eng
Содержание
СОДЕРЖАНИЕ
СОДЕРЖАНИЕ ............................................................................3
Предисловие .......................................................................6
Глава 1.
Введение ............................................................................10
1.1.
Что такое фракталы и хаос? ...........................10
1.2.
Предыстория ....................................................13
Глава 2.
Классические фракталы ................................................16
2.1.
Самоподобие ....................................................16
2.2.
L-системы .........................................................24
2.3.
Пыль Кантора ...................................................39
2.4.
Кривые Пеано ..................................................47
Глава 3. 54; Множества и отображения ......................54
3.1.
Предварительные сведения из теории
множеств .................................................................54
3.2.
Метрические пространства .............................65
3.3.
Сжимающие отображения ..............................71
3.4.
Аффинные преобразования ...........................80
3.5.
Метрика Хаусдорфа I ......................................96
Глава 4.
Системы итерированных функций .............................101
4.1.
Системы итерированных функций ...............101
4.2.
Реализация СИФ ...........................................108
4.3
СИФ со сгущением ........................................117
4.4.
Коллажи ..........................................................126
Глава 5.
Размерность ....................................................................132
5.1.
Размерность Минковского ............................132
5.2.
Вычисление размерности .............................144
Book_fnl.indb 3 29.05.2006 2:06:09
4
Глава 6.
Хаотическая динамика I ................................................154
6.1.
Аттрактор Лоренца ........................................154
6.2.
Итерированные отображения .......................157
6.3.
Универсальность Фейгенбаума ....................166
6.4.
Периодичность Шарковского ........................172
6.5.
Хаос .................................................................177
Глава 7.
Хаотическая динамика II ...............................................193
7.1.
Существенная зависимость ..........................193
7.2.
Символическая динамика .............................195
7.3.
Хаос и фракталы ............................................210
7.4.
Подъем ............................................................217
7.5.
Затенение .......................................................225
7.6.
Алгоритм рандомизированной СИФ ............227
Глава 8.
Комплексная динамика .................................................230
8.1.
Множество Жюлиа ........................................230
8.2.
Орбиты в множествах Жюлиа ......................240
8.3.
Множество Мандельброта ............................245
8.4.
Хаос и множества Жюлиа .............................261
8.5.
Проблема Кэли ..............................................263
Глава 9.
Случайные фракталы ....................................................269
9.1.
Случайные возмущения ................................270
9.2.
Броуновское движение .................................273
9.3.
Срединное смещение ....................................286
9.4.
Фрактальное броуновское движение...........291
9.5.
Срединное смещение и ФБД ........................301
9.6.
Фурье-анализ ФБД ........................................307
9.7.
Фильтрация Фурье .........................................312
Приложение А.
Дополнительные сведения из анализа ......................320
А.1. Полнота и компактность ...............................320
А.2. Непрерывные отображения ..........................323
А.3. Метрика Хаусдорфа II ...................................329
А.4. Топологическая размерность .......................339
Содержание
Book_fnl.indb 4 29.05.2006 2:06:12
5
А.5. Размерность Хаусдорфа ..............................342
А.6. Быстрое преобразование Фурье ..................346
Приложение Б.
Теория ренормализации и фракталы Пуанкаре ......351
Б.1. Теория ренормализации ...............................351
Б.2. Фракталы Пуанкаре ......................................356
Список литературы ........................................................368
Литература, добавленная при переводе....................370
А.А. Потапов «Фракталы и хаос как основа
прорывных технологий в современных
радиосистемах» .............................................................374
Список литературы .......................................................458
Александр Алексеевич Потапов
(к 55-летию со дня рождения) .................................................476
Предметный указатель .................................................480
ПРЕДИСЛОВИЕ
Казалось бы, два таких разных математических объекта, как
фракталы и хаос, следует изучать независимо друг от друга:
ведь теория фракталов опирается на геометрию и теорию
размерности, а теория хаоса есть развитие теории динами-
ческих систем. С другой стороны, между ними существует
определенная взаимосвязь, которая часто теряется в дета-
лях изложения каждой из теорий. Данная книга, во-первых,
представляет собой вводный курс теории фракталов и теории
хаоса, а во-вторых, рассматривает вопрос о том, как некото-
рые фракталы (аттракторы систем итерированных функций)
могут порождать хаос.
В главах 2-5 рассматривается ряд важных идей и понятий,
связанных с детерминированными фракталами: самоподо-
бие, системы итерированных функций и размерность. Здесь
же описаны L"системы, использование которых существенно
облегчает графические построения, особенно в случае фрак-
талов, напоминающих по форме растения.
Изложение теории детерминированного хаоса разбито на
две главы. Глава 6, «Хаотическая динамика I», дает представ-
ление о предмете на элементарном уровне, причем такие слож-
ные понятия, как символическая динамика, раскрываются в
основном на примерах. Глава 7, «Хаотическая динамика II», в
больше мере предназначена для студентов с хорошей матема-
тической подготовкой и может быть опущена, если курс пред-
полагается упростить. С другой стороны, именно здесь прояв-
ляется отмеченная выше взаимосвязь фракталов и хаоса.
Глава 8, «Комплексная динамика», посвященная множес-
твам Жюлиа и Мандельброта, выдержана в упрощенном сти-
ле. Результаты, опирающиеся на сложные теоремы из теории
функций комплексного переменного, не доказываются, но
долж ным образом выделяются и интенсивно используются.
Помимо результатов теории функций и комплексного пе-
ременного, изложение охватывает многие важные вопросы,
например, вопрос о том, является ли множество Жюлиа свя-
занным или вполне разрывным, ответ на который дает мно-
жество Мандельброта.
Другой, не менее важный для понимания подход, развит
в главе 9, посвященной случайным фракталам, в частности,
фрактальному броуновскому движению. Такие обобщения
классического броуновского движения находят широкое при-
менение в моделировании природных явлений. В принципе,
материал этой главы можно читать в любое время после главы
о размерности.
В основу книги лег односеместровый курс, который я читал в
университете Миссури"Колумбия в 1989"1993 гг. Слушателями
были, в основном, студенты, специализирующиеся по матема-
тике, естественным наукам, техническим специальностям и не-
которым другим дисциплинам. Я рекомендовал им прослушать
сначала продвинутый курс математического анализа и линей-
ной алгебры, но обычно допускал к занятиям заинтересован-
ных студентов, у которых был какой"то опыт математических
исследований, будь то чистая или прикладная математика.
В отличие от традиционного формата многих математичес-
ких курсов теорема"доказательство"пример"задача, большую
роль при изучении фракталов и хаоса играет компьютерное
моделирование. В самом деле, большинство студентов впер-
вые узнают о существовании фракталов, увидев потрясаю-
щие воображение картинки на дисплее компьютера. Данная
книга предлагает использовать компьютерные эксперименты
и теорию в совокупности, для чего в нее включены двадцать
компьютерных алгоритмов. Эти алгоритмы даны в обобщен-
ном виде, то есть независимо от синтаксиса какого"либо кон-
кретного языка. По моим наблюдениям, не существует языка
программирования или программного пакета, который удов-
летворял бы всех. Студенты, с которыми я общался, програм-
мировали на Паскале, Си, С++, Фортране, в системах Matlab
и Mathematica. Одним из лучших программных продуктов для
экспериментирования с фракталами является свободно рас-
пространяемая программа Fractint. Она позволяет строить раз-
нообразные фракталы и работает замечательно быстро.
Солидная часть материала, необходимого для изучения
фракталов и хаоса, включена в основной текст книги. Кратко
изложены введение в теорию множеств, аффинные преобра-
зования, метрические пространства, множества Кантора и
кривые Пеано. За исключением материала седьмой главы,
книга содержит только несколько доказательств, требующих
серьезной подготовки на уровне продвинутого курса матема-
тического анализа. Такие доказательства помечены значком
( ). Они могут быть опущены, но рекомендуется, чтобы сту-
денты запомнили формулировки теоремы. Другие, более слож-
ные параграфы, вынесены в прил. А. В результате, книга мо жет
быть использована в качестве основы для курсов разной сте-
пени сложности.
