторили с двумя, тремя, затем с четырьмя
людьми, и все безуспешно. Наконец в башню направилось
пять человек; как и прежде, все вошли, один остался в башне,
тогда как четверо вышли и ушли. И тут ворона сбилась со счета.
Она не смогла отличить четыре от пяти и сразу же вернулась в
свое гнездо.
Против таких доказательств можно выдвинуть два аргумента.
Во-первых, видов животных, обладающих таким чувством числа,
чрезвычайно мало; среди млекопитающих их не найдено вообще,
и, кажется, даже обезьяны лишены такой способности. Вторым
аргументом является то, что во всех известных случаях чувство
числа у животных так ограниченно по объему, что им можно
пренебречь.
Первое можно понять. В самом деле, примечательно, что способность
воспринимать числа в той или иной форме присуща
только некоторым насекомым и птицам, а также людям. В наблюдениях
и экспериментах над собаками, лошадьми и другими
домашними животными не удалось выявить у них никакого чувства
чисел.
Второй аргумент не имеет большого значения, поскольку
чувство числа у человека также очень ограниченно по объему.
16 Числа – язык науки
Как показывать числа при помощи пальцев (из руководства, опубликованного в 1520 году)
На практике, когда цивилизованному человеку приходится различать
числа, он сознательно или бессознательно помогает непосредственному
чувству числа такими уловками, как распознавание
симметрии, мысленная группировка или счет. Счет в
особенность до такой степени стал неотъемлемой частью наших
мыслительных процессов, что психологические тесты на восприятие
чисел сталкиваются с серьезными трудностями. Тем не менее
в этой области достигнут некоторый прогресс; тщательно
выполненные эксперименты привели к неизбежному заключению,
что визуальное чувство числа среднего цивилизованного человека
редко выходит за пределы четырех, а тактильное чувство
числа еще более ограниченно по объему.
Это в значительной степени подтверждается антропологическими
исследованиями людей, находящихся в первобытном состоянии.
Обнаружено, что представители тех сообществ, которые
еще не достигли стадии счета на пальцах, почти полностью
лишены всякого восприятия числа. Такие эксперименты проводились
в различных племенах, живущих в Австралии, на островах
южных морей, в Южной Америке и в Африке. Этнограф Керр,
проводивший всесторонние исследования аборигенов Австралии,
утверждает, что лишь немногие из них могут отличить число четыре,
и никто из австралийцев, живущих в условиях первобытного
общества, не может распознать число семь. У бушменов Южной
Африки есть только три цифровых слова: один, два и много, и
эти слова такие невнятные, что можно усомниться, приписывают
ли аборигены этим словам ясное значение.
У нас нет причин верить и есть множество причин сомневаться
в том, что у наших далеких предков дела обстояли лучше;
практически все европейские языки несут на себе отпечатки таких
ограничений в древности. Английское слово thrice, как и латинское
ter, имеет два значения: «трижды» и «много». Безусловно,
существует связь между латинскими словами tres – т.е. «три»
и trans – «далеко», «за пределами». То же самое можно сказать о
французских словах tres – «очень» и trios – «три».
Происхождение числа спрятано за непроницаемым покровом
в глубине веков. Родилось ли это понятие из опыта, или накопление
опыта просто способствовало проявлению того, что неявно
уже присутствовало в скрытой форме в глубине древнего разума
– это увлекательный предмет для метафизических рассуждений
и именно поэтому выходит за пределы вопросов, обсуждаемых в
этой книге.
Если судить о наших далеких предках по уровню умственного
развития современных племен, нам придется сделать вывод,
что начало было чрезвычайно скромным. Современное понятие
развилось из рудиментарного чувства числа, не большего по
объему, чем то, которым обладают птицы. И нет сомнений, что
оставшись с этим непосредственным восприятием числа, человек
продвинулся бы не дальше в искусстве счета, чем птицы. Но
благодаря целому ряду примечательных обстоятельств, человек
научился подкреплять свое чрезвычайно ограниченное восприятие
чисел, используя находки, которым суждено было оказать
громадное влияние на всю его жизнь в будущем. Такой находкой
стал счет, и именно счету мы обязаны удивительным прогрессом,
которого мы достигли в стремлении выразить вселенную
числом.
Существуют первобытные языки, в которых есть название для
каждого цвета радуги, но нет слова, обозначающего «цвет»; существуют
и другие, в которых есть названия чисел, но нет слова
«число». То же самое справедливо и в отношении других понятий.
