eng
Содержание
Предисловие
I. Элементарные понятия некоммутативного анализа
1.
Примеры, в которых возникают функции некоммутирующих операторов
1.1.
Неавтономные линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Т-экспонента
1.2.
Квантовая механика. Операторы рождения и уничтожения
1.3.
Дифференциальные и интегральные операторы
1.4.
Задачи теории возмущений
1.5.
Закон умножения в группах Ли
1.6.
Задача о собственных значениях квантового осциллятора
1.7.
Т-экспоненты, формулы Троттера и континуальные интегралы
2.
Функции некоммутирующих операторов: конструкция и основные свойства
2.1.
Мотивировки
2.2.
Определение и теорема единственности
2.3.
Основные свойства
2.4.
Медленно растущие символы и производящие операторы групп степенного роста
2.5.
Влияние классов символов на свойства генераторов
2.6.
Квантование Вейля
3.
Некоммутативное дифференциальное исчисление
3.1.
Формула дифференцирования
3.2.
Теорема Далецкого-Крейна
3.3.
Разложения более высоких порядков
3.4.
Перестановка фейнмановских номеров
3.5.
Формула сложной функции
4.
Теорема Кемпбелла-Хаусдорфа и формула Дынкина
4.1.
Постановка задачи
4.2.
Операция коммутирования
4.3.
Замкнутая формула для lп{еВеА)
4.4.
Замкнутая формула для логарифма Г-экспоненты
5.
Резюме: правила \"операторной арифметики\" и некоторые стандартные приемы
5.1.
Обозначения
5.2.
Правила
5.3.
Стандартная техника
II. Метод упорядоченного представления
1.
Определение и основное свойство упорядоченного представления
1.1.
Виковская нормальная форма
1.2.
Упорядоченное представление и теорема о композиции
1.3.
Редукция к нормальной форме
2.
Вычисление упорядоченного представления
2.1.
Функции операторов х и —iд/дх
2.2.
Возмущенные гейзенберговские соотношения
2.3.
Нелинейные коммутационные соотношения
2.4.
Лиевские коммутационные соотношения
2.5.
Градуированные алгебры Ли
3.
Условие Якоби и теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта
3.1.
Упорядоченное представление и условие Якоби
3.2.
Теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта
3.3.
Примеры проверки условия Якоби
4.
Условие Якоби и уравнения Янга-Бакстера
5.
Представления групп Ли и функции их инфинитезимальных образующих
5.1.
Условия на представление
5.2.
Гильбертовы шкалы
5.3.
Пространства символов
5.4.
Классы символов и асимптотические задачи
III. Некоммутативный анализ и дифференциальные уравнения
1.
Основные идеи
1.1.
Метод Хевисайда для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
1.2.
Нестандартные характеристики и асимптотические разложения
1.3.
Асимптотические разложения. Гладкость в сравнении с параметром
1.4.
Асимптотические разложения относительно упорядоченного набора операторов
1.5.
Редукция к псевдодифференциальным уравнениям
1.6.
Коммутация псевдодифференциального оператора с экспонентой
1.7.
Резюме: общая схема
2.
Разностные и дифференциально-разностные уравнения
2.1.
Разностные аппроксимации как псевдодифференциальные уравнения
2.2.
Разностные аппроксимации как функции от х и dx ±
2.3.
Еще один подход к разностным аппроксимациям
3.
Распространение электромагнитных волн в плазме
3.1.
Постановка задачи
3.2.
Построение асимптотического разложения
3.3.
Анализ асимптотического решения
4.
Уравнения геострофического ветра
Приложение А. Представления алгебр и групп Ли
1.
Алгебры Ли и их представления
1.1.
Алгебры Ли, базисы, структурные константы, подалгебры
1.2.
Примеры алгебр Ли
1.3.
Гомоморфизмы, идеалы, фактор-алгебры
1.4.
Представления
1.5.
Присоединенное представление. Центр алгебры Ли
1.6.
Теорема Адо
1.7.
Нильпотентные алгебры Ли
2.
Группы Ли и их представления
2.1.
Группы Ли, подгруппы, теорема Глисона-Монтго-мери-Циппина
2.2.
Примеры групп Ли
2.3.
Локальные группы Ли
2.4.
Гомоморфизмы групп Ли, нормальные подгруппы, фактор-группы
2.5.
Левые и правые сдвиги. Мера Хаара
2.6.
Левые и правые регулярные представления
2.7.
Представления групп Ли
3.
Связь между группами и алгебрами Ли
3.1.
Алгебра Ли группы Ли
3.2.
Примеры
3.3.
Экспоненциальное отображение, однопараметрические подгруппы, координаты I и II рода
3.4.
Вычисление коммутатора с помощью экспоненциального отображения
3.5.
Производные гомоморфизмы
3.6.
Производное представление
3.7.
Группа Ли, соответствующая алгебре Ли
3.8.
Теорема Крейна-Шихватова
Приложение В. Псевдодифференциальные
2.
Пространства символов и генераторы
3.
Функции операторов х и — i /дх
Глоссарий
Библиографические замечания
Библиография
Предметный указатель