Изложение, которое придерживается глав 1"6 и 8"9, то есть
исключает главу 7, «Хаотическая динамика II», и обращается
к прил. А только в справочных целях, рекомендуется в качес-
тве элементарного курса. В разных семестрах я успевал прой-
ти часть седьмой главы и избранные параграфы прил. А, в
частности, посвященные метрике Хаусдорфа и размерности
Хаусдорфа, но только ценой пропуска или ускоренного изуче-
ния части предыдущего материала.
Черно"белые изображения в этой книге напечатаны с ис-
пользованием графической системы Postscript. Многие изоб-
ражения созданы в программе Matlab, в которой особенно
удобно строить кривые в трехмерном пространстве. Matlab
также хорошо подходит для программирования и визуализа-
ции L"систем (п. 2.2), паутинных диаграмм (глава 6) и фрак-
тального броуновского движения (глава 9). Изображения, в
которых требовалась заливка областей, ограниченных кривы-
ми, получены с помощью пакета Mathematica. Изображения,
для которых необходима точечная графика (для данного пик-
села в данный момент времени определяется его цвет, черный
или белый), были сгенерированы на Фортране с последующим
преобразованием выходного файла в формат Postscript. Таким
способом было получено графическое представление систем
итерированных функций из четвертой главы и комплексной
динамики из восьмой главы. Цветные вклейки были сделаны с
помощью программы Fractint.
Я хочу выразить признательность за плодотворное общение
моим коллегам, которых также интересует теория хаоса, фрак-
талы и математика, связанная с этими понятиями. Во"первых,
я хотел бы поблагодарить Дж. Келлера, познакомившего ме ня
с фракталами в 1984 году, когда ему понадобилась помощь
в ра боте над проектом по изучению фракталов, а также его
ас пи ран тку С. Чен, замечательно владеющую предметом. Впос-
ледс твии я очень много почерпнул из оживленных дискуссий
с К. Альбрандтом, К. Чиконе, Д. Петти, П. Пфайфером и
П. Спекманом. Я бла го да рен Р. Делавару за его лекционные за-
мет ки по поводу теоре мы Шарковского, а также П. Хагерти,
ко торый был моим сту дентом в 1993 году, за его профес-
сиональ ную помощь при соз дании иллюстраций в пакете
Mathematica.
Большое спасибо Э. Бельтрами, А. К. Клайни, Р. В. Истону,
а также М. Дж. Филду, Р. Д. Найдингеру, А. Нортону и
К. Шорту, просмотревшим рукопись. Их взвешенная крити-
ка и предложения, без сомнения, положительно повлияли на
окончательную редакцию.
Я очень признателен К. Хеслеру"младшему, вице"прези-
ден ту компании «Jones and Bartlett Publishers», за его энергич-
ную помощь в создании этого учебника. Большое спасибо
П. Кэрролл и М. Сервантес из «Jones and Bartlett Publishers»,
а также М. Финли из отдела печати, за их работу по выпуску
книги.
Я хочу особенно поблагодарить мою жену Мэри за ее тер-
пение и поддержку в течение всего времени, пока писалась
эта книга.
ГЛАВА 1.
ВВЕДЕНИЕ
1.1. Что такое фракталы и хаос?
Когда"то большинству людей казалось, что геометрия в приро-
де ограничивается таким простыми фигурами, как линия, круг,
коническое сечение, многоугольник, сфера, квадратичная по-
верхность, а также их комбинациями. К примеру, что может
быть красивее утверждения о том, что планеты в нашей солнеч-
ной системе движутся вокруг солнца по эллиптическим орби-
там? Этот замечательный закон — один из трех постулатов пла-
нетарного движения, сформулированных Иоганном Кеплером
на основе наблюдений и измерений, сделанных Тихо Браге.
Позднее, Исаак Ньютон вывел закон обратных квадратов для
гравитационного притяжения как решение некоего дифферен-
циального уравнения, причем законы Кеплера следовали из его
решения. Как в этом, так и в других случаях, когда применение
простых геометрических моделей оказалось удачным, это при-
вело к огромным научным достижениям.
Однако многие природные системы настолько сложны и не-
регулярны, что использование только знакомых объектов клас-
сической геометрии для их моделирования представляется без-
надежным. Как, к примеру, построить модель горного хребта
или кроны дерева в терминах геометрии? Как описать то много-
образие биологических конфигураций, которое мы наблюдаем
в мире растений и животных? Представьте себе всю сложность
системы кровообращения, состоящей из множества капилляров
и сосудов и доставляющей кровь к каждой клеточке человечес-
кого тела. Представьте, как хитроумно устроены легкие и почки,
напоминающие по структуре деревья с ветвистой кроной.
Столь же сложной и нерегулярной может быть и динамика
природных систем. Как подступиться к моделированию кас-
кадных водопадов или турбулентных процессов, определя-
Book_fnl.indb 1Book_10 29.05.2006 2:06:15
11
1 Термин «фрактал» произведен от латинского глагола frangere – ломать
и прилагательного fractus – дробный [46].
ющих погоду? Какая математика отвечает за ритмы сердца и
головного мозга, наблюдаемые на электрокардиограмме и эн-
цефалограмме, в особенности за те внезапные приступы арит-
мии, которые могут вызывать сбой в работе сердца? Можно ли
математически описать внезапное возникновение волны пани-
ки на финансовых рынках или даже построить математическую
модель социального поведения?
Фракталы и математический хаос — подходящие средст ва
для исследования поставленных вопросов. Термин «фрактал»
от носится к некоторой статичной геометрической конфигу ра-
ции, та кой как мгновенный снимок водопада. Хаос — термин
ди на ми ки, используемый для описания явлений, подоб ных
тур бу лент ному поведению погоды. Данная книга яв ляет ся
вве де нием в ма те ма ти ку, которая стоит за этими поняти ями.
Предполагается, что пос ле освоения изложенных здесь мето-
дов читатель сможет пе рей ти к изучению приложений по спе-
циализированным источ никам1.
Например, исследования показывают, что в физиологии
встре чается как «хороший» хаос, так и «плохой» [17, с. 273"300].
В опытах на кошках было замечено, что вид электро кардиог рам-
мы, снятой до и после введения кокаина, меняется с ре гу ляр-
ной последовательности высоких пиков, сопровождаемых ма-
лыми пичками, на крайне нерегулярную последователь ность,
что, возможно, свидетельствует о приступе аритмии. С другой
стороны, характер электроэнцефалограммы меняется с нерегу-
лярного и непредсказуемого на гораздо более гладкий [19,
с. 26"27]. См также [18] об анализе возможной роли хаоса в раз-
ви тии болезни сердца.
Нередко то, что мы наблюдаем в природе, интригует нас бес-
конечным повторением одного и того же узора, увеличенно го
или уменьшенного во сколько угодно раз. Например, у дере ва
есть ветви. На этих ветвях есть ветки поменьше и т.д. Теоре-
тически, элемент «разветвление» повторяется бес ко неч но мно-
го раз, становясь все меньше и меньше. То же са мое можно за-
метить, разглядывая фотографию горного рельефа. Попробуйте
немного приблизить изображение горной гря ды — вы снова
увидите горы. Приблизьте картинку еще — вы по"прежнему
будете различать нечто, напоминающее горы, благодаря вашей
способности (статической по сути) различать тип объекта на
рисунке. Так проявляется характерное для фракталов свойство
самоподобия (п. 2.1 и 5.1).
Во многих работах по фракталам самоподобие используется в
качестве определяющего свойства. Следуя Бенуа Мандельброту
[31], мы принимаем точку зрения, согласно которой фракта-
лы должны определяться в терминах фрактальной (дробной)
размерности (глава 5). Отсюда и происхождение слова фрак-
тал. Понятие дробной размерности представляет собой весьма
сложную концепцию, которую мы изложим в несколько эта-
пов. Прямая — это одномерный объект, а плоскость — двумер-
ный. Как мы увидим далее, хорошенько перекрутив прямую
или плоскость, можно повысить размерность полученной кон-
фигурации; при этом новая размерность обычно будет дробной
в некотором смысле, который нам предстоит уточнить. Связь
дробной размерности и самоподобия состоит в том, что с помо-
щью самоподобия можно сконструировать множество дробной
размерности наиболее простым образом (п. 2.1). Даже в случае
гораздо более сложных фракталов, таких, как граница множес-
тва Мандельброта (п. 8.3), когда чистое самоподобие отсутс-
твует, имеется почти полное повторение базовой формы во все
более и более уменьшенном виде.