В английском языке есть множество исконно присущих ему
слов для обозначения определенных видов наборов; flock, herd,
set, lot, bunch – все эти слова применяются в конкретных случаях:
стадо, толпа, группа, пучок и т.д.; при том что слова aggregate,
collection, т.е. совокупность, множество – заимствованные.
Конкретное предшествует абстрактному. «Потребовалось много
веков, чтобы обнаружить, – говорит Бертран Рассел, – что и пара
фазанов, и пара дней – все это примеры числа два». До наших дней
в английском языке существует несколько способов выразить понятие
два: pair, couple, set, team, twin, brace и т.д., т.е. пара, двойка,
двойня, чета и т.п.
Поразительным примером чрезвычайной конкретности исходного
понятия числа может служить язык индейцев цимшиан в
Британской Колумбии. В нем существует семь различных наборов
числительных: один для плоских предметов и животных; второй
для круглых предметов и времени; третий для счета людей;
четвертый для длинных предметов и деревьев; пятый для каноэ;
шестой для мер и седьмой для счета предметов, которые нельзя
точно определить. Последние, вероятно, являются недавним достижением;
все остальные пришли из более древних времен, когда
представители племени еще не научились считать.
Именно счет объединил конкретные и, следовательно, разнородные
понятия множественности, характерные для первобытГлава
ных людей, в однородное понятие абстрактного числа, без которого
невозможна математика.
Хотя это может показаться странным, но можно прийти к
логическому, ясному понятию числа, не привлекая счет.
Мы входим в зал. Перед нами два набора: места в аудитории и
студенты. Не считая, мы можем установить, равны ли эти наборы,
и если неравны, то какой из них больше. Если все места заняты и
никто не стоит, мы знаем, не считая, что два набора равны. Если
все места заняты и кто-то в аудитории стоит, мы знаем, не считая,
что студентов больше, чем мест.
Мы узнали об этом, используя понятие, которое господствует
во всей математике и получило название взаимно однозначное соответствие.
Процесс установления взаимно однозначного соответствия
заключается в сопоставлении каждому объекту из одного
множества объекта из другого множества. Этот процесс
продолжается до тех пор, пока одно из множеств или оба не будут
исчерпаны.
Техника счета многих первобытных племен ограничена именно
таким сопоставлением или установлением соответствия. Они
хранят информацию о своих стадах и войсках при помощи зарубок
на дереве или камней в куче. О том, что наши собственные
предки были сведущи в таких методах, свидетельствует этимология
слов tally и calculate, из которых первое произошло от
латинского talea – «зарубка» и второе от латинского calculus –
«камень».
На первый взгляд, кажется, что метод установления соответствий
годится только для сравнения двух наборов, но не для создания
чисел в абсолютном значении этого слова. Однако переход
от относительных чисел к абсолютным не сложен. Необходимо
только создать эталонные наборы, с которыми затем сравнивать
каждый из исследуемых наборов. Оценка любого заданного набора
тогда сводится к выбору подходящего эталонного набора,
каждому элементу которого можно сопоставить элемент из исследуемого
набора.
Первобытный человек обнаруживает такие эталонные наборы
непосредственно вокруг себя: крылья птицы могут обозначать
число два, листья клевера – три, ноги животного – четыре, пальцы
его собственной руки – пять. Свидетельства именно такого
происхождения числительных можно найти во многих примитивных
языках. Конечно, после того как числительное создано и
принято, оно становится таким же хорошим эталонным набо20
ром, как и тот объект, который оно первоначально представляло.
Необходимость отличать объект, у которого позаимствовано название,
от названия самого числа, естественно привела к изменению
звучания слов, и с течением времени связь между названиями
была забыта. По мере того как человек учится все более
полагаться на свой язык, образы вытесняются обозначающими
их звуками и исходно конкретные объекты принимают абстрактную
форму названий чисел. Память и привычка придают конкретность
этим абстрактным формам; так простые слова становятся
мерой множественности.
Только что описанное понятие называется количественным числом.
