eng
Содержание
Предисловие
Глава 1.
1.
Уравнения в частных производных первого порядка
1.1.
Введение
1.2.
Уравнения в частных производных первого порядка от двух независимых переменных
1.3.
Составление уравнений в частных производных первого порядка
1.4.
Решение линейного уравнения в частных производных первого порядка (метод Лагранжа)
1.5.
Интегральные поверхности, проходящие через данную кривую
1.6.
Поверхности, ортогональные данному семейству поверхностей
1.7.
Совместность уравнений в частных производных первого порядка
1.8.
Классификация решений уравнений в частных производных первого порядка
1.9.
Решение нелинейных уравнений в частных производных первого порядка
1.9.1.
Метод Шарпи
1.9.2.
Метод Якоби
1.9.3.
Специальные типы уравнений первого порядка
1.9.4.
Метод характеристик Коши Упражнения
Глава 2.
Уравнения в частных производных второго порядка
2.1.
Происхождение уравнений второго порядка
2.2.
Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
2.3.
Методы решения линейных уравнений
2.3.1.
Решение приводимых уравнений
2.3.2.
Решение неприводимых уравнений с постоянными коэффициентами
2.3.3.
Правила нахождения дополнительных функций
2.3.4.
Правила нахождения частных решений
2.4.
Классификация уравнений в частных производных второго порядка
2.4.1.
Канонические формы
2.5.
Сопряженные операторы
2.5.1.
Метод Римана
2.6.
Нелинейные уравнения второго порядка (метод Монжа)
Упражнения
Глава 3.
Уравнения гиперполического типа
3.1.
Волновое уравнение
3.1.1.
Вывод уравнения Лапласа
3.1.2.
Вывод уравнения Пуассона
3.2.
Краевые задачи
3.3.
Метод разделения переменных
3.4.
Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах
3.5.
Уравнение Лапласа в сферических координатах
3.6.
Внутренняя задача Дирихле для окружности
3.7.
Внешняя задача Дирихле для окружности
3.8.
Внутренняя задача Неймана для окружности
3.9.
Внутренняя задача Дирихле для сферы
3.10.
Различные примеры
Упражнения
Глава 4.
Параболические уравнения
4.1.
Вывод уравнения диффузии
4.2.
Граничные условия
4.3.
Метод разделения переменных
4.4.
Уравнение диффузии в цилиндрических координатах
4.5.
Уравнение диффузии в сферических координатах
4.6.
Проблемы линии передачи
4.7.
Принцип максимума-минимума
4.7.1.
Теорема единственности
4.8.
Различные примеры
Упражнения
Глава 5.
Гиперболические уравнения
5.1.
Волновое уравнение
5.2.
Вывод одномерного волнового уравнения
5.3.
Приведение одномерного волнового уравнения к канонической форме и его решение
5.4.
Решение Даламбера одномерного волнового уравнения
5.5.
Метод разделения переменных
5.6.
Периодические решения
5.6.1.
Цилиндрические координаты
5.6.2.
Сферические полярные координаты
5.7.
Метод собственных функций
5.8.
Единственность решения волнового уравнения
5.9.
Принцип Дюамеля для волнового уравнения
5.10.
Двумерное волновое уравнение
Упражнения
Глава 6.
Интегральные преобразования и метод функций Грина
6.1.
Введение
6.2.
Преобразования Лапласа
6.3.
Решение уравнений в частных производных
6.3.1.
Уравнение диффузии
6.3.2.
Волновое уравнение
6.4.
Преобразования Фурье и их приложения к уравнениям в частных производных
6.4.1.
Уравнение диффузии
6.4.2.
Волновое уравнение
6.4.3.
Уравнение Лапласа
6.4.4.
Различные примеры
6.5.
Метод функций Грина и его приложения
6.5.1.
Уравнение Лапласа
6.5.2.
Волновое уравнение
6.5.3.
Уравнение диффузии
Упражнения
Глава 7.
Интегральные уравнения
7.1.
Уравнения Фредгольма и Вольтерра
7.2.
Построение решения уравнения Фредгольма второго рода при малых значения параметра методом последовательных приближений
7.3.
Интегральное уравнение Вольтерра II рода
7.4.
Интегральное уравнение Вольтера I рода
7.5.
Теорема Фредгольма
7.6.
Интегральное уравнение Фредгольма второго рода с непрерывном ядром
7.8.
Понятие спектра
Упражнения
Ответы к основным упражнениям
Приложение А
Приложение В
Литература
Предметный указатель
Предметный указатель