В английском языке хаос обычно определяется как состо-
яние полного беспорядка или неразберихи. Некоторые слова-
ри прибегают к понятию состояния, в котором правит случай.
Термин хаос в математике используется в узком смысле.
Хотя универсального определения математического хаоса
не существует, имеется, по"видимому, полное согласие в том,
что любой вид хаоса обладает свойством непредсказуемости.
Это свойство называют существенной зависимостью от нача-
ль ных ус ло вий (п. 6.5). Как ни странно, оно не эквивалентно
слу чайному поведению. По сути дела, математичес кий хаос —
это характерная черта именно детерминированных дина ми-
ческих систем. Поэтому наблюдаемые в состоянии хаоса флук-
туации только кажутся случайными — их значения пол ностью
предопределены входными параметрами. Но на прак тике
мы никогда не располагаем абсолютно точной ин фор мацией
о начальных условиях. Ошибки, пусть и ничтожные, всегда
имеют место при измерении входных параметров. То, что
кажется нам случайным результатом на выходе динамической
системы, обусловлено большими ошибками, которые могут
появиться, когда система ведет себя хаотично.
Когда"то считалось, что в детерминированной системе, при
нали чии достаточного объема вычислительных ресурсов, мы
всег да в состоянии сделать значимое предсказание (например,
да ть надежный прогноз погоды), несмотря на маленькие ошиб-
ки измерения текущего состояния. В присутствии хаоса это не
так. Никакой самый мощный компьютер не позволит нам сде-
лать точный прогноз на основе математической системы с су-
щественной зависимостью от начальных условий.
С нашей точки зрения, наиболее интересный вопрос теории
фракталов и хаоса состоит в том, как связать эти понятия воеди-
но. Многие важные фракталы, включая снежинку Коха, ковер
Серпинского и классическое множество Кантора, обсужда емые
во второй главе, могут быть получены как аттракторы сис тем ите-
ри рованных функций (глава 4). Анализ этих систем ите ри ро ван-
ных функций указывает путь к построению хаотичес ких опера-
торов, ассоциированных с упомянутыми фракталами (глава 7).
Заслуживает внимания тот факт, что появление фракталов
(еще не получивших этого имени) в математической литерату-
ре около ста лет назад было встречено с прискорбной неприяз-
нью, как это бывало и в истории многих других математических
идей. Один известный математик, Шарль Эрмит, даже окрес-
тил их монстрами. По крайней мере, общее мнение признало
их патологией, представляющей интерес только для исследо-
вателей, злоупотребляющих математическими причудами, а не
для настоящих ученых.
В результате усилий Бенуа Мандельброта такое отношение
изменилось, и фрактальная геометрия стала уважаемой при-
кладной наукой. Мандельброт ввел в употребление термин
«фрак тал», основываясь на теории фрактальной (дробной) раз-
мерности Хаусдорфа [20], предложенной в 1919 году. За много
лет до появления его первой книги по фрактальной геометрии,
Мандельброт приступил к исследованию появления монстров
и других патологий в природе. Он отыскал нишу для имевших
дурную репутацию множеств Кантора, кривых Пеано, функций
Вейерштрасса и их многочисленных разновидностей, которые
считались нонсенсом. Он и его ученики открыли множество
новых фракталов, например, фрактальное броуновское движе-
ние для моделирования лесного и горного ландшафтов, флук-
туаций уровня рек и биения сердца. С выходом в свет его книг
[30, 31] приложения фрактальной геометрии стали появляться
как грибы после дождя. Это коснулось как многих прикладных
наук, так и чистой математики. Миллионы людей любовались
горным ландшафтом в фильме «Звездное переселение II: гнев
хана», сконструированным с помощью фракталов.
Французский математик Анри Пуанкаре инициировал ис-
следования в области нелинейной динамики около 1890 года,
что привело к появлению современной теории хаоса. Интерес
к предмету заметно увеличился, когда Эдвард Лоренц, зани-
мавшийся нелинейным моделированием погоды, в 1963 году
обнаружил невозможность долгосрочных прогнозов погоды.
Лоренц заметил, что даже ничтожные ошибки при измерении
параметров текущего состояния погодных условий могут при-
вести к абсолютно неправильным предсказаниям о состоянии
погоды в будущем. Эта существенная зависимость от началь-
ных условий лежит в основе математической теории хаоса.
Траектории частиц броуновского движения, которым зани-
ма лись Роберт Броун еще в 1828 году и Альберт Эйнштейн в
1905 году, представляют собой пример фрактальных кривых,
хотя их математическое описание было дано только в 1923 году
Норбертом Винером. В 1890 году Пеано сконструировал свою
замечательную кривую — непрерывное отображение, перево-
дящее отрезок в квадрат и, следовательно, повышающее его
размерность с единицы до двойки. Граница снежинки Коха
(1904 год), чья размерность d ≈ 1,2618, — это еще одна хорошо
известная кривая, повышающая размерность.
Фрактал, никаким образом не похожий на кривую, кото-
рый Мандельброт назвал пылью — это классическое множество
Кантора (1875 или ранее). Это множество настолько разрежено,
что оно не содержит интервалов, но, тем не менее, имеет столь-
ко же точек, сколько интервал. Мандельброт использовал такую
«пыль» для моделирования стационарного шума в телефонии.
Фрак тальная пыль того или иного рода появляется в много чис-
ленных ситуациях. Фактически, она является универсальным
фракталом в том смысле, что любой фрактал — аттрактор систе-
мы итерированных функций — представляет собой либо фрак-
тальную пыль, либо ее проекцию на пространство с более низ-
кой размерностью.
Различные древовидные фракталы применяются не толь-
ко для моделирования деревьев"растений, но и бронхиально-
го дерева (воздухоносные ветви в легких), работы почек, кро-
веносной системы и др. Интересно отметить предположение
Леонардо да Винчи о том, что все ветки дерева на данной вы-
соте, сложенные вместе, равны по толщине стволу (ниже их
уровня). Отсюда следует фрактальная модель для кроны дерева
в виде поверхности"фрактала.
Многие замечательные свойства фракталов и хаоса откры-
ва ются при изучении итерированных отображений. При этом
на чинают с некоторой функции y = f (x) и рассматрива ют по-
ве де ние последовательности f (x), f (f (x)), f (f (f (x))), … В ком-
п лек сной плоскости работы такого рода восходят, по всей ви-
димости, к имени Кэли, который исследовал метод Ньютона
на хож дения корня в приложении к комплексным, а не только
ве щес твенным, функциям (1879). Замечательного прогресса в
изу чении итерированных комплексных отображений добились
Гастон Жюлиа и Пьер Фату (1919). Естественно, все это было
сделано не без помощи компьютерной графики. В наши дни
многие уже видели красочные постеры с изображением мно-
жеств Жюлиа и Мандельброта, тесно с ним связанного. Осво-
ение математической теории хаоса естественно начать именно с
итерированных отображений.
Изучение фракталов и хаоса открывает замечательные воз-
можности как в исследовании бесконечного числа приложе-
ний, так и в области чистой математики. Но в то же время, как
это часто случается в так называемой новой математике, откры-
тия опираются на пионерские работы великих математиков про-
шлого. Сэр Исаак Ньютон понимал это, говоря: «Если я и видел
дальше других, то только потому, что стоял на плечах гигантов».
ГЛАВА 2.
КЛАССИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ
2.1. Самоподобие
Разделим отрезок прямой на N равных частей. Тогда каждую
часть можно считать копией всего отрезка, уменьшенной в 1/r
раз. Очевидно, N и r связаны соотношением Nr = 1 (рис. 2.1).