Количественное число основано на принципе соответствия;
оно не предполагает счета. Для создания счета недостаточно иметь
совокупность составленных из различных элементов модельных
наборов, насколько бы полной такая совокупность ни была. Необходимо
разработать систему чисел: наши модельные наборы должны
быть выстроены в упорядоченную последовательность, такую
что порядок следования в ней определяется возрастанием величины,
т.е. в натуральный ряд: один, два, три… После того как подобная
система создана, пересчитать количество элементов в наборе
означает присваивать последовательно каждому элементу набора
число натурального ряда в порядке возрастания до тех пор, пока
набор не будет исчерпан. Число, присвоенное последнему элементу
набора, называется порядковым числом набора.
Система счета, основанная на порядковых числах, может принимать
конкретную форму четок, но это, конечно, не обязательно.
Порядковая система начинает существовать после того, как
слова, обозначающие несколько первых чисел, остаются в памяти
людей как упорядоченная последовательность и возникает фонетическая
схема, позволяющая для каждого сколь угодно большого
числа получать последующее число.
Мы с такой легкостью научились переходить от количественных
числительных к порядковым, что два подхода слились для
нас в один. Чтобы определить количество элементов в наборе,
т.е. ее порядковое число, нам больше не нужно искать подходящий
модельный набор с соответствующим количеством элементов
– мы можем просто посчитать. Тем, что мы научились отождествлять
два подхода к числу, обусловлен наш прогресс в
математике. Хотя на практике нам действительно нужны количественные
числа, они не позволяют создать арифметику. Арифметические
действия основаны на неявно подразумеваемом предГлава
1. Отпечатки пальцев 21
положении, что мы всегда можем от любого числа перейти к последующему,
и именно в этом заключается суть концепции порядковых
чисел.
Итак, сопоставление само по себе не позволяет создать искусство
вычислений. Без нашей способности выстраивать вещи в
упорядоченную последовательность прогресс был бы незначительным.
Соответствие и порядок следования – два принципа, пронизывающие
всю математику, более того, все области точного
мышления вплетены в саму ткань нашей системы счисления.
Теперь естественно поинтересоваться, повлияло ли это тонкое
различие между количественными и порядковыми числами
на начальную историю понятия числа. Хочется предположить,
что количественные числа, основанные на принципах сопоставления,
появились раньше порядковых, для которых требуется и
сопоставление, и упорядочивание. Однако самые тщательные
исследования первобытной культуры и филологии не выявили
такой закономерности. Повсюду, где существует хотя бы какаянибудь
техника счета, обнаружены оба подхода к числам.
Однако также повсюду, где существует хоть какая-то техника
счета, достойная этого названия, обнаруживается, что ей предшествовала
или параллельно с ней существует техника счета на пальцах.
Пальцы человека – это и есть тот инструмент, который позволяет
ему незаметно перейти от количественных чисел к порядковым.
Если человек хочет показать, что какой-то набор содержит четыре
элемента, то он одновременно загнет или оттопырит четыре пальца.
Если же он захочет сосчитать, сколько элементов в том же самом
наборе, он будет разгибать или загибать пальцы последовательно.
В первом случае он использует свои пальцы как количественный
модельный набор, во втором – как порядковую систему. Несомненные
указания на такое происхождение счета видны практически
в каждом примитивном языке. В большинстве из них слово
«пять» звучит так же, как «рука», слово десять – как «две руки»
или, иногда, как «человек». Более того, во многих примитивных
языках слова, обозначающие числа от одного до четырех, идентичны
названиям соответствующих пальцев.
Более развитые языки подверглись процессу истирания, в результате
которого потерялось первоначальное значение слов.
Однако и в них можно найти «отпечатки пальцев». Сравните слово
на санскрите pantcha, что означает пять, с соответствующим персидским
pentcha – «рука»; русское пять и слово «пясть», означающее
раскрытую ладонь с пятью пальцами.
Именно своим десяти гибким пальцам человек обязан своими
успехами в вычислениях. Именно эти пальцы научили его считать
и таким образом расширили возможность счета до бесконечности.
Без этого приспособления техника счета человека не
продвинулась бы далеко за пределы зачаточного чувства числа.
Поэтому обоснованно можно предположить, что без пальцев безнадежно
затормозилось бы развитие понятия числа и, следовательно,
точных наук, которым мы обязаны нашим материальным
и интеллектуальным прогрессом.