Если квадрат разбить на N квадратов (с площадью, в 1/r2 раз
меньше площади исходного), то соотношение запишется как
Nr2 = 1. Если куб разбить на N равных кубов (с объемом, в 1/r3
раз меньше объема исходного), то соотношение примет следу-
ющий вид: Nr3 = 1. Заметим, что размерность d объекта, будь то
одномерный отрезок, двумерный квадрат или трехмерный куб,
появляется как степень r в соотношении между N, числом рав-
ных подобъектов, и коэффициентом подобия r. А именно:
Nrd = 1. (2.1)
Множества, построенные на рис. 2.1, обладают целой раз-
мерностью. Зададимся вопросом, возможно ли такое построе-
ние, при котором показатель d в равенстве (2.1) не является це-
лым, то есть такое, что при разбиении исходного множества на
N непересекающихся подмножеств, полученных масштабиро-
ванием оригинала с коэффициентом r, значение d не будет вы-
ражаться целым числом. Ответ, как мы убедимся – решитель-
ное да! Такое множество называют самоподобным фракталом.
Величину d называют фрактальной (дробной) размерностью
или размерностью подобия. Явное выражение для d через N и r
находится логарифмированием обеих частей (2.1):
r
d N
log1/
= log (2.2)
Book_fnl.indb 16 29.05.2006 2:06:17
17
Логарифм можно взять по любому положительному основа-
нию, отличному от единицы, например, по основанию 10 или
по основанию е ≈ 2,7183.
Более общий тип самоподобных фракталов рассматривает-
ся п. 5.1. Фраклал по"прежнему может быть объединением не-
пересекающихся подмножеств, полученных масштабировани-
ем оригинала, но коэффициенты подобия уже не обязательно
одни и те же для всех подмножеств. В этом случае формула для
размерности (2.2) неприменима.
Термин «фрактал» был впервые введен в 1975 году Бенуа
Мандельбротом, пионером в области фрактальной гео мет-
рии1. Многие математические идеи оформились задолго до
этого, еще в XIX"м веке, в работах Георга Кантора, Карла
Вейерштрасса, Джузеппе Пеано и других. Понятие фракталь-
ной (дробной) размерности появилось в 1919 году в работе
Феликса Хаусдорфа. Тем не менее, именно Мандельброт объе-
динил эти идеи и положил начало систематическому изу че-
нию фракталов и их приложений.
1 Термин «фрактал» произведен от латинского глагола frangere – ломать
и прилагательного fractus – дробный [46].
Рис. 2.1. Связь размерности и коэффициента подобия.
Самоподобие
В 5"й главе и в прил. А.5 будет дано строгое математическое
изложение вопросов, связанных с дробной размерностью. При
этом следует иметь в виду, что понятие фрактала еще находится
в развитии и разные источники могут использовать различные
определения. Заметим здесь, что некоторые множества целой
размерности также являются фракталами, как следует из наше-
го определения.
Снежинка Коха. Граница снежинки, придуманной Гельгом
фон Кохом в 1904 году (рис. 2.2), описывается кривой, состав-
ленной из трех одинаковых фракталов размерности d ≈ 1,2618.
Каждая треть снежинки строится итеративно, начиная с одной
из сторон равностороннего треугольника. Пусть K0 – начальный
отрезок. Уберем среднюю треть и добавим два новых отрезка
такой же длины, как показано на рис. 2.3. Назовем полученное
множество K1. Повторим данную процедуру многократно, на
каждом шаге заменяя среднюю треть двумя новыми отрезками.
Обозначим через Kn фигуру, получившуюся после n"го шага.
Интуитивно ясно, что последовательность кривых { }∞
n n=1 K
схо дится к некоторой предельной кривой K. Мы прове дем
строгое математическое исследование сходимости таких после-
довательностей кривых и других множеств в п. 3.5 и в прил. А.3.
Рис. 2.2. Снежинка Коха.
Пока что предположим, что кривая K существует, и рас смотрим
некоторые ее свойства. Если взять копию K, умень шенную
в три раза (r = 1/3), то все множество K можно составить из
N = 4 таких копий. Следовательно, отношение самоподобия
(2.1) выполняется при N и r , а размерность фрактала будет:
d = log(4) / log(3) ≈ 1,2618.
Еще одно важное свойство, которым обладает граница сне-
жинки Коха, – ее бесконечная длина (см. теорему 2.1.1). Это
мо жет показаться удивительным читателю, привыкшему иметь
де ло с кривыми из курса математического анализа. Обыч но
они глад кие или хотя бы кусочно"гладкие, они всегда име ют ко-
нечную длину (в чем можно убедиться интегрированием). Ман-
дельброт в этой связи опубликовал ряд увлекательных ра бот,
в которых исследуется вопрос об измерении береговой ли нии
Великобритании. В качестве модели он использовал фрак таль-
ную кривую, напоминающую границу снежинки, за тем ис к-
лючением, что в нее введен элемент случайности, учитыва ющей
случайность в природе. В результате оказалось, что кри вая,
описывающая береговую линию, имеет бесконечную длину.
Рис. 2.3. а) K0, б) K1, в) K2, г) K3.
Теорема 2.1.1. Граница снежинки Коха имеет бесконечную длину.
Доказательство. Достаточно показать, что каждый из трех
идентичных фракталов K, полученных итерациями (рис. 2.3),
имеет бесконечную длину. Пусть исходный отрезок K0 име-
ет единичную длину. Тогда длина кривой K1 равна 4/3. Длина
кривой K2 равна 42/32. Продолжая таким образом, имеем, что
кривая Kn после n"го шага имеет длину 4n/3n. Следовательно,
длина предельной кривой K равна бесконечности:
lim 4 /3 = ∞.
→∞
n n
n
Ковер Серпинского. Еще один пример простого самоподоб-
ного фрактала – ковер Серпинского (рис. 2.4), придуманный
польским математиком Вацлавом Серпинским в 1915 году. Сам
термин «ковер» (gasket) принадлежит Мандельброту. В способе
построения, следующем ниже, мы начинаем с некоторой об-
ласти и последовательно выбрасываем внутренние подобласти.
Позднее мы рассмотрим и другие способы, в частности с ис-
пользованием L"систем (п. 2.2), а также на основе систем ите-
рированных функций (глава 4).
Пусть начальное множество S0 – равносторонний треуголь-
ник вместе с областью, которую он замыкает. Разобьем S0 на
Рис. 2.4. Ковер Серпинского.
четыре меньшие треугольные области, соединив отрезками се-
редины сторон исходного треугольника. Удалим внутренность
маленькой треугольной области. Назовем оставшееся множес-
тво S1 (рис. 2.5). Затем повторим процесс для каждого из трех
оставшихся маленьких треугольников и получим следующее
приближение S2. Продолжая таким образом, получим последо-
вательность вложенных множеств Sn, чье пересечение и обра-
зует ковер S.
Из построения видно, что весь ковер представляет собой
объединение N = 3 существенно непересекающихся умень-
шенных в два раза копий; коэффициент подобия r = 1/2 (как по
горизонтали, так и по вертикали). Следовательно, S – самопо-
добный фрактал с размерностью:
d = log(3) / log(2) ≈ 1,5850.
Очевидно, что суммарная площадь частей, выкинутых при
построении, в точности равна площади исходного треуголь-
ника. На первом шаге мы выбросили 1/4 часть площади. На
следующем шаге мы выбросили три треугольника, причем пло-
щадь каждого равна 1/42 площади исходного. Рассуждая таким
образом, мы убеждаемся, что полная доля выкинутой площади
составила:
1/4 + 3(1/42) + 32 (1/43) + … + 3n " 1 (1/4n) + … .
Рис. 2.5. Построение ковра Серпинского.
Самоподобие
Book_fnl.indb 2Book_21 29.05.2006 2:06:19
22 Глава 2. Классические фракталы
Эта сумма равна 1 (упр. 4 в конце этого параграфа).
Следовательно, мы можем утверждать, что оставшееся мно-
жество S, то есть ковер, имеет площадь меры нуль. Это выделя-
ет множество S в разряд «совершенного», в том смысле, что оно
разбивает свое дополнение на бесконечное число треугольных
областей, обладая при этом нулевой толщиной.