Хотя наши дети все еще учатся считать на пальцах и мы сами
иногда прибегаем к жестикуляции в разговоре, чтобы подчеркнуть
свою мысль, все же искусство счета на пальцах практически утеряно
современным цивилизованным человечеством. Развитие письма,
упрощение исчисления и повсеместное образование сделали это
искусство устаревшим и ненужным. В таких условиях вполне естественно
недооценивать роль, которую сыграл счет на пальцах в истории
развития методов счета. Всего несколько сот лет назад он был
так широко распространен в Западной Европе, что ни одно руководство
по арифметике не могло считаться полным без подробных
объяснений, как пользоваться этим методом (см. с. 16).
Умение использовать свои пальцы для счета и для выполнения
простых арифметических действий было тогда одним из признаков
образованного человека. При разработке правил сложения и
умножения чисел с помощью собственных пальцев была продемонстрирована
величайшая находчивость. Так, до наших дней крестьяне
в центральной Франции (Оверни) используют удивительный
метод для умножения чисел больших пяти. Если нужно
умножить 9 8, они загибают 4 пальца на левой руке (4 указывает
насколько 9 больше, чем 5) и 3 пальца на правой руке (8 – 5 = 3).
После этого количество загнутых пальцев показывает количество
десятков результата (4 + 3 = 7), а произведение не загнутых пальцев
дает количество единиц (1 2 = 2).
Аналогичные изобретения можно найти в самых различных местах,
таких как Бессарабия, Сербия или Сирия. Их удивительная
схожесть и тот факт, что все эти страны входили когда-то в состав
великой Римской Империи, наводят на мысль о римском происхождении
этих методов. Однако с равной степенью правдоподобности
можно утверждать, что эти методы развились независимо, поскольку
похожие условия приводят к похожим результатам.
И в наши дни значительная часть человечества считает на
пальцах; мы должны помнить, что для людей, живущих в условиГлава
1. Отпечатки пальцев 23
ях первобытного общества, это единственный способ выполнения
простых вычислений в их повседневной жизни.
Сколько лет языку чисел? Невозможно точно указать период,
когда возникли числительные, однако существуют несомненные
доказательства того, что это произошло за много тысячелетий до
появления письменной истории. Один факт уже был упомянут:
все следы первоначальных значений числительных, за исключением,
может быть, слова пять, в европейских языках утеряны. Это
тем более примечательно, что словам, обозначающим числа, как
правило, свойственна чрезвычайная устойчивость. Несмотря на
то, что с течением времени происходят радикальные изменения во
многих областях языка, словарь чисел остается практически неизменным.
Филологи используют эту устойчивость, чтобы определять
степень родства между предположительно отдаленными группами
языков. Читатель может ознакомиться с таблицей в конце
этой главы, где приведены для сравнения названия цифр в языках,
принадлежащих к индоевропейской группе.
Почему же, несмотря на такую стабильность, мы не можем
найти никаких следов первоначальных значений этих слов? Можно
предположить, что слова, обозначающие числа, остались неизменными
с момента своего возникновения, а названия конкретных
предметов, позаимствованные для числительных, полностью
трансформировались.
Что же касается структуры языка чисел, то филологические
исследования выявили ее почти повсеместное единообразие. Везде,
во всех языках, десять пальцев человека оставили свой неизменный
отпечаток.
В самом деле, нет сомнений, что наши десять пальцев повлияли
на «выбор» основания системы счисления. Во всех языках индоевропейской
группы, а также в семитских, монгольских и многих
примитивных языках основанием исчисления является число
десять; т.е. существуют независимые названия чисел вплоть до
десяти, а свыше десяти и до 100 используется некий принцип составления.
Во всех этих языках есть независимые названия для 100
и 1000, а в некоторых и для более высоких степеней числа десять.
Существуют и обманчивые исключения, такие как английские слова
eleven и twelve или немецкие elf и zwölf, но эти слова произошли от
ein-lif и zwo-lif, а lif на старонемецком означает десять.
Необходимо также сказать, что кроме основания десять достаточно
широко распространены еще два основания системы счис24
Числа – язык науки
ления; но и их отличительные свойства подтверждают в значительной
степени антропоморфную природу нашей системы счета.
Эти две системы – пятеричная система с основанием 5 и двадцатеричная
с основанием 20.
В пятеричной системе существуют независимые названия чисел
вплоть до пяти, а составные начинаются дальше. (См. таблицу
в конце главы.) Такая система, очевидно, зародилась среди
людей, которые привыкли считать на пальцах одной руки. Но
почему люди ограничили себя счетом на одной руке? Возможное
объяснение состоит в том, что человек, живущий в первобытном
обществе, редко ходит безоружным. Если он хочет что-то сосчитать,
он берет оружие под мышку, как правило левой руки, и
считает на своей левой руке, используя свою правую руку для
отметки. Этим можно объяснить, почему правши почти всегда
используют для счета левую руку.