Губка Менгера. Существуют и трехмерные аналоги ковров.
Следуя Мандельброту, мы называем такие множества губками.
Губка, изображенная на рис. 2.6, называется губкой Менгера,
по имени Карла Менгера. Это самоподобный фрактал с N = 20
и r = 1/3. Его размерность равна:
d = log(20) / log(3) ≈ 2,7268.
Такая губка имеет объем меры нуль. Мы оставляем детали
построения и анализа для рассмотрения читателю.
Упражнения 2.1.
1. Определить дробную размерность (размерность подобия)
фракталов, которые строятся, как указано на рис. 2.7.
2. Определить дробную размерность (размерность подобия)
фракталов, которые строятся, как указано на рис. 2.8.
3. Построить фрактал, отличный от фрактала на рис. 2.8(а),
но той же размерности.
4. Показать, что сумма площадей треугольников, выкину-
тых при построении ковра Серпинского, равняется пло-
щади исходного треугольника. Указание: воспользовать-
ся соотношением:
1/(1 – x) = 1 + x + x2 + …, для |x| < 1.
5. Рассмотрим фрактал, который строится, как указа-
но на рис. 2.9. Этот фрактал иногда называют «пылью
Серпинского». Записать бесконечный ряд для суммы
площадей частей, которые были удалены при построе-
нии. Найти сумму этого ряда.
Book_fnl.indb 2Book_22 29.05.2006 2:06:19
23
Рис. 2.6. Построение губки Менгера.
Рис. 2.7. Построения к упр. 1
Самоподобие
6. (Компьютерный эксперимент.) Исследовать, какая
связь существует между треугольником Паскаля (со-
стоящим из биноминальных коэффициентов) и ковром
Серпинского (см. [36]).
Казалось бы, два таких разных математических объекта, как
фракталы и хаос, следует изучать независимо друг от друга:
ведь теория фракталов опирается на геометрию и теорию
размерности, а теория хаоса есть развитие теории динами-
ческих систем. С другой стороны, между ними существует
определенная взаимосвязь, которая часто теряется в дета-
лях изложения каждой из теорий. Данная книга, во-первых,
представляет собой вводный курс теории фракталов и теории
хаоса, а во-вторых, рассматривает вопрос о том, как некото-
рые фракталы (аттракторы систем итерированных функций)
могут порождать хаос.
В главах 2-5 рассматривается ряд важных идей и понятий,
связанных с детерминированными фракталами: самоподо-
бие, системы итерированных функций и размерность. Здесь
же описаны L"системы, использование которых существенно
облегчает графические построения, особенно в случае фрак-
талов, напоминающих по форме растения.
Изложение теории детерминированного хаоса разбито на
две главы. Глава 6, «Хаотическая динамика I», дает представ-
ление о предмете на элементарном уровне, причем такие слож-
ные понятия, как символическая динамика, раскрываются в
основном на примерах. Глава 7, «Хаотическая динамика II», в
больше мере предназначена для студентов с хорошей матема-
тической подготовкой и может быть опущена, если курс пред-
полагается упростить. С другой стороны, именно здесь прояв-
ляется отмеченная выше взаимосвязь фракталов и хаоса.
Глава 8, «Комплексная динамика», посвященная множес-
твам Жюлиа и Мандельброта, выдержана в упрощенном сти-
ле. Результаты, опирающиеся на сложные теоремы из теории
функций комплексного переменного, не доказываются, но
долж ным образом выделяются и интенсивно используются.
Помимо результатов теории функций и комплексного пе-
ременного, изложение охватывает многие важные вопросы,
например, вопрос о том, является ли множество Жюлиа свя-
занным или вполне разрывным, ответ на который дает мно-
жество Мандельброта.
Другой, не менее важный для понимания подход, развит
в главе 9, посвященной случайным фракталам, в частности,
фрактальному броуновскому движению. Такие обобщения
классического броуновского движения находят широкое при-
менение в моделировании природных явлений. В принципе,
материал этой главы можно читать в любое время после главы
о размерности.
В основу книги лег односеместровый курс, который я читал в
университете Миссури"Колумбия в 1989"1993 гг. Слушателями
были, в основном, студенты, специализирующиеся по матема-
тике, естественным наукам, техническим специальностям и не-
которым другим дисциплинам. Я рекомендовал им прослушать
сначала продвинутый курс математического анализа и линей-
ной алгебры, но обычно допускал к занятиям заинтересован-
ных студентов, у которых был какой"то опыт математических
исследований, будь то чистая или прикладная математика.
В отличие от традиционного формата многих математичес-
ких курсов теорема"доказательство"пример"задача, большую
роль при изучении фракталов и хаоса играет компьютерное
моделирование. В самом деле, большинство студентов впер-
вые узнают о существовании фракталов, увидев потрясаю-
щие воображение картинки на дисплее компьютера. Данная
книга предлагает использовать компьютерные эксперименты
и теорию в совокупности, для чего в нее включены двадцать
компьютерных алгоритмов. Эти алгоритмы даны в обобщен-
ном виде, то есть независимо от синтаксиса какого"либо кон-
кретного языка. По моим наблюдениям, не существует языка
программирования или программного пакета, который удов-
летворял бы всех. Студенты, с которыми я общался, програм-
мировали на Паскале, Си, С++, Фортране, в системах Matlab
и Mathematica. Одним из лучших программных продуктов для
экспериментирования с фракталами является свободно рас-
пространяемая программа Fractint. Она позволяет строить раз-
нообразные фракталы и работает замечательно быстро.
Солидная часть материала, необходимого для изучения
фракталов и хаоса, включена в основной текст книги. Кратко
изложены введение в теорию множеств, аффинные преобра-
зования, метрические пространства, множества Кантора и
кривые Пеано. За исключением материала седьмой главы,
книга содержит только несколько доказательств, требующих
серьезной подготовки на уровне продвинутого курса матема-
тического анализа. Такие доказательства помечены значком
( ). Они могут быть опущены, но рекомендуется, чтобы сту-
денты запомнили формулировки теоремы. Другие, более слож-
ные параграфы, вынесены в прил. А. В результате, книга мо жет
быть использована в качестве основы для курсов разной сте-
пени сложности.
Изложение, которое придерживается глав 1"6 и 8"9, то есть
исключает главу 7, «Хаотическая динамика II», и обращается
к прил. А только в справочных целях, рекомендуется в качес-
тве элементарного курса. В разных семестрах я успевал прой-
ти часть седьмой главы и избранные параграфы прил. А, в
частности, посвященные метрике Хаусдорфа и размерности
Хаусдорфа, но только ценой пропуска или ускоренного изуче-
ния части предыдущего материала.
Черно"белые изображения в этой книге напечатаны с ис-
пользованием графической системы Postscript. Многие изоб-
ражения созданы в программе Matlab, в которой особенно
удобно строить кривые в трехмерном пространстве. Matlab
также хорошо подходит для программирования и визуализа-
ции L"систем (п. 2.2), паутинных диаграмм (глава 6) и фрак-
тального броуновского движения (глава 9). Изображения, в
которых требовалась заливка областей, ограниченных кривы-
ми, получены с помощью пакета Mathematica. Изображения,
для которых необходима точечная графика (для данного пик-
села в данный момент времени определяется его цвет, черный
или белый), были сгенерированы на Фортране с последующим
преобразованием выходного файла в формат Postscript. Таким
способом было получено графическое представление систем
итерированных функций из четвертой главы и комплексной
динамики из восьмой главы. Цветные вклейки были сделаны с
помощью программы Fractint.
Я хочу выразить признательность за плодотворное общение
моим коллегам, которых также интересует теория хаоса, фрак-
талы и математика, связанная с этими понятиями. Во"первых,
я хотел бы поблагодарить Дж. Келлера, познакомившего ме ня
с фракталами в 1984 году, когда ему понадобилась помощь
в ра боте над проектом по изучению фракталов, а также его
ас пи ран тку С. Чен, замечательно владеющую предметом. Впос-
ледс твии я очень много почерпнул из оживленных дискуссий
с К. Альбрандтом, К. Чиконе, Д. Петти, П. Пфайфером и
П. Спекманом. Я бла го да рен Р. Делавару за его лекционные за-
мет ки по поводу теоре мы Шарковского, а также П. Хагерти,
ко торый был моим сту дентом в 1993 году, за его профес-
сиональ ную помощь при соз дании иллюстраций в пакете
Mathematica.
Большое спасибо Э. Бельтрами, А. К. Клайни, Р. В. Истону,
а также М. Дж. Филду, Р. Д. Найдингеру, А. Нортону и
К. Шорту, просмотревшим рукопись. Их взвешенная крити-
ка и предложения, без сомнения, положительно повлияли на
окончательную редакцию.
Я очень признателен К. Хеслеру"младшему, вице"прези-
ден ту компании «Jones and Bartlett Publishers», за его энергич-
ную помощь в создании этого учебника. Большое спасибо
П. Кэрролл и М. Сервантес из «Jones and Bartlett Publishers»,
а также М. Финли из отдела печати, за их работу по выпуску
книги.
Я хочу особенно поблагодарить мою жену Мэри за ее тер-
пение и поддержку в течение всего времени, пока писалась
эта книга.
ГЛАВА 1.
ВВЕДЕНИЕ
1.1. Что такое фракталы и хаос?
Когда"то большинству людей казалось, что геометрия в приро-
де ограничивается таким простыми фигурами, как линия, круг,
коническое сечение, многоугольник, сфера, квадратичная по-
верхность, а также их комбинациями. К примеру, что может
быть красивее утверждения о том, что планеты в нашей солнеч-
ной системе движутся вокруг солнца по эллиптическим орби-
там? Этот замечательный закон — один из трех постулатов пла-
нетарного движения, сформулированных Иоганном Кеплером
на основе наблюдений и измерений, сделанных Тихо Браге.
Позднее, Исаак Ньютон вывел закон обратных квадратов для
гравитационного притяжения как решение некоего дифферен-
циального уравнения, причем законы Кеплера следовали из его
решения. Как в этом, так и в других случаях, когда применение
простых геометрических моделей оказалось удачным, это при-
вело к огромным научным достижениям.
Однако многие природные системы настолько сложны и не-
регулярны, что использование только знакомых объектов клас-
сической геометрии для их моделирования представляется без-
надежным. Как, к примеру, построить модель горного хребта
или кроны дерева в терминах геометрии? Как описать то много-
образие биологических конфигураций, которое мы наблюдаем
в мире растений и животных? Представьте себе всю сложность
системы кровообращения, состоящей из множества капилляров
и сосудов и доставляющей кровь к каждой клеточке человечес-
кого тела. Представьте, как хитроумно устроены легкие и почки,
напоминающие по структуре деревья с ветвистой кроной.
Столь же сложной и нерегулярной может быть и динамика
природных систем. Как подступиться к моделированию кас-
кадных водопадов или турбулентных процессов, определя-
Book_fnl.indb 1Book_10 29.05.2006 2:06:15
11
1 Термин «фрактал» произведен от латинского глагола frangere – ломать
и прилагательного fractus – дробный [46].
ющих погоду? Какая математика отвечает за ритмы сердца и
головного мозга, наблюдаемые на электрокардиограмме и эн-
цефалограмме, в особенности за те внезапные приступы арит-
мии, которые могут вызывать сбой в работе сердца? Можно ли
математически описать внезапное возникновение волны пани-
ки на финансовых рынках или даже построить математическую
модель социального поведения?
Фракталы и математический хаос — подходящие средст ва
для исследования поставленных вопросов. Термин «фрактал»
от носится к некоторой статичной геометрической конфигу ра-
ции, та кой как мгновенный снимок водопада. Хаос — термин
ди на ми ки, используемый для описания явлений, подоб ных
тур бу лент ному поведению погоды. Данная книга яв ляет ся
вве де нием в ма те ма ти ку, которая стоит за этими поняти ями.
Предполагается, что пос ле освоения изложенных здесь мето-
дов читатель сможет пе рей ти к изучению приложений по спе-
циализированным источ никам1.
Например, исследования показывают, что в физиологии
встре чается как «хороший» хаос, так и «плохой» [17, с. 273"300].
В опытах на кошках было замечено, что вид электро кардиог рам-
мы, снятой до и после введения кокаина, меняется с ре гу ляр-
ной последовательности высоких пиков, сопровождаемых ма-
лыми пичками, на крайне нерегулярную последователь ность,
что, возможно, свидетельствует о приступе аритмии. С другой
стороны, характер электроэнцефалограммы меняется с нерегу-
лярного и непредсказуемого на гораздо более гладкий [19,
с. 26"27]. См также [18] об анализе возможной роли хаоса в раз-
ви тии болезни сердца.
Нередко то, что мы наблюдаем в природе, интригует нас бес-
конечным повторением одного и того же узора, увеличенно го
или уменьшенного во сколько угодно раз. Например, у дере ва
есть ветви. На этих ветвях есть ветки поменьше и т.д. Теоре-
тически, элемент «разветвление» повторяется бес ко неч но мно-
го раз, становясь все меньше и меньше. То же са мое можно за-
метить, разглядывая фотографию горного рельефа. Попробуйте
немного приблизить изображение горной гря ды — вы снова
увидите горы. Приблизьте картинку еще — вы по"прежнему
будете различать нечто, напоминающее горы, благодаря вашей
способности (статической по сути) различать тип объекта на
рисунке. Так проявляется характерное для фракталов свойство
самоподобия (п. 2.1 и 5.1).
Во многих работах по фракталам самоподобие используется в
качестве определяющего свойства. Следуя Бенуа Мандельброту
[31], мы принимаем точку зрения, согласно которой фракта-
лы должны определяться в терминах фрактальной (дробной)
размерности (глава 5). Отсюда и происхождение слова фрак-
тал. Понятие дробной размерности представляет собой весьма
сложную концепцию, которую мы изложим в несколько эта-
пов. Прямая — это одномерный объект, а плоскость — двумер-
ный. Как мы увидим далее, хорошенько перекрутив прямую
или плоскость, можно повысить размерность полученной кон-
фигурации; при этом новая размерность обычно будет дробной
в некотором смысле, который нам предстоит уточнить. Связь
дробной размерности и самоподобия состоит в том, что с помо-
щью самоподобия можно сконструировать множество дробной
размерности наиболее простым образом (п. 2.1). Даже в случае
гораздо более сложных фракталов, таких, как граница множес-
тва Мандельброта (п. 8.3), когда чистое самоподобие отсутс-
твует, имеется почти полное повторение базовой формы во все
более и более уменьшенном виде.
В английском языке хаос обычно определяется как состо-
яние полного беспорядка или неразберихи. Некоторые слова-
ри прибегают к понятию состояния, в котором правит случай.
Термин хаос в математике используется в узком смысле.
Хотя универсального определения математического хаоса
не существует, имеется, по"видимому, полное согласие в том,
что любой вид хаоса обладает свойством непредсказуемости.
Это свойство называют существенной зависимостью от нача-
ль ных ус ло вий (п. 6.5). Как ни странно, оно не эквивалентно
слу чайному поведению. По сути дела, математичес кий хаос —
это характерная черта именно детерминированных дина ми-
ческих систем. Поэтому наблюдаемые в состоянии хаоса флук-
туации только кажутся случайными — их значения пол ностью
предопределены входными параметрами. Но на прак тике
мы никогда не располагаем абсолютно точной ин фор мацией
о начальных условиях. Ошибки, пусть и ничтожные, всегда
имеют место при измерении входных параметров. То, что
кажется нам случайным результатом на выходе динамической
системы, обусловлено большими ошибками, которые могут
появиться, когда система ведет себя хаотично.
Когда"то считалось, что в детерминированной системе, при
нали чии достаточного объема вычислительных ресурсов, мы
всег да в состоянии сделать значимое предсказание (например,
да ть надежный прогноз погоды), несмотря на маленькие ошиб-
ки измерения текущего состояния. В присутствии хаоса это не
так. Никакой самый мощный компьютер не позволит нам сде-
лать точный прогноз на основе математической системы с су-
щественной зависимостью от начальных условий.