Многие языки несут на себе следы пятеричной системы, и
естественно предположить, что некоторые десятичные системы
счисления прошли через этот этап. Некоторые филологи утверждают,
что даже числительные индоевропейских языков имеют
пятеричное происхождение. Эти филологи указывают на греческое
слово pempazein, которое означает считать пятерками, а также
на бесспорно пятеричный характер римских числительных.
Однако других подтверждений этого факта нет, и гораздо более
вероятно, что языки нашей группы предварительно прошли этап
двадцатеричной системы.
Эта система, вероятно, зародилась в первобытных племенах,
где на пальцах ног считали так же, как и на пальцах рук. В качестве
самого поразительного примера можно привести систему,
которую использовали индейцы майя в Центральной Америке.
Аналогичная система в древности была и у ацтеков: день они
делили на 20 часов, а подразделение их армии состояло из 8000
воинов (8000 = 20 20 20).
Хотя в чистом виде двадцатеричная система встречается редко,
есть множество языков, в которых десятеричная и двадцатеричная
системы сливаются. В английском языке есть слова score
(20), two-score (40), three-score (60); во французском – vingt (20) и
quatre-vingt (4 20). Ранее во Франции эта форма использовалась
чаще. Госпиталь в Париже, первоначально построенный для 300
слепых ветеранов, имеет старомодное и необычное название
Quinze-Vingt (15 20), а название Onze-Vingt (11 20) дано корпусу
сержантов-полицейских, состоящему из 220 человек.
Глава 1. Отпечатки пальцев 25
В первобытных племенах Австралии и Африки используется
система счисления с основанием не 5, не 10 и не 20. Это двоичная
система, т.е. ее основанием является 2. Эти племена еще не достигли
стадии счета на пальцах. У них есть независимые названия
для чисел «один» и «два» и составные до шести. А все, что свыше
шести, обозначается словом «много».
Керр, на которого мы уже ссылались в связи с австралийскими
племенами, утверждает, что большинство из них считает парами.
Их привычка считать таким способом настолько сильна,
что если из семи булавок, расположенных в ряд, убрать две, то
абориген может этого и не заметить; однако если исчезнет одна
булавка, он сразу же об этом узнает. Его чувство парности сильнее,
чем чувство числа.
Достаточно удивительно, что эта простейшая система счисления
в относительно недавние времена приобрела такого выдающегося
защитника, как Лейбниц. В двоичном исчислении используются
всего два символа: 0 и 1, посредством которых выражаются
все остальные числа, как показано в следующей таблице:
Десятичная система 1 2 3 4 5 6 7 8
Двоичная система 1 10 11 100 101 110 111 1000
Десятичная система 9 10 11 12 13 14 15 16
Двоичная система 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000
Преимуществом системы с основанием два является минимальное
количество необходимых символов и чрезвычайная простота
вычислений. Следует помнить, что каждая система счисления требует
хранения в памяти таблиц сложения и умножения. Для двоичной
системы такие таблицы сводятся к двум правилам: 1 + 1 = 10 и
1 1 = 1; в то время как для десятичной системы каждая из таблиц
требует 100 ячеек. Однако это преимущество в значительной степени
компенсируется отсутствием краткости; так, десятичное число
4096 = 212 в двоичной системе выглядит как 1 000 000 000 000.
Именно загадочная утонченность двоичной системы заставила
Лейбница воскликнуть: Omnimbus ex nihil ducendis sufficit unum (Единицы
достаточно, чтобы вывести все из ничего). Лаплас сказал:
«Лейбниц видел в двоичной системе прообраз Творения… Ему
представлялось, что единица представляет Божественное начало,
а ноль – небытие и что Высшее Существо создает все сущее из
небытия, точно так же как единица и ноль в его системе выража26
Числа – язык науки
ют все числа. Эта концепция так понравилась Лейбницу, что он
сообщил о ней иезуиту Гримальди – президенту китайского общества
математиков, в надежде, что этот образ Творения поможет
обратить в христианство императора Китая, который очень
увлекался науками. Я говорю об этом только лишь для того, чтобы
показать, как детские предубеждения могут затмить взор даже
такого великого человека!»