С нашей точки зрения, наиболее интересный вопрос теории
фракталов и хаоса состоит в том, как связать эти понятия воеди-
но. Многие важные фракталы, включая снежинку Коха, ковер
Серпинского и классическое множество Кантора, обсужда емые
во второй главе, могут быть получены как аттракторы сис тем ите-
ри рованных функций (глава 4). Анализ этих систем ите ри ро ван-
ных функций указывает путь к построению хаотичес ких опера-
торов, ассоциированных с упомянутыми фракталами (глава 7).
Заслуживает внимания тот факт, что появление фракталов
(еще не получивших этого имени) в математической литерату-
ре около ста лет назад было встречено с прискорбной неприяз-
нью, как это бывало и в истории многих других математических
идей. Один известный математик, Шарль Эрмит, даже окрес-
тил их монстрами. По крайней мере, общее мнение признало
их патологией, представляющей интерес только для исследо-
вателей, злоупотребляющих математическими причудами, а не
для настоящих ученых.
В результате усилий Бенуа Мандельброта такое отношение
изменилось, и фрактальная геометрия стала уважаемой при-
кладной наукой. Мандельброт ввел в употребление термин
«фрак тал», основываясь на теории фрактальной (дробной) раз-
мерности Хаусдорфа [20], предложенной в 1919 году. За много
лет до появления его первой книги по фрактальной геометрии,
Мандельброт приступил к исследованию появления монстров
и других патологий в природе. Он отыскал нишу для имевших
дурную репутацию множеств Кантора, кривых Пеано, функций
Вейерштрасса и их многочисленных разновидностей, которые
считались нонсенсом. Он и его ученики открыли множество
новых фракталов, например, фрактальное броуновское движе-
ние для моделирования лесного и горного ландшафтов, флук-
туаций уровня рек и биения сердца. С выходом в свет его книг
[30, 31] приложения фрактальной геометрии стали появляться
как грибы после дождя. Это коснулось как многих прикладных
наук, так и чистой математики. Миллионы людей любовались
горным ландшафтом в фильме «Звездное переселение II: гнев
хана», сконструированным с помощью фракталов.
Французский математик Анри Пуанкаре инициировал ис-
следования в области нелинейной динамики около 1890 года,
что привело к появлению современной теории хаоса. Интерес
к предмету заметно увеличился, когда Эдвард Лоренц, зани-
мавшийся нелинейным моделированием погоды, в 1963 году
обнаружил невозможность долгосрочных прогнозов погоды.
Лоренц заметил, что даже ничтожные ошибки при измерении
параметров текущего состояния погодных условий могут при-
вести к абсолютно неправильным предсказаниям о состоянии
погоды в будущем. Эта существенная зависимость от началь-
ных условий лежит в основе математической теории хаоса.
Траектории частиц броуновского движения, которым зани-
ма лись Роберт Броун еще в 1828 году и Альберт Эйнштейн в
1905 году, представляют собой пример фрактальных кривых,
хотя их математическое описание было дано только в 1923 году
Норбертом Винером. В 1890 году Пеано сконструировал свою
замечательную кривую — непрерывное отображение, перево-
дящее отрезок в квадрат и, следовательно, повышающее его
размерность с единицы до двойки. Граница снежинки Коха
(1904 год), чья размерность d ≈ 1,2618, — это еще одна хорошо
известная кривая, повышающая размерность.
Фрактал, никаким образом не похожий на кривую, кото-
рый Мандельброт назвал пылью — это классическое множество
Кантора (1875 или ранее). Это множество настолько разрежено,
что оно не содержит интервалов, но, тем не менее, имеет столь-
ко же точек, сколько интервал. Мандельброт использовал такую
«пыль» для моделирования стационарного шума в телефонии.
Фрак тальная пыль того или иного рода появляется в много чис-
ленных ситуациях. Фактически, она является универсальным
фракталом в том смысле, что любой фрактал — аттрактор систе-
мы итерированных функций — представляет собой либо фрак-
тальную пыль, либо ее проекцию на пространство с более низ-
кой размерностью.
Различные древовидные фракталы применяются не толь-
ко для моделирования деревьев"растений, но и бронхиально-
го дерева (воздухоносные ветви в легких), работы почек, кро-
веносной системы и др. Интересно отметить предположение
Леонардо да Винчи о том, что все ветки дерева на данной вы-
соте, сложенные вместе, равны по толщине стволу (ниже их
уровня). Отсюда следует фрактальная модель для кроны дерева
в виде поверхности"фрактала.
Многие замечательные свойства фракталов и хаоса откры-
ва ются при изучении итерированных отображений. При этом
на чинают с некоторой функции y = f (x) и рассматрива ют по-
ве де ние последовательности f (x), f (f (x)), f (f (f (x))), … В ком-
п лек сной плоскости работы такого рода восходят, по всей ви-
димости, к имени Кэли, который исследовал метод Ньютона
на хож дения корня в приложении к комплексным, а не только
ве щес твенным, функциям (1879). Замечательного прогресса в
изу чении итерированных комплексных отображений добились
Гастон Жюлиа и Пьер Фату (1919). Естественно, все это было
сделано не без помощи компьютерной графики. В наши дни
многие уже видели красочные постеры с изображением мно-
жеств Жюлиа и Мандельброта, тесно с ним связанного. Осво-
ение математической теории хаоса естественно начать именно с
итерированных отображений.
Изучение фракталов и хаоса открывает замечательные воз-
можности как в исследовании бесконечного числа приложе-
ний, так и в области чистой математики. Но в то же время, как
это часто случается в так называемой новой математике, откры-
тия опираются на пионерские работы великих математиков про-
шлого. Сэр Исаак Ньютон понимал это, говоря: «Если я и видел
дальше других, то только потому, что стоял на плечах гигантов».
ГЛАВА 2.
КЛАССИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ
2.1. Самоподобие
Разделим отрезок прямой на N равных частей. Тогда каждую
часть можно считать копией всего отрезка, уменьшенной в 1/r
раз. Очевидно, N и r связаны соотношением Nr = 1 (рис. 2.1).
Если квадрат разбить на N квадратов (с площадью, в 1/r2 раз
меньше площади исходного), то соотношение запишется как
Nr2 = 1. Если куб разбить на N равных кубов (с объемом, в 1/r3
раз меньше объема исходного), то соотношение примет следу-
ющий вид: Nr3 = 1. Заметим, что размерность d объекта, будь то
одномерный отрезок, двумерный квадрат или трехмерный куб,
появляется как степень r в соотношении между N, числом рав-
ных подобъектов, и коэффициентом подобия r. А именно:
Nrd = 1. (2.1)
Множества, построенные на рис. 2.1, обладают целой раз-
мерностью. Зададимся вопросом, возможно ли такое построе-
ние, при котором показатель d в равенстве (2.1) не является це-
лым, то есть такое, что при разбиении исходного множества на
N непересекающихся подмножеств, полученных масштабиро-
ванием оригинала с коэффициентом r, значение d не будет вы-
ражаться целым числом. Ответ, как мы убедимся – решитель-
ное да! Такое множество называют самоподобным фракталом.
Величину d называют фрактальной (дробной) размерностью
или размерностью подобия. Явное выражение для d через N и r
находится логарифмированием обеих частей (2.1):
r
d N
log1/
= log (2.2)
Book_fnl.indb 16 29.05.2006 2:06:17
17
Логарифм можно взять по любому положительному основа-
нию, отличному от единицы, например, по основанию 10 или
по основанию е ≈ 2,7183.
Более общий тип самоподобных фракталов рассматривает-
ся п. 5.1. Фраклал по"прежнему может быть объединением не-
пересекающихся подмножеств, полученных масштабировани-
ем оригинала, но коэффициенты подобия уже не обязательно
одни и те же для всех подмножеств. В этом случае формула для
размерности (2.2) неприменима.