Интересно порассуждать, как изменилась бы история культуры,
если бы вместо гибких пальцев у человека было только две
неподвижные конечности. Если бы в таких условиях все же возникла
какая-либо система счисления, то, скорее всего, она была
бы двоичной.
То, что человечество приняло десятичную систему счисления, –
это физиологическая случайность. Тем, кто во всем видит руку
Провидения, придется признать, что с математикой у Провидения
плохо. Кроме того, что эта система наиболее удобна с физиологической
точки зрения, она мало чем привлекает. Почти любая
другая система, за исключением, быть может, девятеричной,
была бы так же хороша, а вероятно лучше.
В самом деле, если бы выбор был предоставлен группе экспертов,
то мы стали бы свидетелями конфликта между людьми
практичными, которые настаивали бы на числе с возможно большим
количеством делителей, таким как двенадцать, и математиками,
которые захотели бы выбрать в качестве основания простое
число, такое как семь или одиннадцать. Действительно, в
конце восемнадцатого века великий естествоиспытатель Бюффон
предложил повсеместно использовать двенадцатеричную систему
счисления. Он указывал на тот факт, что у числа 12 есть
четыре делителя, в то время как у 10 их только 2, и утверждал,
что в течение веков этот недостаток десятичной системы ощущался
настолько остро, что, несмотря на то что универсальным
основанием было число десять, большинство мер состоит из
12 частей.
С другой стороны, великий математик Лагранж заявлял, что
простое число в качестве основания системы счисления намного
предпочтительнее. Он указывал на тот факт, что в этом случае все
дроби по основанию системы счисления будут несократимыми и
поэтому числа будут представлены единственным образом. Например,
в нашей нынешней системе счисления десятичная дробь
0,36 обозначает в действительности много дробей: 36/100,18/50 и
9/25… Считается, что такая неопределенность уменьшилась бы,
Глава 1. Отпечатки пальцев 27
если бы в качестве основания было принято простое число, как
например, одиннадцать.
Но на чем бы ни остановилась группа экспертов, которой мы
доверили выбор основания системы, на простом числе или на
составном бы, можно гарантировать, что число десять вообще не
рассматривалось, поскольку оно не простое и не имеет достаточного
количества делителей.
В наше время, когда вычислительные устройства почти совершенно
вытеснили расчеты в уме, никто не воспринимает такие
предположения всерьез. Преимущества были бы так незначительны,
а традиции счета десятками настолько сильны, что
проблема кажется смехотворной.
С точки зрения истории культуры, изменение основания, вызванное
даже практическими соображениями, было бы крайне
нежелательно. Ведь пока человек считает десятками, его десять
пальцев напоминают ему о человеческом происхождении этой
наиболее важной области мышления. Так может быть, десятичная
система счисления призвана служить живым напоминанием
о том, что:
Человек – мера всех вещей.
Санскрит Древне- Латынь Немец- Англий- Француз- Русский
греческий кий ский ский
1 eka en unus eins one un один
2 dva duo duo zwei two deux два
3 tri tri tres drei three trois три
4 catur tetra quatuor vier four quatre четыре
5 panca pente quinque fünf five cinq пять
6 sas hex sex sechs six six шесть
7 sapta hepta septem sieben seven sept семь
8 asta octo octo acht eight huit восемь
9 nava ennea novem neun nine neuf девять
10 daca deca decem zehn ten dix десять
100 cata ecaton centum hundert hundred cent сто
1000 sehastre xilia mille tausend thousand mille тысяча
Числительные некоторых индоевропейских языков, иллюстрирующие
чрезвычайную устойчивость названий чисел
28 Числа – язык науки
Типичная двоичная система: язык Западного племени, Торресов
пролив
Слово Смысл
1 tai
2 lua
3 tolu
4 vari
5 luna рука
6 otai второй раз один
7 olua “–” два
8 otolu “–” три
9 ovair “–” четыре
10 luna lua две руки
Типичная пятеричная система: язык эпи, острова Новые Гебриды
1 hun 1
20 kal 20
202 bak 400
203 pic 8000
204 calab 160 000
205 kinchel 3 200 000
206 alce 64 000 000
1 urapun 3 okosa-urapun 5 okosa-okosa-urapun
2 okosa 4 okosa-okosa 6 okosa-okosa-okosa