Термин «фрактал» был впервые введен в 1975 году Бенуа
Мандельбротом, пионером в области фрактальной гео мет-
рии1. Многие математические идеи оформились задолго до
этого, еще в XIX"м веке, в работах Георга Кантора, Карла
Вейерштрасса, Джузеппе Пеано и других. Понятие фракталь-
ной (дробной) размерности появилось в 1919 году в работе
Феликса Хаусдорфа. Тем не менее, именно Мандельброт объе-
динил эти идеи и положил начало систематическому изу че-
нию фракталов и их приложений.
1 Термин «фрактал» произведен от латинского глагола frangere – ломать
и прилагательного fractus – дробный [46].
Рис. 2.1. Связь размерности и коэффициента подобия.
Самоподобие
В 5"й главе и в прил. А.5 будет дано строгое математическое
изложение вопросов, связанных с дробной размерностью. При
этом следует иметь в виду, что понятие фрактала еще находится
в развитии и разные источники могут использовать различные
определения. Заметим здесь, что некоторые множества целой
размерности также являются фракталами, как следует из наше-
го определения.
Снежинка Коха. Граница снежинки, придуманной Гельгом
фон Кохом в 1904 году (рис. 2.2), описывается кривой, состав-
ленной из трех одинаковых фракталов размерности d ≈ 1,2618.
Каждая треть снежинки строится итеративно, начиная с одной
из сторон равностороннего треугольника. Пусть K0 – начальный
отрезок. Уберем среднюю треть и добавим два новых отрезка
такой же длины, как показано на рис. 2.3. Назовем полученное
множество K1. Повторим данную процедуру многократно, на
каждом шаге заменяя среднюю треть двумя новыми отрезками.
Обозначим через Kn фигуру, получившуюся после n"го шага.
Интуитивно ясно, что последовательность кривых { }∞
n n=1 K
схо дится к некоторой предельной кривой K. Мы прове дем
строгое математическое исследование сходимости таких после-
довательностей кривых и других множеств в п. 3.5 и в прил. А.3.
Рис. 2.2. Снежинка Коха.
Пока что предположим, что кривая K существует, и рас смотрим
некоторые ее свойства. Если взять копию K, умень шенную
в три раза (r = 1/3), то все множество K можно составить из
N = 4 таких копий. Следовательно, отношение самоподобия
(2.1) выполняется при N и r , а размерность фрактала будет:
d = log(4) / log(3) ≈ 1,2618.
Еще одно важное свойство, которым обладает граница сне-
жинки Коха, – ее бесконечная длина (см. теорему 2.1.1). Это
мо жет показаться удивительным читателю, привыкшему иметь
де ло с кривыми из курса математического анализа. Обыч но
они глад кие или хотя бы кусочно"гладкие, они всегда име ют ко-
нечную длину (в чем можно убедиться интегрированием). Ман-
дельброт в этой связи опубликовал ряд увлекательных ра бот,
в которых исследуется вопрос об измерении береговой ли нии
Великобритании. В качестве модели он использовал фрак таль-
ную кривую, напоминающую границу снежинки, за тем ис к-
лючением, что в нее введен элемент случайности, учитыва ющей
случайность в природе. В результате оказалось, что кри вая,
описывающая береговую линию, имеет бесконечную длину.
Рис. 2.3. а) K0, б) K1, в) K2, г) K3.
Теорема 2.1.1. Граница снежинки Коха имеет бесконечную длину.
Доказательство. Достаточно показать, что каждый из трех
идентичных фракталов K, полученных итерациями (рис. 2.3),
имеет бесконечную длину. Пусть исходный отрезок K0 име-
ет единичную длину. Тогда длина кривой K1 равна 4/3. Длина
кривой K2 равна 42/32. Продолжая таким образом, имеем, что
кривая Kn после n"го шага имеет длину 4n/3n. Следовательно,
длина предельной кривой K равна бесконечности:
lim 4 /3 = ∞.
→∞
n n
n
Ковер Серпинского. Еще один пример простого самоподоб-
ного фрактала – ковер Серпинского (рис. 2.4), придуманный
польским математиком Вацлавом Серпинским в 1915 году. Сам
термин «ковер» (gasket) принадлежит Мандельброту. В способе
построения, следующем ниже, мы начинаем с некоторой об-
ласти и последовательно выбрасываем внутренние подобласти.
Позднее мы рассмотрим и другие способы, в частности с ис-
пользованием L"систем (п. 2.2), а также на основе систем ите-
рированных функций (глава 4).
Пусть начальное множество S0 – равносторонний треуголь-
ник вместе с областью, которую он замыкает. Разобьем S0 на
Рис. 2.4. Ковер Серпинского.
четыре меньшие треугольные области, соединив отрезками се-
редины сторон исходного треугольника. Удалим внутренность
маленькой треугольной области. Назовем оставшееся множес-
тво S1 (рис. 2.5). Затем повторим процесс для каждого из трех
оставшихся маленьких треугольников и получим следующее
приближение S2. Продолжая таким образом, получим последо-
вательность вложенных множеств Sn, чье пересечение и обра-
зует ковер S.
Из построения видно, что весь ковер представляет собой
объединение N = 3 существенно непересекающихся умень-
шенных в два раза копий; коэффициент подобия r = 1/2 (как по
горизонтали, так и по вертикали). Следовательно, S – самопо-
добный фрактал с размерностью:
d = log(3) / log(2) ≈ 1,5850.
Очевидно, что суммарная площадь частей, выкинутых при
построении, в точности равна площади исходного треуголь-
ника. На первом шаге мы выбросили 1/4 часть площади. На
следующем шаге мы выбросили три треугольника, причем пло-
щадь каждого равна 1/42 площади исходного. Рассуждая таким
образом, мы убеждаемся, что полная доля выкинутой площади
составила:
1/4 + 3(1/42) + 32 (1/43) + … + 3n " 1 (1/4n) + … .
Рис. 2.5. Построение ковра Серпинского.
Самоподобие
Book_fnl.indb 2Book_21 29.05.2006 2:06:19
22 Глава 2. Классические фракталы
Эта сумма равна 1 (упр. 4 в конце этого параграфа).
Следовательно, мы можем утверждать, что оставшееся мно-
жество S, то есть ковер, имеет площадь меры нуль. Это выделя-
ет множество S в разряд «совершенного», в том смысле, что оно
разбивает свое дополнение на бесконечное число треугольных
областей, обладая при этом нулевой толщиной.
Губка Менгера. Существуют и трехмерные аналоги ковров.
Следуя Мандельброту, мы называем такие множества губками.
Губка, изображенная на рис. 2.6, называется губкой Менгера,
по имени Карла Менгера. Это самоподобный фрактал с N = 20
и r = 1/3. Его размерность равна:
d = log(20) / log(3) ≈ 2,7268.
Такая губка имеет объем меры нуль. Мы оставляем детали
построения и анализа для рассмотрения читателю.
Упражнения 2.1.
1. Определить дробную размерность (размерность подобия)
фракталов, которые строятся, как указано на рис. 2.7.
2. Определить дробную размерность (размерность подобия)
фракталов, которые строятся, как указано на рис. 2.8.
3. Построить фрактал, отличный от фрактала на рис. 2.8(а),
но той же размерности.
4. Показать, что сумма площадей треугольников, выкину-
тых при построении ковра Серпинского, равняется пло-
щади исходного треугольника. Указание: воспользовать-
ся соотношением:
1/(1 – x) = 1 + x + x2 + …, для |x| < 1.
5. Рассмотрим фрактал, который строится, как указа-
но на рис. 2.9. Этот фрактал иногда называют «пылью
Серпинского». Записать бесконечный ряд для суммы
площадей частей, которые были удалены при построе-
нии. Найти сумму этого ряда.
Book_fnl.indb 2Book_22 29.05.2006 2:06:19
23
Рис. 2.6. Построение губки Менгера.
Рис. 2.7. Построения к упр. 1
Самоподобие
6. (Компьютерный эксперимент.) Исследовать, какая
связь существует между треугольником Паскаля (со-
стоящим из биноминальных коэффициентов) и ковром
Серпинского (см. [36]).